Download Sesión 4 Funciones Trigonométricas II

Sesión 4
sen ω + cos ω
forma una identidad trigonométrica con:
cos ω
2
2
2
A) 1 + tan ω B) senω tan ω C) sen ω D) cos ω E) sen ω + 1
8.-
La expresión
9.-
La simplificación de
Unidad II Funciones trigonométricas.
D. Identidades trigonométricas.
1.-
1
sin( x )
La expresión
A) Sec(x)
2.-
sin
2
4.-
5.-
D) Cot(x)
La expresión
sin( x )
cos( x )
2
C) 1−Cos (x)
sec ( x ) ⋅ cos ( x )
1 − cos 2 θ
tan θ
La simplificación de
2
A) tan θ
D) Csc(x)
E) Cos (x)
12.2
2
D) Sec (x)
E) Csc (x)
forma una identidad trigonométrica con:
B)
sen 2θ cos θ
C)
E)
2sen 2 β + cos 2 β
B)
2
cscθ
2
1+tanθ
B) 1
senx cos x
C)
(1 + sen θ )(1 − sen θ )
senx + cos x
D) 1
E) 0
forma una identidad trigonométrica
cos β − 1
2
E)
sen 2θ + 1
cos 2 θ
sec β csc β
cos β + senβ
sec 2 θ tan θ
C)
D)
sen 2θ
15.-
tan 2 θ
tan 2 θ
0
La expresión
B)
1+
tan θ
cot θ
csc 2 θ
C)
es igual a:
sec 2 θ
D)
( sen x + cos x ) + ( sen x − cos x )
2
B) 2
C) 1
sin 2 ( β ) ⋅ tan 2 ( β )
2
sen θ
E) 1
es igual a:
D) -1
E) -2
es equivalente a:
Indica la igualdad que es falsa:
2
2
A) Sen(40°)=2 Sen(20°) Cos(20°)
B) 1+ Tan (30°) = Csc (30°)
2
o
2
2
2
D) Sen (π) = 1 − Cos (π)
C) Cot (24 )+1=Csc (24)
E) Cos(30°+40°)=Cos(30°)Cos(40°)−Sen(30°)Sen(40°)
es igual a:
C) 2
E)
A) tan β –sen β
B) tan ² β + sen ² β
C) (tan β - sen β)²
D) tan β – sen ² β
E) tan² β –sen ² β
es:
C)
1
sec 2 θ
se n 4θ − cos 4 θ es igual a:
2
se n 2θ + cos 2 θ
B) tan θ
C) 1
2
2
E) se n θ − cos θ
D) se nθ + cos θ
La expresión
A)
14.-
B)
La identidad trigonométrica
A)
13.-
sec θ
La identidad trigonométrica
2
es igual a:
C) 1
La expresión equivalente a
sec β − csc β
2
D) 1 + sen β
A)
11.-
C) Sec(x)
2
cos θ + 1
D) senθ cos θ
E) Cot(x)
A)
El producto de
La expresión
D) Tan(x)
es igual a:
B) Cot(x)
B) Cot (x)
La expresión
B)
es igual a:
con:
A) Tan(x)
A) −1
senx⋅cos x
csc x⋅sec x
E) Cos(x)
10.-
1 + sin( x )
B)
A)
7.-
C) Csc(x)
( x ) equivale a:
A) Cos (x)
A)
6.-
A)
B) Tan(x)
2
3.-
es igual a:
senx cos x
+
csc x sec x
2
D) sen θ
2
E) cot θ
28
16.-
Aplicando algunas identidades trigonométricas, el valor de
2 sin 2 ( 33° ) + cos 2 ( 33° )  − sin (14° ) cot (14° ) + cos (14° ) =
A)
5 3
B)
2
C)
