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ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
OPERACIONES CON POLINIMIOS
OPERACIONES CON POLINOMIOS
1.
SUMA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS.
En la práctica para sumar dos o más polinomios suelen colocarse unos debajo de los otros,
de tal modo que los términos semejantes queden en columna, para facilitar la reducción de
éstos, separados unos de otros con sus respectivos signos.
Ejemplos: Hallar las sumas:
a)
3a + 2b − c con 2a + 3b + c . De acuerdo con lo indicado se tiene.
3a + 2b − c
2a + 3b + c
5a + 5b + 0
b)
7a − 4b + 5c con − 7a + 4b − 6c . Ordenando:
7a − 4b + 5c
− 7a + 4b − 6c
+0
0
c)
−c
9x − 3y + 5 con − x − y + 4 y − 5x + 4y − 9 . Ordenando:
9x − 3y + 5
−x− y+4
− 5x + 4y − 9
+0 +0
3x
d)
1
3
1
2
x +
x
2
2
0
1
2
2
x +
1
xy con
3
2
+
1
xy
3
+
1
1
xy +
3
1
2
1
2
1
2
y . Ordenando:
4
+0
+
xy
xy +
1
y
2
4
xy +
1
y
2
4
Simplificando:
1
2
e)
 2 + 3  xy + 1 y 2 = 1 x 2 + 5 xy + 1 y 2

4
2
6
4
 6 
x +
2
5ab − 3bc + 4cd , 2bc + 2cd − 3de , 4bc − 2ab + 3de y − 3bc − 6cd − ab . Ordenando:
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
3-1
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
OPERACIONES CON POLINIMIOS
5ab − 3bc + 4cd + 0
+ 2bc + 2cd − 3de
0
− 2ab + 4bc + 0
+ 3de
− ab − 3bc − 6cd + 0
+0
2ab
f)
+0
(a − b) − (b + c − d) + (b + c − d) + (2b − a) = a − b − b − c + d + b + c − d + 2b − a = b
2
g)
+0
2
2
2
2
2
2
i)
2
2
2
2
2
2
2
2.
2
2
2
2
2
2
2
a + 2b − 6a − [3b − 6a + 6b] = a + 2b − 6a − [ −6a + 9b] = a + 2b − 6a + 6a − 9b =
2
= a − 7b
(x + y − z) − (x − y + z) + ( − x + y + z) − ( − x − y + z) =
= x + y − z − x + y − z − x + y + z + x + y − z = 4y − 2z
3
j)
2
= a − b + c + b − a − c − c − a + b = −a + b − c
2
h)
2
a − (b − c ) + b − (a + c ) − c − (a − b ) =
2
3
2
3
2
(4x − 2x + x + 1) − (3x − x − x − 7) − (x − 4x + 2x + 8) =
3
= 4x − 2x
2
+ x + 1 − 3x 3 + x 2 + x + 7 − x 3 + 4x 2 − 2x − 8 = 3x 2
RESTA ALGEBRAICA DE POLINOMIOS
Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los
términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo escribiremos el sustraendo
cambiándose el signo a todos sus términos.
La resta se realiza de igual manera que la suma de polinomios.
Ejemplos:
a)
De a + b restar a − b . Ordenando:
a +b
b)
minuendo
− a +b
sustraendo
+ 2b
diferencia
De 8a + 3b restar − 3a + 4 . Ordenando:
8a + 3b
3a
minuendo
−4
11a + 3b − 4
c)
sustraendo
diferencia
De 4x − 3y − 2z restar − 3x + 2y + 7z . Ordenando, se tiene:
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3-2
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
3.
OPERACIONES CON POLINIMIOS
4x − 3y − 2z
minuendo
3x − 2y − 7z
sustraendo
7x − 5y − 9z
diferencia
MULTIPLICACIÓN
Multiplicación de monomios. Para multiplicar un monomio por otro, se empieza por aplicar
la regla de los signos para la multiplicación, después se multiplican los coeficientes y finalmente
las literales; si éstas son todas diferentes se colocan unas a continuación de las otras con sus
propios exponentes y sin signos intermedios. Cuando intervienen potencias con la misma base, se
conserva la misma base y se suman los exponentes.
