Download MATEMÁTICAS UNIDAD 4 GRADO 8º Números

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Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
MATEMÁTICAS
UNIDAD 4
GRADO 8º
Números complejos,
Inecuaciones y desigualdades
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Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
LOGRO:
Identifica los conjuntos de números que pertenecen a los números
Reales y realiza operaciones básicas con estos y con los números
complejos.
INDICADORES DE LOGRO:
Reconoce los componentes de un número complejo.
Representa números complejos en el plano cartesiano.
Suma y resta números complejos.
Multiplica y divide números complejos.
Identifica los diferentes símbolos de las desigualdades y el intervalo
que resulta de cada uno de ellos.
Resuelve inecuaciones de primer grado con una incógnita
Resuelve inecuaciones con denominadores
¿POR QUÉ COMPLEJOS?, ¿SON
MÁS ENREDADOS QUE LOS OTROS?
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TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD
¿Qué es para ti algo imaginario?
¿Cuál es la diferencia entre algo real y algo imaginario?
¿En qué momentos de tu vida utilizas más tu imaginación?
¿Cómo crees que puede escribirse un número imaginario?
¿Para qué crees que sirven los números imaginarios?
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Historia Números Complejos
Debido a que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, una
simple ecuación como x2 = -4 no tiene solución en el conjunto de los
números reales. Para poder tratar con este tipo de situaciones tenemos
que extender el conjunto de los números reales a un conjunto mayor, el
conjunto de los números complejos.
Para poder obtener una solución de la ecuación x2 + 1 = 0, utilizamos el
número i, tal que i2=-1. Este número i no es un número real y se llama
la unidad imaginaria, pero i2 si es un número real.
Así pues, se hace la invención de unos números que pasan por la mente
de alguien y por lo tanto se llaman números imaginarios.
Definición.Un número complejo z es una combinación lineal de la
forma (a,b), en donde a y b son números reales.
Al número “a” se le llama la parte real de z, a = Re(z), y al número b la
parte imaginaria de z, b = Im(z).
A la expresión a + bi de un número complejo z se le conoce como la
forma estándar de z.
Ejemplos:
Z
7+5i
-4 –3 i = -4 + (-3) i
-9 i = 0 + (-9) i
4=4+0i
Re(z)
7
-4
0
4
Im(z)
5
-3
-9
0
4
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SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
Números Complejos
Unidad imaginaria:
Se llama así al número
y se designa por la letra i.
Ejemplo:
Aquí reemplazamos
por i por lo tanto 2
, es lo mismo que 2i
Números imaginarios:
Un número imaginario se denota por bi, donde b es un número real,e
i es la unidad imaginaria.Con los números imaginarios podemos
calcular raíces con índice par y radicando negativo.
x2 + 9 = 0
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Potencias de la unidad imaginaria
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto
vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el
resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.
Ejemplo 1
i22
i22 = (i4)5 · i2 = 1 · (− 1) = - 1
Ejemplo 2
i72
73 4
1 18
i72 = (i4)18·i = 1 ·i = i
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TRABAJEMOS EN
NUESTRO APRENDIZAJE
ACTIVIDAD
Encontrar el valor de cada una de las siguientes potencias de i:
a) i23
b) i27
c) i32
d) i45
e) i72
f) i47
g) i13
h) i19
i) i52
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
Números complejos en forma binómica
Al número a + bile llamamos número complejo en forma binómica.
El número ase llama parte real del número complejo.
El número bse llama parte imaginaria del número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a +
0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce abi, y se dice que es un
número imaginario puro.
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El conjunto de todos números complejos se designa por
.
Los números complejosa + bi y −a − bi se llaman opuestos.
Los números complejosz = a + bi y z = a − bi se llaman
conjugados.
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma
componente real y la misma componente imaginaria.
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
Representación gráfica de números complejos
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El
eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo
a + bi se representa por el punto (a,b), lo que se conoce como afijodel
numero complejo.
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Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X, ylos
imaginarios sobre el eje imaginario, Y.
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TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD
En tu cuaderno representa gráficamente o en el plano cartesiano los
siguientes números complejos.
