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PENSAMIENTO
CREATIVO
Matemáticas
Humberto Muñoz Monroy
3
CONTENIDO
PERÍODO 1.
Las matemáticas y el mundo de los animales
Conjuntos....................................................................................................................... 12
Sistema de numeración decimal....................................................................................20
Relaciones de orden....................................................................................................... 25
La adición y sus propiedades.........................................................................................28
La sustracción y sus términos........................................................................................ 32
Los números romanos....................................................................................................36
Cómo solucionar problemas......................................................................................... 40
Evaluación......................................................................................................................42
Líneas, ángulos y pares de rectas................................................................................. 44
Unidades de longitud.................................................................................................... 48
El perímetro................................................................................................................... 52
Recolección de datos y el diagrama de barras...............................................................54
Solución de problemas..................................................................................................58
Evaluación..................................................................................................................... 60
Matemáticas para la vida...............................................................................................62
PERÍODO 2.
Las matemáticas y la práctica deportiva
La multiplicación................................................................................................................. 68
Algoritmo o proceso multiplicativo.................................................................................... 70
Multiplicación con reagrupaciones......................................................................................72
Multiplicación de dos y tres cifras....................................................................................... 76
Multiplicaciones abreviadas................................................................................................ 80
Propiedades de la multiplicación........................................................................................ 84
Cómo solucionar problemas............................................................................................... 88
Evaluación........................................................................................................................... 90
Polígonos............................................................................................................................. 92
Construcciones geométricas............................................................................................... 96
Superficies y áreas..............................................................................................................100
Pictogramas........................................................................................................................102
Solución de problemas.......................................................................................................104
Evaluación...........................................................................................................................106
Matemáticas para la vida....................................................................................................108
2
PERÍODO 3.
Las matemáticas en el parque de diversiones
La división..................................................................................................................... 114
División de tres o más cifras........................................................................................ 120
División con ceros en el cociente................................................................................. 124
Divisor de dos cifras..................................................................................................... 126
Múltiplos y divisores.................................................................................................... 130
Números primos y compuestos................................................................................... 134
Cómo solucionar problemas........................................................................................ 136
Evaluación.................................................................................................................... 138
Sólidos geométricos..................................................................................................... 140
Construcciones geométricas........................................................................................ 146
Volumen y capacidad.................................................................................................... 148
Probabilidad de un evento............................................................................................152
Solución de problemas................................................................................................ 154
Evaluación.................................................................................................................... 156
Matemáticas para la vida............................................................................................. 158
PERÍODO 4.
Los alimentos y las matemáticas
Fracción y partes de una unidad.........................................................................................164
Lectura y escritura de fracciones........................................................................................168
Clasificación de fracciones..................................................................................................170
Relación de orden en las fracciones.................................................................................... 174
Fracciones como operador..................................................................................................176
Adición y sustracción de fracciones....................................................................................178
Cómo solucionar problemas...............................................................................................182
Evaluación...........................................................................................................................184
El círculo y sus segmentos..................................................................................................186
Movimientos en el plano.....................................................................................................190
Masa y peso.........................................................................................................................194
Combinaciones....................................................................................................................196
Solución de problemas.......................................................................................................198
Evaluación.......................................................................................................................... 200
Matemáticas para la vida....................................................................................................202
3
PRESENTACIÓN DE LAS SECCIONES DEL LIBRO
PLAN CURRICULAR
Todo proceso debe tener un fin fundamental; así ocurre en el proceso educativo. Los estudiantes necesitan conocer de antemano la
estructura temática que desarrollarán y los desempeños que se espera alcancen al terminar un período escolar. Los docentes, por su
parte, no sólo necesitan este conocimiento sino además, los pensamientos matemáticos y estándares curriculares que trabajarán. Por
ello se ha diseñado el plan curricular que cumple con este objetivo
y permite un primer contacto entre estudiantes, docentes y familia.
ENTRADA DE SECCIÓN
Una de las preguntas más planteadas por los estudiantes a los docentes de matemáticas es: ¿para qué me sirve este concepto? Por
ello se inicia cada uno de los cuatro períodos con una frase y una
ilustración que motivarán al estudiante a pensar en las fascinantes
aplicaciones del concepto matemático que se desarrollará. Además,
aparece una pregunta para que al inicio de las clases el docente pueda orientar y motivar a niñas y niños en este aspecto, estimulando
uno de los procesos matemáticos importantes como es la comunicación. Finalmente, se presenta una actividad que involucra a la familia en el proceso de aprendizaje, resaltando así, su importancia en
la vida del estudiante.
DESARROLLO DE LOS TEMAS
Cada parte comienza con FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS, una sección dedicada a sentar las bases cognitivas de los temas a desarrollar. Los temas concretos que se presentan y las actividades
que se proponen le dan al docente un diagnóstico del proceso educativo y una oportunidad para
reforzar algún tema que pueda ocasionarle dificultad.
Los temas se desarrollan de manera amplia,
no sólo presentando el concepto, sino relacionándolo con una situación cotidiana del estudiante. Se presentan con una secuencia lógica, con ejemplos y dos ventanas informáticas
(Nota informativa y Nota investigativa) que le
permiten al estudiante seguir con la exploración. También encontraremos una referencia
a los ejercicios que se pueden utilizar en el salón de clase o para practicar en casa cuando el
tema no se puede desarrollar totalmente en
una sesión.
Al terminar el tema se encuentra la sección
de ACTIVIDADES en donde aparecen ejercicios y situaciones que estimulan cada uno de
los procesos matemáticos generales, a saber: formular y resolver problemas, modelar
procesos y fenómenos de la realidad, comunicar, razonar y formular, comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos. Y como la
evaluación no se puede concentrar únicamente en el docente, se propone un recuadro en donde se podrá hacer la heteroevaluación, coevaluación y autoevaluación.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
La habilidad de plantear y resolver problemas con una variedad de estrategias y recursos que
debe alcanzar el estudiante, aparece no sólo como contenido procedimental, sino también como
una de las bases de la serie con que han de trabajarse los contenidos de matemáticas. En esta sección se dan excelentes sugerencias para resolver un problema matemático, además de presentar
diferentes tipos de situaciones a las que nos enfrentamos cuando deseamos hacer de las matemáticas una asignatura para la vida.
PRESENTACIÓN DE LAS SECCIONES DEL LIBRO
EVALUACIÓN
La evaluación es más una reflexión y proceso
que un instrumento de medición que etiqueta
a los estudiantes; además, debe ser formativa,
continua, sistemática y flexible. Por ello, la serie, consciente de esto y de que el desarrollo
de una competencia se da de manera paulatina, ascendente y progresiva, le da la oportunidad al docente de recoger evidencias del desempeño durante el desarrollo de los temas.
Además, presenta a la mitad de la parte y al final, una oportunidad de hacer un “pare” en el
proceso y recolectar la información necesaria
para la evaluación con ejercicios y situaciones
que estimulan las pruebas tipo ICFES de selección de respuesta correcta, el principio matemático de hipótesis-tesis, la argumentación y
las diferentes representaciones.
MATEMÁTICAS PARA LA VIDA
Aprender matemáticas desde su uso en la vida para la resolución de situaciones problema es la
mejor oportunidad para que un estudiante pueda hacer mucho más significativo y eficaz el proceso de aprendizaje. Eso es precisamente a lo que apunta esta sección final de cada parte, en ella
se encuentran diferentes situaciones del entorno del estudiante en donde se reflexionará en la
amplitud de aplicaciones de esta área del conocimiento y en la relación con la sociedad, ya que
se le plantean preguntas que estimulan el desarrollo de las COMPETENCIAS CIUDADANAS y las
COMPETENCIAS LABORALES.
PRESENTACIÓN DE LA SERIE
En los inicios del nuevo milenio y en el contexto globalizante de la nueva sociedad de conocimiento, la educación se sigue reconociendo como la causa principal
del progreso y de los avances que conocemos como desarrollo, y el conocimiento
matemático con sus conceptos y estructuras, como una herramienta potente para
el desarrollo de habilidades de pensamiento. Por ello, la nueva serie Pensamiento
Creativo presenta esta área como una actividad social que tiene en cuenta los intereses y afectividad de los niños y niñas actuales; trata de ofrecer respuestas a
una multiplicidad de opciones que permanentemente surgen y se entrecruzan en
el mundo actual, potencializa sus habilidades cognitivas y les da las bases que les
permiten aportar al desarrollo de su entorno familiar, comunitario y del país.
Esta serie, desde primero a quinto grado, se ha esforzado por cumplir con las expectativas actuales en la educación matemática, no sólo en el proceso educativo
sino en sus actuales elementos dinamizadores, como son: la evaluación, las competencias y los estándares curriculares. Busca lograr que los estudiantes mejoren
su competencia para la resolución de situaciones problemáticas reales, que reconozcan que existe un núcleo de conocimientos matemáticos básicos que debe
dominar y que comprenda y asuma los fenómenos de transposición didáctica.
Además, busca presentar el aprendizaje de las matemáticas como algo agradable, que despierte la curiosidad y el deseo de ser, del saber y del saber hacer en
su cotidianidad. Presenta imágenes de exploración y reflexión, preguntas que le
dan la oportunidad de comunicarse e interactuar con sus docentes y compañeros, actividades y situaciones que le permiten modelar procesos y fenómenos de
la realidad, razonar y formular, comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos.
