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CURSO DE INGRESO
ESQUEMA DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURALES
De acuerdo al esquema anterior, existen conjuntos chicos y grandes, y algunos de ellos están
formados por otros conjuntos. El conjunto más pequeño pertenece al de los Números
Naturales ( N ):
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ….}
Y al conjunto de Números Naturales (Ampliado) se lo simboliza con N0 :
Año 2013
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N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ….}
Se le llama ampliado porque contiene los mismos elementos que el conjunto N más el número
cero.

Algunas Propiedades

Si x  N0 existe y es único el siguiente de x [sig (x)]. A un número natural y su
siguiente o sucesor se le dicen consecutivos, por esta razón el conjunto de los
números naturales es un Conjunto Ordenando. En otras palabras, todo número
natural x tiene su sucesor x + 1.

 x  N0 se verifica que el siguiente de x es distinto de cero.

El conjunto de los números Naturales es infinito.

Entre dos números Naturales consecutivos no existe otro número Natural. Por esta
característica se dice que el conjunto de los números Naturales es un Conjunto
Discreto.
Observe que podemos ir construyendo cada elemento del conjunto N a partir del primer
elemento:
1+1=2
2+1=3
=1+1+1
3+1=4
=1+1+1+1
4+1=5
=1+1+1+1+1
………..
…………….
Así se puede definir al siguiente de cualquier n  N como:
sig (n) = n + 1 = 1 + 1 +1 + …. + 1
n + 1 veces
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OPERACIONES EN N
 Suma o Adición
Se dice que la adición es una Operación Cerrada debido a que la suma de dos números
naturales da como resultado otro número natural.
Simbólicamente:
 a  N0 ,  b  N0  (a + b)  N0
 Propiedades:
1. Propiedad Conmutativa:
a+b=b+a
2. Propiedad Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
3. Elemento Neutro:
a+0=0+a=a
4. Propiedad Cancelativa:
a+b=a+c  b=c
Ejercicios:
1) Determine n si sabe que:
Ejemplo sig(n) = 5
a)
sig(n + 3) = 17
b)
sig(7) = n + 3

n+1=5
 n=4
2) Determine:

a)
A={xN/ x<7}
b)
D={xN/ x7}
c)
E={xN/ 4x<9}
Resta o Diferencia
La resta no es una Operación Cerrada. Es decir, la resta entre dos números naturales no
siempre da como resultado otro número natural.
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a–b=c
minuendo
sustraendo
En los casos en que el minuendo sea mayor que el sustraendo, se obtendrá un número natural.
Simbólicamente:
 a  N0 ,  b  N0  (a - b)  N0

ab
 Propiedades:
1. Propiedad Conmutativa:
a–b b–a
2. Propiedad Asociativa:
a–(b– c)  (a– b)–c
3. Propiedad Cancelativa:
a–b=c–b  a=c
4. Si a = b la diferencia es cero:
si a = b
 a–b=0
Ejemplos:
7–5 = 2
 7=2+5
5–7 = ?

No tiene solución en el conjunto de los números naturales
3–2  2–3

Suma Algebraica
Una suma algebraica de números naturales es una sucesión de sumas y restas.
Ejemplo:
4+3+2–3+1–5–1=
(4+3+2+1)–(3+5+1)=
(suma algebraica)
Se agrupan los números positivos por
un lado y por otro, los negativos.
( 10 ) – ( 9 ) = 1
Resolvemos
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Regla de Supresión de Paréntesis
Para todo a, b, c  N :
a +( b + c ) = a + b + c
a+(b–c)= a+b–c
a–(b+c) =a– b– c
a–(b– c)=a– b+c

Multiplicación o Producto
Para todo m, n  N :
m · n = m+m+ …+m
n veces
donde m y n se llaman factores.
 Propiedades:
1. Propiedad Conmutativa: m · n = n · m
2. Ley de Cierre o Clausura:
 m,  n  N0 :
3. Elemento Neutro:
 1  N:
m · n  N0
m·1 = 1·m = m
 m  N0
4. Propiedad Asociativa: ( m · n ) · t = m · ( n · t )
5. Propiedad Distributiva del producto respecto de la Suma o Resta:
m ·( n + t ) = m · n + m · t
m ·( n – t ) = m · n – m · t

