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7 Semejanza y trigonometría
ACTIVIDADES INICIALES
7.I.
Se cuenta que Tales midió la altura de la pirámide de Keops. Esperó de pie hasta que su
sombra midió igual que su altura. Entonces mandó medir la sombra de la pirámide. Según otra
versión, clavó un bastón de 2 metros de altura y midió su sombra sin esperar a que midiera lo
mismo que el bastón. ¿Cómo mediría entonces la pirámide?
Tales halló la proporción entre la altura del bastón y la longitud de la sombra que proyectaba y dedujo
que era la misma que la de la altura de la pirámide y la longitud de su sombra.
7.II.
¿Recuerdas el teorema de Tales? ¿Podrías explicarlo con tus propias palabras, o mediante un
dibujo? ¿Qué tiene que ver con la segunda versión de la historia?
La definición viene en el tema, pero es interesante ver la forma que utilizan los alumnos para
explicarlo, ya que lo han conocido en cursos anteriores. La segunda versión es una aplicación del
teorema, ya que los triángulos que se forman son semejantes.
7.III.
¿Has visto algún eclipse solar? ¿Has tenido que tomar alguna precaución para verlo? Busca
en la página de Jubier cuándo será el próximo eclipse. ¿Podrás verlo?
Pregunta abierta. El próximo eclipse total de sol será el miércoles 14 de noviembre de 2012.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
7.1.
Actividad resuelta.
7.2.
Comprueba que los siguientes cuadriláteros son semejantes y calcula la razón de semejanza.
Los ángulos homólogos son iguales, ya que los lados que los forman son paralelos dos a dos.
Los lados homólogos son proporcionales.
Por tanto, los cuadriláteros son semejantes, con razón de semejanza k =
7.3.
La arista de un cubo mide 8 metros. Halla la medida de la arista de otro cubo semejante a él si
1
.
la razón de sus volúmenes es
27
La razón entre los volúmenes es k =
3
1
, por tanto, la razón de semejanza es k =
27
1 8
De este modo, la arista del otro cubo medirá 8· =
≈ 2,67 cm .
3 3
18
3
.
4
Unidad 7 | Semejanza y trigonometría
3
1
1
= .
27 3
7.4.
(TIC) Si la masa de una plancha de hierro es de 6,5 kg, ¿qué masa tendrá otra plancha del
mismo metal y grosor si su ancho y su largo son el triple que los de la primera?
La razón de semejanza es k = 3. La razón de las áreas será k = 9.
2
Al mantenerse el grosor, la masa de la segunda plancha será nueve veces la masa de la primera:
9 · 6,5 = 58,5 kg
7.5.
Calcula los lados desconocidos.
a)
b)
a)
2+5 5
25
=
⇒ 7 x = 25 ⇒ x =
≈ 3,57 .
x
5
7
b)
3 x 2x
9
=
⇒ 9 x = 10 x 2 ⇒ x =
= 0,9 .
5x
3
10
Por tanto, los lados desconocidos son x = 0,9; 2x = 1,8; y = 5 · 0,9 – 3 = 1,5.
7.6.
Actividad resuelta.
7.7.
Actividad resuelta.
7.8.
Actividad resuelta.
7.9.
Calcula los valores desconocidos de las letras en cada una de las siguientes figuras.
En la primera figura tenemos:
x
x 2x
2x
1
2
1 2
=
⇒
=
⇒ x +=
x 2 y
=
⇒ = ⇒z= 3
6 2 x + 4 ⇒=
x+2 x+6
x+2 x+6
z
z 6
6
En la segunda figura:
Por el teorema de Pitágoras z =
62 + 82 =
100 = 10 .
Por otro lado, los triángulos de la figura son semejantes, ya que tienen dos ángulos iguales. Por tanto,
6 10
8 10
=
⇒ 10 y = 30 ⇒ y = 3 .
los lados son proporcionales, es decir,
=
⇒ 10 x = 40 ⇒ x = 4 y
y
5
x
5
Semejanza y trigonometría | Unidad 7
19
7.10. Calcula el área del rectángulo de la figura.
Los triángulos ABC y DFC son semejantes, ya que están en posición de Tales.
Por tanto, los lados son proporcionales y así:
AB BC
3
4
3
=
⇒ =
⇒ 4 x = 3 ⇒ x = = 0,75 cm
DF FC
x 4−3
4
siendo x la altura del rectángulo.
Por tanto, el área del rectángulo será S = 3 · 0,75 = 2,25 cm .
2
7.11. (TIC) Para medir la altura de un árbol se ha colocado un espejo en el suelo en el punto C, de
forma que una persona de 180 cm de altura ve la copa del árbol reflejada en el espejo. ¿Cuál es
la altura del árbol?


Los triángulos ABC y CED son semejantes, ya que tienen dos ángulos iguales, CAB
= CDE
= 90º y


DCE = ACB = α . Por tanto,
2
5
= ⇒ 2h = 9 ⇒ h = 4,5 m
1,8 h
7.12. Actividad interactiva.
7.13. Actividad resuelta.
7.14. Actividad resuelta.
7.15. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 20,25 y 27 cm, respectivamente. Calcula:
a)
El valor de la hipotenusa.
b)
Las medidas de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
c)
El valor de la altura sobre a la hipotenusa.
a)
Por el teorema de Pitágoras, el valor de la hipotenusa es:
=
a
b)
2
20,252 + 27
=
33,75 cm
Por el teorema del cateto, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa valen:
20,25 = m · 33,75 ⇒ m = 12,15 cm y 27 = n · 33,75 ⇒ n = 21,6 cm
2
c)
Por el teorema de la altura, la altura sobre la hipotenusa es:
h = m ∙ n = 12,15 · 21,6 = 262,44 ⇒ h =
2
20
2
Unidad 7 | Semejanza y trigonometría
262,44 = 16,2 cm
7.16.
(TIC) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y un cateto miden 40 y 24 centímetros,
respectivamente. Halla el otro cateto, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la
altura sobre ella.
Por el teorema de Pitágoras: b = 40 – 24 = 1024 ⇒ b =
2
2
2
1024 = 32 cm
Con el teorema del cateto se calculan las proyecciones sobre la hipotenusa:
m=
242
= 14,4 cm
40
n=
322
= 25,6 cm
40
Con el teorema de la altura se calcula su medida:
h = m ∙ n = 14,4 · 25,6 = 368,64 ⇒ h =
2
368,64 = 19,2 cm
7.17. (TIC) Un cateto de un triángulo rectángulo mide 8 centímetros, y la altura sobre la hipotenusa,
4. Halla el área del triángulo.
2
Por el teorema de la altura: 4=
m⋅n ⇒ m =
16
n
Por el teorema del cateto:
 16