Cada libro está estructurado en cuatro secciones generales y cada una de ellas
desarrolla los niveles de desempeño desde el punto de vista de los estándares
curriculares, con temas y actividades a partir de los pensamientos numérico, variacional, espacial, métrico y aleatorio, junto con secciones de práctica, reflexión
y de evaluación continua, integral, participativa y formativa. Cada sección termina con dos actividades matemáticas que le permitirán potencializar en los estudiantes no sólo las competencias matemáticas, sino las laborales y ciudadanas
tan importantes en nuestro país.
Conscientes de la seria responsabilidad que tienen las instituciones educativas
y en especial el docente de matemáticas, esta serie es una propuesta para que
la clase se oriente desde una nueva visión de lo que significa poseer una cultura
matemática: una matemática para todos.
PLAN CURRICULAR – PERÍODO 1
Pensamiento
matemático
Estructura temática
Indicador de desempeño
Estándares curriculares
Fundamentos matemáticos
Numérico y
variacional
1. Conjuntos
Utiliza las nociones básicas de
conjuntos y sus operaciones para
la solución de problemas.
2. Sistema de numeración
decimal
Reconoce, lee, utiliza y
descompone números de seis o
más cifras.
3. Relaciones de orden
Determina el orden de dos o más
números y utiliza esta relación en
la solución de problemas.
4. La adición y sus
propiedades
Hace uso de la adición y sus
propiedades para resolver
diferentes situaciones de su
entorno.
5. La sustracción y sus
términos
Efectúa sustracciones
correctamente y las utiliza para la
solución de problemas.
6. Los números romanos
Aplica las reglas para escribir
correctamente números en
símbolos romanos.
Cómo solucionar
problemas
• Uso representaciones –principalmente concretas y
pictóricas– para explicar el valor de posición en el
sistema de numeración decimal.
• Resuelvo y formulo problemas en situaciones
aditivas de composición y de transformación.
• Uso diversas estrategias de cálculo (especialmente
cálculo mental) y de estimación para resolver
problemas en situaciones aditivas.
• Identifico, si a la luz de los datos de un problema,
los resultados obtenidos son o no razonables.
Evaluación
Espacial
Reconoce las características de los
diferentes elementos básicos de la
geometría.
8. Unidades de longitud
Utiliza y aplica las diferentes
medidas de longitud derivadas
del metro.
• Reconozco en los objetos propiedades o atributos
que se puedan medir (longitud, área, volumen,
capacidad, peso y masa) y, en los eventos, su
duración.
9. El perímetro
Halla el perímetro de una figura
geométrica.
• Reconozco el uso de las magnitudes y sus
unidades de medida en situaciones aditivas y
multiplicativas.
10.Recolección de datos y el
diagrama de barras
Utiliza el diagrama de barras para
la representación de un cuadro de
registro.
• Represento datos relativos a mi entorno usando
objetos concretos, pictogramas y diagramas de
barras.
Métrico
Aleatorio
Solución de problemas
Evaluación
Matemáticas para la vida
8
• Reconozco nociones de horizontalidad,
verticalidad, paralelismo y perpendicularidad en
distintos contextos y su condición relativa con
respecto a diferentes sistemas de referencia.
7. Líneas, ángulos y pares de
rectas
• Reconozco significados del número en diferentes
contextos (medición, conteo, comparación,
codificación, localización, entre otros).
Las matemáticas y el
mundo de los animales
La mayor pluviselva tropical del planeta se encuentra en la
Amazonía. Ciertamente es un mundo de ensueño. Imagínese
una selva inmensa. Introduzca en ella más de cuatro mil
especies arbóreas. Ornaméntela con las flores de más de
sesenta mil especies de plantas. Coloréela con las brillantes
tonalidades de 1.000 especies de aves. Enriquézcala con 300
especies de mamíferos. Inúndela con los zumbidos de quizás
dos millones de especies insectiles.
Para comentar en clase:
¿Cuál es la importancia de las matemáticas en el control
de las especies en una reserva natural?
Para realizar en casa:
Organiza junto con tu familia una visita al zoológico más cercano y, en tu cuaderno, escribe todos los datos numéricos que
allí encuentres junto con una narración de tu experiencia.
9
FUNDAMENTOS
MATEMÁTICOS
El mundo que nos rodea es completamente fascinante. Por eso no es raro
encontrarnos con personas que dedican su vida entera a la exploración
de muchas de las especies que encontramos en la naturaleza. ¡Qué bueno
es saber que las matemáticas nos permiten que esa exploración sea más
práctica y útil! Pero antes de hacer una exploración recordemos algunos
conceptos matemáticos que necesitaremos.
Conjuntos
Los conjuntos se pueden representar de diferentes formas: mencionando la
característica común de sus elementos, con ayuda de un diagrama, o simplemente haciendo un listado de todos sus elementos.
0
1 2 3 4 D
9 8 7 65
El conjunto de
números dígitos
D= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Los números de cinco cifras y las operaciones
Un número de cinco cifras tiene unidades (u), decenas (d),
centenas (c), unidades de mil (um) y decenas de mil (dm).
dm um c
d
u
dm um
3
1
c
d
u
6
2
0
31.620
Treinta y un mil seiscientos veinte
Los números se utilizan en casi todas las actividades de la vida diaria, por
ejemplo, en las llamadas telefónicas, en el dinero y hasta para hacer referencia a un importante suceso de la historia.
10
Por otra parte es importante recordar que las cuatro operaciones básicas
de matemáticas son:
Adición
Sustracción
Multiplicación
División
Elementos básicos de geometría
El punto y la línea son dos de los elementos básicos y fundamentales de la
geometría.
El punto
Línea curva cerrada
Línea curva abierta
Línea recta
ACTIVIDAD
1. Realiza la descomposición de cada uno de los números siguiendo el
ejemplo.
• 831 = 800 + 30 + 1
8 centenas, 3 decenas y 1 unidad
• 6.270 =
+
• 94 =
+
+
+
2. Escribe el nombre de los términos de cada operación que hacen falta.
5+3=8
Sumandos
8–3=5
Sustraendo
2x3=6
Producto
6÷3=2
Dividendo
11
Tema 1 (Primera parte)
CONJUNTOS
Pensamientos
numérico y variacional
Uno de los lugares en
donde observas muchos
animales y también
algunas aplicaciones de
la matemática es en un
zoológico.
En un zoológico normalmente los animales se encuentran separados por
especies y esto nos ayuda a ver que los elementos de un conjunto cumplen
características comunes. De esta manera, cuando nombramos un conjunto
haciendo alusión a esa característica se dice que el conjunto está nombrado por comprensión, pero si se hace un listado de todos los elementos del
conjunto, se ha nombrado por extensión.
A = {animales que son aves}
Comprensión
Extensión
A = {gallina, pavo, colibrí, canario}
Si se nombra la característica propia del conjunto, este conjunto
está determinado por comprensión.
Si escribimos el nombre de cada uno de los elementos, el conjunto
está determinado por extensión.
Otro ejemplo:
R = {animales que son reptiles}
Comprensión
R = {cocodrilo, camaleón, lagartija}
Extensión
PERTENECE Y NO PERTENECE
Cuando un elemento hace parte de un conjunto, o cumple
con la característica que lo determina decimos que este
elemento pertenece ∈ a ese conjunto determinado; si no,
decimos que no pertenece ∉ a ese conjunto.
12
Con los conjuntos anteriores tenemos que:
Gallina ∈ A
Cocodrilo ∉ A
Ejemplo. Escribamos ∈ o ∉ en cada recuadro, tomando en cuenta el
conjunto D, el conjunto de los números dígitos.
a
D
1
D
10
D
0
D
Solución.
Recordemos que el conjunto de los números dígitos es:
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Al observar los elementos de este conjunto, nos damos cuenta que no encontramos ninguna letra, así como números mayores o iguales a 10, por lo
tanto tenemos que:
a ∉ D
1 ∈ D
10 ∉ D
0 ∈ D
Diagramas de Venn
Los animales que hemos mencionado en los conjuntos A y R se encuentran en el zoológico. Observemos la forma de representarlos en el siguiente diagrama:
Z
gallina
canario
pavo
A
colibrí
cocodrilo
R
lagartija
camaleón
A diagramas como el anterior, en donde se muestra gráficamente la relación entre dos o más conjuntos, se les llama diagrama de Venn.
13
Indicador de desempeño: utiliza las nociones básicas de conjuntos para la solución de
problemas.
ACTIVIDAD 1 (Primera parte)
Razonar y
formular
1. Observa y escribe, en tu cuaderno, cada conjunto por extensión y por
comprensión.
M
A
O
H
Modelar
2. Encierra, en un círculo, el objeto que no pertenezca a cada conjunto.
A
B
C
Z
G
D
Comparar y
ejercitar
3. Escribe
∈ o ∉ en cada recuadro, tomando en cuenta el conjunto
A = {1, a, 3, e, 5, o, 7}.
14
a
A
b
A
10
A
e
A
1
A
4
A
o
A
7
A
Comparar y
ejercitar
4. Observa el siguiente diagrama de Venn y determina los elementos de
cada conjunto.
5
7
2
R
9
4
N
3
8
0
M
T
6
1
M={ ,
,
,
,
,
N={ ,
,
,
,
}
T={ ,
}
,
,
,
,
}
R={ }
Razonar y
formular
5. Escribe
si la relación de pertenencia planteada es correcta o
4
5
E
7
3
6
8
2
1
F
G
U
si no.
