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GUIA DE ESTUDIO DE
MATEMÁTICA
CURSILLO DE INGRESO
2016
PROGRAMA DE INGRESO A PRIMER AÑO
Módulo 1
Sistema de numeración: decimal y romano.
Números naturales: Operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Propiedades.
Operaciones combinadas. Separar en términos y uso de paréntesis.
Módulo 2:
Propiedad distributiva. Operaciones de Potenciación y Radicación. Ejercicios combinados.
Ecuaciones. Uso del paréntesis precedido por signo más y menos.
Módulo 3:
Proporcionalidad: Magnitudes directamente proporcionales e inversamente proporcionales. Regla
de tres simple. Porcentaje. Problemas de aplicación.
Mínimo común múltiplo y máximo común divisor: Múltiplos y divisores. Criterios de divisibilidad.
Múltiplo común menor (mcm) y divisor común mayor (MCD).
Sistema Métrico Legal Argentino: Concepto de medida. Unidades de longitud, capacidad, peso y
superficie. Unidades de tiempo (sistema sexagesimal). Ejercicios y problemas de aplicación.
Módulo 4:
Números racionales positivos: Concepto de fracción. Interpretación en la recta numérica.
Equivalencias (simplificación). Comparación de fracciones. Expresión decimal aproximado de la
fracción hasta el orden de los milésimos. Operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
Operaciones combinadas.
Módulo 5:
Ángulos: recta, semirrecta, segmento, mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo. Medidas
de ángulos (sistema sexagesimal). Operaciones con ángulos. Ángulos adyacentes, complementarios,
suplementarios y opuestos por el vértice. Ejercicios y problemas de aplicación.
Módulo 6:
Polígonos: Polígonos regulares. Perímetro y área de polígonos (triángulo, cuadrado, rectángulo y
paralelogramo). Círculo (definición, elementos y área). Circunferencia (definición y longitud).
Resolución de problemas. Cálculos de superficies sombreadas.
Módulo 7:
Números enteros: números positivos y negativos. Interpretación en la recta numérica. Valor
absoluto. Orden y comparación.
Módulo 8:
Integración
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2
NÚMEROS NATURALES:
Sistema de Numeración Decimal y Romano. Operaciones de Suma, Resta,
Multiplicación y División. Propiedades. Operaciones combinadas.
Los números naturales son aquellos que utilizamos para contar.
Simbólicamente: lN = {1, 2, 3, 4, 5, …}
Son positivos y
sin parte decimal
- El primer número natural es el 1 y no hay un último número natural.
- Si incluimos el 0 (cero) la notación es: lN0
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Los símbolos que se usan actualmente en el sistema de numeración son los siguientes:
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 a estos símbolos se los llaman dígitos. Es decir que utilizamos 10
dígitos para escribir cualquier número en el sistema decimal.
Características principales del sistema de numeración decimal
En un número, cada dígito tiene un valor posicional
9º
Posición
Centenas
de
millón
8º
Posición
Decenas
de
millón
7º
6º
Posición Posición
Unidades Centenas
de
de
millón
mil
5º
Posición
Decenas
de
mil
4º
3º
Posición Posición
Unidades
de
Centenas
mil
2º
Posición
1º
Posición
Decenas
Unidades
1 decena
= 10
unidades
1 centena
= 100
unidades
1 unidad de mil
= 1000
unidades
1 decena de mil
= 10000
unidades
1 centena de mil
= 100000
unidades
.
.
.
.
.
.
Ejemplos:
En el número 34.589.762, los valores de cada uno de los dígitos, según su posición son los
siguientes:
2
2 unidades
6
6 . 10 unidades
=
60 unidades
7
7 . 100 unidades
=
700 unidades
9
9 . 1000 unidades
=
9000 unidades
8
8 . 10000 unidades
=
80000 unidades
5
5 . 100000 unidades =
500000 unidades
4
4 . 1000000 unidades = 4000000 unidades
3
3 . 10000000 unidades = 30000000 unidades
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3
34.589.762 = 3 . 107 + 4 . 106 + 5 . 105 + 8 . 104 + 9 . 103 + 7 . 102 + 6 . 10 + 2
Actividades
1) Responder:
¿Todos los números naturales tienen antecesor? ……………………………………………………………………………
¿Cuál es el primer número natural? Y ¿el último? ……………………………………………………………………………..
2) Escribir con cifras.
a) doce billones, mil millones =……………………………………………………..............
b) tres mil millones, veinte mil unidades=…………………………………………………
c) cien mil millones, setenta mil ochenta y cinco =………………………………………
3) Leer y escribir con letras.
a) 4 700 302 =………………………………………………..………………………………………………………………………….
b) 76 001 002 =……………………………………………..…………………………………………………………………………..
c) 4 045 910 =…………………………………………………………………………………………….……………………………..
SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO
Reglas:
• Los símbolos I, X, C y M se pueden escribir hasta tres veces seguidas.
• Todo símbolo de menor valor ubicado a la derecha de otro de mayor valor, se suma.
• Todo símbolo de menor valor ubicado a la izquierda de otro de mayor valor, se resta.
• Los símbolos V, L, y D sólo se pueden escribir una vez en cada número y no se pueden
escribir a la izquierda de otro de mayor valor.
• El símbolo I sólo se puede anteponer al V o al X; el X, sólo al L o al C; y el C sólo al D o al M.
• Una raya sobre el símbolo lo multiplica por 1000 y dos rayas por 1000000.
Ejemplos:
372
CCCLXXII
41560 = XLI DLX
2 994 = MMCMXCIV
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4
Actividades
4) Escribir los siguientes números en el sistema romano.
a) 499 =
b) 359 627 =
c) 8 284 =
d) 648 =
e) 2 480 962 =
f) 7 484 =
5) Escribir los siguientes números en el sistema decimal.
a) CDXLIV =
b) MMMDCCXXIX =
c) M DCX II CXCVI =
NÚMEROS NATURALES: SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
Suma: en símbolos
a
+
b =
c
Suma
Sumandos
Resta: en símbolos
a
–
b =
r
Diferencia
Sustraendo
Minuendo
Multiplicación: en símbolos
a.b.c=p
producto
factores
División exacta: en símbolos
a : b = c
cociente
divisor
dividendo
NOTA: en la división exacta el resto es cero
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Propiedades de las operaciones
SUMA
1- Uniforme
La suma tiene resultado único.
Ej: 4 + 9 = 13 siempre que sumes estos números el resultado de la suma
es 13.
2- Conmutativa
Si se cambia el orden de los sumandos, la suma no varía.
En símbolos
a + b = b + a
Ej: 15 + 7 = 7 + 15
22 = 22
3- Asociativa
Si se agrupan los sumandos de distintas maneras, la suma no varía.
En símbolos: a + b + c = ( a + b ) + c
ó
= a + ( b + c )
Ej:
35 + 17 + 8 = 35 + ( 17 + 8 )
= 35 + 25
= 60
4- Disociativa
Se cambia cada sumando por la suma de números.
Ejemplo: 37 + 49 = 30 + 7 + 40 + 9
aplicaremos ahora la conmutativa
= 30 + 40 + 7 + 9
= ( 30 + 40 ) + ( 7 + 9) hemos aplicado propiedad asociativa
= 70 + 16
= 86
5- Elemento neutro
El “0” es el elemento neutro ya que sumado a cualquier número la suma es el mismo número.
