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Institución Educativa “Hernán Villa Baena”
“ Formación para la vida, el trabajo y la educación superior”
UNIDAD DIDACTICA
CONJUNTOS NUMERICOS
Grado : sexto
Area: Matemáticas
Periodo: 1
Intensidad Horaria: 5 Hs
Docente: Ovidio puerta
¿ QUE VAS A APRENDER
ESTANDARES BASICOS DE COMPETENCIAS
PENSAMIENTO NUMERICO Y SISTEMAS NUMERICOS
Realiza operaciones aritméticas de manera precisa y eficiente con números naturales y decimales
Generalizar propiedades y relaciones de los números naturales (ser par, impar, múltiplo de, divisible por.
Resolver y formular problemas utilizando propiedades fundamentales de la teoría de números.
Comprende el sistema de numeración en base dos, sus aplicaciones en la informática y puede convertir un numero en
base 2 a uno en base 10 y viceversa.
Comprende el concepto de potenciación y su relación con la radicación y logaritmación.
DESARROLLO TEORICO
SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL
¿Para qué te sirve lo que vas a aprender?
Todos sabemos para qué sirven los números 1, 2, 3, etc. Lo sabemos desde primaria. Lo hemos aprendido en
los primeros juegos con nuestros padres y compañeros. Si nos preguntan por el número de pupitres que
existen en nuestro salón de clase, podemos contar y decir, con toda seguridad, el número de ellas. Ahora
ampliaremos sus aplicaciones para representar gráficamente y por escrito las diferentes situaciones
de la vida cotidiana.
Sistema de numeración decimal
¿En dónde
usamos los
números?El conjunto de los
Números Naturales
Para estudiar los números observemos la organización de un país. Tiene un número determinado de
habitantes, tiene sus propias reglas y sus habitantes las respetan. Resulta interesante conocer el
origen y las características de sus habitantes; las correspondientes leyes que los rigen; los tipos de
relaciones; la posición; la magnitud de sus tierras y el orden que se dan entre ellos. Realizaremos
nuestro recorrido por los caminos de este interesante país. La organización de estos habitantes es
sorprendente, siempre se presentan de modo ordenado y es fácil identificar quién esta adelante o
detrás de cualquier otro. Dos de los habitantes se disputan el primer lugar desde hace algún tiempo.
Son tantos los habitantes del país que nunca se termina de contarlos porque siempre se presentan
otro habitante que le sigue al que se creía que era el último, son infinitos. Estos Habitantes disfrutan
de una gran amistad, tienen buenas relaciones entre sí y permanecen muy ordenados, todos
conocen a su vecino y saben que el de la izquierda es el menor y el de la derecha es el mayor. El
sistema de numeración decimal es muy parecido a la organización demográfica de nuestro país, es
llamado decimal porque fue inventado por los hindúes y difundido después por los árabes, razón por
la cual también se llama sistema indoarábigo. Este sistema consta de diez símbolos llamados
dígitos.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
En cierto pueblo de nuestro maravilloso país se
encuentran 537 habitantes si leemos por separado, cada uno de los números que lo componen,
tenemos:
5
CINCO
CENTENAS
3
TRES
DECENAS
7
SIETE
UNIDADES
Pero si tenemos en cuenta la posición de cada número podemos observar que el 7 está en la
columna de las unidades, el 3 está en la columna de las decenas y el 5 está en la columna de las
centenas. Por lo tanto podemos decir que el sistema numérico decimal es posicional es decir que se
tiene en cuenta la posición que ocupa el número veamos ¿Por qué?. Para hacer fácil la lectura de
los números, usamos espacios para separar a los dígitos en grupos de tres, llamados posiciones.
Cada posición tiene un nombre como unidades, millares, millones, billones y así sucesivamente por
ejemplo reunimos los habitantes de 986 pueblos para mirar cuantos hombres y mujeres había, y en
total eran 235064 hombres y 185142 mujeres, el número de habitantes hombres se lee doscientos
treinta y cinco mil, sesenta y cuatro. Vamos a mostrarte la siguiente tabla donde
muestra la
posición de cada dígito.
235064140
BILLONES
MILLARES DE UNIDADES
BILLON
DE BILLON
C
D U
C D U
MILLONES
UNIDADES
MILLARES
UNIDADES DE
DE MILLON
MILLON
C D
U C D U
MILLARES
C
D
UNIDADES
U
C
D
U
1000000 100000 10000 1000 100 10 1
1017 1016 1015 1014 1013 1012 1011 1010 109 108 107 106
105
104
103
102 101 100
Ahora bien, cada posición corresponde a una potencia sucesiva de 10, es decir conforme nos
movemos a la izquierda en esta tabla el valor de la posición es 10 veces más grande que la columna
a su derecha. Esta es la razón por la cual llamamos a nuestro sistema “sistema de numeración
decimal”. Entonces ahora ¿Podrás hacer lo mismo con el número de mujeres que habitan en
estos 986 pueblos?
El siguiente esquema muestra los grupos que se forman sucesivamente con base en el
sistema posicional decimal.
BILLONES
Millares
de
billón
cen de uni
ten ce dad
as
na es
s
18 17 16
Del
13
al
18
MILLONES
Unidades de Millares
de Unidades
billon
millon
millon
cen de uni cen de uni cen de
ten ce dad ten ce dad ten ce
as
na es
as
na es
as
na
s
s
s
15 14 13 12 11 10 9
8
Del 7 al 12
UNIDADES
de Millares
Simples
uni cen de
dad ten ce
es
as
na
s
7
6
5
Del 1 al
6
uni cen de
dad ten ce
es
as
na
s
4
3
2
uni
dad
es
1
A las unidades, millones y billones se les llama PERIODOS
A las unidades simples, millares, unidades de millón, millares de millón, unidades de billón y millares
de billón se les llama CLASES
A las unidades, decenas y centenas de cada clase se les llama ORDENES
Los Números que aparecen en la tabla del 1 al 18 es el numero de ordenes de cifras que tiene cada
periodo
La representación de un número
La representación de un número puede ser de forma poli nómica, es decir el número se expresa teniendo en
cuenta el valor de la posición de cada de sus cifras. Por ejemplo, el número 11.250 de pueblos reunidos
anteriormente se puede expresar en forma
POLINOMICA de la siguiente manera:
9.000 + 600 + 400 +1.000 + 200 + 50
quieras.