4 ∈ U
6 ∈ G
8 ∈ F
2 ∈ E
1 ∈ G
1 ∈ F
6 ∈ E
4 ∈ F
5 ∈ G
2 ∈ U
2 ∈ F
1 ∈ E
Comunicar
6. Describe con tus palabras y, junto a otros compañeros, las características
de cada región azul en los siguientes diagramas de Venn.
A
B
U
A
B
U
Comentario evaluativo personal, de la familia o el docente:
15
Tema 1 (Segunda parte)
CONJUNTOS
Pensamientos
numérico y variacional
Si decimos que el conjunto Z es el conjunto de todos los animales del zoológico y el conjunto A es el conjunto de los animales salvajes que allí se encuentran, se puede decir que el conjunto A está contenido en el conjunto Z
o, lo que es lo mismo, que el conjunto Z contiene el conjunto A.
Un conjunto está contenido en otro cuando todos sus
elementos forman parte de éste.
Si un conjunto está contenido en otro decimos que es
subconjunto de él.
El símbolo que indica la relación de contenencia es y la de no contenencia es . Con el caso mencionado anteriormente, se puede formar
el siguiente diagrama de Venn y la relación de contenencia entre los
conjuntos Z y A.
Z
A
El conjunto A está contenido en
el conjunto Z.
A
Z
En este caso decimos, además,
que A es subconjunto de Z.
Operaciones entre conjuntos: unión e intersección
En el zoológico se tenían inicialmente, en una jaula los colibríes, en otra los
canarios y en otras las golondrinas, pero como llegaron otras especies de
aves fue necesario unirlos.
La unión es una
operación entre
conjuntos.
16
La unión de dos o más conjuntos ocurre cuando se reúnen
o agrupan todos los elementos de los conjuntos en un solo
conjunto. Se representa por U.
Por otra parte, en el reino animal se encuentran animales que pueden
pertenecer a dos grupos así:
Águila
Pato
A
Gallina
B
Garza
Pez
Garza
Colibrí
A = {animales que son aves}
Pato
Sapo
B = {animales que encontramos en un lago}
Como se puede observar, la garza y el pato pertenecen a los dos grupos,
pues además de ser aves, se encuentran en un lago.
Estos animales pertenecen a la intersección entre A y B.
La intersección de dos conjuntos ocurre cuando existen elementos que
pertenecen a ambos conjuntos. Se representa por
A
Águila
Gallina
Colibrí
A
an
o se llam en
m
ó
c
a
tien
Consult
que no
s
o
t
n
ju
los con
común.
n
e
s
o
t
n
eleme
Pez
Garza
Pato
B
Sapo
B: A intersección B
unca se
n
o
t
n
ju
n
En un co lemento.
ne
repite u
17
Indicador de desempeño: utiliza las operaciones básicas entre conjuntos para la solución de problemas.
ACTIVIDAD 1 (Segunda parte)
Modelar
1. Observa el ejemplo y realiza los ejercicios.
A= {a, b, c, d, e}
A U B = {a, b, c, d, e, f, g}
B = {d, e, f, g}
M= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
MUN={ ,
N= {2, 3, 5, 7, 11, 13}
F
,
,
G
,
,
,
,
,
}
,
,
,
}
FUG
T ={números pares menores que 10}
TUR={ ,
R={números impares menores que 10}
,
,
,
,
Razonar y
formular
2. Observa el diagrama de Venn y escribe los elementos de cada conjunto.
A
B
1
2
5
C 9
7
8
A={ ,
,
,
,
B = { ,
,
,
}
,
,
}
C= { }
BUC={ ,
6
A
,
,
}
C={ }
Comparar y
ejercitar
3. Con los conjuntos anteriores coloca
18
o
según el caso.
A
B
A
C
B
A
C
A
B
C
C
B
Razonar y
formular
4. Completa el diagrama de venn con base en la información de los
conjuntos.
U
M
N
U= {a, b, c, d, e, f, g, h}
M= {a, c, d, e, f}
N= {a, b, e, g}
N= {a, e}
M
M U N= {a, b, c, d, e, f, g}
Comparar y
ejercitar
5. Tomando en cuenta los conjuntos, halla las intersecciones.
P = {1, 2, 3, 4, 5}
P
Q={
,
}
Q = {2, 4, 6, 8, 10}
P
D={
,
,
,
D = {los números dígitos}
,
}
Q
D={ ,
o
según el caso.
,
,
}
Comparar y
ejercitar
6. Teniendo en cuenta los conjuntos, coloca
D= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
P
D
P = {2, 4, 6, 8}
I
P
I = {1, 3, 5, 7, 9}
C
D
C= {0}
M
D
M= {5, 10, 15, 20, 25, 30}
I
D
Comentario evaluativo personal, de la familia o el docente:
19
Tema 2
SISTEMA DE NUMERACIÓN
DECIMAL
Pensamientos
numérico y variacional
“¡La Amazonía es
fantástica! En el parque donde
me encuentro hay unos 25.000
tigres, unos 500.000 monos, 850.000
reptiles, 1’200.000 aves, y
millones de insectos”.
En la noticia aparecen números de cinco, seis y siete cifras que necesitamos conocer, no solo para leerlos correctamente sino para comprender
esa cantidad.
Primero se debe tener en cuenta que, como cada unidad en nuestro sistema de numeración contiene 10 unidades del orden inmediatamente
anterior se dice que nuestro sistema de numeración es decimal. En el
caso de los números de seis cifras, el valor posicional del primer número
de izquierda a derecha, corresponde a la centena de mil (cm) y su valor
es exactamente 10 decenas de mil (dm).
Al descomponer un número de seis cifras obtenemos
centenas de mil (cm), decenas de mil (dm), unidades de mil
(um), centenas (c), decenas (d) y unidades (u).
cm
dm
um
c
d
u
5
0
0
0
0
0
500.000: “quinientos mil”
El punto se coloca entre las
unidades de mil (um) y las
centenas (c)
20
Para leer un número de seis cifras, primero leemos el número de tres cifras
que se encuentra a la izquierda del punto, se agrega la palabra “mil” y
finalmente se lee el número de tres cifras que se encuentra a la derecha
del punto. Por lo tanto, en la noticia sobre el Amazonas se manejaban los
siguientes números:
25.000: “veinticinco mil”
500.000: “quinientos mil”
850.000: “ochocientos cincuenta mil”
Los millones
Cuando un número tiene siete cifras o más hablamos de millones. Observa:
Centenas
de millón
Decenas
de millón
Unidades
de millón
Coma de millón
cM
dM
Millones
uM
cm
dm
um
c
d
u
1
2
0
0
0
0
0
1’200.000
Miles
Para leer estos números, tomamos en cuenta la coma de millón y el punto
de mil. Primero leemos el número que está a la izquierda de la coma de
millones, agregamos la palabra “millón” o “millones” y luego leemos el
número de seis cifras.
Por ejemplo:
46’791. 200
Cuarenta y seis millones setecientos noventa y un mil, doscientos
Tomando esto en cuenta y regresando a la noticia del reportero en el
Amazonas, él está afirmando que en el parque hay un millón, doscientos mil aves (1’200.000).
Es importante tener cuidado al leer los números de siete o más cifras que
contienen varios ceros en las unidades inferiores a los millones. Por ejemplo:
3’008.003: “tres millones, ocho mil, tres”
52’000.093: “cincuenta y dos millones, noventa y tres”
21
Indicador de desempeño: reconoce, lee, utiliza y descompone números de seis o
más cifras.
ACTIVIDAD 2
Modelar
1. Escribe en letras cada uno de los números mencionados en las siguien-
tes noticias.
AL DÍA su periódico
AL DÍA su periódico
“Se ha puesto nombre a alrededor de 1’500.000 especies, pero
quedan muchas más por identificar; la cifra total es probablemente de 5’000.000 a 15’000.000”.
Todos los años se capturan y devuelven al océano entre 20’000.000
y 30’800.000 toneladas de criaturas marinas, generalmente heridas
o muertas.
John Harte
Número
Escritura del número
Comunicar
2. Encuentra, en el cuadro numérico, los números y enciérralos en un óvalo.
5
3
2
6
0
8
1
7
2
4
3
2
8
2
9
6
1
9
6
7
0
2
3
7
6
4
3
9
1
4
6
2
5
1
1
Quinientos treinta y dos mil seiscientos ocho
Seiscientos diecinueve mil seiscientos setenta
Ochenta y ocho mil setecientos treinta y uno
Noventa y seis mil ciento noventa y seis
Sesenta y dos mil quinientos once
Doscientos treinta y siete mil seiscientos cuarenta y tres
22
Comparar y
ejercitar
3. Reúnete con uno de tus compañeros o compañeras y elaboren en
cartulina las siguientes fichas.
1
3
7
1
3
7
1
4
8
1
4
8
2
5
9
2
5
9
2
6
0
2
6
0
2
6
0
Novecientos setenta y tres mil doscientos veintiocho
Ciento cuarenta y un mil seiscientos cincuenta
Setecientos doce mil ciento noventa y ocho
Quinientos noventa mil doscientos ochenta y tres
Cuatrocientos un mil setecientos sesenta y nueve
Doscientos once mil quinientos cuarenta y tres
Ciento noventa mil setenta y ocho
•
Jueguen de acuerdo con las siguientes instrucciones.
