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PROBLEMAS
ÚLTIMO SELECTIVO
1.- Sea 𝚫𝑨𝑩𝑪 un triángulo rectángulo con ángulo recto en 𝑨 y ∠𝑨𝑪𝑩 = 𝟑𝟎°. Sea 𝑴 el punto medio
de 𝑩𝑪 y sea 𝑷 la circunferencia que pasa por 𝑨 y es tangente a 𝑩𝑪 en 𝑴 y 𝑸 la circunferencia que
pasa por 𝑨, 𝑩 y 𝑪. La circunferencia 𝑷 corta a 𝑨𝑪 en 𝑹 y a la circunferencia 𝑸 en el punto 𝑺. Si 𝑫
es la intersección de la prolongación de 𝑺𝑹 con 𝑩𝑪, demuestra que 𝑺𝑫 es perpendicular a 𝑩𝑪.
Solución: Como ∠𝐴𝐶𝐵 = 30° y el ángulo en 𝐴 es recto, entonces ∠𝐴𝐵𝐶 = 60°. Al ser 𝑀 el centro
de 𝑄 se tiene que 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵, pues ambos segmentos son radios de 𝑄. Así, el triángulo Δ𝐴𝐵𝑀 es
isósceles, con ∠𝐴𝐵𝑀 = ∠𝐵𝐴𝑀. Y como ∠𝐴𝐵𝑀 = ∠𝐴𝐵𝐶 = 60°, entonces el triángulo es en
realidad equilátero y así, ∠𝐴𝑀𝐵 = 60°.
Llamemos 𝑋 al centro de 𝑃 y 𝑍 a la intersección de 𝑋𝑀 con 𝐴𝐶. Como 𝑃 es tangente a 𝐵𝐶, entonces
∠𝑋𝑀𝐵 = ∠𝑋𝑀𝐶 = 90°. Luego, el ángulo ∠𝑋𝑀𝐴 = 30°. Dado que 𝑋𝑀 = 𝑋𝐴 por ser radios de 𝑃,
se tiene que el triángulo Δ𝐴𝑀𝑋 es isósceles, con ∠𝑋𝐴𝑀 = ∠𝑋𝑀𝐴 = 30°. Por lo tanto, ∠𝐴𝑋𝑀 =
120°.
Fijémonos en los triángulos Δ𝐴𝑋𝑀 y Δ𝑆𝑋𝑀. Se tiene que 𝐴𝑋 = 𝑆𝑋, pues son radios de 𝑃, 𝑀𝐴 =
𝑀𝑆, pues son radios de 𝑄 y comparten el lado 𝑋𝑀. Por lo tanto, son congruentes y entonces
∠𝑀𝑋𝑆 = 120° y también ∠𝐴𝑋𝑆 = 120°.
Como el ángulo ∠𝑍𝑅𝑆 está inscrito en 𝑃 y el ángulo ∠𝐴𝑋𝑆 es el ángulo central que contiene el mismo
arco y mide 120°, entonces ∠𝑍𝑅𝑆 =
120°
2
= 60°. Finalmente, como ∠𝑀𝐶𝑍 = ∠𝐵𝐶𝐴 = 30° y
∠𝑍𝑀𝐶 = ∠𝑋𝑀𝐶 = 90°, se tiene que ∠𝑀𝑍𝐶 = 60°. Así, 𝑀𝑍 y 𝑅𝑆 son paralelas y como 𝑀𝑍 es
perpendicular a 𝐵𝐶, entonces 𝑅𝑆 (y por lo tanto 𝑆𝐷) también lo es.
2.- Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, encuentra un número de 6 cifras 𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆𝒇, tal que el número de
tres cifras 𝒂𝒃𝒄 es múltiplo de 4, 𝒃𝒄𝒅 es múltiplo de 5, 𝒄𝒅𝒆 es múltiplo de 3 y 𝒅𝒆𝒇 es múltiplo de
11.
Solución: Como 𝑏𝑐𝑑 es múltiplo de 5 y el número no tiene ceros, entonces 𝑑 = 5.
