Download TEMAS 1 y 3.- NÚMEROS REALES Y ÁLGEBRA- 1

1º Bachillerato - Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012
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TEMAS 1 y 3.- NÚMEROS REALES Y ÁLGEBRA- 1
1.- TIPOS DE NÚMEROS. APROXIMACIONES DECIMALES
1.1.- Tipos de números (Págs 26,27,28 y 42)
Números racionales: Q . Son todos los números que se
pueden escribir en forma de fracción.
Además, si en una fracción el numerador es divisible por el
denominador se obtiene un número entero.
Recuerda que una fracción es el cociente indicado de dos
números enteros.
- Números racionales no enteros. Son todas las fracciones que NO
dan lugar a números enteros.
Cuando calculamos su expresión decimal siempre obtenemos un
número decimal exacto o periódico.
Por tanto, Q = {
a
b
/ a,b∈Z,b≠0}
Hay varios tipos de números racionales:
Números irracionales: I = “Números que NO se pueden
- Números enteros: Z = {...., -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,...}
expresar en forma de fracción” . Por ejemplo, π , las raíces no
exactas, etc
Los irracionales tienen una expresión decimal ilimitada no
periódica.
Números reales: R . Está formado por los números racionales y
los irracionales
El conjunto de los números enteros está formado a su vez
por los números naturales N = {0 , 1 , 2 , 3 , ....}
y sus opuestos Z = {-1,-2,-3,…} , llamados enteros
negativos
Números no reales (llamados números complejos). Proceden de
hallar raíces cuadradas de números negativos
Ejercicio
Todos estos números son racionales porque los podemos
expresar en forma de fracción.
Pág 28 : El 1
1.2.- Aproximaciones de números (Págs 37,38,39 y 42)
Si sólo conocemos el valor aproximado, entonces
Aproximar un número real es tomar otro número próximo a él.
e
Las aproximaciones más comunes son: el redondeo y el
truncamiento
A
<
k
2
= cota de error
El error relativo de una aproximación es el cociente entre el
Cuando tomamos una aproximación de un número, se llama
orden de aproximación al orden de la última cifra decimal que
se toma.
error absoluto y el valor exacto:
eR =
eA
vr
.
El orden de aproximación lo vamos a representar con la letra k
El error relativo no lleva unidades y se suele expresar en forma
de porcentaje, llamado “error porcentual”
Por ejemplo, si la aproximación tiene 1 cifra decimal,
k = 1 décima = 0,1 ;
si tiene 2 cifras, k = 1 centésima = 0,01; etc
El error absoluto de una aproximación:
e
= | v - v | , siendo v el valor real y
A
r
a
r
aproximado
Ejercicios
v
a
el valor
Pág 38 : El 1
- Luis ha redondeado el número 2,75 a las décimas y Ana ha
truncado el número 283 a las decenas.
Calcula el porcentaje de error relativo que ha cometido cada
uno y explica qué aproximación es la mejor, la de Luis o la de
Ana
Si el valor real tiene infinitas cifras, entonces
e < k = cota de error
A
- Si tomas como valor de 11 la aproximación 3,316, ¿qué
cota de error absoluto y relativo has cometido?
1
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2.- POLINOMIOS
2.1.- División de polinomios. Regla de Ruffini
m
División entre monomios: Ax
n
: Bx = (A : B) x
m-n
Ejercicios
1 Averigua si la división P : Q es exacta y haz la prueba de la
división, siendo
División de polinomios:
2
P |___Q__
R
C
2
Q=2–x
P = dividendo, Q = Divisor , C = cociente , R = resto .
Se cumple que
3
P = (3x – 2x) + x - (2x+1)(2x–1)
2
2 ¿Cuánto han de valer a y b para que la siguiente división
P=Q.C+R
sea exacta?
Si la división es exacta (R = 0), entonces P es divisible
por Q y se cumple que P = Q.C
4
3
2
2
(x – 5x + 3x + ax + b) : (x – 5x + 1)
3 Usando la regla de Ruffini, averigua cuánto debe valer m
2
Regla de Ruffini: Es un método para dividir un polinomio entre
un binomio del tipo x + a ó x - a. Este método es mucho
más rápido que el método tradicional.
3
para que el resto de la división (mx – x + 3):(x+2)
valga -9.
Para el valor de m hallado, indica cuál es el cociente de la
división
2.2.- Factorización de polinomios.(Págs 70 y 71)
1) Método de "sacar factor común" . Se usa cuando el polinomio
no tiene término independiente.
