Download Polinomios: operaciones (división)

1
Matemáticas 0. Álgebra elemental
OPERACIONES CON POLINOMIOS: DIVISIÓN
Para dividir polinomios se utilizan las propiedades de la división de números y de la potenciación.
División de monomios
Se basa en las operaciones con potencias:
Ejemplos:
15 x 4
a)
= 5x 2
2
3x
b)
xn
= x n−m
m
x
4x3
= −2 x
− 2x 2
c)
3x5 3
=
4 x5 4
División de polinomios
Para dividir polinomios hay que escribirlos en orden decreciente; a continuación se hace el cociente
entre los términos principales... Se recuerda el algoritmo con el siguiente ejemplo, siendo el
dividendo D( x) = 6 x 4 − 19 x 3 + 25 x − 8 , y el divisor d ( x) = 2 x 2 − x .
6 x 4 − 19 x3
+ 25 x − 8
− 6 x 4 + 3x3
2 x2 − x
3x 2 − 8 x − 4
− 16 x3
6 x 4 / 2 x 2 = 3x 2
+ 25 x − 8
−16 x3 / 2 x 2 =
−8 x
+ 16 x3 − 8 x 2
− 8 x 2 + 25 x − 8
+ 8x2 − 4 x
−8 x 2 / 2 x 2 =
−4
21x − 8
Observación:
La división de polinomios se emplea para poder expresar un cociente de polinomios (una fracción
algebraica) en otra forma equivalente, si conviene. Esto se consigue aplicando la conocida regla de
la división, que dice:
Dividendo
resto
Dividendo = divisor · cociente + resto ⇔
= cociente +
divisor
divisor
En el caso de polinomios, puede escribirse:
D( x)
r ( x)
D( x) = d ( x)·c( x) + r ( x) ⇔
= c( x) +
d ( x)
d ( x)
La segunda igualdad se emplea con relativa frecuencia en Matemáticas.
Ejemplo:
La división entre D( x) = 6 x 4 − 19 x 3 + 25 x − 8 y d ( x) = 2 x 2 − x da de cociente c( x) = 3 x 2 − 8 x − 4 ,
y de resto r ( x) = 21x − 8 ; entonces:
(2 x 2 − x)·(3 x 2 − 8 x − 4) + (21x − 8) = 6 x 4 − 19 x 2 + 25 x − 8
y también:
6 x 4 − 19 x 2 + 25 x − 8
21x − 8
= 3x 2 − 8 x − 4 + 2
2
2x − x
2x − x
www.matematicasjmmm.com
José María Martínez Mediano
2
Matemáticas 0. Álgebra elemental
Pequeños retos
1. Divide los siguientes monomios:
12 x 4
8x2
18 x 2
a)
b)
c) 2
3x
4x 2
3x
18 x 5
d)
4x2
2. Halla las siguientes divisiones de polinomios:
a) Dividendo: D( x) = 8 x 4 − 22 x 2 + 27 x − 18 ; divisor: d ( x) = 2 x 2 + x .
b) x 4 + 5 x 3 − 7 x − 2 : x 2 − 2 x + 2 .
c) D( x) = 6 x 4 − 19 x 3 + 25 x − 8 entre d ( x) = x − 2 .
(
)(
)
Soluciones:
9x3
8
. d)
.
2
3
2. a) c( x) = 4 x 2 − 2 x − 10 ; r ( x) = 37 x − 18 . b) c( x) = x 2 + 7 x + 12 ; r ( x=
) 3 x − 26 .
3
2
c) c( x) = 6 x − 7 x − 14 x − 3 ; r = −14 .
1. a) 6x . b) 3x 2 . c)
www.matematicasjmmm.com
José María Martínez Mediano