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Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 3
PRÁCTICA 3 CON LA CALCULADORA ClassPad 300 PLUS
Objetivos:
En esta práctica el estudiante tendrá la oportunidad de modelar y resolver algunos
problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales y podrá determinar los
conjuntos de soluciones con la ayuda de nuevos comandos y menús de la Aplicación
Principal de la calculadora ClassPad 300 PLUS.
Requisitos:
Antes de realizar esta práctica, el estudiante debe haber resuelto en su totalidad las
prácticas anteriores.
3.1 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
1.
La compañía Barba Negra & Asoc. está promocionando un nuevo modelo de afeitadora. La
ofrece al público en tres tipos de estuches con hojillas adicionales de repuesto. La siguiente
tabla presenta el número de hojillas adicionales y el costo de fabricación de cada estuche:
Estuche A
Estuche B
Estuche C
Número de hojillas adicionales
2
4
6
Costo de fabricación por estuche
Bs. 2.000
Bs. 2.500
Bs. 3.000
a) ¿Cuál es el número de estuches de cada tipo que se pueden ofrecer mensualmente, si la
compañía es capaz de fabricar 20.000 afeitadoras y dispone para los costos por estuche Bs.
50.000.000?
b) Unos meses después se observa que los estuches de cuatro hojillas adicionales son los de
menor preferencia. Un estudio de demanda indica que el precio unitario p del estuche de
menor preferencia está en función del número q de estuches demandados de acuerdo con la
2
ecuación p   q  4.000 . Determine el número de estuches de cada tipo, que deben
5
producirse al mes, si la demanda del estuche de menor preferencia coloca su precio unitario
en Bs. 3.000. Determine además, para este caso, el número total de hojillas que se
necesitarán fabricar al mes para incorporarlas en los diferentes estuches.
Solución:
Selección de variables:
x A : número de estuches tipo A producidos mensualmente; x A  N .
xB : número de estuches tipo B producidos mensualmente; xB  N
x C : número de estuches tipo C producidos mensualmente; x C  N .
Traducción en términos matemáticos:
Ecuación en el número de afeitadoras por mes: x A  xB  x C  20.000 (I).
Ecuación en el costo de fabricación mensual: 2.000 x A  2.500 xB  3.000 x C  50.000 .000 (II).
 x A  x B  x C  20.000
Se resolverá el sistema equivalente 
haciendo uso de los comandos del
4x A  5x B  6x C  100 .000
menú [Matriz – Calcular ►] de la Aplicación Principal.
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2.
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Práctica 3
Operación con la ClassPad
(1) Retire la tapa de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la
mesa. Presione [ON/OFF] para encenderla.
(2) Toque
en el panel de iconos para acceder directamente a la
aplicación Principal.
(3) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el
área de trabajo.
(4) Toque el botón
para acceder al administrador de variables. Toque
main dos veces. Si hay variables asignadas, toque [Todo] [Seleccionar
todo] [Edit] [Borrar] [Acep.] [Cerr.] [Cerr.]

Esta última secuencia limpia las variables asignadas y regresa a la
ventana del área de trabajo de la aplicación Principal.
(5) Active el teclado virtual 2D presionando [Keyboard] y toque la lengüeta
[2D]. Toque el botón
(6) Toque
para acceder a las plantillas de matrices.
y registre los elementos de la matriz ampliada.
Figura 1
(7) Seleccione la matriz ampliada. Toque [Interactivo] [Matriz – Calcular ►] [ref].

Su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la Figura 1.
Como puede observar, el menú [Interactivo] tiene prácticamente los mismos comandos del menú
[Acción]. Los comandos se ejecutan, seleccionando previamente la expresión matemática en la línea de
entrada, luego se tocan el menú Interactivo, el menú secundario y por último el comando deseado.
3.
Encuentre el conjunto solución del sistema por sustitución regresiva a partir de la matriz
escalonada reducida mostrada en la pantalla de su calculadora.
Si se desea obtener la matriz solución del sistema, será necesario agregar un pivote normalizado. Esto
implica insertar una fila de ceros con el pivote faltante 1 y una columna de ceros con un 1 en la fila del
pivote agregado y luego hacer ceros por encima de los pivotes.
(8)
Seleccione la matriz escalonada en la línea de salida. Toque
para
copiar la matriz en el portapapeles. Ubique el cursor en la línea de
entrada y toque
para obtener una copia.
(9)
Sitúe el cursor en cualquier casilla de la matriz y toque
para
insertar una fila y una columna.
Registre un 1 en la tercera fila y tercera columna y un 1 en la tercera
fila quinta columna. Registre ceros en las celdas vacías.
(10)
Figura 2
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(11)
(12)
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Práctica 3
Seleccione la nueva matriz en la línea de entrada.
Toque [Interactivo] [Matriz – Calcular ►] [rref].

