Download concepto y construcción del sistema de numeración decimal

FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO ARITMÉTICO
EN EL PRIMER CICLO
DE LA ENSEÑANZA PRIMARIA.
CONCEPTO Y CONSTRUCCIÓN
DEL
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Autor: Ramón Galán González
A mi querido amigo Jerónimo Artiles.
Por su generosidad, fidelidad e
inteligencia
Por compartir conmigo, y durante toda
una vida, tantas luces y sombras.
Ramón Galán.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
2
ÍNDICE:
Introducción………………………………………………………………………..Pág. 4.
Cantidad y número………………………………………………………………..Pág. 5.
Contar y agrupar. ……………………………….………………………………..Pág. 8.
Contar y medir. ……………………………………………………………….…..Pág. 11.
Contando hasta el 9. ……………………………………………………………..Pág. 13.
Lectura de números naturales hasta el 9. ……………………………………..Pág. 20.
Escritura de números naturales hasta el 9. ………………………….………..Pág. 25.
Los números naturales del 10 al 20. …………………………………………..Pág. 26.
Los números naturales hasta el 99. …………………………………………...Pág. 53.
Construyendo los números del 100 hasta el 999. …………………………....Pág. 64.
Anexo: Ejemplos de actividades numéricas. ………………………… ……..Pág. 76.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
3
Introducción:
Una de las causas que motiva la dificultad que presentan los alumnos en
relación al cálculo aritmético radica en la deficiente construcción del concepto de
número natural. Si tenemos en cuenta, de un lado, que los números son signos
lingüísticos que expresan cantidad y, de otro lado, que continuamente estamos
realizando acciones con estas cantidades, esto es, realizamos operaciones
matemáticas, es un contrasentido que realicemos dichas operaciones con unos objetos
abstractos que llamamos números, sin construirlos previamente de manera adecuada.
De otro lado, el cálculo aritmético se fundamenta en un conjunto de acciones
que realizamos con cantidades expresadas en nuestro sistema de numeración decimal.
Por lo tanto, es esencial que la construcción de nuestro sistema de numeración curse
paralela y estrechamente ligada al proceso de aprendizaje del cálculo aritmético. Sin
embargo, esto no sucede siempre así en el interior de las aulas. Lo vemos con un
ejemplo.
Si pretendiéramos sumar 270 + 57, bastaría pensar en el concepto de centena y
darnos cuenta que al número 270 le faltan 30 unidades, esto es, 3 decenas, para
completar la tercera centena. Por ello, para realizar la suma propuesta únicamente
desprenderíamos del número 57 las tres decenas que necesitamos y, de este modo,
transformar dicha suma en esta otra: 300 + 27. Finalmente sólo necesitaríamos
componer el número que expresa el resultado final: 327.
En el estudio y en el desarrollo de cualquier sistema de numeración salen a la
luz tres conceptos: cantidad, número y cifra. Tres conceptos diferentes. Conceptos que
por estar íntimamente ligados, se confunden y se emplean como si fueran uno y el
mismo concepto. Uno de los objetivos del presente trabajo será mostrar y demostrar
sus diferencias y sus relaciones.
Como los números expresan cantidades de objetos y como continuamente
estamos realizando acciones de componer, descomponer completar y comparar
cantidades de objetos, se desprende que la construcción del concepto de número
natural debe cursar de forma paralela y simultanea a la realización de las operaciones
matemáticas de sumar y restar.
Es importante señalar que en el caso de que cada alumno disponga de su
franelograma individual con su correspondiente juego de regletas, entonces los
ejercicios y las actividades con regletas que analicemos en el presente trabajo, serán
realizadas de forma individual por todos y cada uno de los alumnos. En nuestra
exposición, y cuando no refiramos a las actividades propuestas empleando el recurso
de las regletas, lo haremos sobre la base de que únicamente disponemos del
franelograma y las regletas que empleamos con el gran grupo.
Por último y con el fin de no repetir la misma exposición en trabajos diferentes,
invito a consultar el trabajo “Números y operaciones en Educación Infantil”, donde se
expone un análisis sobre el concepto de número natural. En el presente trabajo
únicamente me limitaré a mencionar aquellos aspectos del concepto de número natural
que resulten imprescindibles para la comprensión del trabajo que ahora nos ocupa.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
4
Cantidad y número.
A menudo formulo al profesorado la siguiente pregunta en relación a una
representación que dispongo en el franelograma:
¿Qué número ven en el franelograma? Una
responden que 13.
gran
parte
del
profesorado
La respuesta debiera ser: “Vemos una determinada cantidad de cuadrados pero
ningún número, ya que los cuadrados no están agrupados”
Cuando damos la primera respuesta estamos confundiendo el concepto de
cantidad con el concepto de número. Evidentemente cualquier cantidad la tenemos que
expresar necesariamente mediante un número pero no necesariamente mediante un
único número. Dado que en nuestro caso expresamos siempre las cantidades de
objetos mediante el mismo sistema de numeración, esto es, mediante el sistema de
numeración en base 10 ó sistema de numeración decimal, es por lo que identificamos
el concepto de cantidad con el concepto de número. En el franelograma únicamente
vemos una determinada cantidad de cuadrados rojos
El hombre para referirse a la cantidad de objetos creó o inventó los números. Es
posible que si planteáramos nuestra pregunta a un hombre perteneciente a las
primeras civilizaciones, afirmara que hay dos manos y tres dedos, y todo ello sin
nombrar los términos “dos” y “tres” sino únicamente señalando las manos y los dedos,
o escribiendo unos signos gráficos, por ejemplo, dos “V” invertidas y unidas por el
vértice formando una “X” que representara de forma esquemática las dos manos y tres
trazos verticales que representaran los dedos, es decir, XIII
Eso quiere decir que en nuestro ejemplo, podríamos agrupar los cuadrados de la
siguiente forma:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
5
En cuyo caso podríamos afirmar, como en el supuesto de las manos, que
tenemos dos grupos de cinco y tres cuadrados sueltos. Como estamos agrupando los
cuadrados de cinco en cinco, estamos empleando el sistema de numeración en base 5
y, por lo tanto, tendríamos el número 23. Ahora, el número 23 significa que tenemos
dos grupos de cinco y tres cuadrados sueltos. Es decir, la primera cifra, la cifra 2, indica
el número de grupos de 5 que tenemos, mientras que la segunda cifra, la cifra 3, indica
los cuadrados sueltos.
Por lo tanto, únicamente podremos afirmar que vemos el número 13 cuando los
cuadrados están agrupados de 10 en 10, es decir, en base 10.
Ahora sí vemos el número 13 de nuestro sistema de numeración decimal porque
vemos un grupo de 10, al que llamamos decena, y tres unidades sueltas.
Podemos concluir, pues, lo siguiente: Las cantidades las expresamos mediante
los números, pero como una misma cantidad podemos expresarla mediante diferentes
números, podemos afirmar que cantidad y número son conceptos diferentes. La
cantidad es una propiedad de los objetos. El número es un producto del pensamiento
humano.
El error conceptual que muestran los alumnos entre número y cifra se pone de
manifiesto en la siguiente experiencia que cualquier docente puede comprobar con su
grupo. Escribimos en la pizarra la siguiente expresión matemática:
347
A continuación preguntamos al grupo:
C
-
¿Cuántos números he escrito en la pizarra? Numerosos alumnos (y algún
que otro docente) dirán que tres números.
-
Seguidamente formulamos la otra pregunta:
-
¿Qué tres números he escrito en la pizarra? Muchos alumnos dirán que he
escrito el número 3, el número 4 y el número 7
copyright 2009 Ramón Galán González
6
Una forma sencilla de hacer ver al alumno su error conceptual y, con ello, tener
una primera aproximación al concepto de cifra será plantearle esta otra pregunta.
Escribimos ahora en la pizarra la siguiente expresión:
mar
Y preguntamos:
-
¿Cuántas palabras he escrito en la pizarra? Ahora, todos los alumnos dirán
que una palabra.
Entonces el profesor preguntará:
-
¿Y si yo dijera que tengo escritas tres palabras: la palabra m, la palabra a y
la palabra r, ustedes qué dirían? ¿Qué dos cosas estoy confundiendo? La
mayoría del alumnado responderá que estoy confundiendo palabras con
letra, que m, a y r no son palabras sino letras.
El profesor podrá decir entonces:
- Algo parecido les ha pasado a ustedes. En la pizarra no hay tres números sino
un solo número, el trescientos cuarenta y siete, que está formado por 3 cifras. La cifra
3, la cifra 4 y la cifra 7. De la misma forma que con las letras formamos las palabras,
con las cifras formamos los números.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
7
Contar y agrupar.
Coloquemos ahora una determinada cantidad de naranjas en el franelograma:
Fijémonos en una naranja, por ejemplo, la que aparece dentro del cuadrado y
hagamos la siguiente reflexión:
La existencia de nuestra naranja se muestra independiente de la existencia del
resto de las demás. Le es indiferente que a su lado haya una, muchas o ninguna
naranja. Ella existe por sí misma. Precisamente y debido a esa independencia es lo
que le confiere la propiedad de poder ser considerada como una unidad. Lo mismo
podríamos decir de todas y cada una del resto de las naranjas. Todas ellas se
muestran independientes del resto. Todas ellas, en sí mismas, pueden ser
consideradas como unidad. Por este motivo, podemos decir:
“Tengo una naranja, tengo otra naranja más, tengo otra naranja más…”
En definitiva y en otros términos, podemos contarlas, es decir, determinar la
cantidad de naranja que tenemos.
De esta sencilla reflexión podemos concluir:
-
Los objetos, en tanto son independientes, pueden ser considerados como
unidades.
-
En tanto son unidades pueden ser contados.
-
Contar es sumar unidades de una en una.
-
Mediante la acción de contar determinamos la cantidad de objetos que
tenemos.
Volvamos de nuevo a la representación que tenemos en el franelograma:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
8
Imaginemos ahora que nos preguntamos: ¿Cuántas naranjas hay?
Sin duda que nos llevaría un cierto tiempo y siempre tendríamos dudas
razonables si al contarlas, no nos habríamos dejado alguna naranja atrás.
Pero si en lugar de estar las naranjas dispuestas de una manera aleatoria,
estuvieran metidas en cajas de 10 naranjas, es decir, agrupadas de 10 en 10, el
problema de saber cuántas tenemos dejaría de existir. Bastaría un simple golpe de
vista para saber la cantidad exacta de naranja que tenemos. Vamos a comprobarlo
perceptivamente:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
9
Ahora podemos afirmar, de un modo inmediato y sin duda alguna, que tenemos
28 naranjas. Perceptivamente sabemos que tenemos 28 porque tenemos 2 cajas
completas y a la tercera le faltan dos para estar completa, es decir, ni tan siquiera
hemos necesitado contar las 8 naranjas sueltas.
Si nos preguntáramos: ¿Qué hemos conseguido con la acción de agrupar las
naranjas? Dos cosas, tendríamos que responder:
La primera. La acción de agrupar nos permite determinar la cantidad de una
manera exacta y fiable.
La segunda. La acción de agrupar nos permite expresar la cantidad de objetos
mediante un número.
Llegando a este punto de nuestra exposición, podemos enunciar la primera gran
conclusión:
“Las dos acciones del pensamiento en la que se fundamenta la construcción del
concepto del número natural son las acciones de contar y agrupar cantidades de
objetos”.
Esta primera gran conclusión determinará la estrategia general para la
construcción del número natural que emplearemos con nuestros alumnos. En todo
momento y en todas las actividades de carácter práctico que propongamos, estarán
presentes la realización de estas dos acciones: contar y agrupar cantidades de objetos.