+ n  =16 + n 2 ⇒ n2 = 48 ⇒
64 =n ⋅ (m + n ) ⇒ 64 =n ⋅ 
n


⇒n=
48 = 4 3 y m =
Así, a = m + n = 4 3 +
16
=
4 3
4
4 3
=
3
3
4 3 16 3
=
3
3
Por tanto, el área del triángulo es
a ⋅ h 32 3
2
cm .
=
2
3
7.18. Una antena emisora se encuentra sujeta por dos cables que forman un ángulo recto. Los
puntos de anclaje de los cables con el suelo están alineados con el pie de la antena y distan de
él 4 y 7,2 m, respectivamente. Calcula la altura de la antena y la longitud de las cuerdas.
2
h=
4·7,2
= 28,8 ⇒ h= 5,37 m
2
x=
4·11,2
= 44,8 ⇒ x= 6,69 m
2
y=
7,2·11,2
= 80,64 ⇒=
y 8,98 m
7.19. Actividad interactiva.
7.20. Actividad resuelta.
7.21. Actividad resuelta.
Semejanza y trigonometría | Unidad 7
21
7.22. (TIC) Con la ayuda de la calculadora, expresa en la notación que se indica los siguientes
ángulos.
a)
Notación decimal:
54º 47' 37''
124º 33' 2''
256º 2' 59''
b)* Grados, minutos y segundos:
68,94º
a)
45,5º
150,40º
54º 47' 37'' = 54,7936º
124º 33' 2'' = 124,5506º
256º 2' 59'' = 256,0497º
b)
68,94º = 68º 56' 24''
45,5º = 45º 30'
150,40º = 150º 24'
7.23. (TIC) Pasa a radianes los siguientes ángulos expresados en grados sexagesimales.
a)
30º
b)
a)
° 30 ⋅
30=
b)
=
° 150 ⋅
150
150º
π
π
rad
=
180° 6
π
5π
rad
=
180°
6
c)
240º
d)
c)
=
° 240 ⋅
240
d)
40° 30 ' =
40,5 ⋅
40º 30'
π
4π
rad
=
180°
3
π
81 π
9π
= ⋅
= rad
180° 2 180° 40
7.24. (TIC) Pasa a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes.
a)
2π
3
c)
9π
4
a)
2π 2π 180°
=
· = 120°
3
3
π
c)
9π 9π 180°
=
· = 405°
4
4
π
b)
7π 7π 180°
=
· = 210°
π
6
6
d)
11π 11π 180°
=
· = 660°
3
3
π
b)
7π
6
d)
11π
3
7.25. (TIC) ¿Puede un triángulo isósceles tener dos ángulos iguales a 1 radián? En caso afirmativo,
indica el valor del tercer ángulo.
Sí. El tercer ángulo medirá π − 1 − 1 ≈ 1,1416 radianes ≈ 65º 24' 31''.
7.26. (TIC) a) ¿Puede un triángulo tener un ángulo de 1 radián y otro de 2 radianes? En caso
afirmativo, indica el valor del tercer ángulo.
22
b)
¿Puede un triángulo isósceles tener dos ángulos de 2 radianes? Justifica la respuesta.
a)
Sí. El tercer ángulo medirá π − 1 − 2 ≈ 0,1416 radianes ≈ 8º 6' 47''.
b)
No, ya que entre los dos suman 4 radianes que es mayor que π rad = 180º.
Unidad 7 | Semejanza y trigonometría
7.27. (TIC) Los ángulos
, B
 y C

A
del cuadrilátero ABCD miden 70º, 2 rad y 1,5 rad,
respectivamente.
 en grados sexagesimales.
Calcula, aproximando a los segundos, la medida de D
180º
180º
 2=
 = 70º=
 1,5
rad 2· = 114º 35' 30''=
A
, B
yC
=
rad 1,5·= 85º 56' 37''
π
π
 360º − A
 −B
 −C
 89º 27' 53''
D
=
=
7.28. Actividad interactiva.
7.29. Actividad resuelta.
7.30. Actividad resuelta.
7.31. (TIC) Con la calculadora, halla las siguientes razones trigonométricas con una aproximación
de tres cifras decimales.
a)
sen 44º
c)
tg 55º
e)
cos 67º 45' 33''
b)
cos 33º
d)
sen 45º 13'
f)
tg 40' 40''
a)
sen 44º = 0,695
c)
tg 55º = 1,428
e)
cos 67º 45' 33'' = 0,379
b)
cos 33º = 0,839
d)
sen 45º 13' = 0,710
f)
tg 40' 40'' = 0,012
, B
, C
 y D
 aproximando a los
7.32. (TIC) Con la calculadora, halla la medida de los ángulos A
minutos.
a)
 = 0,667
sen A
c)
 = 0,512
cos C
b)
 = 0,99
tg B
d)
 = 1,33
tg D
a)
 = 0,667 ⇒ A
 = 41º 50'
sen A
c)
 = 0,512 ⇒ C
 = 59º 12'
cos C
b)
 = 0,99 ⇒ B
 = 44º 43'
tg B
d)
 = 1,33 ⇒ D
 = 53º 4'
tg D
7.33. (TIC) Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 16 y 30 cm, respectivamente.
Observemos la figura adjunta,
tg α =
8
⇒ α = 28º 4' 21'' y β = 90º – α = 61º 55' 39''
15
Por tanto, los ángulos del rombo son:
Dos ángulos de 2 · 28º 4' 21'' = 56º 8' 42'' y dos de 2 · 61º 55' 39'' = 123º 51' 18''
Semejanza y trigonometría | Unidad 7
23
7.34. (TIC) Desde un punto situado a 10 m de una torre, una persona que mide 180 cm ve el extremo
más alto bajo un ángulo de 43º. Calcula la altura de la torre.
tg 43º =
x
⇒ x = 10 · tg43º ≈ 9,33 m
10
Por tanto, la altura de la torre es h = x + 1,8 = 11,13 metros.
7.35. María ha comenzado a dar vueltas con su bicicleta a la pista circular de la figura. Ha partido
desde el punto P y descansa después de haber descrito un ángulo de 9π radianes.
Calcula la distancia a la que se encuentra de la recta r en ese momento.
María ha descrito un ángulo de 9π rad = 4 · 2π + π, es decir, ha dado 4
vueltas completas y media vuelta más.
En ese momento María se encuentra en el punto P' y, por tanto, la
distancia a la recta r es:
sen 45º =
d
⇒ d = 200 · sen 45º ≈ 141,42 metros
200
7.36. Actividad resuelta.
7.37. (TIC) Sabiendo que el coseno de un ángulo agudo vale
4
, calcula el seno y la tangente de
5
dicho ángulo.
2
16
9
3
4
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ sen2 α +   = 1 ⇒ sen2 α = 1 −
=
⇒ sen α =
25 25
5
5
senα
=
tg α=
cos α
3
5= 3
4 4
5
7.38. (TIC) Sabiendo que la tangente de un ángulo agudo α vale
5 , calcula el seno y el coseno de
dicho ángulo.
1 + tg2=
α
tg α=
24
1
1
1
⇒ 1 +=
5
⇒ cos2=
α
⇒ cos=
α
6
cos2 α
cos2 α
sen α
⇒ sen α= tg α ⋅ cos α=
cos α
Unidad 7 | Semejanza y trigonometría
6
· 5=
6
1
=
6
30
≈ 0,913
6
6
≈ 0,408
6
7.39. Demuestra las siguientes igualdades trigonométricas a partir de las relaciones fundamentales.
tg2 α + 2 sen2 α
=
1 + 2cos2 α
tg2 α
a)
cos2 α − sen2 α = 1 − 2sen2 α
a)
cos2 α − sen2 α =−
1 − 2sen2 α
(1 sen2 α ) − sen2α =
b)
b)
tg2 α + 2sen2 α
2sen2 α
2sen2 α
=
1+
=
1+
=
1 + 2c s2 α
2
2
tg α
tg α
sen2 α
cos2 α
o
7.40. (TIC) Resuelve los triángulos rectángulos:
a)
 = 90º, a = 12 cm y b = 8 cm
A
b)
 = 90º, C
 = 35º y c = 9 cm
B
c)
 = 90º, c = 5 2 cm y a = 5 cm
C
a)
c=
b)
a2 − b2 =
122 − 82 =
80 ≈ 8,94 cm
=
sen B
b
8
 = 41º 48' 37''
=
⇒B
a 12
=
cos C
b
8
 180º − A
 −B
 ).
 = 48º 11' 23 '' . (También se puede calcular C
=
=
⇒C
a 12
 180º −B
 −C
 55º
=
A
=
=
sen C
c
c
9
⇒a=
=
≈ 15,69 cm

