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PROBLEMAS ÚLTIMO SELECTIVO 1.- Sea 𝚫𝑨𝑩𝑪 un triángulo rectángulo con ángulo recto en 𝑨 y ∠𝑨𝑪𝑩 = 𝟑𝟎°. Sea 𝑴 el punto medio de 𝑩𝑪 y sea 𝑷 la circunferencia que pasa por 𝑨 y es tangente a 𝑩𝑪 en 𝑴 y 𝑸 la circunferencia que pasa por 𝑨, 𝑩 y 𝑪. La circunferencia 𝑷 corta a 𝑨𝑪 en 𝑹 y a la circunferencia 𝑸 en el punto 𝑺. Si 𝑫 es la intersección de la prolongación de 𝑺𝑹 con 𝑩𝑪, demuestra que 𝑺𝑫 es perpendicular a 𝑩𝑪. Solución: Como ∠𝐴𝐶𝐵 = 30° y el ángulo en 𝐴 es recto, entonces ∠𝐴𝐵𝐶 = 60°. Al ser 𝑀 el centro de 𝑄 se tiene que 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵, pues ambos segmentos son radios de 𝑄. Así, el triángulo Δ𝐴𝐵𝑀 es isósceles, con ∠𝐴𝐵𝑀 = ∠𝐵𝐴𝑀. Y como ∠𝐴𝐵𝑀 = ∠𝐴𝐵𝐶 = 60°, entonces el triángulo es en realidad equilátero y así, ∠𝐴𝑀𝐵 = 60°. Llamemos 𝑋 al centro de 𝑃 y 𝑍 a la intersección de 𝑋𝑀 con 𝐴𝐶. Como 𝑃 es tangente a 𝐵𝐶, entonces ∠𝑋𝑀𝐵 = ∠𝑋𝑀𝐶 = 90°. Luego, el ángulo ∠𝑋𝑀𝐴 = 30°. Dado que 𝑋𝑀 = 𝑋𝐴 por ser radios de 𝑃, se tiene que el triángulo Δ𝐴𝑀𝑋 es isósceles, con ∠𝑋𝐴𝑀 = ∠𝑋𝑀𝐴 = 30°. Por lo tanto, ∠𝐴𝑋𝑀 = 120°. Fijémonos en los triángulos Δ𝐴𝑋𝑀 y Δ𝑆𝑋𝑀. Se tiene que 𝐴𝑋 = 𝑆𝑋, pues son radios de 𝑃, 𝑀𝐴 = 𝑀𝑆, pues son radios de 𝑄 y comparten el lado 𝑋𝑀. Por lo tanto, son congruentes y entonces ∠𝑀𝑋𝑆 = 120° y también ∠𝐴𝑋𝑆 = 120°. Como el ángulo ∠𝑍𝑅𝑆 está inscrito en 𝑃 y el ángulo ∠𝐴𝑋𝑆 es el ángulo central que contiene el mismo arco y mide 120°, entonces ∠𝑍𝑅𝑆 = 120° 2 = 60°. Finalmente, como ∠𝑀𝐶𝑍 = ∠𝐵𝐶𝐴 = 30° y ∠𝑍𝑀𝐶 = ∠𝑋𝑀𝐶 = 90°, se tiene que ∠𝑀𝑍𝐶 = 60°. Así, 𝑀𝑍 y 𝑅𝑆 son paralelas y como 𝑀𝑍 es perpendicular a 𝐵𝐶, entonces 𝑅𝑆 (y por lo tanto 𝑆𝐷) también lo es. 2.- Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, encuentra un número de 6 cifras 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇, tal que el número de tres cifras 𝒂𝒃𝒄 es múltiplo de 4, 𝒃𝒄𝒅 es múltiplo de 5, 𝒄𝒅𝒆 es múltiplo de 3 y 𝒅𝒆𝒇 es múltiplo de 11. Solución: Como 𝑏𝑐𝑑 es múltiplo de 5 y el número no tiene ceros, entonces 𝑑 = 5. Para que 𝑑𝑒𝑓 sea múltiplo de 11, se debe tener que la diferencia entre (𝑑 + 𝑓) y 𝑒 sea un múltiplo de 11. Como 𝑑 = 5, podemos elegir 𝑓 = 1 y 𝑒 = 6 para que la diferencia anterior sea 0 y entonces 𝑑𝑒𝑓 sea múltiplo de 11. Si eligiéramos para 𝑓 un valor mayor que 1, tendríamos que el número 𝑑 + 𝑓 sería al menos 7 y como 𝑒 puede ser cualquiera de entre 1 y 6, la mínima diferencia que habría entre (𝑑 + 𝑓) y 𝑒 sería 1 y la máxima sería 6, y ninguna de estas es múltiplo de 11. Así, 𝑑𝑒𝑓 = 561. El número 𝑐𝑑𝑒 queda entonces como 𝑐56 y sabemos que es múltiplo de 3. Entonces al sumar 𝑐 y 11, debemos obtener un múltiplo de 3. Esto lo logramos con 𝑐 = 1, en cuyo caso la suma es 12 y con 𝑐 = 4, en cuyo caso la suma es 15. Sin embargo, como ya usamos el 1 para la 𝑓, se debe tener que 𝑐 = 4. Hasta ahora, el número es 𝑎𝑏4561. Finalmente, como 𝑎𝑏𝑐 es múltiplo de 4, entonces 𝑏𝑐 es múltiplo de 4. Como 𝑐 = 4 y 𝑏 sólo puede ser 2 ó 3, nos fijamos que 24 sí es múltiplo de 4 y 34 no, por lo que 𝑏 = 2 y entonces 𝑎 = 3. Por lo tanto, el número buscado es 324561. 