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Capítulo III
Dinámica de la partícula
3.1 Primera y segunda ley de Newton
Hasta el momento hemos considerado el movimiento de una partícula sin tener en cuenta
las causas del mismo. La experiencia nos demuestra que un cuerpo no modifica su
movimiento a menos que se ejerzan acciones sobre él. En otras palabras, la experiencia
dice que un cuerpo no cambia su movimiento a menos que se lo ponga en interacción
con otro. Queremos significar con la expresión “no cambia su movimiento” que el vector
velocidad de la partícula permanece constante. Este enunciado es en realidad una ley
física deducida a partir de la experiencia. Obviamente lo expuesto representa una
experiencia física ideal, puesto que consiste en la observación del movimiento de una
partícula libre de toda interacción. La condición ideal puede aproximarse mediante
experiencias reales cada vez mas refinadas. La ley enunciada se denomina “Primera ley
de Newton”.
En términos más precisos la primera ley de Newton establece que: Un cuerpo libre de
acciones exteriores se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme (pues
→
→
d v / dt = a = 0 ). Por el momento utilizamos el término cuerpo como sinónimo de
partícula, pues no consideramos su forma, constitución o tamaño. Los ejemplos se
aplican a cuerpos reales para hacer más fácil la comprensión; sin embargo, los vectores
fuerzas, velocidades y aceleración estarán aplicados únicamente en un punto.
En particular, si el cuerpo está inicialmente en reposo respecto a un sistema de referencia,
continuara en reposo, mientras no tenga una interacción con otro cuerpo. Cuando
hablamos de modificaciones de la velocidad, como la velocidad es un vector, no nos
estamos refiriendo únicamente a cambios en el modulo (aceleración tangencial), sino
también a cambios en la dirección del movimiento (aceleración centrípeta). La
interacción sobre un cuerpo se realiza ejerciendo un esfuerzo sobre el mismo, o poniendo
el mismo en contacto con sistemas, en los que observamos ciertas modificaciones
(deformaciones aceleraciones, calentamientos, etc.)
En el Capítulo II al describir los movimientos y velocidades relativas, lo hacíamos
respecto a un sistema de referencia. Este concepto es fundamental para las leyes del
movimiento de Newton. Supongamos que viaja en un avión que acelera para despegar.
Si pudiera pararse en el pasillo usando patines, comenzaría a moverse hacia atrás en
relación al avión. En cambio, si el avión estuviera aterrizando, usted comenzaría a
moverse hacia adelante al frenar el avión. En ambos casos parecería que no se cumple la
primera ley de Newton, ya que sobre usted no actúa una fuerza y sin embargo su
velocidad cambia. ¿Qué es lo que está ocurriendo?
La cuestión es que el avión que acelera (o desacelera) respecto a la Tierra no es un marco
de referencia apropiado para la primera ley de Newton. Esta ley es válida para algunos
marcos de referencia, pero no en otros. Un marco de referencia en el que es válida la
primera ley de Newton es un marco de referencia inercial.
La Tierra es
aproximadamente un marco de referencia inercial, pero no el avión (La Tierra no es un
marco completamente inercial debido a la aceleración asociada a su rotación y su
movimiento alrededor del Sol, aunque estos efectos son pequeños).
Un observador ubicado en el avión (marco de referencia no-inercial) podría inferir que
existe una fuerza neta actuando sobre usted, ya que su velocidad relativa al avión cambia.
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Esto no es correcto, pues la fuerza que actúa sobre usted es cero. El error del observador
es tratar de aplicar la primera ley de Newton en el marco de referencia del avión, que no
es inercial (pues está sufriendo una aceleración) y en el que dicha ley no es válida. Si un
marco es inercial, todos los que se muevan con velocidad constante respecto a él, serán
inerciales. Más adelante (en este mismo capítulo) trataremos en detalle el problema de los
sistemas inerciales y el de los sistemas acelerados.
La experiencia también nos indica que cuanto mayor es la interacción (el esfuerzo
ejercido o la modificación en el sistema actuante), mayor será la aceleración producida.
Entonces definimos como “acción” a un ente físico que representaría el esfuerzo ejercido
sobre el cuerpo para modificar el movimiento. Entonces la acción puede ser definida
como una magnitud proporcional a la aceleración producida (proporcional al vector
aceleración). En principio uno estaría tentado a igualar la acción a la aceleración, pero
ello implicaría que la acción que se debe ejercer para acelerar un cuerpo es independiente
del mismo, lo que es contrario a la experiencia. Efectivamente, observamos que para
acelerar un cuerpo grande de un cierto material, debemos ejercer mas esfuerzo que para
acelerar uno pequeño del mismo material. El factor entre la acción y la aceleración
depende en consecuencia del cuerpo, y representa su “inercia” (mayor o menor
resistencia de un cuerpo a ser acelerado).
Finalmente se comprueba que la inercia es aditiva, es decir que para acelerar varios
cuerpos a la vez, es necesario ejercer esfuerzos mayores, en realidad la suma de los
esfuerzos individuales para acelerar cada uno de ellos por separado.
Al ente representativo de la acción lo denominaremos “vector fuerza” y al ente
representativo de la inercia lo llamaremos “masa” o “masa inercial”. La relación entre
ambas será:
→
→
F = ma
La igualdad (3.1) se denomina la Segunda ley de Newton.
(3.1)
3.1.1 Fuerzas e interacciones
La fuerza definida en la (3.1), es una magnitud derivada y representa una cantidad
vectorial, por lo tanto para describirla debemos indicar su dirección y magnitud. Sus
dimensiones serán simbólicamente:
[ L]
[ F ] =[ M ]
= [ M ][ L ][ T ] − 2
2
[T ]
Para el sistema de unidades MKS ( m, Kg, seg), la unidad de fuerza será aquella que le
imprime a un kilogramo una aceleración de 1 m seg-2. A esta unidad se la denomina
“Newton”, y sus dimensiones son Kg m seg-2. Otra unidad de fuerza se obtiene para el
sistema cgs (cm, g, seg), y se denomina “dina": 1 dina= 1 g cm seg-2. Como regla de
transformación para los valores numéricos de las fuerzas cuando se cambia de unidades,
resulta que 1 Newton= 1 Kg m seg-2= 103g 102cm seg-2=105dinas.
Respecto de las masas inerciales y las fuerzas se comprueba experimentalmente que las
mismas son aditivas. Un cuerpo compuesto por n partículas unidas rígidamente entre sí,
se comporta como un solo cuerpo de masa
m = m1 + m2 + ⋅ ⋅ ⋅ + mn
(3.2)
56
→
→
→
Por otra parte si varias fuerzas actúan sobre una partícula, F1 , F2 , ⋅ ⋅ ⋅ , Fn , la aceleración
→
sufrida por la partícula será igual a la que le imprimiría una sola fuerza resultante, R ,
igual a la suma vectorial de las fuerzas originales
→
→
→
n
→
→
R = F1 + F2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Fn = ∑ Fi
(3.3)
i =1
La Figura 3.1 ejemplifica lo expuesto por las fórmulas (3.2) y (3.3) para el caso de dos
cuerpos de masas m1 y m2 sujetos a la misma fuerza resultante. Por la segunda ley de
→
∑F = m
Newton
1
→
∑ F = (m
1
→
a1 (Figura
3.1a),
→
∑F = m
→
2
a 2 (Figura
3.1b)
y
→
+ m2 ) a3 (Figura 3.1c)
Este importante principio se denomina superposición de fuerzas. Una consecuencia muy
importante derivada de la superposición de fuerzas es el hecho que podamos sustituir una
fuerza por sus vectores componentes. Es decir: Cualquier fuerza puede ser sustituida por
sus vectores componentes actuando sobre el mismo punto (ver Figura 3.2).
→
→
→
F = Fx + Fy
Figura 3.1
57
(3.4)
Figura 3.2
Es decir que podemos generalizar la expresión de la fuerza resultante (3.3) en función de
sus componentes, de la forma:
→
→
→
→
n
→
R x = F1x + F2 x + ⋅ ⋅ ⋅ + Fnx = ∑ Fix
→
→
→
→
i =1
n →
R y = F1 y + F2 y + ⋅ ⋅ ⋅ + Fny = ∑ Fiy
(3.5)
i =1
Aplicando la segunda ley de Newton (3.1) a un cuerpo puntual de masa m tendríamos
que:
n
→
Rx =
→
→
∑F
= max
ix
i =1
n →
R y = ∑ Fiy = m a y
(3.6)
i =1
Obviamente
→
→
→
R = Rx + R y
La acción simultánea de varias fuerzas puede producir un efecto total nulo. La condición
para ello es que:
→
→
→
→
n
→
R = F1 + F2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Fn = ∑ Fi = 0
(3.7)
i =1
Esta es la condición de equilibrio para una partícula. En este caso, de acuerdo a la
primera ley de Newton (no hay fuerza neta actuante) la partícula se mantendrá en reposo
o con movimiento uniforme y rectilíneo.
Cada vez que observamos que un cuerpo esta acelerado, este necesariamente debe estar
bajo la acción de una fuerza. Podemos observar que el equilibrio de fuerzas sobre una
partícula, dado por la (3.7) no implica necesariamente reposo. La misma puede estar en
movimiento uniforme y rectilíneo.
Analicemos a continuación la interacción entre dos partículas. Mencionamos en la
sección 3.1 que al ente representativo de la acción sobre una partícula se denominaba
fuerza. Veremos ahora la interacción entre dos partículas. Supongamos dos partículas
aisladas en el espacio que ejercen fuerzas una sobre otra (dos cuerpos puntuales unidos
por un resorte o que se atraen gravitacionalmente, etc.). Consideremos por ejemplo el
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movimiento de la Luna. Es un movimiento aproximadamente circular y uniforme
alrededor de la Tierra, es decir un movimiento con aceleración centrípeta. Esto significa
que la Luna esta en interacción con la Tierra y el mecanismo de interacción es la fuerza
gravitatoria.
Una fuerza que actúa sobre un cuerpo siempre es el resultado de su interacción con otro
cuerpo, así que las fuerzas siempre vienen de a pares. Cualquier fuerza aislada es solo un
aspecto de una interacción mutua. Encontramos que todas las veces que una partícula
ejerce una fuerza sobre una segunda partícula, la segunda ejerce siempre una fuerza sobre
la primera. Además esas fuerzas son de igual magnitud (módulo) y dirección, pero de
sentidos opuestos. La Tierra atrae a la Luna y la Luna atrae a la Tierra. Estas fuerzas de a
pares son denominadas comúnmente como accion y reaccion. Aunque esta
denominación es conceptual mente mala (por cuanto ambas fuerzas son físicamente
equivalentes, no debiendo distinguírselas en consecuencia en forma gramatical)
emplearemos ambos términos por ser los que mas frecuentemente se utilizan en la
literatura. Por consiguiente, una fuerza aislada es una imposibilidad.
