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MOVIMIENTO OSCILATORIO
O VIBRATORIO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Movimiento armónico simple (MAS).
Ecuaciones del MAS.
Dinámica del MAS.
Energía del MAS.
El oscilador armónico.
El péndulo simple.
Física 2º bachillerato
Movimiento oscilatorio o vibratorio
1
0. Conocimientos previos
Los conocimientos previos que son necesarios
dominar y ampliar son:
• La ley de Hooke (la fuerza aplicada sobre un
resorte
es
proporcional
al
alargamiento
producido).
F  K  l  K  l  l0 
• El movimiento circular uniforme (MCU) donde la
velocidad angular (w) es constante.
• El momento de inercia (I)
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I  mr
Movimiento oscilatorio o vibratorio
2
2
1. El movimiento armónico simple
Un movimiento oscilatorio o vibratorio es un movimiento
periódico de vaivén respecto de una posición central (o de
equilibrio) sobre la misma trayectoria.
Es un movimiento periódico (se repite a intervalos iguales
de tiempo) entre dos puntos equidistantes de la posición
de equilibrio.
En un caso ideal (sin rozamientos) el movimiento oscila
indefinidamente, en la realidad es amortiguado por la
fricción disminuyendo gradualmente hasta hacerse nulo.
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Movimiento oscilatorio o vibratorio
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1. El movimiento armónico simple
Los parámetros del movimiento vibratorio
son:
• Periodo (T).
• Frecuencia (f).
• Elongación (x).
X
• Amplitud (A).
A
t
t
0
ω
π
2
0
π 0
ω
t
ω
O
t
3
2
0
ω
t
2   0
ω
t
A
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Movimiento oscilatorio o vibratorio
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1. El movimiento armónico simple
•
Periodo (T)
•
Es el tiempo que tarda el móvil
en describir una oscilación
completa, el que tarda en
repetirse una posición dada
(mismas
características
cinemáticas).
Se mide en segundos (s).
•
Frecuencia (f ó ν):
Es el número de oscilaciones por
unidad de tiempo (número de
veces que una misma situación
cinemática se da en un segundo).
Se mide en herzios (Hz=s-1).
Elongación (x):
Es la posición de la partícula
respecto de la posición de
equilibrio
en
un
instante
determinado. Es la distancia en
cada momento al punto central
(O).
•
Amplitud (A):
Es el valor máximo que puede
tomar la elongación. Es el límite,
por ambos lados, de la posición
central entre los que se mueve el
punto.
La frecuencia y el periodo son
funciones inversas:
f 
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1 2