1.Repartan las cartas de los números de tal forma que ambos ten-
gan las mismas.
2.Oculten en una bolsa las fichas con los números escritos.
3.Pidan a otro compañero o compañera que saque una ficha de
los números escritos y lo lea en voz alta.
4.Luego, cada uno armará el número nombrado en el menor tiempo
posible.
5.Se anotará un punto el primero que lo forme correctamente.
6.El juego termina cuando no queden más fichas en la bolsa.
Modelar
4. Sigue el ejemplo para descomponer cada número, en tu cuaderno.
653.251 = 600.000 + 50.000 + 3.000 + 200 + 50 + 1
6 cm + 5 dm + 3um + 2 c + 5 d + 1 u
579.388
8’932.581
22’048.763
192’435.776
598.670
23
Modelar
5. Escribe el número que corresponda a cada descomposición.
600.000 + 20.000 + 8.000 + 300 + 20 + 9 =
9’000.000 + 300.000 + 10.000 + 3.000 + 200 + 80 + 1 =
100.000 + 50.000 + 200 + 30 + 3 =
70’000.000 + 900.000 + 40.000 + 4.000 + 40 + 5 =
Formular y
resolver
6. Completa los cheques de las donaciones que se han hecho al Zooló-
gico Nuestros Animales.
18’593.639
Zoológico Nuestros Animales
ales
ros Anim tos
t
s
e
u
N
o
Zoológic millones novecien
inticinco
c.
Ciento ve
pesos m/
e
c
in
u
q
s
quiniento
ocho mil
Razonar y
formular
7. Colorea el cuadro donde aparece la respuesta correcta.
¿Cuál es el número que tiene un 8 en las decenas de millón (dM)?
53’388.821
82’672.496
801’555.832
¿Qué posición ocupa el 9 en 51’692.000?
Decenas de millón
Decenas de mil
Comentario evaluativo personal, de la familia o el docente:
24
Centenas
Centenas de mil
Tema 3
RELACIÓN DE ORDEN
Pensamientos
numérico y variacional
Así como en el Amazonas, hay
en el mundo muchas especies
resguardadas en “Parques
Nacionales” y “Reservas
Naturales”. En estos lugares
se cuidan los animales y otros
recursos naturales.
En una reserva natural hay 1’493.821 cebras y en otra 1’428.542. ¿En cuál
de estas dos reservas hay más cebras?
Para contestar esta pregunta es necesario comparar estos dos números
y determinar cuál de estos es el mayor.
Para comparar dos números es importante tener en cuenta
el valor posicional de cada cifra.
El símbolo > significa “mayor que” y el símbolo < “menor que”.
uM
cm
dm
um
c
d
u
Aunque las unidades de millón
y las centenas de mil son iguales
en ambos números, en uno de
ellos aparece 9 en las decenas
de mil y en el otro 2; con esto
determinamos que:
1’
4
2
8
5
4
2
1´493.821 > 1’428.542
uM
cm
dm
um
c
d
u
1’
4
9
3
8
2
1
=
= 9>2
Recuerda que estas dos expresiones
son equivalentes:
1’493.821 > 1’428.542
o tienen
n
s
o
r
e
úm
e
Si dos n
ntidad d
a
c
a
m
el
la mis
ayor es
m
l
e
,
s
as.
cifra
más cifr
a
g
n
e
t
que
1’428.542 < 1’493.821
25
Indicador de desempeño: determina el orden de dos o más números y utiliza esta
relación en la solución de problemas.
ACTIVIDAD 3
Comparar y
ejercitar
1. Completa la secuencia colocando el número anterior y el siguiente.
4’598.742
4’598.743
832.935
832.937
23’932.501
1’000.001
Modelar
2. Coloca < o >, según el caso.
832.621
23’542.630
299.398
1’562.381
235’426.300
993.428
973.542
1’000.000
Razonar y
formular
3. Escribe el número que falta para hacer verdadera la expresión.
593.218 > 593.2 8
’729.321 < 10’729.321
4’391. 43 < 4’391.643
432.6 7 > 432.6 7
Formular y
resolver
4. Observa el conteo de algunos animales y determina si aumentó o
disminuyó.
26
Animal
Primer conteo
Segundo conteo
Búfalos
55.000
9.700
Antílopes
2.720
2.751
Cebras
905.400
99.500
Hipopótamos
1.770
260
Aumentó o disminuyó
Razonar y
formular
5. Teniendo en cuenta los números que aparecen en las fichas,
completa la información pedida.
6
2
2
3
9
1
5
7
• Cuatro números distintos de ocho cifras son:
• Haciendo uso de todas las fichas, el número más grande que se puede
formar es:
• Haciendo uso de todas las fichas, el número más pequeño que pode-
mos formar es:
• Un número mayor que 2’000.000 y menor que 5’000.000 es
• El número de siete cifras más grande que podemos formar es
Razonar y
formular
Es mayor
que 153.625
Pista 3
Termina en 6
El número es:
Pista 3
Es menor que
353.625
Pista 2
Está entre
2´490.000 y
2´500.010
Pista 2
Termina en
53.625
Pista 1
Está entre
2´500.000 y
2´600.000
Pista 1
6. Sigue las pistas y descubre el número.
El número es:
Comunicar
7. Inventa un cuento en tu cuaderno, en donde utilices el orden de los
números con uno de los siguientes temas:
Cantidad de caballos mágicos
Monstruos de las profundidades marinas
Estatura de gigantes
Antiguos pobladores
Comentario evaluativo personal, de la familia o el docente:
27
Tema 4
LA ADICIÓN Y SUS
PROPIEDADES
Pensamientos
numérico y variacional
En un departamento de Colombia hay dos reservas naturales y la entidad encargada del control de la vida animal tiene el dato específico de
cuántos osos hay. Veamos:
Reserva 1
Reserva 2
Cantidad de osos: 1’508. 700
Cantidad de osos: 930.551
En ese departamento de Colombia, ¿cuántos osos hay en total?
Para contestar esta pregunta se requiere de la operación aritmética de
la adición. Recuerda que los números que sumamos o adicionamos se
llaman sumandos y la respuesta recibe el nombre de suma o resultado.
Es necesario reagrupar 12 centenas
en 1 unidad de mil 2 centenas.
1
1
uM
cm
dm
um
c
d
u
1
5
9
4
0
3
3
8
0
9.
7
5
2
0
5
5
0
1
1
+
2’
Aquí fue necesario reagrupar 14 centenas de mil
en 1 unidad de millón y 4 centenas de mil.
Por lo tanto, en el departamento hay un total de 2’439.251 osos.
28
Cuando adicionamos, se debe conservar el valor posicional y, en
ocasiones, es necesario hacer reagrupaciones.
Propiedades de la adición
¿Cuántos animales hay en total?
Gacelas
45.250
Antílopes
Forma 1:
Forma 2:
4 5. 2 5 0
+ 3 0. 1 0 0
7 5. 3 5 0
3 0. 1 0 0
+ 4 5. 2 5 0
7 5. 3 5 0
30.100
Cuando se adiciona dos números se puede realizar de dos formas distintas, el orden no altera el resultado. Esta propiedad recibe un nombre
especial.
La adición cumple la propiedad conmutativa en donde podemos
cambiar el orden de los sumandos y la suma no cambia.
Otra propiedad interesante de la adición involucra el número cero.
Veamos:
Todo número adicionado con cero, da como resultado el mismo
número. Esta propiedad se conoce como modulativa.
6.250
+
0
=
6.250
0
+
6.250
=
6.250
0
+
750
=
750
750
+
0
=
750
Para simplificar la solución de
ejercicios y problemas podemos
aplicar estas propiedades.
permite
e
u
q
o
r
l n úm e
la
Como e
n cump a
ió
ic
d
a
lativ
que la
d modu
a
d
ie
p
o
e le
la pr
a este s
,
o
r
e
c
l
es e
aditivo.
lo
u
d
ó
llama m
29
Indicador de desempeño: hace uso de la adición y sus propiedades para resolver
diferentes situaciones de su entorno.
ACTIVIDAD 4
Comparar y
ejercitar
1. Realiza las siguientes adiciones.
5’ 1 0 0. 4 5 0
+ 5 0 5. 0 3 2
6 5 7. 7 8 9
+ 2 0. 1 0 1
9 3 4. 4 5 8
+ 1 2 5. 2 5 0
1’ 4 7 7. 7 7 7
+ 8 2 0. 0 3 3
2 4 9. 3 6 5
+ 7 5 2. 8 0 6
3. 7 8 9
+ 9. 2 3 1
3 5 5. 3 2 3
+
4. 7 4 1
9 6. 4 3 3
+ 5 0 3. 2 4 7
Comparar y
ejercitar
2. Halla la suma, relaciona las columnas y descubre el ave de la que
Colombia ostenta la mayor cantidad a nivel mundial.
25.632 +
12.135
L
70.204
14.638 +
2.151
R
16.868
12.326
0
4.542
+
1’452.328
37.767
970.000
I
962.962
625.701 +
18.193
E
1’531.777
45.623
+
24.581
C
16.789
931.555
+
600.222
B
2’422.328
I
643.894
S
11’689.070
2.431
2’631.192
+
L
+
+
960.531
9’057.878
Modelar
3. Tomando en cuenta las propiedades de la adición, completa los
cuadros.
