Download matemáticas grado 8º unidad n 1 polinomios

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Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
MATEMÁTICAS
GRADO 8º
O
UNIDAD N 1
POLINOMIOS
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Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
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POLINOMIOS
LOGRO: Reconocer la diferencia entre un monomio y un polinomio,
realizando las operaciones posibles de llevar a cabo entre monomios
y polinomios y las operaciones posibles entre polinomios.
Indicadores de logro:
Reconoce las características de los polinomios
Suma monomios y polinomios
Reconoce las restas entre monomios y polinomios
Multiplica y divide monomios y polinomios
Multiplica y divide polinomios entre si
¿QUÉ SON LOS POLINOMIOS?
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Reseña histórica
Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de
encontrar la solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones
Cuadrática. Tenían una "receta" muy precisa para resolver ecuaciones
del tipo x2-bx=c, con b›0, c›0, aunque estos símbolos (b, c, x, +,= )
no se usaban entonces.
Babilonios
Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se
dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través
del tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier
ecuación de segundo grado, es decir, una ecuación de la forma,
ax2+bx+c=0 donde a, b y c pueden ser números cualesquiera.
La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier
ecuación de tercer grado (o ecuación cúbica) no se encontró sino
hasta el siglo XVI en Italia. Una ecuación cúbica es de la forma
Donde a, b,c y d son números cualesquiera, y a≠ 0
Lo que tienen todas estas ecuaciones en especial, y que las hace ser
de tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece elevada al
exponente 3, y ese es el mayor exponente de la incógnita.
Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron
encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de
cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo.
Scipione del Ferro
La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por
el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más
adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin
conocer el trabajo de Scipione del Ferro.
Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de
Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien
estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego
fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre
resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna".
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Girolamo Cardano
El episodio completo fue más bien trágico para sus protagonistas. En
aquellos tiempos, cuando un matemático descubría algo importante,
trataba de guardarlo en secreto, para poder enfrentarse en "duelos
matemáticos" con otros, y vencer. Resulta que estos duelos eran una
especie de torneo o debate público, en el cual dos matemáticos se
retaban mutuamente a resolver problemas planteados por ellos. Se
proponían los problemas y se efectuaba el duelo unos 15 días
después. Asistía el público y también las autoridades locales, y el
perdedor en un duelo de estos podía llegar a perder hasta su empleo
en una importante Universidad, como consecuencia del desprestigio.
El caso fue que Scipione del Ferro guardó su secreto hasta poco antes
de su muerte, cuando decidió revelarlo a dos discípulos suyos:
Annibale della Nave y Antonio María Fiore.
Este último decidió retar a Tartaglia, quien era profesor de
Matemáticas en Venecia, para un duelo. Le propuso 30 problemas, los
cuales requerían de la solución de ecuaciones cúbicas. Tartaglia
propuso a Fiore otros problemas variados y se dedicó por 15 días a
trabajar sobre la ecuación de tercer grado hasta lograr encontrar su
solución. En el duelo, Tartaglia sorprendió a todos, pero sobre todo a
Fiore, con sus soluciones a todos los problemas planteados. Fiore, por
su parte, no pudo resolver casi nada de lo propuesto por Tartaglia, y
fue declarado perdedor. A su vez, Tartaglia guardó celosamente el
secreto de su descubrimiento, a pesar de que Girolamo Cardano,
interesado en conocerlo, trató, por 4 años, de acercarse a él para que
compartiera su conocimiento de la solución a la ecuación cúbica.
Nicolo Fontana Tartaglia
Finalmente, logró Cardano su objetivo, jurando a Tartaglia
solemnemente que jamás lo divulgaría. Pero 3 años más tarde, en
1542, Cardano logra obtener permiso para estudiar los escritos del
difunto Ferro, y luego decide, en 1545, publicar la obra "Ars Magna",
que contenía, entre otros importantes descubrimientos matemáticos,
la solución de la ecuación cúbica. Aunque, en su publicación, Cardano
reconoce el mérito de Ferro y Tartaglia en ese descubrimiento,
Tartaglia nunca lo perdonó por faltar a su juramento.
Tras un año de polémicas, Tartaglia acepta un reto de un alumno de
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Cardano para un "duelo matemático", en el cual resulta perdedor.
Perdió su trabajo de profesor en la Universidad de Brescia y murió 9
años después, humilde, en Venecia.
