Download una propuesta de solución para resolver un problema de flujo

UNA PROPUESTA DE SOLUCIÓN PARA RESOLVER
PROBLEMA DE FLUJO DE TRÁNSITO
UN
C. OROPEZA LEGORRETA; PROFESOR DE CARRERA ASOCIADO “ C” TIEMPO COMPLETO;
[email protected]
A. GUTIÉRREZ MARTÍNEZ ; ESTUDIANTE; [email protected]
RESUMEN
Uno de los problemas fundamentales que se han podido reconocer en la formación matemática para
los estudiantes de ingeniería en México es la confrontación por una parte de la obra matemática y por
otra la integración de aplicaciones en el salón de clases. El objetivo de este trabajo es que el alumno
estructure estrategias para resolver problemas de la cotidianidad que involucran operaciones
algebraicas y ecuaciones lineales y haga uso de estas herramientas en sus cursos posteriores; así mismo,
reflexione sobre sus posibilidades de aprender matemáticas y desarrollar trabajos en equipo poniendo
en juego habilidades y actitudes positivas tales como: organización, planeación, cooperación,
responsabilidad, respeto y persistencia. En el desarrollo de las actividades se muestra un mapa que
indica el flujo de tránsito que entra o sale en cada calle y se les pide minimizar el flujo a través de una
calle específica sin ocasionar congestionamiento en las otras. También se informa de la solución a partir
de un sistema de ecuaciones lineales, se resuelve en forma matricial y se reportan analíticamente las
interpretaciones. Al final se presenta el uso del software matemático como parte complementaria en la
solución del sistema antes referido.
CONTEXTO Y ANTECEDENTES
En forma general los cursos que se imparten a nivel ingeniería de forma convencional, se
encuentran cargados de teoría y ejercicios. Sin embargo, en forma particular los estudiantes
de la Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán externan querer conocer y hacer uso de la
aplicación de dichas teorías. Como una propuesta alternativa a la inquietud manifiesta de
los alumnos por conocer las aplicaciones, en este trabajo se reporta uno de los problemas de
flujo de transito como ejemplo de los sistemas de ecuaciones lineales. Dicho problema pone
en acción diversos factores, entre los cuales se encuentran: el reconocimiento de un
sistema, el planteamiento de las ecuaciones lineales, la solución del sistema planteado a
partir del método de Gauss Jordán, el análisis del los resultados, la propuesta de solución y
la verificación del resultado a partir de utilizar el software matemático Maple versión 9.5.
De 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la
resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase se encuentra un álgebra desarrollada por los
griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para
resolver ecuaciones algebraicas. La notación simbólica asociada a Viéte (1540-1603),
marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma
importante al desarrollo de dicha notación. En el momento, el álgebra se convierte en la
ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783)
la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases". Los egipcios
dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a. de
C-) multitud de problemas matemáticos resueltos de tipo aritmético que respondían a
situaciones concretas de la vida diaria. Los babilonios (el mayor número de documentos
corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) trabajaron más los sistemas de
ecuaciones lineales y las ecuac iones de segundo grado. Los primeros documentos
matemáticos que existen (datan del siglo III d. de C.) son los Sulvasütras. Posteriormente,
Brahmagupta (siglo VII) expresa, ya de forma abreviada, cómo resolver ecuaciones
lineales. La incógnita la representaba por la abreviatura “ya”, y las operaciones con la
primera sílaba de las palabras. Estos métodos pasaron a los árabes que los extendieron por
Europa. Al algebrista Abu-Kamil (siglo IX y X) se le atribuye una obra donde trata la
solución de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posición.
Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales
llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin
que tuvieran relación con problemas de medida. Los griegos también resolvían algunos
sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.)
había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con
n incógnitas. Diophante (250 d. de C.), resuelve también problemas en los que aparecían
sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal, sólo aceptaba las
soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Sin
embargo, unas de las dificultades que encontraron en la resolución de ecuaciones por
Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces
excesivamente ingeniosos. Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los
documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino
que resuelven tipos especiales de ecuaciones. El libro El arte matemático, de autor chino
desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones.
En ellos se encuentran un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de
ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres
ecuaciones lineales por dicho método matricial.
Actualmente muchas situaciones prácticas dan origen a las redes: redes de transporte, redes
de comunicaciones y redes económicas, algunas de ellas, merecen especial atención en los
posibles flujos a través de las redes. Por ejemplo el flujo de vehículos a través de unan red
de carreteras, el flujo de información a través de una red de datos, y los bienes y servicios
que fluyen a través de una red económica. Una red se compone de un número finito de
nodos (también denominados uniones o vértices) conectados por medio de una serie de
líneas dirigidas conocidas como ramas o arcos. Cada rama está etiquetada con un flujo que
representa la cantidad de algún producto que puede fluir a lo largo o a través de esa rama en
la dirección indicada. Para nuestro caso, piense en los autos que se desplazan en una red de
calles de un solo sentido. La ley fundamental que gobierna el flujo a través de una red es la
de la conservación de flujo “en cada flujo nodo, el flujo que entra es igual al flujo que
sale”. La figura 1 muestra parte de una red, con dos ramas que entran a un nodo y dos que
salen de él. La regla de conservación del flujo implica que el flujo total de entrada X1 + X2
unidades, debe coincidir con el flujo total de salida, 20 + 30 unidades. De este modo se
obtiene, la ecuación lineal X1 + X2 = 50 que corresponde a este nodo.
Figura 1.- Determinación de un nodo
El problema abordado en este trabajo centra su atención en el análisis de toda una red,
donde los estudiantes construyen ecuaciones de este tipo y resuelven el sistema resultante
de ecuaciones lineales, empleando convencionalmente dos herramientas matemáticas que
les pueden facilitar los cálculos: las matrices y los determinantes.
Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y
elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones. A continuación
mostramos parte de la información proporcionada a los estudiantes, el proceso se llevó a
cabo con la intención de estandarizar los conceptos básicos que se utilizaron en la puesta en
escena de la situación problema. Los conceptos revisados con los estudiantes se realizaron
en sesiones de trabajo donde se repasaron ejemplos de ecuaciones como: la ecuación lineal
de una variable 2x - 3 = 0, obviamente sólo tiene una solución; la ecuación lineal de dos
variables -3x + 2y = 7, cuya soluciones son pares ordenados de números; la ecuación lineal
de tres variables x - 2y + 5z = 1, sus soluciones son ternas ordenadas de números y tiene
infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesq uiera a
las otras dos.
Se les informó que en general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo:
a1x1 + a2x2 + a3x3 +…+ anxn = b
Siendo los valores a1 , a 2 ,…an los coeficientes, el valor de b es el término independiente y
x1 , x2 , x 3 ,…xn son las incógnitas.
Por otra parte discutieron y reconocieron que muchos problemas de la vida real obligan a
resolver simultáneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a
todas ellas, también analizaron que un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de
ecuaciones lineales y que dicho sistema en notación matricial tiene esta forma: A· x = b
 a 11
a
 21
 M