De otro lado y dado que nuestro sistema de numeración se fundamenta en las
agrupaciones de 10, daremos un trato diferenciador al número 10 y, por consiguiente, a
las agrupaciones de 10.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
10
Contar y medir. El número como cantidad de objetos y el número
como medida.
Como hemos visto con anterioridad, los objetos pueden contarse y determinar,
de este modo, su aspecto cuantitativo, es decir, la cantidad, porque tienen existencia
independiente unos de otros y, por ello, pueden ser considerados todos y cada uno
como unidad.
Hagamos la siguiente reflexión:
Supongamos que tenemos cinco monedas de un euro:
Como cada una de ellas tiene existencia independiente, podemos contarlas.
Podemos decir al mismo tiempo que vamos señalando cada una de ellas: una dos, tres
cuatro y cinco. De igual modo, podemos quitar tres monedas y observar que nos
quedan dos monedas. Podemos quitar las tres primeras, o las tres últimas, o las tres
del medio o cualquiera otras tres. Podemos contar las monedas que hemos quitado y
podemos contar las dos monedas que nos quedan.
Supongamos, en cambio, que tenemos un billete de cinco euros:
Ahora, por el contrario, no podemos contar los euros al mismo tiempo que
vamos señalándolos. No podemos decir aquí hay un euro, aquí hay otro, etc. No
podemos desprender tres euros y observar que nos quedan dos. Esto ocurre así
porque los cinco euros no tienen existencia independiente y, por lo tanto, no pueden
ser contados. En realidad, no tenemos cinco objetos sino uno sólo, un solo billete. En
este caso, tanto las monedas como el billete tiene una propiedad: representar o ser
portador de valor económico. Lo que ocurre es que este billete de cinco euros tiene
tanto valor económico como las cinco monedas de un euro. Es decir, establecemos
entre ellos una relación entre las cantidades de valor que representan: el billete
contiene cinco veces el valor económico del euro al que consideramos como unidad.
En este caso estamos realizando una medida del valor económico del billete a partir de
la unidad de medida a la que llamamos euro.
Lo mismo podríamos decir de un objeto que pesa cinco kg. Por muchas vueltas
que le demos al objeto nunca podremos ver los cinco Kg., No podremos contarlos: un
Kg., dos Kg.,…etc. En este caso estamos midiendo la propiedad o cualidad física del
objeto de ser pesado.
Cuando medimos estamos cuantificando alguna de las cualidades del objeto y
realizamos esta cuantificación estableciendo una relación o comparación entre la
cualidad que manifiesta el objeto y una unidad de medida establecida de antemano. Si
decimos que una habitación mide de largo cinco metros, estamos afirmando que esa
C
copyright 2009 Ramón Galán González
11
longitud contiene cinco veces a otra longitud que consideramos como unidad y a la que
llamamos metro.
De nuestra reflexión se desprende que en nuestra vida cotidiana empleamos los
números para referirnos a la cantidad de objetos que tenemos o para expresar la
medida de alguna cualidad que presentan los objetos.
Pudiera parecer intrascendente realizar aquí esta reflexión y que no tiene nada
que ver de forma directa o inmediata con la didáctica de las matemáticas, ni con el
cálculo aritmético que el alumno debe ir aprendiendo. Sin embargo, no es así. De
nuestra reflexión se desprenden dos aspectos a tener en cuenta:
Uno. El alumno debe iniciar el concepto de número natural a partir de la acción
de contar objetos. El número como expresión de una medida ha de ser posterior.
Dos. Para realizar la acción de contar debemos emplear como recursos
didácticos objetos materiales que tengan existencia independiente.
Con respecto a este segundo aspecto, quiero llamar la atención que las
llamadas regletas de colores o regletas Cuisenaire no se muestran apropiadas para
este fin. En primer lugar porque los alumnos asocian las distintas regletas con un
determinado número en base al color. Este hecho supone un error conceptual toda vez
que el concepto de número natural hace referencia únicamente al aspecto cuantitativo,
al número de objetos, abstrayendo todas las demás cualidades del objeto. Por ejemplo,
algunos alumnos afirman que es la regleta 3 porque es verde. En segundo lugar, la
regleta 3 representa al número 3 porque contiene tres veces a una regleta que
consideramos como unidad, es decir, el uso de las regletas de Cuisenaire se
fundamenta en el concepto de número como medida y no como cantidad de objetos.
Sin embargo, el inconveniente que presenta este recurso didáctico, que a menudo se
emplea en las aulas, desaparece si dichas regletas aparecen divididas de forma gráfica
en tantas partes como el número al que representan. De esta forma el alumno, aunque
tenga un único objeto, una única regleta en sus manos, puede contar.
NO
C
copyright 2009 Ramón Galán González
SÍ
12
Contando hasta el número 9.
En realidad esta primera fase ha de trabajarse durante la Etapa de la Educación
Infantil. Por ello, aconsejo consultar el trabajo “Números y operaciones en Educación
Infantil” que en su día elaboré. No obstante, haré aquí unas breves referencias.
Comenzaremos con ejercicios de composición y descomposición de cantidades
de objetos representados gráficamente, es decir, fotografías y dibujos plastificados de
objetos que podemos adherirlos al franelograma. A la par que realizamos estos
ejercicios, iremos, siempre y en todo momento, contando los objetos que tenemos.
Vemos un ejercicio de composición.
Colocamos los objetos en el franelograma y nos dirigimos a los alumnos:
- Ayer, dentro del frigorífico teníamos estas latas de refrescos: (Parte izquierda)
- Vamos a contar cuántas latas de refrescos teníamos: Una, dos, tres y cuatro.
Los alumnos irán contando los objetos a la par que el profesor los va señalando
con el dedo.
- Teníamos 4 refrescos.
-
Pero esta mañana papa ha ido al supermercado y ha comprado algunas más.
Colocaremos tres latas en la parte derecha.
-
C
Vamos a contar las latas de refrescos que ha comprado papa en el
supermercado. Una, dos y tres. Papa ha comprado tres latas de refrescos.
copyright 2009 Ramón Galán González
13
- Cuando papa llega a casa mete dentro del frigorífico las tres latas que ha
comprado. Vamos ahora a contar cuantas latas tenemos dentro del frigorífico.
- Tenemos una, dos, tres, cuatro, cinco, seis y siete latas de refresco.
-
¿Dónde están las 4 latas que teníamos al principio? ¿Arriba o abajo? Arriba.
-
¿Dónde están las 3 latas que compró papa? ¿Arriba o abajo? Abajo.
-
¿Cuántas latas tenemos ahora? Siete.
Podemos aprovechar este cuento matemático para contar descendentemente.
De esta forma, el alumno podrá comprobar intuitivamente que contar
descendentemente equivale a restar de unidad en unidad. Para ello, seguiremos con
nuestra historia:
-
A papa le apetecía tomarse un refresco y se bebió uno. (Retiraremos un
objeto del franelograma y preguntaremos al grupo)
- ¿Cuántos refrescos hay ahora? Seis.
-
Mamá dijo: “Dame a mi otro refresco” (Retiraremos otro objeto y preguntamos
de nuevo)
-
¿Cuántos hay ahora? Cinco.
Seguiremos inventándonos el resto de la historia e iremos desprendiendo latas
de refrescos del franelograma hasta que no quede ninguna.
Vemos a continuación otra posible actividad, en este caso de descomposición de
una cantidad, que nos permitirá realizar de nuevo la acción de contar:
Colocaremos sobre el franelograma
constituidos por figuras geométricas:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
los
siguientes
objetos
simbólicos
14
-
¿Cuántas figuras geométricas de color azul tenemos? Cuatro.
-
Vamos a contarlas para ver si es verdad: Una, dos, tres y cuatro.
-
¿Cuántos círculos tenemos? Cuatro.
-
Vamos a contarlos: uno, dos tres y cuatro.
Procederemos Igualmente con el resto de los colores y con el resto de las
formas. Finalmente, contaremos el total de las figuras que tenemos y, refiriéndonos al
tamaño, solicitaremos a un alumno que coloque las figuras grandes en la parte de
arriba y las figuras pequeñas en la parte de abajo.
-
Ahora vamos a contar cuántas figuras tenemos en total: Una, dos,... y nueve.
-
Coloca las figuras de tamaño grande, una detrás de otras, en la parte de
arriba del franelograma y las de tamaño pequeño, en la parte de abajo.
Hemos de observar que en este caso hemos procedido a descomponer la
cantidad total en dos partes mediante una acción de clasificar las figuras geométricas
en base al atributo o a la cualidad del tamaño.
Por último, procederemos a contar descendentemente, al mismo tiempo que
aprovecharemos la actividad para trabajar la determinación de una figura geométrica
en base a sus tres atributos. Sucesivamente saldrán distintos alumnos a despegar la
figura geométrica adecuada.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
15
-
Quita el triángulo, azul y grande. ¿Cuántas figuras geométricas nos quedan
ahora? Ocho.
-
Quita el círculo, amarillo y pequeño. ¿Cuántas figuras geométricas nos
quedan ahora? Siete.
-
Quita el círculo, rojo y grande. ¿Cuántas figuras geométricas nos quedan
ahora? Seis.
De forma sucesiva y similar procederemos con el resto de las figuras hasta que
no quede ninguna colocada sobre el franelograma.
Veamos una última actividad referida a la acción de completar. Para ello
emplearemos otro tipo de objetos simbólicos como son los bloques Dienes.
Aprovecharemos la actividad para trabajar de igual modo los conceptos de arriba y
abajo y una sencilla serie lógica.
Colocamos en el franelograma las siguientes figuras:
Formularemos a distintos alumnos las siguientes preguntas:
C
-
¿De qué color son las figuras que tenemos colocadas en la parte de arriba?
De color azul.
-
¿De qué color son las figuras que tenemos colocadas en la parte de abajo?
De color amarillo.
-
¿Cuántas figuras tenemos en la parte de arriba? Ocho.
-
Vamos a contarlas: una, dos,…y ocho
-
¿Cuántas figuras tenemos en la parte de abajo? Tres.
-
Vamos a contarlas: una, dos y tres.
-
¿Dónde tenemos más figuras, arriba o abajo? Arriba.
copyright 2009 Ramón Galán González
16
-
¿Dónde tenemos menos figuras, arriba o abajo? Abajo.
-
¿Cuántas figuras tenemos que colocar en la parte de abajo para que
tengamos tantas como arriba? Cinco.
-
Vamos a ver si es verdad. Además, nos tenemos que fijar bien porque
queremos que la fila de abajo sea muy parecida a la de arriba y no podemos
colocar cualquier figura. ¿Qué figura tenemos colocar a continuación en la fila
de abajo?
Irán saliendo sucesivamente distintos alumnos y colocarán la pieza apropiada
hasta completar la serie. Cada vez que un alumno ponga una pieza preguntaremos
cuántas tenemos ya. Al final, contaremos las piezas que hemos puesto y diremos:
“De tres figuras para completar ocho figuras faltan cinco figuras”.
Al final, el franelograma quedará así:
En definitiva, aprovecharemos actividades que impliquen las acciones de
componer, descomponer y completar cantidades hasta el 9 para realizar, de igual
modo, la acción de contar, tanto en sentido ascendente como descendente.