Su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la Figura 3.

Obtenemos la matriz reducida que nos permite establecer el conjunto
solución del sistema.
Figura 3
4.
A partir de esta última pantalla, escriba la matriz solución del sistema. Compare con el
resultado encontrado por sustitución regresiva.
Observaciones:
El comando [ref] reduce la matriz ampliada del sistema, a una matriz escalonada reducida donde se
puede hacer el análisis del tipo de conjunto solución que presenta el sistema. En el caso de los sistemas
compatibles indeterminados, esta matriz escalonada reducida nos indicará qué variables son básicas y
cuáles son libres. En el ejemplo precedente, la matriz presentada en la Figura 1, indica que x A y x B son
variables básicas y x C la única variable libre.
El comando [rref] permite resolver directamente, a partir de la matriz ampliada, un sistema compatible
determinado. Si no se sabe de antemano que el sistema es compatible determinado, es conveniente aplicar
primero el comando [ref] para averiguar los rangos de la matriz del sistema y la matriz ampliada.
Otra manera de resolver sistemas de ecuaciones lineales es por medio del comando [Solve],
disponible en los menús desplegables [Acción] e [Interactivo]. Con este comando pueden resolverse
ecuaciones en una y varias variables. La sintaxis de este comando, para el caso de los sistemas lineales,
es el siguiente:
1. Si el sistema tiene m ecuaciones y m incógnitas la sintaxis del comando es la siguiente:
Solve({ecuación 1,ecuación 2, … , ecuación m},{variable 1, variable 2, … ,variable m})
2. Si el sistema tiene m ecuaciones y n incógnitas con n > m, será necesario especificar m
variables básicas (dependientes). La sintaxis del comando es la misma que la anterior pero
deben especificarse sólo las variables básicas.
 x A  x B  x C  20.000
Para entender el último caso, resolvamos el sistema anterior 
usando
4x A  5x B  6x C  100 .000
 x  y  z  20.000
este comando. Para simplificar las variables, escribamos el sistema en la forma 
.
4x  5 y  6z  100 .000
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(13)

(14)
(15)
(16)
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En la línea de entrada toque [Acción] [Ecuación/Desigualdad ►]
[Solve].
Esto activa el comando [Solve].
Active el teclado matemático [mth].
Escriba seguidamente {x+y+z=20000,4x+5y+6z=100000},{x,y}
Oprima [EXE].
Figura 4
Observe que en este caso, se especificaron como variables básicas x, y (variables independientes)
porque se registraron dos ecuaciones. El conjunto solución del sistema queda expresado en función de la
variable libre z (variable independiente). Si definimos la variable t como un parámetro que recorre los
números reales ( t  R ) tenemos que la solución matemática del problema está representada por las
ecuaciones paramétricas:
 xt

 y  2t  20000
 zt

; t R .
El sistema también puede resolverse haciendo uso de las plantillas del teclado 2D:
(17)
Active el teclado [2D].
(18)
Toque la plantilla

(19)
(20)
(21)
(22)

.
Esto activa una plantilla con dos celdas, donde pueden registrarse dos
ecuaciones y una pequeña celda donde se registran las variables
básicas.
En la primera celda escriba la primera ecuación x+y+z=20000.
En la segunda celda escriba la segunda ecuación 4x+5y+6z=100000.
En la celda pequeña registe las variables básicas x,y.
Oprima [EXE].
Se obtiene la solución paramétrica del sistema.
Figura 5
Para encontrar la solución del problema en el contexto real, se sigue el siguiente paso:
Estudio de la no negatividad y variabilidad en los enteros de las variables en el conjunto
solución del sistema:
Dado que x  0, y  0, z  0 con x, y, z  N , esto nos lleva a la resolución del sistema de inecuaciones
 2t  20000  0
cuyo conjunto solución es obviamente: 0  t  10000 con t  N .

t0
Observación:
Podemos aprovechar este sistema de inecuaciones en una variable, para ilustrar su resolución con el
uso del comando lógico (booleano) [and] del menú secundario [Ecuación/Desigualdad ►]:
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(23)
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Práctica 3
Active el teclado alfabético [abc].