a
sen35º
sen C
c
c
9
⇒b=
=
≈ 12,85 cm . (También podríamos calcular b usando el teorema de

b
tg35º
tgC
Pitágoras).
=
tgC
c)
b=
c 2 − a2 =
50 − 25 =
25 = 5 cm
=
sen A
a
5
2
 = 45º
=
=
⇒A
c 5 2
2
=
cos B
a
5
2
 180º − A
 −C
 ).
 = 45º . (También se puede calcular B
=
=
=
⇒B
c 5 2
2
7.41. Un triángulo rectángulo verifica que sus catetos miden el doble uno del otro, y la hipotenusa, 8
cm. Calcula el área y los ángulos del triángulo.
Los catetos son c, 2c y la hipotenusa a = 8 cm.
De este modo, a=
c 2 + ( 2c ) =
El área será, por=
tanto, S
=
Los ángulos miden: tgC
2
5c 2 = c 5= 8 cm ⇒ c=
8
5
≈ 3,58 cm
3,58·7,16
= 12,82 cm2 .
2
2c
= 180º −90º −C
= 26º 33 ' 54 '' .
 = 63º 26 ' 6 '' y B
=2 ⇒ C
c
Semejanza y trigonometría | Unidad 7
25
7.42. Halla la longitud de la altura de un triángulo equilátero de 12 cm de lado.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
h=
122 − 62=
108 ≈ 10,39 cm
Alternativamente, usando las razones trigonométricas:
sen60º =
h
⇒ h = 12·sen60º = 10,39 cm
12
7.43. Calcula el área de un triángulo isósceles de ángulos 65º, 65º y 50º, y cuyos lados iguales miden
8 cm cada uno.
Observemos el dibujo, tenemos:
sen 65º =
h
⇒ h = 8·sen 65º ≈ 7,25 cm
8
cos 65º =
x
⇒ x = 8·cos 65º ≈ 3,38 cm
8
Por tanto, el área
es: S
=
6,76·7,25
= 24,51 cm2 .
2
7.44. Un compás tiene dos patas de 10 centímetros de largo. ¿Qué ángulo forman sus patas si al
abrirlo traza una circunferencia de diámetro 10 centímetros?
La separación entre las patas es de 5 cm, por lo que tenemos la situación
mostrada en el dibujo.
De este modo:
sen=
α
2,5
= 0,25 ⇒=
α 14º 28 ' 39 ''
10
Por tanto, el ángulo que forman las patas del compás es 2α = 28º 57’ 18’’.
7.45. En una circunferencia de radio 8 cm se considera una de sus cuerdas que mide 4 cm. ¿Cuáles
son los ángulos centrales de los arcos que determina dicha cuerda?
sen α=
2
= 0,25 ⇒ α= 14º 28 ' 39 ''
8
Las amplitudes de los arcos que determina la cuerda son:
2α= 28° 57 ' 18 '' y 360° − 2=
α 331° 2' 42''
7.46. Los lados de un paralelogramo son de 8 y 5 cm, y uno de sus ángulos es de 36°. Halla la
medida de los otros tres ángulos y el área del cuadrilátero.
sen36º =
h
⇒ h = 5 ⋅ sen36º = 2,94 cm
5
El área del paralelogramo es: S =
8 ⋅ 2,94 =
23,5 cm2 .
Hay dos ángulos de 36° y dos de
26
Unidad 7 | Semejanza y trigonometría
360°-2·36°
= 144° .
2
7.47. Un observador de 1,60 m de altura ve el punto más alto de un poste, que está a 6 m de
distancia, con un ángulo de elevación de 33°. ¿Cuál es la altura del poste?
CD
tg33º = ⇒ CD =⋅
6 tg33º =
3,9 m
6
h = BD = BC + CD =1,6 + 3,9 = 5,5 m
7.48. Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 40º, y si se retrocede
4 metros, se ve bajo un ángulo de 28º. Calcula la altura del árbol y la anchura del río.
Sea h la altura del árbol y x la anchura del río.
h

⇒ h = tg40º ⋅x = 0,839 x

x
x 0,532 ⋅ ( 4 + x )
 ⇒ 0,839=
h
=
⇒=
tg28º
h tg28º ⋅(4 + =
x ) 0,532 ⋅ (4 + x )

4+x
tg40º =
x 2,128 ⇒=
x
⇒ 0,839 x =2,128 + 0,532 x ⇒ 0,307=
2,128
= 6,93 m ⇒=
h 5,81 m
0,307
EJERCICIOS
Figuras semejantes. Teorema de Tales.
7.49. Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.
a)
Todos los cuadrados son semejantes.
b)
Los ángulos de dos triángulos semejantes son proporcionales.
c)
Todas las circunferencias son semejantes.
d)
Los polígonos iguales son semejantes con razón de semejanza 1.
a)
Verdadero. Todos los ángulos son rectos y los lados son proporcionales.
b)
Sí, con constante de proporcionalidad 1 (los ángulos homólogos son iguales).
c)
Sí, tienen la misma forma.
d)
Sí, los ángulos homólogos son iguales, y los lados homólogos, proporcionales con constante de
proporcionalidad 1.
Semejanza y trigonometría | Unidad 7
27
7.50. Calcula el valor de a y b para que los siguientes pares de triángulos sean semejantes.
a)
3, a, 5
1,5; 2; b
b)
3, a, 8
6 14
,
,b
5 5
c)
45º, 75º, 60º
, B

75º, A
a)
3
a 5
3·2
5·1,5
= = ⇒a=
= 4yb=
= 2,5
1,5 2 b
1,5
3
b)
c)
3
a
8
=
= ⇒a=
6
14 b
5
5
14
6
8·
5 = 7yb=
5 = 16
6
3
5
5
3·
 = 45º y B
 = 60º
A
7.51. Dos triángulos son semejantes y la razón de semejanza es 3. Uno de ellos tiene un área de 6
unidades cuadradas.
¿Cuántas corresponden al área del otro? Elige la respuesta correcta.
a)
40
b)
54
c)
200
Si la razón de semejanza es 3, la razón de las áreas es 3 = 9. Por tanto, el área del otro triángulo es
6 · 9 = 54 unidades cuadradas, es decir, la respuesta b).
2
7.52. El perímetro de un cuadrado mide 32 cm.
a)
Halla las medidas de los lados de un cuadrilátero semejante a él si la razón de semejanza
1
es k = .
2
b)
¿Cuál es la razón de sus áreas?
a)
El lado del cuadrado es 32 : 4 = 8 cm, por tanto, el del cuadrado semejante es 8·
b)
1
 1
.
La razón de las áreas es=
k 2 =