En símbolos:
a + 0 = a
Ej: 34 + 0 = 34
RESTA
La resta goza únicamente de la propiedad uniforme
Ej: 8 – 5 = 3 es el único resultado que tiene esa resta.
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MULTIPLICACIÓN
1- Uniforme
La multiplicación tiene resultado único.
Ej: 4 . 9 = 36 siempre que multipliques estos números el resultado de la
Multiplicación es 36.
2- Conmutativa
Si se cambia el orden de los factores, el producto realizado no varía.
En símbolos
a . b = b . a
Ej: 5 . 7 = 7 . 5
35 = 35
3- Asociativa
Si se agrupan los factores de distintas maneras, el producto no varía.
En símbolos:
a . b . c = ( a . b) . c
ó
= a . ( b . c )
Ej:
30 . 7 . 8 = 7 . ( 30 . 8 )
= 7 . 240
= 1680
4- Elemento neutro
El “1” es el elemento neutro ya que multiplicado a cualquier número el producto es el
mismo número.
En símbolos:
a . 1 = a
Ej: 34 . 1 = 34
5- Elemento absorbente
El cero es el elemento absorbente porque todo número multiplicado por cero es cero
Ej: 4 . 0 = 0
6- Disociativa
Si un factor se reemplaza por dos o más factores, el resultado no varía
Ej: 4 . 10 . 6 = 4 . 2 . 5 . 3 . 2
= 240
Operaciones combinadas
Importante!!
En toda operación combinada:
- Separamos en términos (en signos + y –)
- Resolvemos paréntesis ( ), corchetes [ ] y luego llaves { }.
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7
Ejemplo:
( 32 + 16 ) : 3 – ( 85 – 41 ) : 11 + 4 =
48 : 3 –
44 : 11 + 4 =
16
–
4
+ 4=
16
Actividades
6) Realizar las siguientes operaciones aplicando las propiedades.
a) 136 + 4 + 372 + 29 =
b) 1240 + 350 =
c) 12 . 15 . 3 =
d) 252 m + 15 m + 3004 m + 23 m =
e) 10 008 + 7 999 + 43 854 + 150 409 =
f) 139 420 – 43 388 =
g) 400 500 – 93 806 =
h) 12600 : 18 =
7) Resolver los siguientes ejercicios.
a) (12 – 3). 5 – 13 + 4. ( 17 + 2 ) – ( 17 – 11): 2 =
b) 108 : 6 – 35:( 24 – 17 ) + (14 – 3 ) . 2 =
c) [(9 – 7) . 5 + (15 : 3)] . 2 =
d) {4 + 5 . [2 . (5 + 1) – 2 . 4]} : 2 =
e) {5 . [2 + (2 . 15 + 3) : 11]} + 1 =
8) En los siguientes números se han borrado algunas cifras y en su lugar aparece un guión.
Indique en qué casos puede colocar con seguridad < , > , o = y justifique su respuesta.
3901.............39 _ 6
108 _ 4.............10891
12 _.............119
6_ _ 9..............6000
529..............52 _
9_ 89...............10000
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8
9) En un restaurante que abre todos los días de la semana, se consume en una semana el
contenido de 21 cartones de 3 docenas de huevos cada uno. Si todos los días se usa la
misma cantidad de huevos, ¿cuántos huevos se consumen por día?
10) Una imprenta compró a una papelería dos partidas de papeles de $ 470 c/u y una de $ 1705;
si luego adquirió otra de $ 3750 y además $ 275 de cartón ¿Cuál es el valor de sus compras?
11) Una familia de varios miembros que es mantenida por su padre e hijo mayor, ganan $ 8250
y $ 1850 por mes. Gastan mensualmente lo siguiente: alimentación $2530; luz y
electricidad $ 600; ropa $ 800; escuela con sus gastos $ 1980; gastos varios $ 1300; lo
restante se comienza a colocar en caja de ahorros. Al cabo de dos años y cuatro meses,
¿qué cantidad de dinero tendrán ahorrada?
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NÚMEROS NATURALES:
Propiedad Distributiva. Operaciones de Potenciación y Radicación.
Ecuaciones. Resolución de Problemas.
Propiedad Distributiva
- La multiplicación es distributiva respecto a la suma y a la resta:
a . (b ± c) = a. b ± a . c
Como la multiplicación es conmutativa, la multiplicación puede estar a la izquierda o a la derecha:
a . (b ± c) = (b ± c) . a
- La división es distributiva respecto a la suma y a la resta sólo a derecha:
(b ± c) : a = b : a ± c : a
Ejemplos:
a)
2.(5+7)=2.5+2.7
2 . 12 = 10 + 14
24
= 24
b) Para multiplicar los siguiente números lo podemos realizar también de la siguiente manera
998 . 14 =
Al 998 se lo remplaza por 1000 – 2 entonces
998 . 14 = ( 1000 – 2 ) . 14
= 1000 . 14 – 2 . 14
= 14000 – 28
= 13972
Observa que se aplicó propiedad disociativa al 998
Supongamos otro ejemplo: resuelva 632 . 23
632 . 23 = ( 600 + 30 + 2 ) . 23
= 13800 + 690 + 46
= 14536
al 632 se aplicó la propiedad disociativa
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Actividad: Realizar los siguientes ejercicios aplicando propiedad disociativa y luego la propiedad
distributiva.
1) 285 . 21 =
2) 13 . 747 =
3) 6784 : 2 =
4) 1258 . 30 =
5) 4 . 175 =
6) 6 . 694 =
7) 7895 : 5 =
8) 3450 . 12 =
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Exponente (natural)
Potenciación: en símbolos
an = b
potencia
base
n veces
an = a.a.a.a…….a
la base se repite como factor tantas veces lo indique el exponente
Ejemplos:
52 = 5 . 5
23 =
102 =
24 =
o Notaciones:
-
b2: b al cuadrado
b3: b al cubo
b4: b a la cuarta potencia
bn: b a la enésima potencia
Recordar: todo número distinto de cero elevado a la cero es igual a uno.
;
350 = 1
Ejemplos: 40 = 1
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Radicación: en símbolos
n
a =b
Índice
raíz
radicando
n
a = b ⇒ bn = a
Calcular la raíz enésima de un número a es averiguar cuál es el número que elevado a la n es igual al
número a
Ejemplos:
8 = 2 ⇒ 23 = 8
3
16 = 4 ⇒ 4 2 = 16
o Notaciones:
-
: Raíz cuadrada de a
-
: Raíz cúbica de a
: Raíz cuarta de a
: Raíz enésima de a
Operaciones combinadas:
a) (5 – 3)2. 7 –
9 =
=
=
=
2 2. 7 – 3
4. 7 – 3
28 – 3
25
b) (19 – 7). (9 – 5)2 – 11. (25 – 17) =
12 . 42 – 11. (25 – 17) =
12 . 16
– 11. 8 =
192
– 88 =
104
Actividades
1) Resolver las siguientes potencia
a) 53 =
b) 30 =
c) 25 =
d) 101 =
e) 13 =
f) 05 =
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12
2) Resolver las siguientes raíces
a)
=
b)
=
c)
=
d)
=
e)
=
f)
=
3) Resolver las siguientes operaciones combinadas
a) 3 . ( 19 – 16 )3 + 18 : 2 – 11. 25 =
(
)
2
b) 25 − 9 + 5.3 27 − 6. 3 2 − 7 + 10 =
c) (4 + 53 – 9 ) : ( 102 – 70 ) =
d) (7.3 − 1) : 4 + 6 : 2 + 1 + 8 : 4 =
e) 20 : 25 + 81 : 33 + 22 : (9 + 2) =
f)
(8.4 − 12).2 + 3 2 + 4 2 : 2 3 =
Ecuaciones
Las ecuaciones son igualdades en las cuales hay que calcular el valor de la letra (incógnita) para que
se cumpla la igualdad.
