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Tema 1: movimiento
oscilatorio
Oscilaciones y Ondas
Fundamentos físicos de la ingeniería
Ingeniería Industrial
Primer Curso
Joaquín Bernal Méndez
Curso 2009/2010
Dpto.Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
1
Índice


Introducción: movimiento oscilatorio
Representación matemática del MAS





Energía
E
í del
d l MAS
Sistemas oscilantes:





Dinámica del MAS
Periodo y frecuencia
Velocidad y aceleración
Muelle vertical
Péndulo simple
Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones Forzadas: resonancia
Joaquín Bernal Méndez
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2
Movimiento oscilatorio


Movimiento periódico
Ejemplos:






Barcas sobre el agua
Bandera al viento
Péndulo de un reloj
Moléculas en un sólido
V e I en circuitos de corriente alterna
En general,
general cualquier objeto desplazado
ligeramente de su posición de equilibrio
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3
Movimiento oscilatorio


Forma más básica de movimiento oscilatorio:
movimiento armónico simple (MAS)
¿Por qué estudiar el MAS?



Ejemplo
Ej
l sencillo
ill d
de movimiento
i i t oscilatorio
il t i
Aproximación válida en muchos casos de
movimiento
i i t oscilatorio
il t i
Componente básico de la ecuación del
d
desplazamiento
l
i t d
de movimientos
i i t oscilatorios
il t i más
á
complejos
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Índice


Introducción: movimiento oscilatorio
Representación matemática del MAS





Energía
E
í del
d l MAS
Sistemas oscilantes:





Dinámica del MAS
Periodo y frecuencia
Velocidad y aceleración
Muelle vertical
Péndulo simple
Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones Forzadas: resonancia
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Representación matemática
del MAS: dinámica del MAS

Cuerpo unido a un muelle
F  kx

F
• k : constante del muelle
x
x0  0
• Signo: fuerza restauradora
• Segunda ley de Newton:
F  ma  kx
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a
kkx
m
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Condición de MAS
para la aceleración
6
Representación matemática
del MAS

Segunda ley de Newton:

Solución: x(t )  A cos(t  )
d 2x
F  ma  kx
m 2  kx  0
dt
2
d x
k
2
2


x

0
con:
co
:


dt 2
m
• Comprobación:
dx
  A sen(t  )
dt
d 2x
2
2


A

cos(

t


)


x
2
dt
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Representación matemática
del MAS

Significado físico de las constantes:
x(t )  A cos(t  )




A


Amplitud (m)
Frecuencia angular (rad/s)
Constante de fase (rad)
Determinación de A y 
x(0)  A cos()
v(0)   A sen()
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Dos ecuaciones
con dos incógnitas
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Representación matemática
del MAS: Ejemplo
t 0
x
x(0)  A cos()  A0
v(0)   A
A sen()  0
A0
 A  A0
 0
Solución: 
2 A0
x
A0
x(t )  A0 cos((t )
t
 A0
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Representación matemática
del MAS: Resumen

Fuerza que provoca un MAS:
F   kx

Ley de Hooke
Ecuación diferencial del MAS
d 2x
2


x0
2
dt

Ecuación del MAS
x(t )  A cos(t  )
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Representación del MAS:
periodo y frecuencia

Periodo (T): Tiempo necesario para cumplir
un ciclo completo
x(t )  x(t  T )
x(t  T )  A cos(t  T  )
x
2
T

Unidades:
segundos (s)
T  2 
T
t
T
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Representación del MAS:
periodo y frecuencia

Frecuencia ( f ): Número de oscilaciones por
unidad de tiempo (ciclos por segundo)
f 

1 

Unidades: s -1  Hz
T 2
Para el resorte:
k

m
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2
 2

1
1
f  
T 2
T
m
k
k
m
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La frecuencia
no depende
d
d de
d
la amplitud
12
Representación del MAS:
aplicaciones

El hecho de que la frecuencia de las
oscilaciones del resorte no dependa de la
amplitud tiene interesantes aplicaciones:

Medida de masas a partir de periodo de
oscilación
El astronauta Alan L
L.
Bean midiendo su masa
durante el segundo
viaje del Skylab (1973)
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Representación del MAS:
aplicaciones

El hecho de que la frecuencia de las
oscilaciones del resorte no dependan de la
amplitud tiene interesantes aplicaciones:


Medida de masas a partir de periodo de
oscilación
Instrumentos musicales: la frecuencia del sonido
no depende de la fuerza con que se pulse la
cuerda del instrumento o la tecla de un piano
piano.
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Representación del MAS:
velocidad y aceleración



Posición:
Velocidad:
x(t )  A cos(t  )
dx
El signo indica el
  A sen(t  )
v(t ) 
sentido
dt
k
vmax  A  A
(para el resorte)
m
Aceleración:
d 2x
signo indica el
a (t )  2   A2 cos((t  )  2 x(t ) El
sentido
dt
k
(para el resorte)
amax  A2  A
m
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Representación del MAS:
velocidad y aceleración
A
x
x(t )  A cos(t )
T
2
-A
A
T
3T
2
• Suponemos =0

v(t )   A sen(t )  A cos(t  )
2
v(t )
• Desfase /2 con x(t)
T
2
T
3T
2
a (t )   A2 cos(t )  A2 cos(t  )
-A
A2
a (t )
• Desfase /2 con v(t)
T
2
2
Bernal Méndez
-AJoaquín
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T
3T
2
()
• Desfase  con x(t)
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Representación del MAS:
velocidad y aceleración
A
x
t 0
x
T
2
-A
A
T
v0 2
a   A
3T
2
x
v(t )
t  T4
T
2
T
x
3T
2
v  A
a0
-A
A2
a (t )
x
T
2
T
3T
2
2
Bernal Méndez
-AJoaquín
t  T2
x
v02
a A
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Representación del MAS:
velocidad y aceleración
A
t  T2
x
x
T
2
-A
A
T
3T
2
v02
a A
x
v(t )
t  34T
T
2
T
v  A
0
xa
3T
2
-A
A2
a (t )
x
T
2
2
Bernal Méndez
-AJoaquín
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T
3T
2
t T
x
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v0 2
a  
A
18
Índice


Introducción: movimiento oscilatorio
Representación matemática del MAS





Energía
E
í del
d l MAS
Sistemas oscilantes:





Dinámica del MAS
Periodo y frecuencia
Velocidad y aceleración
Muelle vertical
Péndulo simple
Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones Forzadas: resonancia
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Energía del MAS

Si no hay rozamiento: energía mecánica
constante  E  Ec  U  cte
Energía cinética:

Energía
g p
potencial:

1
Ec  mv 2
2
x
x
1
U ( x)  U (0)  Wmuelle    Fdx   Kx dx  kx 2
2
0
0
1
U ( x)  kx 2
2
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Energía del MAS

Energía mecánica:
 x(t )  A cos(t  )
1 2 1 2
E  mv  kx con: 
2
2
v(t )   A sen(t  )
1
1
E  mA22 sen 2 (t  )  kA2 cos 2 (t  )
2
2
Usando: m  k
2
(para un resorte)
1
1
E  kA2 (sen 2 (t  )  cos 2 (t  ))  kA2


 2
2
1
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Energía del MAS
1
E  kA2
2
¡ No depende de la masa !
• La energía se trasvasa
continuamente de cinética a
potencial y viceversa
Ec
1
E  kA2
2
1 2
x   A  E  U max  kA
k
2
1 2
1 2
x  0  E  Ec ,max

mv

kA
max
max
2
2
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Energía del MAS

Cualquier
C
l i partícula
tí l que se d
desplaza
l
liligeramente
t d
de
su equilibrio sufre un MAS ya que cualquier curva
puede aproximarse cerca del mínimo con una
parábola:
U(x) para una partícula en el
f d de
fondo
d un cuenco esférico
fé i
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Índice


Introducción: movimiento oscilatorio
Representación matemática del MAS





Energía
E
í del
d l MAS
Sistemas oscilantes:





Dinámica del MAS
Periodo y frecuencia
Velocidad y aceleración
Muelle vertical
Péndulo simple
Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones Forzadas: resonancia
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24
Sistemas oscilantes:
muelle vertical



Supongamos muelle vertical
Definimos eje
j y hacia abajo
j
Fuerza del muelle


F  kyu
k y
y
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25
Sistemas oscilantes:
muelle vertical



Añadimos una masa m
Aparece una fuerza
adicional, el peso:


P  mgu y
Se puede hallar el alargamiento del
muelle ( y0 ):
 
Condición de equilibrio: F  P  0
mg  ky0
y0 
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mg
k
Puede
P
d usarse
para medir k
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Sistemas oscilantes:
muelle vertical


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Hacemos oscilar el sistema:
mg  ky  ma
D fi i
Definimos:
y  y  y0
mg
y  y  y0  y 
k
mg  ky  ky
d2y
d 2 y
ma  m 2  m 2
dt
dt
d 2 y
m 2   ky
dt
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Sistemas oscilantes:
muelle vertical
d 2 y
k
Ecuación diferencial

y


de un MAS
dt 2
m
Solución: y  A cos((t  )

k
2
m
 2
;T
m

k
El ú
único
i efecto
f t d
de m es desplazar
d
l
la posición de equilibrio
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Índice


Introducción: movimiento oscilatorio
Representación matemática del MAS





Energía
E
í del
d l MAS
Sistemas oscilantes:





Dinámica del MAS
Periodo y frecuencia
Velocidad y aceleración
Muelle vertical
Péndulo simple
Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones Forzadas: resonancia
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Sistemas oscilantes:
péndulo simple





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Objeto de masa m
Suspendido de una cuerda
ligera (mc<<m) de longitud L
Extremo superior fijo
Si lo desplazamos del
equilibrio y lo soltamos:
oscilaciones
il i
¿Es un M.A.S.?
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Sistemas oscilantes:
péndulo simple
Segunda
g
Ley
y de Newton:
mg sen   ma
d 2s
mg sen   m 2 usando: s  L
dt
d 2
 g sen   L 2
dt
Si    sen   
d 2
g



2
dt
L
Ecuación diferencial de un MAS
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Sistemas oscilantes:
péndulo simple
d 2
g



dt 2
L
Solución:
  0 cos(t  ) con:  
Periodo del péndulo simple:
T
g
L
2
L
 2

g
¡ T no depende de m !
¡ T no depende de  !
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Péndulo simple: aplicaciones

El hecho de que el periodo de oscilación de
un péndulo simple no dependa de la masa ni
de la amplitud (para amplitudes pequeñas)
resulta llamativo y tiene interesantes
aplicaciones:


Técnica sencilla para calcular la aceleración de la
gravedad.
M did d
Medida
dell titiempo: péndulo
é d l d
de un reloj
l j
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33
Índice


Introducción: movimiento oscilatorio
Representación matemática del MAS





Energía
E
í del
d l MAS
Sistemas oscilantes:





Dinámica del MAS
Periodo y frecuencia
Velocidad y aceleración
Muelle vertical
Péndulo simple
Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones Forzadas: resonancia
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34
Sistemas oscilantes:
péndulo físico


Eje


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Objeto rígido de masa m
Oscila alrededor de un eje
j
fijo
Si lo desplazamos del
equilibrio
equ
b o y lo
o so
soltamos:
ta os
oscilaciones
¿Es un M.A.S.?
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35
Sistemas oscilantes:
péndulo físico
  
M  D P
Eje
M  mgD sen 
Segunda
g
Ley
y de Newton
para una rotación:
d 2
 M i  I dt 2  mgD sen 
Si    se
S
sen   
d 2
mgD



dt 2
I
Ecuación diferencial de un MAS
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36
Sistemas oscilantes:
péndulo físico
d 2
mgD


dt 2
I
Eje
Solución:
  0 cos(t  ) con:  
Periodo del péndulo simple:
T
mgD
g
I
2
I
 2

g
mgD
• Puede usarse para medir I
• Si I=mD2: T del pendulo simple
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37
Índice


Introducción: movimiento oscilatorio
Representación matemática del MAS





Energía
E
í del
d l MAS
Sistemas oscilantes:





Dinámica del MAS
Periodo y frecuencia
Velocidad y aceleración
Muelle vertical
Péndulo simple
Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones Forzadas: resonancia
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38
Oscilaciones amortiguadas


Las oscilaciones en sistemas oscilantes
reales no son p
permanentes: rozamiento
Este efecto puede incluirse en los cálculos:
k
t t
 b  constante
v  velocidad
Fuerza resistiva: R  bv con: 
Amortiguamiento lineal (muy habitual)