El desarrollo del Álgebra a través de la historia ha sido impulsado
principalmente por el interés en resolver ecuaciones. Ecuaciones
lineales o de grado 1 (del tipo ax+b=0), ecuaciones Cuadrática o de
grado 2 (del tipo ax2+bx+c=0), ecuaciones cúbicas ó de grado 3
(del tipo ax3+bx2+cx+d=0) y ecuaciones de cualquier grado, en
general.
Es así, cómo se dan a conocer los polinomios, sus operaciones,
propiedades entre otros tema de gran interés.
Pues fijémonos ahora en el proceso de encontrar dos o más
polinomios que al multiplicarse permitan obtener el polinomio original
se denomina Factorización de polinomios.
Factorizar monomios es muy sencillo, y si el grado del monomio es
mayor que 1, hay varias maneras de factorizarlo, por ejemplo:
Factorizar binomios, trinomios y polinomios en general, requiere de
más trabajo
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Hay algunos casos destacados de productos de polinomios que, por
esa importancia que tienen, son llamados productos notables. Son los
siguientes:
Otros productos notables son:
1.
Esto es cierto porque
Por ejemplo:
2.
3.
Estas dos igualdades se ve que son ciertas,
sencillamente aplicando la distributividad del
producto respecto a la suma. Por ejemplo:
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El lenguaje algebraico
El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo
intervienen números se llama lenguaje numérico.
En ocasiones empleamos letras para representar cualquier número
desconocido, realizamos operaciones aritméticas con ellas e, incluso,
las incluimos en expresiones matemáticas para poder calcular su
valor numérico.
El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos,
y, además, las trata como números en operaciones y propiedades, se
llama lenguaje algebraico.
La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números,
letras y signos se llama Álgebra.
Características del lenguaje algebraico
El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico:
podemos expresar enunciados de una forma más breve.
Ejemplo:
El conjunto de los múltiplos de 5 es 5 · = {±5, ±10, ±15, ...}.
En lenguaje algebraico se expresa 5 · n, con n un número
entero.
El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y
propiedades numéricas de carácter general.
Ejemplo:
La propiedad conmutativa del producto se expresa a · b = b · a,
donde a y b son dos números cualesquiera.
Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y
realizamos operaciones aritméticas con ellos.
Ejemplos:
El doble de un número es seis se expresa 2 · x = 6.
“Un número aumentado en dos unidades es 15”, se expresa
x+2=15.
“El cuadrado de un número desconocido es 36”, se representa
por x2=36.
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TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD:con tus compañeros del curso, ponte de acuerdo en la
mejor forma de representar cada una de las siguientes expresiones
del lenguaje normal en un lenguaje algebraico:
Enunciado formal
Lenguaje algebraico
El antecesor de un número es 27
............
El sucesor de un número
............
La suma de dos números consecutivos es 75
La suma de dos números pares consecutivos es 46
La suma de dos números impares consecutivos 112
La suma de dos números es 38
La diferencia de dos números es 14
La diferencia positiva de dos números es 32
El producto de dos números es 40
El producto de la suma de dos números por su diferencia
............
............
............
............
............
............
............
............
es
El cociente de dos números es 25
El inverso aditivo de un número -8
Un número aumentado en 3 unidades es 27
Un número disminuido en 5 unidades es 38
El doble de un número 48
El cuádruplo de un número 36
La mitad de un número 72
............
...,.........
............
............
............
............
............
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¿Por qué a las incógnitas o cantidades
desconocidas, se las representa con la letra x?
De hecho cuando algo no se conoce, se suele
decir: «¡Llámale x!» o «¡por x o y motivo!»
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Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que
se combinan con los signos de las operaciones aritméticas; es decir
ax +b = y con a y b R
Ejemplo:
8x + 6= y
3x + 7y = 8
Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que
resulta de sustituir las letras por números y realizar a continuación
las operaciones que se indican.
Monomios
Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de
números y letras. Con los monomios podemos realizar las
operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
E
jemplo de monomio
Las expresiones -2x2 y ab están formadas por productos de números
y letras y se denominan monomios.
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Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de
números y letras. Los números reciben el nombre decoeficientes, y
las letras, con sus exponentes, son la parte literal.
Cuando en un monomio hay una sola letra, su exponente es el grado
del monomio. Y cuando hay dos o más letras, el grado es la suma de
todos los exponentes.
Ejemplo:
En el monomio -2x2, el grado es 2. El grado de ab es 1 + 1 = 2.
Grado de un monomio es la suma de los exponentes de las letras que
lo forman.
En el caso de la fórmula inversa B=
, B es ahora la variable
independiente o función (de A) y A es la variable independiente. La
constante es ahora
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD:Determinar el grado de los siguientes monomios y su
coeficiente
8x2
4x5
7x3
9x7
12x
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Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Si dos
monomios semejantes tienen coeficientes con signo contrario, se
denominan monomios opuestos.
