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IES MARIA INMACULADA
MATEMÁTICAS 2º E.S.O.
Curso 2010-2011
TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO
GUIÓN DEL TEMA
1. Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.
2. Expresión algebraica.
3. Valor numérico de una expresión algebraica.
4. Monomios.
5. Grado de un monomio.
6. Monomios semejantes.
7. Suma y resta de monomios.
8. Multiplicación de monomios.
9. Potencia de un monomio.
10.
División de monomios.
11.
Polinomios.
12.
Suma y resta de polinomios.
13.
Producto de polinomios.
14.
Sacar factor común.
15.
Igualdades notables:
15.1. Cuadrado de una suma.
15.2. Cuadrado de una diferencia.
15.3. Producto de una suma por una diferencia.
16.
Descomposición factorial.
17.
Simplificación de fracciones algebraicas.
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
1. LENGUAJE NUMÉRICO Y LENGUAJE ALGEBRÁICO.
El lenguaje en el que sólo intervienen números y signos de operaciones se denomina
lenguaje numérico.
Ejemplos:
Lenguaje usual
Catorce dividido entre siete
Dos elevado al cuadrado

Lenguaje numérico
14 : 7
22
El lenguaje que utiliza letras con números y signos de operaciones aritméticas se llama
lenguaje algebraico.
Ejemplos:
Lenguaje usual
La suma de dos números
Un número menos tres unidades
Lenguaje algebraico
a+b
x–3
1. Expresa con lenguaje numérico o lenguaje usual, según proceda.
Lenguaje usual
Lenguaje numérico
La suma de once más nueve es veinte
Cien dividido entre veinte
La cuarta parte de veinte es cinco
Dos elevado al cubo es ocho
32: 8
3.4
2. Une cada enunciado con su equivalente en lenguaje algebraico.





La mitad de un número
El triple de un número menos cinco
El anterior a un número entero
El posterior a un número entero

El cuadrado de la suma de dos números

El doble de la suma de tres números
(m + n)2
n-1
2 · (a + b + c)
x+1
m
2
3·b - 5
2. EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos con los signos de las
operaciones aritméticas. Las letras reciben el nombre de indeterminadas y representan
números cualesquiera.
Ejemplos:
Expresión escrita
Expresión algebraica
La suma de dos números menos dos
El triple de un número menos cinco
El cuadrado de un número más uno
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x+y-2
3·x-5
x2 + 1
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1. Escribe estos enunciados como expresión algebraica.





El doble de un número b.
El doble de la suma de dos números m y n.
El cuadrado de un número x más 4 unidades.
El producto de tres números a, b y c.
El doble de un número x más tres unidades.
2. Relaciona cada enunciado con su expresión algebraica.

El doble de un número más dos unidades.

Un número disminuido en cinco unidades.






La tercera parte de un número.
El cubo de un número.
El doble de un número.
Un número aumentado en diez unidades.
La diferencia de dos números.
El número siguiente a un número entero.
x-5
x
3
2x + 2
x + 10
2x
x3
x+1
x–y
3. Si x es la edad de Juan, expresa en lenguaje algebraico.
EXPRESIÓN
LENGUAJE
ALGEBRAICO
Los años que tenía el año pasado
Los años que tendrá dentro de un año
La edad que tenía hace 5 años
La edad que tendrá dentro de 5 años
Los años que faltan para que cumpla 70 años

3. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las
letras por números y realizar las operaciones que se indican.
Ejemplos:
Hallamos el valor numérico de la expresión 3x + 2 para x = 4.
Sustituimos x por 4 en la expresión algebraica y realizamos las operaciones:
x=4
3 · 4 + 2 = 12 + 2 = 14
El valor numérico de 3x + 2, para x = 4, es 14.
1. Halla el valor numérico de la expresión algebraica 2x + 1 para:
Valor
x=0
x=2
x = -1
x = -2
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Sustituir
2·0+1
Operación
0+1
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Valor numérico
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2. Calcula el valor de estas expresiones para los valores que se indican:
Valores
x=1
y=0
x=-1 y=2
x=1
y=-2
x=-2 y=3
x=-1 y=-1
2x–3y
x+y
1+0=1
(x + y)2
4. MONOMIOS.

Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los
números se les llama coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal.
Ejemplos:
Monomio
3x
-5ab
-5x3
-7abx2
3
-5
-5
-7
Coeficiente
x
ab
x3
abx2
Parte literal
1. Completa las tablas.
Monomio
Coeficiente
x
- 3xy
- x3
- 5xy2
Parte literal
Coeficiente
Parte literal
2 2
a b
3
- 2xyz
- 3 b2c
6 x2y
1 2
x y
3

Monomio

5
xyz 2
7
5. GRADO DE UN MONOMIO.
El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte
literal.
Ejemplos:
El grado del monomio 6 x2 es 2.
El grado del monomio – 3 x4 y3 es 7.
1. Calcula el grado de los siguientes monomios:
a) – 5 x2
b) 7 x2y
d) z.x2
e) – y x
2 5
ab
3
f) – x
c)
2. Completa la siguiente tabla:
Monomio
-6 x
- 2 a4b
yzx
8 ab4c9
- 7 mn
8 y7z5
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Coeficiente
Parte literal
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
6. MONOMIOS SEMEJANTES.
Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
Ejemplos:
6 x y –9 x son monomios semejantes por tener la misma parte literal.
- 3 x3 y 8 x3 son monomios semejantes.
5 xy2 y - x2y no son semejantes.
1. Escribe dos monomios semejantes a cada monomio dado:
 –5y
– 4 y5z4

– mn

2 2
cd
3
– 6yx4
8 xy

7. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS.
La suma y resta de monomios sólo se puede realizar cuando los monomios son semejantes.

Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la
misma parte literal.
Ejemplos:
2x + 3x + 5x = 10 x
3 x3-7 x3+5 x3- 4 x3 = - 3 x3
2x + 5y .... La suma se deja indicada porque no son monomios semejantes.
1. Realiza las siguientes operaciones.
 m+m+m+m=
8a–3a–a=
2
2
2
 2 x +x + x =
- 6 x5 – 2 x5 =
 6 ab – ab – 3 ab =
u–2u+5u=
2. Completa con monomios semejantes y calcula.
 2x + ........ + .......... = ..........
 ............ + 6 p + ............. = ...........
 3 x3+ ........... = ............
 .............. + 2 ab + ............ = ...........
3. Escribe un monomio semejante al que se indica y calcula.
 9 x - .......... = ..............
 ................ – x5 = .........
 8 df - ........... = ............
................. – 7 m2n = ............
4. Reduce las siguientes expresiones.
 mn – mn + 7 mn + 5 mn – 3 mn
 5 x6 – 2 x6 + 3 x6 – x6 =
 5ab3 – 3 ab + 7 ab3 – ab + 8 ab =
 – 8 xy – 4 xy + 3 xy + 5 x – 9 y + 3 x =
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
8. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.
El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los
coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales.
Ejemplos:
3x · 2x = 6x2
4x · (-5 x3)= - 20 x4
1. Realiza estas multiplicaciones.
 5m·3m=
- 3 d · (- 6 d) =

6 c2 · 6 c2 =
4 x2 · (- 5 x2) =
a · a2 =
2 3 2
r r =
3 8
2. Calcula y reduce.
 3 (2x + 9) =
 3 ( 2x + 4x2) =
 3m ( 5m2 – 3m) =
 (6 – cd + cd2) · 2c =
 4 (x4 + 4x3) – 6 x3 =
 - 3x (x3 – 2x + 4) – 12 x =
 - x4 (- 6x + 9 – 6 x2 – 11 x) =