ó
4.000 + 7.000 + 1250 ó de muchas maneras más, como tú
También puedes expresarlo de forma exponencial es decir el número se expresa
teniendo en cuenta el valor de la posición de cada una de sus cifras en forma exponencial.
Por ejemplo el número 11.250 , expresado en forma
exponencial es:
(1 x 104 ) + (1 x 103 ) + ( 2 x 102) + ( 5 x 101) =
1 x 10000 + 1 x 1000 + 2 x 100 + 5 x 10 =
10000 + 1000 + 200 + 50 = 11250
¿Son
ordenados
los
números?
El conjunto de los números naturales
Del mismo modo que las calles de nuestra ciudad o nuestro pueblo están ordenadas para facilitar la
ubicación espacial de las personas, los números naturales lo están y pueden representarse mediante
puntos igualmente distribuidos en la semirrecta. Para ellos se traza una semirrecta que continúa de
modo indefinido hacia la derecha con una flecha final que indica la dirección a donde se escribirán
los números naturales y se hacen muchas marcas igualmente espaciadas sobre ella. Luego hacen
corresponder los números naturales con los puntos marcados en la semirrecta, así
La idea de sucesor de un número sirve para distinguir el orden natural de los números y definir el
conjunto de los números naturales
N = {0, 1, 2, 3, 4, …}
Los puntos suspensivos se
leen,… “y así sucesivamente” e indican que el conjunto tiene infinitos elementos.
El cero es el primer elemento y note que cada número natural tiene un sucesor y cada número mayor
a uno tiene un sucesor y un antecesor. ¿Cuál es el número antecesor de 10 y ¿cuál es el número
sucesor de 10? Los números tienen un doble uso: Cuando se responde a la pregunta ¿Cuántos?, se
responde con el número cardinal 6 por ejemplo. Cuando se pregunta: ¿Cuál? Se responde con el
ordinal del número sexto. Por lo tanto los números naturales son ordinales y de los cardinales son
para contar, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…,
16º (decimosexto),…
EL SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO
Un sistema de numeración posicional de bastante importancia es el de base dos, el cual recibe el
nombre de sistema de numeración binario. Su importancia radica en que se aplica en el
funcionamiento y manejo de las computadoras, cuyo uso se hace cada día más común. El sistema
de numeración binario fue una aportación del matemático y filósofo alemán Guillermo Leibniz (1646 1716). En este sistema base dos se ha de trabajar con dos símbolos que son: ( 0,1 )
En el siguiente cuadro se muestra la estructura de este sistema
8a
27
128
7a
26
64
6a
25
32
5a
24
16
4a
23
8
3a
22
4
2a
21
2
1a
20
1
Posición
Potencia
Valor
Para expresar que un número está representado en base dos, se procede así:
Ejemplo:
¿Cómo se escribe 35 en base dos?
35 ∟2
1 17 ∟2
1 8 ∟2
0 4∟2
0 2∟2
0 1
Como puedes observar se dividió cada uno de los cocientes entre dos que es la base, luego se organizan el
ultimo cociente que en este caso es uno con los residuos de abajo hacia arriba quedando asi: 1000112
entonces
35 = 1000112 y lo podemos comprobar utilizando las potencias que aparecen en el cuadro anterior asi:
(1 . 25) + (0× 24) + (0× 23) + (0× 22) + (1× 21) + (1× 20) Nota: el punto significa por
(1 ×32) + (0× 16) + (0 ×8) + (0×4) + (1× 2) + (1 × 1 )
32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 3510
EL SISTEMA DE NUMERACIÓN QUINARIO
Se procede de igual manera que en caso anterior, pero ya no se divide por 2, sino por cinco y los valores de
las diferentes posiciones corresponden a las potencias de cinco. Véase el siguiente ejemplo
350 ∟5
0 70 ∟5
0 14 ∟5
4 2
Ordenamos 24005
350
= 24005
Utilizamos las potencias de cinco
2 x 53 = 2 x 125 = 250
4 x 52 = 4 x 25 = 100
0 x 51 = 0 x 5 = 0
0 x 50 = 0 x 1 = 0
= 35010
Observa la conversión entre sistemas de numeración
Ejemplo:
¿Cuál es el valor de 1 010DOS en base diez?
(1 23) + (022) + (121) + (020) =
(1 2 2 2) + (0 2 2) + (1 2) + (0 1) =
(1 8) + (04) + (12) + (0 1) =
8 + 0 + 2 + 0= 10
Por lo tanto: 1 010DOS = 10
De manera semejante se procede para convertir un número representado en base cinco,
en un número de base diez, solamente que ahora se multiplica por la potencia de cinco
que corresponda.
Ejemplo:
¿Cuál es el valor de 2 034CINCO en base diez?
2 (53) + 0(52) + 3(51) + 4(50) =
2 (5 5 5) + 0 (5 5) + 3 (5) + 4(1) =
2 (125) + 0(25) + 3(5) + 4(1) =
250 + 0 + 15 + 4 = 269
Resolución de problemas de adicción, sustracción, multiplicación y división de números naturales
Para analizar un problema es indispensable leerlo y comprenderlo; también se deben identificar los
datos que se dan, así como lo que se pregunta y, con base en ello, determinar las operaciones
necesarias para llegar a la solución. También hay que estimar el resultado para encontrar una
aproximación de la solución numérica del problema, con el propósito de detectar y corregir errores de
procedimiento operacional, aun en situaciones que parezcan rutinarias. Dependiendo de la habilidad
que se tenga, se pueden efectuar estimaciones mentales o escritas con menor o mayor
aproximación.