Monomios semejantes: -3x2 y 5x2.
Monomios no semejantes: 6ab2 y 2a2b.
Monomios opuestos: -3x2 y 3x2.
Operaciones con monomios
Con los monomios podemos realizar las
cuatro operaciones básicas: suma, resta,
producto y división.
Las operaciones con monomios responden a
las mismas propiedades y reglas que las
operaciones con números.
Cuando en un determinado momento
tenemos que sumar un número determinado
de x con otro número determinado de x, se suman sus coeficientes y
se deja la x; de la misma manera que funciona cuando se suman
objetos o elementos, es decir:
12 bananos + 13 bananos = (12 + 13) bananos = 25 bananos
12x + 13x = (12+ 13)x = 25x
Ejemplos:
Monomios
Coeficientes
Parte literal
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Suma
8x + 6x = 14x
8 + 6 = 14
x
Resta
8x - 6x = 2x
8-6=2
x
Monomios
Coeficientes
Parte literal
Suma 2 3 a b + 1 4 a b = 37 a b
2 3 + 1 4 = 37
ab
Resta 2 3 a b - 1 4 a b = 9 a b
23-14=9
ab
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD:Realiza las siguientes sumas y restas de monomios
-6x + 7x =
-5x – (-6x)=
8x 17x =
3x – 19x =
-12x + (-23x) =
Producto de monomios
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El producto de monomios cumple las mismas características de la
multiplicación en enteros, pero cumpliendo con algunas
particularidades adicionales:
El producto de dos monomios es otro monomio que tiene:
Por coeficiente, el producto de los coeficientes.
Por parte literal, el producto de las partes literales.
Ejemplos:
(2x2y4) · (-3xy3) = 2 · (-3)·x2·x·y4 ·y3 = 2 · (-3) · x2+1 · y4+3 = -6x3y7
Observamos que el grado del resultado es la suma de los grados de
ambos factores.
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD:Realiza al frente de cada punto las siguientes
multiplicaciones de monomios
3x2y3· 7x3y3 =
12x4y · 5xy2 =
19x2y2· 2x2y4=
8x2y3 · 3x3y7=
4a2· 3ab=
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6ab2· 6ba2=
-7x2y3 · (-3x)=
(xy) · (xy) =
División de monomios
Al igual que en el producto, no es necesario
que dos monomios sean semejantes para
poder realizar la división.
El cociente de dos monomios es otro
monomio que tiene:
Por coeficiente, el cociente de los
coeficientes.
Por parte literal, el cociente de las partes
literales.
EJEMPLOS:
La división de monomios puede dar como resultado:
Un monomio de coeficiente fraccionario o entero.
Un número.
Una fracción con letras en el denominador (fracción algebraica).
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
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ACTIVIDAD:Resuelve las siguientes divisiones de monomios:
8x2 ÷ 2x =
33x3 ÷ 3x4 =
19x3 ÷ 7x2 =
72x12 ÷ 3x11 =
6x2 ÷ 3y =
Un polinomio es una expresión algebraica
formada por la suma de dos o más
monomios. Los monomios que lo forman se
llaman términos del polinomio.
La expresión Q(x) indica un polinomio de
una variable, x.
Q(x) = 6x5 - 3x4 – x3 - 9x + 7 es un
polinomio de variable x.
La expresión P(x, y) es un polinomio de dos
variables x e y.
P(x, y) = 2x2y - 3xy2 + 7xy - 2 es un
polinomio de dos variables, x e y.
Decimos que un polinomio es reducido cuando no tiene monomios
semejantes. Así, el polinomio P(x) = 2x3 + 3x3 - 3x2 + 5x2 - 1 lo
podemos reducir sumando sus monomios semejantes: P(x) = 2x3 +
3x3 - 3x2 + 5x2 - 1 = 5x3 + 2x2 – 1
El grado de un polinomio reducido es el grado del término de mayor
grado. Por ejemplo, el grado de P(x) = 2x3 - 3x2 - 1 es 3.
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El término independiente de un polinomio reducido es el monomio de
grado 0. En el polinomio anterior, el término independiente es -1.
Un polinomio de grado n es completo cuando contiene todos los
monomios de grado inferior a n, y es ordenado cuando los monomios
se expresan de forma creciente o decreciente.
