Download Tema2_apuntesalumnos

TEMA 2: POTENCIAS Y
RAÍCES
Matemáticas 3º de la E.S.O.
1. Potencias con exponente entero
•  Potencias de exponente negativo
1
a = n
a
−n
Las potencias de exponente negativo cumplen las
mismas propiedades que las potencias de
€
exponente natural
1. Potencias con exponente entero
•  Una potencia de exponente natural es una forma
abreviada de escribir una multiplicación de factores
iguales
Recuerda…
exponente
0
n
a =1
para todo
a = a⋅ ...⋅ a
base
€
€
n-veces
a≠0
2. Raíz de un número entero
•  La raíz enésima de un número “a” es el valor “b” que al
elevarlo a “n” da como resultado “a”.
n
n
a =b⇔b = a
Donde n es un número natural
índice
raíz
n
€
radicando
a =b
Expresión radical
2. Raíz de un número
•  Se llama radical a una raíz no operada como:
3
7
2 , 3, 4
Según el índice, las raíces reciben diferentes
nombres:
cuadrada, cúbica, cuarta … enésima
€
3. Número de raíces. Radicales
equivalentes.
•  Dos radicales son equivalentes o iguales si tienen la
misma raíz.
•  Teorema fundamental de los radicales:
Si se multiplican o dividen el índice
del radical y el exponente del
radicando por un mismo número
natural distinto de cero, se
obtiene un radical equivalente
si
n
€
a≥0
q
a =
€
€
n⋅m
a
q⋅m
(m ≠ 0)
3. Número de raíces. Radicales
equivalentes.
EJEMPLO 1
n
q
a =
4
4
€
€
€
16 =
n⋅m
2⋅ 4
8
16
a
2
16 = 256
2=2
q⋅m
3. Número de raíces. Radicales
equivalentes.
EJEMPLO 2
n
q
a =
3
¿ −8 =
n⋅m
3⋅ 2
3
a
q⋅m
2
(−8) ?
6
¿ −8 = 64 ?
€
€
Se cumple, porque el
−2 ≠ 2
si
ejemplo no cumplía una de
sus premisas
€
€
€
a≥0
¿No se cumple el teorema?
n
a = n⋅ m a n⋅ m
(m ≠ 0)
3. Número de raíces. Radicales
equivalentes
EJERCICIO
•  Ej. 17 Pág. 30 Escribe tres radicales equivalentes a:
3. Número de raíces. Radicales
equivalentes
EJERCICIO
•  Ej. 18, Pág. 30 Comprueba si los radicales son
equivalentes.
3. Número de raíces. Radicales
equivalentes
EJERCICIO
•  Pág. 115. Ej. 33.
4. Propiedades de los radicales
Operación
Expresión
Producto y cociente de
radicales del mismo
índice
Producto y cociente de
radicales de distinto €
índice
€
Potencia de un radical
n
a ⋅ n b = n a⋅ b
n
a : n b = n a:b
€
€
3
2 ⋅ 3 5 = 3 2⋅ 5 = 3 10
Se reducen a índice
común y se aplica lo
€
anterior
( )
n
a
n m
Raíz de un radical
Ejemplo
m
= n am
a = n⋅ m a
€
( )
3
5 3
7
2
= 3 72
17 = 15 17
4. Propiedades de los radicales
EJERCICIO
•  Ej. 24 Pág. 31. Realiza estas operaciones:
4. Propiedades de los radicales
EJERCICIO
•  Pág. 31. Ej. 25 Introduce en el radical los números de
fuera
4. Propiedades de los radicales
EJERCICIO
•  Ej. 26 Pág. 31. Efectúa esta suma de radicales.
4. Propiedades de los radicales
EJERCICIO
•  Ej. 27 Pág. 31. Calcula el área sombreada de la figura
cuyas medidas están dadas en metros.
5. Potencias con exponente fraccionario
•  Un radical puede expresarse como una potencia de
exponente fraccionario
n
m
a =a
m
n
Este resultado se demuestra si se admite que las propiedades de las
potencias de exponente entero positivo deben conservarse para otro tipo
de exponentes.
n
€
am = a
m
n
€
(a)
n
m
n
m n
n
" %
= $a '
# &
€
m⋅ n
" m %n
m
$a n ' = a n = a
# &
5. Potencias con exponente fraccionario
EJERCICIO
Demuestra que 8
Lo expresamos como potencias
1
3
8 =2
1
3
= 3 23
3
3
€
Escribimos 8 como potencia
€
La igualdad se cumple
€
2=2
€
1
3 3
(2 )
=2
3
3
3
3
2 =2
3
3
5. Potencias con exponente fraccionario
EJERCICIO
¿Qué es mayor,
5 ó
3
7 ?
