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El conjunto de los números reales (IR)
Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente entre dos números enteros.
Existen dos maneras de escribir un mismo número racional:
designan
exactamente
de cifras decimales
a)
al mismo número.
significativas,
22
9
= 2,444 ...
~
e)
= 2,4
por tener infinitas
como fracción
decimal
o en forma decimal;
de un número racional
una y otrc
tiene un número finito
o es periódica.
Los números irracionales son aquellos
enteros,
La expresión
1
~
= -0,1666 ... = -0,16
-6
que no pueden ser expresados
cifras decimales
como un cociente
entre dos números
no periódicas.
Todas las raíces no exactas de base entera son números irracionales.
a) \Í2 = 1,414213 ...
V7
b)
Hay números irracionales
que se determinan
a) 4,36 9121S18 ...
b) 0,123456789 ...
El conjunto
Jr
= 2,645751...
e) Y4 = 1,587401...
a partir de una ley de formación.
e) -3,1122334455
el O, se elige un segmento
...
d) 25,102030405060
...
por los números racionales (Q) y los irracionales.
de los números reales (IR) está formado
Los números reales se grafican
m = 1,782602 ...
d)
sobre una recta denominada
recta real. A un punto de la misma se le asig"
unidad y se ubican los números restantes.
A cada número real le corresponde
punto de la recta y viceversa.
R
-1
I
_.1
1
"4
4
1,125
0,5
Intervalos reales
Se denomina
intervalo real a toda semirrecta
Algebraicamente
se designa un intervalo
• paréntesis, si los extremos
• corchetes, si se incluyen
A
= {x/x
E
R
no están incluidos
los extremos
1\ -2 <:
x
<:
o segmento
por sus extremos
(intervalo
(intervalo
de la recta real.
encerrados
entre paréntesis
o corchetes:
abierto);
cerrado).
3} = [-2;3]
M
=
{xix
R
E
1\
=
x > -3,S}
[-3,5;+CO)
-3,5
.
-3
B
-5
-1
-2
= {x/x
-4
E
E
-5
°
R
1\-4
-3
e = {xix
,
R
1\
< x < O}
-2
-1
1 <: x
<
= (-4;0)
T
l·
3
s} =
=
-2
[1;5)
-3
-4
{xix
-2
-1
>
E
R
1\ x
{x/x E
R
1\ x <:
2}
=
(2;+co)
-1
F
=
0,5}
=
(-co;O,S]
=
(-co;-l)
0,5
-2
-3
-1
0= {xix
E
I
-4
I
-3
<x
R 1\-2,S
-2,5
<:
-0,5} = (-2,5;-0,5]
-2
-1
G =
{x/x E
-3
-2
R
1\ x
0,5
I
-2
]
1I
-1
4
[TRAMO A
e
Números reales
1
-4
-1
<
-l}
un
Operaciones con números racionales
Al efectuar
la división no exacta de dos números enteros,
• el resto de la división sea cero: en ese caso el cociente
cifras decimales (expresiones
3
.
a) ¡ = 3 : 4 = 0,75
decimales
puede suceder que:
es una expresión decimal con un número finito de
finitas).
11
b)S=11:5=2,2
1
e)-g=
• el resto nunca se unule; necesariamente
cociente,
determinando
1
a)
se repite y al repetirse también
el período (expresiones decimales periódicas).
~
1:3 = 0,3
"3 =
)
b
-TI3
-1:8
= -0,125
lo hacen las cifras decimales
1
~
= -3: 11 = -0,27
del
~
e) 45 = 1: 45 = 0,02
Para transformar una expresión decimal periódica en fracción, se escribe en el numerador de la misma el
número decimal, sin la coma, menos la parte no periódica y en el denominador,
tantos 9 como cifras decimales
periódicas tenga la expresión, seguido de tantos ceros como cifras decimales no periódicas contenga.
2 3 = 23 - 2 = n = L
a,)
9
9
3
~
d ) 0,05
5
a)
~
46 - 4
e) -0,46 = - 90 =
1
= 90 = 18
Una operación
°, 4 . -2 7
b) -15 "2 = _ 152 - 15 = _ 137
,
9
9
donde aparezca
-1
3
-
~
V
r::-;:;
0.4
'
42
-90
=
conviene resolverla
+
0,09 - 16
7
1
2
5
3
3
2
5
+ \1-0,008
9 3
¡-"9
·0,6
9
4
1
3
---.---
9
4
+
1
5
1
5
Qd + \Iü,l25
-1
9
0,4
37
20
3
10 .
