Download unidad 1: números reales - Universidad Nacional de Salta

Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ingeniería
Apuntes de Curso Me preparo para estudiar Ingeniería
Prof. Beatriz Copa
UNIDAD 1
NÚMEROS REALES
CONJUNTOS NUMÉRICOS
El conjunto de los Números Naturales ( N )
Los números que se emplean para contar 1,2,3,4,... constituyen el conjunto de los Números Naturales (o
enteros positivos). Lo simbolizamos con N .
El conjunto se puede escribir como N  {1, 2, 3, 4,....}
Propiedades de N
1) El conjunto N es infinito.
2) Tiene primer elemento (el 1) y no tiene último elemento
3) Todo número natural tiene sucesor:  n  N,  n  1  N , donde n  1 es el sucesor de n .
4) Todo número natural tiene antecesor excepto el 1:
, donde n  1 es el
antecesor de n .
5) Entre dos números naturales no consecutivos hay un número finito de números naturales. Se dice
que N es discreto.
Nota: En este conjunto la suma de dos números naturales da como resultado otro número natural (esto
quiere decir que el conjunto cumple la ley de cierre para la suma), pero no ocurre lo mismo para la
diferencia (no vale la ley de cierre), por ejemplo 3  5 no tiene solución en este conjunto, por lo tanto
ecuaciones del tipo 5  x  3 no tienen solución en el conjunto N, de allí la necesidad de introducir un
nuevo conjunto de números.
Actividad N° 1
a) Completar:
i) El sucesor de 5 es …………
v) Entre los números 2 y 4 hay ……….
ii) El antecesor de 1 es…………
número/s naturales.
iii) El sucesor de n+1 es ………..
vi) Entre los números 15 y 28 hay
iv) El antecesor de n+3 es ………..
…………..número/s naturales.
b) ¿La operación producto entre números naturales da como resultado otro número natural? ¿Y la
división?
c) Responder Verdadero o Falso, justificar la proposición falsa con un contraejemplo.
i) El producto cumple la ley de cierre en N .
ii) El cociente cumple la ley de cierre en N .
El conjunto de los números enteros ( Z )
Si al conjunto N se agrega el número 0 y los enteros negativos se obtiene un nuevo conjunto llamado
conjunto de los números Enteros. Lo simbolizamos con Z .
Z  {...,  3,2,1, 0,1, 2, 3,...}
Z  N  {0}  Z 
Propiedades de Z :
1) El conjunto Z es infinito.
2) El conjunto Z no tiene ni primero ni último elemento.
3) Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor.
1
Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ingeniería
Apuntes de Curso Me preparo para estudiar Ingeniería
Prof. Beatriz Copa
4) Entre dos números enteros no consecutivos hay un número finito de números enteros. Se dice que
Z es discreto.
Nota: La suma, diferencia y producto de dos números enteros es otro número entero (esto quiere decir
que valen las leyes de cierre para suma, diferencia y producto), pero no ocurre lo mismo con la división
de dos números enteros, por ejemplo 2 : 5 no tiene solución en este conjunto (no vale la ley de cierre
para la división), por lo tanto ecuaciones del tipo 4.x  1  6 no tienen solución en Z , de allí la
necesidad de introducir un nuevo conjunto de números.
Actividad N° 2
a) Completar:
i) El sucesor de -2 es …………
v) Entre los números (-2) y 4 hay
ii) El antecesor de 1 es…………
………. número/s naturales.
iii) El sucesor de n-3 es ………..
vi) Entre los números (-5) y 28 hay
iv) El antecesor de 2n es ………..
…………..número/s enteros.
b) Responder Verdadero o Falso, justificar la proposición verdadera coloquialmente.
i) El producto cumple la ley de cierre en .
ii) El cociente cumple la ley de cierre en
El conjunto de los números Racionales ( Q )
Es el conjunto de números formado por aquellos números que pueden expresarse como cociente de dos
números enteros, como una fracción. Es decir:
a  Q si a  bc con b , c  Z  c  0
A este conjunto lo simbolizamos con Q .