Esta propiedad de las fuerzas nos conduce a la tercera ley de movimiento de Newton que
puede ser enunciada de la siguiente forma: si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre un
cuerpo B (acción), entonces B ejerce una fuerza sobre A (reacción). Estas fuerzas
tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas, y actúan sobre diferentes
cuerpos.
Veamos a continuación unos ejemplos conceptuales de distintas aplicaciónes de las leyes
de Newton a objetos en reposo y en movimiento.
_______________________________________________________________________
EjemploI:
En una película de ciencia ficción una nave se mueve en el vacío del espacio exterior,
lejos de cualquier planeta, cuando sus motores se descomponen. El resultado es que la
nave baja su velocidad y se detiene. ¿Es correcto de acuerdo a la primera ley de Newton?
En esta situación no actúan fuerzas sobre la nave, así que, según la primera ley de
Newton, no se detendrá; se seguirá moviendo en línea recta con velocidad constante.
________________________________________________________________________
EjemploII (objeto en reposo):
Una manzana esta en equilibrio sobre una mesa (Figura 3.3a). ¿Qué fuerzas actúan sobre
ella? ¿Cuál es la fuerza de reacción para cada una de ellas?
La Figura 3.3b muestra la manzana sobre la mesa. La manzana será designada por A, la
→
mesa por T y la tierra por E. En el diagrama mostrado en 3.3b F E sobre A es el peso de la
manzana, o sea la fuerza gravitacional ejercida por la Tierra (T ) sobre la manzana (A).
Al ejercer una atracción la Tierra sobre la manzana, ésta ejerce una fuerza igual pero de
→
→
→
sentido contrario, F A sobre E , sobre la Tierra (Figura 3.3d). F A sobre E y F E sobre A son un par
acción-reacción que representa la interacción de la manzana y la Tierra
→
→
F A sobre E = - F E sobre A
59
Figura 3.3a
→
Asimismo, F T sobre A es la fuerza hacia arriba ejercida por la mesa (T) sobre la manzana
(A).
Figura 3.3b
→
Además, la mesa empuja a la manzana hacia arriba con una fuerza F T sobre A , y la
→
reacción correspondiente es la fuerza hacia abajo F A sobre T que la manzana ejerce sobre
la mesa (Figura 3.3c). Entonces:
→
→
F T sobre A = - F A sobre
T
→
→
Las dos fuerzas que actúan sobre la manzana son F T sobre A y F E sobre A , las que
evidentemente no forman un par acción-reacción, pese a ser iguales y opuestas, pues
actúan sobre el mismo cuerpo. En realidad son dos fuerzas distintas, que no representan
la interacción de dos cuerpos. Las dos fuerzas de un par acción-reacción nunca actúan
sobre el mismo cuerpo. Podemos verlo de otra forma: Si quitamos repentinamente la
→
→
mesa debajo de la manzana (Figura 3.3c), las fuerzas F T sobre A y F A sobre
60
T
serán cero,
→
→
pero F A sobre E y F E sobre A seguirán existiendo (la interacción gravitacional continua
presente).
Figura 3.3c
Figura 3.3d
______________________________________________________________________
Ejemplo III (objeto en movimiento):
61
El obrero de una cantera arrastra un bloque de mármol sobre un piso tirando de una
cuerda atada al bloque (Figura 3.4a). ¿Qué relaciones hay entre las diversas fuerzas?
¿Cuáles fuerzas son un par de acción-reacción?
La Figura 3.4b) muestra las fuerzas horizontales que actúan sobre cada cuerpo, el bloque
→
(B), la cuerda (C) y el hombre (H). El vector F H sobre C representa la fuerza ejercida por el
→
hombre sobre la cuerda; su reacción es la fuerza igual y opuesta F C sobre H ejercida por la
→
cuerda sobre el hombre. Por su parte, F C sobre B es la fuerza ejercida por la cuerda sobre el
→
bloque; su reacción es la fuerza igual y opuesta F B sobre C que el bloque ejerce sobre la
cuerda. Entonces,
→
→
F C sobre H = - F H sobre C
→
→
y F B sobre C = - F C sobre B
→
→
Son pares acción-reacción. Hay que tener en claro que las fuerzas F H sobre C y F B sobre C
no forman un par acción-reacción, ya que ambas actúan sobre el mismo cuerpo (la
→
→
cuerda). Además, las magnitudes de F H sobre C y F B sobre C no necesariamente tienen la
misma magnitud. Si aplicamos la segunda ley de Newton a la cuerda, tenemos
→
→
∑F = F
→
→
+ F B sobre C = mcuerda a cuerda
Si el bloque y la cuerda tienen una aceleración, la cuerda no esta en equilibrio y la
H sobre C
→
→
magnitud de F H sobre C deberá ser distinta de la de F B sobre C . En el caso especial en que
→
→
la cuerda esta en equilibrio, las fuerzas F H sobre C y F B sobre C tienen igual magnitud y son
→
opuestas, ya que a cuerda = 0 .
(a)
Figura 3.4a
62
Figura 3.4b y c
Podemos a continuación plantear una aparente paradoja de la tercera ley de Newton. En
el caso del obrero de la cantera (Figura 3.4), vimos que el mismo tira de la combinación
cuerda-bloque con la misma fuerza que esa combinación tira de él. ¿Por qué entonces, se
mueve el bloque mientras el hombre permanece estacionario?
La solución a esta aparente contradicción radica en la diferencia entre la segunda ley de
Newton y la tercera. Las únicas fuerzas que intervienen en la segunda ley son las que
actúan sobre el cuerpo en cuestión. La suma vectorial de esas fuerzas determina la forma
en que ese cuerpo se acelera (y si se acelera o no). En contraste, la tercera ley de Newton,
por sí sola, nada nos dice acerca del movimiento de cualquiera de los dos cuerpos.
El obrero no se mueve porque la fuerza neta que actúa sobre él es cero (ver Figura 3.5).
Esa fuerza neta es la suma vectorial de la fuerza normal hacia arriba que el piso ejerce
→
→
sobre él ( n H ), su peso que actúa hacia abajo ( w H ), la fuerza de la cuerda que tira de él
→
hacia la izquierda ( F C sobre H ) y la fuerza de fricción del piso que lo empuja hacia la
→
derecha ( f H ). Dado que el hombre tiene zapatos con suelas antideslizantes que no se
resbalan sobre el piso, la fuerza de fricción es suficiente para equilibrar el tirón de la
cuerda. Si el piso estuviera encerado o mojado, de modo que la fricción entre el piso y los
zapatos del obrero fuera pequeña, él comenzaría a deslizarse hacia la izquierda.
También actúan cuatro fuerzas sobre la combinación bloque-cuerda: la fuerza normal
→
→
→
( n B ), el peso del bloque ( w B ), la fricción ( f B ) y la fuerza transmitida por la cuerda del
→
hombre que tira hacia la derecha ( F H sobre C ). Si el bloque inicialmente esta en reposo,
63
comenzara a deslizarse si la fuerza del obrero es mayor que la fuerza de la fricción
→
→
(estática) que el piso ejerce sobre el bloque ( F H sobre C > f B ). En tal caso, la fuerza neta
Figura 3.5
sobre el bloque no será cero, y el bloque se acelerará hacia la derecha. Una vez que el
bloque esté en movimiento, el hombre no tendrá que tirar con tanta fuerza; solo deberá
desarrollar la fuerza suficiente para equilibrar exactamente la fuerza de fricción
(dinámica) sobre el bloque (la fuerza de fricción dinámica es menor que la estática).
Entonces, la fuerza neta sobre el bloque en movimiento será cero, y el boque se seguirá
moviendo con velocidad constante, de acuerdo con la primera ley de Newton.
Ejemplo IV:
Una mesera empuja una botella de salsa que tiene una masa de 0.45 Kg sobre el
mostrador hacia la derecha (ver Figura 3.5a). Al soltar la botella la misma tiene una
velocidad inicial de 2.8 m / seg , pero se frena por la fuerza de fricción constante ejercida
por el mostrador. La botella se desliza 10 m. antes de detenerse. ¿Qué magnitud y
dirección tiene la fuerza de fricción?
En este problema intervienen fuerzas y aceleración, por lo que se utilizara la segunda ley
de Newton.
Elegimos un sistema de referencia (sistema de coordenadas) e identificamos las fuerzas
que actúan sobre el cuerpo en cuestión (en este caso, la botella de salsa). Escogemos el
eje de las x positivas (x>0) en la dirección en que se desliza la botella, tomando como
origen el punto en que la botella abandona la mano de la mesera con velocidad inicial de
2.8 m / seg (Figura 3.5a). La Figura 3.5b muestra el diagrama de fuerzas que actúan sobre
→
la botella. La fuerza de fricción f frena la botella, por lo que su dirección debe ser
→
opuesta a la de la velocidad. Nuestra incógnita es la magnitud (módulo) de la fuerza f ,
pues la dirección y el sentido ya los conocemos. Aplicaremos la (3.6) a las componentes
64
Figura 3.6a
en la dirección x. Para ello necesitamos conocer el valor de a x . El problema no nos
proporciona el valor de a x . Como la aceleración a x es constante podemos utilizar algunas
de las fórmulas dadas en el Capítulo II. Dado que conocemos la coordenada y velocidad
iniciales ( x0 = 0 m y v0 x = 2.8 m / seg ), así como su coordenada y velocidad finales
( x = 1.0 m y v x = 0 m / seg ) podemos deducir a x a partir de la (2.20).
Figura 3.6b
x
1 2
(v x − v02x ) = ∫ a x dx = a x ( x − x0 )
2
x0
Por lo tanto:
v x2 − v02
− (2.8 m / seg ) 2
=
= − 3.9 m / seg 2
2( x − x0 )
2(1.0 m)
El signo negativo está indicando que la aceleración es hacia la izquierda (x<0) en la
Figura 3.6a.
_______________________________________________________________________
ax =
65
Ejemplo V:
Un auto descansa en los rieles inclinados de una rampa que conduce a un remolque
(Figura 3.7 a). Sólo el cable conectado al auto y a la armazón del remolque evita que el
auto baje la rampa (el auto esta sin frenos y en punto murto la transmisión). Si el peso del
auto es w , calcule la tensión en el cable y la fuerza que soportan los rieles.