Ejemplos:
2
2
a)
(ab)(ab) = a b
c)
( −3ax)(5ay) = −15a xy
e)
(6x y z )( −4xyz ) = −24x y z
3
2
2
4
3
3
5
7
3
4
3
2
3
4
 − 1 xy 2 (5xz ) = − 5 x 2 y 2 z


4
 4

d)
4
2
( −9a bc )( −8d e g) = 72a bc d e g
b)
f)
(3a
x +2
)(5a
x+7
) = 15a
2x +9
Multiplicación de un polinomio por un monomio. Para multiplicar un polinomio por un
monomio, se multiplica éste por todos y cada uno de los términos del polinomio, tomando en
cuenta la regla de los signos, y se suman algebraicamente los resultados.
Ejemplos:
3
2
2
5
4
3
(3x − x + 2x − 4)( −2x ) = −6x + 2x
b)
(5a b c − 12ab c − 6a c )( −3abc) = −15a b c + 36a b c + 18a bc
c)
(a b + 3a
4
m
2
3
n
5
m −1 n + 2
b
5
−a
m −2
− 4x + 8x
2
a)
2
b
5
n +3
m
3
)(4a b ) = 4a
3
2m
b
4
n +3
2
+ 12a
6
2
6
2m −1 n +5
b
3
− 4a 2m − 2b n + 6
Multiplicación de polinomios. Para multiplicar un polinomio por otro, se multiplican todos y
cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, teniendo
en cuenta la regla de los signos, y se suman algebraicamente los resultados; finalmente se hace la
correspondiente reducción de términos semejantes.
Ejemplos:
3
a)
2
− 2x + 5) = x 5 − 2x 4 + 5x 3 + 2x 4 − 4x 3 + 10x 2 − x 3 + 2x 2 − 5x =
5
2
= x + 12x − 5x
2
b)
2
(x + 2x − x)(x
2
2
2
4
2
2
3
4
2
2
4
2
2
4
3
3
3
2
2
(x + y − xy)(x + y + xy) = x + x y + x y + x y + y + xy − x y − xy − x y =
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EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
=x +x y +y
3-3
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
4
OPERACIONES CON POLINIMIOS
3
2
2
2
2
(a + a b + a b )(3a − 2ab + b ) =
c)
6
5
4 2
5
4
2
3
3
4 2
3
3
2
4
= 3a − 2a b + a b + 3a b − 2a b + a b + 3a b − 2a b + a b =
6
5
4
2
3
3
2
= 3a + a b + 2a b − a b + a b
4
2
d)
4.
(x − a)(x − b)(x − c) = (x − bx − ax + ab)(x − c) =
3
2
2
2
= x − bx − ax + abx − cx + bcx + acx − abc
DIVISIÓN
División de un monomio entre otro monomio. Para dividir un monomio entre otro, primero
se aplica la regla de los signos para la división, después se dividen entre si los coeficientes y
finalmente las literales. Cuando éstas son diferentes pueden conservarse en el mismo lugar, pero
cuando se trata de potencias con la misma base se restan los exponentes.
Ejemplos:
5
a)
8
2
− 45a b c xy
2
2
3
3
=−
4
9a b cd e
3
b)
4
d e
= −2ab
2
− 2a b
− 20mx y
4xy
m
d)
3
2
4a b
2
c)
6
5a b cxy
= −5mx
3
n
−x y z
2
3
3xy z
a
=−
3
1
x
m −1 n −2
y
z
a −3
3
División de un polinomio entre un monomio. Se dividen todos los términos del polinomio
entre el monomio, separando los cocientes parciales con sus propios signos.