3 3
2
D) 0
23.-
E. Gráficas de funciones trigonométricas.
La amplitud de una función
A
A) −
B
B)
B
C)
D)
B) π
El periodo de
B) π
A
está dada por:
C
A
E)
25.-
El periodo de
La amplitud de
A)
19.-
1
2
La amplitud de
y = 3cos ( 2 x ) , es:
B) 3
B) 1
21.-
22.-
C) 2
2 cos(3 x − ) , es:
4
2
B) −
C) 3
3
El periodo de una función de la forma
A) −
B
π
B)
2π B
C)
π
B
El periodo de una función de la forma
A) −
B
π
B)
2π B
C)
26.-
D) -4
E)
π
B
D)
π
8
E)
f ( x) =
A ⋅ cos ( Bx + C )
D)
2π
B
E)
f ( x) =
A ⋅ tan ( Bx + C )
D)
2π
B
E)
1
−
4
12
π
es:
C
A
es:
C
A
El desfasamiento de
Si
dada
la
desfasamiento
−
2
3
función
C
B
B
C
D)
2
B ⋅C
E)
π
4
es:
E)
C
B
y=
−4sin ( x − 1) , es:
El desfasamiento
de y
=
B)
π
D)
π
E) π
4
2
f ( x) =
A ⋅ sin ( Bx + C )
C)
B) 1
A) 2
30.-
C
B)
A) 4
29.-
C) 2π
3
π
4
E)
π
D)
4 cos( x − ) , es:
4
El desfasamiento de una función
C
A
D) 2π
C) 3π
B) π
E)
4
π
El periodo
de y
=
A)
28.-
C) 3π
B) 4π
A) 4π
27.-
π
La amplitud
de y
=
A) 2
D) 2
y = −4sin ( x ) , es:
A) 4
20.-
C) 1
3
E) −
2
π
D)
1 
y =−4 ⋅ sin  x  , es:
2 
A) 2π
18.-
C) 2π
y = 3cos ( 2 x ) , es:
A) 4π
f ( x) =
A ⋅ sin ( Bx + C )
B
C
1 
y = 3 tan  x  , es:
4 
A) 4π
E) 1
24.-
17.-
El periodo de
C) 2
D) -4
E)
−
π
2 cos(3 x − ) , es:
4
C) 3
D)
π
E)
8
f ( x) =
A ⋅ cos ( Bx + C ) ,
el
1
4
π
12
cociente
de
es negativo significa que:
A) La gráfica de la función
f ( x )= A ⋅ cos ( Bx ) está desplazada a la
29
izquierda
C
B
B) La gráfica de la función
arriba
C
B
C
B
C
B
f ( x )= A ⋅ cos ( Bx ) está desplazada a la
D)
f ( x )= A ⋅ cos ( Bx ) está desplazada hacia
C
B
f ( x )= A ⋅ cos ( Bx ) está desplazada sobre la
33.-
. La gráfica de la función =
f ( x)
A)
B)
sen( x) − 2
es:
C)
unidades
y = 3cos x , es:
B)
C)
D)
D)
E)
unidades
recta identidad
La gráfica
C)
unidades
E) La gráfica de la función
31.A)
B)
unidades
D) La gráfica de la función
abajo
cos ( x ) + 1 es:
A)
f ( x )= A ⋅ cos ( Bx ) está desplazada hacia
C) La gráfica de la función
derecha
La gráfica de la función
=
y
32.-
unidades
E)
34.A)
E)
La gráfica de la función
B)
f ( x) = − cos ( x + 2)
es:
C)
30
D)
D)
35.-
El dibujo de gráfica de la función
A)
E)
E)
f ( x ) =−4 − 2 cos ( x )
B)
C)
es:
37.-
El dibujo de gráfica de la función
A)
D)
B)
es:
C)
E)
D)
36.A)
f ( x )= 4 − 2sin ( x )
La gráfica de
E)
y = −4 senx , es:
B)
C)
38.-
Teniendo el dibujo de gráfica, la función que representa es:
Periodo π
A)
x
x
B) y = −4sin  
C) y = sin ( 4 x )
y = −4 cos  
2
2
D) y = −4sin ( 2 x )
E) y cos ( x + 4 )
=
31
39.-
El rango de la función y=
A) −4 ≤ y ≤ 3
4 sin( x )
3
46.-
es :
B) 0 < y <
4
3
C)
D) −3 ≤ y ≤ 4
40.-
El rango de la función y= arcosen(x) es :
B) ( 0 ; π ]
C) [
D) [−2π ; 2π]
≤y≤
A) 20°
47.-
−π
2
;
0
B) [ −5 ; −3 ]
cos ( x ) − 4
C) [ −4 ; 4 ]
Los valores de “θ “ que satisfacen
A) {35°, 125°}
48., para “x” radian es:
D) [ −1 ; 1 ]