Observa el siguiente ejemplo:
La cooperativa “El Maizal” de San José vendió las siguientes cantidades de maíz 3 472 kg, 3 728 kg,
8 318 kg, 2 497 kg y 3 896 kg . Calcular el total vendido
1) Análisis: a) Datos del problema :
3 472 kg, 3 728 kg , 8 318 kg, 2 497 kg, 3 896 kg
b) Pregunta del problema: número de kg de maíz vendidos en total.
c) Operaciones que se deben hacer : Adición
d) Estimaciones del resultado: 3 000 + 4 000 + 8 000 + 2 000 + 4 000 = 21 000
Aproximadamente
2) a) Proceso operacional : 3 472
3 728
8 318
2 497
3 896 = 21911
3) Resultado: 21 911 kg de maíz se vendieron
Resolución de problemas aplicando la suma, diferencia, multiplicación y división de números
naturales
1. En la Institución Educativa Hernan Villa Baena se recolectaron $1 855 000 para la compra de
un televisor
que cuesta $2 350 000, ¿cuánto dinero falta?
2. Un cuaderno y un libro tienen un costo de $19 500, si el cuaderno cuesta
$3 800, ¿cuánto cuesta el libro?
3. Silvia tiene 32 años. Si le sumamos la edad de Carmen y le restamos 8 da por
resultado 51. ¿Cuál es la edad de Carmen?
4. En la finca de Hermes hay 785 pollos; en la de su hermano Iván hay 48 pollos
más, ¿cuántos pollos tiene Iván?
5. En un grupo de 25 alumnos, 11 son varones, ¿cuántas mujeres hay?
6. Si una persona tiene $500 000 y gasta $185 000, ¿cuánto dinero le queda?
7. En una comunidad hay 468 personas de las cuales 125 son menores de edad. ¿Cuántos
adultos hay?
8. El grito de independencia de Colombia se dio en 1810. ¿Cuántos años han
transcurrido hasta el año en que estamos?
9. La capacidad de una presa es de 172 300 000 m 3, si contiene solamente
158 750 000m3¿Qué cantidad de agua le falta para llenar toda su capacidad?
10. Un marchista recorre diariamente 5 kmcomo parte de su entrenamiento, ¿cuántos kilómetros
habrá recorrido al término de 7 días?, ¿a cuántos metros equivalen esos kilómetros?
11. Llegaron a la biblioteca de la institución 34 cajas de libros, de las cuales 11 son de español,
10 de geografía y las 13 sobrantes de historia, cada caja contiene 22 libros.
a) ¿Cuántos libros en total son de español?
b) ¿Cuántos libros son de geografía?
c) ¿Cuántos, de historia?
d) ¿Cuántos libros totalizan las 34 cajas?
11. Un autobús ha recorrido 1 890 km en 15 h. ¿Cuál ha sido su velocidad promedio en dicho
recorrido?, es decir, ¿cuántos kilómetros recorrió aproximadamente en cada hora?
12. Una persona que trabajó para cierta empresa durante 27 años, recibe una indemnización
de $72 540 000 por quedar inhabilitado para trabajar. ¿Qué cantidad le asignaron por cada año de
servicio?
13. Al pagar el impuesto predial, un ganadero debe entregar $8 456 000. Si el pago corresponde
a 56 hectáreas, ¿cuál es el pago por cada hectárea?.
Múltiplos y divisores:
Los múltiplos y divisores de un número, son usados con frecuencia en muchas de las situaciones de la
cotidianidad. Por ejemplo, para comprar cinco panes de $1200, y saber cuánto se debe pagar, pues el
resultado corresponde a un múltiplo de 1200. Si todos los días recorres en la bicicleta cierta distancia,
entonces la medida de la distancia recorrida en cinco días es un múltiplo de la distancia
que recorres a diario. Saber cómo se puede distribuir en bolsas un bulto de naranjas, de manera que en cada
bolsa quede la misma cantidad.
Los múltiplos se utilizan al ir contando paquetes con el mismo número de objetos, por ejemplo: las decenas de
huevos, los fajos de billetes en el banco o grupos de personas con el mismo número de integrantes, etcétera.
Así:
8 docenas de huevos son iguales a 96 huevos porque 8 × 12 = 96
9 fajos con 2000000 son iguales a $18 000 000 porque
9 × 2 000 000 = $18 000 000.
El múltiplo de un número natural es el producto de ese número por cualquier otro número natural. Como
consecuencia de esto, se tiene que para un número cualquiera existe una infinidad de múltiplos que
se pueden calcular al multiplicar cada uno de los componentes de la serie de números naturales por
dicho número.
El DIVISOR de un número natural es aquel que divide exactamente a ese número. Los divisores de
un número se utilizan cuando es necesario hacer una distribución equitativa de una colocación de
objetos o personas. Por ejemplo, se desea saber cuántos equipos –con el mismo número de
integrantes– sepueden formar con 24 personas. Al divisor también se le conoce como submúltiplo.
3 es divisor de 12, porque al efectuar la división 12_3 se obtiene como resultado 4, siendo
el residuo igual a 0.
7 es divisor de 63, porque al efectuar la división 63_7 se obtiene el cociente 9, y además
el residuo es 0.
5 no es divisor de 84, porque la división 84 _ 5 no es exacta, pues se tiene como residuo 4.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 2, 3, 5,6 y 7
Un número es divisible por 2 si el dígito de las unidades es 0, 2, 4, 6, 8.