Números reales)
=
-1
8
9
+
°,
2,7
e
+
0,5 _
125 -
+4=
=
0,5 =
2-3
0,1
2
10
-----==
(TRAMO A
+ 0,2:
d) 0,02.:.15+ ~1 - 0,875 =
=
(-0,2) =
6
10
en forma fraccionario.
t: v'D,25
0,09 - 16
-
b) (- ~r2 - 0,3(1 - 0,4)
= 412 - 4 = 408 = 136
99
99
33
f) 3 215 = 3.215-321 = 2.894 = l.447
,
900
900
450
e) (-0,3)2 - 4: 0,25
140·~-t-fi=
-----
7
-15
una expresión decimal periódica
=
TI
)4
e,
6,7
= -15,51
Ecuaciones e inecuaciones de primer grado
Una identidad es una igualdad que se verifica para todos los valores posibles de la/s variable/s.
a) m + m = 2m b) x + y = y + x c) bn + an = (a + b)n
d) 0,2x + 3 - x + 1,4 = - 0,8x + 4,4
Una ecuación es una igualdad que se verifica para uno, algunos o ningún valor de la/s variable/s.
a) x
+
2 =
°
b)6-3x=5
c)x+4=x-3
d)x+2y+z=0
e)5-x=3+2/-8
Resolver una ecuación es encontrar, si exisen, el o los valores de las variables que verifican la igualdad
planteada. Dichos valores determinan el conjunto solución de la ecuación.
En este capítulo se trabajará con ecuaciones con una sola variable o incógnita.
Una ecuación de primer grado o lineal es aquella cuya forma general es: QX + b = 0, siendo a y b números
reales ya*, O.
a)-3(2x
-
i)
= (-~x
5
2
5
2
b) 2x - 3
+ 3): 0,5
+
(2
5 - 1)
= x - -(x
4
1
5
5
2x - 3 + 2x - - = x - - x + 2
4
4
-6x + - = - -x + 6
5
5
-6x + -x = 6 - 2
2
1
5
7
4x + -x = - +4
4
2
7 =-7
--x
2
1)
3 -x - 3
6
17
19
19
4x=4~x=U
2
x = -1
Las desigualdades que contienen variables se llaman inecuaciones.
En este capítulo se trabajará con inecuaciones de primer grado con una incógnita.
Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la verifican, y el conjunto solución es un intervalo real o el conjunto vacío.
Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso en que se divida o multiplique a ambos
miembros por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad.
a) -3x> 2
-3x: (-3) < 2: (-3)
x
s=
1
b)
- SX
<--32
x
(_oo;-!)
<:
:>
20
S = [20;+00)
e) 3x - -ª- < 4 - x
3
8
3x + x < 4 + 3'
-7x < 3
-7x: (-7) > 3: (-7)
x> _l
7
2,3x + 5,4 - x > 0,6 - 0,3x
1,3x + 0,3x > 0,6 - 5,4
1,6x>
x<.?J!:4
3
3
!TRAMOA
_
Números
d)
1
-¡x(-4)
reales]
-4,8:
x>
-3
-1(-4)
<:
4
S = (-00;4]
g) -ioOx
+ 5):>
(1 -
%x): 0,5
-6x - 3 :> 2 - 5x
-6x + 5x :> 2 + 3
-x:>
-4,8
x>
<:
x
S = (-t;+oo)
f) 2,3x + 5,4 - x > (6 - 3x)0,1
4x < .?J!
3
x<i
e)
-4
1,6
5
x < -5
S
= (-00;-5]
Módulo de un real. Propiedades
El módulo o valor absoluto de un número real es
su distancia al cero sobre la recta real.