a) 4+6i
c) 3+5i
e) 11+3i
g) 7+4i
i) 2+3i
b) 7+8i
d)6+6i
f) 4+4i
h) 9+8i
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
Operaciones con números complejos en la forma binómica
Suma y diferencia de números complejos
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y
restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
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Ejemplo:
(5 + 2i) + (− 8 + 3i) − (4 − 2i)
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i
= −7 + 7i
ACTIVIDAD
TRABAJEMOS EN
NUESTRO
APRENDIZAJE
Suma y resta los siguientes números complejos
a) (8+3i), (4-6i)
b) (5+7i), (3-2i)
c) (3+9i), (2 + i)
d) (5-3i), (8 – 2i)
e) (3-4i), (9 – 4i)
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f) (4 – 2i), (-7-3i)
g) (9 + 9i), (3 + 3i)
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
Multiplicación de números complejos
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad
distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que
i2 = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Ejemplo:
(5 + 2i) · (2 − 3i)
(5 + 2i) · (2 − 3i) =10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
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ACTIVIDAD
TRABAJEMOS EN
NUESTRO
APRENDIZAJE
Multiplica los siguientes números complejos
a) (8+3i), (4-6i)
b) (5+7i), (3-2i)
c) (3+9i), (2 + i)
d) (5-3i), (8 – 2i)
e) (3-4i), (9 – 4i)
f) (4 – 2i), (-7-3i)
g) (9 + 9i), (3 + 3i)
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SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
División de números complejos
El cociente de números complejos se hace racionalizando el
denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el
conjugado de éste.
Recordemos que la conjugada de un polinomio es otro polinomio que al
multiplicarlo dará como resultado una diferencia de cuadrados.
=
= (ac – adi + bci – bdi2)/(c2 – cdi + cdi – d2i2)
= (ac (– adi + bci) – bdi2)/(c2 – d2i2)
= (ac – bdi2) + (bc – ad)i/(c2 – d2i2)
= ((ac - bd
2
) + (bc – ad)i) / (c2 – d2
2
)
= ((ac + bd) + (bc – ad)i) / (c2 – d2)
= (ac + bd) + (bc – ad)i
(c2 – d2)
(c2 – d2)
Ejemplo:
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ACTIVIDAD
TRABAJEMOS EN
NUESTRO
APRENDIZAJE
Divide los siguientes números complejos
a) (8+3i), (4-6i)
b) (5+7i), (3-2i)
c) (3+9i), (2 + i)
d) (5-3i), (8 – 2i)
e) (3-4i), (9 – 4i)
f) (4 – 2i), (-7-3i)
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SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
DESIGUALDADES:
Expresiones en las que aparece un signo de desigualdad; también se les
dice así a las relaciones que se establecen entre magnitudes que no son
iguales y los símbolos que se utilizan para expresar dichas relaciones
son:
SÍMBOLOS DE DESIGUALDAD
<
≤
>
≥
MENOR O
IGUAL QUE
MENOR QUE
MAYOR QUE
MAYOR O
IGUAL QUE
Dichas expresiones establecen relaciones entre números o letras (que
representan números) facilitando la ubicación de los números uno
respecto del otro.
Ejemplos:
4<5,
-7<-3,
77>3,
13>-13,
4≤7,
11≥3,x ≤ 2
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x-3 ≥ y
Las desigualdades pareciera algo muy fácil de aprender pero la
utilización de este tema es fundamental en temas avanzados y
complicados de la matemática.
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD
Establece la relación adecuada entre los siguientes términos poniendo
entre ellos el símbolo de desigualdad adecuado.
a. 8 ____ 3
b. -8 ____ -3
c. (71-3) ____ (3-71)
d. 11x (-5) _____ 5x (-11)
e. 3x9 ______ (-3)x(-9)
f. 12x12 ______ 12x(-12)
g. 13x2x4 ______ 13x (-2)x(-4)
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SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
INECUACIONES:
Son desigualdades en las que aparecen letras y números con las
operaciones usuales. Las letras son las variables o incógnitas de las
inecuaciones.
Ejemplos de inecuaciones:
x ≤ 2,
x-3 ≥ y
x2-5x ≤ 4
xy-3> 0
CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES
Las inecuaciones se clasifican dependiendo del número de incógnitas y
del grado de la expresión algebraica que aparece en ellas.
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INECUACIÓN
TIPO
2x-3 > x-5
1º grado; 1 incóg.
x-3 ≥ y
1º grado; 2 incóg
x2-5x ≤ 4
2º grado; 1 incóg.
xy-3 > 0
2º grado; 2 incóg.
El grado de la inecuación depende del exponente que tenga la variable.
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD
1. Copia en tu cuaderno las siguientes desigualdades, y di cuáles son
inecuaciones indicando su grado y número de incógnitas:
a) 2x ≤ -2
d) x2-5y ≤ 0
f) 4(x-3) -2 <2(x-1)
b) -3 ≥ 2
e) 2x-2y ≥ 2(x-y)
g) x-y2 < 2x-y
c) x2y>1
h) 3x3+2y ≥ x2
2. En la siguiente actividad escribe en frente de cada expresión en los
espacios en blanco si es o no una desigualdad, el grado y el número
de incógnitas que tiene dicha expresión:
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SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Si sumamos o restamos un mismo número a los dos miembros de una
desigualdad, resulta otra del mismo sentido.
Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por
un mismo número positivo, resulta otra del mismo sentido.
Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por
un mismo número negativo, resulta otra del sentido contrario.