Al alternar los botones
y
se puede acceder al teclado de
variables y al teclado de símbolos matemáticos.
(24)
En la línea de entrada escriba la primera inecuación 2t  20000  0
(25)
alternando los botones
y
cuando sea necesario.
Toque [Acción] [Ecuación/Desigualdad ►] [and].
(26)
Escriba la segunda inecuación t  0
(27)
Toque el botón [Ejec].
Se obtiene la solución 0  t  10000 del sistema, como sabíamos.

Figura 6
 xt

La respuesta a la parte a) del problema es  y  2t  20000 ; 0  t  10000 ; t  N . Es decir,
 zt

existen para la compañía, 10.001 maneras de ofrecer mensualmente la cantidad de estuches de
cada tipo, fabricando 20.000 afeitadoras a un costo mensual para los estuches de Bs. 50.000.000.
Algunas de estas soluciones podemos visualizarlas en la siguiente tabla:
Número de estuches
t
Tipo A
Tipo B
Tipo C
0
0
20.000
0
1
1
19.998
1




5.000
5.000
10.000
5.000




9.999
9.999
2
9.999
10.000
10.000
0
10.000
2
q  4.000 :
5
Si la empresa decide colocar el precio de venta de cada estuche tipo B en Bs. 3.000, la cantidad
2
3.000   q  4.000  q  2.500 . De manera que
demandada de los mismos será:
5
y  2.500   2t  20.0000  2.500  t  8.750 . En consecuencia, la cantidad de estuches a
ofrecer mensualmente será:
Para dar respuesta a la parte b), utilizaremos la ecuación de demanda p  
Número de estuches
t
Tipo A
Tipo B
Tipo C
8.750
8.750
2.500
8.750
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A partir de la solución anterior se puede determinar el número total de hojillas que se
necesitarán al mes para incorporarlas en los diferentes estuches:
Número de hojillas: 2  8.750  4  2.500  6  8.750  80 .000 .
5.
Sandra, Chicho y Tanque, molestos con Cesar Augusto por embarcador y por tomador de
cerveza de otra marca, deciden rumbear. En diversas oportunidades compraron cerveza en la
Licorería Mala Bar que exponía la siguiente lista de precios de su cerveza favorita:
ENVASE
CANTIDAD
PRECIO UNITARIO
Botella
250 cc
475,00 Bs./ botella
Botella (más que un litro)
355 cc
645,00 Bs./ botella
Lata
250 cc
550,00 Bs./ lata
Tabla 1
a) Si en total bebieron 16,35 litros y gastaron por ellos Bs. 31.525,00. Determine el número
exacto de envases de cada tipo que compraron.
b) Relacione la información encontrada en el inciso a) y la información aportada en la tabla 2
para completar la misma:
¿Qué bebió cada uno?
Botella
250 cc
Botella
355 cc
Sandra
7
5
Chicho
10
Tanque
Lata
250 cc
¿Cuántos cc
bebió cada
uno?
¿Cuánto pagó
cada uno?
5
8
6
Totales:
Tabla 2
Solución:
Selección de variables:
x : número de botellas de 250 cc que compraron; x  N .
y : número de botellas de 355 cc que compraron; y  N
z : número de latas de 250 cc que compraron; z  N
Traducción en términos matemáticos:
Ecuación en la cantidad total de cc que bebieron: 250 x  355 y  250 z  16.350 (I).
Ecuación en la cantidad total de Bs que gastaron: 475 x  645 y  550 z  31.525 (II).
 50 x  71y  50 z  3.270
Sistema equivalente a resolver 
.
95 x  129 y  110 z  6.305
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Práctica 3
(28)
Borre la pantalla de la aplicación Principal.
(29)
Utilice la plantilla
del teclado virtual 2D para resolver el
sistema de ecuaciones declarando como variables básicas x, y.