Múltiplos y divisores
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Desde los primeros años de nuestra educación se sabe que la multiplicación es una suma de
términos iguales y puede escribirse de manera comprimida o abreviada:
a + a + a + . ...+ a = n · a
n veces
Ejemplo:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 6 · 3 = 18
En ese caso decimos que 18 es múltiplo de 3 y que 18 es múltiplo de 6, o lo que es lo mismo:
3 es divisor de 18 y 6 es divisor de 18.
Definición: a es múltiplo de b si es posible encontrar un número natural k, tal que se
cumpla:
a = k·b
Si a es múltiplo de b, la división a ÷ b tiene resto cero, por lo tanto decimos indistintamente:




a es múltiplo de b
b divide a a
b es factor de a
a es divisible por b
Son resultados inmediatos de la definición:
1 es divisor de todos los números pues:
a = 1·a
0 es múltiplo de todos los números pues: 0 = 0 · a
Para el ejemplificar, se presentan las siguientes proposiciones equivalentes:
• 18 es múltiplo de 3
• 3 divide a 18
• 3 es factor de 18
• 18 es divisible por 3
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Queda para el lector escribir proposiciones equivalentes, similares a las anteriores que
correspondan para el caso de los números 18 y 6.
Observación: El cero es múltiplo de cualquier número natural.

División o Cociente
Definición:
Para todo m, n, t  N0:

m : n = t
m = n·t
si n  0
dividendo
cociente
divisor
Para que la división sea posible en el conjunto de los N debe ser “el dividendo múltiplo del
divisor”.
Ejemplo:
16 : 2 = 8
puesto que
Otras formas de escribir la división:
16 = 8 · 2
16
8
2
16 / 2 = 8
16 % 2 = 8
Los alumnos de Analista en Sistemas utilizan lo siguiente:
que se lee:
ó “16 es divisible por 2”
2 16

“2 es divisor de 16”
Propiedades:
1.
Propiedad Conmutativa: m : n  n : m
2.
Ley de Cierre: No se verifica
3.
Propiedad Distributiva: ( m + n – t ) : p = ( m : p ) + ( n : p ) – ( t : p )
(sólo a derecha)
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
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(m:n):t  m:(n:t)
4.
Propiedad Asociativa:
5.
No es posible Dividir por CERO.
m
n  m
n
t
t
ó
Potenciación
Definición:
Para todo a, n  N el producto de n veces el factor a se denomina potenciación y se
simboliza de la siguiente manera:
exponente
an
= a · a · a · a · …. a
con n  2
base
Ejemplos:
5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
(cinco al cubo)
2 4 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 (dos a la cuarta)
6 2 = 6 · 6 = 36 (seis al cuadrado)

Propiedades:
an  na
1.
Propiedad Conmutativa:
2.
Propiedad distributiva con respecto a la suma o resta:
3.
Propiedad distributiva con respecto al producto:
(a  b) n  a n  b n
(a · b) n = a n · b n
(a : b) n = a n : b n
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
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Producto de potencias de igual base: es igual a la base elevada a la suma
de los exponentes.
a m · a n· a p = a m+n+p
5 2 · 5 4· 5 3 = 5 2+4+3 = 5 9

Cociente de potencias de igual base: es igual a la base elevada a la
diferencia entre el exponente del numerador y el exponente de denominador.
am: an = am
- n
con m  n
5 4 : 5 2 = 5 4-2 = 5 2

Potencia con exponente Cero: la potencia de cualquier número natural, no
nulo, elevado a exponente cero es igual a uno.
a0= 1 ,

 a0
Potencia con exponente Uno: la potencia de cualquier número elevado al
exponente uno da como resultado el mismo número (la base).
a1= a

Potencia de una potencia: cuando un número natural elevado a algún
exponente y a su vez, está elevado a otro exponente es igual a dicho número natural
elevado al producto de los exponentes.
[ ( a m ) n ] p = a m·
n·p
[ ( 2 3 ) 1 ] 2 = 2 3·1·2 = 2 6

Radicación (en N y Z)
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Definición:
Si consideramos dos números naturales n y p se dice que el número natural a es la raíz n-ésima
de p sí y solo sí la n-ésima potencia de a es p.
índice
raíz n-ésima de p
 an = p
radicando
Ejemplo:
3
8 2

pues 2 3 = 8
Propiedades:
1. Propiedad Conmutativa:

p
n
p
n
2. Propiedad Distributiva respecto de la suma:
n
pt

n
p 
n
t
3. Propiedad Distributiva respecto del producto y división:
4. Potencia de una raíz:
En caso de n = m
n
p·m 
n
p ·
n
m
n
p:m 
n
p ·
n
m
n
pm


n
p

n
p

m
n


n
Para números
naturales
pn  p
Observación: en la radicación de números reales, si el índice n es par, el radicando p
debe ser mayor o igual que cero, de lo contrario el resultado no es un número real.
Se debe recordar que:
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 Si n es impar 
 Si n es par

n
p

n
 p
n
p

n

p
Ejemplos:

Diferencias cuando en el radicando hay sumas o productos:
16  9 

9
25

4  3
5

7
3
8 · 27

216

2 · 3
6

6
3
3
8 ·
3
27
Potencia de una raíz:


16 
36
2

3

Observe el siguiente ejemplo:

2
36 3 

2
36

2
46656  216
2

2
(36) 2 
1296  36
Si ahora simplifica el exponente con el índice de la raíz, queda:
se obtiene el mismo resultado.