T
w
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EJERCICIO-EJEMPLO
Determinar para la siguiente representación
de un movimiento armónico simple los
parámetros:
a)
b)
c)
d)
e)
Periodo.
Frecuencia.
Amplitud.
La elongación para un periodo.
Frecuencia angular.
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Movimiento oscilatorio o vibratorio
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1. El movimiento armónico simple
Un movimiento oscilatorio será armónico cuando oscila bajo la acción de
fuerzas restauradoras (recuperar la posición de equilibrio) que son
proporcionales a la distancia respecto de la posición de equilibrio.
Un movimiento armónico simple (MAS) es un movimiento oscilatorio,
periódico, rectilíneo y acelerado. El vector aceleración es proporcional e
inverso al vector de posición.
La condición necesaria y suficiente para que un movimiento sea armónico
simple es que cumpla: a=-w2x
En un movimiento armónico simple la posición del cuerpo se repite
periódicamente cada T segundos (es un movimiento periódico).
Un oscilador armónico es cualquier partícula o sistema con MAS (ej:
péndulo).
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RELACIÓN DE EJERCICIOS
MOVIMIENTO ARMÓNICO
SIMPLE (M.A.S.)
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2. Las ecuaciones del MAS
Las ecuaciónes (cinemática) de un MAS son:
• Posición:
x  A  cos(w  t  )
• Velocidad:
• Aceleración:
2
w
T
dx
v
 ...   A  w  sen( w  t  )
dt dv
a
dt
 ...   A  w2  cos( w  t  )   w2 x
La posición, la velocidad y la aceleración son funciones armónicas,
varían sinusodialmente con el tiempo.
Son magnitudes vectoriales.
También se pueden obtener las ecuaciones a partir de (se puede
pasar de la una a la otra):
x  A  sen(w  t  )
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2. Las ecuaciones del MAS
Donde los significados son:
•
•
•
x = posición o elongación
(m), distancia al punto
central.
v = velocidad
(m/s).
a = aceleración (m/s2).
2
w  2 f 
T
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•
•
•
A = amplitud o elongación máxima (m),
límites a ambos lados de la posición
central.
w = pulsación o frecuencia angular
s), el número de veces que el ciclo
completo se repite en 2π segundos
(no es una velocidad angular).
(rad/
t = tiempo (s).
•
 = ángulo de fase o fase inicial
(rad) o desfase inicial, indica la
situación inicial (t=0).
•
wt+ = fase, indica la situación de la
partícula respecto al ciclo completo,
es un ángulo.
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2. Las ecuaciones del MAS
Las posiciones se
circunferencia.
pueden
asimilar
a
los
ángulos
de
una
En realidad, se utilizan radianes.
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2. Las ecuaciones del MAS
Propiedades importantes de una
partícula que se mueve con
movimiento armónico simple:
1) El desplazamiento, la
velocidad y la aceleración
varían senoidalmente con el
tiempo, pero no están en fase.
2) La aceleración de la
partícula es proporcional al
desplazamiento, pero tiene el
sentido opuesto.
3) La frecuencia y el
periodo del movimiento son
independientes de la amplitud.
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EJERCICIO-EJEMPLO
Una partícula tiene un movimiento descrito
por un M.A.S. que dado por la siguiente
ecuación: x(t) = 10 sen(4πt + π/4).
Calcular:
a) La posición para t = 1 s.
b) La velocidad en t = 1 s.
c) La aceleración en t = 1 s.
d) El periodo, la amplitud, la frecuencia, la
pulsación y la fase inicial.
e) La ecuación en función del coseno.
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2. Las ecuaciones del MAS
Otras formas de expresar la ecuación de
posición del MAS son:
x  A  cos  wt  0   A  cos  2 ft  0 
x  A  sen  wt  0   A  sen  2 ft  0 
Estas ecuaciones pueden simplificarse
función de los datos del problema.
en
La celeridad o rapidez es el módulo de la
velocidad.
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2. Las ecuaciones del MAS
Algunas relaciones de interés en las
ecuaciones son:
vmax   A  w  x  0  amin  0
vmin  0  x   A  amax   A  w2
Tiempo
0
Posición
A
Velocidad
0
Aceleración -Aw2
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T/
4
T/
2
3T/
4
0
A
-wA
0
wA
0
0
Aw2
0
-Aw2
0
-A
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T
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2. Las ecuaciones del MAS
Si bien, la trayectoria del oscilador armónico es
rectilínea, la gráfica posición-tiempo que le
corresponde es sinosuidal.
X=A
x >0
v =0
a <0
x >0
v >0
a <0
x >0
v <0
a <0
x =0
v >0
a =0
X=0
x =0
v <0
a =0
t1
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t2
t3
x <0
v =0
a >0
x <0
v <0
a >0
X=A
t4
x <0
v >0
a >0
t5
t6
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t7
t8
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2. Las ecuaciones del MAS
Realizar la gráfica de: x  A  cos(wt )   0
X
O
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t
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2. Las ecuaciones del MAS
Realizar la gráfica de:
x  A  sen(wt )   
2
X
O
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t
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EJERCICIO-EJEMPLO
La aceleración de un movimiento queda determinada
por la expresión: a=-16π2x, estando medida en ms-2
y x (distancia al origen) en m. Sabiendo que el
desplazamiento máximo es 4 m y que se ha
comenzado a contar el tiempo cuando la aceleración
adquiere su valor absoluto máximo.
En los desplazamientos positivos, determinar:
a) La ecuación del desplazamiento para cualquier
instante.
b) La velocidad y la aceleración máximas.
c) La velocidad y aceleración cuando el desplazamiento
es la mitad del máximo.
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RELACIÓN DE EJERCICIOS
CINEMÁTICA DEL M.A.S.
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3. Dinámica del MAS
La ley de Hooke describe el comportamiento de un muelle
con un MAS indicando que la fuerza restauradora es
directamente proporcional a su deformación.
Fm = fuerza que ejerce el muelle (N).
- = la fuerza es opuesta a la elongación.
k = constante elástica del muelle (N/m).
x = deformación o elongación del muelle (m).
Fm  kx
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3. Dinámica del MAS
La fuerza restauradora es central, dirigida al punto de
equilibrio y proporcional a la distancia a ese punto.