Ejemplo:
x + 3 = 7
primer miembro
segundo miembro
Resolver una ecuación es calcular el valor de la letra (denominada incógnita)
Para ello debemos conocer ciertas reglas:
1) Todo término que se encuentra en un miembro puede pasar al otro con signo contrario.
2) Todo número multiplicando a un miembro puede pasar al otro miembro dividiendo.
En el ejemplo dado:
x + 3= 7
x = 7–3
x = 4
2)
3.x – 6 = 9
3.x = 9 + 6
3.x = 13
x = 15 : 3
x=5
La incógnita está en el primer miembro. La operación
más importante es la suma. Por lo tanto el 3 está
sumando, pasa al otro miembro restando.
Realizamos la operación indicada.
3) 12 – 7 = 2.x – 9
5 = 2.x – 9
5 + 9 = 2.x
14 : 2 = x
7 = x
x = 7
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13
Verificar una ecuación consiste en reemplazar el resultado obtenido por la incógnita en la primera
igualdad y luego resolver cada miembro para comprobar que se cumpla la igualdad.
2)
3.x – 6
3. 5 – 6
15 – 4
9
= 9
= 9
= 9
= 9 verifica la igualdad
3) 12 – 7 = 2.x – 9
5 = 2.7 – 9
5 = 14 – 9
5 = 5 verifica la igualdad
Actividad: Resolver las ecuaciones y verificarlas.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
2 + x = 18
6 = 3.x – 2
20 = x . 5
x –5 = 6
7 – 4 = 6 + 2. x
7–3+x =5
36 + 3. x – 2 = 115
7 – 3 = 5.x – 11
Paréntesis precedido por más o por menos
Para simplificar la escritura, se quitan los paréntesis que se utilizan para distinguir el signo del número, del
signo de la operación, atendiendo a la siguiente regla:
- Al suprimir paréntesis precedido por el signo +, los signos de los números que encierran se mantienen.
- Al suprimir paréntesis precedido por signo -, los signos de los números que encierran cambian por su signo
opuesto.
Ejemplo:
5 –{ 3– 4 + [1 + 4 – 7] – 2}=
5– { 3–4 + 1 + 4 – 7 – 2 } =
5–3+4–1–4+7 +2=
5–3–1+7+2 =
10
Actividad: Eliminar paréntesis, corchetes o llaves, cancelar cuando sea posible y luego resolver.
1) 18 – {2 + [9 – (6 – 3) – 5 ]} =
2) ( 4 + 8 – 3 + 9 ) – 4 – ( 4 + 7 – 3 – 2 ) + ( 12 + 5 – 2 ) =
3) 15 – {2 – [9 + (5 – 1 ) – (2 + 8 – 9 ) + 6] – 7 } + 8 =
4) 26 + {5 – 3 [1 – (4 – 2 ) + 7] + ( 6 – 1 +3 )} + 4 =
5) 4 − {8 − 5 − [3 − 9 + 11 + (8 − 3) + 4 − (6 − 9) + 7] − 11} − 5 =
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14
Proporcionalidad
Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor
Sistema Métrico Legal Argentino
Proporcionalidad - Regla de tres simple
Dos magnitudes son directamente proporcional porque a medida que una magnitud aumenta la
otra también aumenta, o si una disminuye, la otra también disminuye.
Ejemplo: Para una fiesta de 100 personas se consumen 175 litro de bebidas, si quiero hacer una
fiesta para 120 personas necesito más bebidas.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales porque a medida que una aumenta la otra
disminuye o viceversa.
Ejemplo: Si para construir una casa con 3 albañiles se necesitan 180 días, pero si tengo 5 albañiles
voy a demorar menor tiempo en construir.
Actividades
1) Si una canilla arroja 3 litros por minuto, ¿cuántos litros arroja en una hora y media que esté
abierta?
2) Un patrón abonó $ 7600 a sus 8 obreros, por día de trabajo. ¿Cuánto abonará al día
siguiente a sólo 5 obreros?
3) Para revestir un zócalo se necesitan 30 mármoles de 0,65 m de ancho. Si se revistiera con
mármoles de 0,50 m de ancho. ¿Cuántos se necesitarían comprar?
4) Un industrial se comprometió a entregar un trabajo en 10 días, contando con 9 máquinas
(exactamente iguales). Si 4 de estas máquinas dejaron de funcionar, ¿cuántos días se
demoró la entrega?
5) El metro de tela cuesta $16,50. ¿Cuánto debió pagar Elena si le hicieron un descuento del
5% por pago al contado?
6) Ana compra una plancha de $375 con un 12 % de descuento por pagar en efectivo, ¿cuánto
pagó por la plancha?
7) Juan compra un jeans con tarjeta, por lo que le hacen un 5% de recargo por pagar con
tarjeta. Si el pantalón sale $890, ¿cuánto paga el jeans con la tarjeta?
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15
MÚLTIPLOS Y DIVISORES
Definimos:
•
Un número a es divisible por otro número b, si el resto de la división de a por b es 0 (cero);
es decir: si el cociente es exacto.”
Si a : b = c entonces a = m . b
•
Los múltiplos de un número son aquellos que se obtienen al multiplicar a éste por un
número natural.
Ejemplo: Múltiplos de 4
•
4.2=8
4 . 3 = 12
4 . 5 = 20
Un número es divisor de otro si lo divide en forma exacta.
Ejemplo: Divisores de 12
3
4
6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
Para tener en cuenta:
- El 1 es divisor de todos los números: “n : 1 = n”
- Todo número es divisor de si mismo: “n : n = 1”
- El 0 (cero) es múltiplo de todos los números: “n . 0 = 0”
- Todo número es múltiplo de si mismo: “n = n . 1”
“Un número es divisible …”
Por dos: cuando termina en 0 o número par. Ejemplos: 24, 238, 1024.
Por tres: cuando sumadas sus cifras dan como resultado un número que se pueda dividir
exactamente por tres. Ejemplo: 564 ya que 5 + 6 + 4 = 15.
Por cuatro: cuando las dos últimas cifras es divisible por 4. Ejemplo: 516
Por cinco: cuando termina en 0 (cero) o en 5 (cinco). Ejemplos: 40, 7525.
Por 6: si es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo. Ejemplo: 516.
Por diez: cuando termina en cero. Ejemplo: 10, 520.