2
Porque 36 es un
número natural
Realizar los mismos pasos para este ejemplo:

2
 36

2

2
( 36 ) 2 
2
1296  36
Porque -36 no es
un número natural
Si ahora, simplificando el exponente con el índice de la raíz, se obtiene un resultado
distinto:
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NÚMEROS ENTEROS
Se sabe que la resta en el conjunto de los números naturales siempre es posible cuando el
minuendo es mayor que el sustraendo, en caso contrario no es posible. Para resolver este
problema se necesita ampliar el campo numérico introduciendo el cero y los opuestos de los
números naturales, llamados números enteros negativos.
Obtenemos el conjunto de los números enteros:
Z = {......, − 3, − 2, − 1, 0 ,1, 2, 3, 4, 5,.....}
Pueden representarse en la recta numérica como sigue:
-
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
2 3 4
5 6

Definición: Si x es un número entero, entonces − x es el opuesto de x.
Ejemplos:
a) Sea x = −7 , su opuesto es −x = 7
b) Sea x = 4 , su opuesto es −x = −4 .
Los enteros se pueden ordenar, las operaciones de suma, resta y producto dan como resultado
un número entero, sin embargo no ocurre lo mismo con la división, por ejemplo 8 dividido en 3
no da un número entero.
Debemos destacar que el conjunto Z tiene las siguientes características:
•
•
•
•
Es un conjunto infinito.
No tiene ni primer elemento ni último.
Es un conjunto discreto.
Cada número entero tiene un antecesor y un sucesor.
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
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Regla de los Signos
Se aplica en caso de multiplicación y división:
+ ·
- ·
+ ·
- ·
+
+
-
=
=
=
=
+
+
Ejemplos:



si se trabaja solo con los signos, se dice:
(-2) · 3 = - 6
menos por más = menos
(-2) · 3 · (-2) = 12
menos por más por menos = más
(-2) · 3 · (-2) · (-1) = -12
menos por más por menos por menos = menos
 Regla de los signos en potencias:
( + BASE ) PAR
( - BASE ) PAR
( + BASE ) IMPAR
( - BASE ) IMPAR
( BASE )exponente
=
=
=
=
+
+
+
-
Números Primos Y Compuestos
La cantidad de divisores que tiene un número permite clasificarlo en número primo o número
compuesto, recordemos que todo número n mayor que 1 tiene como divisores al 1 y a él
mismo. Si admite sólo estos divisores, se dice que el número es primo. Si los divisores son
más de dos, el número es compuesto y en ese caso es posible factorizarlo como producto de
los números primos que lo dividen.
Esta descomposición es única, salvo el orden en que pueden usarse los números primos como
factores.
Dos números son Coprimos (primos entre sí), si y sólo si, los únicos divisores comunes entre
ellos son el 1 y el -1.
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VALOR ABSOLUTO O MÓDULO
Para cada número entero x definimos el valor absoluto de x, que indicamos x , como sigue:
Si el número x es positivo o cero, su valor absoluto es el mismo número y es su opuesto, –x, si
el número es negativo.
Simbólicamente:
Definición:
 x si x  0
x 
  x si x  0
Recordar:
“El valor absoluto de cada número entero, es siempre un número no negativo”.
Ejemplos:
3  3;
3   (  3 )  3
0  0;
 3,05  3,05
Geométricamente, el valor absoluto mide la distancia del número x al cero, los ejemplos
anteriores quedan representado en la recta por:
Dist() significa Distancia.
Observe que Dist(0,3) = Dist(-3,0)
Dist(0,3) = 3
-
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0 1 2 3 4 5 6 7

Dist(-3,0) = 3

Definición de Distancia:
Sean xA y xB las coordenadas de dos puntos A y B representados sobre la recta
numérica, se define distancia de A a B, al valor absoluto de la diferencia entre
xA y xB.
𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝐷𝑖𝑠𝑡 𝐴, 𝐵 =
𝑥𝐴 − 𝑥𝐵
Año 2013
=
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
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Ejemplo:
Dados los puntos sobre la recta, llamados A y B de coordenadas 2 y 5.
Determine d(A, B):
Analíticamente:
,
=
−
=
=
Gráficamente:
Dist(2, 5) = 3
-