Fm  k  x 

 m  a  k  x  a  k  x m 
2
2
F  ma 
  w  x  k  x m  w  k m 

  T  2 m k
a   w2  x 


2

w  2 f 
T
1 k
f 
m
2
El periodo y la frecuencia de un MAS dependen de la
masa del oscilador y de la constante restauradora pero
son independientes de la amplitud.
.
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Posición
A
0
-A
0
Fuerza
-kA
0
+kA
0
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EJERCICIO-EJEMPLO
Una partícula de masa 2 kg se mueve a lo largo del
eje X, y hacia el origen sometida a una fuerza
F=-10x i. Inicialmente se encuentra a 2 m del
origen moviéndose con una velocidad de 10 m/s.
Calculese:
a) El periodo del movimiento.
b) El instante en que pasa por el origen por
primera vez.
c) La velocidad en dicho instante.
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RELACIÓN DE EJERCICIOS
DINÁMICA DEL M.A.S.
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4. Energía del MAS
La energía cinética es una energía en función de la
velocidad pero que puede expresarse en función de la
posición en la que se encuentra la partícula que oscila.
La energía potencial es una energía potencial elástica, es
el trabajo que realizan las fuerzas recuperadoras para
devolver a la partícula al punto central. A mayor
distancia de la posición de equilibrio mayor es la
energía potencial.
La energía mecánica es la suma de la potencial elástica y
cinética, en un oscilador armónico es constante (por
ser un sistema conservativo).
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4. Energía del MAS
La energía cinética es:
1
1
1
1
1
Ec  mv 2  ...  mw2 A2 sen2 ( wt  )  Ec  mw2 ( A2  x 2 )  Ecmax  mw2 A2  kA2
2
2
2
2
2
La energía potencial es:
1
1
1
Ep   F  dx  k  x  dx  ...  mw2 A2 cos2 (wt  )  Epmax  mw2 A2  kA2
2
2
2
La energía mecánica es:
.
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1
1 2
2 2
Em  Ec  Ep  ...  mw A  kA
2
2
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4. Energía del MAS
Hay una transformación continua de las energías
cinética y potencial pero su suma (energía
mecánica total) es constante.
Energías
E. POTENCIAL
E. CINÉTICA
E. MECÁNICA
-A ¿?
-A/2
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0
A/2
¿? A
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x(t)
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4. Energía del MAS
La energía mecánica permanece constante mientras que las energías
cinética y potencial varían de forma periódica.
La energía cinética es mínima en los extremos (x=A) y máxima en el
equilibrio (x=0).
La energía potencial es máxima en los extremos (x=A) y mínima en el
equilibrio (x=0).
.
x
A
0
-A
0
Ec
0
½ kA2
0
½ kA2
Ep
½ kA2
0
½ kA2
0
Em
½ kA2
½ kA2
½ kA2
½ kA2
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4. Energía del MAS
El trabajo (W) realizado por un muelle cuando es deformado viene dado por su fuerza
recuperadora (que se opone al sentido del desplazamiento) y será función de la
longitud de deformación (d) del muelle:
Puede ser:
WAB  
B
1
1
2
F  dr  ...   k  d A   k  d B2
2
2
•
A
Positivo:
Si la deformación del muelle disminuye.
•
Negativo:
Si la deformación del muelle aumenta.
El teorema de la energía cinética, teorema de las fuerzas vivas o teorema del trabajo
nos indica que el trabajo total realizado sobre una partícula es igual a la variación
de energía cinética que experimenta. Se aplica a todo tipo de fuerzas.
WTotal  Ec
El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la disminución de energía
potencial que experimenta el sistema.
WC  E p
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4. Energía del MAS
En un sistema aislado (no intercambia ni masa ni energía con el
exterior) se mantiene constante su energía total (la energía la
puedo transformar pero crearla ni destruirla).
La energía mecánica en un sistema solo con fuerzas conservativas se
mantiene constante.
La energía mecánica en un sistema con fuerzas no conservativas
puede variar.
WTotal  WC  WNC 