Para compararlos los pondremos bajo el mismo índice.
€
€
Expresándolos como potencias.
5 =5
3
7=7
€
5
€
3
6
2
6
€
7
€
1
2
Denominador
del exponente
1
3
Denominador
del exponente
€
6
6
5 3 €= 6 125
2
7 = 6 49
2
3
3
6
m.c.m de ambos
exponentes
6
2
6
€
€
€6 125 > 6 49
€
€
5
7
3
6
2
6
EJERCICIO
—  Pág. 33. Ej. 32 Escribe en forma radical estas
potencias.
EJERCICIO
—  Pág. 33. Ej. 33 Expresa estas raíces en forma de
potencia.
EJERCICIO
—  Pág. 33. Ej. 34 Calcula las raíces expresándolas
como exponente fraccionario.
6. Notación científica
•  Hay números que por ser muy grandes o muy pequeños se
expresarían con muchos ceros. La notación científica
permite expresarlos de forma más compacta.
x = a ⋅10
p
1 ≤ a ≤ 10
p es “orden de magnitud” de x
€
Notación científica
•  Escribe en notación científica estos números
EJERCICIO
—  Pág. 33. Ej. 34 Calcula las raíces expresándolas
como exponente fraccionario.
EJERCICIO
•  Ej. 35. Indica que pares de potencias son iguales.
EJERCICIO
•  Ej 37. Calcula:
EJERCICIO
•  Ej 39. Realiza las siguientes operaciones indicando los
radicales como potencias fraccionarias.
EJERCICIO
•  Ej. 45.
EJERCICIO
•  Ej. 47
La masa de la Luna es de 7,34·1023 kilogramos, y la de la Tierra, de 5,98·1024
kilogramos. ¿A cuántas Lunas equivale la masa de la Tierra?
EJERCICIO
•  Ej 71. Pág 37 Escribe estas potencias de exponente
fraccionario como radicales:
EJERCICIO
•  Ej 73. Pág 37. Calcula estas raíces expresándolas
primero como potencias de exponente fraccionario
EJERCICIO
•  Ej 76. Pág 37 Indica si son ciertas o falsas
EJERCICIO
•  Ej 82. Pág 37 Efectúa las siguientes operaciones:
EJERCICIO
•  Escribe en forma de potencias estas expresiones
EJERCICIO
•  T7-35. Simplifica estos radicales hasta conseguir un
radical irreducible:
EJERCICIO
•  T7-36 Reduce a índice común estos radicales
EJERCICIO
•  T7-40. Calcula esta suma de radicales
EJERCICIO
•  Extrae los factores de los siguientes radicales:
EJERCICIO
96. Escribe en notación científica los siguientes números:
EJERCICIO
•  Escribe en notación científica:
a) veinticinco millonésimas:
b) Tres cien millonésimas:
EJERCICIO
4
3110400
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
Introduce factores en el radical expresando los números
del radicando en potencias de factores primos
12x ⋅ z ⋅ y
24
z⋅ y
2
16x ⋅ z ⋅ y 2 3 5x ⋅ y 4
12 4 3
18 3 5⋅ 6
EJERCICIO
Extrae factores del radical
3
6
16
24 ⋅ x ⋅ z ⋅ y
5
3125⋅ x10 ⋅ z 25 ⋅ y 4
64 ⋅ x 6 ⋅ z12 ⋅ y16
7
256 ⋅ x 6 ⋅ y17
2
4
1. Extrae factores del
radical
x3 ⋅ a2
3. Calcula:
5. Simplifica:
8 + 2 − 18 + 50
6
a 3 x3 ⋅ a6 ⋅ c7
3
648 − 6 9
x 3 7 x 2 ⋅ y3 ⋅ c 7
3
xy ⋅ 3 x 2 y
3
x 4 y : 9 x 2 y3
3
768
4
2401
2. Opera:
2 ⋅10 −4 : 8⋅10 −5
0, 000000045 : 2 ⋅10 −4 =
9
512
2187
4. Introduce factores en el radical
expresando los números del radicando en
potencias de factores primos
3
27 30
75 5 10
16x ⋅ z 3 ⋅ y 4 4 z ⋅ y 2
MATEMÁTICAS PARA EDUCACIÓN
SECUNDARIA
Potencias y raíces.
http://losmaledukados.wordpress.com/