1
 x  x 4  3x  2 x  x 2 
3
9. POTENCIA DE UN MONOMIO.
Para elevar un monomio a una potencia se eleva cada factor (el coeficiente y la parte literal) a
dicha potencia.
Ejemplos:
(3 x3) 4=(3 x3). (3 x3). (3 x3). (3 x3) =34(x3)4 = 81 x12
1. Calcula.
3

(3x4)4 =
2 3
 x  
3 

(x3)6 =
 3 8
x  

4 

(-5x6)3 =
 1 4 
x  

 2


(- 4x5)4 =
2 
x 

5 

10. DIVISIÓN DE MONOMIOS.
El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los
coeficientes y cuya parte literal es el cociente de las partes literales.
2
7
3
6x
=3
10x3 : (-5x) = -2 x2
2x
1. Resuelve estas divisiones entre monomios.
 8 x3 : 2 x =
a8 : a3 =
 -12 x5: -12 x4 =
- 16 y5 : - 8 y2 =
6
3
 20 m : 4 m =
- 20 z7 : 10 z5 =
Ejemplos:
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6x : 2x =
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2. Efectúa las siguientes operaciones.
 (12 x5 : 3 x3) + x =
 (6 x7 : 2 x5) – (3 x6 : x4) =
 (8 m2n : 4 mn) + mn =
 3p (p + 1) – (4 p2 : p) =
 (12 c3d2 : 3 c2d )- d =
 3(4 xy2 : 2 xy) – 2y =
 2x [(- 2y2x3) : (- x2y)] + x (x – 1) =
11. POLINOMIOS.
Un polinomio es la suma o resta de varios monomios no semejantes.
 Cada uno de los sumandos se llama término del polinomio.
 A los términos que no tienen parte literal se les denominan términos independientes.
 El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado.
Ejemplos:
3 x4 – 6 x3 + 5 x2 – 7 x – 1 es un polinomio ordenado, completo de grado 4º.
- 8 x5 – 9 x7 + 4 es un polinomio de grado 7º. Su término independiente es 4.
1. Completa esta tabla.
Polinomio
Términos
Término
independiente
Grado del
polinomio
3 x4 + 4 x2 – 1
3 mn – 5 mx2n
7x–8
3 ab – 2ª
y3-4 y2 – y + 9
3 ab + 5 ab6
2 2
x y 1
3
2. Escribe un polinomio de grado 3 con dos términos y otro de grado 4 con 5 términos.
3. Indica el grado de los siguientes polinomios.
 - x + 3 x2
3 m5 – m
 c2d - 3 c
- 5 m4 – m3 – 8
3
4. Halla el valor numérico del polinomio 3x – 2x2 + x - 3 para los valores que se indican.
Valor de la indeterminada
Valor numérico del polinomio
x=0
x=2
x=-3
12. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS.
 Para sumar polinomios se suman los monomios semejantes de ambos polinomios.
 Para restar polinomios, se suma al polinomio primero el opuesto del segundo.
Ejemplos:
A(x) = 2x2 + 3x – 5
B(x) = x3 – 7x + 6x2 – 9
3
2
A(x) + B(x) = x + 8x – 4x – 14
A(x) – B(x) = - x3 - 4x2 + 10x + 4
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1. Dados los polinomios A(x ) = 6 x3 – 4 x2 + 5 y B(x) = - 7 x2 – 5 x + 3, calcula:
a) A(x) + B(x)
b) A(x) – B(x)
B(x) – A(x)
a) (6 x3 – 4 x2 + 5) + (- 7 x2 – 5 x + 3) =
2. Dados los polinomios
A(x ) = 6 x4 – 3 x3 + 7x – 1 ,
B(x) = - 3 x2 + 7 x – 6 y
C(x) = - x4 + 3x2 – 2 x, calcula:
a) A(x) + B(x) + C(x)
b) A(x) + B(x) - C(x)
c) A(x) - B(x) - C(x)
3. Escribe los siguientes polinomios de forma reducida.
P (x) = 4 x3 + 4 x2 – 8 x3 – 3 x2 + 8 x – 2 x3 – 7 + 3 x – 2=
Q (x) = 5 x5 + 7 x3 – 7 x4 – 7 x3 + 3 x – 5 x5 – 6 + 2 x4 – 4 =
R (x) = -7 x4 + 5 x3 – 6 x2 – 6 x3 + 8 x4 – 8 x2 – 8 + x – 6 =
4. Con los polinomios reducidos del ejercicio anterior, calcula.
a) P (x) + Q (x)
b)Q (x) + R (x)
c) Q (x) – R (x)
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d)P (x) – Q (x)
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
13. PRODUCTO DE POLINOMIOS.
Para calcular el producto de dos polinomios se multiplica cada monomio del primer
polinomio por cada monomio del segundo. A continuación, se reducen los monomios
semejantes.
Ejemplos:
A(x) = x3 – 7x + 6x2 – 9
B(x) = 2x2 – 4x + 5
A(x) . 3x2 = (x3 – 7x + 6x2 – 9) · 3x2 = 3x5 – 21x3 + 18x4 – 27x2
A(x) . B(x) = (x3 – 7x + 6x2 – 9) · (2x2 – 4x + 5) = 2x5 – 4x4 + 5x3 – 14x3+ 28x2 – 35x + 12x4
– 24x3 +30x2 – 18x2 + 36x – 45 = 2x5 + 8x4 - 33x3 + 40x2 + x - 45
1. Dados los polinomios A(x ) = 3 x2 – 3x + 6 y B(x) = 2 x2 – 3, calcula:
a) A (x) · B (x)
b) B (x) · 3x
c) A (x) · x
d) B (x) · ( - 3x)
a) (3 x2 – 3x + 6) · (2 x2 – 3) =