Propiedad
Modulativa
30
Ejemplo
Propiedad
54 + 193 = 193 + 54
Modulativa
193 + 0 = 193
Conmutativa
Ejemplo
6.299 + 8 = 8 + 6.299
Razonar y
formular
4. Sin realizar la operación, relaciona las columnas, de tal forma que la
suma sea la misma.
53.618 + 719.132
53.618 + 99.270
5.610 + 729.132
1’200.000 + 32
99.270 + 53.618
719.132 + 53.618
32 + 1’200.000
32 + 6.444
6.444 + 32
729.132 + 5.610
Modelar
5. Aplicando las propiedades, escribe el número que falta para que se
cumpla la igualdad y la propiedad correspondiente.
4.510 + 603 =
635 +
=
+ 4.510
635
+ 459 =
+ 632
Razonar y
formular
6. Observa y contesta.
$ 225.400
$ 85.000
$ 939.999
¿Cuánto pagaremos si compramos la lámpara y la bicicleta?
¿Cuánto pagaremos por la nevera y la bicicleta?
¿Cuánto valen los tres objetos en total?
$
$
$
Comentario evaluativo personal, de la familia o el docente:
31
Tema 5
LA SUSTRACCIÓN Y SUS
TÉRMINOS
Pensamientos
numérico y variacional
La Unión Internacional para la
Conservación de la Naturaleza
y los Recursos Naturales es
una organización que evalúa
el estado en que se hallan
muchas especies en peligro de
extinción. Una de estas que se
ha mencionado recientemente
es la tortuga.
En el censo que se realizó hace un año en un parque natural, se observaron un total de 3.429 tortugas. Actualmente se han registrado 1.145.
¿Cuánto se ha reducido la población de tortugas en el parque natural
durante el último año?
La operación aritmética que nos da la respuesta a la pregunta es la
sustracción.
3 12
3 12
3. 4 2 9
– 1. 1 4 5
4
3. 4 2 9
– 1. 1 4 5
?4
3. 4 2 9
– 1. 1 4 5
84
3. 4 2 9
– 1. 1 4 5
2. 2 8 4
Paso 1:
Sustraemos
5 unidades
de 9.
Paso 2:
Para sustraer las decenas
es necesario desagrupar
las 4 centenas.
Paso 3:
Sustraemos
4 decenas
de 12.
Paso 4:
Sustraemos 1
centena de 3 y 1
unidad de mil de 3.
La sustracción o resta es una operación en donde se debe tomar en cuenta
el valor posicional. En ocasiones es necesario realizar desagrupaciones.
Términos y prueba de la sustracción
Para comprobar que una sustracción se ha realizado correctamente se
hace uso de la adición. Veamos:
Minuendo
Sustraendo
Diferencia
3. 4 2 9
– 1. 1 4 5
2. 2 8 4
2. 2 8 4
+ 1. 1 4 5
3. 4 2 9
Prueba
32
En la prueba, la suma
de la diferencia y el
sustraendo debe ser el
minuendo.
Indicador de desempeño: efectúa sustracciones correctamente y las utiliza para la
solución de problemas.
ACTIVIDAD 5
Comparar y
ejercitar
1. Halla la diferencia en cada caso.
9 9. 9 9 8
– 6 7. 9 8 7
1 0 8. 0 0 0
–
7. 0 0 0
2’ 1 9 7. 3 4 0
– 1 0 7. 2 4 0
6 9 5. 0 2 3
– 6 9 5. 0 1 9
Formular y
resolver
2. Escoge la pregunta que hace uso de la sustracción y respóndela.
• En el último año la cantidad de tigres pasó de 25.600 a 22.400.
¿Cuántos tigres en total
hay en el último año?
¿En cuánto se redujo la población
de tigres en el último año?
• César desea refrescarse comprando un helado
Copo de nieve
Alaska
$ 7.800
$ 6.200
¿Cuánto más vale el Copo
de nieve que el Alaska?
¿Cuánto valen en total
los dos helados?
Razonar y
formular
3. Coloca el número que corresponde en cada caso.
6 5 4. 2 3 0
– 1 2. 3
5 2 2. 1 0 0
2. 7
– 1 2. 6 3 0
2 0. 3 4 1
6 8. 7 2
– 5. 0 6
3. 1 1 0
33
Comparar y
ejercitar
4. Realiza las operaciones y llena el crucinúmero.
5’ 5 9 9. 9 9 9
– 2’ 3 4 3. 5 7 1
3 6. 9 9 0
+ 6 1. 5 2 3
1
1. 2 9 3
– 516
2
7’ 9 5 8. 7 6 1
+ 3 6 8. 1 6 0
3
3 4 5. 3 9 3
– 2 8 9. 3 6 2
4
3 7. 6 9 2
– 3 5. 6 8 4
5
3
6
6
8
1
2
4
9
7
10
5
11
12
13
14
15
1 1’ 2 8 6. 6 8 0
– 3’ 2 5 4. 2 1 3
7’ 2 6 8. 1 1 9
+ 6 9 5. 4 2 3
7
6 0 6. 8 1 9
– 5 9 8. 3 6 1
3 6’ 2 3 5. 3 3 9
+ 2’ 4 5 6. 3 8 9
9 4 2. 9 1 8
– 4 1 4. 8 1 5
10
1 0 3. 2 5 6
– 9 4. 8 6 2
5 7 9. 5 9 4
– 5 4 6. 8 4 5
11
4 4. 7 7 0
– 4 3. 2 3 4
13
9
8
12
4 7. 2 8 8
– 4 6. 5 2 3
14
15
Razonar y
formular
5. Escribe en tu cuaderno, cinco situaciones en donde se haga uso de
la adición y cinco en donde se use la sustracción.
34
Razonar y
formular
6. Escoge la pareja de números que cumplen cada condición.
6.740
300.000
18.260
10.000
La suma sea 16.740
La diferencia sea 290.000
La suma sea 318.260
La diferencia sea 8.260
La suma sea 25.000
La diferencia sea 10.000
8.260
Formular y
resolver
7. Para resolver los siguientes problemas, realiza las sustracciones de forma
horizontal.
Al comenzar el juego había en el estadio 62.580
espectadores. Si en la mitad de tiempo salen 31.430,
¿cuántos quedaron para la segunda parte del juego?
62.580 – 31.430 =
Respuesta:
De los 31.430 espectadores que salieron, 20.950 tenían camiseta de
color blanco. ¿Cuántos no tenían camiseta de color blanco?
31.430 – 20.950 =
Respuesta:
Comentario evaluativo personal, de la familia o el docente:
35
Tema 6
LOS NÚMEROS ROMANOS
Pensamientos
numérico y variacional
Como mencionamos antes, nuestro sistema de numeración recibe el
nombre de sistema de numeración decimal. Sin embargo a través del
desarrollo de las civilizaciones se fueron implementando otras sistemas
de numeración como los que vemos a continuación:
Uno de los sistemas de numeración más conocidos y utilizados actualmente es el que observas en el reloj anterior. Era utilizado por los romanos, un sistema de numeración antiguo basado en letras.
Los símbolos principales son:
I = 1X = 10C = 100M = 1.000
Los símbolos secundarios son:
V = 5L = 50D = 500
Si se observa el reloj y se hace la correspondencia respectiva, se puede
aprender la forma de escribir, en romano, los doce primeros números.
I = 1
II = 2
III = 3
IV = 4
V = 5
VI = 6
VII = 7
VIII = 8
IX = 9
X = 10
XI = 11
XII = 12
Este sistema de numeración es aditivo, es decir, el valor total del número es la suma del valor de cada uno de los símbolos que aparecen. Por
ejemplo:
VI = 6
XII = 12
36
V=5yI=1
entonces
VI = 5 + 1 = 6
X = 10 y I = 1
entonces XII = 10 + 1 + 1 = 12
¿Por qué el número 4 no
se escribe IIII o el 10, VV?
Esta pregunta es muy adecuada y nos permite
conocer las reglas que utilizaban los romanos
para la escritura de los números, pues cada
número tiene una única forma de escritura.
Veamos las tres reglas principales.
Regla 1
Regla 2
Cuando aparece un símbolo
menor a la derecha o ambos
símbolos son de igual valor, se
suman entre sí para obtener
su valor total.
Los símbolos principales
se pueden repetir hasta
tres veces, y los símbolos
secundarios no se pueden
repetir.
El número 4 no se puede escribir IIII porque el símbolo principal I se puede repetir hasta un máximo de tres veces, y el número 10 no se puede
escribir VV ya que el símbolo secundario V no se puede repetir.
¿Cómo se escribiría el número 15? Utilizamos el símbolo principal X y el
secundario V.
XV = 10 + 5 = 15
Se suman estos dos valores porque V está a la derecha de X y es de menor valor. Ahora veamos una regla más:
Regla 3
Si un número está a la izquierda de otro mayor, éste se resta.
Pero hay que tener en cuenta que solo se puede colocar:
I antes de V o X, X antes de L o C y C antes de D o M.
Con esta regla se puede entender por qué IV representa el número 4.