Q  Z  Fraccionarios
Los números naturales y enteros son números racionales con denominador 1.
Propiedades de Q :
1) El conjunto Q es infinito.
2) El conjunto Q no tiene ni primero ni último elemento.
3) Entre dos números racionales existen infinitos números racionales, entonces se dice que Q es
denso.
Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número, por
ejemplo
y
son equivalentes porque todas representan el número 0,25. Para pasar de la primera a
la segunda se multiplica el numerador y el denominador por 3, o por el contrario si se quiere reducir la
tercera fracción a la primera se divide numerador y denominador por 5.
Actividad N° 3
a) Para cada una de las siguientes fracciones, hallar su expresión decimal
b) Expresar como fracción
2
Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ingeniería
Apuntes de Curso Me preparo para estudiar Ingeniería
Prof. Beatriz Copa
c) Completar con =, > ó < según corresponda:
Operaciones en Q
 Suma o resta: ba  dc  adbd bc
Ejemplos:
1) Fracciones de igual denominador: se pone el mismo denominador y se suman o restan los
numeradores.
3
 54  75
5
2) Fracciones de distintos denominadores: si tenemos distintos denominadores, debemos encontrar el
Mínimo Común Múltiplo de los denominadores, el mismo pasa a ser el denominador de la suma,
en el ejemplo los denominadores son 4 y 5 y el mínimo común múltiplo es 20. Para calcular el
numerador dividimos el denominador de la suma por el denominador de la primera fracción, en este
caso 20:4=5, a este resultado lo multiplico por el numerador correspondiente a la primera fracción,
en el ejemplo 5.1=5, y realizando el mismo procedimiento, es decir, dividimos el denominador de la
suma por el denominador de la segunda fracción, en este caso 20:5=4, a este resultado lo multiplico
por el numerador correspondiente a la segunda fracción, en el ejemplo 4.2=8, y así siguiendo, si
tuviera más sumandos, sumamos estos resultados y obtenemos el numerador de la suma.
Por ejemplo:
ac
 Producto: ba  dc  bd
El producto de varios números racionales es igual a otro número racional cuyo numerador y
denominador son los productos de los numeradores y denominadores de los factores.
Es conveniente simplificar las fracciones y llevarlas a su mínima expresión y recién realizar el producto.
Siempre se puede simplificar numerador y denominador de la misma fracción. En el producto además
se puede simplificar numerador y denominador de fracciones distintas.
Dado el siguiente producto de fracciones
Podemos simplificar numerador1 con denominador 1, numerador2 con denominador2, por ser
numerador y denominador de la misma fracción, numerador1 con denominador2 ó numerador2 con
denominador1 por ser producto de fracciones.
Ejemplo:
 Cociente: ba : dc  ad
bc
En este caso la simplificación se realiza entre numeradores o bien entre denominadores. Es decir se
puede simplificar numerador1 con numerador2, denominador1 con denominador2, además, como
siempre se puede simplificar numerador con denominador de la misma fracción, también podemos
simplificar numerador1 con denominador1 ó numerador2 con denominador2.
Ejemplo: 23 : 54  13 : 52  13..52  56
El conjunto de los números racionales no es cerrado para la radicación, por ejemplo 2  1,414213... no
es un número racional porque es un número decimal no periódico, no se puede expresar como una
fracción, por lo tanto ecuaciones del tipo x 2  2  0 no tienen solución en Q . De allí la necesidad de
3
Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ingeniería
Apuntes de Curso Me preparo para estudiar Ingeniería
Prof. Beatriz Copa
introducir un nuevo conjunto de números.
El conjunto de los números Irracionales ( I )
Es el conjunto formado por los números que tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Lo
simbolizamos con I .