Para que 𝑑𝑒𝑓 sea múltiplo de 11, se debe tener que la diferencia entre (𝑑 + 𝑓) y 𝑒 sea un múltiplo
de 11. Como 𝑑 = 5, podemos elegir 𝑓 = 1 y 𝑒 = 6 para que la diferencia anterior sea 0 y entonces
𝑑𝑒𝑓 sea múltiplo de 11. Si eligiéramos para 𝑓 un valor mayor que 1, tendríamos que el número 𝑑 +
𝑓 sería al menos 7 y como 𝑒 puede ser cualquiera de entre 1 y 6, la mínima diferencia que habría
entre (𝑑 + 𝑓) y 𝑒 sería 1 y la máxima sería 6, y ninguna de estas es múltiplo de 11. Así, 𝑑𝑒𝑓 = 561.
El número 𝑐𝑑𝑒 queda entonces como 𝑐56 y sabemos que es múltiplo de 3. Entonces al sumar 𝑐 y
11, debemos obtener un múltiplo de 3. Esto lo logramos con 𝑐 = 1, en cuyo caso la suma es 12 y
con 𝑐 = 4, en cuyo caso la suma es 15. Sin embargo, como ya usamos el 1 para la 𝑓, se debe tener
que 𝑐 = 4. Hasta ahora, el número es 𝑎𝑏4561.
Finalmente, como 𝑎𝑏𝑐 es múltiplo de 4, entonces 𝑏𝑐 es múltiplo de 4. Como 𝑐 = 4 y 𝑏 sólo puede
ser 2 ó 3, nos fijamos que 24 sí es múltiplo de 4 y 34 no, por lo que 𝑏 = 2 y entonces 𝑎 = 3.
Por lo tanto, el número buscado es 324561.
3.- Totoro se reúne cada domingo con sus amigos y lleva tazos de Pokémon. Cuando el número de
tazos es múltiplo de 7, los reparte a partes iguales entre sus 6 amigos y él. De otra manera no
reparte, sino que compra más tazos (durante la semana): si el número de tazos es impar, compra
7; y si es par, compra 6 veces la cantidad que tiene más otros 5. Si después de 2 domingos de
reunirse con sus 6 amigos, se da cuenta que tiene 41 tazos. ¿Cuántos tenía inicialmente?
Solución: Sabemos que después de la segunda reunión, tenía 41 tazos. Tenemos 3 opciones:
-
Si en la segunda reunión tenía una cantidad múltiplo de 7 de tazos y a la hora de repartir se
quedó con 41, entonces tenía 287 después de la primera reunión.
Si no repartió en la segunda reunión y tenía una cantidad impar de tazos, entonces debió
comprar 7 más y acabó con 41. Pero eso significa que tendría 34, el cual no es impar.
Si no repartió en la segunda reunión y tenía una cantidad par de tazos, entonces compró 6
veces la cantidad que tenía (digamos que 𝑛 es la cantidad que tenía) y otros 5 y terminó con
41. Pero eso quiere decir que al quitar los 5 extra, tenía 36 y como tenía 𝑛 y compró 6 veces
más, entonces acabó con 7 veces 𝑛. Como 36 no es múltiplo de 7, entonces esto no pudo
ocurrir.
Por lo tanto, sabemos que después de la primera reunión tenía 287 tazos y en la segunda los
repartió. De manera completamente igual, se puede ver que originalmente tenía 287 × 7 = 2009
tazos.
4.- ¿Cuál es el número más grande de 7 cifras distintas que es divisible entre 11?
Solución. El número más grande de 7 cifras distintas es 9876543. Sin embargo, no es divisible entre
11, pues 9 + 7 + 5 + 3 = 24 y 8 + 6 + 4 = 18 y la diferencia entre 24 y 18 es 6, que no es múltiplo
de 11. Si intentáramos sólo cambiar la última cifra para ver si el número resultante es múltiplo de
11, podríamos darle los valores de 2, 1 ó 0 pero las diferencias que obtenemos serían 7, 8 y 9,
respectivamente y ninguna de ellas es múltiplo de 11.