Figura 3.7
El auto está en equilibrio, por lo que aplicaremos la primera ley de Newton. La rampa
ejerce cuatro fuerzas sobre los cuatro neumáticos, por simplicidad uniremos estas cuatro
fuerzas en una sola aplicada en un punto. Supondremos además que no existe fricción
sobre los rieles. Entonces la rampa ejerce sobre el auto una fuerza perpendicular (fuerza
normal) a los rieles. La fuerza de gravedad actúa verticalmente hacia abajo, mientras que
la normal es perpendicular a la superficie inclinada. Por lo tanto tenemos un sistema de
dos ecuaciones para la primera ley de Newton, una ecuación para las componentes x (eje
paralelo a la superficie inclinada) y otra para las componentes y (eje perpendicular a la
superficie inclinada) (Figuras 3.7 b y c). La Figura 3.7 c muestra un diagrama de fuerzas
→
para el auto. Las tres fuerzas que actúan sobre el auto son su peso w , la tensión del cable
→
→
T y la fuerza normal n . Entonces
66
∑F
∑F
x
= T + (− w senα ) = 0
y
= n + (− w cos α ) = 0
→
→
donde hemos utilizado la convención T = T , w = w ,...... En consecuencia
T = w senα
n =wcos α
3.1.2 Interacciones gravitatorias
Estudiaremos ahora algunos prototipos de interacciones muy importantes. En primer
lugar consideraremos la interacción gravitatoria. La característica fundamental de esta
interacción, que la distingue de todas las otras interacciones, es que siempre existe entre
dos cuerpos cualesquiera y no puede ser modificada desde el exterior. En general, la
interacción gravitatoria entre dos cuerpos de características normales es muy débil, y
requiere instrumentos de gran precisión para ser puesta en evidencia. Pero en cuerpos de
dimensiones astronómicas, la interacción gravitatoria conduce a efectos apreciables. La
caída de un cuerpo (movimiento acelerado) revela la interacción gravitatoria entre el
cuerpo y la Tierra (la cual, por su masa “infinita”, tiene una aceleración nula). El
movimiento de la Luna alrededor de la Tierra es el resultado de su interacción
gravitatoria con ésta, y el movimiento de los planetas alrededor del Sol revela la
existencia de una interacción gravitatoria entre los primeros y el Sol.
Para estudiar la interacción gravitatoria entre dos cuerpos puntuales, realizamos una serie
de experiencias ideales. Uno de los cuerpos, al que designaremos como O, lo suponemos
fijo en el origen (ver Figura 3.8) de nuestro sistema de coordenadas. La fuerza
→
gravitatoria que actúa sobre el otro cuerpo (cuerpo 1), la denominamos f 1 , y que, por
→
supuesto será igual a la fuerza de interacción sobre el cuerpo O ( f 0 ).
Figura 3.8
67
Experimentalmente hacemos las siguientes comprobaciones:
1.# La fuerza es siempre atractiva, o sea, dirigida hacia el otro cuerpo. La fuerza depende
→
→
→
además de la distancia r entre los dos cuerpos: f 1 = f 1 ( r ) . Cambiando el cuerpo 1
por otro cuerpo 2,
→
→
tendremos nuevamente para cada punto del espacio, un vector
→
f 2 = f 2( r ) .
2.#- Se comprueba para los módulos de los vectores fuerza sobre los cuerpos 1 y 2
→
→
f 2 (r )
=
→
→
→
→
f 2 (r ' ' )
=
→
f 1 (r )
→
→
f 2 (r ' )
f 1 (r ' )
→
→
= …….= µ 21 = cte.
(3.8)
f 1 (r ' ' )
→
f 1 (r ) , f 1 (r ' ) , f 1 (r ' ' ) ,….., f 2 (r ) , f 2 (r ' ) , f 2 (r ' ' ) ,….Son las fuerzas de atracción
gravitatoria sobre los cuerpos 1 y 2 en distintos puntos del espacio que rodea al cuerpo O,
→
→
donde hemos utilizado la notación r = r , r ' = r ' , etc. Esta notación será utilizada de
aquí en más. Más aún la emplearemos en los módulos de los vectores fuerza de forma tal
que
→
f (r ) = f (r ),
→
f (r ' ) = f (r ' ) , etc. La constante µ 21 , que es independiente de la
posición y que representa una cualidad inherente de los cuerpos 1 y 2, se denomina masa
gravitatoria del cuerpo 2 en unidad del cuerpo 1.
Si ahora tomamos un tercer cuerpo, un cuarto, ….etc., comprobamos igualmente que:
f 3 (r ) f 3 (r ' )
f 4 (r ) f 4 (r ' )
=
= …= µ 31
=
= ……= µ 41 ………
f1 (r )
f1 (r ' )
f1 (r )
f1 (r ' )
f n (r ) f n (r ' )
=
= …= µ n1
f1 (r )
f1 (r ' )
Obteniendo así las masas gravitatorias de esos cuerpos en unidad del cuerpo 1.
(3.9)
3.# Si ahora comparamos la fuerza que, en un punto dado, actúa sobre el cuerpo 3, con la
que actúa sobre el cuerpo 2, verificamos experimentalmente que:
f 3 (r ) f 3 (r ' )
µ
=
= …= µ 32 = 31
(3.10)
µ 21
f 2 (r ) f 2 (r ' )
La igualdad (3.10) es un resultado nuevo que no se puede deducir de los anteriores. Si
por decreto adoptamos definitivamente al cuerpo 1 como unidad de masa gravitatoria,
podemos suprimir el subíndice en µ 21 , µ 31 , ..., µ n1 , y llamar al cociente
f n (r )
= µn
f1 (r )
68
(3.11)
masa gravitatoria del cuerpo n (tomando como unidad al cuerpo 1). Así definido, el
valor de la masa gravitatoria de un cuerpo es un número que mide cuántas veces más
intensa es la fuerza de atracción gravitatoria que actúa sobre el cuerpo n, en comparación
con la fuerza sobre el cuerpo unidad. Este número dependerá por lo tanto del cuerpo que
tomamos como unidad. Cambiando el cuerpo unidad, el valor de la masa gravitatoria de
un cuerpo cualquiera variará de acuerdo a la transformación dada en (3.10), como se
deduce de la experiencia 3.#. Por el momento el concepto de masa gravitatoria está
representado por una magnitud independiente.
Los resultados de las experiencias ideales 1.# a 3.# se pueden resumir en las igualdades
vectoriales:
→
→
→
→
→
→
f 2 = µ 2 f 1 , f 3 = µ 3 f 1 , ………, f n = µ n f 1
(3.12)
Hasta el momento aún no hemos hecho aparecer al punto O (Figura 3.7), colocado en el
origen, y que era el proveedor de las interacciones gravitatorias analizas. Las igualdades
vectoriales (3.12) nos permiten introducir un concepto físico ligado a ese cuerpo.
Efectivamente, de ellas se deduce que:
→
→
f 2 (r )
µ2
=
f 3 (r )
µ3
→
= ⋅⋅⋅ =
f n (r )
µn
→
= G (r )
(3.13)
independientemente de los cuerpos 1, 2, 3, …., n y dependiendo sólo de la posición y del
cuerpo O. Este vector, definido en cada punto del espacio que rodea al cuerpo O, se llama
campo gravitatorio del cuerpo O. Representa el hecho físico que el cociente entre la
fuerza de atracción gravitatoria y la masa gravitatoria, es independiente de esta última; su
valor numérico está dado por la fuerza que actúa sobre el cuerpo unidad de masa
gravitatoria.
El campo gravitatorio constituye lo que se llama un campo vectorial: a cada punto del
espacio le corresponde un vector. Un campo vectorial está dado por sus componentes en
función de las coordenadas, en la forma:
→
→
→
→
→
→
G x = G x ( x, y , z )
G y = G y ( x, y , z )
(3.14)
G z = G z ( x, y , z )
Corresponde ahora determinar experimentalmente cómo depende el campo gravitatorio
de la posición y del cuerpo O. Se comprueba que:
→
4.# El módulo del vector G es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
entre el punto en cuestión y el cuerpo que produce dicho campo. La constante de
proporcionalidad depende de dicho cuerpo (en nuestro caso, del cuerpo O):
→
K
(3.15)
G (r ) = 20
r
Por lo tanto, la fuerza que actúa sobre el cuerpo 1 será:
→
K
(3.16)
f 1 (r ) = f 1 (r ) = µ1 20
r
69
Para r → 0 la (3.16) tiende a ∞ , lo que no molesta en la física clásica; pues como hemos
visto todo lo anterior es válido para cuerpos puntuales. Entonces al acercarse
mutuamente, en la medida que r → 0 ya no podrán ser considerados como puntuales y no
valdrá esta expresión. Recordar del Capítulo II que físicamente podríamos definir una
partícula como una entidad ideal sin tamaño ni estructura interna.
Ahora vamos a demostrar que la constante K 0 es proporcional a la masa gravitatoria del
cuerpo O. Para ello será suficiente el considerar que, por razones de simetría (permutando
las posiciones de los cuerpos 1 y O en la Figura 3.7) la fuerza sobre el cuerpo O deberá
ser de acuerdo (3.16):
K
f 0 (r ) = µ 0 21
(3.17)
r
Por el principio de acción y reacción f 1 = f 2 , entonces deducimos que:
K 0 K1
=
(3.18)
µ0
µ1
Como lo mismo es válido para los cuerpos 2, 3, etc., puestos en interacción gravitatoria
con el cuerpo O; tendremos:
K0
µ0
=
K1
µ1
=
K2
µ2
K3
=
µ3
=⋅⋅⋅⋅ = γ
(3.19)
Esta constante, que es independiente de los cuerpos en interacción, independiente del
espacio, independiente del tiempo, independiente de todo; se denomina constante
universal de gravitación. Su valor numérico depende únicamente de las unidades
elegidas para la masa gravitatoria, para las distancias y para los tiempos (es decir el
sistema de unidades con que estemos trabajando).