También en conjunto de los números naturales hasta el 9 podemos emplear las
regletas, esto es, los objetos simbólicos agrupados pero que permiten la acción de
contar toda vez que aparecen divididas gráficamente en unidades. Con este recurso
material igualmente podemos realizar acciones de componer, descomponer y
completar, al mismo tiempo que realizamos la acción de contar. Analizamos un
ejercicio similar como el que acabamos de ver pero, en este caso, empleando las
regletas. De forma colateral, trabajaremos de manera intuitiva los conceptos de
“horizontal”,“más largo”, “más corto”, “menos largo”, “tan largo como” “mayor” y
menor”.
Si cada alumno dispone de su franelograma individual
El profesor/a colocará sobre el franelograma las regletas 8 y 3, de manera
horizontal, una debajo de otra, de este modo:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
17
-
He colocado en el franelograma dos regletas, una arriba y otra abajo, de
forma horizontal, como si estuvieran acostadas. Ahora vamos a contar para
ver qué regletas hemos puesto.
-
Vamos todos a contar primero la regleta que hemos colocado arriba de
manera horizontal. Empezamos: una, dos,…y ocho.
-
Ahora vamos a contar la regleta que hemos colocado debajo de manera
horizontal. Empezamos: una, dos y tres.
-
¿Cuál de las dos regletas es más larga, la de arriba o la de abajo? La de
arriba.
-
¿Cuál de las dos regletas es menos larga, es decir, más corta, la de arriba o
la de abajo? La de abajo.
-
¿Cuál de los dos números es mayor? ¿El 8 ó el 3? El 8
-
¿Cuál de los dos números es menor? ¿El 8 ó el 3? El 3.
A continuación, colocaremos el resto de las regletas a un lado del franelograma,
pediremos a un alumno/a que salga y que coloque a continuación de la regleta 3 otra
regleta para conseguir formar, entre las dos regletas, otra tan larga como la regleta 8.
-
En la parte derecha del franelograma he colocado todas las demás regletas.
Tú tienes que escoger una de ellas y colocarla pegada a continuación de la
regleta 3 para que entre las dos sean tan largas como la regleta 8.
Evidentemente, si el alumno/a no escoge la regleta apropiada, todo el grupo se
dará cuenta del error de manera perceptiva, ya que la regleta suma será, bien más
larga, bien más corta. Una vez que el alumno/a haya colocado la regleta apropiada,
procederemos a contar las unidades que forman dicha regleta. Finalmente y para
terminar, formularemos al grupo una serie de preguntas en caminadas a la composición
del número 3 con el número 5 para formar la totalidad del número 8 y expresar dicha
composición bajo la forma de operación de sumar y a la acción de completar el número
3 con respecto a un total de 8.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
18
C
-
¿Qué regleta has colocado? La regleta cinco.
-
Vamos a contar para ver si es verdad: una, dos,… y cinco.
-
¿Qué regleta formamos si juntamos, si unimos, si sumamos la regleta tres
con la regleta cinco? La regleta ocho.
-
Desde la regleta tres hasta completar la regleta ocho, ¿qué regleta falta? La
regleta cinco
copyright 2009 Ramón Galán González
19
Lectura de números naturales hasta el 9.
Con la lectura de los números naturales hasta el 9 iniciamos el aprendizaje y el
uso del lenguaje matemático escrito. Hasta ahora, para referirnos a las cantidades de
objetos que teníamos hemos empleado los números pero expresados oralmente. Esto
ha de ser así ya que, al igual que en el lenguaje verbal, primero aprendemos a hablar.
Por dicho motivo, cuando abordemos el lenguaje matemático debemos trabajar la
expresión oral en primer lugar, y posteriormente la escrita. Y dado que es más fácil leer
que escribir, y ya dentro del lenguaje matemático escrito, abordaremos en primer lugar
la lectura de números, y finalmente la escritura de los mismos.
La lectura de los números naturales hasta el 9, debe realizarse mediante cuatro
sencillas fases:
1ª. Asociar perceptivamente cantidades de objetos con el guarismo de los
distintos números.
2ª. Expresar mediante el guarismo de un número, una cantidad dada de objetos.
3ª. Formar cantidades de objetos a partir del guarismo de un número.
4ª. Leer números naturales hasta el 9.
Vemos a continuación cada una de estas fases. Para ello, emplearemos el
mismo ejemplo con el fin de establecer relaciones y diferencias entre cada una de las
fases. Para la realización de estas actividades se plastificarán en pequeñas tarjetas las
grafías de los números hasta el 9.
1ª. Asociar perceptivamente cantidades de objetos con guarismo de los
distintos números.
En esta primera fase el alumno no realizará ninguna actividad práctica u acción
que no sea más que la de asociar perceptivamente una cantidad de objetos y la grafía
o guarismo de un número. En esencia, constituye el primer paso para establecer una
adecuada conexión entre percepción, pensamiento y lenguaje.
Podemos trabajar esta primera fase cuando abordamos las diversas actividades
de contar, componer, descomponer, comparar y completar cantidades de objetos.
Bastará que a la hora de expresar la cantidad de objetos, no lo hagamos únicamente
de forma oral sino situando la tarjeta del guarismo correspondiente al número.
Lo vemos con un ejemplo práctico.
Colocamos sobre el franelograma distintas figuras geométricas agrupadas según
la variable del color:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
20
Solicitaremos a distintos alumnos que determinen la cantidad de figuras
geométricas que tenemos de cada color. Cada vez que cada uno de ellos, vaya
respondiendo, colocaremos debajo de cada grupo la tarjeta con el guarismo del
número. Finalmente, el franelograma quedará de esta forma:
4
5
7
Podemos continuar y finalizar el ejercicio, preguntando a otros alumnos
cuestiones relacionadas con las cantidades que aparecen representadas en el
franelograma: ¿dónde tenemos más?, ¿dónde tenemos menos?, ¿cuantas figuras
tenemos que quitar de un grupo para tener la misma cantidad de figuras que tiene otro
grupo?, ¿cuantas tenemos que añadir a los dos primeros grupos para tener tantas
como el tercer grupo?, etc.
Desde el punto de vista que ahora nos ocupa, lo importante es que el alumno
asocie perceptivamente la cantidad de figuras de cada grupo con la grafía del guarismo
del número.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
21
2ª. Expresar mediante el guarismo de un número, una cantidad dada de
objetos.
En esta fase será el propio alumno quien realice la acción de colocar la tarjeta
del número debajo de la cantidad de objetos. Al realizar el alumno esta acción, supone
que en el pensamiento de éste, se está produciendo algo más que una simple
asociación entre guarismo y cantidad. Ahora supondrá, además, que tendrá que dotar
de significado al guarismo del número ya que será el propio alumno quien elija la tarjeta
adecuada, cosa que en la fase anterior la realizaba el profesor.
Por ello, cuando hagamos ejercicios de componer, descomponer y comparar
cantidades de objetos y a partir del momento que el alumno sea capaz por sí mismo de
colocar debajo de la cantidad de objetos la tarjeta con el número impreso, será éste
quien la coloque.
- Cuenta las figuras geométricas que hay en cada grupo y coloca debajo de cada
uno de ellos la tarjeta con el número:
4
C
copyright 2009 Ramón Galán González
5
7
22
3ª. Formar cantidades de objetos a partir del guarismo de un número.
En esta fase se le proporcionará al alumno el número y éste tendrá que colocar
o determinar la cantidad de objetos. Esta fase es distinta de la anterior dado que
taxonómicamente no es lo mismo interpretar que construir una cantidad de objetos. Por
lo tanto, y en la medida que la actividades que realicemos con los alumnos lo permitan,
serán los propios alumnos quienes construyan las cantidades de objetos que vayamos
a colocar sobre el franelograma, independientemente que le proporcionemos al alumno
el número en su expresión oral como en su expresión escrita. En definitiva se trata que
cada vez tome más protagonismo el hacer del alumno frente al hacer del profesor.
-
Coloca encima del primer número tantas figuras geométricas azules como
indica dicho número.
-
Ahora haz lo mismo con el segundo número pero con figuras geométricas
amarillas.
-
Por último, coloca figuras geométricas de color rojo, tantas como te indica el
tercer número.
4
5
7
4
5
7
4ª. Leer números naturales hasta el 9.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
23
Hemos visto que en las fases anteriores la cantidad de objeto estaba presente
de forma real. Sin embargo, cuando únicamente tenemos la escritura del número
tenemos una cantidad ideal, la expresión de una cantidad abstracta, no concreta, no
presentada de forma perceptiva. Por este motivo, y dado que el proceso de aprendizaje
en estas edades debe ir de lo concreto a lo abstracto, se consideran esenciales las
fases anteriores. Precisamente, uno de los errores que se producen con frecuencia en
el aprendizaje del concepto de número es no trabajar las fases anteriormente descritas,
o trabajarlas de forma breve y superficial, pasando directamente a leer números como
si la mera lectura implicara de por sí el dominio del concepto de número natural hasta
el 9, cuando en realidad la simple lectura de un número consiste en expresar el
significante del signo dado de forma gráfica a forma oral. Si bien es necesario que el
alumno sea capaz de expresar de forma oral el significante del signo, no asegura de
por sí que el alumno dote de significado a dicho signo. Dicho en otros términos,
también en el lenguaje matemático se presenta el problema de la comprensión lectora.
Para la realización, de esta fase pueden emplearse las tarjetas de numeración o
simplemente que los alumnos lean series de números naturales hasta el 9.
- ¿Qué números hemos colocado sobre el franelograma?
1
6
0
9
3
8
4
2
5
7
- Lee estos números:
2
C
-
1
-
7
-
9
copyright 2009 Ramón Galán González
-
6
-
0
-
8
-
5
-
3
-
4
24
Escritura de números naturales hasta el 9.
Una vez que hemos asegurado la conexión entre el significante y el significado
del signo matemático mediante el cual representamos el concepto de número natural,
abordamos la escritura del número. Sin embargo, debemos tener presente que este
nuevo aprendizaje no supone, en realidad, un nuevo aprendizaje matemático. Se trata
más bien de un aprendizaje donde participan factores de estructuración espacial, de
lateralidad y factores de psicomotricidad fina. Lo verdaderamente importante desde un
punto de vista matemático es que el alumno aprenda de manera intuitiva que un
número es un signo que expresa cantidad, y no tanto en reproducir por sí mismo el
mero trazado de dicho signo.
No obstante hemos comprobado que se producen diversos errores a la hora de
abordar la escritura o el trazado de los primeros números naturales. Por ejemplo, no es
raro ver como algunos alumnos al inicio de la Educación Primaria, escriben el número 3
ó el número 6 con la lateralidad cambiada. Es decir, de esta forma:
Igualmente hemos observado a lo largo de toda la Educación Primaria, que
bastantes alumnos trazan los números con una direccionalidad que va de abajo arriba,
o el número 8 como dos círculos superpuestos. Estos errores, que aún sin pertenecer a
la esfera del pensamiento matemático, afectan de una manera importante al uso del
lenguaje matemático.
Por ello, tenemos que tener en cuenta una serie de
consideraciones, entre las que destacan:
1ª. No abordar de manera prematura la escritura de los números en la
Educación Infantil. En primer lugar, porque no es un conocimiento esencial para el
aprendizaje matemático. En segundo lugar, porque muchos alumnos de Educación
Infantil que no dominan la lateralidad izquierda- derecha. Hay que tener en cuenta,
desde un punto de vista de la estructuración espacial, que los aspectos topológicos de
arriba y abajo no presentan dificultad para un niño de estas edades pero no ocurre con
la lateralidad. Ello es debido a que una imagen reflejada en un espejo, altera la
lateralidad, la izquierda y la derecha, pero y sin embargo, no altera la figura en relación
a la posición de arriba y abajo.