Ejemplos:
2
a)
2
3a − 6a b + 9ab
2
= a − 2ab + 3b
3a
8
b)
8
6
6
2
2
6
5 8
4
4
5
4
2
2
2a
m
− 3a
m +2
− 3a
+ 6a
3
3
3
3
m+4
3
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3
= 2a b − a b −
84x y z − 21x y z − 49x y z
7x y z
d)
3
3
3a b
c)
2
6a b − 3a b − a b
2
=−
2
3
a
m −3
1
3
4
3 5
2
2
= 12y z − 3x y − 7xyz
+a
m−1
− 2a
m +1
3-4
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
e)
4a
x+4
b
m −1
OPERACIONES CON POLINIMIOS
− 6a
x +3
− 2a
b
x+2
m −2
b
+ 8a
x +2
b
m −3
m− 4
2
3
2
= −2a b + 3ab − 4b
División de un polinomio entre otro polinomio. Sobre la base de la división aritmética, se
dará un método para la división entre polinomios.
111
Se ordenan los términos del numerador y del denominador con relación a una letra, en
orden de potencias decrecientes.
211
Se divide el primer término del numerador entre el primer término del denominador para
obtener el primer término del cociente.
311
Se multiplica el cociente obtenido por cada término del denominador, colocando el
resultado en columna (debajo del término semejante en caso de existir, si no tiene semejante
en el numerador se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación de
potencias), para poder sustraerlo del numerador al producto se le cambia de signo.
411
Considerar el residuo obtenido como un nuevo numerador y repetir los pasos 211 y 311 para
encontrar el segundo término del cociente y el siguiente residuo.
511
Continuar el proceso hasta obtener un residuo que sea de menor grado que el grado del
denominador. Si el residuo es cero, la división es exacta, y se puede expresar como:
numerador
denominador
= cociente =
dividendo
divisor
Si el residuo es diferente de cero, se puede expresar como:
numerador
denominador
= cociente +
residuo
denominador
Ejemplos
a)
Dividir a 2 + 4ab + 3b 2 entre a + b . Podemos expresarlo como:
numerador
0
2
a + 4ab + 3b
a+b
2
=
dividendo
denominado r
o
divisor
Para la solución hacemos uso del símbolo
tendremos:
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,llamado galera, por lo que
3-5
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
OPERACIONES CON POLINIMIOS
a + 3b
denominador
o
divisor
a+b
2
cociente
2
a + 4ab + 3b
-a 2 - ab
0 + 3ab + 3b 2
- 3ab - 3b 2
0 + 0
numerador
o
dividendo
Residuo =
Es una división exacta
b)
Dividir: 3x 2 + 2x − 8 entre x + 2 . Siguiendo los pasos de ejemplo anterior, se tiene:
3x – 4
x+2
c)
3x 2 + 2x – 8
- 3x 2 - 6x
0 - 4x – 8
+ 4x + 8
0 = residuo; división exacta
Dividir 31x 2 − 9x + 35x 4 − 9x 2 entre 5x 2 + 3x . Arreglando dividendo y divisor en
orden decreciente de sus potencias tenemos:
7x 2 +2x - 3
5x 2 + 3x
d)
35x 4 + 31x 3 – 9x 2 – 9x
- 35x 4 – 21x 3
0 + 10x 3 – 9x 2 – 9x
- 10x 3 – 6x 2
0 - 15x 2 – 9x
+ 15x 2 + 9x
0
división exacta
Dividir 5a 4 − 2a + a 2 − 3 entre a − 1 . Ordenando se tiene:
5a 3 + 5a 2 + 6a + 4
a–1
5a 4 + 0a 3 + a 2 – 2a – 3
-5a 4 + 5a 3
0 + 5a 3 + a 2 – 2a - 3
