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TRABAJO Y ENERGÍA
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EJERCICIOS DE TRABAJO Y ENERGÍA RESUELTOS:
Ejemplo 1: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del
muelle es 1000 N/m.
La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000·x N, donde x es la deformación.
El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral
El área del triángulo de la figura es (0.05·50)/2=1.25 J
Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la
fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento.
W=Ft·s
Ejemplo 2: Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de
aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del
desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.



Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es positivo
Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo
Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.
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Ejemplo 3: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla
de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F=1800 N. La velocidad
inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g.
El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J
La velocidad final v es
Ejemplo 4:
Sobre una partícula actúa la fuerza F=2xyi+x2j N
Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del
camino cerrado ABCA.



La curva AB es el tramo de parábola y=x2/3.
BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos
(0,1) y (3,3) y
CA es la porción del eje Y que va desde el origen al
punto (0,1)
El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector
desplazamiento
dW=F·dr=(Fxi+Fyj)·(dxi+dyj)=Fxdx+Fydy
Las variables x e y se relacionan a través de la ecuación de
la trayectoria y=f(x), y los desplazamientos infinitesimales
dx y dy se relacionan a través de la interpretación
geométrica de la derivada dy=f’(x)·dx. Donde f’(x) quiere
decir, derivada de la función f(x) con respecto a x.
Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el camino
cerrado.

Tramo AB
Trayectoria y=x2/3, dy=(2/3)x·dx.
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Tramo BC
La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de
pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1.
y=(2/3)x+1, dy=(2/3)·dx

Tramo CD
La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el trabajo WCA=0

El trabajo total
WABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0
Ejemplo 5:
Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular
1. La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y cuando
llega al suelo, aplicando las fórmulas del M.R.U.A.
2. La energía cinética potencial y total en dichas posiciones
Tomar g=10 m/s2

Posición inicial x=3 m, v=0.
Ep=2·10·3=60 J, Ek=0, EA=Ek+Ep=60 J
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Cuando x=1 m
Ep=2·10·1=20 J, Ek=40, EB=Ek+Ep=60 J

Cuando x=0 m
Ep=2·10·0=0 J, Ek=60, EC=Ek+Ep=60 J
La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la energía
cinética aumenta.
Ejemplo 6: Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un
plano de 30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de
rozamiento entre el bloque y el plano es 0.16. Determinar:


la longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para
la velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano
Cuando el cuerpo asciende por el plano inclinado



La energía del cuerpo en A es EA=½0.2·122=14.4 J
La energía del cuerpo en B es EB=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x J
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a B es
W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·x=-0.272·x J
De la ecuación del
h=x·sen30º=5.75 m
balance
energético
W=EB-EA,
despejamos
x=11.5m,
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Cuando el cuerpo desciende



La energía del cuerpo en B es EB=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x=0.98·11.5=11.28 J
La energía del cuerpo en la base del plano EA==½0.2·v2
El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de B a A es
W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·11.5=-3.12 J
De la ecuación del balance energético W=EA-EB, despejamos v=9.03 m/s.
Ejemplo 7: Una partícula de masa m desliza sobre una superficie en forma de cuarto de
circunferencia de radio R, tal como se muestra en la figura. Datos R = 2m, m = 2kg y
velocidad final V = 4m/s
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:



El peso mg
La reacción de la superficie N, cuya dirección es radial
La fuerza de rozamiento Fr, cuya dirección es tangencial y cuyo sentido es
opuesto a la velocidad de la partícula.
Descomponiendo el peso mg, a lo largo de la dirección tangencial y normal, escribimos
la ecuación del movimiento de la partícula en la dirección tangencial
mat=mg·cosθ-Fr
Donde at=dv/dt es la componente tangencial de la aceleración. Escribimos en forma de
ecuación diferencial la ecuación del movimiento
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Calculamos el trabajo Wr realizado por la fuerza de rozamiento. La fuerza de
rozamiento es de sentido contrario al desplazamiento
Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un pequeño
arco de circunferencia dl=R·dθ y que
El trabajo realizado por la fuerza no conservativa Fr vale
Si el móvil parte del reposo v=0, en la posición θ=0. Cuando llega a la posición θ


La energía cinética se ha incrementado en mv2/2.
La energía potencial ha disminuido en mgRsenθ.
El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la
energía inicial o bien, la suma de la variación de energía cinética más la variación de
energía potencial.
El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partícula describe el cuarto de
círculo es
sustituyendo Wr = -24 Julios.
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Ejemplo 8: Una partícula se encuentra inicialmente en reposo sobre el vértice de la
cúpula, en una posición de equilibrio inestable. Cuando se desvía ligeramente de esta
posición, la partícula desliza sin rozamiento, incrementando su velocidad hasta que
llega un momento en el que deja de tener contacto con la cúpula. Calcular la posición θc
para la que abandona la cúpula. Indicar una vez está en el aire el punto del suelo dónde
impacta. Radio de la cúpula R=15 m
En este apartado, calcularemos la posición θc para la cual la reacción N de superficie
semiesférica es nula.