4
2
1
= 4 cm.
2
2
7.53. La razón de las áreas de dos hexágonos regulares es
49
. Si el lado de uno de ellos mide 18
36
cm, ¿cuál es el perímetro del otro?
Si la razón de las áreas es
hexágono mide 18·
28
49
, la de las longitudes será
36
49 7
= , por tanto, el lado del segundo
36 6
7
= 21 cm y su perímetro es 6 · 21 = 126 cm.
6
Unidad 7 | Semejanza y trigonometría
7.54. Calcula la altura de la torre de la iglesia.
Por semejanza de triángulos:
h
9
9·60
=
⇒ h=
= 36 m
15 60
15
7.55. *Si los segmentos AB y MN son paralelos, halla la medida del lado AC.
5 x +3
9
=
⇒ 5 x =3 x + 9 ⇒ 2 x =9 ⇒ x = =4,5 cm
x
3
2
AC = 3 + 4,5 = 7,5 cm
7.56. Los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes. Calcula el valor que se pide en cada caso.
a)
b y c', si a = 9 cm, c = 12 cm, a' = 4,5 cm y b' = 3,5 cm.
b)
, C
′ y C
 = 38º y A
′ = 92º.
, B
′ si B
A
 , si c = 18 cm, a' = 30 cm, c' = 6 cm y B
′ = 105º.
c)* a y B
a)
b
9
12
9·3,5
12·4,5
=
=
⇒b=
= 7 cm y c ' =
= 6 cm
4,5 3,5 c '
4,5
9
b)
 A

=' B
= 38º y C
 =C
' = 180º −92º −38º = 50º
A
=
=' 92º ; B
c)
a
18
30·18
' = B
 = 105º
=
⇒a=
= 90 cm y B
30
6
6
7.57. Calcula los lados de un triángulo semejante a otro que tiene por lados 3, 12 y 10 cm si la razón
de las áreas es
625
.
16
25
625
, la razón de las longitudes es
. Por tanto, los lados del triángulo
4
16
25 75
25
25 125
semejante miden 3· = = 18,75 cm , 12·
= 75 cm y 10·= = 62,5 cm .
4
2
4
4
4
Si la razón de las áreas es
Semejanza y trigonometría | Unidad 7
29
7.58. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 3 y 4 dm, y en otro, un cateto mide 6 dm, y la
hipotenusa, 10. ¿Son semejantes?
La hipotenusa del primer rectángulo mide a =
32 + 42 = 5 dm .
El cateto desconocido del segundo triángulo mide c=
102 − 62= 8 dm .
Por tanto, los lados del segundo triángulo miden el doble que los lados del primero, es decir, sí son
semejantes con razón de semejanza k = 2.
7.59. Las medidas de un rectángulo son 3 y 5 cm. Calcula las medidas de otro rectángulo semejante
al anterior y tal que su perímetro mida 40 cm.
El perímetro del primer rectángulo es 16 cm, por tanto, la razón de semejanza es=
k
40
= 2,5 .
16
Por tanto, el homólogo del lado de 3 cm mide 7,5 cm y el homólogo del lado de 5 cm mide 12,5 cm.
7.60. Demuestra que los siguientes pares de triángulos son semejantes indicando, en caso
afirmativo, el criterio de semejanza utilizado.
30
a)
c)
b)
d)
a)
Primer criterio: los triángulos tienen dos ángulos iguales.
b)
3
3,5
3,5
Tercer criterio: todos los lados son proporcionales, ya que = = = 2 .
1,5 1,75 1,75
c)
Segundo criterio: los triángulos tienen un ángulo igual, y los lados que lo forman, proporcionales,
3,78 2,25
ya que = = 1,8 .
2,1 1,25
d)
Son semejantes, ya que están en posición de Tales.
Unidad 7 | Semejanza y trigonometría
7.61. Utilizando los criterios de semejanza, encuentra triángulos semejantes en las siguientes
figuras y calcula el valor de los segmentos desconocidos.
a)
c)
b)
d)
a)
1
3
=
⇒ y = 4,5
1,5 y
1
3
= ⇒ x = 3,75
1,25 x
b)
5 y
⇒ y = 2,5
=
4 2
x=2
c)
2 6
16 8
= ⇒x=
=
x 8
6 3
y=
d)
2x
1
2
 x
6 2 x + 4 ⇒=
⇒
=
⇒ x +=
x 2
 x +=
2 x+6
x+2 x+6

