Download TEMA 7, 2º ESO

APUNTES Y EJERCICIOS DEL
TEMA 7
1-T7--2ºESO
En el tema anterior hemos dicho
TRIÁNGULOS SEMEJANTES:
que cuando 2 triángulos están en posición de Thales es porque están compartiendo un ángulo y los lados
opuestos a ese ángulo son paralelos. Y, por otro lado, que cuando están así, los ángulos de los dos
triángulos son iguales y los lados proporcionales.
Pues ahora, si somos capaces de recortar el triángulo menor para desprenderlo del mayor y
ponerlo a un lado lo que nos encontraremos sería “un par de triángulos semejantes”. Y se dice
semejantes porque son parecidos, se parecen. Como a 2 triángulos cuando están en posición de Thales
les pasan 2 cosas, si a esos 2 triángulos los separamos para obtener 2 triángulos separados y semejantes
también les pasarán esas mismas 2 cosas, esto es, que “sus ángulos medirán lo mismo” y que “los lados
homólogos o correspondientes son proporcionales”. Tal y como ya sabemos, para comprobar si los
lados homólogos son proporcionales o no tendremos que formar 3 razones, una por cada lado del
triángulo, y veríamos si al final nos sale el mismo nº o fracción (K) al simplificarlas. De ser así
significaría que los lados homólogos serían proporcionales.
Un ejemplo muy sencillito está en los instrumentos que empleamos de vez en cuando en clase para
trazar perpendiculares. Estoy hablando de distintas escuadras o de diferentes cartabones en lo que se
refiere al tamaño. Seguro que todos tendréis en este momento una escuadra a mano, y seguro que las hay
de varios tamaños en clase. Pues una escuadra de un tamaño con respecto a otra escuadra de otro tamaño
sería un claro ejemplo de “2 triángulos semejantes”. Los ángulos de cualquier escuadra miden 90º, 45º y
45º, por lo que los ángulos los tendrán todos iguales, y así cumplimos la 1ª de las propiedades. Si nos
pusiésemos a medir los lados veríamos que serían proporcionales, y así cumpliríamos las 2ª propiedad.
Aquí vienen 2 ejemplos:
a)
b)
En resumen, cuando tengamos 2 triángulos en posición de Thales los podremos separar para
obtener 2 triángulos semejantes. Y si tenemos 2 triángulos semejantes los podremos colocar de forma que
obtengamos 2 triángulos en posición de Thales.
EJERCICIOS
1.- De la página 142 del libro, los nos 2, 3 y 4. De la página siguiente, los nos 5 y 6. El nº 5 pudiera ser un
poco complicado, pero si pensamos de forma fácil y sencilla en los tipos de triángulos que existen, poner
el ejemplo que os piden no debe resultar demasiado complicado.
CRITERIOS DE SEMEJANZA EN TRIÁNGULOS:
Hemos dicho que para que 2
triángulos sean semejantes deben cumplir las propiedades de tener los ángulos iguales y los lados
homólogos o correspondientes proporcionales.
Pues en los triángulos, y sólo en los triángulos, si demostramos tan solo una de esas 2 propiedades
podemos asegurar que los 2 triángulos son semejantes. Para demostrarlo, existen una serie de pruebas o
condiciones, los llamados “criterios de semejanza”, que hacen que con tan solo demostrar eso ya nos
vale para asegurar que 2 triángulos son semejantes. Estos criterios son:
a) 2 triángulos con 2 ángulos iguales, son semejantes Y es así porque como en todos los triángulos la
suma de sus 3 ángulos sale 180º , el tercer ángulo que nos queda también medirá lo mismo
obligatoriamente, y por tanto tendrán los 3 ángulos iguales (1ª condición de los triángulos semejantes).
Eso nos lleva a decir que la 2ª condición, aunque no la demostremos, también se cumplirá y por lo tanto,
aseguramos que los 2 triángulos son semejantes.
Un ejemplo podría ser éste
1er triángulo, 2 ángulos de él miden 35º y 68º
2º triángulo, 2 ángulos de él miden 68º y 77º ¿Serán
semejantes? Si calculamos el ángulo que nos falta en el 1er triángulo (180º - 35º - 68º = 77º), vemos que
mide lo mismo que el 2º del 2º triángulo. Por lo tanto, cumple el 1er criterio que es tener 2 ángulos iguales
(68º y 77º) y los 2 triángulos son semejantes.
b) 2 triángulos con los lados homólogos proporcionales, son semejantes 2-T7--2ºESO
En este caso tendríamos que hacer las 3 razones con los 3 lados correspondientes y comprobar si
al final sale lo mismo (“K” = constante de proporcionalidad, o “r” = razón de semejanza). Si sale lo
mismo, se cumpliría la 2ª de las condiciones, y sin demostrar la 1ª de ellas (ángulos iguales)
aseguraríamos que los 2 triángulos serían semejantes.