Cuando trabajemos con polinomios, lo primero que hay que hacer es
ordenarlosen sentidodecreciente, y por últimoreducir términos semejantes
Reducción de términos semejantes: consiste en sumar o restar todos
los términos semejantes que se encuentren en la expresión.
Ejemplo:
P(x) = 2x3 - 3x2 + 1 no es completo porque no contiene ningún
monomio de primer grado. En cambio el polinomio P(x)=2x3 - 3x2 2x+1 si es un polinomio completo.
El polinomio opuesto de P(x) es -P(x) y se obtiene cambiando de
signo todos los coeficientes de P(x).
Ejemplo:
El polinomio opuesto de P(x)=2x3 - 3x2 -2x+1
Es -P(x)=-(2x3 - 3x2 -2x+1)= -2x3 + 3x2 + 2x – 1
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD: En los siguientes polinomios diga cuál es el grado,
cuales son los términos independientes de cada uno, halle el
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polinomio opuesto y por último escriba un polinomio que sea
completo, ´completando el polinomio si es que está incompleto.
2 xy 2
3x 2 yz
5 x 3 3x 2 y 2 xy 2 7 y 4
5z z 4 7
27 x3 9 x 2 3x 10
3x 2
¿Cuáles de las siguientes expresiones son polinomios?
a) 1
x3
x
2x
7
7 xy
b)
2
f)
x
c)
x
1
2
y
d)
3
x
2x 3
e)
2
.
Suma y resta de polinomios
La suma de dos o más polinomios se
calcula sumando los monomios
semejantes. Para facilitar el cálculo, se
pueden disponer los polinomios en
columna, haciendo coincidir los monomios
semejantes.
Ejemplo:
Para restar dos polinomios se suma al minuendo el polinomio opuesto
del sustraendo, es decir, P(x) - Q(x) = P(x) + (-Q(x)).
Ejemplo:
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TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD:
1. Sean los polinomios:
5 3
2 2
7
A( x )
x
x
x
8
3
4
B( x )
1
x
2
2
3
1 3
x
2
3
4 2
x
5
2. Efectuar las operaciones: a) A(x) – B(x)
B(x) – A(x)
Sean los polinomios:
1 2
3 2
A( x)
x y
xy 3xy
3
2
5 2
1
7 2
B( x)
x y
xy
xy
6
3
5
3 2 3 2
5
C ( x)
xy
x y
xy
4
4
6
b) A(x) + B(x)
c)
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3. Halla la suma y la diferencia de los siguientes pares de polinomios:
P( x)
3x 2 1
Q( x )
x 2 2x 6
P( x)
P( x)
4. Sean los
1 2
A( x)
x y
3
5 2
B( x)
x y
6
3 2
C ( x)
xy
4
5 x 3 x 2 7 x. 2
1 2
x 2x 3
2
5x 3 x 2
1
1
Q( x)
x
2
3
Q( x )
polinomios:
3 2
xy 3 xy
2
1
7 2
xy
xy
3
5
3 2
5
x y
xy
4
6
Realizar las siguientes operaciones:
a) A B C
b) B C A
c) C
d) B
A C
2
e) A B C
A B
f) A B C
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
El producto de dos polinomios se halla
multiplicando cada uno de los monomios de
uno de ellos por todos los monomios del otro,
y sumando después los polinomios obtenidos
en esas multiplicaciones.
El grado del polinomio resultante es la suma
de los grados de los dos polinomios que se
multiplican.
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El producto de polinomios puede realizarse más cómodamente
utilizando la propiedad distributiva.
(2x2 + x) · (2x3+ 1) = 2x2 · (2x3 + 1) + x · (2x3 + 1) = (4x5 + 2x2) +
(2x4 + x) = 4x5 + 2x4 + 2x2 + x
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD: Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios
x 1
x 1
2b 3
1
x
3
2
2a 5
2x 1
2x 1
x x 2
2
2b 3
b b 3
1
1 2
x
x 1
3
3
a2
2a 5
x 2
3
3 x 2
5 x 1
x 3x 5
2
2x 2
5x 4
3
5x 4
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Sacar factor común
Sacar factor común es realizar la operación inversa de aplicar la
propiedad distributiva.
Al sacar factor común se consigue expresar una suma o una resta
algebraica por medio de un producto.
a · b + a · c = a · (b + c)
a · b - a · c = a · (b - c)
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TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD:Saca
algebraicas:
factor
común
en
las
siguientes
expresiones
3x 2 5 x 4
5 x 25 x 2 y
7 x 3 14 x 6
a 2 ab ac
8 y 2 12 y 4
10t 3
5t 2
x
x
x-1
2x
POTENCIA DE POLINOMIOS
La potencia de un polinomio, P(x)n, es una forma
abreviada de escribir el producto del
polinomio n veces:
P ( x )n = P ( x ) · P ( x ) · ... · P ( x ) ︸ n veces
Ejemplo:
Calculamos la potencia de un binomio (polinomio de dos términos).
