Download Divisores de un número

¿CUÁNTOS DIVISORES TIENE UN NÚMERO?
El siguiente trabajo trata de encontrar de manera razonada una solución al problema de
encontrar cuántos divisores tiene un número dado. Ten en cuenta que no se trata de hallar
los divisores sino cuántos son. Vamos a ir dando diferentes pautas para que puedas hallar la
solución de un modo sencillo.
1. El primer paso consiste en encontrar cuántos divisores tiene una potencia. ¿Cuántos
divisores tiene 2100 ? ¿y 3300 ? Si no sabes la respuesta, simplifica primero la pregunta.
Intenta descubrir primero cuántos divisores tiene 22 , 23 , 24 , 25 , etc y deduce una regla
que valga para cualquier potencia.
Una vez que hayas descubierto la regla general, pasamos a escribirla de tal modo que
valga para cualquier exponente, es decir, hay que explicar cuántos divisores tiene 2n y
3m siendo n y m números naturales.
¿Depende de la base que has tomado? Es decir, ¿depende de si el número es 2 o es 3?
Generalizamos un poco más y explicamos cuántos divisores tiene pn donde p es cualquier
número primo.
2. El segundo paso consiste en encontrar cuántos divisores tienen números como 6 = 2 · 3,
45 = 32 · 5 o 72 = 23 · 32 .
Este paso es el más difícil y prácticamente resuelve el problema. Hay que tener en
cuenta el paso anterior, la clave está en los exponentes y ver qué ocurre cuando hay dos
exponentes.
Una vez resuelto en casos particulares (puedes escribirte tú mismo más ejemplos hasta
que te quede claro) intentamos generalizar para cualquier exponente. Hay que hallar el
número de divisores de 2n · 3m siendo n y m números naturales.
¿Depende de la base que has tomado? Es decir, ¿depende de si el número es 2 o es 3?
Volvemos a generalizar un poco más y explicamos cuántos divisores tiene pn · q m donde
p y q son cualquier par de números primos.
3. Si has entendido bien el paso anterior, generalizarlo te será sencillo. Halla el número de
divisores de 24 · 36 · 54 · 78 (calcular el número no es buena idea).
¿Qué pasa entonces si un número es un producto de primos elevados a diferentes exponentes, n, m, r, s, t, ...? ¿Puedes hallar una forma de calcular el número de divisores?
4. (ESTE APARTADO ESTÁ PENSADO SOLO PARA LOS ALUMNOS DE 4o , UN
ALUMNO DE 2o PUEDE INTENTARLO SIN UTILIZAR COMBINATORIA)
Utilizando combinatoria explica cómo hallarías los divisores del número
N = pn1 1 · pn2 2 · pn3 3 · · · · · pnk k