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EXPRESIONES LITERALES – POLINOMIOS
ancho
Las letras en matemática se utilizan para representar números en forma genérica. Es un recurso que no es nuevo; ya lo
utilizamos por ejemplo en las fórmulas geométricas.
largo
El área de un rectángulo la calculamos multiplicando el largo por el ancho,
y no escribimos: Área del rectángulo = largo x ancho
sino simplemente
Área del rectángulo = l . a
o más simple aún
Á
=l.a
Es decir, la “l” la utilizamos para representar la medida del largo y la “a” para representar la medida del ancho.
Asimismo, para hallar el perímetro del rectángulo escribimos
P
=l+l+a+a
ó
P
= 2l + 2a
ó
P
= 2(l + a)
Cuatro apuntes importantes …
 En una misma expresión, una misma letra siempre representa a un mismo
número (por eso utilizamos la “l” para el largo y la “a” para el ancho);
 En lugar de utilizar el signo “x” para la multiplicación, utilizamos un punto;
 Si no hay operación ninguna indicada, se sobreentiende que se trata de una
multiplicación: por ejemplo 2a es en realidad la multiplicación 2.a;
 Como ya expresamos en el primer repartido, solo puedo sumar cosas que estén
expresadas en la misma unidad, y el resultado da en esa misma unidad; por lo
tanto a + a = 2a y l + l = 2l
¿POR QUÉ LETRAS?
Habiendo tanto número,
¿cuál es la necesidad de
usar letras? La respuesta
a esta pregunta es bien
tonta: porque ya las
conocemos y son fáciles
de dibujar. Podríamos
usar cualquier símbolo
para representar a un
número, por ejemplo
En un cuadrado, como todos sus lados sí son iguales podemos escribir
= l . l = l2
y
P
Elevar a la segunda potencia se lee “al cuadrado” por
provenir justamente del cálculo del área de un cuadrado.
= l + l + l + l = 4l
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lado
Á
¡¡Definitivamente una
letra es mucho más
práctico!!
lado
En realidad, todas las fórmulas de áreas y perímetros se expresan muy fácilmente con
letras:
Triángulo:
a
h
c
Circunferencia:
C
r
b
Á
=
b.h
2
P =a+b+c
Á C = r2.
P C = D.= 2r.= 2r
La excepción es la letra 
La letra griega  (pi) no representa a un número cualquiera, sino a uno muy particular: el que se obtiene de dividir la
longitud de una circunferencia entre su diámetro. Una aproximación de este número es   3,141592653589793238…
Ejercicios: Inventando figuras geométricas…
1) a) Llamémosle rectangulargo a un rectángulo cuyo largo es 10 veces su ancho. Halla área y perímetro de un
rectangulargo si su ancho es 2 cm., 5cm y 8 cm.
b) Halla una fórmula genérica para su área y su perímetro.
2) a) Llamémosle semicuadrado a un rectángulo cuyo ancho es la mitad de su largo. Halla área y perímetro para
un ancho de 6cm y de 9cm.
b) Halla una fórmula genérica para su área y su perímetro.
3) a) Llamémosle cuadradongo a una figura formada por un cuadrado, pero que uno de sus lados lo
sustituimos por una semicircunferencia, cuyo diámetro es igual al lado del cuadrado. Halla una fórmula
para el área y el perímetro del cuadradongo.
cuadradongo
Veamos ahora algunas propiedades que nos servirán para este tema…
POTENCIAS
52= 5.5 = 25
36= 3.3.3.3.3.3 = 729
43= 4.4.4 = 64
(–7)2= (–7).(–7) = 49
Recordamos…
Definición:
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
a(b+c) = ab + ac
Ejemplos:
an  a.a.a.....