(x + y)1 = x + y
(x + y)2 = (x + y) · (x + y) = x2 + 2xy + y2
(x + y)3 = (x + y) · (x + y)2 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
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Para apreciar las regularidades entre los coeficientes de las distintas
potencias en un binomio ordenamos los resultados.
Potencia
Resultado
Coeficientes
(a + b)1
a+b
11
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
121
(a + b)3
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
1331
(a + b)4
a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
14641
TRABAJEMOS EN NUESTRO
APRENDIZAJE
ACTIVIDAD:Halle el valor de las siguientes potencias de polinomios
1. (x+y)2 =
2. (x - y)2 =
3. (x + y)3 =
4. (x - y)3 =
5. (x2 + y2)2 =
6. (x3 + y3 )2 =
7. (x2 - y2)2 =
8. ( x3 + y3 )3 =
9. ( x3 - y3 )2 =
10. ( 2x+ 2y)2 =
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RECOLECTEMOS LO
SEMBRADO
1. Fíjate en las siguientes frases y escribe en tu cuaderno su
traducción al lenguaje algebraico para un número x:
Su opuesto
Su sexta parte
Su inverso
La tercera parte de su
Su doble
doble
Su cuadrado
El número que le excede
El cuadrado de su doble
en tres unidades
El doble de su cuadrado
2. Expresa en el lenguaje algebraico:
El doble de un número más su cuadrado
Un número disminuido en 7
La tercera parte de un número más la cuarta parte de otro
El cuadrado de la suma de dos números
Un número más la mitad de otro
El producto de un número por su siguiente
La diferencia de los cubos de dos números
Cuatro veces un número más su triple
3. Halla los siguientes valores numéricos:
A( x) 4 x 5 6 x 2 3 para x
1
B (t )
4t 2
3t 1
C ( z)
z2
3z 7
D( p, q)
E ( x)
p p q
x2
x 1
x 1
para t
para z
2; t
1
4
3
2
q 2 para p
para x
3 yt
2;x
1
y q
2
1
2
1; x 1
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4. Expresa por un monomio el volumen de cada una de las siguientes
figuras:
3x
5x
4
2x
2x
3x
x
5x
3x
x
5. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son polinomios?
a)
1 x
x3
2x
7
7 xy
b)
f)
2
c)
x
1
2
y
d)
3
x
e)
2x 3
x
2
6. Indica el grado de los siguientes polinomios:
5 x 3 3x 2 y 2 xy 2 7 y 4
2 xy 2 3x 2 yz
5z
z4
7
7. Dado el polinomio 5 x 2 x 4 x 3 2 x 4
Ordénalo de mayor a menor
¿Cuál es el término de 2º
grado
grado?
¿Cuál es su grado?
¿Cuál es el coeficiente del
¿Cuál es su coeficiente líder?
término de 3ergrado?
¿Cuál
es
su
término
independiente?
8. Halla la suma y la diferencia de los siguientes pares de polinomios:
P( x)
3x 2 1
Q( x )
x 2 2x 6
5x 3 x 2 2
1
1
P( x)
Q( x)
x
2
3
1 3
x 3 x 4 ; B( x)
9. Dados los polinomios A( x)
2
calcula:
A( x) B( x) C ( x)
b) A( x) B( x) C ( x)
P( x)
5 x 3 x 2 7 x. 2
1 2
x 2x 3
2
Q( x )
3x 2
5 x 7 y C ( x)
4x 2
3,
26
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
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10. Calcula el producto de las siguientes parejas de polinomios:
P( x) 27 x 3 9 x 2 3x 10
y
Q( x ) 3 x 2
8x 2 4 x 2
y
Q( x) 3x 2 x 5
1 2
3
1
1
P( x)
x 2x
y
Q( x)
x
2
2
2
3
11. Realiza las siguientes operaciones:
3x 2 x 5 x 2 4 x 2
7 x 3 4 x 2 5 3x 3 2 x 2 8
P( x)
3x 2 x 8
7 2 x2 3
x 2 3x
xx 3
12. Dados los polinomios
calcula:
2 A( x) 3B ( x)
A( x)
x2
2 x 4 ; B( x)
x3
2 x 1 y C ( x)
2 x 2 1,
27
28