Ahora podemos escribir para el campo gravitatorio de la masa µ 0 :
G (r ) = γ
µ0
r2
y para la fuerza que en ese campo actúa sobre la masa µ :
µ µ0
(3.20)
(3.21)
r2
Hemos comentado que las interacciones gravitatorias se distinguen de las demás por estar
presentes siempre. Esto quiere decir que en todo cuerpo de masa inercial m estará
también asociada una masa gravitatoria µ . Experimentalmente se comprueba:
5.#
La masa gravitatoria de un cuerpo sólo depende de su masa inercial,
independientemente de su composición y demás condiciones físicas. La dependencia es
una proporcionalidad:
µ = km
(3.22)
El factor de proporcionalidad es una constante universal, y su valor sólo depende de las
unidades de masa gravitatoria y masa inercial. En base a esta proporcionalidad entre masa
gravitatoria e inercial, y adoptando la convención de elegir como unidad de masa
gravitatoria a la masa inercial del mismo cuerpo (el kilogramo patrón), podemos hacer
que k=1 y, con ello escribir la (3.22) en la forma
f =γ
70
(3.22 a)
Lo importante es recordar que conceptualmente la masa inercial y la masa gravitatoria
son dos magnitudes físicas diferentes. La primera (masa inercial) se mide comparando
las aceleraciones, cuando una interacción de cualquier tipo actúa sobre un cuerpo con
masa inercial unidad; la segunda (masa gravitatoria) se mide comparando la fuerza de
interacción gravitatoria con la que actúa sobre un cuerpo con la unidad de masa
gravitatoria, cuando ambos son colocados en un campo gravitatorio. Es debido sólo a la
proporcionalidad, y en base a la convención de elegir como unidades de masa inercial y
gravitatoria a un mismo cuerpo, que se puede escribir la igualdad (3.22 a)
La proporcionalidad entre los dos tipos de masa tiene otra consecuencia importante:
calculemos la aceleración que tienen los cuerpos 1, 2, etc., cuando son colocados en un
mismo punto de un campo gravitatorio:
µ =m
→
→
→
→
→
f
f
µ G
µ G
a 1 = 1 = 1 , a 2 = 2 = 2 , cte
m1
m1
m2
m2
Como µ1 / m1 = µ 2 / m2 = k por la (3.22), vemos que las aceleraciones de todos los
cuerpos son iguales en un punto dado del campo gravitatorio. En particular, adoptando la
→
→
igualdad (3.22 a) y llamando g a dicha aceleración, tenemos:
→
→
→
→
a1 = a 2 = ⋅ ⋅ ⋅ = g = G
(3.23)
El campo gravitatorio es expresado por la aceleración que en ese punto tienen todos los
cuerpos. El hecho experimental de que la aceleración gravitatoria es la misma para todos
los cuerpos en un mismo punto de la tierra independientemente de su masa, es conocido
desde hace mucho tiempo. Constituye lo que históricamente se denominó la ley de caída
libre de los cuerpos (“todos los cuerpos en caída libre sufren una aceleración constante
denominada aceleración de la gravedad”). De esta manera, la ley de caída libre libre de
los cuerpos pasa a ser una verificación de la proporcionalidad entre masa inercial y masa
gravitatoria.
La fuerza de atracción gravitatoria de la Tierra sobre un cuerpo se llama peso del mismo.
Formalmente deberíamos escribir la (3.13) en la forma:
→
→
(3.13 a)
P = µG
Pero debido a la igualdad (3.22 a) vale:
→
→
→
(3.24)
P = µG = mg
→
→
Como el campo gravitatorio G , y con ello la aceleración g , varía de lugar en lugar, el
peso de un cuerpo no será una cualidad inherente del mismo.
Comparando los pesos de dos cuerpos en un mismo lugar de la Tierra, podemos obtener
el cociente de sus masas:
P2 m2 g m1
=
=
(3.25)
P1 m1 g m2
De aquí en más, como consecuencia de la igualdad (3.22 a), no distinguiremos entre masa
inercial y masa gravitatoria: simplemente hablaremos de masa de un cuerpo. Para la
fuerza de atracción terrestre, se toma como unidad de fuerza el peso de un Kilogramo en
condiciones normales de aceleración de la gravedad (a 45o de latitud, a nivel del mar,
71
etc.), o sea g = 9.80665 m seg-2. La unidad de fuerza así definida es el kilogramo fuerza
(nombre muy poco afortunado que induce a confusiones). En este sistema, la unidad de
masa es aquella que bajo la acción de 1 kilogramo fuerza sufre una aceleración de 1
m/seg2. Según esta definición, 1 kilogramo fuerza = 9.80665 Newton.
El valor experimental de la constante universal de gravitación, en el sistema c.g.s., es de
γ = 6.67 10 −8 dinas cm 2 g −2 ( g −1 cm 3 seg −2 )
(3.26)
que es un valor muy pequeño.
Se comprueba que el campo gravitatorio es aditivo: es decir el campo gravitatorio de
varias masas es la suma vectorial de los campos gravitatorios correspondientes a cada
masa en forma individual. De esta forma se puede demostrar para la Tierra, de forma
aproximadamente esférica y radio R ≅ 6380 Km , que el campo gravitatorio en un punto
de la superficie, o exterior, es igual al campo que tendría un cuerpo puntual (una
partícula) colocado en el centro de la Tierra, de masa igual a la masa de la Tierra.
Entonces, teniendo en cuenta la (3.20) y la consecuencia de la igualdad (3.22 a), que la
aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra es:
M
g = γ 2T
(3.27)
R
Para un punto en el interior de la Tierra, situado a una distancia r<R del centro de la
misma, la intensidad del campo gravitatorio estará determinada por la fracción de M(r) de
masa de la Tierra que está dentro de la esfera de radio r. Suponiendo que la densidad es
constante ( δ T = cte. ) tenemos que:
4
4
M T ( R) = M T = δ T π R 3
y
M T (r ) = δ T π r 3
3
3
Entonces:
r3
M T (r ) = M T 3
R
que representa la masa de la Tierra dentro de una esfera de radio r<R. El valor de la
gravedad en el interior de la Tierra, a una distancia r<R del centro, será:
M (r ) γ M r 3 γ M r
r
g int (r ) = γ T 2 = 3 T 2 = 2 t = g
(3.28)
R
r
R r
R R
donde hemos utilizado en la última igualdad la expresión (3.27). Por lo tanto la
aceleración de la gravedad disminuye linealmente hacia el centro de la Tierra y es nula en
dicho punto.
3.1.3 Tiro en el vacío
Veamos nuevamente y con más detalle, el caso de un proyectil lanzado desde un punto O
con una velocidad inicial v0 y un ángulo α respecto del plano horizontal, como muestra
la Figura 3.9. Este proyectil está sujeto a la fuerza de atracción gravitacional m g ,
despreciándose cualquier efecto por fricción con el aire. Eligiendo un sistema de
coordenadas adecuado ( x e z horizontales y y vertical), tendremos para la ecuación
vectorial
→
→
f =ma
72
(3.29)
las tres ecuaciones
d 2x
m 2 =0
dt
d 2z
m 2 = 0 Integrando
dt
d2y
m 2 = −m g
dt
dx
= v x = v0 x = v0 cos α = cte.
dt
dz
= v z = v0 z = 0
dt
dy
= v y = v0 y − g t = v 0 senα − g t
dt
(3.30)
Figura 3.9
→
De las ecuaciones para v (3.30) deducimos que el movimiento es plano. Para dicho
plano, (x, y), vale:
x(t ) = v0 cos α t
(3.31)
1
y (t ) = v0 senα t − g t 2
2
La ecuación de la trayectoria del proyectil, y = y (x) , la obtenemos eliminando t en
(3.31):
x
1
g
t=
por lo tanto y = x tan α −
x2
(3.32)
2
2
v 0 cos α
2 v0 cos α
La (3.32) representa la ecuación de una parábola (llamada parábola de tiro).
La altura máxima alcanzada por el proyectil se obtiene de la condición:
x
dy
= 0 = tan α − g 2 m 2
dx
v0 cos α
o sea
v2
v2
x m = 0 cos α senα = 0 sen2α
(3.33)
g
2g
73
El valor de y correspondiente ( y = y máxima ) resulta, reemplazando el valor de x m en
(3.32):
v02
ymáxima =
sen 2α
(3.34)
2g
Obsérvese que para una dada velocidad inicial ( v0 ), y máxima = y máxima (α ) , con un máximo
v02
es la altura máxima absoluta que se
2
2g
puede alcanzar con una velocidad inicial ( v0 ) dada. Para cual cualquier otro ángulo
para α =
(α ≠
π
2
π
(tiro vertical hacia arriba). El valor
) la altura alcanzada será menor. El instante t m en el que se alcanza el máximo es:
xm
v
= 0 senα
(3.35)
v0 cos α g
En ese instante ( t = t m ) , la componente de la velocidad en la dirección vertical, v y , es
nula. Consideremos la distancia l a la cual el proyectil toca tierra. Se obtiene resolviendo
y = y ( x) = 0 , o sea utilizando (3.32):
tm =


g
g
x 2 = x  tgα − 2
x = 0
(3.36)
2
2
2 v cos α
2
v
cos
α
0


La solución x=0 es trivial, pues corresponde al instante inicial. La otra solución de (3.36)
es:
2 v02
v02
x=l =
cos α senα =
sen2α = 2 x m
(3.37)
g
g
Para una misma velocidad inicial v0 , el alcance máximo dado por (3.37) corresponde al
ángulo para el cual sen 2α = 1 (valor máximo de la función seno). Es decir α = π / 4 (ver
Figura 3.10).
y = tgα x −
2
0
Figura 3.10
El valor del alcance máximo, cuando α = π / 4 , es de acuerdo a (3.37) l m = l máxima = v 02 / g
y aplicando (3.34) l máxima = 2 y máxima cuando α = π / 4 . Es necesario destacar la
74
dependencia del alcance l como función del ángulo de tiro α . Según la Figura 3.11, se
puede llegar con un proyectil a una distancia l ( < l m ) , con dos ángulos de tiro α 1 y α 2 ,
soluciones de sen 2α = gl / 2v02 . Efectivamente, sí α 1 es uno de estos ángulos, entonces
π / 2 − α 1 también será una solución:
π

sen 2α 2 = sen 2  − α 1  = sen(π − 2α 1 ) = sen 2α 1
2

La posibilidad de llegar por dos caminos diferentes al mismo punto, tiene importancia en
balística.
→
Otra observación importante la representa el hecho que el módulo de la velocidad, v ,
del proyectil, depende exclusivamente de la altura, para cualquier trayectoria (dada
una misma velocidad inicial). Es decir:
v 2 = vx2 + v 2y = (v0 cos α ) 2 + (v0 senα − gt ) 2 = v02 cos 2 α + v02 sen 2α +




1
− 2v0 gt senα + g 2t 2 = v02 − 2 g v0 senα t − g t 2  = v02 − 2 g y
2 
  = y ( por (3.31)) 
(3.38)
Note el lector que la cantidad v02 − 2 g y , o en forma más general v 2 − 2 g y , es una
constante de movimiento, pues es constante en el tiempo dependiendo sólo del estado
1
inicial ( v02 ). Multiplicando por m obtenemos la cantidad
2
1
m v2 + m g y = E
(3.38 a)
2
que más adelante definiremos como energía total, que es efectivamente una constante de
movimiento.
Figura 3.11
75
Finalmente analizaremos un problema fundamental de la balística, que consiste en como
se determina el ángulo de tiro α en función de la posición (x, y) del blanco, para una
dada velocidad inicial del proyectil. A partir de la relación:
1
g
y = x tan α −
x2
(3.39)
2
2
2 v0 cos α
1
se debe despejar α en función de x e y. Teniendo en cuenta que cos 2 α =
,
(1 + tg 2α )
tenemos que:
1 g 2
y = x tan α −
x (1 + tg 2α )
(3.40)
2 v02
Esta es una ecuación de segundo grado en tgα , con solución
v02 1 v04
v02 y
2
±
−
x
−
2
(3.41)
gx x g 2
g
Las dos soluciones corresponden a los tiros por elevación y rasante, respectivamente.