Va el ejemplo
1er triángulo, sus lados miden 4, 6 y 7 cm
2º triángulo, sus lados miden 4´8, 7´2 y 8´4 cm.
¿Serán semejantes? Hagamos las 3 razones y lleguemos al final.
4
40 5
6
60 5
7
70 5
=
=
Lados medianos =
=
Lados mayores =
=
Lados pequeños 4´8 48 6
7´2 72 6
8´4 84 6
5
Tal y como se puede apreciar, en las tres razones llegamos al mismo resultado ( ). Eso quiere decir
6
5
entonces que los lados homólogos son proporcionales, y que K = r = , por lo que los 2 triángulos serán
6
semejantes al cumplir la 2ª de las condiciones, esto es, el 2º criterio.
c) 2 triángulos con un ángulo igual y los dos lados que forman dicho ángulo proporcionales, son
semejantes En este caso, debemos tener 2 triángulos con un ángulo igual de cada triángulo y la
medida de los lados que forman sendos ángulos. Si hacemos las 2 razones con los 2 lados homólogos que
nos dan y observamos que sale lo mismo al final, aseguraremos que los 2 triángulos son semejantes. El
ejemplo sería
1er triángulo, un ángulo de 46º y los 2 lados que forman este ángulo de 6 y 7´2 cm
2º triángulo, un ángulo de 46º y los 2 lados que forman este ángulo de 15 y 18 cm
Observamos que los 2 ángulos son iguales y, por lo tanto, cumple lo primero del 3er criterio. Con
6 2
7´2 72 2
respecto a los lados, las razones nos salen Lados menores =
Lados mayores =
=
15 5
18 180 5
Como salen lo mismo, los lados que forman el ángulo que comparten son proporcionales, y por
ello, los 2 triángulos son semejantes al cumplir el 3er criterio.
EJERCICIOS
2.- De la página 145 del libro, los nos 8, 9 y 10. En el nº 8 hay que contestar también a la pregunta “¿2
triángulos equiláteros son semejantes?”. En el nº 9 también hay que contestar a la pregunta “¿2 triángulos
rectángulos son semejantes?”. Y en el nº 10 el enunciado le vamos a modificar una de las palabras.
Cuando aparece el 2º “que” hay que cambiarlo por “si”. Luego, también contestaréis a la pregunta “¿2
triángulos isósceles son semejantes?”.
POLÍGONOS SEMEJANTES:
Sabemos que 2 triángulos son
semejantes cuando tienen los ángulos iguales y los lados homólogos proporcionales. Aunque ya hemos
visto que no hace falta demostrar las 2 condiciones, ya que al cumplir una de ellas, la otra la cumple de
corrido.
Pues 2 polígonos (figuras planas) serán semejantes cuando tengan
el mismo nº de lados, se parezcan a la vista y cuando los ángulos sean iguales y los lados homólogos
sean proporcionales. En el caso de los polígonos, a diferencia de los triángulos, se deben de cumplir y
demostrar las dos condiciones, pues puede que haya polígonos con los ángulos iguales pero con los lados
homólogos no proporcionales, o viceversa (lados proporcionales pero con los ángulos desiguales).
Un ejemplo serían dos romboides, uno con los ángulos de 32º y 148º y los lados de 4 y 6 cm, y
otro romboide con los ángulos de 35º y 145º y los lados de 8 y 12 cm (el doble de grandes). Como se
aprecia, los lados homólogos serían proporcionales (K = r = 2) pero los ángulos no son iguales. Por lo
tanto, los 2 romboides no serían semejantes al no cumplir las 2 condiciones a la vez.
EJERCICIOS
3.- De la página 147 del libro, los nos 12, 13 y 14. En el nº 14, sobra la palabra “sus”.
4.- Construye un hexágono regular de 6 cm de lado. ¿Cuánto medirá el lado de otro
1
hexágono semejante, si la razón de semejanza es de K = ?
5
3-T7--2ºESO
RAZÓN ENTRE LOS PERÍMETROS DE 2 POLÍGONOS SEMEJANTES:
Lo vamos a explicar con
un ejemplo gráfico. Vamos a partir de 2 rectángulos. El 1º de ellos tiene los lados de 5 y 8 cm, y el 2º los
tiene de 3´5 y 5´6 cm. ¿Serán semejantes?