- 5a 3 + 5a 2
0 + 6a 2 – 2a - 3
- 6a 2 + 6a
0 +4a - 3
- 4a + 4
0 +1=
División no
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3-6
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
OPERACIONES CON POLINIMIOS
Por lo que, también se puede expresar como:
5a
4
2
+ a − 2a − 3
a −1
e)
 1 

 a −1
= 5a + 5a + 6a + 4 + 
3
2
Dividir x 3 y + x 2 y 2 − 5xy 3 + y 4 entre x − y
i)
Ordenando con respecto a x; tenemos:
x 2y + 2xy2 – 3y3
x – y x 3y + x 2y2 – 5xy3 + y4
- x 3y + x 2y2
0 + 2x 2y2 – 5xy3 + y4
- 2x 2y2 + 2xy3
0 - 3xy3 + y4
+ 3xy3 - 3y4
0 - 2y4
ii)
División no exacta
Ordenando con respecto a y; tenemos :
-y3 + 4xy2 + 3x 2y + 2x 3
- y + x y4 –5xy3 + x 2y2 + x 3y
- y4 + xy3
0 – 4xy3 + x 2y2 + x 3 y
+ 4xy3 - 4x 2y2
0 - 3x 2y2 + x 3y
+ 3x 2y2 – 3x 3y
0 - 2x 3y
+ 2x 3y - 2x 4
- 2x 4 División no exacta
f)
Hacer la división de a 4 − a 2 − 2a − 1 entre a 2 + a + 1 . Ordenando:
a2 – a – 1
a2 + a + 1
a 4 – 0a 3 – a 2 – 2a- 1
- a4 – a3 – a2
0 – a 3 – 2a 2 – 2a – 1
+ a3 + a2 + a
0 – a2 – a – 1
+ a2 + a + 1
0
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División exacta
3-7
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
g)
OPERACIONES CON POLINIMIOS
Dividir x 6 + 6x 3 − 2x 5 − 7x 2 − 4x + 6 entre x 4 − 3x 2 + 2 . Ordenando y dividiendo:
x 2 – 2x + 3
x 4 – 3x 2 + 2
h)
x 6 – 2x 5 + 0x 4 + 6x 3 – 7x 2 – 4x + 6
- x 6 + 0 + 3x 4 + 0 – 2x 2
0 – 2x 5 + 3x 4 + 6x 3 – 9x 2 – 4x + 6
+ 2x 5 + 0 – 6x 3 + 0 + 4x
0 + 3x 4 + 0 – 9x 2 + 0 + 6
- 3x 4 + 0 + 9x 2 + 0 – 6
0
División exacta
Efectuar la siguiente división: 2x − 3 7x 3 − 3x 4 + 2x − 3 . Ordenando tenemos:
−
2x − 3
3
2
3
x +
5
4
2
x +
4
15
x+
8
3
61
16
2
− 3x + 7x + 0x + 2x − 3
+
6
2
0
4
x −
+
−
9
2
5
x
3
3
2
x + 0x + 2x − 3
2
10
4
0
3
x +
+
15
15
4
−
x
2
4
2
x + 2x − 3
30
8
2
x +
+
0
−
45
8
61
8
122
16
0
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x
x −3
x+
+
183
16
135
División no exacta
16
3-8
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
i)
OPERACIONES CON POLINIMIOS
Efectuar la siguiente división:
1
1
3
j)
a+
1
2
2
1
b
6
1
1
a−
b
3
2
a +
5
ab −
1
b
2
36
6
1
2
− a − ab
6
4
1
1 2
0
− ab − b
9
6
1
1 2
+ ab + b
9
6
0
División exacta
Hacer la división que se indica:
2
a − 5ab + 6b
2
2a − 3ab + 4b
2
4
3
2
2
2
4
3
2
− 2a + 3a b − 4a b
4
4
2
3
2
2
3
3
2
2
3
− 10a b + 27a b − 38ab + 24b
0
+ 10a b − 15a b + 20ab
2
2
3
2
2
+ 18ab 3 − 24b 4
+ 12a b − 18ab + 24b
0
- 12a b
0
5.
3
2a − 13a b + 31a b − 38ab + 24b
4
División exacta
DIVISIBILIDAD DE UN POLINOMIO EN x ENTRE UN BINOMIO DE LA FORMA x - a
Se llama polinomio en x aquel en que la literal de este nombre está afectada exclusivamente
de exponentes enteros y positivos en todos los términos en que participan, en los cuales de una vez
establecemos cierto orden, porque su manejo resulta mas sencillo si de preferencia están ordenados
conforme a las potencias decrecientes de x o de y ó de z, si tuviéramos que emplear estas literales.