3.- Totoro se reúne cada domingo con sus amigos y lleva tazos de Pokémon. Cuando el número de tazos es múltiplo de 7, los reparte a partes iguales entre sus 6 amigos y él. De otra manera no reparte, sino que compra más tazos (durante la semana): si el número de tazos es impar, compra 7; y si es par, compra 6 veces la cantidad que tiene más otros 5. Si después de 2 domingos de reunirse con sus 6 amigos, se da cuenta que tiene 41 tazos. ¿Cuántos tenía inicialmente? Solución: Sabemos que después de la segunda reunión, tenía 41 tazos. Tenemos 3 opciones: - Si en la segunda reunión tenía una cantidad múltiplo de 7 de tazos y a la hora de repartir se quedó con 41, entonces tenía 287 después de la primera reunión. Si no repartió en la segunda reunión y tenía una cantidad impar de tazos, entonces debió comprar 7 más y acabó con 41. Pero eso significa que tendría 34, el cual no es impar. Si no repartió en la segunda reunión y tenía una cantidad par de tazos, entonces compró 6 veces la cantidad que tenía (digamos que 𝑛 es la cantidad que tenía) y otros 5 y terminó con 41. Pero eso quiere decir que al quitar los 5 extra, tenía 36 y como tenía 𝑛 y compró 6 veces más, entonces acabó con 7 veces 𝑛. Como 36 no es múltiplo de 7, entonces esto no pudo ocurrir. Por lo tanto, sabemos que después de la primera reunión tenía 287 tazos y en la segunda los repartió. De manera completamente igual, se puede ver que originalmente tenía 287 × 7 = 2009 tazos. 4.- ¿Cuál es el número más grande de 7 cifras distintas que es divisible entre 11? Solución. El número más grande de 7 cifras distintas es 9876543. Sin embargo, no es divisible entre 11, pues 9 + 7 + 5 + 3 = 24 y 8 + 6 + 4 = 18 y la diferencia entre 24 y 18 es 6, que no es múltiplo de 11. Si intentáramos sólo cambiar la última cifra para ver si el número resultante es múltiplo de 11, podríamos darle los valores de 2, 1 ó 0 pero las diferencias que obtenemos serían 7, 8 y 9, respectivamente y ninguna de ellas es múltiplo de 11. Intentemos entonces modificar sólo las últimas 2 cifras, es decir, tener un número de la forma 98765𝑎𝑏. Queremos entonces que la diferencia entre 9 + 7 + 5 + 𝑏 = 21 + 𝑏 y 8 + 6 + 𝑎 = 14 + 𝑎 sea múltiplo de 11. Los dígitos 𝑎 y 𝑏 pueden ser cualesquiera distintos de entre 0, 1, 2, 3 y 4. Lo máximo que podemos obtener para 21 + 𝑏 es 25 (con 𝑏 = 4) y lo mínimo que podemos obtener para 14 + 𝑎 es 14 (con 𝑎 = 0). La diferencia entre 25 y 14 es 11, por lo que 9876504 es múltiplo de 11. Lo mínimo que podemos obtener para 21 + 𝑏 es 21 (con 𝑏 = 0) y lo máximo para 14 + 𝑎 es 18 (con 𝑎 = 4). La diferencia entre 21 y 18 es 3, que no es múltiplo de 11. Las demás diferencias estarán entre 4 y 10, que tampoco son múltiplos de 11. Por lo tanto, 9876504 es el único número cuyas primeras cinco cifras son las más altas posibles y que es múltiplo de 11. Ya vimos que el número con las 7 cifras más altas posibles (9876543) no es múltiplo de 11 ni tampoco ninguno con las 6 primeras cifras lo más altas posibles (987654a). Entonces, cualquier número con 7 cifras distintas y múltiplo de 11 tiene a lo más sus primeras 5 cifras lo más altas posibles y como el que encontramos es el único con esta condición, debe ser el más grande. Así, el número buscado es 9876504. 