Ejemplos:
2  1,414213...
  3,14.....
3  1,7320508...
Propiedades de I :
1) El conjunto I es infinito.
2) El conjunto I no tiene ni primero ni último elemento.
El conjunto de los números Reales ( )
Ley de Tricotomía: Si
Orden en
Si
entonces a cumple una y solo una de las siguientes proposiciones:
,
es menor que
si se cumple que
es positivo. En símbolos:
Operaciones en . Propiedades
Habitualmente operamos con números reales (sumamos, restamos, etc.), pero existen ciertas reglas que
debemos respetar, este conjunto de reglas reciben el nombre de propiedades. Las mismas se pueden
comparar con el reglamento de un deporte, si se desconoce el mismo no se puede practicar el deporte en
un campo de juego pues seguramente no sabríamos como desenvolvernos.
Propiedades de la adición (Suma): Sean
1. Ley de cierre: Para todo par de números a y b que pertenecen a los reales se cumple que la suma
pertenece a los reales. En símbolos:
:
2. Propiedad Conmutativa:
3. Propiedad Asociativa:
4. Existencia del elemento neutro para la suma: Para todo número a que pertenece a los reales,
existe el número 0 que pertenece a los reales tal que se cumple que el número a más 0 es igual al
mismo número a.
5. Existencia del elemento opuesto:
Propiedades del producto (Multiplicación):
1.
2.
3.
4.
Ley de cierre:
:
Propiedad Conmutativa:
Propiedad Asociativa:
Existencia del elemento neutro para el producto:
4
Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ingeniería
Apuntes de Curso Me preparo para estudiar Ingeniería
Prof. Beatriz Copa
5. Existencia del elemento inverso:
6. Distributiva del Producto respecto de la suma:
Nota: Todo conjunto que cumple con las propiedades anteriores se denomina “Campo”, por lo tanto el
conjunto de los números reales con las operaciones de suma y producto usuales constituyen un campo
numérico. Otros campos numéricos son los Racionales y los Complejos.
Leyes Cancelativas y Uniformes:
1) De la Adición
Ley uniforme para la suma: a, b, c  R : a  b  a  c  b  c
Ley cancelativa para la suma: a, b, c  R : a  c  b  c  a  b
2) Del Producto:
Ley uniforme: a, b, c  R : a  b  a.c  b.c :
Ley cancelativa: a, b, c  R, c  0 : a.c  b.c  a  b
Propiedad: Sean a, b  R, a.b  0  a  0  b  0
Propiedades de las operaciones sobre desigualdades
1)
2)
3)
4)
5)
6)
A continuación se enunciará algunas reglas que te permitirán resolver ejercicios combinados.
 Reglas de la supresión de paréntesis:

Si tenemos un signo menos delante del paréntesis, cambian de signo los términos que se
encuentran dentro del mismo.
Regla de los signos para el producto y la división:
Si multiplicamos o dividimos dos números con signos iguales el resultado es positivo,
mientras que, si multiplicamos o dividimos dos números de distintos signos el resultado
en negativo.
 Las operaciones combinadas se realizan teniendo en cuenta las siguientes prioridades:
a) Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves
b) Calcular las potencias y raíces.
c) Efectuar los productos y cocientes.
d) Y por último realizar las sumas y restas.
5
Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ingeniería
Apuntes de Curso Me preparo para estudiar Ingeniería
Prof. Beatriz Copa
Potencia y Radicación de Números Reales
Definición de Potencia
Si a es un número real, distinto de 0, y n es un número natural, se define potencia n-ésima de a:
an se lee: “a elevado a la n”; a se denomina base y n el exponente. Además se establece, por
convención:
Por lo tanto se cumple también que:
Propiedades de la potencia:
1. Producto de potencias de igual base: a n. a m  a nm
2. Cociente de potencias de igual base: a n : a m  a nm .
3. Potencia de potencia: (a n ) m  a n.m
4. Distributiva de la potencia respecto del producto y del cociente:
a . b 
n
n
a .b
n
n
an
a 
   n
b 
b
si b  0
Observación
La potenciación no es distributiva respecto a la suma o la diferencia. Es decir
(a  b) n  a n  b n
Radicación
La expresión
se lee “la raíz enésima de un número a”, con
índice y a radicando.