Muestre que el conjunto solución del sistema viene dado por:
 5165  272 t 150 t  920 

S  
,
, t  : t  R
59
59



(30)
(31)
Toque la lengüeta [mth] y luego [OPC]. Utilice el comando [and] para
encontrar el intervalo donde las tres variables son no negativas
simultáneamente (análisis de no negatividad de las variables).
Al obtener la relación de orden para el parámetro t en la línea de
salida, selecciónela y toque el botón
de la barra de
herramientas para obtener los extremos del intervalo en forma decimal
(ver Figura 7).
Figura 7
Estudio de la variabilidad entera de las variables en el conjunto solución del sistema:
En la búsqueda de la solución del problema en el contexto real, la última pantalla indica que el número
de latas, descrito por la variable libre z, debe ser uno o algunos de los números enteros positivos:
z = 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ,17 y 18.
Si miramos la Tabla 2 a completar, observamos que z debe tomar como valor mínimo 11, lo que
descarta los cuatro primeros números de la lista. Debemos establecer cuáles de los restantes, hacen que
las variables básicas x, y tomen valores enteros positivos. Evidentemente que esto se logra evaluando
estas variables para t = 11, 12, … , 18. Si embargo, podemos hacer uso de las listas de la Aplicación
Estadística para observar cuáles son las soluciones posibles en este caso.
(32)
Toque el icono
(33)
(34)
Toque el icono
para acceder a la Aplicación Estadística.
Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para borra la información que
pudiera estar en las listas.
En la parte inferior de la lista list1, toque la casilla de cálculo a la
derecha del indicador Cal►. Esto nos permite hacer uso del editor
Cal=. Toque el recuadro para activar el editor (Figura 8):
Active el teclado virtual [abc]. Con este teclado y el teclado de la
calculadora escriba: seq((5165 – 272t)/59, t, 11, 18) y toque [Ejec].
(35)
(36)

(37)

(38)
(39)
(40)
(41)