Para todo número real x, su módulo se expresa: Ixl.
a) 151 = 5
'Ix
E
R: Ixl
= {.:
O
si
X
>-
si
X
<O
-7
I
b) 1-71 = -(-7) = 7
1-71~7
151~5
Propiedades
1)
Ixl
:>
o
a) 1-6,51 = -(-6,5)
2) Ixl
=
c)lol = O
= 6,5
I-xl
=
a) lo 021
J
=
1- 0021
,
J
,
+ yl < Ixl + Iyl
Q) Is + 4,11 < Isl + 14,11
112,11 < S + 4,1
=
b) 11321 = 1-1321 = -(-132)
-(-O 02) = O 02
132
3) Ix
b) 11,4
+
12,1 < 12,1
4)
Ix.yl
=
e) 1-5
+
(-1,4)1 < 1-51 + 1-1,41
1-6,41 < 5 + 1,4
6,4 < 6,4
Ixl.lyl
u) 16.(-5)1 = 161.1-51
b) IS.31 = IsI.131
1-301=6.5
30 = 30
1241 = S.3
24 = 24
Para entender
mejor las propiedades
-o
X
x<
5)
(-2)1 < 11,41 + 1-21
1-0,61 < 1,4 + 2
0,6 < 3,4
Ixl > a
1\
Q>
10,951 = 0,1.9,5
0,95=0,95
que siguen, se representan
o
-Q
x>
los siguientes
a v x < -a
~
X
<X <Q
x>o
x E (-ooj-a) U (a,+oo)
-o
o
1~¡/.wh'/::IIWI:/llh'l/¡'i:I/
hW/IIHHSH/Hllh%'I//:l
Ixl > o
a) Ixl >6 =-x > 6 v x < -6 => x E (-00;-6) U (6;+00)
b) Ixl :> 2,5 =>x:> 2,5 v x <-2,5 => x E (-00;-2,5] U [2,5;+(0)
6) Ixl < a
1\
a>
O ~
-a < x < a
~
x E (-aja)
o
-c
f.tt1l::IH""''''IIIh'Ih'IIIh':h'I'''''h':I''Ih'h'I:I'''"/1/1I11h'h'~
Ixl < o
a)lxl <S
=> -S<x<S
=> XE(-S;S)
9 9)
b) Ixl < 29 => - 29 < x < 29 => x E ( - 2;2
[ TRAMO A
e
Números
intervalos
o
¡
-Q
O ~
= 1-0,11.1-9,51
e) 1-0,1.(-9,5)1
reales)
o
reales:
Ecuaciones e inecuaciones lineales con módulo
ara resolver ecuaciones o inecuaciones lineales en las que aparecen módulos que incluyen a la incógnita, se
__ e tener presentes tanto la definición de este concepto como sus propiedades.
Eeueeienes
a) x
+ 31 = 7 ~
+3>O~
x
x+3=7~x=4
Debe eliminarse
el módulo, aplicando
x > -3
la definición.
+3 <O
v
x
v
-x -
~
< -3
x
3 = 7 ~
= -10
x
-3
-10
)
b) 312 - 3xl + 2 = x +5
2 -3x > O ~
~
Debe eliminarse
<:"32
x
v
3(2 - 3x) + 2 = x + 5
6 - 9x + 2 = x + 5
-10x = -3
x =
el módulo, aplicando
la definición.
<
2 -3x
v
x>"32
O ~
3(-2 + 3x) + 2 = x + 5
-6 + 9x + 2 = x + 5
8x = 9
3
10
x=¡
1
9
.l..
2
1.
9
10
"3
3
"8
lnecuucienes
a) 12x + 11 < 5 ~
2x + 1 > O ~
Debe eliminarse
x> -
el módulo, aplicando
t
2x + 1 < 5 ~ x < 2
x>
1
-"2
1\ X
1
< 2 ~ - 2"
<:
la definición.
v
2x + 1 < O ~
v
-2x - 1 < 5 ~ x>
x< 2
x<
1
-"2
1\
x>
x< -
t
·3
1
-3 ~ -3 < x < - 2"
_1.
o
-3
2
S = (- 3;-
la ,al~:ióa es la unión de lo, intervalos:
t)
U [-
o
-3
11 -2 > 5 - x ~
Debe eliminarse
x-1>O
~x>l
2(x - 1) - 2 > 5 - x
2x - 2 - 2> 5 - x
3x> 9 ~ x> 3
x>1I\x>3~x>3
~
2) = (-3; 2)
el módulo, aplicando
(3'+00)
intervalos: S =
-5
1
La solución es la unión de los
fa
(-ooj-S)
U (3j+00)
-5
3
)
(
Números
reales
l
la definición.