2
cos (θ + 100 ) =
2
0
0
0
0
0
0
0
sin (θ + 40 ) =
1 − sin (θ + 40
44.-
150°
B)
30°
La solución a la ecuación
Al resolver la ecuación
x,
°
C)
49.-
),
en la ecuación trigonométrica
es:
125°
D) 110
B)
D)
°
E)
95°
B) 20°
50.-
El
conjunto
0
B)
0
0
θ = 60° , 120° , 240° , 300°
θ = 75° , 100° , 280° , 330°
sen θ + sen θ − 2 =
0 , para encontrar el valor de
2
C) 40°
solución
D) 60°
E) 90°
de
la
0
es:
0
0
0
2sin 2 θ − cos(θ ) − 1 =0,
ecuación
0
B)
0
0
0
0
0
0
El conjunto solución de la ecuación
A)
{30 ,150 , 270 }
D)
{60 ,120 , 270 }
0
0
0
0
0
2cos 2 θ − sen(θ ) − 1 =0,
0
0
B)
{60 ,150 ,300 }
0
0
0
E)
0
[0,
2π ]
3π
2
2π ]
A) –2 y 1
{60 ,120 , 270 }
0
0
0
0
0
0
sen ( x ) + 1 =
cos ( x )
en el
son:
B) 0
C) 0,
Las soluciones de la ecuación
[0,
C)
{30 , 225 ,300 }
Determina todas las soluciones de la ecuación
A) 0 y
51.-
0
0
intervalo
, para θ ≤ 360° es:
0° ≤ θ ≤ 90° , se obtiene:
A) 10°
2 cos 2 (θ ) + 1 =
3cos (θ )
0 ≤ θ ≤ 3600 , es:
C) {35°, 305°}
3
sin (θ − 300 ) =
±
2
A) θ = 90° , 150° , 270° , 330°
C) θ = 45° , 135° , 270° , 330°
E) θ = 55° , 125° , 260° , 320°
45.-
E) 90°
{60 ,180 ,300 } C) {60 ,120 , 250 }
D) {60 ,180 ,330 } E) {30 ,180 ,330 }
E) Vacío
θ (0°< θ <180°)
°
A)
se obtiene:
{0 ,30 ,120 ,330 }
D) {60 ,180 , 270 }
0
0 ≤ θ ≤ 3600 , es:
0
0
0
A) {30 ,120 , 270 }
E) [−3 ; −4]
son:
B) {55°, 325°}
La solución para
0
0
D) {45°, 135°}
43.-
0
0° ≤ θ ≤ 90°
D) 60°
para la ecuación
0
F. Ecuaciones Trigonométricas.
42.-
θ
, para
C) 40°
{30 ,120 ,180 ,300 }
C) {0 , 60 ,120 , 270 }
E) {0 , 60 ,300 ,360 }
]
2
B) 30°
La solución en
A)
π
cos ( 40 − θ ) =
cos θ
E) [−π ; π ]
El rango de la función trigonométrica
=
y
A) [−4 ; 6]
4
3
E) −4 ≤ y ≤ 3
A) (−π ; π )
41.-
−4
3
La solución a
π,
3π
2
y
2π
D)
2π
3
cos 2 ( x )= 2 − cos ( x )
E)
π
y
π
2
en el intervalo
son:
B)
π
2
C)
π
4
D) 0 y
2π
E) 1
32
56.-
G. Ley de senos.
La diagonal mayor de un paralelogramo ( ver figura) mide 35 cms. Y forma
ángulos de
52.-
El valor de “x” que satisface el triángulo siguiente:
25
y
32
con los lados, determina los lados de la figura:
32
5
15°
35 cm
30°
b
x
A)
53.-
5
2
B) 1
2
5
C)
D)
1
5 2
E)
25
5 2
A) a = 31.72 cms. y b = 14.79 cms B) a = 22.11cms. y b = 17.63 cms.
C) a = 21.70.cms. y b = 17.52 cms. D) a = 56.45 cms. y b = 69.16 cms.
E) a = 18.57 cms. y b = 29.68 cms.
A
c=20 u
40°
57.100°
B) 13.05 u
C) 10.05 u
Un papalote en forma de rombo tiene ángulos internos menores de 60
sus lados miden 70 cm. ¿Cuál es la medida de la diagonal mayor?
D) 11.05 u
60
E) 10.00 u

Un árbol que está en una ladera tiene una inclinación de 12 con la horizontal.
A una distancia de 45 mts, colina abajo desde el pie del árbol, el ángulo
de elevación hasta su parte superior es de
O
y
B
a
C
54.-
o
a
La magnitud del lado a en el triángulo siguiente es:
A) 10.50 u
o
O
70 cm
39 .¿Cuánto mide el árbol?