Existe toda una región del plano x, y para la cual la raíz, y con ello tgα es imaginaria.
Esto significa que físicamente esos puntos (ver Figura 3.12) no son alcanzables por el
proyectil. Dicha región esta definida por la relación
v04
v02 y
v02 1 g x 2
2
−x −2
< 0 es decir y >
−
(3.42)
g
2 g 2 v 02
g2
3.1.4 Tiro vertical a gran distancia
Consideremos ahora el caso de un cuerpo de masa m lanzado desde la Tierra (masa M)
verticalmente hacia arriba, a gran distancia. En este caso habrá que tener en cuenta la
variación del campo gravitatorio con la distancia. La ecuación de movimiento, utilizando
la (3.21) se puede escribir en una sola dimensión (un único eje- el radio vector con origen
en el centro de la Tierra)
d 2r
mM
f = m 2 = −γ 2
(3.43)
dt
r
tgα =
Figura 3.12
Es decir
76
d 2r
M
= −γ 2
(3.44)
2
dt
r
De acuerdo con la expresión (3.27) para la aceleración de la gravedad sobre la superficie
terrestre tenemos:
a=
2
M
R
= g 
(3.45)
2
r
r
Esta fórmula es muy interesante, porque nos da la aceleración gravitatoria a la distancia r,
sin necesidad de recordar los valores de la constante de gravitación γ , y la masa M de la
Tierra (g y R=6380 Km son cifras más familiares). Resulta útil recordar
γ M = g R 2 = 399.17 × 103 Km3 / seg 2
(3.46 a)
Estamos frente al caso en que la aceleración es función de la distancia. Entonces de
acuerdo a lo visto en el Capítulo II (sección 2.5), fórmula (2.18):
dv dv dr d  1 2 
M
(3.46)
a(r ) =
=
=
v  = −γ 2

dt dr dt dr  2 
r
Integrando la (3.46) de acuerdo a la (2.19):
r
1 1 
1 2 1 2
dr '
v − v0 = −γM ∫ 2 = γM  − 
(3.47)
2
2
 r r0 
r0 r '
a =γ
Cabe destacar que multiplicando la (3.47) por m, aparece nuevamente una cantidad que
es integral de movimiento, tal como la (3.38 a):
Mm 
Mm   1 2
1 2
 2 mv − γ r  =  2 mv0 − γ r  = E = cte.

 
0 
(3.48)
que es independiente del tiempo, y sólo determinada por el estado inicial.
Entonces:
 1 1
v = v02 − 2γM  − 
(3.49)
 r0 r 
El doble signo de la raíz en la expresión general de v (3.49), merece un comentario.
Significa que para un mismo valor de r, el móvil puede tener una velocidad positiva y
otra negativa: la primera corresponde al movimiento de subida, la segunda al de caída
hacia la Tierra. Se deduce que la velocidad con que pasa por un mismo punto es la misma
en módulo, sea en movimiento ascendente o descendente.
Un rápido análisis de la (3.49) pone en evidencia otros detalles: Para r > r0 , v < v0 y
viceversa. Por otro lado si
 1 1
v2
1 1
2γM  −  > v02
o sea, si
< − 0
r r0 2γM
 r0 r 
el radicando de (3.49) es negativo y ν es imaginaria. Esto se interpreta diciendo que el
móvil no puede llegar más allá de una distancia máxima, dada por
77
rm =
1
(3.50)
v 02
1
−
r0 2γM
Esta es la distancia máxima al centro de la Tierra, alcanzable por un proyectil lanzado
verticalmente hacia arriba con una velocidad v0 , desde una distancia r0 al centro de la
Tierra. A la inversa, para llegar a una distancia prefijada r, un proyectil lanzado desde
r0 debe tener una velocidad inicial
 1 1
v0 > v mínima = 2γM  − 
(3.50)
 r0 r 
Por ejemplo, si el lugar de lanzamiento es la superficie de la Tierra ( r0 = R ), la velocidad
mínima necesaria para llegar a una distancia r del centro de la Tierra es utilizando la
relación (3.45)
 1 1
v mínima = 2 gR 2  − 
R r
(3.50 a)
Ejemplo VI:
La órbita típica de un satélite tripulado es de alrededor r ≈ 300 Km .¿ Cual es la velocidad
inicial mínima?
Aplicando la (3.50 a) con g R 2 = 399.18 × 103 Km3 / seg 2 ≅ 4 ×105 Km3 / seg 2 (3.46) y
R=6380 Km, tenemos que
vmínima = 2.37 km / seg
La velocidad mínima para escapar totalmente de la atracción gravitatoria terrestre se
obtendrá haciendo r → ∞ en (3.50 a):
2γM
vescape =
= 2 gR = 11.2 Km / seg
R
(3.51)
Para hallar r en función del tiempo debemos integrar la relación (3.49)
 1 1
dr
= v = v02 − 2γM  − 
dt
 r0 r 
(3.49)
Es decir:
∫
r
r0
dr '
v02 − 2γM (1 / r0 − 1 / r )
3.1.5 Interacciones elásticas
78
t
= ∫ dt ' = t − t 0
t0
(3.50)
Veremos ahora otro tipo de interacción, que resulta muy importante en la mecánica. Se
trata de la interacción elástica. Diremos que: dos partículas (o cuerpos puntuales) están
en interacción elástica cuando la fuerza de interacción es
→
→
f = −k r
(3.51)
→
donde r es el radio vector que ubica al cuerpo sobre el cual actúa la fuerza, con origen en
el otro (ver Figura 3.13). Note el lector que se trata de una interacción atractiva. la
constante k (positiva) es independiente de los dos cuerpos y sólo depende del mecanismo
particular de interacción. Un ejemplo (ideal) de interacción elástica es el de dos masas
vinculadas por un resorte estirable indefinidamente y de longitud propia nula. En este
caso la constante k, que depende exclusivamente del resorte, recibe el nombre de
constante elástica del resorte. Notemos que en una interacción elástica la aceleración de
un cuerpo es
→
→
f
k→
=− r
(3.52)
m
m
En la práctica debemos tener en cuenta que un resorte real siempre tiene una longitud
propia finita, l. Vinculando dos masas con un resorte así (ver Figura 3.14), se comprueba
que la fuerza elástica con que interactúan es
a=
→
→
f = −k ∆ r
(3.51 a)
→
donde ∆ r es la variación de longitud del resorte, de módulo ∆r = r − l . De esta forma,
de acuerdo a la (3.51 a), la fuerza es atractiva si ∆r = r − l > 0 (resorte estirado), y
repulsiva si ∆r = r − l < 0 (resorte comprimido). En el caso real la relación (3.51 a) sólo
→
es válida para elongaciones ∆ r = ∆r pequeñas.
La propiedad fundamental de una interacción elástica, consiste en que la fuerza de
interacción únicamente depende de la configuración del mecanismo que provee la
interacción (constante k y distancia r), y no de la masa y demás propiedades de los
cuerpos en interacción (como sucede en el caso gravitatorio). Esto permite calibrar las
interacciones elásticas (por ejemplo un resorte) en una forma unívoca (mediante la
relación f = −k ∆r , y utilizarlas en la medición estática de otras fuerzas desconocidas).
Un resorte calibrado de esta forma se denomina dinamómetro.
79
Figura 3.13
Veamos finalmente otro tipo de fuerzas importantes. Consideremos, por ejemplo, un
→
cuerpo apoyado sobre una superficie horizontal rugosa. Estando en reposo, el peso m g se
→
→
equilibra con la reacción R . Si ahora ejercemos una pequeña fuerza f tangencial a la
superficie (Figura 3.15), observamos experimentalmente que el móvil continúa estando
→
→
→
→
en reposo. Esto quiere decir que debe haber otra fuerza Fe (además de R , m g y f ) que
es responsable que la aceleración sea nula. En otras palabras:
→
→
→
→
m g + R + f + Fe =0
Figura 3.14
80
(3.52)
→
→
Por lo tanto, dado que m g + R =0 (acción y reacción), debe satisfacerse en todo
momento
→
→
Fe = - f
(3.53)
Figura 3.15
Nuevamente encontramos una fuerza que no puede ser modificada independientemente,
→
sino que en todo momento depende de otra fuerza exterior aplicada ( f ). Esta fuerza tiene
relación con la rugosidad de las superficies de contacto y se denomina fuerza de
rozamiento (o fricción) estático. Todo lo anterior vale hasta cierto límite máximo del
valor de
→
f = f , límite que depende del contacto entre la superficie horizontal y el
cuerpo. Se comprueba experimentalmente que a partir de ese límite, o sea, cuando
→
→
f > f lim , Fe salta bruscamente a otro valor menor Fd poniéndose, por lo tanto, el cuerpo
→
en movimiento. La fuerza Fd , valor al que salta la fuerza de rozamiento cuando el
cuerpo se pone en movimiento, se llama fuerza de rozamiento(o fricción) dinámico. Esta
→
fuerza es siempre opuesta al movimiento, o sea, al vector velocidad v . Mientras que
→
→
→
Fe está totalmente determinada por f (o a la componente tangencial al plano, si f no
→
→
→
→
está contenida en él), Fd es independiente de f . Incluso si f = 0, actuará la fuerza Fd ,
con tal que el cuerpo esté en movimiento. Representando el módulo de la fuerza de
rozamiento en función de la fuerza exterior tangencial f , tenemos lo que muestra la
Figura 3.16.
81
Figura 3.16
Para el valor f lim se observa experimentalmente que:
f lim = µ e R
(µ e < 1)
(3.54)
→
donde R = R es el módulo de la reacción del cuerpo sobre el plano, µ e es el coeficiente
de rozamiento (o fricción) estático, que depende de los materiales en contacto, del pulido
de su superficie, etc.
Para el módulo de la fuerza de rozamiento dinámico Fd se observa experimentalmente
Fd = µ d R
(µ d < µ e )
(3.55)
donde µ d es el coeficiente de rozamiento dinámico. El salto brusco de la fuerza de
rozamiento (o fricción) del caso estático al dinámico conduce a efectos curiosos. En
algunas situaciones, las superficies se atoran (fricción estática) y deslizan (fricción
dinámica) en forma alternada. Esto es lo que causa el chirrido de la tiza aplicada con
cierto ángulo sobre el pizarrón, de los limpiaparabrisas cuando el vidrio está casi seco y
de los neumáticos deslizándose en el asfalto. Un ejemplo más positivo es el movimiento
del arco de violín sobre las cuerdas.
Cuando un cuerpo se desliza sobre una capa de gas, la fricción puede reducirse mucho.