14. SACAR FACTOR COMÚN.
Una aplicación de la propiedad distributiva es “sacar factor común”. Esta operación consiste
en extraer como factor común el monomio que se repite en todos los términos.
Ejemplos:
Expresión
Factor común
Sacar factor común
5x + 5y
5
5 (x + y)
7x2 – 3x
x
x (7x – 3)
3x2 – 12x + 15 x3
3x
3x (x – 4 + 5x2)
1. Extrae factor común en las siguientes expresiones.
 3m+4m=
 16 y4 – 8 y2 + 4 y =
 12 a2 – 3 a2 + 9 a2 =
 2b+4b +8=
 6 m2n + 4 mn2 =
 10 ab2 – 2 ab + 10 a2b =
2. Simplifica las siguientes fracciones, sacando factor común en el numerador y en el
denominador.
10b 3  10b
a)

5b
6r 4 s 2
b)

 3r 3 s 2
m3n3
c) 3 
mn
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d)
12 k 3

8k
4  6m

6m 2  9m 3
a 2 b 2  a 3b
f)
a 2b 2
e)
15. IGUALDADES NOTABLES.
Llamamos igualdades notables a ciertas igualdades cuyo desarrollo y aplicación resultan muy útiles
para abreviar cálculos con expresiones algebraicas.
 Cuadrado de una suma.
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer sumando más el doble
del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Ejemplos:
(2x + 3)2 = (2x)2+2·2x·3 + 32 = 4x2 + 12x + 9
(5x2 + 2y)2 = (5x2)2+ 2·(5x2)·2y + (2y)2 = 25x4 + 20x2y + 4y2
 Cuadrado de una diferencia.
El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer sumando menos el
doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
(a - b)2 = (a - b) · (a - b) = a2 - ab - ba + b2 = a2 - 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Ejemplos:
(2x - 3)2 = (2x)2 – 2·2x·3 + 32 = 4x2 - 12x + 9
(5x2 - 2y)2 = (5x2)2- 2·(5x2)·2y + (2y)2 = 25x4 - 20x2y + 4y2
 Suma por diferencia.
El producto de una suma por una diferencia es igual a la diferencia de los
cuadrados.
(a + b) · (a - b) = a2 + ab - ba + b2 = a2 - b2
(a + b) . (a – b) = a2 - b2
Ejemplos:
(2x + 3) · (2x – 3) = (2x)2 - 32 = 4x2 - 9
(3x2 + 5y) · (3x2 – 5y) = (3x2)2 - (5y)2 = 9x4 - 25y2
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1. Calcula:






(a + 5 )2 =
(2 + m )2 =
(x + 2 y)2 =
(ab + 1)2 =
(2x + 3)2 =
(3x3 + 4x)2 =
2. Calcula:
 ( a - 1)2 =
 ( x – 6y)2 =
 ( 2x - 3y)2 =
 ( 5 - 3b)2 =
 (2x2 – 3x5)2 =
 (3x – 3y)2 =
3. Calcula:
 ( a + 1)·( a - 1) =
 ( 5 +b )·( 5 - b) =
 ( 2a + b)·(2a - b) =
 ( 5a + 1)·( 5a - 1) =
4. Expresa en forma de igualdad notable:
 a2 + 2ab + b2 = (...... + .....)2
 x2 + 2x + 1 =(...... + ......)2
 x2 + 10x + 25 =
 a2 – b2 =
 x2 – 16 =
 4x2 – 4x + 1 =
 9 a2 – 30 ab + 25 b2 =
 4 x2 – 36 =
 16 a2 – 25 b4 =
5. Simplifica las siguientes fracciones, utilizando cuando sea necesario las igualdades
notables:
2a 3 b
a) 2 
a
20 x 5 y 3
b)

15 x 4 y
12a 5 b 4 c 6
c)

3a 5 c 4
x x  1  x  2 
d)

x 3 x  2
x2 1
e)

x  1 x  1
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x2

x  4x  4
x  10 x  25
g)

x  25
a  2ab  b
h)

a b
3x  3x
i)

x 3 x  3 3 x  3
f)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
OTRAS ACTIVIDADES
OPERACIONES CON MONOMIOS
1. Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios:
Monomios
-7xy
a2 b3
3
x
4
3 5
a
4
1
 a 3b 3
2
5 x2
Grado
2. Reduce:
a. 3x + 2x + x =
b. 5x2 + 2 x2 =
c. 3x – 5 + 2x + 4 =
d. x2 + x + x2 + x =
e. 3x2 – x2 + 5 – 7 =
f. 8x + x2 – 3x – x2 + 5 =
3. Quita paréntesis y reduce:
a. ( x – 1) – (x – 5) =
b. 2x + (1 + x) =
c. 6x – (3x – 8) =
d. (4x – 5) + (3x + 4) =
e. (1 - x) – (1 – 2x) =
f. (2 – 5x) – (4 – 7x) =
4. Opera y reduce:
a) 2 x  7 x 
1
b) 12 x  x 
4
c) 2 x  3 x   x  
d ) x8  x6 
 
f ) 5 x y  
g )  2a bc 
e)  6 x 5  2 x  
2 3
3
4
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5 4