60
O
70 cm
A)
58.-
A) 26.29 m
55.-
B) 77 m
C) 36.77 m
D) 36.44 m
70
3
B) 140
C)
70 2
D)
70
2
E)
70 3
Dado el triángulo siguiente, calcula el valor de x :
E) 22.92 m
Dado el triángulo siguiente, calcula el valor de x:
x
28
40
A) x = 21u
0
30
B) x =0.0147u
0
A) x = 0.91
C) x = 21.78u
D) x = 21u
B) x = 0.70
C) x = 0.60
D) x = 1.56
E) x = 0.46
E) x =31.68u
33
59.-
Calcula la distancia entre los puntos A y B si el punto C está a 375 m de A y
a 530 m de B y el ángulo BAC = 49º 30´
A
64.-
El valor del ángulo α en el triángulo escaleno siguiente es :
C
375
o
8
49 30 '
x
A) 509.56
60.-
B) 609.56
α
530
B
C) 375.26
7
D) 590.56
E) 690.2
65.-
Para determinar la distancia entre 2 puntos A y B que están en orillas
opuestas de un río, un topógrafo determina un segmento AC de 240 m. de
longitud a lo largo de una orilla, y determina que las medidas del ángulo
BAC y del ángulo ACB son 54º10’ y 63º20’, respectivamente. Calcula la
distancia de A a B.
A) 262.16 m
C) 241.79 m
B) 238.29 m
D) 251.72 m
A) 45°
B) 35° 23´
C) 38° 12´
D) 40° 25´
E) 67° 8´
Un terreno de forma triangular tiene un lado que mide 175 metros y otro lado

150 metros, el ángulo entre estos dos lados es de 73 , la longitud del
tercer lado es:
A) 194.35 m
B) 185.5 m
C) 175.2 m
D) 201 m
E)175.1 m
Si un topógrafo encontró que la distancia entre dos puntos A y B es de
513.075 metros. El Topógrafo se ayudo de un tercer punto C y la distancia
BC es de 540 metros y el ángulo ACB mide
63°10' . ¿A qué distancia
están A y C?
A) 424 m
B) 417.7 m
C) 411 m
D) 420.06 m
E) 429.6 m
61.-
5
66.-
Dos automóviles salen al mismo tiempo de una ciudad y viajan por
carreteras rectas que forman un ángulo de 84° entre sí. Las velocidades de
los vehículos son 60 Km/h y 45 Km/h respectivamente. ¿A qué distancia
aproximada se encuentran después de 20 min?
A) 1422.7 km.
B) 23.7 km.
C) 38.2 km.
D) 71.1 km.
E) 18.6 km.
67.-
Desde un punto en tierra firme dos islas están a 3.25 kms y 4.65 kms de
distancia. Si el ángulo de la visual entre las islas es de 109º.
¿Cuál es la distancia entre ellas?
E) 258.50 m
H. Ley de cosenos.
62.-
Si un niño futbolista quiere tirar a la portería
teniendo un ángulo horizontal de tiro de 60°
y estando a 4 mts. del poste más
4
60°
cercano y 10 mts. del poste más lejano,
entonces la portería mide exactamente en metros:
A)
63.-
2 19
B)
2 3
C)
2 29
D) 2
10
A) 6.48 kms.
39
E)
5 3
2
68.-
B) 7.49 kms.
C) 5.84 kms.
D) 6.94 kms.
E) 4.72 kms .
¿Cuánto valen los ángulos de un triángulo cuyos lados miden 5, 8 y 11
metros ( ver figura)?
Dos aviones parten en línea recta, simultáneamente del aeropuerto de la
ciudad de México, formando sus direcciones un ángulo de 60° entre sí.
Después de 30 min. el primer avión se encuentra a 150 km. del aeropuerto y
el segundo a 220 km. La distancia entre los aviones es: (Redondea a km.)
A) 207
B) 234
C) 260
D) 195
E) 172
A) A= 26º, B = 42º , C= 112º
B) A= 90º, B = 40º , C= 50º
34
Tarea sesión 4
C) A= 100º, B = 30º, C= 50º
D) A= 26º, B = 33º , C= 121º
E) A= 24º 37´, B = 41º48´ , C= 113º34´
1.-
La expresión
A) Cos(x)
69.-
Calcular el valor del ángulo C en el triangulo
A) 68.5°
C) 28.5°
E) 42.02°
2.-
B) 48.6°
D) 38.5°
1
cos( x )
es igual a:
B) Sec(x)
C) Csc(x)
a) angsen(x)
3.-
b) Cos(x)
c) Tan(x)
4.-
e) Csc(x)
2
C) Cos (x) – 1
B) Sec(x) – Csc(x)
E) Tan(x)Cos(x)
La expresión recíproca de Tan(x) es:
A) Sen(x)
¿Cuánto mide el valor “a” del triángulo?