2ª. Cuando se realicen ejercicios de preescritura es necesario que los
movimientos de giro de la muñeca sigan la dirección contraria a las agujas de un reloj y
que los movimientos de los trazados verticales sigan la dirección de arriba abajo.
3ª. Que se realicen los trazados de los signos mediante un único movimiento, es
decir, sin levantar el lápiz del papel.
4ª. Si un alumno presenta errores en la dirección del movimiento que debe
seguir a la hora de escribir los números, es conveniente que interiorice el movimiento
correcto. Para lograr este fin, nos situaremos detrás del alumno, le taparemos los ojos
con una mano, cogeremos la mano con la que escribe y trazaremos en el aire el
movimiento correcto. De esta forma, y por tener los ojos tapados, el alumno se verá
obligado a seguir el movimiento que realiza su mano guiada por el profesor, de manera
pensada, de manera interna por medio de su pensamiento.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
25
Los números del 10 al 20.
Hasta ahora el alumno, para determinar la cantidad de objetos, únicamente
realizaba la acción de contar. Será ahora, a partir de la construcción del conjunto
numérico del 10 al 20 cuando el alumno comenzará, igualmente, a construir el sistema
de numeración decimal utilizando la estructura numérica del 10. A partir de ahora y
para determinar la cantidad de objetos que tiene, no necesitará contar sino que
calculará basándose en dicha estructura numérica.
Como decíamos con anterioridad, si pusiéramos ante los ojos de un alumno
estas unidades sueltas de regletas y le preguntáramos: ¿Cuántas hay?
El alumno para determinar la cantidad no tendría más remedio que contar.
A partir de ahora el alumno aprenderá que agrupando estas unidades en base a
10, le resultará fácil determinar la cantidad con un simple golpe de vista: sabrá que
tiene 13.
Pero es necesario que el procedimiento de agrupar los objetos de 10 en 10 no lo
limitemos únicamente a la construcción del número sino que lo apliquemos igualmente
al cálculo. Como afirmamos en su momento, en la introducción del presente trabajo, la
construcción del concepto de número natural debe cursar de forma paralela y
simultanea a la realización de las operaciones matemáticas de sumar y restar,
operaciones que llevan implícitas las acciones de componer, descomponer y completar.
Lo vemos con un ejemplo:
De un lado, tenemos 8 unidades. De otro, 5 unidades. Queremos averiguar la
cantidad total. La observación diaria de nuestra práctica docente nos informa que la
gran mayoría de los alumnos cuentan 5 a partir del 8, sirviéndose para tal fin de los
C
copyright 2009 Ramón Galán González
26
dedos de la mano. En estos casos, el alumno no está calculando sino contando. De
este modo y mediante este proceder, el alumno no desarrolla una adecuada capacidad
de cálculo. Al final y después de repetir la experiencia muchas veces, memoriza que 8
más 5 son 13. Pero en ningún caso desarrolla habilidades del cálculo ni formas de
razonamiento. Una de las causas que motiva el bajo rendimiento de los alumnos en el
Área de Matemáticas y la dificultad que encuentran en esta esfera del saber radica
precisamente en que los alumnos cuentan y no calculan.
¿Cómo tendríamos que proceder para que el alumno no disociara el cálculo
aritmético, de la acción de agrupar de 10 en 10 que fundamenta nuestro sistema de
numeración?
Lo vemos con un ejemplo práctico usando las regletas:
+
=
Es decir, nos bastaría desprender de la regleta cinco, dos unidades que son las
que se necesitan para completar el 10, la decena, a partir del ocho y aún nos sobraría
tres unidades. Expresando el procedimiento en forma de lenguaje matemático, sería:
8 + 5 = 10 + 3 = 13
De esta forma:
-
El alumno no cuenta, sino que calcula.
No disocia la acción real, la práctica, del cálculo matemático.
No disocia el cálculo matemático del sistema de numeración.
Para abordar el aprendizaje de los números naturales del 1 al 20, de un lado,
dividiremos este campo numérico en dos partes: Del 10 al 15 y del 16 al 20. De otra
parte, distinguiremos dos momentos según los recursos didácticos que emplearemos:
uso de objetos representados empleando la “máquina de contar” y empleo de las
regletas, es decir, de los objetos simbólicos agrupados.
Formar cantidades y números del 10 al 15 empleando los objetos
representados y la “máquina de contar”.
Se estima conveniente construir en primer lugar los números del 10 al 15 dado
que el nombre de los números once, doce, trece, catorce y quince no proporcionan
C
copyright 2009 Ramón Galán González
27
ninguna información a cerca de su composición, de cuántas decenas y cuántas
unidades tienen. No sucede lo mismo con el resto de los números. Así, por ejemplo, el
nombre del número diecisiete nos proporciona la información que está compuesto por
diez y siete más.
Comenzamos empleando la “máquina de contar”. Básicamente consiste en tiras
rectangulares de madera fina y poco pesada, cuyas dimensiones son 7 cm. de ancho y
60 cm. de alto. Estas tiras aparecen divididas en 10 partes iguales, es decir, en 10
rectángulos de 7 cm. de ancho por 6 cm. de alto. En cada uno de estos 10 rectángulos
se colocará un trozo de velcro hembra para posibilitar adherir en él los objetos
representados y plastificados. A su vez, las tiras rectangulares, y en su parte trasera,
llevarán colocadas trozos de velcro macho con el fin de adherirla al franelograma.
La función de la “máquina de contar” será la de ayudar al alumno a realizar la
acción de agrupar los objetos de 10 en 10. De tal forma que cada tira rectangular
completa representará 10 objetos, es decir, una decena.
Las primeras actividades estarán encaminadas a construir el número 10, la
decena.
Nos inventamos para los alumnos una situación imaginaria, por ejemplo:
-
Pedro es un agricultor que tiene plantados naranjos y que para contar las
naranjas que recoge las mete en cajas. Vamos a contar cuántas naranjas
caben en cada caja:
Colocamos a Pedro y una tira rectangular en el franelograma y comenzamos a
contar los huecos que tiene la “caja”.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
28
-
Uno, dos, tres,…y diez. La caja tiene 10 huecos. En la caja caben diez
naranjas.
Colocamos una serie de naranjas, por ejemplo ocho, en la parte derecha del
franelograma.
-
Estas son las naranjas que Pedro recogió de uno de los naranjos. ¿Con
estas naranjas podrá Pedro llenar una caja? Vamos a colocarlas dentro y a
contarlas.
- Una, dos, tres,…y ocho.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
29
-
¿Tiene Pedro ya la caja completa? No.
¿Cuántas naranjas le faltan para tener la caja completa? 2 naranjas.
Vamos a ver si es cierto.
Cogemos dos naranjas más y las colocamos en la caja.
-
Es verdad. Le faltaban dos naranjas para tener la caja completa.
¿Cuántas naranjas hay ahora en la caja? 10 naranjas.
Vamos a contarlas: Una, dos, tres,…y 10.
Como Pedro es muy despistado y tiene mala memoria, vamos a colocar
debajo de la caja el número 10 para que no se le olvide que tiene 10
naranjas.
1 0
C
copyright 2009 Ramón Galán González
30
Después de realizar con el grupo actividades semejantes y empleando otros
objetos y otras historias, comenzaremos a construir el resto de los número. En primer
lugar el número once. Para ello colocaremos en el franelograma 11 naranjas.
-
Estas son las naranjas que Pedro recogió de otro de los naranjos. ¿Con
estas naranjas podrá Pedro llenar una caja? Vamos a colocarlas dentro y a
contarlas.
-
Una, dos, tres,…y diez. Ya tiene una caja completa. Y con esta que le sobra,
ya son once. Tiene once naranjas.
- Para que no se le pierda la naranja suelta, Pedro coge otra caja y mete en ella
la naranja suelta.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
31
-
Y para que no se le olvide las naranjas que tiene, Pedro coloca debajo de
cada caja el número.
1 0
C
1
-
Ahora Pedro, sabe que tiene 10 naranjas en la caja completa y 1 naranja
suelta en la otra caja.
-
Y para que no se le olvide que tiene 11 naranjas, junta las cajas y coloca las
tarjetas una encima de la otra.
copyright 2009 Ramón Galán González
32
1
-
1
De esta manera Pedro sabe que tiene una 1 caja completa y una naranja
suelta.
Además también sabe que tiene en total 11 naranjas.
Si bien en nuestra exposición es el profesor quien realiza las acciones de
agrupar y colocar las naranjas, esta acción pueden realizarlas los propios alumnos. En
cualquier caso, se recomienda que después de la primera actividad, sean los alumnos
quienes las realicen.
Seguimos ampliando el conjunto numérico hasta llegar al número quince.
Colocamos sobre el franelograma 15 naranjas y solicitamos a cinco alumnos que
salgan a realizar el siguiente ejercicio:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
33
-
Vamos a contar las naranjas que tenemos.
Le pedimos al primer alumno que coloque naranjas hasta llenar una caja, al
mismo tiempo que las va contando.
El segundo alumno colocará las naranjas restantes en la otra caja al mismo
tiempo que también las cuenta.
El tercer y el cuarto alumno colocarán las tarjetas correspondientes a la cantidad
de naranjas que hay en cada caja.
1 0
C
5
copyright 2009 Ramón Galán González
34
El quinto alumno, juntará las cajas y colocará las tarjetas una encima de la otra,
con el fin de formar el número 15.
1
5
Finalmente preguntaremos al grupo:
- ¿Cuántas naranjas tenemos? Tenemos quince naranjas.
Igualmente podemos realizar en esta fase del proceso de aprendizaje,
actividades que consistan en proporcionarles a los alumnos las dos cajas vacías, el
número formado con las tarjetas de las decenas y unidades y un conjunto de naranjas.
Los alumnos tendrán que colocar en las cajas tantas naranjas como indique el número.
Vemos un ejemplo:
1
C
4
copyright 2009 Ramón Galán González
35
- Coloca en las cajas tantas naranjas como indica el número.
Por último e igualmente, podemos realizar con los alumnos actividades que
consistan en completar cantidades de naranjas. Es decir:
1
2
1
3
- Coloca las naranjas que faltan en cada número:
Formar cantidades y números del 15 al 20 empleando los objetos
representados y la “máquina de contar”.
En este punto, se les presenta a los alumnos los siguientes números, desde el
16 hasta el 20. Se recomienda hacer el mismo recorrido de actividades aunque el
proceso durará menos tiempo en base al aprendizaje que ya han acumulado los
alumnos.
En términos generales y como hemos visto en las actividades anteriormente
propuestas, se procede de la siguiente forma:
C
-
Se les presenta las cajas vacías a un lado y, al otro lado, los objetos.
-
Los alumnos colocan los objetos en las cajas a la par que van contando.
-
Colocan los números correspondientes debajo de cada caja.
-
Juntan las cajas y colocan la tarjeta de las unidades encima de la tarjeta de
las decenas, tapando el cero de esta última.
copyright 2009 Ramón Galán González
36
-
Finalmente, leen el número formado.
De igual modo, pueden realizarse actividades que consistan en colocar los
objetos a partir de las tarjetas de numeración, así como completar cantidades de
objetos.
Vemos una única actividad:
-
Vamos a contar los yogures que tenemos.
Le pedimos al primer alumno que coloque yogures hasta llenar una caja, al
mismo tiempo que los va contando. El segundo alumno colocará los yogures restantes
en la otra caja al mismo tiempo que también los cuenta. El tercer y el cuarto alumno
colocarán las tarjetas correspondientes a la cantidad de yogures que hay en cada caja.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
37
1
0
7
El quinto alumno juntará las cajas y colocará las tarjetas una encima de la otra.