En el caso de un riel de aire, como los que se emplean en laboratorios de física, los
deslizadores se apoyan en una capa de aire (hay una efectiva reducción de la reacción R)
3.1.6 Movimiento oscilatorio armónico (o movimiento armónico simple MAS)
Sea el caso de un cuerpo puntual, es decir que su masa “m” está concentrada en un punto,
suspendido de un resorte de longitud “l” y constante elástica “k”. La elongación del
resorte ∆l corresponde a la posición adquirida por el resorte para equilibrar el peso del
cuerpo con la fuerza elástica mg = k ∆l . Sea x = 0 la posición de equilibrio, que
fijaremos como punto de origen. Si desplazamos la masa m un valor x hacia arriba (como
muestra la Figura 3.17), la extensión del resorte será ahora ∆l − x . La fuerza hacia arriba
(fuerza elástica) ejercida por el resorte en esta posición es k (∆l − x) , y la componente en
la dirección x de la fuerza resultante es
Fr = k (∆l − x) − mg = −kx
(3.56)
esto es, una fuerza neta hacia debajo de magnitud kx .
82
Figura 3.17
La aceleración ejercida sobre el cuerpo estará dada por:
d 2x F
k
a= 2 = r =− x
m
m
dt
ó
d 2x k
+ x=0
(3.57)
dt 2 m
La (3.57) es una ecuación diferencial, lineal, de segundo orden. Su solución es una
función x = x(t ) , que representa el movimiento de la masa m suspendida del resorte. Para
resolverla utilizaremos la expresión
d 2 x dv dv dx dv
d 1 2 
=
=
=
v=
v
2
dt dx dt dt
dx  2 
dt
Entonces podemos escribir la (3.57) en la forma:
d 1 2 
k
v =− x

dx  2 
m
ó
k
1 
(3.57 a)
d  v 2  = − x dx
m
2 
Integrando la (3.57 a):
v
k x
1 2 
∫v0 d  2 v  = − m ∫x0 x dx
obtenemos
1 2 1 2
1 k 2
v − v0 = −
( x − x02 )
(3-58)
2
2
2m
x0 y v0 son la posición y velocidad inicial. Multiplicando por m ambos miembros de la
(3.58) y agrupando los términos, vemos que
83
1
1
1
1
m v 2 + k x 2 = m v02 + k x02 = E = cte.
(3.59)
2
2
2
2
es una constante de movimiento (independiente del tiempo), que sólo depende del estado
inicial ( x0 y v0 ).
Podemos despejar de la (3.59) la velocidad
k
v = ± v02 + ( x02 − x 2 )
(3.60)
m
m
Nuevamente aparece una raíz cuadrada. Si x 2 > x02 + v02 , la raíz es imaginaria. Por lo
k
tanto, el movimiento sólo puede tener lugar entre los límites
m
m
− x02 + v02 ≤ x ≤ + x02 + v 02
(3.61)
k
k
La distancia máxima a la que se aparta el cuerpo de la posición de equilibrio se llama
elongación máxima o amplitud:
m
A = x máxima = x02 + v02
(3.62)
k
El doble signo en la expresión de la velocidad (3.60) indica que la velocidad del cuerpo
en movimiento armónico simple cuando pasa por el punto x siempre es la misma en
módulo, pudiendo ser positiva o negativa según sea el movimiento ascendente o
descendente.
Para hallar la expresión x(t ) es necesario integrar una vez más la (3.60)
dx
k
= ± v02 + ( x 02 − x 2 )
dt
m
v=
(3.60)
O sea
∫
dx'
x
2
0
t
2
0
2
= ∫ dt = t − t 0
v + k / m( x − x ' )
Para poder resolver esta integral sacamos factor común k/m en la raíz y agrupamos los
términos en la forma:
x
dx'
k
(3.63)
∫x0 v 2 m / k + ( x 2 − x'2 ) = m (t − t 0 )
0
0
x0
t0
Introduciendo el valor de la amplitud A dado por (3.62), tenemos:
x
dx'
k
∫x0 A 2 − x' 2 = m (t − t 0 )
Esta integral, según tablas, vale
∫
x
dx'
2
A − x'
Entonces la (3.63 a) tomará la forma:
x0
2
= arc sen
84
x
x
− arc sen 0
A
A
(3.63 a)
x
x
k
=
(t − t 0 ) + arc sen 0
(3.64)
A
m
A
Si introducimos la fase inicial ó ángulo de fase φ = arc sen( x0 / A) y la frecuencia
arc sen
angular ω = k / m , tenemos que la (3.64) puede ser escrita como:
x = A sen[ω (t − t 0 ) + φ ]
(3.65)
Ésta es la ecuación del movimiento oscilatorio simple y representa la solución general de
la ecuación diferencial (3.57). Un sistema como el considerado, que obedece a la
ecuación (3.65), se denomina frecuentemente en la literatura como oscilador lineal.
A partir de (3.65), tendremos para la velocidad la expresión
dx
π
v=
= Aω cos[ω (t − t 0 ) + φ ] = Aω sen[ω (t − t 0 ) + φ + ]
(3.66)
dt
2
Observamos que la velocidad también varía sinusoidalmente con el tiempo, con una
amplitud máxima (velocidad máxima) v máxima = ω A . La función sinusoidal está desfasada
(adelantada) en π / 2 respecto de x. La velocidad es máxima cuando la elongación es nula
y viceversa.
Para la aceleración obtenemos:
d 2x
a = 2 = − Aω 2 sen[ω (t − t 0 ) + φ ] = Aω 2 sen[ω (t − t 0 ) + φ + π ]
(3.67)
dt
El valor máximo de la aceleración es a máxima = Aω 2 ; la función sinusoidal (3.67) está
ahora adelantada en π respecto de la elongación (3.65). De esta forma, la aceleración es
máxima cuando la elongación es máxima, pero de sentido opuesto. La representación
gráfica de las tres funciones x(t ) dada por la (3.65), v(t ) dada por la (3.66) y
a (t ) dada por la (3.67) se muestran en la Figura 3.18.
Analicemos ahora los parámetros ω , A y φ que intervienen en la descripción del
movimiento oscilatorio armónico. Con relación a la frecuencia angular ω podemos
introducir otra cantidad, el período τ del movimiento armónico. Definimos como
período τ al tiempo transcurrido (intervalo de tiempo) entre dos pasajes sucesivos del
cuerpo, en el mismo sentido, por el mismo punto x. Si t es el instante en que el cuerpo
pasa por x, para t + τ (de acuerdo a la definición de τ ) debemos obtener los mismos
valores de x y v ; o sea que en los argumentos [….] de (3.66) y (3.67), se debe verificar
que:
ω (t + τ − t 0 ) + φ = ω (t − t 0 ) + 2π + φ
(3.68)
Esto quiere decir que ωτ = 2π , o sea
2π
m
τ=
= 2π
(3.69)
ω
k
La inversa del período frec = 1 / τ se denomina frecuencia del movimiento armónico
frec =
1
τ
85
=
1
2π
k
ω
=
m 2π
(3.70)
Figura 3.18
Es importante notar que el período y la frecuencia sólo dependen de la masa del cuerpo y
de la constante del resorte, siendo independientes de las condiciones iniciales. En otras
palabras son características del proceso de interacción elástica en sí, que no pueden ser
influidas desde el exterior (es decir que ω ( ó τ , frec ) y φ , no dependen de ∆l ). Esta es
una característica esencial de las interacciones elásticas, que las distinguen de todas las
demás y juega un papel fundamental en toda la física. Observe que cuanto mayor sea la
masa del cuerpo, menor será la frecuencia (mayor será el período τ ), ver (3.70). Esto
quiere decir que a mayor masa más lenta es la vibración. En cambio a mayor índice k
(más fuerte es el resorte) tanto mayor será la frecuencia.
Si analizamos la amplitud (3.62), vemos que la misma depende de las condiciones
iniciales A = x02 + v02 / ω 2 (donde hemos utilizado ω = k / m ). En particular, si v0 = 0 ,
la amplitud estará dada directamente por la elongación inicial ( x0 ). Determinada la
amplitud quedan fijados los valores para la velocidad máxima, v máxima = ω A y la
aceleración máxima a máxima = Aω 2 .
Finalmente nos queda por analizar la fase inicial φ . La misma se denomina de esa forma
por cuanto fija el valor de la posición inicial. De acuerdo a (3.65) para t = t 0
x(t = t0 ) = x0 = A senφ
(3.71)
Para determinar la fase inicial en función de las condiciones iniciales, no basta con la
relación (3.71), puesto que el ángulo φ no está fijado exclusivamente por su seno. Con la
(3.71) no sabríamos distinguir entre los ángulos φ y π − φ , que tienen el mismo seno. Es
decir, necesitamos de cierta información adicional. Es conocido de la trigonometría que
cos φ = − cos(π − φ ) , en consecuencia es necesario fijar el signo del coseno. La expresión
de la velocidad inicial, dada por (3.66) para t = t 0 , es:
v0 = ω A cos φ
(3.72)
86
Entonces el signo del coseno está dado por el signo de la velocidad inicial. En resumen,
el ángulo de la fase inicial estará dado en uno de los cuatro cuadrantes según los signos
de la elongación y velocidad inicial (ver Figura 3.19)
Figura 3.19
En particular si la velocidad inicial es nula ( v0 = 0 ), entonces φ = π / 2 si x0 > 0 y
φ = 3π / 2 si x0 < 0 . Por otra parte, si el cuerpo parte de la posición de equilibrio
( x0 = 0 ) con cierta velocidad inicial v0 , la fase inicial será φ = 0 , si v0 > 0 , mientras que
φ = π si v0 < 0 . Obsérvese que la determinación de la fase inicial depende de la
convención sobre el sentido que se ha adoptado para el eje x.