Raíz de un polinomio
Si el valor numérico de un polinomio para x = a
se dice que “ a ” es una raíz del polinomio
es cero,
Se saca factor común el mcd de todos los coeficientes y la menor
potencia de x que aparezca en el polinomio.
Las raíces enteras de un polinomio siempre son divisores
del término independiente del polinomio.
Luego para hallar las raíces enteras de un polinomio
buscamos de entre los divisores del término independiente
aquellas que dan valor numérico 0.
Podemos hallar el valor numérico usando el teorema de
resto, que dice:
El valor numérico de un polinomio P(x) para x = a
coincide con el resto de la división P(x) : (x - a).
2) Método de las igualdades notables . Se usa cuando el
polinomio se puede expresar como cuadrado de una suma,
cuadrado de una resta o suma por diferencia.
3) Método de la división . Se usa cuando no se pueden aplicar los
métodos anteriores.
Se halla una raíz " a " del polinomio y se divide el polinomio
entre (x - a) , entonces P(x) = (x – a ). C(x) ,
Después se vuelve a repetir el proceso con el cociente obtenido.
Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de
otros polinomios del menor grado posible
El método acaba cuando el cociente no tenga raíces enteras o
tenga grado 1
Ejercicios
Hay varios métodos para factorizar un polinomio:
Pág. 71: El 1 y 2
; Pág. 92: El 1
3.- FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una fracción algebraica es aquella que lleva alguna letra en el denominador.
3.1.- Simplificación de fracciones algebraicas (Págs 72 y 88)
Para simplificar una fracción algebraica, se factorizan numerador y denominador y después se simplifican los factores que se
repitan en numerador y denominador. También se puede simplificar dividiendo numerador y denominador por el mcd
Ejercicio
Pág. 92 : El 4
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3.2.- Producto, cociente y potencia de fracciones algebraicas (Pág 74)
Producto:
Cociente:
P
Q
P
Q
.
:
R
S
R
S
=
=
n
n
P
P
Potencia:   =
n
Q
Q
PR
QS
P
Q
.
S
R
=
PS
Ejercicios
QR
Pág. 74: El 3 y 4
3.3.- Suma y resta de fracciones algebraicas (Pág 73)
- Con el mismo denominador:
P
Q
+
R
Q
=
Ejercicios
P+R
Q
Pág. 73: El 1 y 2
- Con distinto denominador: En este caso, se reducen a
común denominador usando el mcm de los denominadores,
y se aplica lo anterior.
3.4.- Operaciones combinadas con fracciones algebraicas
Se realizan por este orden:
1º) Multiplicaciones
2º) Sumas y restas
Ejercicios
Pág. 92: El 5 y 6
Si hubiese paréntesis o corchetes se harían primero las
operaciones dentro de ellos
4.- RADICALES
4.1.- Concepto de radical. Soluciones de un radical (Pág 31)
5
Si tienes que resolver la ecuación x = 32 , sabes que
x = 5 32 = 2 .
5 32 se llama radical. (5 es el índice y 32 es el radicando).
n
En general, la solución de una ecuación del tipo x = a ,
donde n ∈ N , n ≥ 2 , se expresa de la forma: x = n a
y se llama radical o raíz (n es el índice y a es el radicando)
Si el índice es 2, se llama raíz cuadrada y se expresa
a
Las raíces no siempre son exactas. Por ejemplo, 3 100 no es
exacta porque no hay ningún número natural que elevado al cubo
nos de 100.
Eso no quiere decir que no se pueda calcular. Se puede hallar una
aproximación por tanteo o con la calculadora científica
Por tanteo: Buscamos el primer número natural que elevado al
3
cubo se pase de 100; este número es 5, pues 5 = 125.
3 100 ≈ 4
Luego, 4 < 3 100 < 5 ;
1/y
Con la calculadora científica: 100 x
El resultado es un número irracional.
El número de soluciones de un radical depende del índice y
del radicando
Índice par
Radicando
positivo
2 soluciones opuestas.
Por ejemplo, 4 81 = ± 3
Radicando
negativo
Ninguna solución.
Por ejemplo, 4 -16
Índice impar
1 solución
positiva.
Por ejemplo,
3 125 = 5
1 solución
negativa.
Por ejemplo,
3 -8 = -2
3 = 4.641588834…..