Pues la 1ª condición la cumplen (ángulos iguales) porque
todos los rectángulos tienen los 4 ángulos rectos. La 2ª condición (lados homólogos proporcionales)
5
50 10
8
80 10
=
=
Lados mayores =
=
tendremos que hacer
Lados menores 3´5 35 7
5´6 56 7
Esto significa que los lados homólogos son proporcionales. Al cumplir las 2 condiciones a la vez, diremos
10
que los 2 rectángulos son semejantes, y que la razón de semejanza (r) o la constante de propor. (k) es
.
7
10
K=r=
7
Hasta aquí todo es igual que en el apartado anterior. Pero, ¿Qué pasa si hacemos la razón entre los
perímetros de estos rectángulos semejantes? Hagámoslo
Perímetro del rectángulo mayor = 5 cm · 2 + 8 cm · 2 = 26 cm
Perímetro del rectángulo menor = 3´5 · 2 + 5´6 cm · 2 = 18´2 cm
Si ahora le hacemos la razón a los perímetros de los 2 rectángulos, y en el mismo orden (mayor
arriba y menor abajo), veamos lo que pasa
PER 26 260 10
=
=
=
per 18´2 182 7
Pues la razón entre los perímetros de 2 polígonos semejantes también sale “K o r”. Esto
significa que si alguna vez, en algún problema me piden que averigüe la constante de proporcionalidad
(k) o la razón de semejanza (r), tengo ahora mismo 2 modos de obtenerla:
K=r=
LADO PER
=
, o al revés (lo pequeño arriba y lo grande abajo)
lado
per
RAZÓN ENTRE LAS ÁREAS DE 2 POLÍGONOS SEMEJANTES:
También lo vamos a ver
con un ejemplo. Seguiremos con el del apartado anterior, donde teníamos a 2 rectángulos de los que ya
hemos comprobado que son semejantes.
Calculémosles sus áreas
Área del rectángulo mayor = b · a = 8 cm · 5 cm = 40 cm2
Área del rectángulo menor = b · a = 5´6 cm · 3´5 cm = 19´6 cm2
Si ahora le hacemos la razón a las áreas de los 2 rectángulos, y en el mismo orden, veamos lo que
pasa
ÁREA 40 400 100
=
=
=
, y ya no podemos simplificar más.
área 19´6 196 49
Bien. Parece que la razón entre las áreas no sale la constante de proporcionalidad. ¿Y entonces
para qué le hemos hecho la razón? ¿Para perder el tiempo?
Fijaos bien en lo que sale la razón
10
100
¿Sacáis algo? Yo sí. Si elevamos
al cuadrado, ¿qué sale? No me digas que
. Pues entonces ya
7
49
sabemos algo más. La razón entre las áreas de 2 polígonos semejantes sale la constante de
proporcionalidad al cuadrado, es decir, k2 (o r2, que es lo mismo). Significa pues, que hay otra forma
de sacar la “k o r” de un ejercicio. Como la razón entre las áreas de 2 polígonos semejantes sale k2, si
quiero averiguar “k” lo único que tendría que hacer es la “raíz cuadrada” a lo que salga esa razón, y eso
me dará “k”. Por tanto,
K=r=
LADO PER
ÁREA
=
=
lado
per
área
EJERCICIOS
4-T7--2ºESO
5.- De la página 148 del libro, los nos 16, 17 y 18.
6.- Los lados de un triángulo miden 4, 10 y 12 cm. Halla los lados de otro triángulo semejante a éste que
tiene un perímetro de 39 cm.
7.- De la página 149 del libro, los nos 20, 21, 22 y 23.
8.- Halla el lado de un triángulo equilátero sabiendo que el perímetro de un triángulo semejante es 10 cm
y que la razón entre sus áreas es 9/4.
9.- Halla la razón entre los perímetros y las áreas de 2 cuadrados, sabiendo que el lado de uno de ellos
mide 8 cm y el del otro, la mitad.
10.- La razón entre los perímetros de 2 hexágonos semejantes es 2/5. Sabiendo que el área del pequeño
mide 32´4 cm2, averigua el área del mayor.
11.- Demuestra si estos 2 trapecios son o no semejantes. Explícalo.
¿Por qué son trapecios? ¿De qué tipo son? ¿Por qué?
13.- Los lados de un pentágono miden 4, 4, 5, 5 y 6 cm. ¿Es regular? Se sabe que el perímetro de otro
pentágono semejante mide 28´8 cm. ¿Cuánto medirá el lado mayor de dicho pentágono?