x-1<O
~x<l
2(-x + 1) - 2 >
-2x + 2 - 2 >
-x> 5 ~ x <
x < 1 1\ X < -5
v
i\\rnm\rntn,mrn.rt
(TRAMO A
t;
v
~"'' '".,'' ' ' ' ' ' ' ~
O
2
)
(
b) 21x -
2
li'llI"V~UnfM¡¡m(¡'(¡wt(¡W¡,(I!Ú"/ttNl!J'NNth\'IfiJ,'HlhWl/#¡''hWl/lh\'lh'mH
[.l..2)
r 2'
o """"""'""'''"'''''1
'·'"''''''''''''''''''''''~_1M\\\M\~\''\\'''"'''''''''''''''''''''''~'''''''''''
."",nlM"MWrnmm
dMm",
5 - x
5 - x
-5
~ x < -5
o
1
(-
3;-t)
PARADA TEÓRICA
7
Inecuaciones de segundo grado
1) Inecuaciones
a) / - 9
de la forma:
Ixl
S
e :> O v
QX2
+
:> O
/:>
x
+
QX2
e < O.
b) /
:>
Ixl :s 2
3 v x < -3
(-OOj-3] U [3j+(0)
-2 < x < 2
S= [-2j2]
:>
=
e) x2
- 4 <O
/ <4
9
3
+3 >O
d)
/ > -3 => S = R
Cualquier número elevado al
cuadrado es mayor que -3.
2) Inecuaciones
de la forma:
m.n :> O => (m :> O
1\
/ < -1 => S = 0
No existe ningún número que elevado
al cuadrado sea menor que -1.
+ bx :>
QX2
O v
O) v (m < O
n :>
i +1<O
a) 3/ - 2x :> O => x(3x -2)
1\
ai + bx < O.
n<
O)
m.n < O => (m :> O
:> O
(x :> O 1\ 3x - 2 :> O) v (x < O 1\ 3x - 2 < O)
(x
:> O 1\
X
:>
t) v (x
x:>t
=
S
3) Inecuaciones
a) x2
+x
_ -1
X¡;X2
±
de la forma:
-
< O
Y12
-
x - 6
-
2.1
=>
:>
(x - 2 :> O 1\
(x :> 2
t)
x¡
1\
+
+
+
O) v (m < O
2 < O) v (x < O 1\
X
1\
n :>
O)
2) < O
X
+
2 :> O)
< -2) v (x < O 1\ x:> -2)
o
-2
< x <
O
s =[ -2jO]
+
bx
+
e :> O v
QX2
+
bx
+e=
QX2
n<
QX2
+
bx
+
a(x - x¡)(x -
e
O.
<
X2)
b) x2 + 6x - 16 < O
4.1.(-6)
=
2
O => (x X
1\ X
(x :> O 1\
6 :> O
2
+
<
(x :> O
[~j+OO)
-1 ± VI + 24 = -1 ± V25
-=--=----'-:-=----'----=-.:..
2
2
-1 ± 5
x2
1\ X
2x < O => x(x
x<O
v
(-oojO] U
+
b) /
1\
1\ X2
2) (x
=
+
3)
-3
=
:>
/ + 6x
O
3 :> O) v (x - 2 < O 1\
x:> -3) v (x < 2
1\ X
X
+
< -3)
x < -3
v
+
-6 ± V36
2
3 <O)
(x - 2
-6
-
± 10
2
16
>O
(x
=>
<O
1\ X
>2
64
x¡
-6
= 2
=> (x -
+
1\ X
8
< O)
< -8)
± v'1OO
.2
1\ X2
= -8
2)(x
+
G
Números reales]
<O
v (x - 2
<O
<2
1\ X
v (x
o
-8
s = (-8;2)
[TRAMOA
8)
<x<
1\ X
+
> -8)
2
8
Aproximación. Error
Aproximación
Cuando se trabaja
con números que tienen muchas o infinitas
cifras decimales,
No se opera con el valor exacto; se comete un pequeño error que es aceptado
Para calcular
el promedio
suman las notas obtenidas
Los promedios
finales
final de las calificaciones
Asignatura
1. o trimestre
5
8
Idioma extranjero
por redondeo se considera
b)
v5
1,4142135
Otra manera de aproximar
<
0,01)
< 0,0001)
- 2,2361 (e
= 2,2360679
3. o trimestre
Promedio final
7
6,33
8,67
10
la cifra siguiente
< 0,001)
1,414 (s
-
determinada,
se
a la última
que se va a dejar; si es mayor o
cifra y si es menor, se deja igual.