Escribimos ejemplos juntos:
a) Escribe 5 números de dos cifras divisibles por 5:………………………………………………………
b) Escribe cinco números de tres cifras divisibles por 3:……………………………………………….
c) Escribe 5 números de dos cifras divisibles por 6:……………………………………………………..
d) Escribe 3 números divisibles por 10:…………………………………………………………………………
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16
Actividades
1) Responder sí o no a cada una de las siguientes preguntas y justificar la respuesta.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
¿42 es divisible por 7?
¿63 es múltiplo de 21?
¿7 es divisor de 42?
¿6 es múltiplo de 13?
¿1 es divisor de 100?
¿18 es divisible por 3?
¿18 es divisible por 18?
¿29 es divisor de 29?
2) Indicar cuatro múltiplos de cada uno de los siguientes números.
a) 11:
b) 15:
c) 32:
d) 7
3) Escribir los números menores que 90 que sean múltiplos de 3 y 4 a la vez.
4) ¿Cuál es primer múltiplo de 9 mayor que 108?
5) Escriba tres números que sean múltiplos de 3, 4 y 5 a la vez.
6) Escriba todos los divisores de 36.
7) Indicar Verdadero o Falso. Justificar en cada caso.
a)
b)
c)
d)
Todo número es múltiplo de sí mismo.
Si un número es divisible por 5 entonces es múltiplo de 2.
8 sólo es múltiplo de 1, 2 y 4.
El 1 es divisor de todos los números.
Números primos
Son aquellos que tienen solamente dos divisores el 1 y el número dado.
Ejemplo: el 13, porque los únicos divisores son el 1 y el 13
Números coprimos o primos entre si
Dos números son coprimos entre sí cuando el único divisor común entre ellos es el 1.
Ejemplos: 6 y 7
5 y 8
11 y 3
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17
Números compuestos
Son aquellos que tienen más de dos divisores.
Ejemplos: 8, 34, 27
Para tener en cuenta: El 1 no es primo ni compuesto.
El único número primo y par es 2.
Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11…
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes a esos
números.
Ejemplo: para calcular el M.C.M de 12 y 18 procedemos de la siguiente manera:
Los múltiplos de 12 son: 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; etc…..
Los múltiplos de 18 son: 18 ; 36 ; 54 ; 72 ; etc…..
El M.C.M = 36 (ya que es el menor de los múltiplos en común)
Máximo común divisor
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes.
Ejemplo: calcularemos el M.C.D de 12 y 18:
Los divisores de 12 son: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
Los divisores de 18 son: 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
El M.C.D de 12 y 18 = 6
Actividades
1) Marcar con una x los pares de números que son coprimos.
a) 4 y 15
b) 8 y 18
c) 10 y 15
d) 18 y 27
e) 11 y 38
f) 21 y 56
g) 25 y 36
h) 93 y 100
i) 50 y 64
2) Calcula el mcd y el DCM de los siguientes números:
a) 9, 3 y 5
b) 120 y 60
c) 72 y 135
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18
3) Luli va a natación cada 4 días y Agustín, cada 6 días. Hoy fueron juntos. ¿Dentro de cuántos
días volverán a encontrarse en natación?
4) Tres deportistas corren alrededor de una pista para entrenarse. Para dar una vuelta
completa, Martín tarda 120 segundos, Guille 160 segundos y Santi 180 segundos. Partieron juntos a
la 8:00 hs
¿Cuánto tiempo pasará hasta que vuelvan a encontrarse, si consideramos que los tres tardan
siempre lo mismo?
Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA)
Medidas de longitud
Múltiplos
mam
10000m
miriámetro
Dam
10m
Decámetro
unidad
m
1m
metro
submúltiplos
Dm
Cm
0,1m
0,01m
Decímetro Centímetro
Múltiplos
Kg
Hg
Dag
1000g
100g
10g
kilogramo Hectogramo Decagramo
unidad
g
1g
gramo
Dg
0,1g
Decigramo
Km
1000m
kilómetro
Hm
100m
Hectómetro
mm
0,001m
milímetro
Medidas de masa
mag
10000g
miriagramo
Medidas de capacidad
Múltiplos
mal
Kl
hl
10000 l
1000 l
100 l
mililitro
kilolitro
hectolitro
Dal
10 l
Decalitro
submúltiplos
Cg
mg
0,01g
0,001g
Centigramo Miligramo
unidad
l
1l
litro
Submúltiplos
Dl
Cl
Ml
0,1 l
0,01 l
0,001 l
Decilitro
Centilitro
Mililitro
unidad
m2
1m2
metro
cuadrado
dm2
0,01m2
decímetro
cuadrado
Medidas de superficie
Múltiplos
mam2
km2
hm2
2
2
100000000m 1000000m
10000m2
miriámetro
kilómetro hectómetro
cuadrado
cuadrado
cuadrado
dam2
100m2
decámetro
cuadrado
Submúltiplos
cm2
mm2
2
0,0001m
0,000001m2
Centímetro milímetro
Cuadrado
cuadrado
Actividades
1) Completar los siguientes cuadros:
Hm
Dm
M
Dam
2,78 m
0,00573 km
34,9 cm
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19
L
Dl
Kl
Hl
hm2
dm2
m2
dam2
52,78 cl
573 kl
34,9 cl
2,78 m2
0,00573 km2
34,9 cm2
2) Observar la capacidad de cada recipiente y responder:
a) ¿Cuántos baldes se pueden llenar con el agua que cabe en el tanque?
b) ¿Cuántas jarras se pueden llenar con el agua que entra en el balde?
c) ¿Cuántos vasos se pueden llenar con el agua que cabe en la jarra?
3) Resolver las siguientes operaciones y expresar el resultado en la unidad que se indica entre
paréntesis.
a) 5 m + 0,002 km + 7000 mm =
(cm)
b) 4,5 cm + 1260 mm + 0,12 m =
(dam)
c) 0,2452 hg + 72000 cg + 850 dg =
(dag)
4) Se compran 5 litros de aceite, luego 450 cl y por último 0,35 dal. ¿Cuántos litros de aceite se
compraron?.
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20
5) Completar los casilleros, realizando las operaciones indicadas.
+ 2,4 dam
45,5 m
- 0,25 hm
+ 452 dm
+ 70 cm
6) Se quiere alambrar un campo de la siguiente forma:
a
b
el lado ab mide 23 m
el lado bc mide 0,19 hm
d
el lado cd mide 3600 cm
c
el lado ad mide 15000 mm
Sistema de numeración romano
Si se quiere dar tres vueltas. ¿Cuántos metros de alambre se necesitan?
7) Raúl compró un rollo de alambre de 500 m. Cortó 32 dam para corrales, 2000cm para atar
fardos y luego, 0,15 km para cercar unas plantas. ¿Cuántos metros quedan en el rollo?
8) En un campo se cosecharon 386,25 dag de maíz, 3250 kg de sorgo y 2543 hg de trigo. ¿Cuántos g
de cereales se cosecharon?
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21
Números Racionales Positivos:
Concepto de fracción, interpretación en la recta numérica, equivalencias y
comparación. Expresión decimal. Operaciones de Suma, Resta, Multiplicación y
División. Operaciones combinadas.
Las fracciones son divisiones indicadas.
Ejemplos:
4 : 5 se escribe
4
5
el 4 es el numerador el 5 es el denominador
1 : 3 se escribe
1
3
1 es el numerador y 3 el denominador
son las que expresan una o varias partes iguales en que se divide la unidad.