 am 1
a12
a13
a 22
a 23
M
am2
M
am3
K
K
M
K
a1n  


M 

a mn  
x 1   b1 
x 2   b2 
=
M   M 
 

x n   bm 
Matriz de
Matriz de
Coeficientes
Incógnitas
Matriz de Términos
Figura 3.- Sistema de ecuaciones lineales en notación matricial
Donde:
•
•
•
Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m× n formada por los
coeficientes del sistema, y la designamos por A.
Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas.
Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos independientes.
Otro aspecto estudiado fue la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y los
métodos de solución. A continuación a manera de re sumen se presenta en forma
esquemática dicha revisión.
Atendiendo a sus soluciones:
Determinados
solución)
Compatibles
(Una
(Con soluciones)
Indeterminados
(Infinitas soluciones)
Incompatibles
(Sin soluciones)
Figura 5. - Clasificación por el tipo de soluciones
Métodos directos:
•
•
•
•
•
Método de Gauss (por reducción)
Método de Cramer (por
determinantes)
Por inversión de la matriz
Método de Gauss-Jorda n (por
eliminación)
Por sustitución
Métodos iterativos:
•
•
•
Método de Jacobi
Método de Gauss-Seidel
Método de Gauss (por reducción)
ANÁLISIS
A continuación se muestra un problema de flujo de tránsito que en horas pico resulta
intransitable en el fraccionamiento San Cristóbal del municipio de Mitla, Oaxaca. Las
condiciones del problema pueden ser identificadas a partir del siguiente diagrama.
Figura 1.- Red de flujo de transito
En el mapa se indica el flujo de trá nsito que circula en el fraccionamiento San Cristóbal en
cada calle, en unidades de vehículos por hora. Ya que el flujo de transito varía
considerablemente durante el día, los números mostrados representan el flujo de tránsito
promedio a la hora pico. Se supone ahora que se planea una manifestación en Av. María y
López, justamente a las 18:00 horas, la cual se considera como la hora pico del tráfico. La
policía puede hasta cierto punto controlar el flujo de transito reajustando los semáforos. Si
se disminuye él transito por Av. Santa Lucia, aumentara en las calles adyacentes. La
cuestión es minimizar por Av. Santa Lucia entre López y García sin ocasionar
congestionamiento en las otras calles.
SOLUCIÓN
Primeramente se hace énfasis en el reconocimiento de los componentes del sistema en
estudio. Además de considerar que un sistema de ecuaciones lineales puede ayudar a
resolver el problema del flujo de trá nsito.
A continuación se realiza un análisis para cada una de las intersecciones que son
fundamentales en la propuesta de solución.
Con las intersecciones A y F y se ha denotado el flujo de tránsito entre adyacentes por las
variables X1 hasta X7.
Para encontrar estas restricciones, por ejemplo la intersección B. El tránsito que fluye a la
intersección B es, según el ma pa, X2 + X5 , el tránsito que sale de la intersección B es X4 +
100. Suponiendo que el tránsito no se acumula en la intersección B, el tránsito de entrada
debe ser igual al que sale. Así que obtiene la ecuación.
X2 + X5 = X4 + 100 … (2)
O bien
X2 – X4 + X5 = 100
A partir de este análisis en cada intersección, se obtiene el siguiente sistema de 6
ecuaciones.
Figura 7. - El nodo A
Entran X4 más 400 vehículos y salen 600 más X1 vehículos
En A
X1 - X4 = -200 …
(1)
Figura 8.- El nodo B
Entran X2 más X5 vehículos y salen 100 más X4 vehículos
En B
X2 - X4 + X5 = 100 … (2)
Figura 9. - El nodo C
Entran 400 más 300 vehículos y salen X5 más X3 vehículos
En C
X3 + X5 = 700 …
(3)
Figura 10. - El nodo D
Entran 800 más X1 vehículos y salen 900 más X6 vehículos
En D
X1 - X6 = 100 …
(4)
Figura 11. - El nodo E
Entran 600 mas X6 vehículos y salen X2 mas X7 vehículos
En E
X2 - X6 + X7 = 600 …
(5)
Figura 12. - El nodo F
Entran X7 más X3 vehículos y salen 700 más 200 vehículos
En F
X3 + X7 = 900 …
(6)
Ecuaciones
En A
X1 -X4
=-200 …
(1)
En B
X2 -X4 +X5
=100 …
(2)
En C
X3 +X5
=700 …
(3)
En D
X1 -X6
=100 …
(4)
En E
X2 -X6 +X7
=600 …
(5)
En F
X3 +X7
=900 …
(6)
1

0

0
A = 
1
0

 0
0
0
−1
0
0
0
1
0
−1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
−1
−1
0
1
0
1
0
0
0
1
− 200 