5 + ~ + 7 = 1; = 6,3333 ... - 6,33 (s
V2 =
de un alumno en una asignatura
se las divide por 3.
2. o trimestre
7
8
igual que 5, se suma uno a dicha última
Q)
por razones de orden práctico.
por redondeo a dos decimales.
se aproximnn
Matemática
Para aproximar
y
en los tres trimestres
se realizan nproximccienes.
es por truncamiento,
8 +8 +
3
C)
7T
d)
+=
10 = 236= 8,6666 ... - 8,67 (s
= 3,142 (s
= 3,1415926
0,142857
que consiste
- 0,14 (e
en eliminar
<
<
0,01)
< 0,001)
0,01)
directamente
las cifras que no
desean considerarse.
Q) \Í7 =2,6457513 ... ::: 2,64 (s
< 0,01)
b)
7T
= 3,1415926 ... - 3,141 (e
<
0,001)
Error
Se denomina
más probable
(ea)
error absolutc
al módulo de la diferencia
entre el valor de cada medición
(x).
il
ea = IXi El valor más probable
es el promedio
-
x=
El error relativo
+
Xl
X2
de los valores obtenidos.
+ ... + Xn
n
es el cociente
entre el error absoluto
y el valor más probable.
ea
e=r
X
El error porcentual
es el error relativo
. e%
[TRAMOA
=
Sr
multiplicado
.100
G
Números reales)
por
IDO .
(Xi) y
el valor
Propiedades de la potenciación y radicación en IR
Propiedades de la potenciación
=
O
- Potencia de exponente
cero.
a
- Potencia de exponente
negativo.
a
-n
1 ~ a *0
1
.,J.. O
= n ~a
- Potencia de otra potencia.
(a "I" _
-
- Producto de potencias
de igual base.
a.a
- Cociente de potencias
de igual base.
n
respecto de la multiplicación.
- Distributividad
respecto
a n.m
m _
- a
a"
a
(a.b]"
n
-=a
m
- Distributividad
rt:
a
>
n+m
m
= a".b"
de la división.
Propiedades de la radicación
La radicación
se puede expresar como una potencia
1
,3r::;
a) v'5 = 52
de exponente
,3/z
1
»r:
va
fraccionario:
1
)ts
2
e) V x· = x3
b) v7 = 73
= a"
l
5' =
d
-~
X 4
X
Las propiedades
de la radicación
son análogas
con las de la potenciación.
Wa = (a l)!
"=
iñ
- Raíz de raíz.
- Distributividad
respecto
- Distributividad
respecto de la división.
- Simplificación
»r=:
de la multiplicación.
1=
m.n
a"·m
Va
= (a.b)ñ = añ .bñ = »r:
va.
1
va.b
1
1
»r;
vb
....n¡-;;;
y n" -_ a W _- a·~.:; _- "n:r¡-;;;;:
ya ....· ...•......
.,....:....:o..
de índices.
r
*
a)W =\ÍS
-Eliminacián
a)V2s =
W
- Amplificación
a) V6 =
~ =
~ =
del radical.
= 151= 5
b)Vl6
=
W
= 121= 2 e) \127 =
a ~
nesimpar
lal ~
nespar
\0
= 3 d)V-32 = V(-2)5 =-2
de índices.
V'(;U = \f62 = V36
[TRAMOA
G
b) \!4 =
Númerosreolesj
\f'22.3
=
V?
=
V64
,513
.,54f3.4
,20fl2
e) y x" = Y x" = y x "
O
a
~
Números irracionales. Radicales
Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como el cociente entre dos números
enteros y tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
Como ya se vio, las raíces no exactas de números racionales son números irracionales.
Se denomina radical a la raíz indicada de un número o de una expresión, siempre que esta tenga solución real.
Representación gráfica
Cada número irracional tiene asociado un punto sobre la recta real.