4
5
En el primer ejemplo
7
3
Si se tiene la fracción
el numerador indica las partes que se toma de la unidad
el denominador indica las partes en que se divide la unidad
la unidad se divide en 3
+
+
=
7
3
Propias: el numerador es menor al denominador
Clases de fracciones:
Impropias: el numerador es mayor al denominador
Aparentes : tienen un valor entero
Descubrí que fracción representa cada letra. Luego ubica
0
A
B
1
1
3
7
3
6
3
2
5
y
3
2
C
D
2
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22
Número mixto: toda fracción impropia se puede transformar a número mixto
Ej:
7
1
=3
2
2
El número mixto es la suma del entero más la fracción propia
1
1
= 3 +
2
2
6 1
= +
2 2
7
=
2
3
Fracciones equivalentes:
Simplificación de fracciones:
3
6
9
=
=
4
8
12
12
3
dividimos numerador y denominador por el mismo número
=
8
2
Comparación de siguientes fracciones
3
4
9
12
5
,
2
,
Igualamos los denominadores ( mínimo común múltiplo )
,
4
12
30
9
>
>
12
12
4
12
,
30
12
1
3
La mayor es la que tenga mayor numerador
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23
Actividades
1) Escribir los siguientes números en el casillero correspondiente del cuadro.
2
3
2,1
4
3
3
9
3,4
Números entre 0 y 1
1
2
2
5
1,2
0,3
Números entre 1 y 2
5
6
50
100
2,3
Números entre 2 y 3
9
4
5
2
3
4
Números entre 3 y 4
9
2
4,3
Números entre 4 y 5
2) Representar en la recta numérica. Para cada ítem usar diferentes rectas.
7 −1 1
a) , y
3 2 6
2 5 1
b) , y
3 12 9
c)
− 3 9 4 15 − 3
, , , ,
2 5 2 10 5
3) Simplificar hasta obtener una fracción irreducible.
a)
27
6
30
b) 18
c)
24
40
d)
150
48
4) Ordenar de mayor a menor los siguiente números.
3
7
3
2
1,2
0,56
0,43
5
2
3
4
5) Completar con los números que faltan para que sean equivalentes (1,50 puntos)
3
4
a) =
100
=
15
b) 18 = 9 =
20
c)
100
4
=
1 8
=
3
6) Comparar los siguientes números
a)
d)
21
8
……..
30
9
4
6
………..
9
13
b)
e)
14
17
………
5
8
6
8
.........
11
9
c)
f)
20
60
……….
18
54
8
8
............
3
5
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Operaciones con números racionales
Suma y Resta
a) Si tienen el mismo denominador se coloca el mismo denominador y los numeradores se
suman o se restan según corresponda.
4 5 1 10
+ + =
3 3 3 3
b) Si tienen distintos denominadores, primero debemos obtener fracciones equivalentes que
tengan el mismo común denominador. Para ello calculamos el M.C.M.
Ejemplos:
1)
3 1 1 18 4
3
+ + =
+
+
4 6 8 24 24 24
3 1 1 18 + 4 + 3
+ + =
4 6 8
24
ó
25
24
1
=1
24
25
24
1
= 1
24
=
2)
=
1 3 9 6
2 − = −
4 2 4 4
=
ó
9 3 9−6
− =
4 2
4
3
4
=
3
4
Nota: debes trabajar siempre con fracciones irreducibles
Multiplicación
En esta operación conviene hacer todas las simplificaciones posibles, siempre un numerador con
un denominados de la misma fracción o fracciones distintas
1
7
3
recuerda que siempre multiplicamos en forma horizontal
2 14 6 3
⋅ ⋅ =
5 8 7 5
4
2
1
1
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25
División
Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción por el inverso de la segunda fracción
4 6 4 10
:
= ⋅
5 10 5 6
4
=
3
1
= 1
3
Potenciación de números fraccionarios
(2 )
2
  = 4
(3)
3
16
=
81
4
4
Se eleva el numerador y el denominador por separado
Radicación de números fraccionarios
3
3
8
2
8
2
= ⇒  =
27 3
27
3
Actividades
1) Resolver los siguientes cálculos.
1 3
a) 2 + − =
5 5
e)
4 1 3
+ + =
3 2 4
b)
1
3
+2− =
3
5
f)
3
2 7
+2 − =
4
3 3
c)
10 3
⋅ =
12 2
g)
5 5
: =
3 2
d)
9
5
−1+ =
4
4
3
5
7

h)  − 3  + =
4
2

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26
2) Resolver los ejercicios combinados: (simplificar cuando sea posible)
2
1 1
3
5  8
a)  − 1 : +
+1+ + =
4
2 3
3  9
b)
13 25
1
−2 +3 =
.
10 26
2
2
0
 3 1 3  4
c)  +  . −   =
 2 3  11  5 
2
5
 11
d ) 2 2 − 10 2 − 7.3 + 2 +  − 2  + =
2
2

2
e)
9 3 3 1  2 7 
:  −
+  1 − + 1 =
12  4 
27  3 3 
3) Resolver los siguientes problemas.
a) Un ciclista recorrió 105 km en 3 días. El primer día hizo un tercio del camino y el segundo
día dos quintos. ¿Cuántos kilómetros recorrió cada día? ¿Qué fracción del camino hizo el
tercer día?
b) Un confitero compró 7 kg 2 hg de caramelos, abonando $172,80. Llenó con esa cantidad
bolsitas de 150 g cada una . ¿A como se deberá vender éstas si desea ganar la tercera parte
de lo que gastó?
c) Calcula cuántos hl de agua contendrá un depósito al cabo de 5 horas durante las cuales tres
canillas arrojaron líquido a razón de: 42 dl por minuto la primera; 3458 cl cada 10 minutos
la segunda, y la tercera 1758 ml por minuto.
Números decimales:
Las fracciones se las pueden escribir en otra forma (como número decimal):
Ej:
3
= 0,6
5
A su vez, los números decimales pueden expresarse como fracciones.
6
3
=
Ej: 0,6 =
10
5
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27
Ejemplo:
Elena compró un trozo de tela de 3,60 m de largo. Para hacerse un vestido necesita sólo las dos
terceras partes de la tela.
a) ¿Qué parte del trozo queda sin usar y cuántos metros son?
b) El metro de tela cuesta $16,50. ¿Cuánto debió pagar Elena si le hicieron un descuento del 5%
por pago al contado?
Resolución :
largo total
3,60 m
C.A
2
1
a) se necesitan del total por lo tanto queda sin usar
3
3
largo total ……….3,60 m
1
1
de 3,60 = . 3,60
3
3
= 1,20 m
b)
1 metro cuesta…………………..$ 16,50
3,60 m ……………………….16,50 . 3,60 = $ 59,40
100% …………………………$ 59,40
59,40.5
= $2,97
100
Precio total………………………$ 59,40
Descuento……………………… $ 2,97
Total a pagar…………………….$ 56,43
5%......................................