De este modo:
1
7
Finalmente preguntaremos al grupo:
- ¿Cuántas yogures tenemos? Tenemos diecisiete yogures.
Especial interés merece el número 20. En este caso, procederemos de igual
modo que en las actividades anteriores pero haremos ver a los alumnos que dado que
C
copyright 2009 Ramón Galán González
38
completamos dos cajas y que no nos sobra ningún yogur suelto, entonces no es
necesario coger otra caja ni colocar ninguna tarjeta de las unidades sueltas. Es el
momento de presentar de manera intuitiva el concepto de cifra.
2 0
-
Hemos formado el número 20.
-
El número 20 significa que tenemos veinte yogures.
-
El número 20 esta formado por dos cifras.
-
La primera es la cifra 2. La segunda es la cifra 0.
-
La primera cifra, la cifra 2, indica que tenemos dos cajas completas de
yogures.
-
La segunda cifra, la cifra 0, indica que no tenemos ningún yogur suelto.
Formar cantidades y números del 10 al 20 empleando los objetos
simbólicos agrupados o regletas.
Comenzamos esta fase del proceso de aprendizaje mediante unas actividades
de transición. Emplearemos unidades sueltas que colocaremos sobre la máquina de
contar hasta completar el campo numérico del 10.De igual modo, se recomienda desde
el principio de esta fase cambiar el vocabulario empleado hasta ahora y nombrar los
órdenes de unidades, esto es, unidades y decenas.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
39
- ¿Coloca las unidades y di cuántas tenemos?
- Tenemos ocho unidades.
A continuación colocamos otra unidad y preguntamos al grupo cuántas tenemos
ahora: “Tenemos nueve unidades”
De nuevo colocamos otra unidad y preguntamos al grupo cuántas tenemos:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
40
- Tenemos 10 unidades.
En este momento, le diremos al grupo que de ahora en adelante para
representar el número 10 emplearemos la regleta de 10 de color azul que se llama
decena. Para ello desprenderemos las diez unidades de la “máquina de contar” las
colocaremos directamente sobre el franelograma, de forma vertical, y a su lado
pondremos una decena. De este modo, los alumnos podrán percibir por la altura de
ambas columnas que tenemos la misma cantidad. En cualquier caso y para que no
exista duda alguna contaremos las unidades.
C
-
Vamos a colocar las diez unidades en el franelograma. Yo las coloco y
ustedes las cuentan.
-
Una, dos, tres,… y diez.
copyright 2009 Ramón Galán González
41
- De ahora en adelante, cuando formemos el número diez y para no tardar tanto
tiempo, colocaremos la regleta 10, que es de color azul y que se llama decena.
Vamos a comprobar primero que la regleta “decena” tiene diez unidades.
- La regleta decena tiene 10 unidades porque es igual de alta que las diez
unidades sueltas. De todas formas vamos a contarlas: una, dos, tres,…y diez.
- Como la regleta decena tiene diez unidades, quitamos las unidades sueltas y
colocamos debajo de la regleta “decena” la tarjeta del número 10.
1 0
La siguiente actividad consistiría en añadir regletas sueltas, de una en una, a la
regleta decena, colocar las tarjetas y nombrar el número formado.
- Colocamos ahora una unidad suelta a la derecha de la decena y ponemos
debajo la tarjeta.
1 0
C
copyright 2009 Ramón Galán González
1
42
- Juntamos las regletas y juntamos las tarjetas y, ¿quien sabe el número que
hemos formado? El once.
1 1
- Vamos ahora a colocar, al lado de la decena, la regleta de dos unidades:
1 0
-
¿Qué número formaremos? El doce.
-
Vamos a ver si es verdad.
2
1 2
C
copyright 2009 Ramón Galán González
43
Procederemos del mismo modo con los restantes números hasta el 19 pero
haciendo del alumno el verdadero protagonista. Es decir, quienes deben realizar la
acción de colocar las regletas, las tarjetas y leer las cantidades formadas son los
propios alumnos.
Por otra parte, y dado que la formación de un número natural mayor que 10, es
el resultado de las acciones de agrupar y componer, debemos presentar los números
como la composición de las decenas y de las unidades, esto es, como la suma de
estos órdenes de unidades.
La siguiente actividad consistiría en formar cantidades, utilizando las regletas, a
partir del nombre del número dictado oralmente por el profesor. Para ello, solicitaremos
a cinco alumnos que salgan con el fin de formar con las regletas el número 14.
- Formen con las regletas el número 14.
El primer y el segundo colocarán, respectivamente la regleta de la decena y la
regleta de las unidades. El tercer y el cuarto alumno colocarán las tarjetas.
1 0
4
El quinto alumno, juntará las regletas y las tarjetas:
1 4
C
copyright 2009 Ramón Galán González
44
El profesor dirá y hará repetir al grupo:
-
“Diez más cuatro es igual a catorce”.
Con el fin de asociar la acción realizada con el lenguaje matemático escrito, en
los próximos ejercicios procederemos a colocar los signos matemáticos “más” e “igual”
al tiempo que formamos el número. De este modo:
- Formen con las regletas el número 19.
El primer y el segundo colocarán, respectivamente la regleta de la decena y la
regleta de las unidades. El tercer y el cuarto alumno colocarán las tarjetas y los signos
de sumar e igual.
1 0
+
9
=
El quinto alumno, despegara las regletas y las tarjetas y las colocará por detrás
del signo igual, colocándolas unas encima de otras. De este modo:
1 0
C
copyright 2009 Ramón Galán González
+
9
=
1 9
45
Ahora es el momento apropiado para reforzar el concepto de cifra. La
información que se le ofrece al alumno puede ser la siguiente:
1 9
-
Aquí tenemos el número 19.
El número 19 esta formado por dos cifras.
La primera es la cifra 1. La segunda es la cifra 9.
La primera cifra, la cifra 1, indica que tenemos 1una regleta de decena.
La segunda cifra, la cifra 9, indica que tenemos 9 unidades.
Otro tipo de actividad que podríamos proponer sería que el profesor formara los
números con las tarjetas y los alumnos dijeran el nombre del número formado. Un
ejemplo:
- ¿Qué número he formado?
1 0
5
1 5
A continuación se procedería de forma inversa. El profesor dice el número y
distintos alumnos, de forma sucesiva, formarán el número con tarjetas.
- Forma el número trece.
1 0
3
1 3
Otra versión de este tipo de actividades consistirá en que los alumnos formarán
con las regletas el número que el profesor les muestra con las tarjetas. Vemos un
ejemplo.
-
Formen con las regletas el número que le voy a enseñar:
1 7
C
copyright 2009 Ramón Galán González
46
Mención especial merece el número 20. Para su mejor comprensión e
interiorización por parte del alumno, procederemos de nuevo a utilizar las unidades
sueltas y la máquina de contar. Posteriormente lo formaremos con las regletas.
-
Coloca las unidades sobre la “máquina de contar” y di que cantidad tenemos:
- Tenemos veinte.
A continuación el profesor formulará las siguientes cuestiones:
C
-
¿Cuántas tiras de 10 hemos formado con el número 20? Dos.
-
¿Entonces, cuántas decenas tiene el número veinte? Dos decenas.
copyright 2009 Ramón Galán González
47
-
¿Cuántas unidades sueltas nos han sobrado? Ninguna.
-
¿Entonces, cuántas unidades sueltas tiene el número veinte? Ninguna.
También podremos formar el número 20, añadiendo una unidad a la regleta 9 del
número 19 y, posteriormente sustituyendo la nueva decena formada por una regleta
azul de decena, es decir, formando el número 20 con dos regletas de decenas.
Precisamente, el alumno ha de observar que el número 20 está formado por dos
regletas de 10, por dos decenas y que no sobra ninguna unidad suelta.
1 9
+
1
=
2 0
2 0
De la misma forma, y porque no sobra ninguna unidad suelta, para representar
el número 20 mediante tarjetas, únicamente utilizaremos una sola clase de tarjetas. No
utilizamos ninguna tarjeta para las unidades sueltas porque no tenemos unidades
sueltas. Es conveniente recordarle la siguiente información cambiando algunos
términos del vocabulario:
2 0
-
Aquí tenemos el número 20.
El número 20 esta formado por dos cifras.
La primera es la cifra 2. La segunda es la cifra 0.
La primera cifra, la cifra 2, indica que tenemos dos regletas de decena.
La segunda cifra, la cifra 0, indica que no tenemos ninguna unidad suelta.
En las siguientes actividades se sustituyen las regletas por su representación
gráfica. Los alumnos, de forma individualizada, realizarán en su cuaderno actividades
como las siguientes:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
48
- Observa las regletas dibujadas y escribe el número debajo:
Para darle un carácter lúdico y para que la libreta de actividades gane en alegría
y colorido, los alumnos pintarán de color las regletas. Dado que los alumnos, como es
posible, no presentan aún un dominio suficiente de la lectura, el profesor le dictará la
orden de forma oral.
La siguiente actividad es la inversa de la anterior. Se le proporciona el número, y
el alumno tiene que dibujar las regletas. Estos ejercicios también se encuentran en el
cuaderno de actividades del alumno.
- Dibuja las regletas encima de los números:
1 3
C
1 5
copyright 2009 Ramón Galán González
1 8
49
Sumar numéricamente a una decena, un número natural menor o igual a 10, o
calcular la parte sumada.
En la siguiente actividad propuesta se vuelva al uso de las regletas, a la fase
práctica. En el primer caso, el alumno tendrá que calcular la decena. En el segundo
caso tendrá que calcular las unidades. Con estas actividades, a la par que se trabajan
las acciones de componer y descomponer aplicadas a la suma y a la resta, constituyen
un buen complemento para la construcción del concepto de número en nuestro sistema
de numeración:
Ejemplo de añadir la decena
-
Añade las regletas que faltan para formar el número 13.
1 3
Ejemplo de añadir las unidades:
- Añade las regletas que faltan para formar el número 17.
1 7
A continuación, se vuelve al cuaderno de actividades del alumno y se repiten
estas dos actividades pero mediante la representación gráfica.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
50
- Dibuja las regletas que faltan.
1 4
1 7
Para finalizar este momento del proceso de aprendizaje se pasa a la fase
numérica. Es conveniente hacer coincidir el aprendizaje de nuestro sistema de
numeración decimal con las acciones de componer y descomponer un número en
decenas y unidades para abordar la suma y la resta sin llevarse. De esta forma
trabajaremos dos aprendizajes conexionados entre sí.
El alumno realizará en su cuaderno de actividades ejercicios secuenciados como
los siguientes:
Calcula:
10 + 5 =
10 + 4 =
10 + 6 =
9 + 10 =
4 + 10 =
0 + 10 =
10 + 0 =
Calcula:
2 + 10 =
Calcula:
10 + 10 =
C
copyright 2009 Ramón Galán González
51
Calcula:
10 +
= 13
10 +
+ 10 = 17
3+
= 13
= 15
10 +
+ 10 = 12
6+
+ 8 = 18
= 16
= 18
+ 10 = 14
1+
+ 9 = 19
= 11
+ 1 = 11
Calcula:
13 – 3 =
15 – 5 =
18 – 8 =
Calcula:
C
13 –
= 10
13 –
=3
18 –
= 10
18 –
=8
16 –
= 10
16 –
=6
copyright 2009 Ramón Galán González
52
Los números naturales hasta el 99.
Esencialmente, para el aprendizaje de este campo numérico procederemos del
mismo modo que cómo lo hemos venido haciendo hasta ahora. Es decir, mediante tres
acciones: contar, agrupar y componer.
Primero. Contamos hasta 10.