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
2 3
4
5 6
7

Propiedades del Valor Absoluto

ab  a  b

a·b  a · b

a:b  a : b

ab  a  b
( Desigualdad triangular )
NÚMEROS RACIONALES
El conjunto de los Números Racionales Q es un conjunto que contiene a los números enteros Z
y a los números fraccionarios F.
Los números fraccionarios F se definen como:
𝑎
𝑏
el cociente entre dos enteros a y b,
donde
Año 2013
.
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Al cociente
Los números
a
se le llama Fracción o Razón.
b
13
1
5
;  ;
son números fraccionarios.
3
5
4
Existen fracciones que si bien son diferentes entre sí, pueden representar el mismo número.
Esto es así, porque una fracción puede ser la forma simplificada de la otra.
Dadas las siguientes fracciones
a
c
y , si cumplen con la condición: a  d  c  d , entonces
b
d
dichas fracciones son iguales.
Ejemplo:
Comprobar si las fracciones
6
3
y
son iguales.
5 10
Aplicando la condición:
ad bc
3  10  5  6
30  30
Por lo que, las fracciones
6
3
y
son iguales.
5 10
OPERACIONES CON NÚMEROS FRACCIONARIOS

Sumas y restas
a) De igual denominador
Se mantienen el denominador y siempre que sea posible simplificamos el
resultado para llevarlo a su mínima expresión:
3 1 31 4
 
 1
4 4
4
4
Año 2013
7 2 72 5
 
 1
5 5
5
5
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b) De distintos denominadores
1) Hallamos el denominador común más chico, eso es el mínimo común múltiplo
de los denominadores dados.
2) Hallamos las fracciones equivalentes a cada una de las dadas.
3) Efectuamos la operación indicada.
4) Simplificamos el resultado siempre que sea posible.
3 1 3· 5  1· 7 22
 

7 5
7 ·5
35
3 1 3· 3  1· 5
4
 

5 3
5·3
15
Recordar:
Signos de las fracciones:


3 3
3


4
4
4
Multiplicación
En la multiplicación con fracciones primero se simplifica, siempre que sea posible entre
algún número del numerador con otro del denominador, y luego se multiplica todo lo que
quede en los numeradores y ese resultado se coloca como numerador de la nueva
fracción. Se hace lo mismo con los denominadores y ese resultado se coloca como
denominador de la nueva fracción.

Inversa de fracciones
La inversa de
3
4
es
3
4
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La inversa de
1
9
9
es
1
9
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La inversa de 5 es
1
5
Y siempre el producto de una fracción por su inversa da 1:
3 4
·
 1
4 3

División
Para el caso de la división entre números fraccionarios:
3 5 3 7 3 · 7 21
:  · 

4 7 4 5 4 · 5 20
Como se observa en el ejemplo, la segunda fracción se invierte y se cambia el signo de
la división por el de multiplicación, por lo que después de esto se trabaja como si fuese
un producto.
EXPRESIONES DECIMALES
Si se realiza la división entre el numerador y el denominador de una fracción para hallar
la expresión decimal, puede suceder alguna de estas dos alternativas:


Que en la división, el resto sea igual a cero.
O que los restos comiencen a repetirse.
Ejemplos:
3
 0,3
10
en este caso, el resto es cero. Es una expresión decimal finita.
1
 0,3333333.... =
3

, ̂ y a este caso se le llama expresión decimal periódica.
Propiedad:
“Entre dos números racionales siempre existen infinitos números racionales”.
Debido a esta propiedad, a los números racionales se les llama Densos.
Año 2013
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NÚMEROS IRRACIONALES
Al conjunto de números que no pueden representarse como cociente entre dos números enteros
a y b, se lo denomina conjunto de los Números Irracionales I.
Ejemplos:

Las raíces cuadradas no exactas dan números irracionales:
2  1,414213....
3  1,732050....
5  2,236067...


El número , cuya expresión decimal es: 3,1415926535….
El número e, que es la base de los logaritmos naturales, cuya expresión decimal es:
2,718281….