3,60
0,6
00
3
1,20
16,50
3.60
9900
4950
59,40
59,40
5
297,00
R= a) queda sin usar la tercera parte y son 1,20 m
b) Elena debió pagar $ 56,43
Actividades
1) Resolver:
1
7

a)  4 + − 2  : 3,5 =
2
10 

7 3
2
b)  − 2,4 +  ⋅ =
2 2
3
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28
4

c) 15,5 − 0,7 + 3  ⋅ (12 − 0,32 − 2,18) =
5

d) 34,65 : 10,5 =
3
2
4 2

 5 1
e)  2 −  :   + 3 1 −  ⋅ =
3 3

 8 3
2
5

f) 5 :  2 −  + 2 − 4 ⋅ 0,34 =
4

2) Resolver los siguientes problemas.
a) Con el agua mineral de una botella de ¾ litro se llenan 4 copas de 112 cm3 de capacidad.
¿Cuántos dl quedan? ( Recuerda que 1 litro = 1 dm3 )
b) Los tres séptimos de los alumnos de un curso no realizan ningún deporte, la mitad juega al
futbol y los otros practican tenis. ¿Qué fracción del total practica tenis?
c) Ignacio y Ana sacaron la plata de la alcancía y cada uno se quedó con la mitad. Ignacio fue al
quiosco y gastó un tercio de lo que tenía; Ana fue a la librería y gastó siete noveno de su
mitad. ¿Qué parte del dinero que había en la alcancía gastaron entre los dos?
d) Un mochilero recorre 210 km de la siguiente manera: dos tercios en ómnibus, dos séptimos
en camión y el resto a pie. ¿Cuántos km recorre a pie?
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29
Recta, semirrecta, segmento, mediatriz de un segmento, ángulo y bisectriz de un
ángulo. Sistema sexagesimal, operaciones con ángulos. Ángulos adyacentes,
complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice.
RECTA
SEGMENTO
SEMIRRECTA
RECTAS PARALELAS: son rectas que no tienen ningún punto en común.
RECTAS PERPENDICULARES: dos rectas son perpendiculares cuando se cortan en 4 ángulos rectos
Mediatriz de un segmento: es la recta perpendicular al segmento y pasa por el punto medio del
mismo. (es decir divide al segmento en dos partes iguales )
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30
Trazado:
Para trazar la mediatriz de un segmento , se debe tomar
el compás con una abertura mayor a la mitad del segmento
y dibujar arcos desde
cada uno de los extremos del
mismo.
Para finalizar, se dibuja la recta que pasa por las
intersecciones de los arcos formados.
a
b
Ángulos
En el primer caso se lee: ángulo abc
En el segundo:
ángulo pqr
Y en el tercero:
ángulo mpt
RECUERDA: los lados de un ángulo son semirrectas
Se pueden utilizar letras del alfabeto griego:
En las figuras, podemos utilizar otra notación:
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31
Bisectriz de un ángulo: es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales
Trazado:
Para trazar la bisectriz de un ángulo se debe tomar el
compás desde el vértice del mismo y dibujar un arco que
corte ambos lados.
Desde las intersecciones del arco trazado y los ángulos del
ángulo, se trazan otros dos arcos de igual medida dentro
del sector angular.
Con la regla se dibuja una semirrecta con origen en el
vértice del ángulo que pase por el punto común de los dos
arcos trazados antes.
Clasificación de ángulos
Primeramente podemos clasificar los ángulos en cóncavos y convexos:
- Cóncavos: Miden más de 180º y menos de 360º.
- Convexos: Miden hasta 180º.
Ejemplos:
Ángulos convexos
Ángulos cóncavos
En segundo lugar, clasificamos los ángulos convexos en:
- Llano: Mide 180º
Sus lados son semirrectas opuestas.
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32
- Obtuso: Mide más de 90º y menos de 180º
Es menor que un llano
- Recto: Mide 90º
Sus lados están en recatas perpendiculares
- Agudo: Mide menos de 90º y más de 0º
Es menor que un recto
- Nulo: Mide 0º
Actividad: Completar las siguientes oraciones:
a) Un ángulo de 45º es …………………
b) Un ángulo de 100º es …………………
c) Si sumamos dos ángulos rectos, obtenemos un ángulo …………………
d) Si sumamos un ángulo agudo y uno recto, obtenemos un ángulo …………………
e) Si sumamos un ángulo obtuso y uno nulo, obtenemos un ángulo …………………
Sistema sexagesimal
El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados,
minutos y segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad. En la
medición de ángulos 1 grado son 60 minutos y 1 minuto son 60 segundos.
Es decir: 1º = 60’ y 1’ = 60’’.
Operaciones con ángulo: Ejemplos
Suma:
Resta:
32º 24’ 48’’
+
52º 23’ 18’’
-
43º 49’ 25’’
43º 49’ 25’’
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33
Multiplicación
32º 23’ 49’’
x 5
División
37º 48' 25'' l
5
Actividades
1) Resolver las siguientes sumas y restas
a) 68º 35' 42'' + 56º 46' 39'' =
b) 120º 43' + 56º 19' 39'' + 15’ 20’’ =
c) 230º 25' 19'' – 108º 49' 38'' =
d) 429º 32' – 190º 26' 54'' =
2) Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones:
a) (132° 26' 33'') × 5 =
b) (128° 42' 36'') × 3 =
c) (132° 26' 33'') : 3 =
e) (226° 40' 36'') : 6 =
f) (27º 38’ 45”) : 5 =
3) Un ángulo mide 137º 55’ 8’’; halla los ángulos que quedan determinados al trazar su bisectriz.
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34
Definiciones:
Segmentos consecutivos: dos segmentos son consecutivos cuando tienen uno de los extremos en
común.
Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado en común
Ángulos complementarios: dos ángulos son complementario cuando sumados dan 90º.
Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios cuando sumados dan 180º.
Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios.
Ángulos opuestos por el vértice: dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno
de ellos son semirrectas opuestas de los lados del otro.
Complementarios
Suplementarios
∝
Adyacentes
β
Opuestos por el vértice
∝ = β
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35
Actividades
1) Calcular el complemento de 34º 57’ 12”
2) Calcular el suplemento de 79º 54”
3) Calcula el ángulo β de la figura
∝ = 40º
34”
4) Calcula el ángulo adyacente al ángulo λ = 120º 35’ 49’’
5) Calcula el suplemento del complemento del siguiente ángulo: β = 72º 56’ 46”
6) Calcula las ¾ partes del siguiente ángulo: 167º 23’ 12”
7) ¿Cuál será el valor del ángulo,
a) Si su tercera parte vale 53º ? =
b) Si su duplo mide 48º 48” ? =
c) Si su mitad mide 92º 07’ 54” ? =
d) Si su triplo mide 139º 56” ? =
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Polígonos:
Polígonos regulares( triángulo, cuadrado, rectángulo y paralelogramo). Perímetros y
áreas. Círculo y circunferencia (definiciones, área y longitud). Áreas sombreadas.
Triángulos
Clasificación:
Perímetro: es la suma de sus lados :
P = ab + bc + ac
Superficie de un triángulo:
B.H
S=
2
La altura es siempre
perpendicular a la base
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Actividades
Justificar con todos los cálculos correspondientes
1) Calcular el perímetro de un triángulo equilátero, siendo el valor del lado igual a 17 cm.