Segundo. Agrupamos de 10 en 10.
Tercero. Componemos o unimos grupos de diez (decenas) con unidades
sueltas.
Para el desarrollo del proceso de aprendizaje de esta fase emplearemos como
recurso didáctico fundamental las regletas. Sin embargo, comenzaremos inicialmente
utilizando la “máquina de contar” con el fin de reafirmar las dos primeras acciones, esto
es, contar y agrupar dado que las regletas es un recurso material didáctico que surgen
como resultado final de estas dos acciones y, por ello, este recurso solamente nos
permite realizar, en relación al dominio del sistema de numeración decimal, la tercera
de las acciones: componer decenas y unidades.
Comenzaremos ampliando el campo numérico hasta 30 utilizando “la máquina
de contar”. De nuevo procederemos de la siguiente forma:
-
Se les presenta las cajas vacías a un lado y, al otro lado, los objetos.
-
Los alumnos colocan los objetos en las cajas a la par que van contando.
-
Colocan los números correspondientes debajo de cada caja.
-
Juntan las cajas y colocan la tarjeta de las unidades encima de la tarjeta de
las decenas, tapando el cero de esta última, y leyendo finalmente el número
formado
- ¿Cuántas naranjas tenemos?
C
copyright 2009 Ramón Galán González
53
2
0
4
2
4
Realizaremos con los alumnos diversos ejercicios similares. Finalmente
emplearemos las unidades sueltas como paso previo al uso de las regletas. De nuevo
prestaremos mención especial a la construcción del número 30.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
54
-
Coloca las unidades sobre la “máquina de contar” y di que cantidad tenemos:
- Tenemos treinta.
A continuación el profesor formulará las siguientes cuestiones:
C
-
¿Cuántas tiras de 10 hemos formado con el número treinta? Tres.
-
¿Entonces, cuántas decenas tiene el número treinta? Tres decenas.
-
¿Cuántas unidades sueltas nos han sobrado? Ninguna.
-
¿Entonces, cuántas unidades sueltas tiene el número treinta? Ninguna.
copyright 2009 Ramón Galán González
55
-
Como no nos ha quedado ninguna unidad suelta, entonces no tendremos que
colocar ninguna tarjeta de las cifras de las unidades. Solamente tendremos
que colocar la tarjeta de las decenas.
-
¿Qué tarjeta tendremos que colocar?
3 0
Pasamos a utilizar las regletas y sin limitación en el campo numérico.
- Formen con las regletas el número 25.
El primer y el segundo alumno colocarán, respectivamente las regletas de las
decenas y la regleta de las unidades. El tercer y el cuarto colocarán las tarjetas.
2 0
5
El quinto alumno, juntará las regletas y las tarjetas:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
56
2 5
Dado que, como se dijo con anterioridad, la construcción de nuestro sistema de
numeración conlleva la acción de componer o unir las decenas con las unidades y que
esta composición puede expresarse en forma de suma, y con el fin de asociar la acción
realizada con el lenguaje matemático escrito, en los próximos ejercicios procederemos
a colocar los signos matemáticos “más” e “igual” al tiempo que formamos el número.
De este modo:
- Formen con las regletas el número 38.
El primer y el segundo colocarán, respectivamente las regletas de las decenas y
la regleta de las unidades. El tercer y el cuarto alumno colocarán las tarjetas y los
signos de sumar e igual.
3 0
+
=
8
El quinto alumno, despegara las regletas y las tarjetas y las colocará por detrás
del signo igual, colocándolas unas encima de otras. De este modo:
3 0
C
copyright 2009 Ramón Galán González
+
8
=
3 8
57
El profesor dirá y hará repetir al grupo:
-
“Treinta más ocho es igual a treinta y ocho”.
A partir de este momento, se realizarán ejercicios similares pero referidos a
números mayores puesto que los nuevos aprendizajes no implican cambios cualitativos
sino meramente cuantitativos. Vemos un único ejemplo ya que todos son similares:
- Formen con las regletas el número 73.
+
7 0
7 0
=
3
+
3
=
7 3
En un momento dado podemos desprendernos de las regletas y emplear
únicamente las tarjetas. Para ello colocaremos todas las tarjetas en el franelograma e
iremos solicitando a distintos alumnos que vayan formando los números que dictemos
oralmente. Es conveniente en este tipo de ejercicios que los alumnos formen también
números que expresen un número exacto de decenas, es decir, los números: 10, 20,
30,… etc.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
58
-
He colocado en el franelograma todas las tarjetas de las decenas y todas las
tarjetas de las unidades. Tienen que formar los números que voy a dictarles:
-
El cuarenta y seis.
El cincuenta y dos.
El setenta.
El quince.
El noventa
El sesenta y uno
El ochenta y ocho
1 0
1
2 0
2
3 0
3
2 0
4
6
5
5 0
5
6
6 0
7
8
7 0
8 0
9 0
9
3 0
3
4
4 0
2
4
7 0
7
1
5
9 0
9
6
1
8
8
Podemos aprovechar el ejercicio y ordenar los números de menor a mayor.
-
Ahora vamos a colocar los números por orden, de más pequeños a más
grandes. En primer lugar tenemos que colocar el número que tenga menos
cantidad y al final, el número que tenga más cantidad.
2 0
3 0
3
1
C
5
4
6
4
5 2
copyright 2009 Ramón Galán González
7
6
1
7 0
9
8
8
9
0
59
Para que el alumno interiorice la secuencia ascendente de los números
naturales y el paso entre las distintas decenas, podemos construir números partiendo
de otro determinado, añadiendo unidades sueltas hasta completar una nueva decena y
sustituirla por una regleta de decena. Por ejemplo, partir del número 38 y llegar hasta el
número 53. De igual modo procederíamos en las series descendente, construiríamos
un número cuyas unidades estuviera formada por unidades sueltas y no por una regleta
rígida, con el fin de poder ir quitando una a una las distintas unidades hasta llegar a un
número formado únicamente por regletas de decenas. En ese momento tendríamos
que cambiar una regleta de decenas por diez unidades sueltas y continuar quitando
unidades. Por ejemplo, partir del número 68 y descender hasta el número 53. A la par
que un alumno va realizando la acción, sus compañeros van contando bien
ascendentemente, bien descendentemente, es decir, expresando oralmente el número
que en ese momento aparezca construido en el franelograma.
Es importante que los alumnos antes de pasar a los ejercicios expresados en su
forma numérica, los realice de forma práctica y manipulativa mediante un aprendizaje
inmediato o perceptivo.
Podemos sustituir las regletas por su representación gráfica. Los alumnos, de
forma individualizada, realizarán en su cuaderno actividades como las siguientes:
- Pinta de color las regletas y escribe el número debajo:
Si los alumnos no presentasen aún un dominio suficiente de la lectura, el
profesor le dictará la orden de forma oral.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
60
La siguiente actividad es la inversa de la anterior. Se le proporciona el número, y
el alumno tiene que dibujar las regletas. Estos ejercicios también se encuentran en el
cuaderno de actividades del alumno.
- Dibuja y pinta de color las regletas que indican los números:
2 3
3 9
6 1
Para finalizar este momento del proceso de aprendizaje se pasa a la fase
numérica. Como se dijo con anterioridad, es conveniente hacer coincidir el aprendizaje
de nuestro sistema de numeración decimal con las acciones de componer y
descomponer un número en decenas y unidades para abordar la suma y la resta sin
llevarse.
Antes de realizar las actividades escritas que cada alumno tiene en su cuaderno,
podemos trabajar la composición y descomposición de un número en sus decenas y
unidades mediante las tarjetas de cálculo. Las tarjetas de cálculo de sumas y restas de
números naturales hasta el 100, y que se adjuntan en el anexo correspondiente a los
recursos didácticos, son tarjetas plastificadas con un trozo de velcro por la parte de
atrás y que, por ello, presentan igualmente la posibilidad de ser adheridas al
franelograma. En el caso que nos ocupa solamente utilizaremos aquellas que están
referidas a las mencionadas composiciones y descomposiciones de decenas y
unidades.
El profesor colocará sobre el franelograma distintas tarjetas de sumas y restas.
Posteriormente, tapará con un rectángulo plastificado (que también puede pegarse al
franelograma) uno de los números que integran la suma o la resta. En el caso de la
resta, nunca se tapará el minuendo ya que es una operación que sobrepasa la
capacidad de los alumnos en estas edades.
Los distintos alumnos tendrán que ir averiguando cuál es el número que está
tapado. Después que cada respuesta, el profesor levantará la tarjeta para que el
alumno compruebe si ha acertado o ha errado.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
61
Veamos algunos ejemplos de estas actividades empleando este tipo de recurso.
20 + 7 = 6
+ 7 = 67
40 + 9 =
37 – 7 =
80 +
= 83
75 –
50 +
= 57
94 –
= 90
= 5
71 – 1 =
Posteriormente el alumno realizará en su cuaderno de actividades ejercicios
como los siguientes:
Calcula:
20 + 5 =
50 + 4 =
80 + 6 =
9 + 40 =
4 + 70 =
Calcula:
2 + 30 =
Calcula:
20 +
= 23
50 +
+ 20 = 27
3+
= 43
60 +
+ 40 = 42
6+
+ 8 = 58
C
= 55
copyright 2009 Ramón Galán González
= 66
+ 9 = 89
= 68
+ 70 = 74
1+
= 91
+ 1 = 61
62
Calcula:
43 – 3 =
65 – 5 =
78 – 8 =
Calcula:
23 –
38 –
C
= 20
=8
48 –
= 40
76 –
= 70
76 –
=6
53 –
=3
copyright 2009 Ramón Galán González
63
Construyendo los números del 100 al 999.
Comenzaremos a construir el número 100, esto es, el concepto de centena. Para
tal fin, emplearemos las regletas pero en una versión más reducida de tamaño para
permitir construir en el franelograma números de varias centenas. Identificaremos las
regletas de las centenas por su color amarillo. En nuestra exposición seguiremos
manteniendo el tamaño de las regletas. Hay que recordar que el color asignado a las
distintas clases de regletas es absolutamente arbitrario y que cada profesor podrá
asignarle el color que estime conveniente. Lo que sí es necesario es que las distintas
tarjetas de numeración sean del mismo color que las de sus correspondientes regletas.
Formamos en el franelograma el número 90 y colocamos sucesivamente y de
una en una, regletas sueltas de unidades. Los alumnos irán leyendo los números
formados. De esta forma llegaremos hasta el número 99.
Colocaremos otra nueva unidad suelta y como hemos formado una nueva
decena la cambiamos por una regleta azul de decenas.
Proporcionaremos a los alumnos la siguiente información
-
Hemos formado el número 100.porque tenemos 100 unidades.
-
El número 100 tiene 10 decenas porque tenemos colocadas 10 regletas de
decenas.
-
De ahora en adelante, para no poner tantas decenas, emplearemos una
nueva regleta: la regleta de las centenas, que significa “cien”.
Superponemos la regleta 100 encima de las 10 regletas de decenas para que el
alumno compruebe que tenemos la misma cantidad. Despegamos las regletas de las
decenas y colocamos en su lugar la nueva regleta de la centena. Finalmente le
enseñaremos la tarjeta de numeración correspondiente al número 100 y la colocamos
debajo de la nueva regleta.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
64
1 0 0
Una vez que hemos construido el número 100, seguiremos añadiendo unidades
sueltas y trabajaremos el campo numérico que va del 100 al 109. Es importante este
campo numérico ya que supone la ausencia de decenas en un número de tres cifras.
Seguiremos empleando el mismo proceder:
-
Colocamos la centena y las unidades.
