Download PROBLEMAS Dificultad 1 1. ¿Cuántos números del 1 al 2015 son

PROBLEMAS
Dificultad 1
1. ¿Cuántos números del 1 al 2015 son múltiplos de 2, 6 ó 13? ¿Y
de 3, 5 ó 7?
2. ¿Cuánto vale el área sombreada en la siguiente figura?
3. El número 123456789 se multiplica por 999999999,
obteniendo el número 𝑛. ¿Cuántos dígitos ‘1’ tiene 𝑛?
4. ¿De cuántas formas se puede colorear la siguiente figura si se
tienen 4 colores distintos y cualesquiera dos hexágonos que compartan al menos un arista
deben tener colores distintos?
5. En la figura de arriba a la derecha, 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, 𝐶𝐸 = 𝐵𝐶 y 𝐷𝐸 = 𝐶𝐷. Si 𝑥 = 24°, ¿cuánto
vale 𝑦?
6. En la siguiente figura, 𝐴𝐵𝐶𝐷 y 𝐸𝐹𝐺𝐻 son cuadrados y 𝐴𝐸 = 11𝐸𝐵.
¿Qué fracción del área de 𝐴𝐵𝐶𝐷 ocupa 𝐸𝐹𝐺𝐻?
7. Cuando 𝑛 se divide entre 13, el residuo es 7. Si se multiplica 𝑛 por
11, ¿qué residuo deja?
8. En la siguiente figura, 𝐴𝐸 es perpendicular a 𝐵𝐶, 𝐶𝐸 = 2 y 𝐸𝐵 = 6.
Si el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶 es 68, ¿cuánto vale 𝐴𝐵?
9. Un palíndromo es un número que se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a
derecha. Por ejemplo, 212 es un palíndromo de 3 cifras. ¿Cuántos palíndromos hay
mayores que 2015 pero menores que 100000?
10. En el pentágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, llamamos 𝑃 al punto donde se intersectan 𝐴𝐶 y 𝐵𝐷.
¿Cuánto vale el ángulo 𝐴𝑃𝐵?
11. 3 niñas tienen edades menores a 15 años. Si te digo que al multiplicar sus edades se
obtiene 90, no puedes saber sus edades con seguridad. Si te digo la suma de sus edades,
tampoco puedes saber sus edades. Pero si además te digo que al sacar factorial de la edad
mayor y restarle el factorial de la edad menor se obtiene un número cuya última cifra es 4,
ya lo puedes saber. ¿Qué edades tienen las 3 niñas?
12. 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son tres termómetros con diferentes escalas de temperatura. Cuando 𝐴 marca
10° y 34°, 𝐵 marca 15° y 31°. Cuando 𝐵 marca 30° y 42°, 𝐶 marca 5° y 77°. Si en un día
se observó en el termómetro 𝐴 que la temperatura bajó 18°, ¿cuánto bajó en el
termómetro 𝐶?
13. Dos círculos tienen radios 𝑎 y 𝑏, donde 𝑎 < 𝑏 y la distancia entre sus centros es 𝑐. ¿Qué
tiene que pasar para que los círculos se intersecten en exactamente un punto? ¿Y para
que se intersecten en exactamente 2? ¿Y para que no se intersecten?
Dificultad 2
1. Un alambre se corta en dos partes de igual longitud. Una de ellas se dobla para formar un
triángulo equilátero y la otra para formar un hexágono regular. ¿Cuánto vale el área del
triángulo entre la del hexágono?
2. Usando sólo dígitos impares, se forman todos los posibles números de 3 cifras. ¿Cuántos
son? ¿Cuánto vale su suma?
3. En un octágono se dibujan todas las diagonales. Llamamos 𝐷 al conjunto de segmentos
que tienen como extremos a vértices del octágono.
¿Cuántos elementos tiene 𝐷? Si se eligen de manera
aleatoria dos segmentos de 𝐷, ¿cuál es la probabilidad de
que esos dos segmentos tengan la misma longitud?
4. Dos números primos se llaman primos gemelos si su
diferencia es 2. Demuestre que el número entre
cualesquiera dos primos gemelos es múltiplo de 6.
5. En la figura de la derecha, ¿cuánto valen 𝑎, 𝑏 y 𝑐 si el círculo
es tangente a los tres lados del triángulo?
6. De entre los enteros positivos menores o iguales a 2015, se
quitan los que son múltiplos de 2 ó 3. ¿Cuántos enteros quedan? ¿Cuánto vale su suma?
