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1º Matemáticas y tecnología
2. Divisibilidad
Ejercicios resueltos
1)
Son el 195 = 13 x 15, el 104 = 13 x 8, el 1040 = 13 x 80
Se pueden encontrar haciendo su descomposición en factores primos para ver si
está incluido o ver si la división por 13 es exacta.
2)
El 12, 45, 18 y el 24. Al dividir 360 para estos números su división es exacta
(resto 0).
3)
De los siguientes números di los que son divisibles por 3.
327, si, 3+2+7 = 12. Múltiplo de 3.
110, no, 1+1 = 2. No múltiplo de 3.
431, no, 4+3+1 = 8. No múltiplo de 3.
695, no, 6+5+9 = 20. No múltiplo de 3.
522, si, 5+2+2 = 9. Múltiplo de 3.
4)
De los siguientes números di los que son divisibles por 5.
427, no ya que no termina ni en 0, ni en 5.
505, si ya que termina en 5.
2370, si ya que termina en 0.
1115, si ya que termina en 5.
617, no ya que no termina ni en 0, ni en 5.
5)
De los siguientes números di los que son divisibles por 11.
111, no. Cifras impares 1+1 = 2, menos cifras pares 1, igual 1 (ni 0, ni
múltiplo 11).
924, si. Cifras impares 4+9 = 13, menos cifras pares 2, igual 11 que es
múltiplo de 11.
3113, si. Cifras pares 1+3 = 4, menos cifras impares 1+3 = 4, igual 0.
27172, no. Suma cifras pares 14, menos cifras impares 5, igual a 9 (ni 0, ni
múltiplo de 11).
27170, si. Suma cifras pares 14, menos cifras impares 3, igual 11 que es
múltiplo de 11.
6)
Rellena la tabla poniendo sí o no en cada casilla. Utiliza los criterios de
divisibilidad.
1313
5050
11115
84722
169
Divisible por 2
no
si
no
si
no
Divisible por 3
no
no
si
no
no
Divisible por 5
no
si
si
no
no
Divisible por 11
no
no
no
si
no
7)
Para ser divisible de 6 deberá serlo de 2 y de 3 a la vez (2 x 3 = 6).
598 no es divisible de 3. No será.
599 no es divisible ni de 2 ni de 3. No será.
600 si es divisible por 2 y por 3. Este será el primero: 600, al ir añadiendo
de 6 e 6 hasta el número 625 obtenemos el resto: 606, 612, 618, y 624.
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Ejercicios resueltos
8)
De los siguientes números di cuales son primos y cuales compuestos. Razona la
respuesta.
123 compuesto, se puede dividir por 3.
127 primo, no se puede dividir de forma exacta por 2, 3, 5, 7, 11 y al hacer
127:13 nos resulta 9,7… de forma que el cociente es menor que el
divisor, luego es primo.
235 compuesto, se puede dividir por 5.
1302 compuesto, se puede dividir por 2.
947 primo, no se puede dividir de forma exacta por los primos anteriores a
el número primo 29, y al hacer la división para el siguiente número
primo 31, obtenemos 947:31 = 30,5… siendo el cociente menor que el
divisor, luego es primo.
289 compuesto, es divisible por 17.
43769 compuesto, es divisible por 11.
9)
Completa el hueco con un número para que se cumplan las siguientes
condiciones.
para que sea un número primo. Podrá ser 1, 3, 7 o 9.
a) 1
b) 2 3 para que sea divisible de 3. Podrá ser 1, 4 o 7.
c) 24 7 para que sea múltiplo de 11. Tiene que ser el 9.
d) 111 para que sea múltiplo de 3 y de 5. Tiene que ser el 0.
10)
Realiza la factorización de los siguientes números.
120 = 23 · 3 · 5
84 = 22 · 3 · 7
108 = 22 · 33
600 = 23 · 3 · 52
4620 = 22 · 3 · 5 · 7 · 11
11)
Para resolver estos problemas va bien realizar primero la descomposición
factorial y ver si se pueden conseguir los números que queremos saber si son
divisores como producto de parte de sus factores; suele resultar más cómodo
que hacer la división si no utilizamos calculadora.
40
1
40
2
20
4
10
5
8
110
1
110
2
55
1000
1
1000
2
500
4
250
5
22
5
200
8
125
10
11
10
100
20
50
25
40
191
1
191
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360
1
360
12)
2
180
3
120
4
90
5
72
6
60
8
45
9
40
10
36
12
30
15
24
18
20
Busca un número que cumpla cada una de las siguientes frases.
a) Sea primo y par. El único par primo es el 2.
b) El menor número compuesto divisible por 5 y 10. Como el 10 es divisible por
5, será el 10.
c) Un número primo divisible por 11. Sólo puede ser el 11, cualquier otro no
sería ya primo por ser divisible por tres números, 11, el mismo y la unidad.
d) El primer número compuesto impar. El 3, el 5 y el 7, son primos. Será el 9
divisible para 1, 3 y 9.
e) El menor número compuesto divisible por 3, 5 y 7. El menor será el primero
que contiene a esos tres números 3 · 5 · 7 = 105. Observa que todos los
múltiplos de 105 también serán divisibles de 3, 5 y 7, aunque no el mínimo.