Ejemplos:
6
5
1)
5x − 4x + 3x
2)
x + 8x − 7
3)
x −8
4
4
3
2
+ 8x + 7x − 13x − 6
2
3
Si una expresión no satisface el requisito de que los exponentes de la literal fundamental,
sean enteros y positivos, no debe llamarse polinomio, sino simplemente suma de términos, como es
1
el caso del siguiente ejemplo: 2x 3 − 3x 2 − 4x 2 + 3
Al referirnos a la división de un polinomio en x entre un binomio de la forma x − a ;
previamente debemos aclarar que dicho binomio siempre tiene la forma x − a , nada más que el
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EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
3-9
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
OPERACIONES CON POLINIMIOS
número a por si solo, puede ser positivo o negativo y esto origina que a veces el signo de liga entre
los dos términos del binomio sea positivo (+) como se ve a continuación.
x − ( +2) = x − 2
x − ( − 3) = x + 3
;
Según lo anterior, dado un binomio de esta naturaleza, el número a siempre debe
considerarse con signo contrario al que tenga en el binomio.
El teorema del residuo. Expresa que el residuo resultante al dividir un polinomio en x entre un
binomio de la forma x − a puede calcularse, sin necesidad de hacer la división; si en el
polinomio sustituimos en el lugar de x el número a, precisamente tomado con signo contrario
al que tenga el binomio.
Demostración. Para su demostración, supondremos que p(x) simboliza a cualquier polinomio en x;
que Q(x) simboliza, también, al polinomio en x que resulta como cociente al dividir el
polinomio en x entre el binomio x − a , y que R es el residuo correspondiente de dicha
división.
De acuerdo con esto tendremos:
p(x)
x −a
= Q(x) +
R
x −a
Despejando:
 R (x − a) = Q(x)(x − a) + R

 x−a
p(x) = Q(x)(x − a) + 
Si en esta última expresión sustituimos a x por (+ a), obtendremos:
p( +a) = Q( + a)(a − a) + R = 0 + R
∴ R = p(a)
Queda demostrado el teorema del residuo, y que es de gran interés, porque así podremos
averiguar anticipadamente si una división de este tipo, va a ser exacta, cuando el residuo calculado
valga cero.
Ejemplos:
1)
Aplicando el teorema del residuo, diga si la siguiente división es exacta o no.
6
5
4
3
2
5x − 4x + 3x + 8x + 7x − 13x − 6
x +2
En el polinomio en x se sustituye el número a, tomado con signo contrario al que tenga en el
binomio, es decir (- 2)
6
5
4
3
2
R = p(a) = p( −2) = 5( −2) − 4( −2) + 3(− 2) + 8(− 2) + 7( −2) − 13(−2) − 6 =
= 5(64) − 4( −32) + 3(16) + 8(− 8) + 7(4) + 26 − 6 = 320 + 128 + 48 − 64 + 28 + 26 − 6 =
= 550 − 70 = 480
∴ R = 480
Sin hacer la división, el residuo es 480. Para comprobar efectuamos la división:
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3-10
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
OPERACIONES CON POLINIMIOS
5x 5-14x 4+31x 3-54x 2+115x-243
x+2 5x 6 -4x 5+3x 4 -8x 3 +7x 2 -13x -6
-5x 6-10x 5
0 -14x 5+3x 4
+14x 5+28x 4
0 +31x 4 +8x 3
-31x 4-62x 3
0 -54x 3 +7x 2
+54x 3+108x 2
0 +115x 2 -13x
-115x 2-230x
0 -243x
-6
+243x+486
0 +480 = Residuo = 480
2)
Aplicando el teorema del residuo, decir si la división siguiente es exacta o no.
6
5
4
3
2
5x − 4x + 3x + 8x + 7x − 13x − 6
x −1
Aplicando el teorema del residuo tenemos.
6
5
4
3
2
R = p(a) = p(1) = 5(1) − 4(1) + 3(1) + 8(1) + 7(1) − 13(1) − 6 =
= 5 − 4 + 3 + 8 + 7 − 13 − 6 = 23 − 23 = 0
∴ R=0
Comprobación:
5x 5+x 4+4x 3+12x 2+19x+6
x-1 5x 6 -4x 5+3x 4 +8x 3 +7x 2 -13x-6
-5x 6+5x 5
0 +x 5+3x 4
-x 5+x 4
0+4x 4 +8x 3
-4x 4 +4x 3
0 +12x 3+7x 2
-12x 3+12x 2
0 +19x 2-13x
-19x 2+19x
0
+6x-6
-6x+6
0
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
3-11
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
6.
