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Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
0106) Movimiento de Proyectiles
Se denomina proyectil (figura 1) a
cualquier objeto que es lanzado con
cierta velocidad inicial por algún agente
y que continúa en movimiento en virtud
de su propia inercia, siguiendo una
trayectoria o camino determinada
totalmente por los efectos de la
aceleración de gravedad y la
resistencia del aire.
El movimiento de proyectil es un
movimiento compuesto, en el cual las
componentes horizontal X(t) y vertical
Y(t) de la posición son funciones del
tiempo. En virtud del Principio de la
Independencia de los Movimientos, cada
uno de los movimientos componentes se
cumple como si los demás no existieran.
Así, el movimiento de traslación
horizontal no tiene ninguna influencia en
el de caída.
Modelo idealizado de Movimiento de Proyectiles:
En el modelo ilustrado en la figura 4:
• V0: Módulo de la velocidad inicial del proyectil.
• θ: Ángulo de lanzamiento del proyectil.
• (X0, Y0): Posición inicial del proyectil
Figura 1) Proyectil lanzado por un cañon
Figura 4) Modelo General del lanzamiento de proyectiles.
Figura 2) Principio de independencia de los
movimientos.
El modelo que mostraremos a continuación
supone que no existe resistencia del aire y que la
tierra es plana (sin curvatura). En la realidad,
existe resistencia del aire, lo que hace que el
alcance del proyectil sea inferior y que su
movimiento no sea rigurosamente parabólico,
como se muestra en la figura 3. Además, en
casos como el vuelo de misiles de largo alcance,
Figura 3) Efecto de la resistencia del aire
la curvatura de la Tierra es un factor importante a
considerar. El modelo que analizaremos a
continuación es válido y útil para lanzamientos de cuerpos pequeños y en cortas distancias.
En este modelo, el vector posición se puede descomponer en dos componentes
• Componente horizontal: Movimiento rectilíneo con velocidad constante
X(t) = X 0 + V0 ⋅ cos (θ ) ⋅ t [1]
•
Componente vertical: Movimiento vertical con aceleración conocida (g)
Y(t) = Y0 + V0 ⋅ sin (θ ) ⋅ t −
1 2
gt [2]
2
Las ecuaciones [1] y [2] conforman un sistema de ecuaciones paramétricas. Despejando t de la
ecuación [1]:
t=
X − X0
[3]
V0 ⋅ cos (θ )
Reemplazando [3] en [2].
2
Y = Y0 + V0 ⋅ sin(θ ) ⋅
X − X0
1  X − X0 
 [4]
− g 
V0 ⋅ cos (θ ) 2  V0 ⋅ cos (θ ) 
Ordenando la expresión, se obtiene la ecuación de una parábola
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g
2
Y ( X ) = Y0 + tg (θ ) ⋅ ( X − X 0 ) −
⋅ ( X − X 0 ) [5]
2 ⋅ V02 ⋅ cos 2 (θ )
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Hitos relevantes del movimiento de un proyectil
El vector velocidad del proyectil se puede obtener derivando las expresiones [1] y [2] con respecto al
tiempo. Así
1
r
V(t) = V X (t)xˆ + VY (t)yˆ [6]
2
Donde
dX
= V0 ⋅ cos (θ ) [7a]
dt
dY
= V0 ⋅ sin(θ ) − g ⋅ t [7b]
Vy (t) =
dt
3
V X (t) =
De ls ecuaciones [7a] y [7b], se concluye que la mientras la componente vertical de la velocidad
cambia con el tiempo, la componente horizontal se mantiene constante durante toda la trayectoria.
Figura 6) Hitos relevantes en el lanzamiento de proyectiles. (1) Altura máxima; (2) Alcance a
nivel de lanzamiento; (3) Alcance a nivel de suelo.
Con referencia a la figura 6, se puede establecer los siguientes hitos relevantes
La magnitud del vector velocidad está dada por
r
V(t) = V X2 (t ) + VY2 (t ) =
(1) Altura máxima
(V0 cos (θ ))2 + (V0 sin(θ ) − gt )2
[8]
De [8], se aprecia que no existe ningún
punto de la trayectoria en el cual la
magnitud de la velocidad sea cero. El
mínimo de magnitud se alcanza en el punto
de altura máxima, en el cual la componente
vertical de la velocidad se hace cero (VY(t)
=
0),
y
por
lo
tanto
r
V(t) = V X (t ) = V0 cos (θ )
En la posición de altura máxima, la componente vertical de la velocida es nula, es decir VY(t) = 0
Se define τmax como el instante, a partir de t=0, en el cual se alcanza la altura máxima. Usando la
condición de velocidad:
Vy (τ max ) = V0 ⋅ sin(θ ) − g ⋅ τ max = 0 ⇒ τ max =
V0 ⋅ sen(θ )
[10]
g
Hmax es la altura máxima que puede alcanzar el proyectil.
H max = Y (τ max ) = Y0 + V0 ⋅ sin(θ ) ⋅ τ max −
Figura 5) Vector velocidad en el lanzamiento de
proyectil.
El ángulo del vector velocidad en función
del tiempo está dado por
 V ⋅ sin(θ ) − g ⋅ t 
 V (t ) 
 [9]
θ (t ) = atan Y  = atan 0
 V X (t ) 
 V0 ⋅ cos (θ ) 
En la figura 5 se aprecia cómo cambia el vector velocidad durante el desarrollo del movimiento.
= Y0 +
V ⋅ sen(θ ) 1  V0 ⋅ sen(θ ) 
1 2