Conservación de la energía
La energía de la partícula en la posición
inicial θ=0, es
Ei=mgR
La energía de la partícula en la posición θ
es
Aplicando el Ei=Ef, podemos calcular la velocidad del móvil v en la posición θ
v2=2gR(1-cosθ)

Dinámica
Las fuerzas que actúan sobre la partícula
son


el peso mg
la reacción de la cúpula N.
La partícula describe un movimiento circular con aceleración tangencial at y aceleración
normal an. Estas aceleraciones se determinan aplicando la segunda ley de Newton a un
movimiento circular de radio R

Ecuación del movimiento en la dirección tangencial
mg·senθ=mat

Ecuación del movimiento en la dirección normal
mg·cosθ-N=man
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La primera ecuación nos permite calcular la posición angular θ en función del tiempo t.
La segunda ecuación, junto al principio de conservación de la energía, nos permite
calcular la reacción del plano N, en la posición θ
La partícula deja de tener contacto con la cúpula cuando la reacción N se anule. Para el
ángulo θc tal que
Aproximadamente, 48º medidos desde la vertical. Como vemos el ángulo límite es
independiente del radio de la cúpula y de la masa de la partícula.
La velocidad de la partícula cuando alcanza en esta posición es
Nota: Si resolvemos la ecuación diferencial del movimiento, con las condiciones
iniciales son θ0=0, dθ/dt=0, la partícula permanece en dicha posición indefinidamente,
ya que está es una situación de equilibrio inestable.
Para que se mueva, desviamos la partícula ligeramente de la posición de equilibrio: las
condiciones iniciales que hemos tomado son θ0=0.02 rad, y aplicamos el principio de
conservación de la energía para calcular la velocidad angular inicial dθ/dt de la partícula
en la posición de partida.
Una vez que la partícula deja de tener
contacto con la cúpula, se mueve bajo
la acción de su propio peso, es decir,
describe una trayectoria parabólica
desde el punto de coordenadas
x0=R·sen
y0=R·cos .
Con velocidad inicial
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Las ecuaciones del movimiento son
El punto de impacto sobre el suelo se calcula poniendo y=0 en la segunda ecuación,
despejando el tiempo t, y sustituyéndolo en la primera.
Como el radio de la cúpula es R=15 m. En el momento en el que la partícula deja de
tener contacto con la cúpula N=0, su posición angular es cosθ= 2/3 y su velocidad es,
Cuando llega al suelo y=0
0=15·cosθ-v0·senθ-½ 9.8·t2. Se resuelve la ecuación de segundo grado t=0.86 s
Se calcula el alcance medido desde el centro de la cúpula
x=15·senθ+ v0·cosθ·t=16.90 m
Ejemplo 9: A un muelle de k=1000 N/m, que está en vertical, se le engancha una m=10
kg. Determina la posición de equilibrio xo y el período de las oscilaciones. Si desde este
equilibrio se estira hacia abajo una distancia a xo determina cuál es la ecuación del
movimiento.
El periodo de las oscilaciones es
La posición de equilibrio es
1000·x0=10·9.8, por lo que x0=0.098 m=9.8 cm
La posición del cuerpo en función del tiempo es
x= 9.8·cos(10t +π) cm
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Ejemplo 10: Un bloque parte de la posición x0 sobre un plano inclinado con
velocidad inicial nula. Teniendo en cuenta los siguientes datos: Coeficiente de
rozamiento μ=0.3, Masa del bloque, m=1 kg, Angulo del plano inclinado θ=30º,
Constante elástica del muelle, k=50 N/m, Posición inicial del bloque x0 =-1.0 m.
Determinar en primer lugar que efectivamente se mueve y después: tiempo que tarda
en impactar con el resorte, velocidad con la que impacta, deformación máxima que
le produce al resorte, velocidad del bloque al volver a pasar por el origen subiendo,
altura a la que llega,….
Como tanθ≥μ, tan30≥0.3, el bloque desliza hacia abajo
La aceleración del bloque es
a+=g(senθ-μcosθ)=9.8·(sen30º-0.3·cos30º)=2.35 m/s
El tiempo t que tarda en llegar al origen x=0
0=-1.0+a+t2/2, t=0.92 s
La velocidad v del bloque
v=a+t, v0=2.17 m/s
Balance energético