 x = 2x ⇒ 1 = 2 ⇒ z = 6 = 3
 z
6
2
z 6
62 + 82 = 10
z=4
7.62. La diagonal de un rectángulo mide 13 m y la razón de sus lados es 2,4.
Otro rectángulo semejante tiene 102 m de perímetro. ¿Cuánto mide su diagonal?
Si llamamos a al lado mayor del primer rectángulo y b al lado menor, tenemos:
}
a = 2,4b
⇒ 169 = 5,76b 2 + b 2 = 6,76b 2 ⇒ b 2 = 25 ⇒ b = 5 m y a = 2,4b = 12 m
2
13=
a2 + b2
Por tanto, el perímetro del primer rectángulo es 2a + 2b = 34 m y así, la razón entre los rectángulos es
102
=
k = 3.
34
De este modo, la diagonal del segundo rectángulo mide 3 · 13 = 39 m.
Medida de ángulos
7.63. (TIC) Expresa en radianes la medida de estos ángulos.
a)
30º
c)
90º
e)
135º
b)
240º
d)
270º
f)
300º
a)
° 30 ⋅
30=
c)
° 90 ⋅
90=
e)
=
° 135 ⋅
135
π
3π
rad
=
180°
4
b)
=
° 240 ⋅
240
d)
=
° 270 ⋅
270
f)
=
° 300 ⋅
300
π
5π
rad
=
180°
3
π
π
rad
=
180° 6
π
4π
rad
=
180°
3
π
π
rad
=
180° 2
π
3π
rad
=
180°
2
Semejanza y trigonometría | Unidad 7
31
7.64. (TIC) Indica la medida en el sistema sexagesimal de los siguientes ángulos expresados en
radianes
a)
π
c)
7π
4
e)
4π
3
b)
5π
6
d)
π
8
f)
7π
11
a)
180º
π rad =
π·
=
180º
π
π
π 180º
rad =
·
22,5º
d) =
8
8 π
5π
5π 180º
rad =
·
150º
b) =
π
6
6
4π
4π 180º
rad =
·
240º
e) =
π
3
3
7π
7π 180º
rad =
·
315º
c) =
π
4
4
f)
7π
7π 180º
=
rad
·
≈ 114,55º
11
11 π
7.65. (TIC) Calcula en grados, minutos y segundos sexagesimales la medida de los siguientes
ángulos expresados en radianes.
a)
2π
13
b)
9π
17
c)
5π
7
2π
2π 180º
≈ 27º 41' 32''
rad
·
a) =
13
13 π
9π
9π 180º
≈ 95º 17' 39''
rad
·
b) =
17
17 π
5π
5π 180º
≈ 128º 34' 17''
rad
·
c) =
π
7
7
Relaciones métricas en triángulos rectángulos
7.66. Calcula la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que las
proyecciones de los catetos sobre ella miden 4 y 9 m.
Aplicando el teorema de la altura: h 2 = m · n = 4·9 = 36 ⇒ h = 6 m .
7.67. Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 6, 4 y
3,6 cm. Halla la longitud de los lados.
La hipotenusa mide a = 6,4 + 3,6 = 10 cm.
Aplicando el teorema del cateto: b = m · a = 6,4 · 10 = 64 ⇒ b = 8 cm.
2
c = n · a = 3,6 · 10 = 36 ⇒ c = 6 cm.
2
7.68. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 cm, y la proyección de uno de los catetos
sobre ella, 4. Calcula la medida de los catetos.
La proyección del otro cateto sobre la hipotenusa mide n = 20 – 4 = 16 cm.
Usando el teorema del cateto: b = m · a = 4 · 20 = 80 ⇒ b = 8,94 cm.
2
c = n · a = 16 · 20 = 320 ⇒ c = 17,89 cm.
2
32
Unidad 7 | Semejanza y trigonometría
7.69. Calcula los lados de un triángulo rectángulo cuyas proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa miden 32 y 8 cm.
La hipotenusa mide a = 32 + 8 = 40 cm.
Aplicando el teorema del cateto: b = m · a = 32 · 40 = 1280 ⇒ b = 35,78 cm.
2
c = n · a = 8 · 40 = 320 ⇒ c = 17,89 cm.
2
7.70. Si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tienen la
misma medida, ¿cómo es el triángulo? ¿Cuánto miden sus ángulos agudos?
Según el teorema del cateto, ambos catetos medirán lo mismo, por tanto el triángulo será isósceles.
Así, los ángulos agudos miden ambos 45º.
7.71. Dibuja un cuadrado que tenga la misma área que un rectángulo cuyos lados miden 5 y 7 cm.
Utiliza el teorema de la altura.
El área del rectángulo es S = 5 · 7 = 35 cm , por tanto el lado del cuadrado mide l =
2
35 cm.
Para poder dibujar esta longitud, y con ella el cuadrado requerido, usamos el teorema de la altura
como sigue:
Trazamos una semicircunferencia de diámetro 5 + 7 = 12 cm y un triángulo inscrito en ella.
Este triángulo es rectángulo, su hipotenusa mide 12 cm y las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa miden 5 y 7 cm. Por tanto, la altura sobre la hipotenusa mide h 2 = 5·7 = 35 ⇒ h =
cm.
35
Razones trigonométricas. Resolución de triángulos rectángulos
7.72. (TIC) Calcula el coseno y la tangente de un ángulo agudo α si sen α = 0,6.
2
9
16
4
3
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒   + cos2 α = 1 ⇒ cos2 α = 1 −
=
⇒ cos α =
25 25
5
5
senα
=
tg α=
cos α
3
5= 3
4 4
5
Semejanza y trigonometría | Unidad 7
33
7.73. *(TIC) Halla el seno y la tangente de un ángulo agudo α cuyo coseno es
3
.
5
2
sen2 α + cos2 α = 1 ⇒ sen α =
sen α
=
tg α=
cos α
4
3
1−   =
5
5
4
5= 4
3 3
5
7.74. (TIC) Calcula el seno y el coseno de un ángulo agudo α cuya tangente es igual a
1+ tg2=
α
tg α=
1
⇒ cos=
α
cos2 α
1
1+
=
2
( 5)
sen α
⇒ sen α= tg α ·cos α=
cos α
1
=
6
5.
6
≈ 0,408
6
30
≈ 0,913
6
7.75. (TIC) Comprueba si existe un ángulo α tal que sen α =
1
3
y cos α = .
4
4
Se tiene que cumplir la primera relación fundamental: sen2 α + cos2 α =1 .
2
2
5
 1 3
Como   +   =≠ 1 , no puede existir tal ángulo.
8
4 4
7.76. Escribe, en función de m, n y p, el seno, el coseno y la tangente del ángulo α en estos
triángulos.
En el primer triángulo:
sen α
=
n
p
cos α
=
m
m
y=
tg α
n
p
y=
tg α
n
m
En el segundo triángulo:
sen α
=
34
n
m
cos α
=
p
p
Unidad 7 | Semejanza y trigonometría
7.77.
(TIC) Calcula el valor del lado a.
a)
b)
a)
cos 63,38º =
b)
=
cos 45º
a
⇒ a = 13·cos 63,38º = 5,82 cm
13
a
⇒=
a 39,6·cos 45º
= 28 cm
39,6
7.78. La hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo miden 10, 8 y 6 dm.
¿Cuáles son las razones trigonométricas del ángulo agudo de menor amplitud del triángulo?
El ángulo de menor amplitud es el opuesto al lado de menor tamaño, por tanto, sus razones
trigonométricas son:
sen =
α
6
= 0,6
10
cos =
α
8
= 0,8
10
tg α=
6
= 0,75
8
7.79. (TIC) Calcula las razones trigonométricas del ángulo α.
h=
252 − 122 =
481 = 21,93 cm
Por tanto,
sen
=
α
21,93
= 0,8772
25
α
cos=
12
= 0,48
25
tg α
=
21,93
= 1,8275
12
Semejanza y trigonometría | Unidad 7
35
7.80. (TIC) Calcula la medida de los lados y los ángulos que faltan en los siguientes triángulos
rectángulos.
a)
c)
b)
d)
a)
 = 90º, B
 = 60º, a = 12 cm
A
 – B
 = 30º
 = 180º – A
C
b)
=
cos B
c
 = 12·cos 60º = 6 cm
⇒ c = a cos B
a
=
sen B
b
 = 12·sen60º = 12 3 = 6 3 ≈ 10,39 cm
⇒ b = a sen B
a
2
 = 90º, b = 11 cm, c = 11 cm
A
a=
b2 + c 2 =
112 + 112 =
242 ≈ 15,56 cm
 =b =11 =1 ⇒ B
 =45º
tg B
c 11
 = 45º
 = B
C
c)
 = 40º, C
 = 90º, a = 9 cm
A
 = 180º – A
 –C
 = 50º
B
=
sen A
=
tg A
d)
a
a
9
⇒c =
=
≈ 14 cm

c
sen A sen 40º
a
a
9
⇒b=
=
≈ 10,73 cm

b
tg A tg 40º
 = 90º, b = 10 cm, c = 20 cm
C
a=
c 2 − b2 =
=
cos A
202 − 102 =
b 10
 = 60º
=
= 0,5 ⇒ A
c 20
 = 180º – A
 –C
 = 30º
B
36
300 ≈ 17,32 cm
Unidad 7 | Semejanza y trigonometría
 = 90º.
7.81. (TIC) Resuelve estos triángulos sabiendo que C
a)
 = 55º, a = 18 cm
A
b)
c = 10 cm, b = 6 cm
c)
a = 18 cm, b = 15 cm
a)
 = 55º, C
 = 90º, a = 18 cm
A
 = 180º – A
 –C
 = 35º
B
=
sen A
=
tg A
b)
a
a
18
⇒c =
=
≈ 21,97 cm
 sen55º
c
sen A
a
a
18
⇒b=
=
≈ 12,6 cm

