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Tema 2: Sistemas de ecuaciones
En este tema trataremos la resolución de sistemas de dos y tres ecuaciones lineales.
Sistemas con dos incógnitas
La expresión general de un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas es la
siguiente:
ax+by=c
px+qy=r
Ejemplo:
donde a, b, c, p, r, q
son números reales
2x + y = 5
3x – 2y = 4
Una solución del sistema es un par de valores que puede tomar x e
y, de forma que al sustituirlas en las dos ecuaciones se cumplan las
dos igualdades.
En el sistema de ejemplo la solución es: x = 2 , y = 1
2▪2 + 1 = 5
3▪2 - 2▪1 = 4
=> 4 + 1 = 5
=> 6 - 2 = 4
verdadero
verdadero
Número de soluciones. Tipos
• Una única solución. Sistemas compatibles determinados.
2x + y = 5
3x – 2y = 4
Solución: x=2 , y = 1
• Infinitas soluciones. Sistemas compatibles indeterminados.
x + y = 3
2x + 2y = 6
Soluciones: x=2 , y = 1
x=3 , y = 0
…………...
• Sin solución. Sistemas incompatibles.
x + y=3
x + y=5
Sin solución: no se pueden
cumplir las dos ecuaciones
a la vez.
Ecuaciones equivalentes
Si cambiamos de signo, multiplicamos o dividimos una ecuación por
un número, la ecuación obtenida tiene las mismas soluciones y se
dice que son equivalentes.
Dada la ecuación 2x + 4y = 6 , las siguientes son
equivalentes a ella:
Cambiamos de signo =>
-2x – 4y = -6
Multiplicamos por 2 =>
4x + 8y = 12
Dividimos por 2 =>
x + 2y = 3
Métodos de resolución
Reducción:
se multiplican las dos ecuaciones por números de tal forma que al
sumarlas se elimine una de las incógnitas, reduciéndose el sistema a una ecuación de
primer grado que nos permite calcular la incógnita que ha quedado.
Sustitución:
Se despeja una incógnita de una de las ecuaciones y se sustituye en la
otra.
Igualación:
resultados.
Se despeja una misma incógnita de las dos ecuaciones y se igualan los
Sistemas con tres incógnitas
Sistemas con tres incógnitas: tienen un tratamiento parecido a los
anteriores pero incorporan una incógnita más.
Por ejemplo:
x +y + z= 3
x – y - 2 z = -2
2x+ y – 3 z = 0
Sistema equivalente: si a una ecuación se le multiplicada por un
número no nulo y se le suma las otras multiplicadas por cualquier
número, se obtiene un sistema equivalente, es decir, tiene las
mimas soluciones.
Ejemplo: sumando a la primera ecuación las otras dos
x +y + z= 3
x – y - 2 z = -2
2x+ y – 3 z = 0
=>
4x + y -4 z = 1
x – y - 2 z = -2
2x+ y – 3 z = 0
Método de Gauss
Es un método general que nos permite resolver cualquier
sistema de ecuaciones lineales, independientemente del
número de ecuaciones y de incógnitas que tenga, aunque en
este tema lo utilizaremos para las de tres ecuaciones y tres
incógnitas.
La clave estará en reducir el sistema que nos den a uno del tipo anterior, es
decir, a un sistema de la siguiente forma:
Una ecuación con tres incógnitas, otra con dos incógnitas y una última con una
sola incógnita.
Cuando el sistema está de esa forma decimos que está escalonado o en forma
escalonada.
Para conseguir que el sistema sea escalonado utilizaremos procedimientos
similares a los usados en el método de reducción.
Ejemplo:
se transforma el sistema a este otro
x +y + z= 5
2x – y – z = 1
x - 2y – z = 0
=>
x +y + z= 5
–3 y - 3z = -9
–z = -1