OPERACIONES CON POLINIMIOS
DIVISIÓN SINTÉTICA O SIMPLIFICADA.
Tiene por objeto determinar el cociente de un polinomio en x entre un binomio de la forma
x − a , de una manera sencilla y rápida, aplicando los siguientes pasos, en el ejemplo que ya se ha
visto.
6
5
4
3
2
5x − 4x + 3x + 8x + 7x − 13x − 6
x −1
= 5x
5
4
3
2
+ 1x + 4x + 12x + 19x + 6
Primero.
Se divide el primer término del dividendo (5x6) entre el primer término del divisor
(x), para obtener el primer término del cociente (5x5)
Segundo.
Se multiplica el coeficiente del primer término del cociente (5) por el segundo
término del divisor tomado con signo contrario al que tenga el binomio (+1), y el
producto resultante (+ 5) se suma algebraicamente al coeficiente (-4) del término de
grado inmediato inferior en el dividendo; el resultado obtenido (+1) será al
coeficiente del segundo término del cociente el cual se escribe en el lugar
respectivo acompañado de la literal x afectada de un exponente una unidad menor,
respecto del término anterior(+1x4).
Tercero.
El nuevo coeficiente (+1) se vuelve a multiplicar por el segundo término del divisor
con signo contrario y el producto (+1), nuevamente se suma al coeficiente (+3) del
siguiente término del dividendo, obteniéndose (+4) que es el coeficiente del tercer
término del cociente, al que se volverá acompañar de la literal x con un exponente
otra unidad menor(+4x3)
Cuarto.
Y así sucesivamente.
Ejemplos:
4
1)
3
2
x − 2x − 8x + 14x + 4
x −2
3
2
3
= x + 0x − 8x − 2 = x − 8x − 2
Aplicando el teorema del residuo:
R = p( +2) = 16 − 16 − 32 + 28 + 4 = 0
5
2)
∴ R=0
División exacta
2
9x − 8x − 15x + 2
x +1
Completando el dividendo y dividiendo, se tiene:
9x
5
4
3
2
+ 0x + 0x − 8x − 15x + 2
x +1
5
3)
4
3
2
= 9x − 9x + 9x − 17x + 2
2
3x + 4x + 80
x+2
Completando el dividendo y dividiendo, se tiene:
5
4
3
2
3x + 0x + 0x + 4x + 0x + 80
x+2
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
4
3
= 3x − 6x + 12x
2
− 20x + 40
3-12
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
4)
2x
4
3
+ 17x − 68x − 32
x+
5
5)
8.
OPERACIONES CON POLINIMIOS
1
4
=
3
2
2x + 17x + 0x − 68x − 32
x+
2
4
2
3
3
2
4
1
3
2
= 2x + 16x − 8x − 64
2
x − 3bx + 5b x − 8b x + 6b x − 4b
5
4
3
2
2
3
= x − bx + 3b x − 2b x + 2b
x − 2b
4
PRODUCTOS NOTABLES.
Se llama así a ciertos productos que cumplen con reglas fijas, cuyo resultado puede ser
escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación.
Existen varios tipos de productos notables, algunos de los cuales se muestran a
continuación.
1.
Cuadrado de la suma de dos cantidades (cuadrado de un binomio) Si elevamos, la suma
a + b al cuadrado, equivale a multiplicar por si mismo ese binomio es decir que:
2
(a + b) = (a + b)(a + b)
Desarrollando este producto tendremos:
a+
a+
a2 +
+
a2 +
b
b
ab
ab + b 2
2ab + b 2
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
0 sea que;
Cuyo resultado se puede expresar: El cuadrado de la suma de dos términos es igual al
cuadrado del primer término más el doble producto de los dos términos más el cuadrado
del segundo término.