Ponemos debajo las tarjetas.
Unimos las regletas y las tarjetas.
Vemos los números 101 y 109.
-
Vamos a ver qué número formamos:
-
Tú tienes que colocar en el franelograma la regleta de las centenas que ya
sabemos que tiene 100.
-
Tú, colocas en la parte derecha una regleta de unidad.
-
Ustedes dos tienen que colocar debajo de las regletas, las tarjetas con los
números correctos.
1 0 0
C
copyright 2009 Ramón Galán González
1
65
-
Por último, tu tienes que juntar las regletas y colocar la tarjetas unas encima
de las otras.
1 0 1
- Como tenemos 100 y tenemos 1, hemos formado el número 101.
A continuación vamos añadiendo a las unidades del número 101 unidades
sueltas y sustituyendo la tarjeta de las unidades según el número que vayamos
formando. Al mismo tiempo los alumnos van leyendo dichos números:
- 101, 102,…108
Es importante que los alumnos “vean” estos números, es decir, que tenga lugar
un aprendizaje perceptivo, que vean el número en términos de cantidad de regletas y
en términos de lenguaje matemático escrito. Es conveniente, señalar a los alumnos que
como no tenemos colocada ninguna regleta de decenas, tampoco empleamos tarjetas
de decenas para formar los números.
De esta forma, llegamos al número 109 y construimos el número 110.
1 0 9
C
copyright 2009 Ramón Galán González
66
Como tenemos 10 unidades, sustituimos las diez unidades por una regleta de
decena y la colocamos separada de la regleta de la centena. Igualmente ponemos
debajo la tarjeta del número 10. Posterior y finalmente juntamos las regletas y las
tarjetas. De este modo:
1 0 0
1 0
1 1 0
Ahora, para formar el número 110, como no tenemos unidades sueltas, tampoco
empleamos las tarjetas de numeración de las unidades.
En estos momentos ya podemos construir los números comprendidos entre el
110 y el 119 empleando las regletas de las unidades agrupadas.
-
Tú tienes que colocar en la parte izquierda del franelograma una regleta de
centena.
-
Tú colocas en el centro del franelograma una regleta de decena.
-
Tú, colocas en la parte derecha la regleta de 8 unidades.
-
Ustedes tienen que colocar debajo de las regletas, las tarjetas con los
números correctos.
1 0 0
C
copyright 2009 Ramón Galán González
1 0
8
67
-
Por último ustedes tienen que juntar las regletas y las tarjetas y decir qué
número hemos formado.
1 1 8
- Hemos formado el número ciento dieciocho.
Por últimos formamos el número 120 del mismo modo que formamos el número
110. En este caso partiendo del número 119 y añadiendo una unidad suelta.
1 1 9
1
2 0
En este punto del proceso de aprendizaje, los alumnos ya están en disposición
de construir el sistema de numeración decimal hasta el número 999. Para tal fin se
realizarán actividades como las que acabamos de analizar a la par que vamos
aumentando el campo numérico. En todo caso, se recomienda hacer hincapié en los
pasos de las centenas y en los números que tengan como decenas o unidades la cifra
cero.
Vemos algunos ejemplos.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
68
-
Coloca las tarjetas y di qué número hemos formado.
3 0 0
5 0
4
3 5 4
-
Forma con las regletas el número 407, coloca debajo las tarjetas de
numeración y forma después con ellas el número.
4 0 0
7
4 0 7
C
copyright 2009 Ramón Galán González
69
-
Forma con las regletas el número 299, coloca debajo las tarjetas de
numeración y forma después con ellas el número.
2 0 0
9 0
9
2 9 9
- Añade ahora una unidad suelta al número 299. ¿Qué número formas? Realiza
la operación con las regletas.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
70
3 0 0
-
Forma con las regletas el número 390, coloca debajo las tarjetas de
numeración y forma después con ellas el número.
3 0 0
9 0
3 9 0
- Añádele una decena al número 390. ¿Qué número formas? Realiza la
operación con las regletas.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
71
4 0 0
Podemos emplear este tipo de ejercicios con regletas para contar de 10 en 10.
Por ejemplo, podemos formar el número 80 con ocho regletas de decenas e ir
sucesivamente añadiendo nuevas decenas a la par que los alumnos van diciendo en
voz alta los números que vamos formando en el franelograma. Cuando se produzca el
paso al número 100, sustituiremos las diez decenas por una regleta de centena y
seguiremos añadiendo nuevas decenas. Posteriormente podremos realizar este mismo
ejercicio sin la ayuda de las regletas y realizarlo finalmente de forma escrita. También
podríamos realizar este ejercicio de forma descendente
En general, este sería el procedimiento para que los alumnos aprendan a formar
series de números. Por ejemplo, a contar de 5 en 5 partiendo del número 80. Otro
ejemplo, contar de 10 en 10 a partir del número 82.
En un momento dado podemos desprendernos de las regletas y emplear
únicamente las tarjetas. Para ello colocaremos todas las tarjetas en el franelograma e
iremos solicitando a distintos alumnos que vayan formando los números que dictemos
oralmente.
He colocado en el franelograma todas las tarjetas de las centenas, de las
decenas y todas las tarjetas de las unidades. Tienen que formar los números que voy a
dictarles:
C
El quinientos cuarenta y seis.
El doscientos cincuenta y dos.
El trescientos setenta.
copyright 2009 Ramón Galán González
72
-
El cuatrocientos ocho.
El ochocientos diez
El setecientos uno
El novecientos noventa siete.
100
200
1 0
1
300
2 0
2
400
3 0
3
4
500
4 0
5
5 0
6
100
3 0
3
6
700
6 0
7 0
7
8
800
8 0
900
9 0
9
600
2 0
5 4
600
2 5 2
6 0
4
3 7 0
8 0
5
4 0 8
9
8 1 0
7 0 1
9 9 7
Podemos aprovechar el ejercicio y ordenar los números de menor a mayor.
-
Ahora vamos a colocar los números por orden, de más pequeños a más
grandes. En primer lugar tenemos que colocar el número que tenga menos
cantidad y al final, el número que tenga más cantidad.
100
600
2 0
3 0
3
2 5 2
C
3 7 0
6 0
4
4 0 8
copyright 2009 Ramón Galán González
5
5 4 6
8 0
9
7 0 1
8 1 0
9
9 7
73
Podemos igualmente ayudarnos de las tarjetas de numeración y de los signos de
sumar e igual para realizar composiciones y descomposiciones polinómicas de los
números
Vemos algunos ejemplos de composiciones que podemos realizar:
7 0 0
+
4 0
6 0 0
+
8 0
3 0 0
+
5
3 0
+
+
=
+
5 0 0
6
+
9 0
7 4 9
3 0 5
+
7
=
1 0
=
5 1 2
8 0 0
=
8 9 6
+
+
=
6 8 0
=
1 0 0
2
9
1 3 7
Para las descomposiciones operamos de la forma contraria. Vemos un solo
ejemplo.
2 4 8
=
2 0 0
+
4 0
+
8
Después de trabajar la fase perceptiva, podemos proponer distintos ejercicios
escritos:
Escribe el número que formamos:
400 +
C
60 + 8 =
copyright 2009 Ramón Galán González
74
70 + 5 + 900 =
800 + 9
=
30 + 500 =
Escribe los números que formamos con:
3 centenas, 7 decenas y 9 unidades =
8 decenas, 6 unidades y 2 centenas =
7 unidades y 5 centenas =
8 decenas y 1 centena =
Di cuantas centenas, decenas y unidades tienen estos números:
C
8 7 9 =
centenas,
decenas y
unidades.
unidades.
2 0 6 =
centenas,
decenas y
unidades.
9 2 0 =
centenas,
decenas y
unidades.
5 3 8 =
unidades,
decenas y
centenas.
3 9 2 =
unidades,
centenas y
decenas.
7 0 9 =
decenas,
copyright 2009 Ramón Galán González
unidades y
centenas.
75
FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO ARITMÉTICO
EN EL PRIMER CICLO
DE LA ENSEÑANZA PRIMARIA.
CONCEPTO Y CONSTRUCCIÓN
DEL
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
ANEXO:
EJEMPLOS DE ACTIVIDADES NUMÉRICAS.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
76
Introducción.
Este conjunto de ejercicios numéricos no constituye un cuaderno de actividades
propiamente dicho, sino una propuesta de actividades que el profesor, en la medida y
el momento que el profesor estime conveniente, puede presentar a los alumnos. Hay
que tener en cuenta que la construcción del sistema decimal hasta el número 1.000 no
se desarrolla durante un único curso académico sino que abarca dos cursos, en
términos de normalidad.
Estos ejercicios numéricos tienen que ser realizados solamente después de que
los alumnos hayan trabajado los respectivos conceptos y procedimientos de manera
activa, manipulativa, esto es, mediando la percepción.
Igualmente, esta propuesta de actividades no agota ni excluye otras que se
pueden proponer y que están relacionadas con este conjunto numérico.
C
copyright 2009 Ramón Galán González
77
Nombre:
Actividad 1.
Escribe los números:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
4
3
2
1
0
Escribe los números:
9
C
8
7
6
copyright 2009 Ramón Galán González
78
Nombre:
Actividad 2.
Pinta las regletas de color y escribe debajo el número:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
79
Nombre:
Actividad 3.
Dibuja
Dibuja y pinta de color las regletas.
C
1 3
1 5
1 2
1 6
1 4
1 9
1 8
1 7
copyright 2009 Ramón Galán González
1 1
80
Nombre:
Actividad 4.
Dibuja la regleta que falta. Dale color.
C
1 3
1 5
1 1
1 2
1 6
1 4
1 9
1 8
1 7
copyright 2009 Ramón Galán González
81
Nombre:
Actividad 5.
Calcula:
10 + 5=
10 + 4=
4=
10 + 6=
10 + 1=
10 + 7=
7=
10 + 3=
10 + 2=
10 + 9=
9=
10 + 8=
3 + 10=
5 + 10=
10=
1 + 10=
10=
6 + 10=
2 + 10=
10=
4 + 10=
10=
9 + 10=
8 + 10=
10=
7 + 10=
10=
Calcula:
Calcula:
10 +
= 13
10 +
+ 10= 17
3 +
= 13
+ 10= 12
6 +
+ 8 = 18
C
= 15
copyright 2009 Ramón Galán González
= 16
+ 9 = 19
10 +
= 18
+ 10= 14
1+
= 11
+ 1 = 11
82
Nombre:
Actividad
Actividad 6.
Calcula:
15 - 5=
14 - 4=
4=
16 - 6=
11 - 1=
17 - 7=
7=
13 - 3=
12 - 2=
19 - 9=
9=
18 - 8=
15 - 10=
14 - 10=
10=
16 - 10=
10=
11 - 10=
17 - 10=
10=
13 - 10=
10=
12 - 10=
19 - 10=
10=
18 - 10=
10=
Calcula:
Calcula:
13 –
= 10
13 –
= 3
18 –
= 10
18 –
= 8
16 –
= 10
16 –
= 6
15 –
= 10
14 –
= 4
19 –
= 10
11 –
= 1
17 –
= 10
12 –
= 2
C
copyright 2009 Ramón Galán González
83
Nombre:
Actividad 7.
Ordena los números de menor
4 ;
8 ;
<
1 ;
<
2 ;
9 ;
<
a mayor:
5 ;
<
7 ;
<
6 ;
<
3.
<
<
Ordena los números
números de mayor a menor:
menor:
4 ;
8 ;
>
1 ;
>
2 ;
9 ;
>
5 ;
>
>
7 ;
6 ;
>
3.