Ejemplos
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TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD
a)
Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala escribiendo en la
columna derecha el resultado de aplicarle a los dos miembros de la
desigualdad de la 1ª columna la operación indicada en la segunda.
x-3 > 5
Sumar 3
x+7 > 8
Restar 7
4x < 12
Dividir entre 4
-2x ≥ 8
Dividir entre (-2)
x-9 > -2
Sumar 9
-3x ≤ 9
Dividir entre -3
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b)
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Completa la siguiente tabla con la respuesta correcta en cada caso
trasladando cada solución del recuadro a su correspondiente circulo:
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
RESOLVER UNA INECUACIÓN
Consiste en buscar el valor o valores de la(s) incógnita(s) para que la
desigualdad sea verdadera.
SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN
Las soluciones de una inecuación son todos los valores de la (s) variable
(s) para los que se cumple la desigualdad.
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Normalmente estos valores se dan en intervalos de números que
pueden ser de las siguientes formas:
a) Un intervalo abierto: es aquel que empieza en un número real y
termina en otro número real o en el infinito pero que no incluye como
posible solución a los números que delimitan el intervalo; estos
intervalos
se
encuentran
representados
por
desigualdades
relacionadas con el signo “mayor que” (>) o por el signo “menor que”
(<).
Ejemplo:
3<x<9
Solución
x (3, 9) pero no son soluciones del intervalo ni 3 ni 9 sino todos los
números reales que se encuentran entre ellos. La representación se da
con paréntesis.
b) Un intervalo cerrado: es aquel que empieza en un número real y
termina en otro número real pero que incluye como posible solución a
los números que delimitan el intervalo; estos intervalos se encuentran
representados por desigualdades relacionadas con el signo “mayor o
igual que” (≥) o por el signo “menor o igual que” (≤).
Ejemplo:-3≤x≤7
Solución
x [3, 9] son soluciones del intervalo 3, 9 y todos los números reales que
se encuentran entre ellos. La representación se da con corchetes.
c) Un intervalo abierto - cerrado o cerrado – abierto es aquel que
empieza en un número real y que incluye como posible solución al
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número que empieza el intervalo pero no al que lo termina, o incluye
como posible solución al número que termina el intervalo pero no al
que lo empieza. Se representa siempre con un paréntesis el lado del
número que delimita la inecuación pero no está incluido en las
soluciones y se representa siempre con un corchete el número que si
va incluido en las soluciones de la inecuación.
Ejemplo:
9 ≥ x> 2
Soluciones: los número que se encuentran en el intervalo entre 2
y 9 pero en este caso el 9 está incluido en las soluciones pero el 2
no.
x (2, 9]
d) Un intervalo al infinito es aquel en el que al menos uno de los
extremos es infinito (∞) o menos infinito (-∞) y el otro es un número
real o el infinito.
Ejemplo:
3<x
Soluciones: los números que son mayores que 3 pero el 3 no está
en el conjunto de soluciones.
x (3, ∞)
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a
las siguientes formas básicas:
ax + b < 0
ax + b > 0
ax + b ≤ 0
ax + b ≥ 0
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Donde a y b son números reales.
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD
1. Resuelve las siguientes inecuaciones en tu cuaderno hallando el
intervalo solución para x.
a)2x + 6 < 0 b) 3x – 2 ≥0
c) 5x + 8 ≤ 0d) 7x < 0
e) –x + 4 < 0
f)–2x – 5 ≥ 0
g) –4x ≥ 0
h)15x–25 ≤ 0
2. En el siguiente cuadro une con una flecha la inecuación con la
solución correcta, realiza el procedimiento en tu cuaderno.
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SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES
Al igual que en las ecuaciones, también pueden presentársenos
inecuaciones con paréntesis y denominadores. Para resolverlas
obtendremos inecuaciones equivalentes a la dada pero con expresión
cada vez más sencilla, hasta llegar a una de las formas conocidas.
El proceso a seguir es el mismo que para las ecuaciones:
1. Quitar paréntesis.
2. Quitar denominadores.
3. Reducir términos semejantes (hasta obtener una inecuación de una
de las formas básicas).
4. Reducir términos semejantes (hasta obtener una inecuación de una
de las formas básicas).
Ejemplo:
Resolvamos la inecuación:
1. Quitar paréntesis.
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2. Quitar denominadores
3. Reducir términos semejantes
4. Resolver la inecuación:
X<3
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD
Resuelve las siguientes inecuaciones de 1er grado:
a) 6x –3 > 5x – 7
b) – (x - 9) ≤–2 (x–3) + 5
c) –2 (x–2) + 5 ≤ 4 (2x – 7) – 3
d) 6 (2x – 1) – 7 ≤ –2 (5x – 2) + 5x
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e) 10x – 9 (2x + 1) – 3x > 5 (x – 5)
f) (x – 2) (x + 3) ≤ x (x – 1) – 8
g)
<
–
h)
i)
–
>
–
-
> x+4
<
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