Segunda
g
Ley
y de Newton:
kx  bv  ma
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dx
d 2x
  kx  b  m 2
dt
dt
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Oscilaciones amortiguadas
Ecuación:
Solución:
d 2x
dx
m 2  b  kx  0
dt
dt

x(t )  Ae
b
t
2m
cos(t  )
2
2
k  b 
 b 
2





0


 ;
m  2m 
 2m 
  0
0 
k
m
Frecuencia natural
(corresponde a bb=0)
0)
El sistema oscila con frecuencia menor
que si no hubiera rozamiento (b=0)
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Oscilaciones amortiguadas

x(t )  Ae
b
t
2m
cos(t  )
La amplitud decrece exponencialmente
decrece más rápido cuanto mayor es b
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Oscilaciones amortiguadas

La solución propuesta es válida para b  2m0
2
 b 
Si t
subamortiguado
b
ti
d
  02  
   Sistema
 2m 

Si b  2m0 : ell sistema
i t
no oscila
il
 2m0 )
Sobreamortiguado (b  2m0 )
(b
Críticamente amortiguado
g
Cuanto mayor sea b
más tarda en alcanzar el
q
equilibrio
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42
Índice


Introducción: movimiento oscilatorio
Representación matemática del MAS





Energía
E
í del
d l MAS
Sistemas oscilantes:





Dinámica del MAS
Periodo y frecuencia
Velocidad y aceleración
Muelle vertical
Péndulo simple
Péndulo físico
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones Forzadas: resonancia
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43
Oscilaciones forzadas



En un sistema amortiguado la
energía decrece con el tiempo
Para mantener las
oscilaciones es preciso
suministrar energía de forma
continua
ti
Esto precisa la acción de una
fuerza externa
F  F0 cos((et )
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Oscilaciones forzadas:
resonancia

Movimiento del oscilador forzado:


Estado inicial transitorio
Estado estacionario:



Oscila con e y A(e)
Energía es constante (suministrada=disipada)
Resonancia: ocurre cuando e  0
El sistema oscila con
amplitud y energía máximas
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Resonancia: ejemplo
Puente de Tacoma Narrows
• El 7 de noviembre de 1940, se derrumbó el puente
colgante de Tacoma Narrows (Washington, USA) debido
a las vibraciones provocadas por el viento
viento.
• El puente llevaba abierto al tráfico unos pocos meses.
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Resonancia: ejemplo
Puente de Tacoma Narrows
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Resonancia: ejemplo
Bahía de Fundy




La bahía de Fundy se conoce por registrar
la máxima diferencia en el nivel del agua
entre la marea alta y la bajamar (alrededor
de 17 metros).
Se cree que el nombre “Fundy” data del
siglo XVI, cuando exploradores portugueses
llamaron a la bahía "Rio Fundo“ (río
profundo).
f d )
El folklore popular afirma que las mareas
son causadas por una ballena gigante que
chapotea en el agua
agua.
Los oceanógrafos atribuyen el fenómeno a
la resonancia, como resultado de la
coincidencia entre el tiempo que necesita
una gran ola para penetrar hasta el fondo
de la bahía y regresar y el tiempo entre
mareas altas (12.4 horas).
Joaquín Bernal Méndez
Curso 2009/2010
Dpto.Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
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Resonancia: ejemplo
Bahía de Fundy
Joaquín Bernal Méndez
Curso 2009/2010
Dpto.Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
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Resumen del tema
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El MAS tiene lugar cuando una partícula está sometida a una
fuerza restauradora de valor proporcional al desplazamiento
desde el equilibrio.
La posición de una partícula que experimenta un MAS varia con
el tiempo de forma sinusoidal
La energía total de un oscilador armónico simple es una
constante del movimiento
movimiento.
Las oscilaciones amortiguadas tienen lugar en un sistema en
que hay una fuerza resistiva que se opone al movimiento del
cuerpo oscilante.
Para compensar la disminución de energía con el tiempo en un
oscilador amortiguado debe emplearse una fuerza externa:
oscilaciones forzadas.
Cuando la frecuencia de la fuerza externa es similar a la
frecuencia natural del oscilador no amortiguado la amplitud de
las oscilaciones es máxima: resonancia
Joaquín Bernal Méndez
Curso 2009/2010
Dpto.Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
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