b
tg55º
tg A
 = 90º, b = 6 cm, c = 10 cm
C
a=
c 2 − b2 =
=
cos A
102 − 62 =
64 = 8 cm
b
6
 ≈ 53º 7 ' 48 ''
=
= 0,6 ⇒ A
c 10
 = 180º – A
 –C
 = 36º 52' 12''
B
c)
 = 90º, a = 18 cm, b = 15 cm
C
c=
a2 + b2 =
=
tg A
182 + 152 =
339 ≈ 18,41 cm
a 18
 ≈ 50º 11' 40 ''
=
= 1,2 ⇒ A
b 15
 = 180º – A
 –C
 = 39º 48' 20''
B
7.82. (TIC) Los lados de un triángulo miden 45, 27 y 36 cm. Demuestra que es rectángulo y que el
seno de uno de sus ángulos es
3
. ¿Cuáles son las otras dos razones trigonométricas de ese
5
ángulo?
2
2
2
Dado que 45 = 27 + 36 , el triángulo es rectángulo con hipotenusa de 45 cm.
sen=
α
27 3
=
45 5
cos=
α
36 4
=
45 5
tg=
α
27 3
=
36 4
7.83. Halla la longitud de la altura de un triángulo equilátero de 12 centímetros de lado.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
h=
122 − 62=
108 ≈ 10,39 cm
También podemos aplicar las razones trigonométricas:
sen60º =
h
12 3
⇒ h = 12·sen60º =
= 6 3 ≈ 10,39 cm
12
2
Semejanza y trigonometría | Unidad 7
37
7.84. ¿Se puede resolver un triángulo conociendo solo sus ángulos? Razona tu respuesta.
No, los triángulos semejantes tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales, y si no se conoce
al menos uno de los lados es imposible determinar de cuál de todos los semejantes se trata.
7.85. (TIC) La diagonal mayor de un rombo mide 8 cm y forma con cada lado contiguo un ángulo de
26º. ¿Cuánto mide el lado del rombo?
Llamando x al lado del rombo:
cos 26º =
4
4
⇒x=
≈ 4,45 cm
x
cos 26º
7.86. Resuelve el triángulo.
El ángulo inferior izquierdo del triángulo a resolver es 53,13º.
El ángulo superior del triángulo rectángulo de la izquierda, que coincide con el ángulo inferior derecho
del triángulo a resolver es 90º – 53,13º = 36,87º.
La hipotenusa del triángulo rectángulo de la derecha, que es el cateto mayor del triángulo a resolver:
cos53,13º
=
33,33
33,33
⇒=
a
≈ 55,55 dm
a
cos53,13º
La hipotenusa del triángulo rectángulo de la izquierda, que es el cateto menor del triángulo a resolver:
cos36,87º
=
33,33
33,33
⇒=
b
≈ 41,66 dm
b
cos36,87º
Finalmente, la hipotenusa del triángulo a resolver:
c=
a2 + b2 =
4821,3581 ≈ 69,44 dm
PROBLEMAS
7.87. El logotipo de una empresa tiene forma de hexágono y sus lados miden 3, 4, 5, 7, 8 y 9 cm.
En los carteles publicitarios se quiere dibujar un hexágono semejante de 117 cm de perímetro.
¿Cuánto miden los lados homólogos?
k
Perímetro del hexágono pequeño = 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 9 = 36 cm. Razón=
117
= 3,25
36
Lados del hexágono grande:
38
3 · 3,25 = 9,75 cm
4 · 3,25 = 13 cm
5 · 3,25 = 16,25 cm
7 · 3,25 = 22,75 cm
8 · 3,25 = 26 cm
9 · 3,25 = 29,25 cm
Unidad 7 | Semejanza y trigonometría
7.88. A la misma hora del día se observan las sombras que proyectan la torre del reloj y el obelisco
de una plaza. Halla la sombra de la torre.
Si x es la longitud de la sombra de la torre, tenemos:
x
2
12·2
= ⇒x=
= 4,8 m
12 5
5
7.89. Para medir la distancia entre dos puntos muy alejados A y B, se han situado dos personas
sobre ellos. Una tercera persona, una mujer, está en un punto C, a 50 m de distancia de A.
Calcula la distancia que separa los puntos A y B.
tg82º =
AB
⇒ AB = 50·tg82º ≈ 355,77 m
50
7.90. En el momento del día en que los rayos del sol forman un ángulo de 60º con la horizontal, la
sombra que proyecta un árbol en el suelo es de 2,6 metros. ¿Cuánto mide el árbol?
tg60º=
h
⇒ h= 2,6·tg60º ≈ 4,5 m
2,6
7.91. Unas cigüeñas han construido su nido sobre el tejado de un edificio a 25 metros del suelo. Un
chico lo observa desde un punto situado a 50 metros del edificio. Calcula el ángulo de
observación.
tg=
α
25
= 0,5 ⇒ α ≈ 26,57º
50
Semejanza y trigonometría | Unidad 7
39
7.92. (TIC) Si se observa durante 6 segundos un avión que sobrevuela un punto de la Tierra, se
aprecia que el avión cambia ligeramente de posición.
Si el avión se observa perpendicularmente a una altura de 1350 m y lleva una velocidad de 600
km/h, ¿qué ángulo diferencia las dos visuales del observador?
En 6 segundos, el avión recorre 1 km; por tanto,
=
tg α
1000
≈ 0,741 ⇒ α ≈ 36,54º
1350
7.93. El tronco de una palmera mide 3,5 m y crece de forma inclinada debido al peso de la parte
superior. La perpendicular desde su parte más alta hasta la tierra mide 2 m. Calcula el ángulo
de inclinación del tronco respecto a la vertical.
cos=
α
2
≈ 0,571 ⇒ α ≈ 55,18º
3,5
7.94. Para realizar prácticas de óptica, un estudiante que mide 1,70 m, situado a 12 m de un edificio,
coloca frente a sus ojos una regla vertical de 25 cm con la que oculta exactamente la altura del
mismo. Si la distancia del ojo a la regla es de 40 cm, calcula la altura del edificio.
Los triángulos que forman la regla y el edificio son semejantes, ya que se encuentran en posición de
x
0,25
12·0,25
⇒=
x
= 7,5 m.
Tales. Por tanto, si x es la altura del edificio, =
12
0,4
0,4
7.95. Calcula la longitud de la circunferencia que se traza con un compás cuyos brazos miden 7
centímetros y forman un ángulo de 70º.
r
Si r es el radio de la circunferencia, tenemos: sen35º = 2 ⇒ r = 14·sen35º ≈ 8,03 cm
7
Por tanto, la longitud de la circunferencia vale L = 2· π · r ≈ 50,45 cm .
7.96. Alba va a poner una bombilla de bajo consumo en una lámpara que está situada a 2 m del
suelo. Alba mide 1,53 m, y cada lado de la escalera, 70 cm. Los dos lados de la escalera forman
un ángulo de 50º. Averigua si alcanza con ella para poner la bombilla.
Si h es la altura que alcanza la escalera, cos 25º=
h
⇒ h = 70·cos 25º ≈ 63,44 cm .
70
Alba puede alcanzar, por tanto, una altura de 153 + 63,44 = 216,44 cm, suficiente para poner la
bombilla.
40
Unidad 7 | Semejanza y trigonometría
7.97. Se quieren fabricar losetas como las de la figura que estén formadas por un rombo de
diagonales 18,10 cm y 8,36 cm y un cuadrado inscrito en él.
Calcula el área de la zona oscura y la suma de las áreas de las zonas claras.
Observemos la figura. Los triángulos ABC y DEB son
semejantes. Por tanto:
AC DE
x
4,18
=
⇒
=
⇒ 37,829 − 4,18 x =9,05 x ⇒
BC DB
9,05 9,05 − x
37,829
⇒
=
= 2,86 cm
x
13,23
De este modo:
Área oscura: ( 2 ⋅ 2,86 ) =
32,7 cm 2
2
Área clara:
18,10 ⋅ 8,36
− 32,7 =
42,96 cm2
2
7.98. Para que una antena permanezca vertical y bien sujeta se han colocado dos anclajes en el suelo
a ambos lados, alineados con su base.
La distancia entre los anclajes es de 40 m, y si se observa la parte más alta de la antena desde
cada uno de ellos, los ángulos de elevación son de 30º y 60º, respectivamente.
Calcula la altura de la antena.
tg60º =
h
⇒ h = tg60º· x = 1,7321x
x
=
tg30º
h
⇒
=
h tg30º· ( 40 −=
x ) 23,096 − 0,5774 x
40 − x
Igualando: 1,7321
=
x 23,096 − 0,5774 x ⇒ 2,3095
=
x 23,096 ⇒ x ≈ 10 m ⇒ h ≈ 17,32 m
Semejanza y trigonometría | Unidad 7
41
AMPLIACIÓN
7.99. *En el trapecio ABCD de la figura, ¿cuánto mide DC?
a)
7+
2
3
3
b)
8+
c)
3
19
2
d)
8
Observemos el dibujo,
sen 45º
=
=
cos 45º
tg60º =
h
2
⇒=
h 3 2 sen 45º
= 3 2· = 3
2
3 2
y
3 2
⇒ y= 3 2 cos 45º
= 3 2·
h
h
3
⇒x=
=
=
x
tg60º
3
2
= 3
2
3
Por tanto, DC = x + 5 + y = 8 + 3 , la respuesta b).
7.100. En el rectángulo ABCD de la figura, las rectas r y r′ que pasan por los vértices A y C son
perpendiculares a la diagonal BD y la dividen en tres trazos iguales de 1 cm de longitud cada
uno.
2
El área del rectángulo ABCD, en cm , es:
a)
4,1
b)
4,2
c)
4,3
d)
4,4
Si P es el punto de corte de la recta r' con la diagonal BD, observemos que los triángulos PDC, BDC y
BPC son semejantes, ya que los tres tienen un ángulo de 90º, PDC y BDC comparten ángulo en el
 = BDC
 . Por tanto:
vértice D, y PCB
BC BD
CD BD
= ⇒ BC 2 =
BP · BD =
3 ⇒ BC =3 cm y
= ⇒ CD 2 =
DP · BD =
6 ⇒ CD = 6 cm
BP BC
DP CD
Así, el área de del rectángulo es BC ·=
CD
3 ·=
6
18 ≈ 4,2 cm , la respuesta b).
2
7.101. Dos bandas de anchura 1 cm se cruzan bajo un ángulo α. ¿Cuál es el valor del área de la
región común a ambas?
a)
sen α
b)
1
sen α
c)
1
1 − cos α
d)
1
sen2 α
La figura sombreada es un paralelogramo cuyos 4 lados miden lo mismo, y de altura h = 1.
Si llamamos l a la longitud de los lados tenemos sen α=
área pedida es =
S l=
·h
42
Unidad 7 | Semejanza y trigonometría
1
, es decir, la respuesta b).
sen α
h 1
1
, con lo que l =
y, por tanto, el
=
l
l
sen α
AUTOEVALUACIÓN
7.1.