13)
Cada uno de los rectángulos que se desean obtener será el producto de dos de
los divisores de las 120 baldosas elegidos de forma que su producto de 120.
Realizando la tabla de sus divisores tenemos:
1
2
3
4
5
6
8
10
120
60
40
30
24
20
15
12
Cumplen las condiciones de estar entre las 3 y 8 baldosas para los lados:
4×30, 5×24, 6×20 y 8×15.
14)
Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes
conjuntos de números.
a) 48 y 36.
Descomponemos en factores primos:
48 = 24 · 31
36 = 22 · 32
El m.c.m. será el producto de todos los números primos que aparecen y con
el mayor exponente:
24 · 32 = 144
El m.c.d. será el producto de sólo los números primos que aparecen
repetidos y con el menor exponente:
22 · 31 = 12
b) 150, 180 y 108.
Descomponemos en factores primos:
150 = 21 · 31 · 52
180 = 22 · 32 · 51
108 =22 · 33
El m.c.m. será el producto de todos los números primos que aparecen y con
el mayor exponente:
22 · 33 · 52 = 2700
El m.c.d. será el producto de sólo los números primos que aparecen
repetidos y con el menor exponente:
21 · 3 1 = 6
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c) 252, 90 y 600.
Descomponemos en factores primos:
252 = 22 · 32 · 71
90 = 21 · 32 · 51
600 = 23 · 31 · 52
El m.c.m. será el producto de todos los números primos que aparecen y con
el mayor exponente:
23 · 32 · 52 · 71 = 12600
El m.c.d. será el producto de sólo los números primos que aparecen
repetidos y con el menor exponente:
21 · 3 1 = 6
15)
Ponemos los tiempos en las mismas unidades 40, 120 y 30 segundos tarda cada
atracción. Deberemos conocer el menor múltiplo común para saber cuántas
veces tenemos que repetir en cada atracción.
m.c.m.(40, 120,30) = 120. Deberán salir al cabo de 120 segundos desde que
entraron.
Así, la persona de la atracción que dura 40 segundos repetirá 120:40 = 3 veces.
La persona de la atracción que dura 120 segundos repetirá 120:120 = 1 vez.
La persona de la atracción que dura 30 segundos repetirá 120:30 = 4 veces.
16)
Observamos que necesitamos ver el mayor divisor común a 600 y 210.
El m.c.d.(600,210) = 30
Del colegio de 600 alumnos : 30 alumnos por equipo = 20 equipos.
Del colegio de 210 alumnos : 30 alumnos por equipo = 7 equipos.
Luego entre los dos colegios habrá 20 + 7 = 27 equipos.
17)
Observamos que se necesita dividir las tres avenidas en la misma distancia y la
mayor posible, será resuelto por el m.c.d.
El m.c.d.(1500, 240, 720) = 60 metros.
Al razonar el resultado observamos que para instalar una farola cada 60 m
necesitarían ser muy altas y de mucha intensidad perdiéndose mucha luz en
forma de contaminación lumínica incompatible con una zona de montaña.
También el coste de la luz sería grande y tampoco tendría sentido este gasto
energético superfluo desde un punto de vista medioambiental.
Otras opciones que tendríamos serán los demás divisores comunes menores de
60: 60, 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2 y 1.
Así, podrían ir las farolas cada 20, 15 o 12 metros, por ejemplo.
18)
Observamos que hay que hacer divisiones iguales y lo mayores posibles,
tendremos que hacer el m.c.d.(120 y 80) = 40 cm. cada leño.
19)
Los divisores de 6 ordenados de forma decreciente son: 6 3 2 1
El primer número primo: el 2 (el 1 no tiene dos divisores…)
Nos falta buscar el primer número primo de cuatro cifras:
El 1000 no, ya que es par.
El 1001 no, ya que es múltiplo de 11.
El 1002 no, es par.
El 1003 no, ya que es múltiplo de 17.
El 1004 no, es par.
El 1005 no, es múltiplo de 5.
El 1006 no, es par.
El 1007 no, es múltiplo de 19.
El 1008 no, es par.
El 1009 SI, PRIMO
Así, al número móvil que tiene que llamar María será el: 632 12 10 09.
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