Para representar ese punto sobre la recta numérica, si el irracional es
de la forma Va, se debe recurrir al teorema de Pitágoras: A2 = 82 + (2
a) Representación
de V2.
Se determina sobre la recta un triángulo rectángulo
cuyos catetos midan l.
El valor de la hipotenusa es:
12 + 12 = V2
isósceles
Y
b) Representación
de V3.
Se determina sobre la recta un triángulo rectángulo
cuyos catetos midan 1 y V2, respectivamente.
El valor de la hipotenusa
Y (V2)2 + 12 = V3
es:
e) Representación
de Ys.
Se determina sobre la recta un triángulo rectángulo
cuyos cateto s midan 1 y 2, respectivamente.
El valor de la hipotenusa
es:
Y12 + 22
=
Ys
De este modo se puede representar cualquier raíz cuadrada
convenientemente
los catetos del triángulo rectángulo.
//1
1/
1~-+-I---+----<-
o
1
de un número natural,
2 \ 5
siempre que se elijan
Extracción de factores de un radical
Existen factores, dentro de un radical, que pueden ser extraídos si el exponente de los mismos es mayor o
a lo sumo igual que el índice de la raíz. Para ello deben aplicarse las propiedades de la potenciación y radicación.
,31.":"7 ,3r:¡-¡V 23 .2x.x6 =v2,31::3N;; ,3!(, ,3¡
»r: 2 ,3¡
2 »r:
a ) V Iéx' = V2'f.x
=
v2 v « vx = 2v2 x .vx = 2x. v2x
(TRAMOA
G
Números reales]
PARADA TEÓRICA
11
Adición y sustracción de radicales
Radicales semejantes
Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índicey el mismo radicando.
\/3 y 5\13; -2"V2y 4\12; 3W y -8W.
Términos con radicales
semejantes:
Términos con radicales
no semejantes:
-V7 y 2V7; 5\13 Y 7\Í2; -4\13 Y 9\14.
Adición y sustracción de radicales
Solo es posible sumar o restar términos
a) 3\Í2
+
5\Í2 - \Í2
b) 5\13 - 2Ys
+
\Í2(3
+
5 - 1)
+ 7Ys
=
\13(5
=
3\13
que contienen
=
.
+ r/8 - 9Y50
semejantes.
7\Í2
+ 3) + Ys(-2 + 7)
Existen casos en los cuales ciertos radicales
a) 3\Í2 - 5\132
radicales
son semejantes
= 8\13
+ 5Ys
luego de IIevar!os a su mínima expresión.
rVt -
5#
+
9W2
3\Í2 \Í2 +
\Í2 - 9W
2
= 3\Í2 - 5.2 \12 + 7.2\Í2 - 9.5\Í2
= \Í2(3 - 20 + 14 - 45) = -48\Í2
= 3\Í2 -
=
5W
7W
\Í2
+ \Í2Ü = 4\13 -
6~
- 8#3
+~
= 4\13 - 6Vs - 8.3\13 + 2Ys
= \13(4 - 24) + Vs( -6 + 2) = -20\13 - 4Ys
b)4\13 - 6\m - 8W
Multiplicación de radicales de igual índice
La operatoria con radicales cumple con las siguientes propiedades .
• Propiedad distributivo de la multiplicación y división respecto de la suma y resta:
a(b ± e) = (b ± e)a = ab ± ae
• Cuadrado
de un binomio y diferencia
(a ± b)2
= a2 ±
a) 1/2(\12
+ V8)
b)
2ab
= \Í2 \Í2
(m - w) :\/3
e) (\13 - Vs)2
+ b2
=
A
(a
A
(b ± e) : a = b: a ± e : a
de cuadrados:
+ b)(a
- b)
=
+ \Í2 V8 = \Í4 + Vl6
\Í7S: \13 - W:
\13 =
a2 - b2
= 2
V2s -
+4=6
V9
= (\13)2 - 2\13 Vs + (Ys)2 = 3 - 2m
d) (V8 + \13)(V8 - \13) = (V8)2 - (\13)2 = 8 - 3 = 5
¡TRAMO A
G
Números reales 1
=
5- 3= 2
+ 5=
8 - 2m
PARADA TEÓRICA
12
Multiplicación y división de radicales
Para efectuar cualquier multiplicación
o división de radicales, estos deben tener el mismo índice.