2) Calcular el valor de los lados de un triángulo isósceles siendo el perímetro igual a 380 mm y el
valor del lado desigual 12 cm.
3) Se desea cercar con alambre un cantero triangular de 250 cm ; 7,50 m y 0,68 dam . ¿Cuántos
metros de alambre se necesitan si se dan tres vueltas?
4) El perímetro de un triángulo escaleno es de 56 cm. Un lado mide 20 cm y el otro 6/5 de esa
longitud. ¿Cuánto mide cada lado?
5) En un triángulo obtusángulo isósceles uno de los ángulos interiores mide 23º 47’ 30”. Calcular el
valor de cada uno de los ángulos interiores del triángulo.
Resolución (problema 5)
Nos ayudaremos con un esquema (dibujo)
b
C. A
Si es isósceles ab = ac por lo tanto b = c
α = β miden cada uno 23º 47’ 30”
α
γ
a
β
para calcular γ sumamos primero α y β
c
α + β = 47º 35’
23º 47’ 30”
2
46º 94’ 60”
46º 95’ 00”
47º 35’
por la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo
γ = 180º − ( α + β )
γ = 180º – 47º 35’
γ = 132º 25’
R :
179º 60’
– 47º 35’
132º 25’
α = 23º 47' 30”
β = 23º 47’ 30”
γ = 132º 25’
6)Nota:
Calcula
superficie
de un
triángulo sabiendo
que
baseángulos
mide 4,50
m y su altura
5/3 de
la
se la
puede
verificar
realizando
la suma de
loslatres
interiores
(debe dar
180º)
6) Un pintor letrista cobra, por pintar el fondo de carteles grandes de propaganda, $220 el m2.
1
4
¿Cuánto se le habrá abonado por pintar 5 carteles de 6 m de largo por 2 m de alto?
5
5
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7) La tercera parte de una plaza triangular se la destina para canteros y el resto se le colocan
baldosas de 900cm2. Cuantas baldosas se necesitarán y cuántos m2 está destinada para los canteros
si los lados de la plaza miden: 46 m , 5650 cm y 4,2 dam
8) Calcula la superficie del triángulo abc y la medida del lado ac
9) Calcula los ángulos interiores
del triángulo abc
10) Calcula β y γ
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Cuadriláteros
Cuadriláteros:
P
A
R
A
L
E
L
O
G
R
A
M
O
S
Características más importantes
propiamente dicho
P
A
R
A
L
E
L
O
G
R
A
M
O
S
E
S
P
E
C
I
A
L
E
S
NO PARALELOGRAMOS: Romboide - Trapecio - Trapezoide
Romboide: es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados consecutivos iguales
c
ab = ad
b
y
bc = cd
d
- las diagonales se cortan perpendicularmente
a
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Trapecio: es un cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos
ab = bc
Superficie de cada uno de los cuadriláteros
a
romboide
d
b
D.d
S =
2
c
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Trapecio:
Actividades
1) En un triángulo abc, de 2 m de perímetro, el lado ab mide 934 mm y el lado bc es 2/3 de ab.
¿Cuánto mide el lado ac en cm?
1
2) Una quinta tiene forma de trapecio; la base menor mide 8,40 m, la mayor es 2 veces
2
mayor que aquélla y los lados iguales no paralelos miden cada uno la tercera parte de la
suma de sus bases . ¿Cuánto dam mide el perímetro de la quinta?
1
3) ¿Cuántos dm2 tendrá la superficie de un terreno rectangular de 2 hm 5 m de base y 1 dam
2
de altura?
4) Se compró una hoja rombal de lata que se pagó a $3,5 el dm2 . Si la hoja medía 2,10 m de
diagonal mayor y la menor era la tercera parte de aquélla ¿Cuánto se pagó?
Circunferencia y círculo
Longitud de la circunferencia = 2 . π . R
Superficie del círculo
S = π . R2
NOTA: la circunferencia es el contorno del círculo
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Problemas de aplicación
Calcular el perímetro y área de cada figura. (Realizar todos los planteos)
1)
2)
3)
30 cm
50 cm
5 cm
Resolución del problema 2:
Cada lado del cuadrado mide 5 cm y el radio de la circunferencia mide 5 cm
El perímetro es la suma de tres lados del cuadrado más la cuarta parte de la circunferencia más
un radio de la circunferencia
C.A
Long de la circunf.= 2.π.R
= 2 . 3,14 . 5 cm
2. 3,14 . 5 =3,14.2.5
= 31,4 cm
= 3,14 .10
= 31,4
El cuarto de circunferencia es 7,85 cm
P = 5 cm .4 + 7,85cm
P = 27,85 cm
Ssomb = S (cuadrado) + S (cuarto círculo)
= L2 + ( π .R2 ) : 4
S = (5 cm)2 + 3,14 . 25 cm2 : 4
S = 25 cm2 + 19,625 cm2
S = 44,625 cm2
Rta: el perímetro es igual a 27,85 cm y la superficie sombrada 44,625 cm2
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Actividades
1) En un paralelogramo abcd uno de los ángulos mide 48º 36’ 54”. Calcular el valor de los otros
ángulos
2) En un trapecio isósceles los ángulos adyacentes a la base mayor miden cada uno de ellos
64º 35’ 30”. ¿Cuál es el valor de los otros ángulos? Confeccionar un esquema.
3) Calcular los ángulos indicados en cada uno de las figuras.
4) Calcular la superficie de cada una de las siguientes figuras.
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5) Calcular la superficie sombreada de cada una de las figuras.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6) Calcular la superficie de cada figura
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Números Enteros:
Números positivos y negativos. Interpretación en la recta numérica. Valor absoluto.
Orden y comparación.
Números enteros
Números naturales
+
Cero
+
Números negativos
Número enteros
Los números naturales se los llama números positivos. Así, el número 1 se representa por +1
el número 2 se representa por +2
etc…
La sucesión de números enteros es:
….. – 4; – 3 ; – 2 ; – 1 ; 0 ; +1 ; +2 ; +3 ; +4 ; +5 ; …………..
Representación en la recta numérica
Relación de mayor:
Valiéndonos de la representación gráfica, interpretamos que un número es mayor que otro
cuando el punto representativo del primero queda a la derecha del punto representativo del
segundo.
Ej: – 4 > – 7
– 4 es mayor a – 7
1 > –3
Relación de menor
–5 < –1
– 5 es menor que – 1
El cero es menor que cualquier número positivo y mayor que cualquier número negativo
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Actividades
1) Responder
a) Si un ascensor está en el piso 4 y desciende 6 pisos, ¿a que piso llega?
b) Si un buzo está nadando a 100 m de profundidad y una persona está a 100 m sobre el nivel del
mar, ¿cómo indicamos la posición de cada uno respecto al nivel del mar?
c) Si la temperatura subiese 3ºC, el termómetro marcaría 0ºC, ¿qué temperatura marca el
termómetro?
2) Simbolizar cada una de las siguientes situaciones con el número entero que corresponda:
a) 5 segundos antes del despegue
b) 17 segundos después del despegue
c) Momento del despegue
d) Tercer piso
e) Cuarto subsuelo
f) Año 324 después de Cristo
g) Año 6 antes de Cristo
h) 21 metros bajo el mar
i) Planta baja
j) Tengo $150
3) Ubicar en una misma recta numérica los números enteros: 0, 2, -3, 4, -4, 5 y -1.