14.- Un lado de un heptágono mide 8 cm, y el correspondiente de otro semejante 8´8 cm. ¿Cuánto saldrá
la razón entre las áreas de ambas figuras?
15.- Los lados de un romboide miden 5 y 7 cm. Los de otro romboide miden 6´5 y 9´1 cm. ¿Son
semejantes? ¿Por qué?
En caso de serlos, halla “k” o “r”.
16.- Los perímetros de 2 polígonos semejantes miden 45 y 50 cm. ¿Cuánto saldrá la razón entre sus lados
homólogos más pequeños? ¿Y la razón entre los lados homólogos más grandes? ¿Y la de sus áreas?
LAS ESCALAS:
La parte final del tema está
dedicado a un ejemplo real y palpable donde se ven semejanzas. No hay nada más semejante que una
maqueta de una motocicleta y la moto real a la que representa. O el plano de un piso antes de hacerlo y el
tamaño del suelo del piso cuando estemos en él. Y como éstos, muchos ejemplos más.
En todos estos casos, la figura grande será la que corresponde a la realidad, y la figura pequeña
es la que tenemos en un plano, en la maqueta, en un dibujo,...
Por lo tanto, todo queda igual que antes. Las escalas no son más que un claro ejemplo de 2
figuras semejantes donde la escala a la que está hecho el objeto es, nada más y nada menos, que la
constante de proporcionalidad (k) o la razón de semejanza (r).
1
En estos casos, como la escala siempre viene dada por
= 1 : nº mayor que 1,
n º mayor que1
siempre se pondrá la medida del plano en la parte superior de la razón, y la medida mayor (la real) en la
parte inferior para que la razón, una vez se simplifique, salga “1 : nº mayor que 1”.
Entonces, para averiguar la escala con la que está hecho un objeto o plano podremos sacarlo de
ESCALA = k = r =
área del plano
lado del plano per. plano
1
=
=
=
LADO REAL PER. REAL
n º mayor que1
ÁREA REAL
Si tuviésemos que hacer algún cambio de unidad de longitud, puesto que la medida del plano está
en “cm” y la de la realidad está en “m”, os recuerdo que habría que hacerlo con el factor de conversión.
EJERCICIOS
12.- Un campo rectangular tiene una superficie de 117.600 m2, y en el plano lo veo de 8 cm de largo y 3
de ancho. Calcula la escala con la que está hecho.
17.- De la página 151 del libro, el nº 25.
18.- Una habitación tiene 8 m2 de superficie, y en el plano
5-T7--2ºESO
la encontramos dibujada en 2 cm2. Calcula la escala con la que está hecho el dibujo.
19.- En un plano vemos dibujado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 y 5 cm, respectivamente.
El de la realidad tiene una superficie de 80 dm2. Averigua la escala y las medidas reales de los 2 catetos
del triángulo.
20.- Las áreas de 2 figuras semejantes miden 42 cm2 y 168 m2. Averigua la escala empleada para
confeccionar la figura menor.
21.- Una superficie cuadrada tiene 144 m2 de área, y la tengo dibujada en el plano con un lado de 3 cm.
Averigua la escala con la que está hecho.
22.- Averigua la escala con el que está hecho el dibujo de esta farola, sabiendo que en la realidad tiene
una altura de 4´5 m.
(NOTA: quítale 1 mm a lo que midas)
23.- El campo de fútbol siguiente está hecho a escala. Averíguala con los datos que se dan:
EJERCICIOS DEL TRABAJO:
30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 47, 48, 54, 55, 59.
Debes explicarlos todo lo que puedas y sea necesario.
EJERCICOS CAMBIADOS O MODIFICADOS:
1
34.- La razón entre las áreas de 2 triángulos es
. ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo mayor, si el
4
perímetro del menor es 6 cm?
39.- Observa la siguiente figura:
△
Si sabemos que el área del triángulo ABC es 16 cm2 y la del trapecio BB´C´C es 20 cm2, ¿cuánto mide el
lado B´C´ ?
43.- ¿Son semejantes 2 rombos, sabiendo que los lados de uno de ellos miden 6 cm y los del otro rombo
miden 4 cm?
44.- La superficie de un comedor mide 24 m2. Si tiene forma rectangular y mide en el plano 6 cm por
6´25 cm, calcula la escala del plano.
59.- La distancia entre 2 ciudades, en línea recta, es de 744 km. Al medir esta distancia en un mapa
obtenemos el valor 372 mm. ¿Cuál es la escala del mapa?
Fdo. Juan Chanfreut Rodríguez
Profesor de matemáticas de 2º de ESO