3.1.7 Movimiento del péndulo ideal
Sea el caso de una masa puntual suspendida de un hilo inextensible de longitud “l” que
oscila en un plano. El punto se moverá sobre un arco de circunferencia de radio “l”. Las
→
fuerzas que actúan sobre la masa m son su peso m g y la reacción de vínculo que
→
llamaremos tensión T del hilo. Descomponiendo el peso en dos direcciones, una paralela
y otra perpendicular al hilo (ver Figura 3.20), observamos que:
a) En la dirección del hilo (tomando el sentido positivo hacia arriba):
v2
T − mg cos α = mac = m
(3.73)
l
ya que la masa m ejecuta un movimiento circular, teniendo por lo tanto un aceleración
centrípeta (2.38) ν 2 / l . La (3.73) nos permite hallar la tensión del hilo, si conocemos la
velocidad ν :

v2 
T = m  g cos α + 
(3.74)
l 

87
Figura 3.20
En un péndulo ordinario, que oscila con amplitudes pequeñas, g cos α >>ν 2 / l , la tensión
es prácticamente igual a mg cos α (muchas veces se comete el error de igualar la tensión
a priori con mg cos α ).
b) En la dirección perpendicular al hilo, o sea, sobre el arco de circunferencia “s” (con
sentido hacia la derecha de la Figura 3.20):
d 2s
− mg senα = mat = m 2
(3.75)
dt
Es decir:
d 2s
s
= − g senα = − g sen
(α ≈ s / l )
(3.76 a)
2
l
dt
ó
d 2α
g
= − senα
(3.76 b)
2
l
dt
La solución de cualquiera de estas ecuaciones diferenciales, (3.73 a) o (3.73 b), da el
movimiento de la masa m. Previamente a integrar la (3.76 a), la escribimos en la forma
dv
dv ds d  1 2 
s
a= t = t
=  v  = − g sen
dt
ds dt ds  2 
l
Integrando, obtenemos:
s
1 2 1 2
s
(3.77)
v − v 0 = gl (cos − cos 0 )
2
2
l
l
Multiplicando ambos miembros de (3.77) por m y agrupando
s
1 2
s 1
mv − mgl cos = mv02 − mgl cos 0
(3.77 a)
2
l 2
l
88
La (3.77.a) es una constante independiente del tiempo, dependiendo sólo del estado
inicial. Observemos que:
s
l cos = l − y
(3.78)
l
donde y es la altura a la que se encuentra la masa m sobre el punto de equilibrio O.
Entonces podemos escribir la (3.77 a) como:
1 2
1
mv + mg y = mv02 + mg y 0 = E = cte.
(3.79)
2
2
La velocidad puede despejarse de (3.77)
s
s
v = v02 + 2 gl (cos − cos 0 )
(3.80)
l
l
Tal como en el caso del resorte, existe un valor límite para s (o para el ángulo α = s / l ),
más allá del cual no hay movimiento (la raíz es imaginaria). Es decir, existe movimiento
s
v2
mientras cos α ≥ cos 0 − 0 . Por lo tanto:
l 2 gl
s
v2
cos α máximo = cos 0 − 0
(3.81)
l 2 gl
El ángulo α máximo se llama amplitud de oscilación del péndulo. Depende de las
condiciones iniciales s 0 , v0 y es independiente de la masa del péndulo (sólo interviene l).
Para deducir la ecuación de movimiento s(t) o α (t ) es necesario integrar la (3.80)
s
s
ds = v02 + 2 gl (cos − cos 0 ) dt
l
l
o sea
∫
1
s
= t − t0
(3.82)
s0
s
v + 2 gl (cos − cos )
l
l
Esta integral no se puede resolver en forma cerrada; es una integral elíptica que puede
resolverse numéricamente por aproximaciones.
Para el caso especial en el cual las elongaciones del péndulo son muy pequeñas
(amplitudes muy pequeñas), podemos poner
s s
sen ≈
(3.83)
l l
Entonces, la ecuación diferencial original (3.76 a) queda en la forma
d 2s
g
=− s
(3.84)
2
l
dt
La (3.84) es una ecuación de la misma forma que la ecuación del movimiento oscilatorio
armónico (3.57). Haciendo en nuestro caso g / l = ω 2 , obtenemos una ecuación idéntica,
que tiene por solución:
s = A sen[ ω (t − t 0 ) + φ ]
(3.85)
con los parámetros
s0
2
0
89
v 02
v
g
2
, A = s 0 + 2 y cos φ = 0
(3.86)
ω=
l
ωA
ω
donde hemos utilizado la (3.62) y (3.72)
El período de oscilación del péndulo (de acuerdo a la (3.69)) será, por lo tanto
2π
l
τ=
= 2π
(3.87)
ω
g
Notemos que el período no sólo es independiente de las condiciones iniciales, como en el
caso del oscilador armónico, sino que también es independiente de la masa. Pero
recordemos que el período sólo es independiente de las condiciones iniciales (de la
amplitud), cuando las oscilaciones son tan pequeñas que en todo momento valga la
s s
aproximación sen ≈ .
l l
3.1.8 Relación entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular
uniforme
Existe una relación estrecha entre el movimiento armónico simple de un objeto que se
mueve a lo largo de un eje, por ejemplo el eje x, y el movimiento de una partícula
describiendo una circunferencia con una velocidad cuyo módulo es constante. Esta
relación puede resultar muy útil para comprender mejor ambos tipos de movimientos.
Consideremos una partícula que designamos con Q que se mueve con una velocidad cuyo
módulo constante es v , describiendo una circunferencia de radio A centrada en el punto
O, tal como muestra la Figura 3.21.
Figura 3.21
La línea radial OQ desde el origen al punto Q forma un ángulo θ con la parte positiva del
eje x. Dado que el módulo de la velocidad con que se mueve el punto Q es constante, el
→
dθ
ángulo θ varía uniformemente, y
= Ω = Ω = cte. (2.44) es la velocidad angular.
dt
Utilizaremos la letra griega minúscula ω en lugar Ω , para adecuar nuestra notación a la
del movimiento armónico simple. En el caso mostrado en la Figura 3.21 ω = v / A (2.44
con α = π / 2) . Dado que ω es constante tenemos que θ (t ) = ω t + φ ' , donde la constante
de fase φ ' es el valor inicial de θ ( θ (t0 ) = φ ' ).
Determinemos la coordenada x del punto de referencia Q, que también es la coordenada x
del punto P en el eje x (ver Figura 3.21 a). De acuerdo con la figura tenemos que:
90
(3.88)
x = A cos θ (t )
o considerando que θ (t ) = ω t + φ '
x = A cos(ω t + φ ' )
(3.89 a)
Que es una ecuación similar a la (3.65) (MAS). En particular si t 0 = 0 y la diferencia de
fase es de π / 2 , (3.65) y (3.89 a) coinciden. Es decir que el movimiento a lo largo del eje
x es un MAS con amplitud A y frecuencia angular ω .
Las mismas conclusiones son válidas para la componente y del movimiento. Por ejemplo,
la coordenada y del punto Q en la Figura 3.21 es
y = A sen(ω t + φ ' )
(3.89 b)
El movimiento a lo largo del eje y es también un MAS, igual a la (3.65) con φ = φ ' , y
cuya amplitud es A y la frecuencia angular ω . El que obtengamos un coseno para las x y
un seno para las y significa que entre ambas componentes del movimiento hay una
diferencia de fase de π / 2 .
Hemos visto cómo el movimiento armónico simple (MAS) es equivalente a la proyección
del movimiento circular uniforme sobre el eje x (o sobre el eje y), o sobre cualquier otro
diámetro de la circunferencia. También podemos invertir la equivalencia, y decir que el
movimiento circular uniforme es equivalente a componer dos movimientos armónicos
simples a lo largo de dos ejes perpendiculares (por ejemplo los ejes x e y). Los dos
movimientos deben tener la misma amplitud y la misma frecuencia angular, pero deben
tener una diferencia de fase de π / 2 . Esto es, una partícula que se mueve según una
trayectoria circular de radio A con velocidad angular constante ω , tiene coordenadas
dadas por
x = A cos(ω t + φ ' )
y = A sen(ω t + φ ' )
(3.89)
3.1.9 Sistemas inerciales y sistemas acelerados
Supongamos un recinto cerrado en el cual se encuentra un observador con una serie de
instrumentos mecánicos para verificar las leyes de la Mecánica. En particular, el
observador estudia el movimiento de un cuerpo puntual que se desplaza sobre una mesa
horizontal, sin fricción (Figura 3.22). El peso del móvil es anulado por la reacción de la
mesa; la resultante de las fuerzas exteriores sobre el cuerpo es, por lo tanto nula.
Partimos de la hipótesis que cuando el recinto está en reposo respecto de un sistema dado
de coordenadas que llamaremos sistema fijo, el observador verifica la validez de las leyes
de la dinámica. Por ejemplo, comprueba que el cuerpo, inicialmente en reposo, continúa
en reposo; o inicialmente en movimiento rectilíneo uniforme, continúa con ese
movimiento rectilíneo uniforme (primera ley de Newton). En general, el observador
→
→
verifica en estas condiciones la validez de la ley f = m a .
Diremos que el sistema fijo, respecto del cual el recinto con el observador está en reposo,
es un sistema inercial. Con ese nombre se denomina un sistema de referencia en el que se
cumple la ecuación de Newton:
→
→
f = ma
→
donde f es la resultante de todas las fuerzas de interacción y reacciones.
91
Supongamos ahora que el recinto (terna (x’, y’, z’ ) en la Figura 3.22) se traslada con
→
movimiento rectilíneo uniforme con velocidad V respecto del sistema fijo (inercial).
Figura 3.22
Deduciremos que las leyes de Newton siguen cumpliéndose para un observador O’ en el
interior del recinto. Efectivamente, si para este observador el cuerpo apoyado sobre la
mesa está en reposo, para un observador en el sistema inercial O, ese cuerpo tendrá la
→
velocidad V , igual a la velocidad del recinto y de todos los demás objetos en reposo
relativo respecto de él. Como la resultante de las fuerzas de interacción sobre el cuerpo es
nula, y como en el sistema O valen las leyes de la dinámica, el observador en ese sistema
→
deducirá que ese cuerpo mantendrá la velocidad V indefinidamente. Pero eso quiere decir
que continuará en reposo respecto a O’.
→
Por otra parte, si el móvil tiene una velocidad v' respecto del observador O’ en el recinto,
→
→
→
el mismo móvil tendrá una velocidad v = v' + V (2.48), respecto de O. Como está libre de
→
fuerzas exteriores, el observador inercial deduce que v será constante; siéndolo además
→
→
V , lo será v' . En resumen, el observador en el sistema inercial deduce que en el recinto
que se mueve con movimiento uniforme respecto de él se debe cumplir la primera ley de
Newton. En general, puede deducir que el observador en el recinto verificará el
→
→
cumplimiento de f = m a . Por lo tanto, el recinto que se traslada con movimiento
rectilíneo respecto del sistema inercial original también es un sistema inercial. En
general, todo sistema que se traslada con movimiento rectilíneo uniforme respecto de un
sistema inercial es también inercial. Todos los sistemas inerciales se mueven con
movimiento rectilíneo uniforme unos respecto de otros. Este es un hecho muy importante
en física. El observador O’ no puede revelar físicamente por sí solo el hecho de moverse
respecto de O. No puede, por medio de experiencias mecánicas hechas en el interior de su
recinto poner en evidencia el hecho de estar en movimiento respecto de otro sistema
inercial. El mirar por una ventana para poner en evidencia el movimiento no vale, pues
implicaría una interacción directa entre los dos sistemas. Lo que se pretende es ver si se
puede revelar el movimiento con experiencias hechas exclusivamente dentro del sistema
O’. Notemos que esto no es un principio, sino un hecho que es consecuencia de la
definición misma de sistema inercial y de las leyes de Newton.. Ahora bien, la
92
experiencia indica que no es posible revelar ese movimiento con ningún tipo de proceso
físico (electromagnético, termodinámico, nuclear, etc.), extendiendo así el resultado
deducido para procesos del tipo mecánico al dominio de toda la física. Éste es el
principio de relatividad.