>
>
Ordena los números de mayor a menor:
menor:
8 ;
>
4 ;
6 ;
>
2
>
Ordena los números de menor a mayor:
mayor:
7 ;
9 ;
<
C
5 ;
1 ;
<
copyright 2009 Ramón Galán González
3.
<
84
Nombre:
Actividad 8.
Ordena los números de menor
14 ; 8 ;
<
10 ; 12 ; 9 ;
<
<
a mayor:
7 ;
<
15 ; 13;
13
<
<
11
<
<
Ordena los números de mayor a menor:
menor:
14 ; 10;
>
11 ;
>
12
12 ;
>
9 ;
>
>
Ordena los números de menor
4 ;
<
8 ;
<
10 ;
2 ;
<
15
15 ;
12 ;
<
17
17 ;
>
16 ; 13.
>
>
a mayor:
16 ;
<
14 ;
<
6 ; 18.
18.
<
<
Ordena los números de mayor a menor:
menor:
11 ;
>
C
17 ;
>
1 ;
13 ;
>
copyright 2009 Ramón Galán González
>
9;
5 ;
>
7 ;
15 ;
>
>
3.
>
85
Nombre:
Actividad 9.
Pinta de color las regletas y escribe el número debajo:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
86
Nombre:
Actividad 10.
10.
Dibuja y pinta de color
los números:
2 3
4 7
C
copyright 2009 Ramón Galán González
3 9
5 0
las regletas que indican
6 1
7 9
87
Nombre:
Actividad 11.
11.
Calcula:
20 + 5 =
50 + 4 =
80 + 6 =
30 + 1 =
90 + 3 =
60 + 7 =
70 + 0 =
10 + 8 =
40 + 2 =
80 + 5 =
20 + 4 =
50 + 6 =
2 + 50 =
5 + 40 =
8 + 60
60 =
3 + 10 =
9 + 30 =
6 + 70 =
7 + 10 =
1 + 80 =
4 + 20 =
8 + 50 =
2 + 40 =
5 + 60
60 =
Calcula:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
88
Nombre:
Actividad 12.
Calcula:
20 +
= 23
50 +
+ 20 = 27
3 +
= 43
= 55
+ 40 = 42
6 +
+ 8 = 58
= 66
+ 9 = 89
60 +
= 68
+ 70 = 74
1 +
= 91
+ 1 = 61
Calcula:
43 – 3 =
65 – 5 =
78 – 8 =
12 – 2 =
39 – 9 =
51 – 1 =
24 – 20 =
56 – 50 =
37 – 30 =
92 – 90 =
68 – 60 =
73 – 70 =
65 – 5 =
54 – 4 =
49 – 40 =
C
copyright 2009 Ramón Galán González
89
Nombre:
Actividad 13.
13.
Calcula:
23 –
= 20
48 –
= 40
76 –
= 70
15 –
= 10
52 –
= 50
97 –
= 90
69 –
= 60
31 –
= 30
84 –
= 80
Calcula:
38 –
= 8
76 –
= 6
53 –
= 3
49 –
= 9
62 –
= 2
94 –
= 4
21 –
= 1
15 –
= 5
87 –
= 7
= 30
56 –
= 50
= 8
27 –
= 7
= 40
77 –
= 70
= 3
14 –
= 4
Calcula:
75 –
= 70
65
65 –
= 5
81 –
= 80
91 –
= 1
C
39 –
38 –
42
42 –
63 –
copyright 2009 Ramón Galán González
90
Nombre:
Actividad 14.
Ordena los números de menor
17 ;
23 ;
<
21 ;
<
19 ;
<
34 ;
>
31 ;
>
53 ;
>
<
51 ;
<
68 ;
74 ;
>
C
copyright 2009 Ramón Galán González
<
29 ;
>
50 ;
<
33
>
52 ;
<
48
<
a men
menor:
enor:
70 ;
>
18
a mayor:
<
>
32 ;
49 ;
71 ;
<
>
Ordena los números de may
mayor
ayor
22 ;
a men
menor:
enor:
30 ;
Ordena los números de menor
47 ;
20 ;
<
Ordena los números de may
mayor
ayor
28 ;
a mayor:
72 ;
>
69 ;
>
73
>
91
Nombre:
Actividad 15.
Ordena los números de menor
28 ;
16 ;
<
22 ;
<
24 ;
<
43 ;
>
41 ;
>
54 ;
>
<
60 ;
<
87 ;
93 ;
>
C
copyright 2009 Ramón Galán González
<
37 ;
>
50 ;
<
49
>
52 ;
<
56
<
a men
menor:
enor:
91 ;
>
18
a mayor:
<
>
45 ;
58 ;
99 ;
<
>
Ordena los números de may
mayor
ayor
26 ;
a men
menor:
enor:
39 ;
Ordena los números de menor
menor
48 ;
20 ;
<
Ordena los números de may
mayor
ayor
47 ;
a mayor:
97 ;
>
89 ;
>
95
>
92
Nombre:
Actividad 16.
16.
Ordena los números de menor
30 ;
50 ;
<
40 ;
<
10 ;
<
40 ;
>
60 ;
>
55 ;
>
<
45 ;
<
53 ;
48 ;
>
C
copyright 2009 Ramón Galán González
<
80 ;
>
65 ;
<
70
>
75 ;
<
25
<
a men
menor:
enor:
96 ;
>
20
a mayor:
<
>
30 ;
15 ;
62 ;
<
>
Ordena los números de may
mayor
ayor
70 ;
a men
menor:
enor:
90 ;
Ordena los números de menor
35 ;
60 ;
<
Ordena los números de may
mayor
ayor
50 ;
a mayor:
31 ;
>
89 ;
>
77
>
93
Nombre:
Actividad 17.
17.
Escribe los números que formamos con:
7 decenas y 9 unidades =
8 decenas, 6 unidades =
7 unidades
unidades y 5 decenas =
8 unidades y 1 decena =
8 decenas y 0 unidades =
0 decenas y 8 unidades =
Di cuantas decenas y unidades tienen estos números:
C
7 9 =
decenas y
unidades.
2 6 =
decenas y
unidades.
2 0 =
decenas y
8 =
decenas y
unidades.
unidades.
9 2 =
unidades y
decenas.
7 0
unidades y
decenas.
=
copyright 2009 Ramón Galán González
94
Nombre:
Actividad 18.
18.
Pinta de color las regletas y escribe el número debajo:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
95
Nombre:
Actividad
Actividad 19.
19.
Pinta de color las regletas y escribe el número debajo:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
96
Nombre:
Actividad 20.
20.
Escribe el número que formamos:
100 + 60 + 8 =
300 + 50 + 5 =
200 + 70 + 2 =
400 + 10 + 9 =
500 + 90 + 1 =
900 + 20 + 6 =
70 + 5 + 900 =
60 + 2 + 100
100 =
50 + 8 + 200 =
40 + 9 + 800
800 =
10 + 4 + 600
600 =
90 + 6 + 700
700 =
800 + 9
200 + 4
=
=
3 + 500 =
9 + 900
900 =
30 + 500 =
60 + 700
700 =
50 + 300 =
10 + 800
800 =
C
copyright 2009 Ramón Galán González
97
Nombre:
Actividad 21.
21.
Escribe los números que formamos con:
4 centenas, 7 decenas y 9 unidades =
8 decenas, 6 unidades y 2 centenas =
7 unidades y 5 centenas =
8 decenas y 1 centena =
Di cuantas centenas, decenas y unidades tienen estos
números:
8 7 9 =
centenas,
decenas y
unidades.
2 0 6 =
centenas,
decenas y
unidades.
9 2 0 =
centenas,
decenas y
unidades.
5 3 8 =
unidades,
decenas y
centenas.
3 9 2 =
unidades,
centenas y
decenas.
7 0 9 =
decenas,
C
copyright 2009 Ramón Galán González
unidades y
centenas.
98
Nombre:
Actividad 22.
22.
Calcula:
200
200 + 50
50 + 8 =
500
500 + 40 + 9 =
300 + 70 + 1 =
700 + 20 + 7 =
600 + 30 + 3 =
100 + 80 + 2 =
800 + 90 + 5 =
800 + 60 + 4 =
Calcula:
700 + 70 + 1 =
400 + 20 + 8 =
200 + 5 + 90 =
600 + 2 + 70 =
10 + 500 + 8 =
20 + 400 + 5 =
50 + 6 + 800 =
60 + 4 + 200 =
7 + 900 + 30 =
4 + 400 + 9 =
9 + 10 + 700 =
5 + 40 + 800 =
C
copyright 2009 Ramón Galán González
99
Nombre:
Actividad 23.
23.
Calcula:
453 – 3 =
657
657 – 7 =
784
784 – 4 =
182 – 2 =
391 – 1 =
517 – 7 =
245 – 40 =
569 – 60 =
331 – 30 =
996 – 90 =
683 – 80 =
779 – 70 =
658 – 600 =
548 – 500=
496 – 400 =
792 – 700 =
314 – 300=
926 – 900 =
453 – 53 =
657
657 – 57=
57=
784
784 – 84 =
182 – 82 =
391 – 91=
91=
517 – 17=
17=
245 – 240=
240=
569 – 560 =
331 – 330=
330=
996 – 900 =
683 – 68 =
779 – 770 =
Calcula:
C
copyright 2009 Ramón Galán González
100
Nombre:
Actividad 24.
24.
Sigue la serie:
serie:
96 – 97 – 98 –
–
–
–
–
–
–
126 – 127 – 128 –
–
–
–
–
–
365 – 336 – 337 –
–
–
–
–
–
297 – 298 –
–
–
–
–
–
–
170 – 180
180 –
–
–
–
–
–
–
580 – 590 –
–
–
–
–
–
–
175 – 180
180 – 185
185 –
–
–
–
–
–
895 – 896 – 897 –
–
–
–
–
–
124
124 – 126
126 – 128 –
–
–
–
–
–
493 – 495 – 497 –
–
–
–
–
–
870 – 800 –
–
–
–
–
–
C
–
copyright 2009 Ramón Galán González
101
Nombre:
Actividad 25.
25.
Sigue la serie:
serie:
105 – 104 – 103 –
–
–
–
–
–
124
124 – 123
123 – 121
121 –
–
–
–
–
–
365 – 364 – 363 –
–
–
–
–
–
305 – 304 – 303 –
–
–
–
–
–
240 – 230 –
–
–
–
–
–
–
650 – 640 –
–
–
–
–
–
–
120 – 115
115 – 110
110 –
–
–
–
–
–
905 – 904 – 903 –
–
–
–
–
–
138 – 13
136 – 134
134 –
–
–
–
–
–
507 – 505 – 503 –
–
–
–
–
–
8 4 0 – 8 30 –
–
–
–
–
–
C
–
copyright 2009 Ramón Galán González
102
Nombre:
Actividad 26.
26.
Ordena los números de menor
320 ;
540 ;
<
420 ;
<
410 ;
<
640 ;
>
760 ;
>
>
549 ;
<
322 ;
<
600 ;
<
>
C
>
copyright 2009 Ramón Galán González
>
560 ;
<
<
840 ;
670
>
<
329 ;
501
<
a men
menor:
enor:
855 ;
>
520
a mayor:
330 ;
760 ;
590
590 ;
>
Ordena los números
números de may
mayor
ayor
853 ;
<
370 ;
a men
menor:
enor:
890 ;
Ordena los números de menor
510 ;
560 ;
<
Ordena los números de may
mayor
ayor
850 ;
a mayor:
>
599 ;
>
809 ;
601
>
103