El número , llamado el número de oro, cuya forma abreviada está dada por:
√
y su expresión decimal es: 1,61803398….
Año 2013
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NÚMEROS REALES
El conjunto de los Números Reales R es un conjunto que contiene a los números racionales Q y
a los números irracionales I.
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
Nombre de la Propiedad
Adición
Multiplicación
Ley de cierre
a + b = número real único
a  b = número real único
Ley uniforme
si a = b  a + c = b + c
si a = b  a  c = b  c
Conmutativa
a+b=b+a
ab=ba
Asociativa
a+(b+c)=(a+b)+c
a(bc)=(ab)c
0 es neutro porque
1 es neutro porque
0+a=a+0=a
1a=a1=a
-a es inverso aditivo
(o también opuesto) porque
1
es inverso multiplicativo
a
a + (-a) = (-a) + a = 0
[siempre que a ≠ 0] porque
Elemento neutro
Elemento inverso
a
1
1
=
 a=1
a
a
Distributiva de la
a(b+c)= ab+ac
multiplicación respecto a
la adición
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20
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Potenciación
a0=1
a
n
Sea a, b  R
1
 
a
a  b n
y
n
si a ≠ 0
 anbn
a n a m  a nm
n, m  Z
a n: a m  a nm
a 
n
 a nm
m
Radicación
a a
n
Si a > 0 
Si a < 0 
Sea a, b  R
a  en R
a  en R solo si n es impar

Si a < 0
y
n
n
1
n
n
a  en R
n
ab 
n
a

b
n
a 
n
si n es par
b
n, m, p  Z
n
a
n
b
am 
m n
Año 2013
n
n p
a 
si b ≠ 0
a m p
m n
a
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OPERACIONES CON RADICALES

Adición y Sustracción de Radicales
Radicales
Semejantes:
Son semejantes
cuando tienen
igual índice y el
mismo radicando.
Solo es posible sumar o restar términos con
radicales semejantes
Ejemplos:
a)
√ −
√
√
−
√
=
√
=
√
Se suman o restan los números que acompañan los radicales semejantes √ , y a ese
resultado se lo deja acompañado con el radical.
b) − √
√
−
√
√ −
√
−
√
√
=
=
− √
=
− √
−
√
− √
En este caso, se agrupan los términos con radicales semejantes y se procede como en
el ejemplo a).
¿Cómo reducir un radical?
c)
−
√
√
√ − √
− √
√ −
√ −
−
− √
=
=
√ −
√ =
√ −
√ =
−
√
=
√
√
√
=
=
√
√
=
√
32 equivale a 25
= por propiedad de
potencias de igual
base, 25 se expresa en
potencias del mismo
valor que el índice del
radical
√ = se simplifican
las raíces con las
potencias
√
Año 2013
=
√
22
Ministerio de Educación
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Trenque Lauquen

CURSO DE INGRESO
Multiplicación y división de radicales
El producto o cociente de varios radicales es el radical que se obtiene al multiplicar o
dividir radicales reducidos a común índice.
Ejemplos:
a)
√
√
√
b)
En la multiplicación de dos radicales de
igual índice, se deja un solo radical (bajo el
mismo índice) y los radicandos quedan
multiplicándose.
=
=
√
√
=
√
√
√
=
√
√
=
√
=
√
=
√
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
Dada una fracción en cuyo denominador aparece algún radical, se entiende por
racionalización, encontrar otra fracción igual a la dada y en cuyo denominador no figuren
radicales.

Primer Caso:
ada la fracción
√
=
√
√
√
Se multiplica el mismo
radical en el numerador
y en el denominador
√
=
√
√
√
=
√
(√ )
=
√
(√ )
=
√
Se simplifica la raíz con
el exponente
Año 2013
23
Ministerio de Educación
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Trenque Lauquen

CURSO DE INGRESO
Segundo Caso:
ada la fracción
√
=
√
√
√
Se multiplica a numerador y denominador
con un radical de igual índice, pero el
exponente del radicando es lo que falta
para ser igual al valor del índice, cuando se
sumen los exponentes (*)
√
=
√
√
=
√
√
=
√
√
=
√
√
√
=
(*) Se suman
los exponentes
Se agrupan bajo una
misma raíz, porque tienen
el mismo índice

√
Tercer Caso:
ada la fracción
− √
=
Se multiplica por el conjugado del
denominador de la fracción
, en el
numerador y en el denominador
− √
( − √ )
(
√ )
(
√ )
(
=
( − √ )
√ )
(
√ )
=
(
√ )
− √
=
En el denominador, se aplica
Diferencia de Cuadrados
=
=
(
√ )
− √
√
=
(
√ )
−
=
(
Se simplifica la raíz
con el exponente
Año 2013
√ )
=
y en el
numerador, se
aplica propiedad
distributiva
24