IV = 5 – 1 = 4
Por otra parte, si se desea escribir el número 49 no se puede utilizar el
símbolo IL. Aunque 50 – 1 es 49, no se puede colocar I antes de L. Por eso
el 49 se escribe así:
XLIX = 49
XL = 40 y IX = 9
entonces
XLIX = 40 + 9 = 49
37
Indicador de desempeño: aplica las reglas para escribir correctamente números en
símbolos romanos.
ACTIVIDAD 6
Modelar
1. Utiliza la regla 1 y completa los espacios de acuerdo con el ejemplo.
VII = 5 + 1 + 1 = 7
LX =
CXX = 100 + 10 + 10 =
LXV =
XXX =
=
LXVIII=
LII=
=
CLX =
Comparar y
ejercitar
2. Utiliza las reglas 2 y 3 para colorear los números romanos que están
escritos correctamente.
XX
CCX
LDCL
DD
VVL
VIII
XC
CCCCI
IC
XL
CM
VC
XCV
DM
MMC
Razonar y
formular
3. Con ayuda de la adición escribe correctamente los siguientes números
en símbolos romanos.
35 = 30 + 5 =
XXX
V
XXXV
28 = 20 + 8 =
115 = 100 + 10 + 5 =
63 =
50
+ 10 + 3 =
Comparar y
ejercitar
4. Une con una línea el número natural con su representación romana.
38
21
110
34
86
92
56
20
LXXXVI
XX
LVI
XCII
XXXIV
CX
XXI
200
112
58
45
176
450
320
LVIII
XLV
CC
CXII
CCCXX
CDL
CLXXVI
Razonar y
formular
5. Ayúdale a encontrar el camino al niño romano para llegar al palacio,
teniendo en cuenta la secuencia en símbolos romanos.
L
Secuencia
XC
LXV
15
10
13
45
50
190
180
95
151
103
65
1900
108
90
1111
91
58
53
110
MCXI
CDI
130
105
500
CIII
105
100
CVIII
1091
401
53
999
Comparar y
ejercitar
6. ¿Qué hora marca cada reloj?
Formular y
resolver
7. Inventa tus propios símbolos, dos reglas y un sistema de numeración.
Luego escribe los números en tu propio sistema.
Símbolos
Regla 1
Regla 2
Número
Sistema de
numeración
propio
1
6
10
32
Comentario evaluativo personal, de la familia o el docente:
39
CÓMO SOLUCIONAR PROBLEMAS
Para solucionar un problema es necesario entenderlo
muy bien. Algo que te puede ayudar es aislar los datos
que te dan y la pregunta que debes contestar, para
luego planear el procedimiento a seguir.
Procesos
matemáticos
Adicionalmente a leer varias veces el
problema, separémoslo en:
Es necesario leer
varias veces el
problema.
1.Datos que conocemos.
2.Pregunta que debo contestar.
3.Procedimiento.
4.Respuesta.
Problema.
En una región de la Amazonía se ha estado tomando nota de la cantidad
de guacamayas en los últimos años. Determina en qué año se presentó la
menor cantidad.
Año
Guacamayas
2011
480.950
2012
502.150
2013
500.000
Solución
1.Datos que conozco: la cantidad de guacamayas que hubo en el 2011,
en el 2012 y en el 2013.
2.Pregunta que debo contestar: ¿en qué año hubo menor cantidad?
40
3.Procedimiento: comparando los tres números y tomando en cuenta
el valor posicional tenemos:
480.950
502.150
480.950 < 500.000 < 502.150
500.000
4.Respuesta: el año en que hubo menor cantidad de guacamayas
fue en el 2011, con 480.950.
• Ahora resuelve los siguientes problemas, siguiendo los pasos indicados.
Problema 1.
En un periódico de ecología aparecieron las siguientes noticias:
En 2.002, unas cuarenta y cinco mil cebras migraron a través de los prados y
las selvas. Sin embargo, para 2.012 sólo
unas siete mil completaron el mismo
viaje.
Para sostener uno de los zoológicos de
la zona se requiere de unos ciento veinticinco millones, ochocientos mil pesos
mensuales pero solo llegan cincuenta
millones de pesos.
• En tu cuaderno, escribe los números en la tabla de valor posicional.
Luego resuelve:
1.¿Cuántas cebras menos lograron completar la migración en el
año 2.012 que en el 2.002?
2.¿Cuál es el déficit económico en el sostenimiento del zoológico?
Problema 2.
La siguiente tabla muestra la cantidad de animales de una reserva natural en los últimos cinco años. Determina el año en que se mantuvo mayor
cantidad de animales y el año en que se mantuvo la menor cantidad.
Año
2009
2010
2011
2012
2013
Cantidad de
animales
3´545.000
3´500.000
3´700.000
3´548.000
3´000.000
41
EVALUACIÓN
Selección Múltiple
• Rellena en la sección de respuestas la opción que nos determine la
respuesta correcta en cada ejercicio.
1.Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7}, entonces la intersección de A y B es:
A A
B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
C A
B = {3, 5}
B A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
D A
B = {1, 3, 5}
2.El valor de 4 en el número 543.281 es:
A 4.000
B 40.000
C 4
D 400.000
3.El número que aparece en la casilla de las centenas de mil en
2’813.056 es:
A 2
B 8
C 1
D 3
4.El número más grande de cinco cifras que se puede formar con 1, 2, 6,
7 y 9 es:
A 12.679
B 96.712
C 69.721
D 97.621
C 953.313
D 133.371
5.La suma de 568.327 y 495.096 es:
A 73.231
B 1’063.423
6.La diferencia de 568.327 y 495.096 es:
A 73.231
SECCIÓN DE
RESPUESTAS
42
B 1’063.423
C 953.313
D 133.371
1. A
B
C
D
4. A
B
C
D
2. A
B
C
D
5. A
B
C
D
3. A
B
C
D
6. A
B
C
D
Representación
• Relaciona cada concepto matemático con la situación en donde se
aplica.
Adición
Sustracción
Relaciones de
orden
Números
romanos
Argumentación
• Explica el error que se ha cometido en cada operación y luego resuél-
vela correctamente.
Corrección:
1’ 2 9 5. 7 7 7
+ 5 2 1. 6 4 3
1’ 7 1 6. 3 1 0
+
Error:
Corrección:
5’ 6 9 3. 7 0 9
– 2 5. 8 3 6
31101
–
Error:
43
Tema 7
LÍNEAS, ÁNGULOS Y PARES
DE RECTAS
Pensamiento
espacial
Al observar los animales encontramos una riqueza geométrica que sobrepasa los límites de la imaginación.
Todos los conceptos geométricos son extractados de la naturaleza, y
en nuestra mente, los utilizamos y estudiamos con ayuda de símbolos.
Normalmente a nivel gráfico se observa el objeto geométrico y luego se
nombra con ayuda de letras y símbolos.
Gráfica del objeto
geométrico
El Punto
A
La recta
l
C
D
Forma de
nombrarlo
Descripción
El punto A
Se usa letras mayúsculas. Para
dos puntos distintos debe
nombrarse con letras distintas.
La línea recta l
Se usa las letras minúsculas.
CD
La línea recta que pasa
por los puntos C y D.
MN
La semirrecta de origen en el punto
M y que pasa por el punto N.
TP
El segmento que comienza en el
punto T y termina en el punto P.
La semirrecta
M
N
El segmento
T
P
44
Ángulos y su clasificación
La región del plano comprendida entre dos semirrectas de un mismo
origen se le conoce con el nombre de ángulo. El punto en común de
las semirrectas es el vértice del ángulo y las semirrectas son los lados del
ángulo.
Para nombrar un ángulo se utiliza el símbolo
el vértice y dos puntos de los lados así:
S
,
RVS: ángulo de vértice V
V
R
Dependiendo de la abertura de las dos semirrectas, los ángulos los podemos clasificar en rectos, agudos, obtusos y llanos.
Ángulo recto
Ángulo agudo
Ángulo obtuso
Ángulo llano
Observa que la abertura del ángulo agudo es más pequeña que la abertura del ángulo recto, mientras que la abertura del ángulo obtuso es mayor
que este, pero menor que la abertura del ángulo llano.
Pares de rectas
Cuando tenemos dos rectas en el plano las podemos clasificar tomando en
cuenta si se cruzan entre sí o no. Veamos:
Rectas paralelas (
)
Rectas secantes ( )
Rectas
perpendiculares ( )
Como se observa en la ilustración, las rectas que nunca se cortan o cruzan
se les llama rectas paralelas y su notación es . Si se cortan son secantes.
Además, si forman un ángulo recto entre sí, se les conoce como rectas perpendiculares y su notación es
45
Indicador de desempeño: reconoce las características de los diferentes elementos
básicos de la geometría.
ACTIVIDAD 7
Modelar
1. Une con una línea, el concepto con la ilustración.
Línea curva cerrada
Línea recta
Segmento
Semirrecta
Línea curva abierta
Segmento
Línea curva cerrada
Ángulo
Comparar y
ejercitar
2. Bajo cada objeto geométrico, escribe el símbolo adecuado.
T
A
B
46
U
D
H
O
Y
C
Comparar y
ejercitar
3. En tu cuaderno, clasifica y ordena de mayor a menor la abertura de
los siguientes ángulos.
A
B
C
D
Comunicar
4. Observa la ilustración y explica en tus palabras la definición de los
ángulos recto, agudo y obtuso con ayuda de la escuadra.