100


700

100


600

900

Se plantean las ecuaciones en una matriz y se desarrolla su solución por el método de Gauss
Jorda n.
1 0 0
0 1 0

0 0 1

1 0 0
0 1 0

0 0 1
1 0 0
0 1 0

0 0 1

0 0 0
0 0 0

0 0 1
1
0
R1 
0
⇔ R2 
0
R5 
0

0
−1 0
−1 1
0
0
0
0
−1
−1
0
1
1
0
0 −200 
 1 0 0 −1
 0 1 0 −1
0 100 

0 0 1 0
1 0 0 700 
 (− 1R1 + R4 ) ⇔ R4 
0 −1 0 100 
0 0 0 1

0 1 0 0
0 −1 1 600


0 0 1 900 
0 0 1 0
0
0
0 −200 
1 0 0

0 1 0
1
0
0
100 

0 0 1
1
0
0
700 
 ( −1 R3 + R 6 ) ⇔ R6 
0 − 1 0 300 
0 0 0

0 0 0
−1 − 1 1 500


0
0
1
900 
0 0 0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
−1
−1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
−1
0
0
0
−1
0
0
0
0
−1
0
100 
400

0 700
 ( − 1 R5 ) ⇔
0 300
1 200

1 200
0
0
1
0
R2 
0
⇔ R3 
0
R6 
0

0
1
0

0

0
0

0
0
1
−1
−1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
−1
0
0
0
0
1
0
−1
0
0
0
−1
0
1
0
0
1
0
0
0
0 −1
0 −1
0 0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0 −1
1 0
0 0
0
−1
0
X1 =
X6 +100 …
(7)
X2 =
X6 -X7 +600 …
(8)
X3 =
-X7 +900 …
(9)
X4 =
X6 +300 …
(10)
X5 =
X7 -200 …
(11)
0
0
0 0 0
1 0 0
0
1
0
Resultado de la matriz del problema
0 − 200 
0 100 
1 0 0 700 
 ( −1 R2 + R5 ) ⇔ R5
0 −1 0 300 
0 −1 1 600 

0 0 1 900 
−1
0
0
0 − 200 
−1
1
0
0
100 
R4 + R 1
0
1
0
0
700 
 R4 + R 2
1
0 − 1 0 300 
−1 R4 + R 5
1 −1 − 1 1 500 

0 − 1 0 1 200 
0
1





300 
−2 0 0 

0 
100
600
900
100 
400 
 − 1R + R
5
2
700 
 − 1 R5 + R 3
300 
R5 + R6
− 200 

200 
Uso del Maple para verificar el resultado
El uso del software Maple es una herramienta que nos proporciona soluciones matemá ticas,
este trabajo se usa como un instrumento para verificar la solución de la matriz por el
método de Gauss Jordan.
Escribir la matriz en Maple
1
0

0
A= 
1
0

 0
0 0 −1 0
0
1 0 −1 1
0 1 0 1
0
0
0 0
1 0
0
0
0 1
0
0 − 200
0 100 
0 700 

0 − 1 0 100 
0 − 1 1 600 

0 0 1 900 
Se deben de introducir los siguientes datos antes de insertar la matriz.
> restart;
> with(plots);
> with(LinearAlgebra):
> with(linalg):
Insertar la matriz planteada
> A := Matrix([[1,0,0,-1,0,0,0,200],[0,1,0,-1,1,0,0,100],
[0,0,1,0,1,0,0,700],
[1,0,0,0,0,-1,0,100],[0,1,0,0,0,-1,1,600],
[0,0,1,0,0,0,1,900]]);
1

0

0
A := 
1

0

0
0
1
0
0
1
0
0 -1 0
0 -1 1
1 0 1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
0
0
0
-1
-1
0
0 -200

0 100

0 700

0 100

1 600

1 900
Para obtener la solución de la matriz planteada por el método de Gauss Jordan, se escribe la
siguiente instrucción.
Ø B:=gaussjord(A, 'r');
 1
 0
 0
B := 
 0
0