− g 
gτ max = Y0 + V0 ⋅ sin(θ ) ⋅ 0
2
g
2 
g

V02 sen 2 (θ ) V02 sen 2 (θ )
V 2 sen 2 (θ )
−
= Y0 + 0
g
2g
2g
[11]
(2) Alcance a Nivel de Lanzamiento
En esta posición, la posición vertical del proyectil es igual a la altura inicial, es decir, Y(t) = Y0
Se define τ’ como el tiempo que se demora el proyectil, a partir de t=0, en volver a pasar por su
nivel de lanzamiento. Reemplazando la condición Y(t) = Y0:
2
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1
1
Y (τ ' ) = Y0 + V0 ⋅ sin(θ ) ⋅ τ ' − gτ ' 2 = Y0 ⇒ V0 ⋅ sin (θ ) ⋅ τ ' − gτ ' 2 = 0
2
2
τ
' = 0 (lanzamiento)

1



⇒ τ ' ⋅V0 ⋅ sin (θ ) − gτ '  = 0 ⇒ 
[12]
( ) 1
2


V0 ⋅ sin θ − 2 gτ ' = 0 (solución)
2V0 sen (θ )
⇒ τ ' = 2τ max =
g
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D' ' = X (τ ' ' ) = X 0 + V0 ⋅ cos (θ ) ⋅ τ ' ' = X 0 + V0 ⋅ cos (θ )
= X 0 + V0 ⋅ cos (θ )
V0 ⋅ sin (θ ) + V02 ⋅ sin 2 (θ ) + 2 ⋅ g ⋅ Y0
V0 ⋅ sin (θ ) + V ⋅ sin (θ ) + 2 ⋅ g ⋅ Y0
2
0
g
2
g
= X0 +

V sen(2θ ) 
2gY0

1 + 1 +
2
2

2g
V0 sen (θ ) 

2
0
[15]
Para el caso Y0 = 0; τ’’ → τ y D’’ → Dmax
Por otra parte, el alcance máximo Dmax es la posición horizontal del proyectil cuando este vuelve a
pasar por su nivel de lanzamiento
Dmax = X (τ ' ) = X 0 + V0 ⋅ cos (θ ) ⋅ τ ' = X 0 + V0 ⋅ cos (θ )
2V0 sen (θ )
V 2 sen(2θ )
= X0 + 0
[13]
g
g
Alcance máximo de un proyectil
Considere un proyectil que se lanza con un
ángulo inicial θ. El alcance máximo del
proyectil está dado por:
(3) Alcance a Nivel de Suelo
En esta posición, el proyectil llega al suelo, es decir, Y(t) = 0
Se define τ’’ como el tiempo que se demora el proyectil, a partir de t=0, en llegar al suelo.
Reemplazando la condición Y(t) = 0:
1
1
gτ ' ' 2 = 0 ⇒ gτ ' ' 2 -V0 ⋅ sin(θ ) ⋅ τ ' '-Y0 = 0
2
2
1
2
2
V0 ⋅ sin(θ ) ± V0 ⋅ sin (θ ) + 4 ⋅ ⋅ g ⋅ Y0
V ⋅ sin(θ ) ± V02 ⋅ sin 2 (θ ) + 2 ⋅ g ⋅ Y0
2
⇒ τ' ' =
= 0
1
g
2 ⋅ ⋅g
2

V ⋅ sin(θ ) − V02 ⋅ sin 2 (θ ) + 2 ⋅ g ⋅ Y0
τ ' ' = 0
(no válida físicamente)

g
=
V ⋅ sin (θ ) + V02 ⋅ sin 2 (θ ) + 2 ⋅ g ⋅ Y0

(solución)
τ' ' = 0

g

Y (τ ' ' ) = Y0 + V0 ⋅ sin(θ ) ⋅ τ ' ' −
⇒ τ' ' =
V0 ⋅ sin(θ ) + V02 ⋅ sin 2 (θ ) + 2 ⋅ g ⋅ Y0
g

V sen(θ ) 
2gY0

= 0
1+ 1+ 2
2

g
V0 sen (θ ) 

[14]
Por otra parte, la posición horizontal D’’ del proyectil cuando este choca con el suelo es:
Dmax = X 0 +
V02 sen (2θ )
[16]
g
Supongamos que se lanza otro proyectil con
la misma velocidad inicial y desde la misma
posición horizontal, pero con un ángulo de
lanzamiento 90 - θ. El alcance máximo de
este proyectil está dado por:
Dmax1 = X 0 +
Figura 7) Alcance máximo de un proyectil
V02 sen (2 [90 − θ ])
V 2 sen(180 − 2θ )
= X0 + 0
g
g
= X0 +
V02 [sen(180 ) ⋅ cos (2θ ) − cos (180 ) ⋅ sen(2θ )]
g
= X0 +
V02 sen (2θ )
= Dmax
g
[17]
Así, se obtiene el mismo alcance máximo horizontal con dos ángulos de lanzamiento distintos, cuya
suma es de 90º.
Además, derivando [16] con respecto a θ e igualando a cero:
dDmax 2V02 cos (2θ )
=
= 0 ⇒ cos (2θ ) = 0 ⇒ 2θ = 90º ⇒ θ = 45º [18]
dθ
g
Sacando la segunda derivada de Dmax con respecto a θ y reemplazando en θ = 45º:
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d Dmax
(45º ) = − 4V0 sen(2 ⋅ 45º ) = − 4V0 sen(90º ) = − 4V0 [19]
2
g
g
g
dθ
2
Como la segunda derivada da negativa, el ángulo θ= 45º máximiza el alcance máximo de un
V2
proyectil. Así, para ese ángulo, el proyectil tiene una alcance igual a X 0 + 0 .
g