Este enunciado se conoce como criterio de divisibilidad entre 2.
Ejemplos:
4520
628
724
436
Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es un
múltiplo de 3. Este es el criterio de divisibilidad por 3.
Ejemplos:
423 sí es divisible entre 3, porque 4 + 2 + 3 = 9
y 9 es múltiplo de 3
1 623 sí es divisible entre 3, porque 1 + 6 + 2 + 3 = 12 y
12 es múltiplo de 3
Un número es divisible entre 5 si la cifra de las unidades simples es cero o cinco.
Ejemplos:
425
700
675
120
Divisibilidad por 6: Un número es divisible por 6 si es par y
múltiplo de 3.
Divisibilidad entre 7
Para saber si un número es divisible entre 7, duplicamos las unidades y restamos dicho resultado del número
formado por las cifras restantes. Este paso se repite hasta que la diferencia esté formada por una o dos cifras;
si éstas últimas son 0 o múltiplos de 7, el número propuesto es divisible entre 7.
Ejemplos:
84: se duplican las unidades: 4 × 2 = 8; se resta el resultado a las cifras restantes:
76
8–8=0
La diferencia es 0, por lo tanto, 84 es divisible entre 7.
245: se duplican las unidades: 5 × 2 = 10; se resta el resultado a las cifras restantes:
24 – 10 = 14
El resultado es 14, número que se identifica rápidamente como múltiplo de 7, por lo tanto,
el número 245 es divisible entre 7.
Divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si termina
en cero.
La divisibilidad es la propiedad que tiene un número de ser dividido exactamente entre
otro.
Mínimo común múltiplo:
Una de las ideas relacionadas con la operación de multiplicar números naturales es la de mínimo común
múltiplo de varios números. Dicha idea está en la base de muchos problemas de la economía, la ciencia y la
tecnología, en los que se busca encontrar un mínimo de diversas cantidades. Cuando se ordenan de menor a
mayor los múltiplos de dos o más números, se observa que algunos se repiten. A estos números que se
repiten y que son comunes a los números dados, se les llama múltiplos comunes.
Ejemplo:
Obsérvense los primeros múltiplos de los números 4, 6 y 8.
Múltiplos de 4: [ 0, 4, 8, 12, 16, 20, (24), 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52... ]
Múltiplos de 6: [ 0, 6, 12, 18, (24), 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66... ]
Múltiplos de 8: [ 0, 8, 16, (24), 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88... ]
Aplicando lo anterior en el ejemplo mostrado, el mínimo común múltiplo de los números 4, 6 y 8 es el 24. Esta
expresión se simboliza así:
mcm (4, 6, 8) = 24
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes
a dichos números, que sea diferente de cero.
Un procedimiento sencillo para obtener el mcm de varios números es el de la factorización
simultánea, el cual se detalla a continuación:
Ejemplo: halla el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8.
Se escriben los números 4, 6 y 8 y, a su derecha, se traza una línea vertical
4
6
8
2
Aplicando los criterios de divisibilidad y factorizando en forma simultánea los números
4, 6 y 8, se tiene que el primer factor primo es 2, al efectuar mentalmente las divisiones:
4
2
6
3
8
4
2
Aplicando el mismo criterio de divisibilidad, se ve que el 3 no es par, por lo tanto, se reescribe
en el siguiente renglón, junto con los cocientes de los otros números al ser divididos:
4
2
1
6
3
3
8 2
4 2
2
Se aplica otra vez el criterio de divisibilidad entre dos, pero obsérvese que nuevamente el 3 no es
par, por lo tanto, se reescribe en el renglón de abajo, además de los cocientes respectivos:
4
2
1
1
6
3
3
3
8
4
2
1
2
2
2
Se aplica el criterio de divisibilidad para el último número que queda, 3, y se efectúa la división,
anotando en el siguiente renglón el cociente obtenido:
4
2
1
1
1
6
3
3
3
1
8
4
2
1
1
2
2
2
3
Su factorización termina cuando la unidad queda como residuo al final de la columna de cada numero
factorizado.
El mcm de los números 4, 6, 8 es el producto de los factores primos, es decir:
2x 2 x 2 x 3
Finalmente, la representación será:
mcm (4, 6, 8) = 24
Máximo Común Divisor :
Ejemplo
Juan tiene $15 000 y Luis $20 000. Ambos desean cambiar sus billetes por monedas de la
misma denominación y de la mayor posible. ¿Cuál es el mayor valor que pueden tener las
monedas?
Si se buscan los divisores de dos o más números, se observa que uno o varios coinciden en todos ellos. Esos
divisores comunes son de gran ayuda en la resolución de problemas cotidianos.
Divisores de $15 000 son [ 50, 100, 200, 500, 1 000 ]
Divisores de $20 000 son [ 50, 100, 200, 500, 1 000 ]
Se observa que el mayor de los divisores comunes (pensando en las denominaciones de las monedas) es
1000. El mayor valor de las monedas es 1 000. Máximo común divisor (MCD) de dos o más números es
el número mayor que los divide a todos exactamente.
En matemáticas existen procedimientos que nos permiten resolver problemas de manera
directa y sencilla. A continuación se presenta un procedimiento fácil para obtener el MCD.
El almacenista tenía 16 calculadoras de bolsillo de color negro, 24 azules y 28 rojas;
debía empacarlas de tal manera que en cada paquete hubiese igual número de calculadoras
del mismo color.
¿Cuál es el máximo número de paquetes que se puede formar? ¿Cuál es el mayor número
de calculadoras del mismo color que puede ir en el mismo paquete?
Dado el problema se procederá a obtener el MCD por medio del siguiente procedimiento
Se factorizan simultáneamente los tres números hasta que se tenga un divisor común
16
8
4
24
12
6
28
14
7
2
2
Obsérvese que los números 4, 6 y 7 no tienen divisor común, con excepción del uno. Por lo tanto, se
detiene el proceso y puede manifestarse que el MCD de los números 16, 24 y 28 es el producto de
los divisores comunes.