5.- ¿Cuántos números de 10 cifras hay múltiplos de 8 y que sólo usan los dígitos 1, 6, 5 y 0? Solución: Para que un número de 10 cifras sea múltiplo de 8, sus últimas 3 cifras deben ser un múltiplo de 8. Los múltiplos de 8 de 3 o menos cifras que sólo usan los dígitos 1, 6, 5 y 0 son: 000, 016, 056, 160, 560, 600, 616, 656. Así, para las últimas 3 cifras del número, tenemos 8 opciones. Para la primera cifra, sólo tenemos 3, pues si iniciara en 0, no sería de 10 cifras. Y para las demás cifras, de la segunda a la séptima, tenemos 4 opciones. Por lo tanto, hay 3 ⋅ 46 ⋅ 8 = 98304 números de 10 cifras que sólo usan los dígitos 1, 6, 5 y 0. PROBLEMAS DE REPASO/ENTRENAMIENTO NÚMEROS 1. El promedio de 19 enteros positivos es 14. ¿Cuál es el mayor valor posible para el número más grande de esos 17 enteros? ¿Y si todos son diferentes? ¿Cuál es el mayor valor posible para el segundo número más grande de esos 17 enteros (aquí sí se pueden repetir)? 2. Para cada entero positivo 𝑘, llamemos 𝑆𝑘 a la progresión aritmética cuyo primer término es 1 y la diferencia entre términos es 𝑘. Por ejemplo, 𝑆3 es 1, 4, 7, … ¿Cuántos enteros positivos cumplen que el número 3961 aparece en 𝑆𝑘 ? 3. En un juego de dardos, con cada dardo puedes ganar 3 u 8 puntos. Supón que puedes lanzar tantos dardos como quieras y que tu puntaje es la suma de los puntos que ganes con cada dardo. ¿Cuánto vale la suma de todos los puntajes que no se pueden obtener en el juego de los dardos? 1 4. En un torneo de ajedrez se da 1 punto por ganar, 0 por perder y 2 por empatar. Si cada uno de los 100 competidores jugó con cada uno de los demás, ¿cuánto vale la suma de los puntajes al terminar el torneo? 5. El número de 7 dígitos 1357𝑎9𝑎 es divisible por 11. ¿Cuál es el dígito 𝑎? 6. Un número de 11 dígitos 1099999𝑎𝑏 es divisible por 33. ¿Cuántos de estos números hay? 7. Se sabe que 19! es un número de 18 cifras de la forma 121645100408𝑎𝑏𝑐000. Halle la descomposición en primos del número 𝑎𝑏𝑐. 8. Encuentra las últimas 4 cifras del número que se forma al sumar 9+99+999+9999+99999+999999+..........+ 999......999 (el último número está formado por 1000 nueves) 9. El número de la suerte de Mane es de tres cifras y tiene la propiedad de que al restarle 7 el resultado es divisible entre 7, al restarle 8 el resultado es divisible entre 8 y al restarle 9 el resultado es divisible entre 9. ¿Cuál es el número de la suerte de Mane? 10. ¿Cuántos números de tres dígitos hay tales que al multiplicar sus dígitos se obtiene un resultado mayor que 60 pero menor que 65? 