Ángulo recto
Ángulo agudo
Ángulo obtuso
Modelar
5. Sigue el ejemplo para dibujar, en tu cuaderno, dos rectas perpendi-
culares con ayuda de la escuadra.
Paso 3
Paso 1
Paso 2
6. Con ayuda de la siguiente cuadrícula dibuja las rectas indicadas.
Rectas paralelas
Rectas secantes
Rectas perpendiculares
Comentario evaluativo personal, de la familia o el docente:
47
Tema 8
UNIDADES DE LONGITUD
Pensamiento
espacial
Los animales poseen ciertas características físicas que les permiten desempeñarse muy bien en diferentes actividades; en atletismo, por ejemplo son
los campeones.
Avestruz
Guepardo
Lugar donde vive: África
Lugar donde vive: África
Récord en dos patas: Corre 65
kilómetros en una sola hora.
Récord en cuatro patas: Corre
114 kilómetros en una sola hora.
Sus largas y fuertes patas le
permiten dar pasos de hasta
2 metros de largo. Al correr
extiende completamente sus
alas como un avión.
Es el único felino que tiene
uñas fijas (no las esconden) y le
funcionan como los spikes que
usan los atletas, los cuales les
permiten agarrarse bien al suelo.
En esta información se utilizan términos como metros y kilómetros conocidos
como unidades de longitud; es decir, unidades de medida que nos permiten conocer el largo o ancho de un objeto o la distancia entre dos puntos.
El metro es la unidad fundamental para medir longitudes.
Como existen mediciones muy pequeñas se utilizan submúltiplos o unidades menores que el metro.
decímetro: dm
centímetro: cm
milímetro: mm
Además, como algunas distancias son muy grandes, también existen múltiplos o unidades mayores que el metro para indicar su longitud.
kilómetro: km
48
hectómetro: hm
decámetro: dam
Entre las unidades de longitud encontramos equivalencias.
kilómetro
hectómetro decámetro
km
hm
dam
metro
m
decímetro centímetro
dm
1 km = 10 hm =100 dam = 1.000 m
milímetro
cm
mm
1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm
Ejemplo. Hallemos la equivalencia en metros de 2 kilómetros y 6
decámetros
Solución.
Utilicemos la tabla de equivalencias y ubiquemos allí las longitudes
indicadas:
km
2
hm
dam
m
dm
cm
mm
6
Como queremos hallar la equivalencia entre las unidades de longitud,
completamos con un cero en cada casilla a la derecha de las cifras
hasta llegar a la unidad deseada, en este caso: metro.
km
2
hm
0
dam
0
6
m
0
0
dm
cm
mm
Por lo tanto, podemos afirmar que 2 kilómetros equivalen a 2.000 metros
y 6 decámetros a 60 metros.
Con esta regla podemos encontrar muchas equivalencias.
km hm dam m
3
dm cm mm
0
0
3 m = 300 cm
km hm dam m
7
0
0
0
dm cm mm
0
0
7 km = 700.000 cm
ades de
id
n
u
s
a la
Consult ara medir las
p
longitud en el universo.
s
distancia
km hm dam m
9
dm cm mm
0
0
0
9 m = 9.000 mm
km hm dam m
2
5
0
0
dm cm mm
25 hm = 2.500 m
illa
a y la m
d
r
a
y
la
da,
gitud.
La pulga nidades de lon
su
n?
son otra
se utiliza
ís
a
p
é
¿En qu
49
Indicador de desempeño: utiliza y aplica las diferentes medidas de longitud derivadas
del metro.
ACTIVIDAD 8
Comunicar
1. Une con una línea la unidad de medida que debes emplear y el objeto
a medir.
Largo de la cancha del colegio
Milímetro
Largo de la hoja de papel
Centímetro
Longitud del río Amazonas
Metro
Espesor de un vidrio
Kilómetro
Modelar
2. Sigue el ejemplo y determina la longitud exacta.
1 cm =
mm
3m=
cm
4 km =
m
5 cm =
mm
8m=
cm
9 km =
m
25 cm =
mm
57 m =
cm
52 km =
m
Modelar
3. Sigue el ejemplo y determina la longitud exacta.
0cm 1
2
3
4
0cm 1
2
3
4
0cm 1
4cm + 5 mm
Comparar y
ejercitar
4. Mide con una regla y expresa la longitud exacta.
50
2
3
4
Razonar y
formular
5. Traza un segmento que tenga la longitud indicada.
5 cm
8 cm + 4 mm
1 dm + 1 cm + 2 mm
Comparar y
ejercitar
6. Halla la equivalencia entre las unidades de longitud.
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
3
9
7
9 km =
m
7 dm =
mm
1 hm =
1
4
8
5
cm
5 dam=
5
3
3 m =
2
8
1
m
cm
42 cm=
mm
388 m=
cm
51 m =
mm
Modelar
7. Siguiendo el ejemplo, escribe la altura de cada monte en kilómetros
y metros.
Monte
Altura (en metros)
km + m
Everest
Aconcagua
Kilimanjaro
Mont Blanc
8 848 m
6 959 m
5 895 m
4 810 m
8 km + 848 m
Modelar
8. Expresa en centímetros cada dato deportivo.
Circuito
Longitud (en metros)
Laguna Seca (USA)
Cheste (España)
Assen (Holanda)
Montmeló (España)
km + m
3 km + 602 m
4 km + 5 m
6 km + 27 m
4 km + 127 m
Comentario evaluativo personal, de la familia o el docente:
51
Tema 9
PERÍMETRO
Pensamiento
métrico
18 m
m
15
En un zoológico han llegado dos llamas del Perú y se ha escogido esta
región para su exposición. Como Luisa es la
ingeniera encargada de adaptar los lugares,
20 m
tomó la longitud de cada uno de los lados
de la región y así determinó la cantidad
de metros de cerca que necesitaría.
5m
La cerca se ubicará en todo el borde
de la región. Para determinar su
longitud, es necesario adicionar
las longitudes de los lados que la
conforman. Esto nos lleva a un concepto
importante y muy útil en las matemáticas:
el perímetro de una figura geométrica.
22 m
El perímetro de una región o figura geométrica es la
longitud total de su borde, es decir, la suma de las
longitudes de los lados que conforman la región o figura.
En el caso particular de la región que se adaptará para las llamas, el
perímetro es:
Perímetro = 20 m + 15 m + 5 m + 22 m + 18 m = 80 m
La ingeniera Luisa deberá comprar y ubicar un
total de 80 metros de cerca.
Veamos otros dos ejemplos:
Como la figura geométrica es un cuadrado, la longitud de
todos los lados es la misma. Por lo tanto:
Perímetro = 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm = 8 cm
2 cm
3 cm
5 cm
40 mm
52
Para hallar el perímetro en este caso es importante,
antes de sumar, que todas las longitudes estén en la
misma unidad de medida; por eso expresamos 40 mm
en cm, así:
Perímetro = 3 cm + 5 cm + 40 mm
= 3 cm + 5 cm + 4 cm
=
12 cm
Indicador de desempeño: halla el perímetro de una figura geométrica.
ACTIVIDAD 9
Comparar y
ejercitar
1. Encuentra el perímetro de cada figura o construcción.
40 m
2 cm
2 cm
3 dam
3 dam
25 mm
20 mm
50 m
8m
60 m
16 m
Razonar y
formular
2. Descubre las longitudes que faltan.
15 cm
8 cm
?
Perímetro:
25 cm
?
10 cm
?
Perímetro:
44 cm
15 cm
Formular y
resolver
3. Resuelve, en tu cuaderno el siguiente problema.
Don Juan mandó a encerrar su finca con
alambre de púas. Si su finca tiene forma
rectangular y mide 20 metros de ancho
y 45 metros de largo, ¿cuántos metros de
alambre tuvo que comprar si la cerca
tiene tres líneas de púas?
Comentario evaluativo personal, de la familia o el docente:
53
Tema 10
RECOLECCIÓN DE DATOS Y
EL DIAGRAMA DE BARRAS
Pensamiento
aleatorio
Como todos sabemos, existen muchas especies en peligro de extinción.
Un ejemplo de esto, ocurre en una región natural de África. Allí la cantidad de animales ha disminuido en los últimos años y se estima que
algunos desaparecerán para el año 2020. Veamos el cuadro que han
diseñado:
Cantidad de animales
Animales
Año 1980
Año 2000
Año 2020 (Estimación)
Cebras
4.000
2.000
1.000
Búfalos
10.000
3.000
0
Hipopótamos
2.000
1.000
500
Antílopes
8.000
3.000
1.000
El comportamiento de decrecimiento en la cantidad de animales se
puede observar más claramente si utilizamos un diagrama estadístico
que visualice la situación.
Los diagramas de barras son diagramas estadísticos que nos ayudan
a representar los datos y a visualizar una situación en particular.