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TEMA : LENGUAJE ALGEBRÁICO
OPERACIONES CON POLINOMIOS:
5. Reduce las siguientes expresiones:
a. 2 – 5 x2 + 7 x2 – 2x + 6 =
b. (x + 1) – (x – 1) + x =
c. (2x2 – 3x – 8) + (x2 – 5x + 10) =
d. (2x2 – 3x – 8) – (x2 – 5x + 10) =
6. Quita paréntesis y reduce:
a. (5x2 -6x +7) – (4x2 – 5x + 6) =
b. (x2 – 4) + (x + 5) – (x2 – x) =
7. Reduce:
a. 2· (5x2 – 4x + 2) – (8x2 – 7x + 4) =
b. 3· (x – 2) – 2 (x – 1) – (x + 1) =
c. 2· (x2 – 1) + 4 (2x – 1) – 11x =
8. Calcula:
a. 3x · (x3 – 2x + 5) =
b. (x + 2 ) · (x – 5) =
c. (x2 – 2) · (x2 + 2x - 3) =
d. (x3 – 5x2 + 1) · (x2 – 3x + 1)
9. Reduce:
a. x · (5x – 4) – 2 · (x2 – x) =
b. (2x + 1) · x2 – (x – 1) · x2 =
c. (3x – 1) · (x + 1) – (x + 1) · (2x – 1) =
d. (2x2 + 3) – (x – 1) · (2 + 2x) =
10.
11.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Calcula:
(15x – 10) : 5 =
(12x2 – 18x + 6 ) : 6 =
(x4 + 5 x2 – 6 x) : x =
(2 x4 + 5 x3) : x2 =
(2 x3 – 6 x2 + 8 x) : 2x =
(5 x3 – 10 x2 + 15 x) : 5x =
PRODUCTOS NOTABLES Y EXTRACCIÓN DE FACTOR COMÚN
Desarrolla las siguientes expresiones:
(x + 6) 2 =
(3 – x)2 =
(8 + a)2 =
(ab - 3)2 =
(2x - 3)2 =
(3a - 5b)2 =
(3x - 5)2 =
h. (
2
- 4x)2 =
3
i. (x + 4 ) · (x – 4) =
j. (y - a) · (y + a) =
k. (2x + 1) · (2x – 1) =
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12.
e.
f.
Transforma cada expresión en un cuadrado:
x2 + 6x + 9 =
x2 – 10 x + 25 =
x2 + 2x + 1 =
1
x2 + x + =
4
2
4x - 4x + 1 =
9x2 – 12x + 4 =
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
Extrae factor común en estas sumas:
5a + 5b – 5c =
3a - 4ab + 2ac =
x2 – 2x =
2x – 4y =
3x + 6y + 9 =
6x – 3x2 + 9 x3 =
3x – 6x2 + 9x3 =
x2 – 10 x4 + 2x8 =
6a2 b + 4ab2 =
15 x4 + 5 x3 + 10 x2 =
10 x3y2 – 2 x2 y + 4 y4 x =
a.
b.
c.
d.
13.
14.
Utiliza los productos notables y la extracción de factor común para descomponer en factores
las siguientes expresiones:
a. x2 + 2xy + y2 =
b. 4 a2 b4 – 4 a b2 + 1 =
c. 4 x2 – 4 x + 1 =
d. 3 x3 – 3 x =
e. 6 x2 – 9 x3 =
f. 5 x2 + 10 x + 5 =
g. 4 x2 – 25 =
h. 16 x6 – 64 x5 + 64 x4 =
i. 5 x4 – 10 x3 + 5 x2 =
j. x4 – x2 =
k. 3 x2 – 27 =
l. 3 x3 – 18 x2 + 27 x =
m. x4 – 1 =
n. x4 – 2 x2 + 1 =
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15.
Saca factor común en el numerador y el denominador y después simplifica:
4  6x

6x 2  9x3
5 x 2  10 x
b)

x2
x3  x2
c) 3

2 x  3x 2
3x 3  x 2
d) 3

x  2x 2
a 2  ab  a
e) 2

b  ab  b
x3  x
f) 2

5x  5
x2  x
g) 3

2x  2x 2
x2 y  x3 y 2
h)

x2 y2
a)
16.
Descompón en factores los numeradores y los denominadores, teniendo en cuenta los productos
notables y la extracción de factor común y después simplifica:
x 2  2x  1
a)
x2 1
x2  4
b) 2
x  4x  4
x2  y2
c) 2

x  2 xy  y 2
2x 2  8

x2
2x  1
e) 2

4x  4x  1
2x 4  2x3
f) 4

4x  4x 2
3x 4  9 x 2
g)

x2  3
3x 2  3x  3
h) 3

x  x2  x
d)
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