del panel de iconos.
Figura 8
Aparecerá una lista con los valores correspondientes a la variable x.
Toque nuevamente el recuadro y borre su contenido con
Seguidamente escriba la sintaxis: approx(list1) y toque [Ejec].
.
Aparecerán los valores anteriores en forma decimal.
De manera análoga, siguiendo los mismos pasos anteriores, en la lista
list2 escriba la sintaxis: seq((150t-920)/59,t,11,18). Toque [Ejec].
Borre el contenido en el recuadro. Escriba la sintaxis: approx(list2) y
toque [Ejec].
Finalmente en list 3, escriba la sintaxis: seq(t,t,11,18) y toque [Ejec].
Borre el contenido del recuadro. Escriba: approx(list3) y toque
[Ejec]
Figura 9
Al desactivar el teclado virtual obtendrá la pantalla mostrada en la
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Práctica 3
Figura 9.
Como habrá notado, el comando seq( permite generar una sucesión de números de acuerdo a una
formula o expresión matemática para valores enteros de su variable, desde un número entero dado hasta
otro. Su sintaxis es la siguiente:
Seq(expresión matemática, variable, primer entero, segundo entero, salto entero)
El comando approx( convierte una expresión en formato simbólico a formato decimal.
Respuesta a la situación problemática planteada:
Observe que el problema tiene solución única en el contexto real. La última pantalla (Figura 9) nos
muestra que la única solución posible, donde las tres variables son enteras positivas, es la indicada en la fila
4 de las tres listas:
Número de botellas de 250 cc que compraron: 23
Número de botellas de 355 cc que compraron: 20
Número de latas de 250 cc que compraron:
14
6.
Complete ahora la tabla con esta información:
¿Qué bebió cada uno?
Botella
250 cc
Botella
355 cc
Sandra
7
5
Chicho
10
Tanque
Lata
250 cc
¿Cuántos cc
bebió cada
uno?
¿Cuánto pagó
cada uno?
5
8
6
Totales:
3.2 Resolución de problemas.
3.2.1 Un problema de química:
7.
En una reacción química, el sulfato de manganeso ( MnSO 4 ) y el permanganato de
potasio ( KMnO 4 ) se combinan con el agua ( H2O ) para producir ácido sulfúrico ( H2 SO 4 ),
sulfato de potasio ( K 2 SO 4 ) y óxido de manganeso ( MnO2 ). El problema consiste en equilibrar
la reacción.
a) Escriba las ecuaciones que relacionan los coeficientes de los compuestos involucrados en
la solución.
b) Explique por qué este sistema es necesariamente compatible indeterminado (dar una
explicación matemática y otra química).
c) Resuelva este sistema y encuentre la solución aceptable por los químicos, verifíquela y
escriba la ecuación balanceada.
Consideraciones para la construcción del modelo:
La reacción combina cierto número de moléculas de cada reactivo para obtener cierto número
de moléculas de cada producto. Las variables del problema representan estos números: a cada
reactivo y cada producto, corresponde una variable. Por otra parte, todos los átomos de cada
elemento contenidos en las moléculas que entran en la reacción, se vuelven a encontrar en los
productos. Se obtiene de este modo un sistema de ecuaciones lineales homogéneas: una para
cada elemento. Entre todas las soluciones, se utiliza la que está formada por números enteros
positivos coprimos.
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8.
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Práctica 3
a)
b)
c)
3.2.2 Un problema de flujo de tráfico:
9.
La siguiente figura muestra el flujo de
tránsito en el centro de una ciudad durante las
horas pico de un día hábil. Las flechas indican
la dirección del flujo en cada cuadra de un
sentido; la tasa promedio de vehículos que
pasan por cada cuadra por hora aparece
indicada en el diagrama. Se tiene la información
de que en cada una de las cuadras de la
manzana central correspondientes a las
avenidas 5 y 6 pueden aceptar hasta 2.000
vehículos por hora sin congestionarse, en tanto
que la tasa máxima de cada cuadra de la
manzana de las calles 4 y 5 es de 1.000
vehículos por hora. El flujo se controla por
semáforos instalados en cada esquina.
Figura 10
a) Suponga que en las calles de la manzana central está prohibido estacionar vehículos y no
existen estacionamientos. Encuentre dos patrones de flujo posibles (soluciones) para las
tasas de flujo x 1, x 2 , x 3 y x 4 que garanticen que no habrá congestionamiento.
b) Suponga ahora que en la cuadra de la calle 4, comprendida entre las avenidas 5 y 6 se
repavimentará y que el flujo de tráfico entre las esquinas respectivas se reduce a 300
vehículos por hora. ¿Cuál es el patrón de flujo para este caso?.
c) ¿Cuál es el patrón de flujo si se decide cerrar la calle 5 entre las avenidas 5 y 6?
Consideraciones para la construcción del modelo:
El número de vehículos que entran en una determinada esquina debe ser igual al número de
vehículos que salen de esta misma esquina. Cada cuadra empieza en una esquina y termina en
otra; si se escriben cuidadosamente las ecuaciones, cada columna de la matriz del sistema
contiene dos unos y los demás elementos son nulos.
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10.
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Práctica 3
a)
b)
c)
3.2.3 Un problema de un circuito eléctrico:
Un circuito eléctrico está compuesto normalmente por un conjunto de elementos activos, que
generan energía eléctrica (por ejemplo, las baterías que transforman una energía de tipo químico en
eléctrica) y de elementos pasivos, que consumen dicha energía (por ejemplo, las resistencias que
transforman la energía eléctrica en calor). Ambos conjuntos están conectados entre sí. En la Figura 11 se
muestra un circuito compuesto por una batería, E, y varias resistencias R 1 , R 2 , R 3 y R 4 .
Las magnitudes que describen el comportamiento de un
circuito son la Intensidad de Corriente Eléctrica I y el Voltaje
V o caída de potencial y se miden, en el Sistema Internacional
de Unidades, en Amperios (A) y Voltios (V)..
La intensidad de corriente eléctrica es la cantidad de
carga por segundo, que pasa a través de un cable o elemento
de circuito.
El voltaje es una medida de la separación o gradiente de
carga que se establece en un elemento del circuito.
Figura 11
El voltaje también se denomina caída de potencial o diferencia de potencial y, en general se puede
determinar entre dos puntos arbitrarios de un circuito. El voltaje esta relacionado con la cantidad de
energía que se transforma de eléctrica en otro tipo cuando pasa la unidad de carga (por ejemplo, calor en
una resistencia). Se denomina Fuerza Electromotriz (f.e.m.) cuando se refiere al efecto contrario,
conversión de energía de otro tipo (por ejemplo químico en una batería) en energía eléctrica. La f.e.m.
suele denotarse E y también se mide en voltios.
Los elementos de un circuito se interconectan mediante conductores. Los conductores o cables
metálicos se utilizan básicamente para conectar puntos que se desea estén, a la misma diferencia de
potencial (es decir, idealmente la caída de potencial a la largo de un cable o conductor metálico es cero).
Para facilitar el estudio de un circuito conviene definir los siguientes términos: Nodos, Ramas y
Mallas.