Indica cuáles de los siguientes pares de triángulos son semejantes y, en ese caso, calcula la
razón de semejanza de sus lados.
a)
3; 4; 5 y 4,5; 6; 7,5 cm
b)
2; 5; 6 y 4; 10; 11 cm
c)
5; 12; 13 y 12,5; 30; 32,5 cm
a)
b)
c)
7.2.
7.3.
4,5 6 7,5
= 1,5 ⇒ Como los tres lados son proporcionales, los triángulos son semejantes y
= =
3
4
5
la razón de semejanza es k = 1,5.
4 10 11
⇒ Los tres lados no son proporcionales, por lo que los triángulos no son
=
≠
2
5
6
semejantes.
12,5 30 32,5
= 2,5 ⇒ Los tres lados son proporcionales, los triángulos son semejantes y la
= =
5
12
13
razón de semejanza es k = 2,5.
a) ¿Cómo deben ser los lados MN y BC para que los triángulos AMN y ABC sean
semejantes?
b)
Halla el valor de x.
a)
Paralelos, para que se cumpla el teorema de Tales.
b)
x x +5
=
⇒ 5 x = 3 x + 15 ⇒ 2 x = 15 ⇒ x = 7,5 cm
3
5
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos que
miden 2 y 18 cm, respectivamente.
Calcula el área de un triángulo rectángulo semejante con razón de semejanza k =
3
.
2
La altura sobre la hipotenusa del primer triángulo es: h = 2 · 18 = 36 ⇒ h = 6 cm.
2
20·6
9
2
= 60 cm , así, como la razón de las áreas es k 2 = , el área del
2
4
9
2
=
S' =
·60 135 cm .
triángulo semejante es
4
=
S
Su área es, por tanto
7.4.
Expresa en grados o radianes la medida de estos ángulos, según corresponda.
a)
3π
rad
5
c)
15 π
rad
4
e)
9π rad
b)
36º
d)
100º
f)
310º
a)
3π
rad = 108º
5
c)
15π
rad = 675º
4
e)
9π rad = 1620º
b)
36º =
d)
100º =
f)
310º =
π
rad
5
5π
rad
9
31π
rad
18
Semejanza y trigonometría | Unidad 7
43
7.5.
Halla las razones trigonométricas de los ángulos α y β de la siguiente figura.
Altura del triángulo: h=
7.6.
1002 − 602= 80 cm
sen=
α
80
60
80
= 0,8 ; cos=
α
= 0,6 ; tg=
α
= 1,33
100
100
60
sen
=
β
60
80
60
= 0,6 ; cos
=
β
= 0,8 ; tg=
β
= 0,75
100
100
80
Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 5 y 8
cm.
a)
Calcula la altura sobre la hipotenusa.
b)
Resuelve el triángulo.
a)
h = 5 · 8 = 40 ⇒ h = 6,32 cm.
b)
La hipotenusa mide a = 5 + 8 = 13 cm.
2
Los catetos miden: b = m · a = 5 · 13 = 65 ⇒ b = 8,06 cm.
2
c = n · a = 8 · 13 = 104 ⇒ c = 10,2 cm.
2
 180º − A
 −B
 51,68º
 = 90º ; sen B
 = b = 8,06 = 0,62 ⇒ B
 = 38,32º ; C
=
=
Los ángulos miden: A
a
13
7.7.
Calcula la medida de los lados y de los ángulos desconocidos.
a)
a)
b)
 = 90º, C
 = 180º – A
 –C
 = 35º, c = 18 cm, B
 = 55º
A
sen35º =
b)
18
18
⇒ b=
≈ 25,71 cm
b
tg35º
b
⇒ b = 19·sen65º ≈ 17,22 cm
19
cos 65º =
c
⇒ c = 19·cos 65º ≈ 8,03 cm
19
Calcula la medida de los ángulos agudos del triángulo de la figura.
sen α=
44
tg35º =
 = 90º, B
 = 65º, a = 19 cm, C
 – B
 = 25º
 = 180º – A
A
sen65º =
7.8.
18
18
⇒ a=
≈ 31,38 cm
a
sen35º
1
2 = 1 ⇒ α= 30º y=
β 90º −α
= 60º
1 2
Unidad 7 | Semejanza y trigonometría
PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
Calcula e imagina > El túnel de Eupalinos
En el siglo VI a. C., el tirano Polícrates gobernaba en la isla griega de Samos. Temeroso de una
invasión de los pueblos vecinos, levantó una gran muralla que rodeaba la capital de la isla y también
ordenó la construcción de un túnel que atravesara una montaña y sirviera para abastecer de agua a
la ciudad.
El encargado de proyectar y construir el túnel fue Eupalinos, nombre con el que se conoce desde
entonces esta maravilla de la ingeniería. Se tardaron quince años en terminarlo siguiendo sus
instrucciones: dos equipos comenzarían a perforar la montaña por laderas opuestas y deberían
encontrarse en su interior. El trabajo requería una gran precisión para que el encuentro tuviera lugar.
El proyecto de Eupalinos se basaba en el uso de triángulos semejantes mediante los que pudo
conocer exactamente las trayectorias que debían seguir los túneles para juntarse dentro de la
montaña. Hay que tener en cuenta que una mínima variación hacia la izquierda, la derecha, arriba o
abajo arruinaría el proyecto.
Actualmente, el túnel de Eupalinos es una atracción turística que se puede visitar y asombrarse de
cómo con tan pocas herramientas se pudo conseguir tanta exactitud. Tan preciso fue su método que
la construcción de los túneles modernos se basa en los mismos principios que utilizó Eupalinos.
Sigue paso a paso el método que utilizó para calcular la dirección con la que se debía horadar la
montaña desde cada uno de los extremos.
7.1.
Traza el triángulo imaginario ABC y, en la falda
de la montaña, toma las medidas AP = 100 m,
PQ = 700 m, QR = 1060 m y RB = 300 metros,
en las que todos los ángulos son rectos.
A partir de ellas, obtén las distancias AC y CB.
AC = PQ – BR = 400 m
CB = QR – AP = 960 m
7.2.
¿Cuánto medirá el túnel?
Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que
AB =
7.3.
AC 2 + CB 2 =
4002 + 9602 = 1040 m
¿Cómo deben ser los segmentos PX y RY para que los triángulos ABC, XPA y BRY sean
semejantes?
PX BR AC
Una prolongación de PQ y QR y tales que = =
AP RY BC
7.4.
Halla las distancias PX y RY.
PX
400
300 400
=
⇒ PX = 41,67 m y
=
⇒ RY = 720 m
RY
960
100 960
7.5.
A partir de los puntos X e Y se trazan los segmentos XA y BY, que dan la dirección en la que se
debe empezar a cavar.
Semejanza y trigonometría | Unidad 7
45
7.6.
Con este método, Eupalinos supo en qué dirección se debía excavar para no desviarse a
izquierda ni a derecha. Pero, ¿cómo hizo para que los mineros no se desviaran hacia arriba ni
hacia abajo, es decir, para saber en todo momento que estaban cavando en una horizontal
perfecta? Juntaos por equipos y proponed varias soluciones. (La altitud sobre el nivel del mar
de los puntos A y B es la misma.)
En la parte inferior de la galería había una línea horizontal que indicaba el nivel exacto que debía
seguirse en la excavación. Así se consiguió una pendiente bastante regular del 0,4 %. Para corregir
posibles errores y asegurarse de que los dos túneles se encontraban, Eupalinos hizo que aumentaran
el techo de uno de ellos y que en el otro mantuvieran el techo y rebajaran el suelo.
7.7.
Localiza la isla de Samos y fíjate en el nombre de sus principales ciudades. Una te recordará a
un famoso matemático; averigua qué relación guarda con la isla.
Samos es una isla griega cuya capital es Vathy.
Una de sus poblaciones es Pythagorio. Es un pintoresco centro turístico, dado que es un punto de
partida para muchas excursiones marinas por la isla. Su nombre hace referencia a Pitágoras, el gran
matemático del siglo VI a. C. nacido en esa isla.
7.8.
Heródoto cita el túnel de Eupalinos como una de las tres obras más grandiosas del mundo
griego. ¿Cuáles son las otras dos?
Las otras dos obras son el muelle y el templo de Samos.
Aprende y calcula > El monte Everest
Como ya sabrás, el monte Everest es la montaña más alta de la Tierra, aunque este hecho no se
supo hasta el siglo XIX.
El matemático y topógrafo bengalí Radhanath Sikdar fue el primero en medir la altitud de esta
montaña, en 1852, con ayuda de un teodolito. Para ello tomó varias medidas desde la India, aunque
no fuese la ubicación más cercana, ya que resultaba imposible entrar en Nepal.
Sus mediciones arrojaron que la montaña medía exactamente 29 000 pies, es decir, 8839 m sobre el
nivel del mar. Más de 150 años después se han llevado a cabo mediciones más precisas, realizadas
con GPS y otros instrumentos desde la cima, que han cifrado la altitud del Everest en 8844 m. Es
decir, si las mediciones actuales se aceptan como correctas, Sikdar cometió un error de solo un 0,06
%… ¡y sin necesidad de escalar la montaña!
7.9.
Antes de empezar, averigua la diferencia entre altura y altitud en Geografía y para qué sirve un
teodolito, y descríbelo por escrito.
Altitud: Es la distancia vertical de un punto respecto al nivel del mar.
Altura: Es la distancia vertical de un punto respecto a la tierra o cualquier otra superficie tomada como
referencia.
El teodolito es un instrumento de medición mecánico-óptico para medir ángulos verticales y
horizontales con gran precisión.
46
Unidad 7 | Semejanza y trigonometría
7.10. Ahora imagina que eres Sikdar y quieres determinar la altura de la cima C de una montaña.
Para ello te sitúas con un teodolito en dos puntos A y B situados a la misma altitud y
 = 72º , ABC
 = 75º y
separados entre sí una distancia de 800 m. Efectúas tres mediciones: CAB