∠𝐵𝑂𝐴
7. En la siguiente figura, 𝑂𝐴 = 𝐸𝐷 = 𝑟. Encuentra el valor de ∠𝐷𝐸𝐶 .
8. En la siguiente suma, cada letra representa un dígito distinto. Encuentre cuánto vale cada
letra.
𝑃𝐴𝐶𝐼𝐹𝐼𝐶
𝐴𝑅𝐶𝑇𝐼𝐶
+_𝐵𝐴𝐿𝑇𝐼𝐶
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
Dificultad 3
1. Dos cuadrados iguales se sitúan de modo que un vértice de uno
está sobre el centro del otro, como en la figura. Si el lado del
cuadrado es 11, ¿cuánto vale el área sombreada?
2. En la figura, 𝑂𝐴 y 𝐴𝐵 miden 2. ¿Cuánto mide 𝐴𝑃?
3. Un número de 𝑛 dígitos se llama de Armstrong si la suma de sus dígitos elevados a la 𝑛 es
igual al número mismo. Por ejemplo, un número de 3 cifras 𝑎𝑏𝑐 es de Armstrong si es
igual a 𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 . Verifique que 371 es un número de Armstrong y encuentre otro de 3
cifras. Demuestre que no hay números de Armstrong de 2 cifras.
4. Considere los números enteros desde el −20 hasta el 9. Chus y Mane piensan un número
cada quien (pueden ser iguales). ¿Cuál es la probabilidad de que al multiplicar los números
que pensaron el resultado sea positivo?
5. Se usarán los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 para formar números de 5 cifras. ¿De cuántas formas
se puede hacer esto si los dígitos se pueden repetir y ninguno de ellos debe ser mayor que
el de su derecha?
6. Un círculo de radio 3 y centro 𝑂 tiene inscrito un rectángulo 𝑃𝑄𝑅𝑆 de tal forma que
∠𝑃𝑂𝑄 = 120°. Encuentra el perímetro del rectángulo y su área.
7. En la siguiente figura, 𝐴𝐵𝐶 es un triángulo equilátero y 𝐵𝐶 es tangente al círculo. Si 𝐵𝐶 =
4, calcula el área sombreada.
8. Los números 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 son primos distintos y mayores que 10. Consideremos 𝐴 =
14𝑎7 𝑏 5 𝑐 4 y 98𝑎3 𝑏15 𝑑7 . ¿Cuántos divisores tienen en común? Encuentra cuántos
múltiplos comparten 𝐴 y 𝐵 que sean divisores de 𝐴𝐵.
Dificultad 4
1. Dos monedas grandes idénticas y dos monedas
pequeñas idénticas son tangentes entre sí, como
en la figura. La mínima distancia entre las dos
monedas grandes es 6 y la mínima distancia entre
las dos monedas pequeñas es 2. Al radio de las
monedas pequeñas lo llamamos 𝑟 y al de las
grandes, 𝑅. Si 𝑅 = 9, ¿cuánto vale 𝑟?
2. Se tienen 10 monedas tales que en uno de sus lados tienen un 0 y en el otro tienen los
números del 1 al 10, uno en cada moneda. Se lanzan las monedas y se calcula la suma de
los números sobre las caras visibles. ¿Cuál es la probabilidad de que esta suma sea al
menos 45?
3. Vea el problema 5 de Dificultad 2. Encuentre el radio
del círculo dentro del triángulo.
4. En la siguiente figura, el cuadrado tiene lado 1 y el
semicírculo es tangente a él, con diámetro 𝑃𝑄.
Encuentre el área sombreada.
5. El piso de un cuarto se cubre con 𝑛 mosaicos
cuadrados. Si se usara un mosaico más pequeño, el
piso se cubriría con 76 mosaicos más. Si las
dimensiones de los mosaicos son enteros primos
relativos, ¿cuál es el valor de 𝑛?
87
6. Si 17 = 𝑤 +
1
𝑦+
, donde 𝑤, 𝑥, 𝑦 son enteros positivos,
1
𝑥
¿cuál es el valor de 𝑤 + 𝑥 + 𝑦?
1
𝑥
1
𝑦
1
6
7. Encuentra todos las parejas (𝑥, 𝑦) de enteros positivos tales que + = .
1
1
8. En la siguiente figura, 𝐴𝐷 = 3 𝐴𝐵, 𝐸𝐶 = 3 𝐴𝐶 y 𝐷𝐹 = 𝐹𝐸. Encuentra la razón del área
sombreada y el área de Δ𝐴𝐵𝐶.