Ejercicios
1 Averigua cuántas soluciones tienen los siguientes radicales y
calcúlalas: a) 81
b) 4 16
c) -9
d) 3 8
e) 3 -27
f) 4 -625
2 Halla con la calculadora las siguientes raíces y expresa el
resultado redondeado a las centésimas:
a) 19
b) 4 40
c) 3 -10
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.2.- Radicales equivalentes. (Pág 31)
Relación entre radical y potencia:
Cualquier radical se puede expresar en forma de una
potencia usando la siguiente fórmula:
Simplificar un radical es obtener otro equivalente pero de índice
menor
Para simplificar un radical se expresa el radicando en forma de
potencia de la menor base posible.
n m
m/n
a
=a
Después:
m/n
Si m es múltiplo de n entonces a
es una potencia de
exponente entero y por tanto el radical da como resultado
un número racional. En otro caso, el valor obtenido es un
número irracional
- Si el exponente es múltiplo del índice, se pasa a potencia y se
calcula dicha potencia
- Si el exponente NO es múltiplo del índice, se pasa a potencia y
simplificamos el exponente; luego pasamos la potencia a raíz
Radicales equivalentes: Dos radicales son equivalentes
cuando tienen la misma solución.
Por ejemplo 5 32
valen lo mismo:
y 38
son equivalentes, porque los dos
5 32 = 2
,
38 = 2
Reducir varios radicales a común índice es obtener otros
radicales, todos con el mismo índice y equivalentes a los iniciales.
Para reducir radicales al mismo índice se toma como índice
común: p = mcm de todos los índices
Se divide p entre cada índice y el resultado se multiplica por el
exponente del radicando
Amplificar un radical es obtener otro equivalente pero de
índice mayor
Para amplificar un radical se multiplican el índice del radical
y el exponente del radicando por el mismo número natural
no nulo.
Para ordenar radicales se reducen primero a índice común y luego
se ordenan atendiendo a los valores de los radicandos
También se pueden ordenar calculando una aproximación decimal
con la calculadora
Esto se puede hacer sólo si el radical tiene solución
n.p m.p
n m
a
=
a
Ejercicios
(p ∈ N , p ≠ 0)
Pág. 31: El 1 y 2
;
Pág. 45: El 10 y 11
Pág. 46: El 18 , 19 y 20
5.- OPERACIONES CON RADICALES
5.1.- Multiplicación y división de radicales (Págs 32, 42 y 43)
- Si tienen todos el mismo índice, se deja el mismo índice y
se multiplican o dividen los radicandos
n
n a n b n c = n abc
n
a
=
b
- Si no tuviesen el mismo índice, entonces se reducen a común
índice y se aplica lo anterior
Ejercicios
n a
b
Pág. 32: El 5 , 6 y 7
5.2.- Potencia y raíz de un radical (Pág 31)
Potencia de un radical: Se deja el mismo índice y el radicando se eleva al exponente de la potencia
(na )
m
n
= am
n n
Como consecuencia ( n a ) = an = a
Raíz de un radical: Se multiplican los índices y se deja el mismo radicando
mn
Ejercicios
Pág. 31: El 4
;
Pág. 46: El 21
-4-
a =
mn
a
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5.3.- Introducción y extracción de factores en el radicando. Suma y resta de radicales (Págs 32 y 43)
Para introducir un factor en una raíz tenemos que elevarlo
al índice de la raíz
A nB
=
n
A
n
nB =
n
A
nB
Para extraer factores de una raíz tenemos que factorizar el
radicando. Salen fuera de la raíz los factores cuyo
exponente es múltiplo del índice
Suma y resta de radicales:
Sólo se pueden sumar o restar términos en los que aparezca la
misma raíz.
Si no aparece la misma raíz, la operación se deja indicada
A veces hay que simplificar el radical o sacar factores fuera para
conseguir tener términos con la misma raíz y poder sumarlos o
restarlos
Ejercicios
Pág. 32: El 8
; Pág. 46: El 25, 26 y 27
5.4.- Racionalización de denominadores (Págs 33 y 44)
Racionalizar una expresión radical con alguna raíz en el
2º) El denominador tiene 2 términos y sólo tiene raíces
cuadradas.
denominador es transformarla en otra equivalente pero que
Los términos pueden estar sumando o restando:
NO tenga ninguna raíz en el denominador.
Si están sumando:
B r + C s
Se multiplica, numerador y denominador, por
Vamos a ver 2 tipos de racionalización:
1º) El denominador tiene un solo sumando:
A
A
n m
B
C
Si están restando:
En este caso, se multiplica, numerador y denominador por
n n −m
C
A
B r − C s
Se multiplica, numerador y denominador, por
Las expresiones
B r + C s
B r − C s
y
B r + C s
B r − C s
son conjugadas una de la otra
Ejercicios
Pág. 33 : El 9 y 10 ; Pág. 46: 28 y 29
Página web del profesor:
http://rafanogal.eshost.com.ar/
-5-
se dice que