4) Ordenamos de menor a mayor los siguientes números:
12, 3, -4, -5, 0, -100, -101, -99, -1, 1 y 5.
5) La familia de Pablo está formada por 6 integrantes, que son los padres y 4 hijos. Pablo consideró
su edad como el 0 y ordenó las edades de todos sus familiares en la siguiente recta numérica:
-10
-4
0
8
26 28
Responder:
a) ¿Cuántos hermanos mayores tiene Pablo?
b) ¿Cuántos son menores?
c) ¿Cuántos años se llevan sus padres?
d) Si Pablo tiene 19 años, ¿cuál es la edad de cada uno de los miembros de su familia? (Considera
que el padre es el mayor).
6) Indicar > ó < según corresponda:
2……….6
-7………..-6
-7………-1
-1………-3
-5………-2
-4……….-6
-3………-6
0……….-1
2……….-6
0………..-3
-4……….5
3……….-4
0………..7
-1…………1
5………..-5
6………..1
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7) Indica verdadero o falso en cada una de las siguientes afirmaciones según corresponda. Justifica
en cada caso.
a) El 0 es mayor que cualquier número positivo.
b) El 0 es menor que cualquier número positivo.
c) El 0 es mayor que cualquier número negativo.
d) El 0 es menor que cualquier número negativo.
e) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
f) Entre dos números negativos es menor el que está a mayor distancia del 0.
Valor absoluto y opuesto
• Llamamos valor absoluto de un número, a la distancia de éste al cero (0).
Ej: el valor absoluto de – 5 es 5
El valor absoluto de + 13 es 13
Se simboliza de la siguiente manera
–5
= 5
+ 13
= 13
• Llamamos opuesto de un número, al número con distinto signo que está a la misma
distancia del cero (0)
Entonces: -2 es el opuesto de 2
Actividades
1) Indicar verdadero o falso en cada una de las siguientes afirmaciones según corresponda.
Justificar en cada caso.
a) El valor absoluto de -15 es igual que el de 15.
b) El opuesto de un número negativo es positivo.
c) Si dos números tienen igual valor absoluto, son iguales.
d) Dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto.
e) El valor absoluto de -3 es mayor que el de 0.
2) Indicar
a) l 0 l =
b) l -1 l =
c) l -3 l =
d) l 2 l =
e) l 4 l =
f) l -4 l =
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3) Completa con >, < o = (mayor, menor o igual) según corresponda:
a) l -1 l ………… l 2 l
b) l 3 l ………… l -3 l
c) l 0 l ………… l -4 l
d) l -5 l ………… l -3 l
e) l 4 l ………… l 0 l
f) l -1 l ………… l -2 l
14. Indica el opuesto de: 1, 2, -2, 3, 4 y -5
15. Encontrar:
a) El número negativo que tiene valor absoluto 12
b) El número positivo que tiene valor absoluto 5
c) El número negativo que tiene valor absoluto 1
d) El número positivo que tiene valor absoluto 1
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Integración
1
1
y
. Represéntalas en una recta numérica. ¿Puedes
2
3
encontrar más de tres? ¿Cuántas? ¿Por qué?
1) Encontrar tres fracciones entre
2) ¿
1
1
1
1
es la mitad de
? o ¿
es la mitad de ?
6
12
12
6
3) Calcular la tercera parte de 4/9
4) De un barril de aceite se consumieron
3
2
del contenido. Luego, se consumieron más. ¿Qué
10
3
parte del barril quedó llena?
5) ¿Cuánto debo sumarle a 2,45 para llegar a 3 enteros? ¿Y para llegar a 4 enteros?
6) Si a 3,254 se le suma 5 centésimos. ¿Qué número se obtiene?
7) El auto de Rafa consume 1/8 de litro de nafta por cada kilómetro recorrido.
a) ¿Cuántos litros de nafta consume para hacer un trayecto de 12 km?
b) Si el auto recorre 12 km todos los días. ¿Cuántos litros consume en 5 días?
c) Si gastó ¾ de litro de nafta, ¿Cuántos kilómetros recorrió?
8) Mi papá da pasos de 60 cm. ¿Cuántos pasos tendrá que dar para recorrer 150 metros?
9)
biblioteca
computación
Útiles
Una escuela recibe una donación de $3.000.000
Se lo reparte de la siguiente manera:
Computación le corresponde un ángulo de 135º
Útiles un ángulo de 90º
Y el ángulo restante para biblioteca
¿Cuánto dinero le corresponderá a cada uno?
¿Qué porcentaje se destina para los útiles?
10) Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 3.x – 2,5 = 7,1
b) 5 = 2.x + 1,4
11) Para revestir un zócalo se necesitan 30 mármoles de 0,65 m de ancho. Si se revistiera con
mármoles de ½ metro de ancho ¿Cuántos serían necesarios?
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12) Un avión parte del campo de aviación a las 8h 45min 42 s , tardando 5h 50min 58 s en hacer
su recorrido. ¿A qué hora llegó a su destino ?
13) En un triángulo escaleno abc , el ángulo de vértice a mide 64º 36’ 12” , el ángulo de vértice b
es 3/2 del primero. ¿Cuál es el valor de los ángulos del triángulo?. Clasificar el triángulo según
sus lados.
14) Calcula el valor de los ángulos interiores del cuadrilátero abcd
δ = 116º 43’ 54”
α = 3/5 de δ
β = 23º 37’ 46”
15) A Lucio y Francisco les encanta jugar carreras en bici. Gana el primero en dar tres vueltas
completas alrededor del parque. (tiene forma rectangular de 9000 cm de largo por 70 m). Hoy
ganó Lucio. Ya había completado las tres vueltas mientras Francisco sólo había recorrido 7,20
hm.
a) ¿Cuántos metros corrió cada uno?
b) ¿Cuántas vueltas completas dio Francisco?
c) Si las radios de la bicicleta de Lucio miden 24 cm ¿Cuántos metros recorre su bicicleta
cuando la rueda da una vuelta?
d) ¿Cuántas vueltas completas dieron las ruedas de su bici durante la carrera?
16) Calcula la superficie sombreada
circunferencia
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17) Calcula en cm la longitud del paso de un andarín que empleó 2hs 12 min para recorrer
148 hm 5 dam, si marchaba a 150 pasos por minuto.
Solución:
C.A
Distancia total recorrida…… 148,5 hm a cm = 1485000 cm
1 min realizó ……………………150 pasos
2hs 12 min realizó………….
2hs 12min= 132min
1980 pasos
132
X
150
____________
660
+
132
____________
19800
19800 pasos…………………….1485000 cm
1 paso …………………….1485000: 19800= 75 cm
1485000
99000
000
19800
75
R= La long del paso es de 75 cm
18) Se compraron 2 partidas de jugo , de 3 hl 55 litros una y de 4 hl 9 dal otra, a $1,75 el litro.¿A
como se deberá vender el litro si se desea ganar $370 en total?
19) Un industrial emplea 242 hg 25 g de hierro en la confección de clavos cuyo peso es de 2,84 g.
¿Cuántos clavos obtendrá y cuánto le producirá su venta si fijara el precio de $8 la docena de
clavos?
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