Ejemplos:
2
2
2
2
1)
(x + 4)
= x + 2(x)(4) + (4) = x + 8x + 16
2)
(4a + 5b ) = (4a) + 2(4a)(5b ) + (5b ) = 16a + 40ab + 25b
3)
(3a + 5x ) = 9a + 30a x + 25x
4)
(7ax + 9y ) = 49a x + 126ax y + 81y
5)
(1 + 3x ) = 1 + 6x + 9x
6)
(a x + by ) = a x + 2a bxy + b y
2 2
2
2
3 2
4
4
2
2
5 2
2
2 2
2 2
2
4
2 2
2
2
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
3
8
4
2
2
4
6
5
10
4
2
2
2
4
3-13
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
2.
x
7)
(a + b
8)
(x
a+1
OPERACIONES CON POLINIMIOS
x +1 2
) =a
+y
x −2 2
2x
) =x
x
+ 2a b
2a +2
x +1
+ 2x
+b
a +1
y
2x + 2
x −2
+y
2x −4
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades. Elevar a − b al cuadrado, equivalente a
multiplicar ese binomio por si mismo o sea: (a − b) 2 = (a − b)(a − b)
Desarrollando tendremos:
aaa2 a2 -
b
b
ab
ab + b 2
2ab + b 2
o sea que
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2 . Ya que:
Por lo que:
(a − b)2 = (b − a) 2
(b − a) 2 = b 2 − 2ba + a 2
El cual se puede expresar como; El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al
cuadrado del primer término, menos el doble producto del primer término por el segundo
término, más el cuadrado del segundo término.
Ejemplos:
3.
2
= x 2 − 10x + 25
1)
(x − 5)
2)
(4a − 3b ) = 16a
3)
(10x
4)
(a
5)
(x
2
3 2
3
4
5 2
− 9xy ) = 100x
x−2
− 5)
a+1
− 3x
2
2
3
− 24a b + 9b
6
4
6
5
2
− 180x y + 81x y
10
= a 2x − 4 − 10a x −2 + 25
a −2 2
) =x
2a + 2
− 6x
a+1 a− 2
x
+ 9x
2a − 4
=x
2a + 2
− 6x
2a −1
+ 9x
2a − 4
Producto de la suma por la diferencia de dos términos. Sea el producto. (a + b)(a − b) , que
desarrollado nos da:
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
3-14
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
OPERACIONES CON POLINIMIOS
a+b
a-b
a 2 + ab
- ab + b 2
2
a + 0 + b2
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
Esto es:
Lo que significa que: el producto de binomios conjugados, es igual al cuadrado del primer
término menos el cuadrado del segundo término.
Ejemplos:
4.
2
2
1)
(a + x)(a − x) = a − x
2)
(x + 2)(x − 2) = x − 4
3)
(2a + 3b)(2a − 3b) = 4a − 9b
4)
(5a
5)
(2a − 1)(1 + 2a) = (2a − 1)(2a + 1) = 4a − 1
2
2
n +1
m
− 3a ) = 25a
2n + 2
− 9a
2
2m
2
Cubo de un binomio. Sea (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b) 2 (a + b) . Desarrollando:
a2 + 2ab + b 2
a +b
a3 + 2a2b + ab 2
+ a2b + 2ab 2 + b 3
3
a + 3a2b + 3ab 2 + b 3
Por lo tanto:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Que se puede enunciar como: El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término,
más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple
producto del primer término por el cuadrado del segundo término, más el cubo del
segundo término.
5.
Diferencia de un binomio al cubo. Se desarrolla análogamente a la suma, es decir el caso
anterior, por lo que, desarrollando:
a2 - 2ab + b 2
a -b
a3 - 2a2b + ab 2
- a2b + 2ab 2 - b 3
3
a - 3a2b + 3ab 2 - b 3
Por lo tanto:
(a − b)3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
3-15
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
OPERACIONES CON POLINIMIOS
Lo que nos dice que: El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer
término menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el
triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término, menos el cubo
del segundo término.
Ejemplos
6.