B) 10.5 u
D) 9.5 u
d) Cot(x)
Dada Tan(x) + Cot(x) la expresión equivalente es:
A) 1 + Sen(x)
A) 7.5u
C) 8.5 u
E) 11 u
E) Cot(x)
La recíproca de Sec(x) es:
D) Sec(x)Csc(x)
70.-
D) Tan(x)
5.-
La expresión
A)
sen 2 (θ )
B) Cos(x)
cot θ ( cot θ + tan θ )
B)
sec 2 (θ )
=
y
La gráfica de la función
6.A)
C)
C) Cot(x)
C)
D) Sec(x)
E) Csc(x)
es igual a:
csc (θ )
D)
csc 2 ( θ )
E)
sen (θ )
sen ( x ) + 1 es:
B)
D)
E)
35
7.-
La gráfica de la función
A)
y = 4 sen 4 x
B)
9.-
es:
D)
A)
E)
La gráfica
de y
=
B)
C)
D)
E)
π
4 cos( x − ) , es:
4
B)
10.C)
Los
valores
0
Resuelve
A) 20
12.-
0
O
Los
B) 30
θ
0
O
C) 40
0
0
0
0
0
0
0
00 ≤ x ≤ 900
D) 60
se obtiene:
O
E) 90
O
2sin 2 (θ ) + sin (θ ) =
1 es:
{30 ,120 ,330 }
D) {30 ,150 , 270 }
E) {30 ,90 , 225 }
0
B)
0
0
0
0
0
0
00 ≤ θ ≤ 3600
θ,
de
, para
O
para la ecuación
0
valores
0
0
2sin (θ − 100 ) − 1 =0
A)
0
tan
=
( x ) tan (π − 2 x )
La solución en
A)
13.-
satisfacen
son:
0
{60 ,150 ,300 }
C) {60 ,120 , 270 }
E)
que
B) {50 , 290 }
C) {70 ,310 }
{50 ,110 }
E) {60 ,300 }
D) {40 ,160 }
0
11.-
00 ≤ θ ≤ 3600
θ,
de
2 cos (θ + 100 ) − 1 =0
A)
D)
es:
C)
A)
8.-
y = −2 sen 2 x
La gráfica de la función
que
0
0
satisfacen
son:
B) {20 ,140 }
C) {35 ,125 }
{50 ,150 }
E) {55 ,145 }
D) {40 ,160 }
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
36
14.-
Los lados
A)
C)
15.-
a
y
b
a =3.23, b =3.55
a =2.21, b =3.59
B)
D)
a =2.43, b =4.35
a =1.22, b =2.75
A) 20.7
0
B) 19.78
30
C) 22.78
D) 21
E) 21.78
D)123 pies
E)248 pie
Dos automóviles salen al mismo tiempo de una ciudad, y viajan por
carreteras rectas que forman un ángulo de 80° entre sí. Las velocidades de
los vehículos son 60 mi/h y 45 mi/h, respectivamente. ¿A qué distancia
aproximadamente se encuentran 20 minutos después?
A) 118.81 millas
C) 228.21 millas
B) 11.80 millas
D) 139.19 millas E) 22.82 millas
Un topógrafo encontró que la distancia entre dos puntos A y B es de
350 metros, ayudándose de un tercer punto C. Si el ángulo ABC mide
24°58' y las distancias AC y BC son 180 y
420 metros respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?
A) 54°8'
B)
55°11'
C) 20°35'
1.-
A
B
C
D
E
2.-
A
B
C
D
E
3.-
A
B
C
D
E
4.-
A
B
C
D
E
5.-
A
B
C
D
E
6.-
A
B
C
D
E
7.-
A
B
C
D
E
8.-
A
B
C
D
E
9.-
A
B
C
D
E
10.- A
B
C
D
E
11.- A
B
C
D
E
12.- A
B
C
D
E
13.- A
B
C
D
E
14.- A
B
C
D
E
15.- A
B
C
D
E
16.- A
B
C
D
E
17.- A
B
C
D
E
18.- A
B
C
D
E
0
El ángulo en una esquina de un terreno triangular es de 73°40' y los lados
que se cortan en esa esquina tienen 175 y 150 pies de longitud. ¿ Cuál es la
longitud del tercer lado?
A) 38361 pies B) 196 pies C) 15089 pies
18.-
a =4.25, b =3.23
28
40
17.-
E)
Calcula el valor de x en el triángulo siguiente
x
16.-
Tarea sesión 4
del siguiente triángulo son
D) 53°37'
E)
55°9'
Aciertos:___________ de _________
Calificación:_______________
37