Intentemos entonces modificar sólo las últimas 2 cifras, es decir, tener un número de la forma
98765𝑎𝑏. Queremos entonces que la diferencia entre 9 + 7 + 5 + 𝑏 = 21 + 𝑏 y
8 + 6 + 𝑎 = 14 + 𝑎 sea múltiplo de 11. Los dígitos 𝑎 y 𝑏 pueden ser cualesquiera distintos de entre
0, 1, 2, 3 y 4. Lo máximo que podemos obtener para 21 + 𝑏 es 25 (con 𝑏 = 4) y lo mínimo que
podemos obtener para 14 + 𝑎 es 14 (con 𝑎 = 0). La diferencia entre 25 y 14 es 11, por lo que
9876504 es múltiplo de 11.
Lo mínimo que podemos obtener para 21 + 𝑏 es 21 (con 𝑏 = 0) y lo máximo para 14 + 𝑎 es 18 (con
𝑎 = 4). La diferencia entre 21 y 18 es 3, que no es múltiplo de 11. Las demás diferencias estarán
entre 4 y 10, que tampoco son múltiplos de 11. Por lo tanto, 9876504 es el único número cuyas
primeras cinco cifras son las más altas posibles y que es múltiplo de 11. Ya vimos que el número con
las 7 cifras más altas posibles (9876543) no es múltiplo de 11 ni tampoco ninguno con las 6 primeras
cifras lo más altas posibles (987654a). Entonces, cualquier número con 7 cifras distintas y múltiplo
de 11 tiene a lo más sus primeras 5 cifras lo más altas posibles y como el que encontramos es el
único con esta condición, debe ser el más grande. Así, el número buscado es 9876504.
5.- ¿Cuántos números de 10 cifras hay múltiplos de 8 y que sólo usan los dígitos 1, 6, 5 y 0?
Solución: Para que un número de 10 cifras sea múltiplo de 8, sus últimas 3 cifras deben ser un
múltiplo de 8. Los múltiplos de 8 de 3 o menos cifras que sólo usan los dígitos 1, 6, 5 y 0 son: 000,
016, 056, 160, 560, 600, 616, 656. Así, para las últimas 3 cifras del número, tenemos 8 opciones.
Para la primera cifra, sólo tenemos 3, pues si iniciara en 0, no sería de 10 cifras. Y para las demás
cifras, de la segunda a la séptima, tenemos 4 opciones. Por lo tanto, hay 3 ⋅ 46 ⋅ 8 = 98304 números
de 10 cifras que sólo usan los dígitos 1, 6, 5 y 0.
PROBLEMAS DE REPASO/ENTRENAMIENTO
NÚMEROS
1. El promedio de 19 enteros positivos es 14. ¿Cuál es el mayor valor posible para el número más
grande de esos 17 enteros? ¿Y si todos son diferentes? ¿Cuál es el mayor valor posible para el
segundo número más grande de esos 17 enteros (aquí sí se pueden repetir)?
2. Para cada entero positivo 𝑘, llamemos 𝑆𝑘 a la progresión aritmética cuyo primer término es 1 y
la diferencia entre términos es 𝑘. Por ejemplo, 𝑆3 es 1, 4, 7, … ¿Cuántos enteros positivos cumplen
que el número 3961 aparece en 𝑆𝑘 ?
3. En un juego de dardos, con cada dardo puedes ganar 3 u 8 puntos. Supón que puedes lanzar
tantos dardos como quieras y que tu puntaje es la suma de los puntos que ganes con cada dardo.
¿Cuánto vale la suma de todos los puntajes que no se pueden obtener en el juego de los dardos?
1
4. En un torneo de ajedrez se da 1 punto por ganar, 0 por perder y 2 por empatar. Si cada uno de los
100 competidores jugó con cada uno de los demás, ¿cuánto vale la suma de los puntajes al terminar
el torneo?
5. El número de 7 dígitos 1357𝑎9𝑎 es divisible por 11. ¿Cuál es el dígito 𝑎?
6. Un número de 11 dígitos 1099999𝑎𝑏 es divisible por 33. ¿Cuántos de estos números hay?
7. Se sabe que 19! es un número de 18 cifras de la forma 121645100408𝑎𝑏𝑐000. Halle la
descomposición en primos del número 𝑎𝑏𝑐.