a
3(5+1) = 15+3 = 18
4(–2a+7) = –8a+28
–6(3x–4y) = –18x+24y
–2(–x–7x2) = 2x+14x2
n veces
Además
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DOBLE
a0= 1 si a  0
a1= a
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
PROPIEDADES DE POTENCIAS
Dos propiedades de potencias:
1) am.an = am+n
Ejemplos:
23.24 = 2.2.2.2.2.2.2 = 27
a8.a6 = a14
x.x2 = x3
2)
am
 amn
n
a
5
Ejemplos:
7
7.7.7.7.7

 73
2
7
7.7
23
a
 a16
7
a
Ejemplos:
(4–3)(2+5) = 8+20–6–15 = 7
(x–3)(2x+4) = x2+4x–6x–12 = x2–2x–12
Se multiplica cada término del primer paréntesis por
cada término del segundo paréntesis.
Explicación:
(a+b)(c+d) = a(c+d) + b(c+d) = ac + ad + bc + bd
En un primer momento consideramos (c+d) como un
solo número, luego (a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)
Luego volvemos a aplicar la propiedad distributiva.
DESARROLLO Y REDUCCIÓN DE EXPRESIONES LITERALES:
Éste es un tipo de ejercicio que deberemos poder realizar
correctamente.
Veamos un ejemplo:
2(a–1) – 5(a+3) + a =
1º) Desarrollamos los productos, usando la propiedad distributiva:
2a – 2 – 5a + 15 + a =
2º) Agrupamos los términos semejantes:
2a – 5a + a – 2 – 15 =
3º) Hacemos las operaciones que sean posibles (en este caso,
sumamos los términos que contienen “a” por un lado, y los
números por otro):
2a – 5a + a = –2a
–2 – 15 = –17
4º) Finalmente obtenemos entonces
2(a–1) – 5(a+3) + a = –2a – 17
EJERCICIOS:
Desarrollar y reducir las siguientes
expresiones literales:
i)
3(–a+4)+2a+4a(a–1)–13=
ii)
5a(4–2a)+9b–2(b–a)–8=
iii)
(3+a)(2a–b)+4a–3(b+1)=
iv)
4(–a+2b+3)+5a+2a(a–1)=
v)
3a2–3a(b+2)–(a–1)(a+3b)=
PROCEDIMIENTO PRÁCTICO:
Cuando desarrollamos una propiedad distributiva, uno de los errores más comunes tiene que ver con los signos en
cuestión. Un procedimiento práctico para tratar de evitar esos errores es multiplicar por separado: primero los
signos, y luego “los números”. En el ejemplo anterior:
2(a–1) – 5(a+3) + a =
La primer multiplicación es 2.a, y los dos tienen signo positivo; entonces digo, “más por más es más” y escribo el
signo, así:
2(a–1) – 5(a+3) + a = +
Luego digo “2 por a es 2a” y lo escribo a continuación del signo +, así
2(a–1) – 5(a+3) + a = + 2a
Después es “2 por –1”, entonces digo “más por menos es menos” y escribo el signo –, así:
2(a–1) – 5(a+3) + a = + 2a –
Luego “2 por 1 es 2”… y así sucesivamente.
POLINOMIOS
Un polinomio es un tipo particular de expresión literal, donde generalmente la única letra que aparece es la “x” elevada
a distintas potencias de números enteros positivos. Los números que “acompañan” a cada potencia de x se llaman
coeficientes, y éstos pueden ser tanto números enteros como fracciones.
Por ejemplo, P(x) = 7x3 – 4x2 + 3x – 5 es un polinomio.
 Esta expresión se lee “Pe de equis”, y esta letra P por ahora es solo el “nombre” del polinomio.
 Los polinomios se ordenan de acuerdo al exponente de la x, de mayor a menor.
 Se le llama grado de un polinomio al exponente mayor (en el ejemplo, P(x) es de grado 3).