WTotal  EC
WNC  EC  EP  EM

WC  EP

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Movimiento oscilatorio o vibratorio
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EJERCICIO-EJEMPLO
Una masa de 20 kg cuelga de un hilo de 2 cm de
longitud y oscila con un periodo de 3 segundos y
una amplitud de 30°.
Calcula:
a) La velocidad con que la masa oscilante pasa por
la posición de equilibrio.
b)El valor de la fuerza que origina el movimiento
cuando el punto oscilante está en la posición
extrema.
c) La tensión del hilo en esa posición.
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Movimiento oscilatorio o vibratorio
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RELACIÓN DE EJERCICIOS
DINÁMICA DEL M.A.S.
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Movimiento oscilatorio o vibratorio
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5. El oscilador armónico
Un oscilador armónico es una
masa (m) unida a un muelle
(de masa despreciable y de
constante elástica k) donde
no se tienen en consideración
los rozamientos.
Es un MAS.
F  kx
k
a 
 x
m
m
m
k
w
m
La oscilación no depende de la
amplitud, sino de la masa y
las características elásticas
del muelle.
2
m
T
 ...  2
w
k
Es independiente que el muelle
esté en posición horizontal o
vertical.
1

2
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Movimiento oscilatorio o vibratorio
k
m
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6. El péndulo simple
Un péndulo simple es un ejemplo de MAS.
y
El péndulo simple está constituido por una masa
puntual (m) suspendido en un punto fijo
mediante un hilo inextensible y de masa
despreciable.
La componente tangencial del peso actúa como una
fuerza restauradora.
T  Py  m  a y 
 2 g
 ...w   T  2
l
Px  m  ax


L

x
T
Px = – mg sen 
l
g
m
Py= mg cos 
P= mg 
A partir de esta ecuación se puede determinar
experimentalmente la aceleración de la
gravedad.
El periodo es independiente de la amplitud de las
oscilaciones (A) y de la masa (m).
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6. El péndulo simple
Un péndulo simple es un buen ejemplo de
conservación de la energía mecánica.
WNC  0  EC  EP  EC  EP
Epmax  Ecmax  v0  2  g  hmax
E  Ep  mgh
E  Ec 
h
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1
m v2
2

Movimiento oscilatorio o vibratorio
v
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EJERCICIO-EJEMPLO
Una masa puntual de 50 g está suspendida de un hilo
inextensible y sin masa apreciable, de 2 m de
longitud. Se hace oscilar a dicha masa puntual, de
manera que en el momento de su máxima elongación
se eleva 2,5 cm por encima del plano horizontal que
pasa por su posición de equilibrio.
Calcular el periodo de las oscilaciones que ejecuta la
masa puntual.
Hallar la velocidad y la energía cinética de la masa
puntual cuando pasa por la vertical.
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RELACIÓN DE EJERCICIOS
PÉNDULO
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