Por lo tanto:
MCD (16, 24, 28) = 2 x 2
El 4 indica el máximo número de paquetes que se pueden formar, de tal manera que cada paquete
contenga el mismo número de calculadoras del mismo color. Ahora bien, se puede responder a la
segunda pregunta si se considera lo siguiente: El número máximo de calculadoras de cada color que
se puede poner en 4 paquetes se obtiene si se divide el total de calculadoras entre el número de
paquetes.
Por lo tanto: 16 calculadoras negras
4 paquetes
= 4 calculadoras negras en cada paquete
24 calculadoras azules
4 paquetes ,
= 6 calculadoras azules en cada paquete
28 calculadoras rojas
4 paquetes
= 7 calculadoras rojas en cada paquete
Luego, se tiene que en cada paquete hay 17 calculadoras de las cuales cuatro son negras, seis son
azules y siete son rojas. Como se tienen cuatro paquetes, el total de calculadoras empacadas es 68.
Como se pudo apreciar, es posible resolver problemas en forma sencilla si se aplica el algoritmo
del MCD.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
En ocasiones, al determinar los factores o divisores de uno o más números dados, se observa que algunos
tienen varios divisores, otro tiene sólo uno y los demás, curiosamente, tienen únicamente dos factores tal
como lo observaste en el tema de los divisores de un numero natural.
A los números que tienen dos divisores (el número 1 y a sí mismos) se les conoce como números
primos. A los números que tienen más de dos divisores se les conoce como números compuestos.
Por lo que respecta al número 1, se dice que no es número primo ni tampoco número compuesto, ya
que tiene únicamente un divisor.
Ejemplo:
83: el conjunto de sus divisores es 1,83
43: el conjunto de sus divisores es 1,43
Ejemplo: 8: el conjunto de sus divisores es {1, 2, 4, 8}
20: el conjunto de sus divisores es {1, 2, 4, 5, 10 y 20}
POTENCIACION, RADICACION Y LOGARITMACION
La potenciación es una operación que facilita la resolución de diversos problemas. Ejemplo: Una caja
contiene 20 paquetes de cerillas, cada paquete contiene 20 cajitas y, cada una de éstas tiene 20 cerillas,
¿cuántas cerillas tiene en total la caja? Para resolver este problema se hace necesario la siguiente
multiplicación. 20 paquetes × 20 cajitas × 20 cerillas = 8 000 Una forma simplificada de expresar esta
operación es también: 203 = 8 000 Por lo tanto, la potenciación, como un caso particular de multiplicación, es
la operación que transforma a dos números –uno que se repite como factor y otro que indica las veces que el
primero se ha de repetir– en una potencia. Así, una multiplicación de factores iguales se puede expresar
mediante una potencia:
3 3 3 3 3 3 = 36 = 729
lo que significa tomar 6 veces el mismo factor
El número que se multiplica por sí mismo recibe el nombre de base. En este caso, 3 es la
base.
Las veces que la base se toma como factor se indica con un pequeño número escrito en la
parte superior derecha, al que se conoce con el nombre de exponente; en este ejemplo,
corresponde al número 6. El número 729 es la potencia, producto de la multiplicación de
los factores iguales.
exponente
36
EXPONENTE
= 729 potencia
Base
Otros ejemplos son:
54= 5 × 5 × 5 × 5 = 625
26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
92 = 9 × 9 = 81
En este último ejemplo, el exponente 2 se lee cuadrado o segunda potencia, y si fuera 93
se leería cubo o tercera potencia. Del 4 en adelante, se dice: cuarta, quinta, sexta potencia,
etcétera.
Hallar la raíz cuadrada de un número es la operación inversa a encontrar la segunda potencia, y
consiste en hallar un número que multiplicado por sí mismo sea igual al radicando o se aproxime a
él. Así:
√ 81 = 9 porque 9 × 9 = 81
Uso de la Geometría
¿Qué voy a aprender?
PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMETRICO
Construye una recta paralela y una perpendicular a una recta dada con la utilización de varias herramientas (
escuadra, regla y compas).
Distingue entre polígonos cóncavos y convexos.
Construye la bisectriz de una recta y un ángulo dado.
Mide y clasifica los diferentes ángulos.
Clasificar polígonos en relación con sus propiedades.
DESARROLLO TEORICO
Cada vez que te desplazas de un lugar a otro, o cuando representas en un dibujo algún objeto o
lugar estás haciendo uso de las matemáticas y más específicamente de los pensamientos espacial.
El punto se define como un elemento geométrico que no está dotado de dimensión, es decir que no
tiene longitud, ni ancho, ni alto. Solamente tienen posición. En adelante los puntos serán
representados con una letra mayúscula. Si se dispusieran más puntos intermedios de tal manera que
no quedaran espacios entre aquellos que conservan la misma dirección (que están en la misma fila o
columna), tendríamos un ejemplo de lo que podría ser una recta.
Otro concepto derivado del concepto de recta es el de segmento. En él aparte de conocer el punto
de origen se conoce el final. Por lo tanto, es un elemento que puede dotarse de medida ya que es
finito. Para nombrar un segmento cuyos puntos de origen y final se denominan A y B se utiliza la
notación ↔AB
Clases de líneas según su forma
Línea recta: no tiene partes curvas
Línea curva: no tiene partes rectas
Línea mixta: tiene partes rectas y partes curvas
Línea poligonal: Se denomina línea poligonal al conjunto ordenado de segmentos tales que, el
extremo de uno de ellos coincide con el origen del segmento que le sigue. Un polígono está
conformado por una línea poligonal cerrada.