La fuerza de rozamiento vale fr= μmgcosθ=0.3·1.0·9.8·cos30=2.55 N
El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo
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La frecuencia angular ω2=k/m=50
El tiempo que tarda en alcanzar el máximo desplazamiento, v=0, es
El máximo desplazamiento xm es
Balance energético
Se resuelve la ecuación de segundo grado para calcular xm=0.357 m
El bloque, en contacto con el muelle, desliza hacia arriba
La aceleración
a-=g(senθ+μcosθ)=9.8·(sen30º+0.3·cos30º)=7.45 m/s2
El bloque vuelve a pasar por el origen y tarda un tiempo
La velocidad vf del bloque cuando pasa por el origen es
Balance energético
El bloque desliza hacia arriba
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v=-1.03 +7.45 t
x=-1.03·t +7.45·t2/2
La velocidad v se hace cero, en el instante t=0.14 s, x0=-0.072 m
El bloque completa un ciclo, y retorna hacia el origen, deslizando por el plano inclinado
x=-0.072+a+t2/2,
v=a+t,
cuando pasa por el origen x=0, t=0.24 s, v0=0.58 m/s
El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo
El tiempo que tarda en alcanzar el máximo desplazamiento es
El máximo desplazamiento xm es
En esta posición
kxm-mgsenθ ≤ μsmgcosθ,
1.19<2.55
El bloque permanece definitivamente en reposo en esta posición
Ejemplo 11: Un bloque parte de la posición x0 sobre un plano inclinado con velocidad
inicial nula. Teniendo en cuenta los siguientes datos: Coeficiente de rozamiento μ=0.24,
Masa del bloque, m=1 kg, Angulo del plano inclinado θ=40º, Constante elástica del
muelle, k=50 N/m, Posición inicial del bloque x0 =-1.0 m. Determinar en primer lugar
que efectivamente se mueve y después: tiempo que tarda en impactar con el resorte,
velocidad con la que impacta, deformación máxima que le produce al resorte, velocidad
del bloque al volver a pasar por el origen subiendo, altura a la que llega,…. Solución: V
= 3m/s, xmáx = 52,4cm V = -2,29m/s , x que recorre hacia arriba hasta que se detiene x =
-32cm.
Ejemplo 12: Un bloque parte de la posición x0 sobre un plano inclinado con velocidad
inicial nula. Teniendo en cuenta los siguientes datos: Coeficiente de rozamiento μ=0.2,
Masa del bloque, m=1 kg, Angulo del plano inclinado θ=35º, Constante elástica del
muelle, k=150 N/m, Posición inicial del bloque x0 =-1.0 m. Determinar en primer lugar
que efectivamente se mueve y después: tiempo que tarda en impactar con el resorte,
velocidad con la que impacta, deformación máxima que le produce al resorte, velocidad
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del bloque al volver a pasar por el origen subiendo, altura a la que llega,…. Solución: V
= 2,83m/s, xmáx = 26cm V = -2,52m/s , x que recorre hacia arriba hasta que se detiene x
= -44cm.
¿Qué velocidad tendrá cuando se haya comprimido 20,4cm? V = 1,85m/s.
Ejemplo 13: ¡Una curiosidad! Supongamos una goma de longitud d sujeta por su
extremo superior, del extremo inferior se puede colgar un cuerpo de masa m. El
comportamiento de la goma es distinto al de un resorte tal como podemos observar en
la figura.


Para x<0 la goma no ejerce ninguna fuerza
sobre el cuerpo de masa m. F=0
Para x>0 la goma ejerce una fuerza F=-k·x.
Suponiendo que la goma tiene un
comportamiento lineal (ley de Hooke)
Si sujetamos el cuerpo con la mano y hacemos que descienda muy despacio. Llega un
momento en el que la fuerza que ejerce la goma equilibra el peso del cuerpo y la acción
de la mano ya no es necesaria. En esta situación de equilibrio, el cuerpo se ha
desplazado xe
mg=kxe
Si se deja caer un cuerpo desde la posición del extremo superior de
la goma x=-d, aplicando el principio de conservación de la energía
podemos calcular la velocidad que alcanza cuando la goma se ha
estirado una longitud x.
La máxima deformación xm de la goma se alcanza cuando v=0
Asi , por ejemplo, para k=400 N/m y m=30kg. La posición de equilibrio si descendemos
poco a poco es xe es 0,735m, pero si lo la soltamos desde una distancia d =1m la xe es
3,7m