, n se denomina
Y se define de la siguiente forma:
Si n es par, la raíz solo está definida para números positivos, es decir:
Dado a > 0 n a  b  b n  a, b  0
Si n es impar, la raíz está definida para cualquier real, es decir:
Dado aR n a  b  b n  a
6
Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ingeniería
Apuntes de Curso Me preparo para estudiar Ingeniería
Ejemplos:
42

Prof. Beatriz Copa
 25  R
5
 32  2
4
16  2
3
4
82
4R
Una raíz se puede escribir como potencia de exponente racional, por convención:
a  a1 / n
Propiedades de la Radicación
n
1. Distributiva respecto del producto y del cociente:
a na
n
n

,b  0
a.b  n a .n b
b nb
2. Raíz de raíz:
a  n. m a
3. Amplificación y simplificación de índices (r≠0):
m n
n
a m  n.r a m.r
n
a m  n:r a m:r
La radicación no es distributiva respecto a la suma o la diferencia. Es decir:
n
ab  n a n b
¡Cuidado al simplificar!
Si tenemos una potencia, como radicando en una raíz de índice par, podemos escribir:
(2) 2  (2) 2.1/ 2  2 que es equivalente a simplificar índice con exponente y esto no es correcto
porque si operamos sin simplificar, el resultado obtenido es 2 (positivo)
Actividad N°4
a) Aplicar propiedad conmutativa, de no ser posible justificar.
i)
iv)
ii)
v)
iii)
vi)
b) ¿El conjunto de los números irracionales cumple la ley de cierre en la suma? Justificar.
c) Realizar las siguientes operaciones combinadas en forma exacta sin utilizar calculadora
7
Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ingeniería
Apuntes de Curso Me preparo para estudiar Ingeniería
Prof. Beatriz Copa
Valor Absoluto o Módulo
Hemos visto que los números reales se representan en la recta numérica.
Se puede observar que la distancia del
número 4 hasta el 0 es igual a 4 y que la
distancia del número -4 hasta el 0,
también es igual a 4. O sea, la distancia
de un punto al cero no tiene en cuenta de qué lado del cero esté el número.
Si consideramos a la distancia de un número hasta cero como un valor positivo, definimos a ésta como
el valor absoluto o módulo del número. El módulo de un número se indica con dos barras que abarcan
al mismo.
4  4
3 3
3  3
Por ejemplo: 4  4
Podemos apreciar que el valor absoluto de un número es el mismo número, si éste es positivo, y el
opuesto, si es negativo.
Esto se puede formalizar mediante la siguiente definición:
si x  0
 x
x 
si x  0
 x
Propiedades del Valor Absoluto:
El valor absoluto de un número es siempre mayor o igual a cero.
El valor absoluto de un número es igual al de su opuesto.
El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos.
El valor absoluto de un cociente es igual al cociente de los valores absolutos.
Ejemplo:
Igualdad importante:
Con el concepto de valor absoluto de un número real, podemos volver sobre el problema planteado
sobre la simplificación de radicales y directamente escribir la siguiente igualdad, válida para todo
número real, con n par:
x  n xn
8
Universidad Nacional de Salta – Facultad de Ingeniería
Apuntes de Curso Me preparo para estudiar Ingeniería
Prof. Beatriz Copa
Actividad N° 5: Determinar el valor absoluto, utilizando definición y propiedades en caso de ser
necesario.
Actividad N° 6: Realizar las siguientes operaciones combinadas en forma exacta sin utilizar calculadora
9