Líneas rectas según su posición:
Línea horizontal :
Línea perpendicular:
Línea oblicua:
ELEMENTOS DE UN POLIGONO CONVEXO:
B
Lado
C
Lados: Son los segmentos que limitan al
Polígono.
Vértice
Vértices: Es la intersección de dos lados
Consecutivos.
A
Diagonales: Son segmentos cuyos extremos
Son dos vértices no consecutivos.
Diagonal
Ángulos Interiores: Son los ángulos formados
por dos lados consecutivos del polígono.
Angulo interior
E
Angulo exterior
D
Angulo Exterior: Ángulos formados por un lado
Y la prolongación de un lado consecutivo.
La palabra polígono está formada por dos voces de origen griego: "polys": muchos y "gonía": ángulos; por lo
tanto, es una figura con muchos ángulos.
Polígono Regular: Un polígono es regular si tiene todos sus ángulos congruentes y sus ángulos congruentes.
De acuerdo al número de lados los piligonos se clasifican en:
Triangulo Equilátero
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
Nonágono
Decágono
Los polígonos también se designan nombrando el numero de lados, ejemplo: Poligono de 15 lados, polígono
de 24 lados etc.
Angulo: Es la magnitud de la desviación de una semirrecta, al girar sobre otra.
El punto común de ambas semirrectas se denomina vértice del Angulo. Las semirrectas son los lados del
mismo.
Clases de angulos
Angulo recto mide 90 grados. Esta formado por el cruce de dos semirrectas perpendiculares.
Angulo Agudo: Mide menos de 90 grados
Angulo Obtuso: Mide mas de 90 grados y menos de 180 grados
Ángulos Adyacentes: Son dos ángulos coplanares que tienen un vértice y un lado común; y el lado común
separa los dos angulos.
Angulos Complementarios: Son dos angulos adyacentes cuya suma de medida es 90 grados
Angulos suplementarios ; Son dos ángulos adyacentes cuya suma de medida es 180 grados
PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS
Re c o p i l a , organiza, interpreta y presenta datos para hacer inferencias y conclusiones.
Recopila, organiza, calcula y analiza medidas estadísticas para un conjunto de datos.
Construye e interpreta las
de barra, circulares pictogramas.
representaciones
gráficas
a p r o p i a d a s (gráficas
DESARROLLO TEORICO
Recolección e interpretación de datos. Tabla de frecuencias
Para qué te sirve?
La estadística es una herramienta de investigación que se usa en todas las ciencias. Con ella, es
posible describir conjuntos que sean sometidos a un estudio y, luego de su análisis predecir el
comportamiento de los mismos a partir de datos correspondientes a partes de ese conjunto. Tiene
gran aplicación cuando se quieren determinar las necesidades de una región particular; por ejemplo,
si desea conocer el rendimiento académico de los estudiantes, si se quiere saber cuáles son las
actividades preferidas por las personas para realizar en su tiempo libre o para identificar el medio de
transporte que utilizan los estudiantes de la institución Educativa Hernan Villa Baena, entre otros
casos.
Recuento de datos. Frecuencias
Para manejar los resultados de una encuesta, de una votación o de cualquier estudio estadístico, lo
primero que hemos de hacer es organizar los resultados obtenidos, ordenándolos y clasificándolos, es
decir, haciendo lo que se llama un recuento de los datos.
FRECUENCIA ABSOLUTA
Se llama frecuencia absoluta de un dato al número de veces que ha salido ese dato o resultado.
La suma de las frecuencias absolutas de todos los datos que se han obtenido en la encuesta o estudio, ha
de ser igual al número total de datos.
Vamos a hacer un recuento de datos y a ver su frecuencia relativa en el ejemplo siguiente: Hemos
preguntado a los 22 alumnos y alumnas de clase sobre cuál será el resultado del próximo derby entre dos
clubes de fútbol rivales, obteniendo estos resultados:
1-2-X-X-1-1-2-X-1-1-X-2-1-1-1-X-X-2-1-2-2–X
donde el 1 significa que gana el equipo de casa, la X que empatan y el 2 que gana el equipo visitante.
Efectuamos el recuento de los datos, anotando el número de veces que ha aparecido cada uno de los
resultados.
Ahora construiríamos una tabla, llamada tabla de frecuencias, en la que pondríamos en la segunda
columna las frecuencias absolutas:
La suma de las frecuencias absolutas es: 9 + 7 + 6 = 22
Lo primero que hemos de hacer es comprobar que no nos hemos dejado ningún resultado sin contar: en
este caso hemos preguntado a 22 alumnos de clase, que coincide con el resultado de la suma anterior.
Estas tablas son una forma sencilla de presentar los datos y hacen más fácil interpretar los resultados.
FRECUENCIA RELATIVA
Se llama frecuencia relativa de un dato al cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de
datos.
La suma de todas las frecuencias relativas de los datos de un estudio tiene que ser igual a 1.
Para los resultados de la encuesta anterior, escribimos una nueva columna a la derecha de la tabla de
frecuencias en la que vamos calculando cada una de las frecuencias relativas:
La suma de las frecuencias absolutas es: 9 + 7 + 6 = 22
La suma de las frecuencias relativas es:
Hay una mayoría que piensan que ganará el equipo de casa, el resultado 1.
Veamos ahora otro ejemplo: Hemos hecho una votación entre los 22 alumnos y alumnas para elegir de
entre cuatro candidatos al delegado de nuestra clase, obteniéndose los siguientes resultados:
Carlos - Paula – Carmen – Ana – Carmen – Paula – Paula – Carlos – Ana – Paula – Carlos – Paula – Ana –
Carmen - Paula – Carmen – Carlos – Carlos – Paula – Carlos - Paula – Carmen
Hacemos, en primer lugar, el recuento de los datos:
Una vez efectuado el recuento, construimos la tabla de frecuencias:
La suma de las frecuencias absolutas es: 6 + 8 + 5 + 3 = 22
La suma de las frecuencias relativas es:
La más votada ha sido Paula, que será la delegada de clase.