11. ¿Cuántos números de 6 dígitos de la forma 1𝑎39𝑏𝑐 son múltiplos de 360? 12. Encontrar todos los números de 3 cifras múltiplos de 11 tales que sus cifras suman 10 y la diferencia entre el número y el que se obtiene al invertir sus cifras es 198. COMBINATORIA 1. Un librero tiene 3 libros en alemán, 6 en español y 5 en francés. Cada libro es diferente de todos los demás. a) ¿De cuántas formas podemos acomodar todos los libros en una fila del librero? b) ¿De cuántas formas podemos acomodarlos si los libros de un mismo idioma deben estar juntos? c) ¿De cuántas formas podemos acomodarlos si los libros en francés deben estar todos juntos? d) ¿De cuántas formas podemos acomodarlos si no queremos que haya dos libros de francés juntos? 2. ¿De cuántas formas se pueden acomodar los números del 1 al 9 en una cuadrícula de 3x3 de tal manera que no haya dos números de la misma paridad en casillas que compartan un lado? ¿Y los del 1 al 16 en una de 4x4? 3. ¿Cuántas permutaciones hay de la palabra TRINEO? ¿Cuántas de ellas inician con N y terminan con O? ¿Cuántas de ellas tienen la sílaba RO? ¿Cuántas de ellas no tienen vocales juntas? 4. En un grupo de 2 camellos, 3 cabras y 10 ovejas, ¿de cuántas maneras podemos elegir un grupo de 6 animales si… a) No hay restricciones? b) Los dos camellos deben estar en el grupo? c) Los dos camellos deben ser excluidos del grupo? d) Debe haber al menos 3 ovejas? e) Debe haber a lo más 2 ovejas? f) El camello Juan, la cabra Susana y la oveja Gaby se odian y no pueden estar dos de ellos en el grupo? 5. Considere los números de 5 dígitos. a) ¿Cuántos hay? b) ¿Cuántos de ellos no tienen ningún 9? c) ¿Cuántos de ellos tienen al menos un 9? d) ¿Cuántos de ellos tienen exactamente 3 9’s? e) ¿Cuántos de ellos no son múltiplos ni de 2 ni de 7? f) ¿Cuántos de ellos no tienen 8’s ni 9’s? g) ¿Cuántos de ellos no tienen ni 7’s ni 8’s ni 9’s? h) ¿Cuántos de ellos tienen o sólo un 7 o sólo un 8 o sólo un 9? 6. ¿Cuántos números de 7 dígitos cumplen que la suma de sus cifras es impar? ¿Cuántos par? 7. Un escuadrón especial consiste de 3 oficiales, 6 sargentos y 60 soldados rasos. ¿De cuántas maneras se puede elegir a un grupo de 1 oficial, 2 sargentos y 20 soldados rasos para una misión? 8. 4 dados ordinarios, uno rojo, uno verde, uno azul y uno amarillo son lanzados. ¿De cuántas formas pueden caer de tal manera que su suma sea 9? 9. ¿De cuántas formas se pueden separar 24 personas en tercias? 10. En un tablero cuadrado de 9 casillas se deben colocar los números 0, 1, 2,…, 8 de tal manera que cada casilla tenga exactamente un número y cada casilla tenga un número diferente. Además, se debe cumplir que la suma de los números en el segundo renglón sea el doble de la suma de los números en el primer renglón, y la suma de los números del tercer renglón sea el triple de la suma de los números en el primer renglón. ¿Cuántos arreglos que cumplen lo anterior existen?