 0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0 -1
0 -1
0 0
0 -1
1 0
0 0
0 100

1 600
1 900
0 300

-1 -200 

0
0
Del resultado obtenido en la reducción de la matriz por el método de Gauss Jordan se puede
apreciar que hay un número infinito de soluciones. Esta información se utiliza para escribir
cada una de las variables en términos de X6 y X7 ;
X1 = X6+100 …
(7)
X2 = X6 -X7 +600 …
(8)
X3 = -X7 +900 …
(9)
X4 = X6+300 …
(10)
X5 = X7-200 …
(11)
Se sabe de los datos iniciales que X6 no puede ser negativo (esto indicaría un sentido
contrario al permitido en la calle) por lo que se debe tener que X4 = 300
Como la intención es minimizar el flujo de tránsito en la Av. Santa Lucia entre López y
Juárez sin crear congestio namiento, la policía de tránsito debe considerar un flujo de 300
vehículos por ho ra en esa calle y cerrar el tránsito en Av. María entre Juárez y López ya
que para tener X4 = 300 se necesita que X6 = 0 se tiene.
Figura 15.- Flujo de vehículos en X4 y X6 no hay flujo
X1 = 100
X2 = -X7 +600
X3 = -X7 +900
X4 = 300
X5 = X7 -200
De la segunda ecuaciones es X7 = 600. Y de la última ecuación X7 = 200. Entonces, se
tiene la solución final del problema. Para lograr que el tránsito sea mínimo en X4 , se debe
tener.
X1 = 100
0 = X2 = 400 (por que 200 = X7 = 600)
300 = X3 = 700
X4 = 300
0= X5 = 400
X6 = 0
Como se puede apreciar la resolución del sistema de ecuaciones lineales nos permite
realizar un análisis con base a las condiciones que se producen y conocer las decisiones que
se deben tomar de acuerdo a los resultados que se obtengan.
CONCLUSIONES
Según opiniones vertidas por parte de los estudiantes que ya han participado en la solución
de este tipo de problemas, se ha detectado una mejora en atención, motivación e interés por
parte de éstos en el desarrollo de actividades que permiten confrontar los aspectos teóricos
con las aplicaciones, sobre todo en zonas específicas donde se desarrolla el grueso de la
población (problemas que impactan a la sociedad).
Con actividades distintas a las convencionales, los estudiantes tienen la oportunidad de
analizar diversas estrategias de solución y de proponer algunas variantes, así como de
utilizar diferentes metodologías.
Hacer uso de las nuevas tecnologías (software matemático) permite a los estudiantes por
una parte verificar los resultados obtenidos en forma analítica y por otra utilizarlo como una
estrategia alternativa que permita consolidar los conocimientos adquiridos.
Con miras de propiciar un comportamiento distinto al convencional y de impactar en forma
parcial sobre el desarrollo cognitivo en la actividad de los estudiantes, un grupo de
colaboradores en el departamento de matemáticas de nuestra Facultad propone mos que
nuestros colegas profesores induzcan a sus alumnos al uso de diversas estrategias
necesarias para el análisis de un problema y la toma de decisiones en su solución de una
forma práctica.
BIBLIOGRAFÍA
Boyer, C. “Historia de la matemática”, serie alianza universidad Textos. (Versión española
de Mariano Martínez Pérez). Madrid, España , 1996.
Perero, M. “Historia e historias de matemáticas”, México, 1994.
Grossman, S.I. Álgebra Lineal, (6ª. Ed.) México, 2008.
Poole, D. “Álgebra lineal una introducción moderna”, (2ª. Ed) México, 2007.
Lay, D.C. “Álgebra lineal y sus aplicaciones”, México, 2007.
Kolman, B. & Hill, D. R. “Álgebra lineal”, México, 2006.
Howard, A. “Introducción al Álgebra lineal”México, 2006.
Connor J.J. & Robertson E.F. “The teaching of mathematics in Ancient Greece”, 2000.