Veamos las relaciones que ligan las coordenadas de un punto en un sistema inercial O’
con las coordenadas de ese mismo punto respecto de otro sistema inercial O.
Supongamos que el sistema O’ se traslada con movimiento uniforme de velocidad
→
V respecto de O. De acuerdo con lo visto en la Sección 2.8 (2.46), la relación entre los
vectores posición será:
→
→
→
r = r ' + OO'
(3.90)
→
Pero el vector OO' variará en función del tiempo en la forma:
→
→
→
OO' (t ) = OO' 0 + V t
Por lo tanto, la relación entre componentes será:
x = x' + x0 + V x t
y = y '+ y 0 + V y t
(3.91)
(3.92 )
z = z '+ z 0 + V z t
A estas relaciones debemos añadir la relación que a priori resulta evidente en la física
clásica (pero no en la física relativista), y que se basa en la suposición de que el tiempo
transcurrido entre sucesos no depende de la velocidad del sistema desde el cual se lo
mide
t = t'
(3.92 b)
Las relaciones (3.92) representan la transformación de Galileo que vincula dos sistemas
inerciales entre sí. El principio de relatividad se enuncia diciendo que todas las leyes de
la física clásica deben ser covariantes frente a transformaciones de Galileo, es decir, no
deben cambiar de forma al hacer la transformación de coordenadas (3.92).
La transformación de Galileo para la velocidad del punto se obtiene derivando las (3.92),
obteniéndose precisamente la relación (2.48)
→
→
→
v = v'+ V
(3.92 c)
Esto implica que la velocidad no es la misma medida desde cualquier sistema inercial.
Únicamente si la velocidad es infinita resultaría igual desde cualquier sistema inercial.
Sin embargo, el electromagnetismo predice, que es la velocidad de la luz en el vacío
( c = 3x10 8 m / seg ) la que es estrictamente invariante, o sea, del mismo valor, cualquiera
sea la velocidad del sistema inercial desde el que se la mide. Por lo tanto, la (3.92 c) y,
toda la transformación de Galileo (3.92) no pueden ser estrictamente correctas. Este
resultado anti-intuitivo de la invariancia de la velocidad de la luz hizo necesario
reemplazar la transformación de Galileo por la transformación de Lorentz en la Teoría
Especial de la Relatividad. Como veremos más adelante en el curso, la transformación de
Lorentz (al igual que la de galileo para el caso clásico) liga las coordenadas y el tiempo
( x' , y ' , z , t ' ) de un sistema inercial O’ en movimiento, con las de un sistema inercial O en
reposo ( x, y, z , t ) , donde obviamente t ≠ t ' . En otras palabras desaparece el sentido
absoluto del tiempo: dos sucesos que son simultáneos en un sistema ya no serán más
93
simultáneos vistos desde otro sistema que se mueve respecto del primero. Por supuesto
que para velocidades pequeñas ( V << c ) la transformación de Lorentz conduce a la
transformación de Galileo de la mecánica clásica.
→
Supongamos ahora que el recinto O’ parte del reposo con una aceleración uniforme a .
Para un observador fijo inercial O (Figura 3.23), un cuerpo inicialmente en reposo sobre
la mesa del recinto permanecerá en reposo respecto el sistema inercial O (y no respecto a
la mesa), ya que no actúa sobre él resultante alguna (suponemos que no hay fricción). La
distancia y’ del cuerpo a la pared posterior del recinto decrecerá entonces, puesto que la
pared se acerca al cuerpo con movimiento uniforme acelerado. Evidentemente
tendremos:
1
y ' (t ) = y 0' − a t 2
(3.93)
2
Figura 3.23
Por lo tanto, para el observador O’ en el recinto acelerado, el cuerpo apoyado sobre la
mesa no permanecerá en reposo, sino que iniciará un movimiento uniformemente
acelerado con aceleración:
→
→
(3.94)
a*= −a
Podemos deducir entonces que este observador comprobará que en su sistema O’ no
valen las leyes de Newton, ya que, por ejemplo, un cuerpo inicialmente en reposo, y para
el cual la fuerza resultante es nula, no permanece en reposo. En general para él, todo
cuerpo libre de fuerzas sufre un movimiento acelerado. Por lo tanto, para el observador
O’:
→
→
f ≠ ma
(3.95)
Un sistema acelerado respecto a un sistema inercial, no es más un sistema inercial. Se
trata de un sistema no-inercial.
Supongamos ahora que el móvil permanece en reposo respecto del observador noinercial O’. Desde el punto de vista de un observador inercial O el móvil se está
→
moviendo con un movimiento acelerado de aceleración a . Como para él (observador
94
inercial) valen las leyes de Newton, deduce que debe haber una fuerza externa actuando
→
→
sobre el móvil f = m a que es la responsable de tal movimiento acelerado (provista por
la fricción sobre la mesa o cualquier vínculo con el recinto). Efectivamente, el observador
no-inercial (en el recinto O’) comprueba experimentalmente que debe suministrar una
→
→
→
fuerza R = − f = −m a' para mantener en reposo cualquier cuerpo de masa m. En
particular, él mismo para mantenerse en reposo debe sostenerse de algún objeto
rígidamente unido al recinto, o hacer uso de la fricción contra el suelo, para permitir la
→
→
acción de una fuerza R = −m a ' necesaria para su reposo relativo respecto al recinto.
Figura 3.24
Finalmente, podemos analizar que ocurre con un péndulo suspendido, dentro del recinto
→
que se está moviendo con aceleración constante a . Para el observador inercial (fuera del
recinto, en el sistema O) la condición de equilibrio adoptada por el péndulo es la
mostrada en La Figura 3.24, ya que la masa del péndulo no está en reposo, sino que se
→
→
mueve con un movimiento acelerado. La tensión T y el peso m g proveen como
→
→
resultante la fuerza f = m a a la que está sujeta la masa m. Ahora bien, el observador en
el sistema no-inercial O’ (dentro del recinto) puede salvar la validez de las ecuaciones de
Newton en sus sistema, postulando que sobre todo cuerpo de masa m está actuando una
fuerza de valor
→
→
f ' = m a'
(3.96)
→
donde a ' es la aceleración con que el observador (no-inercial) en el sistema O’ ve
moverse (hacia la izquierda) a todo cuerpo supuestamente libre de fuerzas que actúan
sobre él (o cuya resultante es nula). Efectivamente, si este observador supone válida por
decreto la ecuación de Newton (3.1), entonces para él todo ocurre como si sobre el
→
→
→
cuerpo actuara una fuerza f ' = m a' , que le imparte la aceleración observada a ' . Desde su
95
→
punto de vista, si quiere mantener el cuerpo en reposo, debe equilibrar la fuerza f ' con
una fuerza igual y de sentido contrario:
→
→
R + f '= 0
(3.97)
→
Esta fuerza f ' se denomina fuerza inercial. No haremos aquí una discusión filosófica de
si estas fuerzas son reales o ficticias, simplemente mencionaremos lo siguiente:
a) Si el observador en O’ no sabe que está en un sistema acelerado respecto a un
sistema inercial, y utiliza la leyes de Newton de prepo, comprueba la existencia de
→
una fuerza f ' que actúa sobre el cuerpo. Esto se debe a que, decretando la validez
de la ecuación de Newton (3.1), la noción de fuerza aparece como causa de toda
aceleración. Lo que por el momento aún le queda por encontrar al observador en O’
es el mecanismo de interacción al cual hacer responsable de la acción de esta fuerza.
b) Si el observador en O’ sabe que está en un sistema acelerado respecto de uno
inercial, no puede usar las ecuaciones de Newton en su sistema por ser éste un
sistema no-inercial. Para describir lo que ocurre en su sistema, debe previamente
traducir todo lo que observa a un sistema inercial. Y para este sistema inercial, no
existen fuerzas inerciales
(El nombre fuerza inercial es bastante desafortunado, pues esta fuerza precisamente
sólo aparece en sistema no-inerciales)
De lo anterior se desprende que las fuerzas inerciales son fuerzas cuya existencia
depende del sistema de coordenadas desde el que se describe un movimiento dado. En
eso difieren fundamentalmente de lo que hemos llamado fuerzas de interacción o
simplemente fuerzas, que son totalmente independientes del sistema de referencia,
estando dadas exclusivamente por el mecanismo de interacción en sí. Las fuerzas
inerciales no están asociadas a ningún mecanismo de interacción; por ello no vale para
ellas el principio de acción y reacción. No existe en parte alguna una fuerza opuesta a la
(3.96).
Presentemos a continuación un caso importante: Supongamos que un observador en un
recinto cerrado, se encuentra en el espacio interestelar. Suponemos además que este
observador comprueba:
a) Que todo cuerpo libre de fuerzas ejecuta un movimiento acelerado, con una
→
aceleración a ' independiente de la masa del cuerpo.
→
→
b) Para mantener un cuerpo en reposo, debe ejercer una fuerza externa R = − m a ' .
Es fácil comprender que pueden estar pasando dos cosas, alternativamente:
1) El recinto del observador está siendo acelerado uniformemente respecto de un
→
→
sistema inercial (por la acción de algún cohete) con una aceleración a = − a ' .
96
Entonces, para el observador en el interior del recinto sobre todo cuerpo actúa una
→
→
fuerza inercial f ' = m a' .
2) El recinto del observador se encuentra en reposo en un campo gravitatorio (de una
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estrella), de intensidad G = a ' . Entonces, sobre todo cuerpo actúa una fuerza (peso)
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P = µ G = m a (3.24).
El observador no puede distinguir entre esas dos posibilidades con experiencias
mecánicas hechas en el interior de su recinto. Nuevamente, el hecho de mirar por una
ventana no vale, porque implicaría una interacción con otro sistema. En resumen,
deducimos que el observador en el recinto (sin interactuar con el exterior) no podrá
distinguir con experiencias mecánicas entre una fuerza inercial y una gravitatoria. Esta
equivalencia entre fuerza inercial y campo gravitatorio es consecuencia de la
proporcionalidad entre masa gravitatoria y masa inercial (3.22), la cual es responsable de
que la aceleración en interacciones gravitatorias sea la misma para todos los cuerpos.
Ahora bien, la experiencia indica que no es posible discernir entre fuerza inercial y
campo gravitatorio con ningún tipo de proceso físico (electromagnético, elástico, etc.).
Este es el principio de relatividad general.
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