Construcción de un diagrama de barras
Cómo deseamos mostrar la disminución en la cantidad de animales a
través de los años, primero ubicamos los años horizontalmente en el diagrama de barras. Después, ubicamos verticalmente la cantidad tomando una escala de acuerdo con la información. En este caso como la
cantidad está dada en unidades de mil, cada graduación en la línea
indica que hay 1.000 animales más. Finalmente, realizamos las barras
que tendrán una altura o serán coloreadas tomando como base la tabla de datos recolectados.
cantidad
10.000
5.000
1.000
1980
54
2000
2020
años
rentes
izan dife
il
t
u
e
s
mos
ística
isualice
v
e
u
En estad
q
a
as para
Consult
diagram recolectados.
s
s
iagrama
d
s
ro
t
o
los dato
s
eriódico
en los p s.
ico
estadíst
En el caso particular de la región africana mencionada al principio, podemos representar los datos de la tabla de la siguiente forma:
Cebras
Búfalos
10.000
10.000
5.000
5.000
1.000
1.000
1980
2000
2020
1980
Hipopótamos
10.000
5.000
5.000
1.000
1.000
2000
2020
Antílopes
10.000
1980
2000
1980
2020
2000
2020
Observa que en el caso de la cantidad de hipopótamos en el año 2 020
se estima que sea únicamente de 500, por eso el recuadro solo se ha
coloreado hasta la mitad. Además, en todos los diagramas se observa
claramente que la cantidad de animales ha ido disminuyendo con el
paso de los años.
Otros dos aspectos a tomar en cuenta en la elaboración de los diagramas de barras son los siguientes:
Todas las barras en este diagrama pueden
tener la misma altura, pero solo se coloreará hasta donde lo indique la tabla de datos
o sencillamente la atura de la barra estará
determinada por la tabla de datos así:
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
Los diagramas de barras también se pueden
elaborar de forma horizontal. En ese caso la
presentación resultará de la siguiente forma:
1 2 3 4 5
cantidad
55
Indicador de desempeño: utiliza el diagrama de barras para la representación de un
cuadro de registro.
ACTIVIDAD 10
Modelar
1. Construye los diagramas de barras a partir del siguiente cuadro de
registro:
Cantidad de animales en el zoológico en los últimos cuatro años
2011
2012
2013
2014
Tigres
4
5
5
7
Osos
2
2
3
5
Armadillos
8
5
3
2
Chimpancés
10
7
8
10
Tigres
Osos
10
10
5
5
1
1
2011
2012
2013
2014
2011
Armadillos
10
5
5
1
1
2012
2013
2013
2014
Chimpancés
10
2011
2012
2014
2011
2012
2013
2014
Comunicar
2. Con base en los diagramas anteriores colorea la palabra correspon-
diente que indique lo que ha ocurrido con la cantidad de animales
en los últimos cuatro años. Luego comenta los resultados con tus
compañeros y compañeras.
Tigres
Aumentó
Disminuyó
Osos
Varió
Aumentó
Armadillos
Aumentó
56
Disminuyó
Disminuyó
Varió
Chimpancés
Varió
Aumentó
Disminuyó
Varió
Comparar y
ejercitar
3. Completa el cuadro de registro con base en el diagrama de barras.
Halcones
Cocodrilos
10
10
5
5
1
1
2011
2012
2013
2014
2011
2012
2013
2014
Cantidad de animales en el zoológico en los últimos cuatro años
2011
2012
2013
2014
Cocodrilos
Halcones
Formular y
resolver
4. Completa el cuadro de registro con la información que recolectes
en tu colegio y luego construye el diagrama de barras vertical.
¿Cuántos niños y niñas tienen mascotas en su hogar?
1°
Grado primero
2°
Grado segundo
3°
Grado tercero
Comunicar
5. Recorta dos diagramas de barras que encuentres en una revista o
periódico y comenta con tus compañeros el significado de cada
uno de ellos.
Comentario evaluativo personal, de la familia o el docente:
57
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Para solucionar un problema es importante conocerlo con
claridad y analizarlo para decidir cuál es el procedimiento
y la operación correcta para hallar la solución.
Hay términos
que nos dicen
qué operación
hacer.
Términos que indican
adición.
Términos que indican
sustracción.
Suma
Más
En total
Agregar
Diferencia
Menos
Cuánto falta
Cuánto más
• Resuelve los siguientes problemas.
Problema 1.
6 cm
3 cm
6 cm
1.Datos que se conocen:
2.Pregunta que debo contestar:
3.Procedimiento:
4.Respuesta:
58
Si se desea bordear
con un hilo dorado
este paño, ¿cuántos
centímetros de hilo
necesitamos?
Problema 2.
Observa la tabla en donde aparece el registro de la cantidad de llamadas telefónicas que hicieron en el zoológico “Vida Animal”.
Mes
Número de llamadas
Enero
893.152
Febrero
689.971
Marzo
732.991
Abril
942.639
• Ahora, con base en la información contesta las siguientes preguntas:
1.¿Cuántas llamadas telefónicas se hicieron en enero y en febrero?
2.¿Cuál es el total de llamadas de enero y febrero?
3.¿Cuántas llamadas telefónicas se hicieron en marzo y en abril?
4.¿Cuántas llamadas más se hicieron en abril que en marzo?
5.¿Cuántas llamadas faltaron en abril para completar el millón?
6.¿En qué mes se hizo la mayor cantidad de llamadas?
7.¿En qué mes se hizo el menor número de llamadas?
8.¿Cuántas llamadas faltaron en febrero para igualar a abril?
9.¿La cantidad de llamadas del mes de enero estuvo más cerca de
800.000 o de 900.000?
10. ¿Cuál de los siguientes diagramas de barras se adapta más a la
situación?
1’000.000
1’000.000
1’000.000
800.000
800.000
800.000
600.000
600.000
600.000
400.000
400.000
400.000
200.000
200.000
200.000
0
Enero Febrero Marzo Abril
0
Enero Febrero Marzo Abril
0
Enero Febrero Marzo Abril
59
EVALUACIÓN
Selección Múltiple
• Rellena en la sección de respuestas la opción que nos determine la res-
puesta correcta en cada ejercicio tomando en cuenta el siguiente dibujo.
150
cm
150 cm
1m
1m
1.Los segmentos verdes y el segmento rojo forman un ángulo
A Agudo
B Recto
C Obtuso
D Llano
2.El alto de la ventana rectangular es de
A 150 m
B 150 dm
C 150 cm
D 150 mm
3.La base de la ventana triangular y el segmento rojo son
A Perpendiculares
C Paralelos
B Secantes
D Rectos
4.¿Cuál es el perímetro de la ventana rectangular?
A 151 cm
B 5 cm
C 250 cm
D 5m
5.La longitud de la base de la ventana triangular es de
A 100 mm
B 1 dm
C 1 dam
D 1.000 mm
6.¿Cuál es el perímetro de la ventana triangular?
A 4 cm
SECCIÓN DE
RESPUESTAS
60
B 4 dm
C 4 m
D 4 km
1. A
B
C
D
4. A
B
C
D
2. A
B
C
D
5. A
B
C
D
3. A
B
C
D
6. A
B
C
D
Causa - Efecto
• Relaciona las dos columnas de tal manera que se forme la frase
correcta.
Si dos rectas no se cortan
entonces las rectas son...
…obtuso.
Si dos rectas se cortan formando
un ángulo recto entonces
las rectas son…
… perpendiculares.
Si la abertura de un ángulo es más
pequeña que la abertura del
ángulo recto, entonces el ángulo es….
…agudo.
Si la abertura de un ángulo es mayor que
un ángulo recto, pero menor que la abertura
del ángulo llano, entonces el ángulo es…
… paralelas.
Argumentación
• Toma en cuenta el tamaño real de un campo de baloncesto y deter-
mina la unidad de medida que está mal; luego corrígela.
2 dm
4 km
Profundización
• Mira el dibujo y con base en él, inventa un problema en tu cuaderno.
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
3.581
16.402
5.038
12.092
8.497
61
matemáticas para la vida
Normalmente las empresas de servicios públicos nos
envían todos los meses un recibo de cobro que incluye
los datos de la cantidad que hemos consumido.
• Contesta cada una de las preguntas con base en el recibo de energía
que aparece a la izquierda.
•
¿En alguno de los meses se superó el
consumo de los 200 kWh?
•
¿Cuál fue el mayor consumo?
•
¿El consumo de energía ha crecido
en los últimos meses o ha disminuido?
•
¿Esto es bueno o malo?
• Completa el siguiente diagrama de barras con base en los consumos
de los últimos cinco meses según se observa en la parte inferior.
COMPETENCIAS LABORALES
Interpersonal (Trabajo en equipo)
1.¿Por qué todos deberíamos ahorrar energía?
2.¿Cómo puedes colaborar en tu casa para el ahorro de energía?
62
• Las calles de este plano forman ángulos de diferentes clases y muestran
Carrera Colombia
la relación entre pares de rectas. Con base en este, escoge la opción
más adecuada.
ag
Di
o
l
na
Al
i
tam
ra
Calle Buenos Aires
Calle Las Flores
1.La Diagonal Altamira y la Calle Buenos Aires forman un par de rectas
A Paralelas
B Perpendiculares
C Secantes
2.La avenida paralela a la Calle Las Flores es
A Calle Buenos Aires
B Carrera Colombia
C Diagonal Altamira
3.La avenida que no es perpendicular a la Carrera Colombia es
A Calle Buenos Aires
B Calle Las Flores
C Diagonal Altamira
4.El ángulo que forma la Calle Buenos Aires con la Carrera Colombia es
A Agudo
B Recto
C Obtuso
COMPETENCIAS CIUDADANAS
Participación y responsabilidad democrática.
1.¿Por qué es importante conocer el barrio en donde vivimos?
2.¿Cómo podemos participar en la comunidad para el progreso
de todos?
63