Nodo es la unión de más de dos cables: Los puntos a
y b son los dos únicos existentes en el circuito que se
esquematiza en la Figura 12; el punto c es la unión de
dos elementos, pero no es un nodo.

Rama es el recorrido a lo largo del circuito entre dos
nodos consecutivos: acb es una rama, bac no lo es.
En el esquema se tienen tres ramas: acb, bda y ab.

Malla (o ciclo) es un recorrido cerrado. Por ejemplo
abda (malla I) y acba (malla II). También lo es el
recorrido exterior bdacb, pero es redundante con las
anteriores (I y II) que recorren todos sus elementos.
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Figura 12
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Para proceder al estudio de un circuito se identifican las corrientes que van por cada rama. En el
circuito anterior se distinguen tres corrientes diferentes: I1 , I 2 e I3 . La notación y los sentidos de las
corrientes se asignan arbitrariamente; si después de analizado el circuito, una corriente resulta negativa,
entonces su sentido es opuesto al escogido inicialmente.
Se debe conocer para cada elemento o dispositivo del circuito, la relación que hay entre la intensidad
de corriente que atraviesa el dispositivo y la caída de potencial o voltaje entre sus extremos.

Baterías: Las baterías tienen una característica muy simple, dan un voltaje fijo (su f.e.m.), para
cualquier valor de corriente.

Resistencias: En las resistencias, el voltaje es directamente proporcional a la corriente que la
atraviesa. En este caso se cumple la Ley de Ohm: V = R I, donde R es la constante de
proporcionalidad llamada resistencia y se mide en ohmios ().
11.
El siguiente problema consiste en determinar la corriente en amperes que recorre cada
malla en el siguiente circuito.
Figura 13
a) Escriba todas las ecuaciones que relacionan las corrientes en cada malla.
b) Resuelva el sistema y verifique el resultado obtenido.
Consideraciones para la construcción del modelo:
Tome en consideración las Leyes de Kirchoff:

Ley de nodos: La suma algebraica de las corrientes en un nodo es cero. Se toman positivas
las corrientes que llegan y negativas las que salen. Esta ley se aplica a cada nodo del
circuito menos uno.

Ley de mallas: La suma algebraica de las caídas de potencial a lo largo de una malla debe
coincidir con la suma algebraica de las fuerzas electromotrices (de los elementos activos) a
lo largo de la misma. Si no hay elementos activos, la suma algebraica de las caídas de
potencial en la malla es cero. Para la aplicación de esta ley es necesario asignar un sentido
de recorrido a las mallas y dar convenios de signos:
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Observaciones:

Una f.e.m. se toma positiva si en el recorrido se sale por el polo positivo.

Una caída de potencial se toma como positiva si en el recorrido se va a favor de la corriente
cuando se pasa por el elemento.
Por ejemplo, aplicando estas leyes al circuito mostrado en la Figura 12 se tiene:

Nodo a:
I1  I2  I3  0 .

Malla I:
E1  R1 I1  R 2 I3 .

Malla II:
E2  R 2 I2  R 4 I2  R 3 I3 .
De esta manera puede plantear un sistema de ecuaciones que permite determinar las diferentes
intensidades de corriente en el circuito.
12.
a)
b)
4.2.4 Un problema de geometría analítica
13.
Toda esfera tiene una ecuación de la forma x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 . El
problema consiste en determinar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos de
coordenadas P(1, 2, 3) , Q(2, 1, 0) , R(4,  3, 1) y S(0, 4, 2) .
a) Escriba las ecuaciones que relacionan a, b, c y d.
b) Resuelva el sistema, verifique el resultado obtenido y escriba la ecuación de la cuádrica.
14.
a)
b)
Prof. Robinson Arcos
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Departamento Matemática Aplicada