el ángulo de elevación de la montaña desde A, HAC = 35º .
Determina:
a)
.
La medida del ángulo ACB
b)
Las longitudes desde los puntos A y B hasta la
cima de la montaña C.
c)
El punto H, inaccesible, se encuentra a la misma
altitud que A y B y en la vertical de C. ¿Qué tipo
de triángulo es AHC?
d)
Calcula la distancia desde H hasta C.
e)
Si los puntos A y B están a 1100 m sobre el nivel
del mar, ¿cuál es la altitud de la montaña sobre el
nivel del mar?
a)
33º
b)
Aplicando el teorema del seno al triángulo ABC obtenemos AC = 1418,81 m y BC = 1396,97 m.
c)
Un triángulo rectángulo
d)
HC = AC · sen 35º = 813,8 m
e)
1100 + 813,8 = 1913,8 m
7.11. ¿En qué continente, en qué cordillera y en la frontera entre qué países se encuentra el
Everest? Localízalos en un mapa.
En Asia, en la cordillera del Himalaya. Forma frontera entre China y Nepal.
7.12. Investiga brevemente el contexto histórico de la India y Nepal en la fecha de la medición y
aventura una hipótesis sobre por qué Sikdar no pudo entrar en Nepal para hacer sus
mediciones.
Respuesta abierta.
7.13. Cuando Sikdar lo midió, el monte Everest se llamaba Pico XV. Muchos indios, entre ellos un
primer ministro, han defendido que se dé al monte el nombre de Sikdar.
a)
¿Por qué razón se llama Everest?
b)
¿Qué otros nombres ha recibido y qué significaban?
c)
¿Qué países se oponen actualmente al nombre Everest, y cuáles proponen?
a)
En honor de sir George Everest, británico, topógrafo general de la India en 1865.
b)
En Nepal, Sagarmatha (la frente del cielo), y en China, Chomolungma (madre del universo).
c)
Nepal y China. Proponen los enunciados en el apartado anterior.
Semejanza y trigonometría | Unidad 7
47
Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM
Autoría: Fernando Alcaide, Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Juan Jesús Donaire, Vanesa Fernández, Joaquín
Hernández, Juan Carlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo, Cristóbal Merino, María Moreno, Isabel de los Santos,
Esteban Serrano, Yolanda A. Zárate
Edición: Oiana García, José Miguel Gómez, Aurora Bellido
Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire
Corrección: Javier López
Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “Haciendo el león”, Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos,
José Santos, José Manuel Pedrosa
Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano
Maquetación: SAFEKAT S. L.
Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez
Coordinación editorial: Josefina Arévalo
Dirección del proyecto: Aída Moya
(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados han sido marcados porque contienen alguna corrección en su
enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno.
Gestión de las direcciones electrónicas:
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