8. Encuentra las últimas 4 cifras del número que se forma al sumar
9+99+999+9999+99999+999999+..........+ 999......999 (el último número está formado por 1000
nueves)
9. El número de la suerte de Mane es de tres cifras y tiene la propiedad de que al restarle 7 el
resultado es divisible entre 7, al restarle 8 el resultado es divisible entre 8 y al restarle 9 el resultado
es divisible entre 9. ¿Cuál es el número de la suerte de Mane?
10. ¿Cuántos números de tres dígitos hay tales que al multiplicar sus dígitos se obtiene un resultado
mayor que 60 pero menor que 65?
11. ¿Cuántos números de 6 dígitos de la forma 1𝑎39𝑏𝑐 son múltiplos de 360?
12. Encontrar todos los números de 3 cifras múltiplos de 11 tales que sus cifras suman 10 y la
diferencia entre el número y el que se obtiene al invertir sus cifras es 198.
COMBINATORIA
1. Un librero tiene 3 libros en alemán, 6 en español y 5 en francés. Cada libro es diferente de todos
los demás.
a) ¿De cuántas formas podemos acomodar todos los libros en una fila del librero?
b) ¿De cuántas formas podemos acomodarlos si los libros de un mismo idioma deben estar juntos?
c) ¿De cuántas formas podemos acomodarlos si los libros en francés deben estar todos juntos?
d) ¿De cuántas formas podemos acomodarlos si no queremos que haya dos libros de francés juntos?
2. ¿De cuántas formas se pueden acomodar los números del 1 al 9 en una cuadrícula de 3x3 de tal
manera que no haya dos números de la misma paridad en casillas que compartan un lado? ¿Y los
del 1 al 16 en una de 4x4?
3. ¿Cuántas permutaciones hay de la palabra TRINEO? ¿Cuántas de ellas inician con N y terminan
con O? ¿Cuántas de ellas tienen la sílaba RO? ¿Cuántas de ellas no tienen vocales juntas?
4. En un grupo de 2 camellos, 3 cabras y 10 ovejas, ¿de cuántas maneras podemos elegir un grupo
de 6 animales si…
a) No hay restricciones?
b) Los dos camellos deben estar en el grupo?
c) Los dos camellos deben ser excluidos del grupo?
d) Debe haber al menos 3 ovejas?
e) Debe haber a lo más 2 ovejas?
f) El camello Juan, la cabra Susana y la oveja Gaby se odian y no pueden estar dos de ellos en el
grupo?
5. Considere los números de 5 dígitos.
a) ¿Cuántos hay?
b) ¿Cuántos de ellos no tienen ningún 9?
c) ¿Cuántos de ellos tienen al menos un 9?
d) ¿Cuántos de ellos tienen exactamente 3 9’s?
e) ¿Cuántos de ellos no son múltiplos ni de 2 ni de 7?
f) ¿Cuántos de ellos no tienen 8’s ni 9’s?
g) ¿Cuántos de ellos no tienen ni 7’s ni 8’s ni 9’s?
h) ¿Cuántos de ellos tienen o sólo un 7 o sólo un 8 o sólo un 9?
6. ¿Cuántos números de 7 dígitos cumplen que la suma de sus cifras es impar? ¿Cuántos par?
7. Un escuadrón especial consiste de 3 oficiales, 6 sargentos y 60 soldados rasos. ¿De cuántas
maneras se puede elegir a un grupo de 1 oficial, 2 sargentos y 20 soldados rasos para una misión?
8. 4 dados ordinarios, uno rojo, uno verde, uno azul y uno amarillo son lanzados. ¿De cuántas formas
pueden caer de tal manera que su suma sea 9?
9. ¿De cuántas formas se pueden separar 24 personas en tercias?
10. En un tablero cuadrado de 9 casillas se deben colocar los números 0, 1, 2,…, 8 de tal manera que
cada casilla tenga exactamente un número y cada casilla tenga un número diferente. Además, se
debe cumplir que la suma de los números en el segundo renglón sea el doble de la suma de los
números en el primer renglón, y la suma de los números del tercer renglón sea el triple de la suma
de los números en el primer renglón. ¿Cuántos arreglos que cumplen lo anterior existen?