 Cuando sustituimos la “x” por algún número, decimos que hallamos un valor numérico; en el polinomio del
ejemplo, hallar P(5) equivale a sustituir la “x” por el número 5 y hacer las operaciones:
P(5) = 7.53 – 4.52 + 3.5 – 5 = 785
 En el paso anterior, tener en cuenta que en 7.53 el exponente “afecta” solo al número 5; es decir, debo primero
hacer 53 y luego multiplicarlo por 7
 El doble de P(x) es (2P)(x) y lo obtenemos multiplicando al polinomio por 2: (2P)(x)=2(7x 3 – 4x2 + 3x – 5)=
14x3 – 8x2 + 6x – 10
 Hallar (P+Q)(x) será hacer la suma de los polinomios P(x) y Q(x)
EJERCICIOS:
PRODUCTOS NOTABLES
Se les llama así a los productos:
(1)
(2)
 (a+b)2
a) Desarrollar y reducir:
a) Desarrollar y reducir:
 (a–b)2
 (a+b)(a–b)
P(x)= (x–3)(x2– 4x)+2x2–6x
H(x)= 2(x–4x2)+5x2–7
2
2
Lo
principal
es que en los primeros dos
Q(x)= 3x +5x(x –2)+8x
J(x)= (x–3)2+3x(x–1)
casos los resultados no son a2+b2 ni a2–b2
b) Hallar (P+Q)(x), (2P)(x) y (2P+Q)(x)
b) Hallar (3H)(x), (2J)(x) y
Es siempre preferible aplicar la definición
c) Hallar P(3), Q(3) y (P+Q)(3)
de “elevar al cuadrado” (es decir,
(3H–J)(x)
multiplicar algo por sí mismo) que
c) Hallar H(–2) y (3H–J)(–2)
(3)
arriesgar y equivocarse por utilizar las
fórmulas que vemos debajo. Igualmente,
a) Desarrollar y reducir:
(4)
2
no está de más conocerlas.
M(x)= (x–1) –3x(x+5)
a) Desarrollar y reducir:
Desarrollemos los productos notables:
N(x)= (2x+1)(2x–1)–6x+2
2
(a+b)2 = (a+b)(a+b) =
A(x)= 5x –(2x–1)(3x–2)
b) Hallar (M+N)(x) y (M–N)(x)
a2+ab+ab+b2= a2 + 2ab + b2
B(x)= (–7x+1)2–48x2
c) Hallar M(–3), N(–3), (M+N)(–3)
Resumiendo obtenemos que
b)
Hallar
(2A)(x)
y
(2B)(x)
y (M–N)(–3)
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
c) Hallar (2A)
y (2B)
(a–b)2 = (a–b)(a–b) =
(5)
a) Desarrollar y reducir:
2
(6)
a) Desarrollar y reducir:
y (G–3F)
T(x)= –x2–(x–1)2
V(x)= 2x(x2–2)–3x3
b) Hallar (T+V)(x) y (T–V)(x)
c) Hallar (T+V)(–1) y (T–V)(–1)
F(x)= –(3x+2) (x–1)
G(x)= (2x+1)3
b) Hallar (3F–G)(x) y (G–3F)(x)
c) Hallar (3F–G)
PRODUCTO DE TRES FACTORES
Cuando multiplicamos 3.4.5 hacemos 3.4 “y lo que me
da” por 5 (es decir, aplicamos la propiedad asociativa),
o incluso 4.5 y luego por 3 (aplicamos la propiedad
conmutativa). Si tenemos que desarrollar algo así
(x–1)(2x+3)(5x–8) multiplicamos dos de estos factores y
luego el resultado por el restante.
a2–ab–ab+b2= a2 – 2ab + b2
Resumiendo nuevamente, obtenemos
(a–b)2 = a2 – 2ab + b2
Finalmente, si desarrollamos la última
expresión
(a+b)(a–b)= a2–ab+ab–b2= a2 – b2
Por lo tanto
(a+b)(a–b)= a2 – b2
SIGNOS DELANTE DE UN PARÉNTESIS
Podemos utilizar la propiedad distributiva solo con el
signo. Por ejemplo:
+(–2+4x)= –2+4x Luego, si tengo un signo “+” delante
de un paréntesis, se lo puede suprimir sin más.
–(–8x+5)= +8x–5 Luego, si tengo un signo “–“ delante
de un paréntesis, al quitarlo debo cambiar los signos.
Prof. Fernando Vales