3
3
2
2
3
3
2
1)
(a + 1)
= (a) + 3(a) (1) + 3(a)(1) + (1) = a + 3a + 3a + 1
2)
(x − 2) = x − 3(x) (2) + 3(x)(2) − (2) = x − 6x + 12x − 8
3)
(2x + 3)
3
= (2x) + 3(2x) (3) + 3(2x)(3) + (3) = 8x + 36x + 54x + 27
4)
(4x + 5)
3
= (4x) + 3(4x) (5) + 3(4x)(5) + (5) = 64x + 240x
5)
(1 − a ) = 1 − 3(1) (a ) + 3(1)(a ) − (a ) = 1 − 3a + 3a − a
3
3
2 3
2
2
3
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
2 2
2
3
2 3
2
3
2
2
4
+ 300x + 125
6
Producto de dos binomios que tienen un término común. Sean los binomios: (a + b) y
(a + c) . Su producto es:
a+b
a+c
a2 + ab
+ ac + bc
a2 + ab + ac + bc = a2 + a(b + c) + bc
Por lo que: (a + b)(a + c) = a 2 + a(b + c) + bc
El cual se expresa como: el producto de dos binomios que tienen un término común es
igual al cuadrado del término común, más el producto del común por la suma de los no
comunes, más el producto de los no comunes.
Ejemplos:
7.
2
2
1)
(x + 7)(x − 2) = x + x(7 − 2) + (7)(− 2) = x + 5x − 14
2)
(x − 7)(x − 6) = x + x( −7 − 6) + ( − 7)(−6) = x − 13x + 42
3)
(4x + 7)(4x
2
2
2
2
2 2
2
+ 3) = (4x ) + 4x (7 + 3) + (7)(3) = 16x
4
2
+ 40x + 21
2
2
4)
(x + 2)(x + 5) = x + x(5 + 2) + (2)(5) = x + 7x + 10
Producto de dos binomios de la forma:
2
2
(mx + a)(nx + b) = mnx + anx + bmx + ab = mnx + (an + bm)x + ab
AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
3-16
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
OPERACIONES CON POLINIMIOS
Es decir: (mx + a)(nx + b) = mnx 2 + (an + bm)x + ab
Ejemplos:
2
1)
2)
8.
(4x − 3)(5x + 4) = (4)(5)x + [( −3)(5) + (4)(4)]x+ ( −3)(4) =
2
2
= 20x + ( − 15 + 16)x − 12 = 20x + x − 12
2
2
(2x − 4)(3x + 1) = 6x + ( − 12 + 2)x − 4 = 6x − 10x − 4
El trinomio cuadrado perfecto: (a + b + c) 2 = (a + b + c)(a + b + c) . Desarrollando las
operaciones indicadas se tiene.
a + b + c
a + b + c
a2 + ab + ac
+ ab +
b 2 + bc
+ ac
+ bc + c2
2
2
a + 2ab + 2ac + b + 2bc + c2
Ordenando tenemos:
(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
Ejemplo:
2
2
2
2
(1 + 2a + 3b) = (1) + (2a) + (3b) + 2(1)(2a)+ 2(1)(3b)+ 2(2a)(3b)=
2
2
= 1 + 4a + 9b + 4a + 6b + 12ab
9.
Suma de cubos. Dado el producto: (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) . Efectuando la operación de
multiplicación indicada tenemos:
a2 - ab + b 2
a +
b
a3 - a2b + ab 2
+ a2b - ab 2+ b 3
3
a + 0 + 0 + b3
Por lo que: (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3
10.
Diferencia de cubos. De la misma manera, desarrollando el producto (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) ,
tenemos: (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2b + ab2 − a 2 b − ab 2 − b 3 .
Es decir: (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3
Ejemplos:
1)
(2x + 6y)(4x
2
2
3
3
3
− 12xy + 36y ) = (2x) − (6y) = 8x − 216y
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3
3-17
ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR
2)
3xy(3x − 4y)(9x
OPERACIONES CON POLINIMIOS
2
2
3
3
3
3
+ 12xy + 16y ) = 3xy[(3x) − (4y) ] =
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EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS
4
= 3xy(27x − 64y ) = 81x y − 192xy
4
3-18