Diagramas y gráficos
Cuando hacemos una representación gráfica, lo que pretendemos es presentar los datos que estamos
manejando de manera que resulte más fácil interpretarlos, incluso solo con “echarle un vistazo” a la
gráfica.
Para representar el conjunto de datos que hemos obtenido al hacer cualquier encuesta o votación,
disponemos de varios tipos de diagramas y gráficos, y de entre ellos los más habituales son el diagrama
de barras y el gráfico de sectores o circular.
DIAGRAMA DE BARRAS
En este tipo de diagrama lo que al final vamos a comparar es la altura de las barras que vamos a levantar
para cada uno de los datos.
Para construir un diagrama de barras, escribimos los datos que hemos obtenido sobre el eje horizontal de un
sistema de coordenadas, y sobre el vertical los valores de las frecuencias absolutas de los datos. A
continuación dibujamos, sobre cada dato, una barra cuya altura sea la del valor que alcanza la frecuencia
absoluta en el eje vertical.
Veámoslo con los dos ejemplos siguientes:
1. Hemos preguntado a los 22 alumnos y alumnas de clase sobre cuál será el resultado del próximo derby
entre dos clubes de fútbol rivales, obteniendo los resultados que aparecen en la tabla:
donde el 1 significa que gana el equipo de casa, la X que empatan y el 2 que gana el equipo visitante.
Construimos ahora el diagrama de barras:
Así, de un “vistazo” comprobamos que la mayoría de alumnos cree que se va a dar el primer resultado, 1, que
gana el equipo de casa.
2. Hemos hecho una votación entre los 22 alumnos y alumnas para elegir de entre cuatro candidatos al
delegado de nuestra clase, obteniéndose los resultados que se muestran en la tabla:
El diagrama de barras será:
Vemos claramente que la más votada ha sido Paula, que es la que ha ganado la elección a delegado.
GRÁFICO DE SECTORES
En este tipo de gráfico, lo que vamos a comparar es la amplitud de los sectores circulares que, para cada uno
de los datos, vamos a dibujar sobre un mismo círculo.
Para ello, dibujamos un círculo grande, y lo dividimos en tantas partes como participantes haya habido en la
encuesta o votación: debemos dividir 360º entre el número total de votantes o encuestados.
A continuación, a cada uno de los datos le asignamos tantas partes como indique su frecuencia relativa
(expresada esta en forma de fracción), y escribimos un rótulo para cada sector resultante, indicando a qué
dato corresponde.
Veámoslo con los dos ejemplos anteriores.
1. Construimos el gráfico de sectores para los resultados de la encuesta sobre quién va a ganar el derby entre
los dos clubes de fútbol. Partimos de la tabla de frecuencias:
Dividimos el círculo en 22 partes iguales, cada una de las cuales medirá: 360º : 22 = 16,36º
Para cada uno de los datos tomaremos tantas partes como indique su frecuencia relativa. Así,
para el 1: 9 partes; para la X: 7 partes; y para el 2: 6 partes.
Escribimos un rótulo en cada uno de los sectores resultantes, con el nombre del dato: 1, X , 2.
2. Construimos un gráfico de sectores para los resultados de la votación a delegado de clase.
Partimos de la tabla de frecuencias:
Dividimos el círculo en 22 partes iguales, de amplitud: 360º : 22 = 16,36º
Y tomamos tantas partes para cada candidato como indique su frecuencia relativa. A continuación escribimos
un rótulo en cada uno de los sectores resultantes, con el nombre de cada candidato:
CUADERNILLO DE TRABAJO
TAREA A
1. Escribe V, si la afirmación es verdadera o F, si la afirmación es falsa.
a. El sistema decimal fue inventado por los árabes. (
b. El sistema decimal es posicional
(
c. 104 =100
(
d. 32 = (3 x 101 ) + (2 x 100 )
(
)
)
)
)
2. En un Pueblo de Antioquia existe una población de 13642, responde lo que le preguntaron a Gustavo
en la evaluación de matemáticas.
¿Qué dígito está en la columna de las decenas?
¿Qué dígito está en la columna de las unidades de millares?
¿Qué dígito está en la columna de las centenas?
¿Qué dígito está en la columna de las decenas de millares?
¿Qué dígito está en la columna de las unidades?
3. Representa en forma poli nómica los siguientes números
a) 23456 b) 657893
c) 879234
4. Representa en forma exponencial los siguientes números
a) 4567
b) 23578782
c) 345675
5. Escribe los sucesores de los números que se dan.
a) 248 b) 5 000: c) 3 294 d) 475
6. Escribe en tu cuaderno los siguientes números y, a la derecha de cada uno, escribe cuál es el orden al
que corresponde la cifra que está encerrada .
a) 4 3 2 1 (5) 4 0 3 1 8
b) 5 0 (2) 1 4 3 2 1 1 1 6 3 4
c) 2 9 8 7 (3) 4 5
d) 6 4 1 4 2 3 7 7 (8)9
7. convierte los siguientes números de base dos a base diez,
a) 110Dos=
b) 1 001DOS =
c) 11 001DOS =
d) 101 010 DOS =
8. Convierte los siguientes números de base diez a base dos
a) 96
b) 130
c) 80
d) 45
e) 90
TAREA B
Resuelve los problemas de adicción, diferencia, multiplicación y división con números Naturales.
1. El señor Muñoz solicitó un préstamo de $39 800 000. Con ese dinero compró un automóvil de 25 700
000, también compró algunos accesorios y pagó 125 000, y además lo llevó al lavado y engrasado y le
cobraron 58 000. ¿Cuánto dinero le sobró?
2. Una persona cuenta con tres depósitos de agua, cada uno contiene 1 200 litros.
¿Cuántas canecas de 300 litros podrá llenar?