Para que los índices de dos o más radicales sean iguales se debe calcular el MCM de los índices de los radicales dados, obteniéndose
así el mínimo común índice.
Reducir a mínimo común índice los siguientes
Vs y V7 --.. MCM(2;3) = 6; ambos
Vs = \J'5U = \/125 y V7 = {[7U
a)
\Q y Vx --..
b)
radicales:
radicales
=
deben tener índice
V49
MCM(4;8) = 8; ambos radicales
?f3:2 = ~8n
v c: = \•.la"'c
vc y
6.
deben tener índice 8.
8,
~'f3
Vx
Multiplicación y división de radicales de distinto índice
Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, se los debe reducir a mínimo común índice y luego
aplicar las propiedades recíprocas de las distributivas de la radicación respecto de la multiplicación y división.
w N~ »r:
»r: _ ni
Va vb ve ... vd - \ abe ... d
Y2 V2 = V2U \J'2l.2
a)
,312 ~'n
b)
Vx·
Vx·
~'13
V m"
,5n
V rn"
d]
=
=
Vx···
~'5f35
V rn"
V m2.4
vc· -
Vx-
,10flS
V rn"
V
20
m-
Vx'
fJ5
m
-8
m
\fFi2
=
,12/g ,11/9
= .,2018 =
~
\lb - Y b
WW
_ .¡.4f2.4 ~.V3.3 _
-
v!Q _
1\
_
-
,111"8"9
VX-.x'
=
_
-
-ifiS
,11m _ Pf!25 _ ,121s
v v." - VX··.x· - xVx·
Píl
= V m'
Operaciones combinadas
Para resolver un cálculo combinando con radicales,
propiedades que para un cálculo numérico.
Vx
se deben aplicar los mismos procedimientos
VxYx
1
_._-
b)
Vx
e)
~r-:r:
,3¡
, r ~r:r- ,3¡
, r sr ,3¡
,11((, pn ,11r¡
Pfl3 ~12r¡z!2¡
VxVx vx = vx VVx vx = vx vx vx = v v: v x: v « = v «: = VX··.x = xvx
\rxW
[TRAMO A
1
x
El)
Números reales
l
y
'/
PARADA TEÓRICA
13
Racionalización de denominadores
Racionalizar
el denominador
pre que en el mismo aparezcan
denominador
Primer
de una fracción
radicales
irracionales
en un número racional;
se debe hallar una fracción
por lo tanto,
equivalente
a)
Racionalizar
c)
Racionalizar
2
'V X.y3 2
a la dada con
hay un único radical.
b)
~
1~ 2
.'12
2
V xy'
1 X.y3 2
=
Para racionalizar
(a
Js
Racionalizar
\ x .y
+
a) Racionalizar:
2.'12
V xy'
_
'12 -
••
Vxy'
Segundo caso: el denominador
,4/ 3
2
2
= a
b)
.'12
2.'12
V xy' _ 2 V xy'
VX.y4 4
-
---;y-
es una suma o resta de uno o dos radicales
este tipo de expresiones,
b)(a -
_
2 -
vX.y.xy
se debe aplicar
el producto
de índice 2.
de una suma de dos términos
2
b
-
VS5 -4 '133
4(VS + '13)
(VS - '13) (VS + '13)
4
\Í5 + v'3
VS-V3·VS+V3
4
VS-V3
4(VS + '13)
(VS)2 - ('13)2
= 4(\Í5 + v'3) = 4(\Í5 + v'3) = 2(VS + '13) = 2VS + 2'13
5- 3
b)
Racionalizar:
\Í2 -
2
1
4 - \16
V2 4 -
siem-
racional.
caso: en el denominador
diferencia:
es transformarlo
1 _
V2 -
1
4
\16 - 4 - v6 . 4
4\Í2
+ v6 _
+ v6
+ Vi2 -
4 -
(\Í2
(4 -
v6
1) (4
-
\16) (4
4\Í2
16 - 6
(TRAMO A
G
+ \16)
+ \(6)
+ 2'13 10
Números reales
l
4\Í2
+ \Í2 v6 42
4 -
\16
-
2
= -\Í2
5
4 - \16
(\16)2
1
1
+ -'13
- -2 - -v6
5
5
10
por su