3. La cooperativa de la escuela tiene en caja un total de 600000; el lunes gasta 315 000 en papelería; el
martes, 55000 en medicinas; el miércoles recibe 152 000 por venta de libros y el jueves presta 75 000
a un empleado, ¿cuánto queda en la caja de la cooperativa?
4. Vendí mi bicicleta en 375 000 y en esta operación gané 33000. ¿Cuánto me había costado?
5. Si un saco de maíz cuesta $14 000 y tengo en total 1400 000, ¿cuántos sacos puedo comprar? Si
cada saco hubiera costado 6000 más, ¿para cuántos sacos me alcanzaría?
Al terminar.
6. En un baúl hay 12 cajas; en cada caja hay 12 estuches; en cada estuche 12 bolsas y
en cada bolsa 12 jabones, ¿cuántos jabones, en total, hay en el baúl?
7. Llegaron a la escuela 34 cajas de libros, de las cuales 11 son de español, 10 de geografía y las 13
sobrantes de historia, cada caja contiene 22 libros. Realiza las operaciones necesarias para encontrar
lo siguiente:
a) ¿Cuántos libros en total son de español?
b) ¿Cuántos libros son de geografía?
c) ¿Cuántos, de historia?
d) ¿Cuántos libros totalizan las 34 cajas?
8. 6 875 espectadores entraron a un coliseo cuya capacidad es de 10 987 sillas.
¿Cuántas de estas sillas están aún desocupadas?
9. Un televisor cuesta $985 000, si se han dado dos pagos de $350 000, ¿cuánto falta por pagar?
10. La población de San José en 1990 era de 49 240 habitantes y en 2001 de
84 730. ¿En cuántos habitantes aumentó la población?
TAREA C
1. El cubo del numero natural 5 es :
A) 15
B) 25
C) 45
D) 125
2. El cuadrado del numero natural 8 es:
A) 16
B) 32
C) 84
D) 64
3. El numero que hace falta para que la expresión 567 dividido ______ sea igual a 27 es:
A) 11
B) 31
C) 21
D) 41
4. El resultado que se obtiene al multiplicar 12 por 1000 es :
A) 1200
B) 1200000 C) 12000 D) 10200
5. La raíz cubica del numero natural 64 es :
A) 3
B) 5
C) 4
D) 16
6. Hallar los múltiplos
a) Múltiplos de 8:
b) Múltiplos de 12:
c) ¿Cuál es el quinto múltiplo de 9, 13 y 38?
7.Hallar los Divisores
a) Divisores de 29:
b) Divisores de 100 :
c) Divisores de 20
7.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
En los números que siguen, subraya los que son divisibles entre 2.
1 345
9 128
7 202
18 176
34 213
4 142
896
635
9. En los números siguientes, subraya los divisibles entre 3.
a) 24 216
b) 616
c) 12 423
d) 1 857
e) 4 321
f) 873
g) 43
10. Subraya los números divisibles entre 5.
a) 5 431
b) 8 202
c) 3 150
d) 9 253
e) 724
f ) 400
g) 15 130
11. Subraya los que son divisibles entre 7.
a) 85
b) 483
c) 714
d) 96
e) 728
12. ¿Cuál es el único número primo que es par?
Si un número natural tiene un solo divisor, ¿qué se puede decir de él?
¿Puede existir un número primo con tres divisores? ¿Por qué?
13. Obtén el mcm en los siguientes conjuntos de números:
a) mcm (3, 5, 6)
b) mcm (4, 8, 10)
14. Determina el mcm para cada grupo de números:
a) mcm (8, 12, 15)
b) mcm (10, 12, 19)
15. ¿Cuál debe ser la longitud mínima de una varilla de acero, de tal manera que pueda
partirse exactamente en pedazos de 8 cm, 9 cm o 15 cm de longitud?
16. María compra 120 rosas y 80 claveles. Si desea hacer ramos de modo que cada uno
tenga la misma cantidad de flores del mismo tipo y de la mayor cantidad posible, ¿cuántas
flores tendrá cada ramo y cuántos ramos saldrán en total?
17. Tres buses salen el mismo día de la terminal de transporte del Norte de la ciudad de Medellín. El primero
regresa cada seis días, el segundo cada cinco y el tercero cada tres. ¿Cuántos días pasarán para encontrarse
todos nuevamente?.
TAREA D
En la siguiente tabla registra el número de lados, suma de los ángulos interiores, vértices y
diagonales que tiene cada polígono. Ten en cuenta que en la tabla se presenta la clasificación de
polígonos según sus lados.
polígono
Numero de lados
Suma de los
ángulos interiores
Numero de
vértices
Numero de
diagonales
TAREA E
Para realizar el mantenimiento adecuado de los árboles de la paralela en el Municipio de Bello la
administración municipal ha decidido tomar la altura de los árboles que se encuentran en dicha
avenida. Las personas que tomaron el registro, organizaron la información de la siguientemanera:
3 metros ///// // 5 metros ///// ///// / 6 metros ///// ///// ////8 metros //// 9 metros ///// /// 10 metros ///// ////
11 metros ///// 12 metros /// 13 metros //////
Organiza la información en una tabla de frecuencias y representa la información en un diagrama
Barras y CIRCULAR.
a. ¿Cuántos árboles hay de 3 metros?
b. ¿Cuántos de 5 metros?
c. ¿Cuántos de 9 metros?
d. ¿Cuántos de 12 metros?
e. ¿Cuál fue la mayor altura registrada entre los árboles?
f. ¿Cuántos árboles tienen esa altura?
g. ¿Cuál es la altura que más se repite?
h. ¿Cuántos árboles de los registrados miden menos de 10 metros?
i. ¿Cuántos árboles de los registrados miden más de 9 metros?