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UNIDAD 4 FENOMENOS ELECTROMAGNETICOS.
1.2 Leyes de la electrostática: ley de Coulomb, campo eléctrico, ley de Gauss
 Ley de Coulomb. Ya dijimos que la carga eléctrica se mide en culombios (C) y que la carga de un
-19
electrón es de 1.6 X10
C; además, cargas iguales se repelen y cargas contrarias se atraen. Podría
pensarse que la fuerza de atracción entre mil electrones y mil protones es menor que la atracción entre un
millón de electrones y un millón de protones. Esto NO es cierto porque la fuerza de atracción (o repulsión)
no sólo depende del número de cargas eléctricas, sino también de la separación entre estas cargas.
Justamente la ley de Charles Coulomb establece que:
F=
K Iq1IIq2I
r2
En esta ecuación F es la magnitud de la fuerza electrostática que opera sobre las cargas q1 y q2, r
es la separación entre ellas y K es la constante de proporcionalidad o constante de Coulomb. Para
designar el vector fuerza, utilizaremos F, como se verá adelante. El valor de K en el sistema MKS es
9
9 X10 N-m2/C2. Para estas unidades, r debe estar en metros y q en culombios; esto nos dará una fuerza
en newtons (N). La ecuación anterior es aplicable en objetos cargados cuyo tamaño es mucho menor que
la distancia entre ellos. La fuerza eléctrica es un vector cuya dirección está dada por la línea que une a los
objetos cargados. Además, de acuerdo con la tercera ley de Newton, la fuerza que ejerce q 1 sobre q2, es
igual, pero de sentido contrario, a la fuerza que ejerce q 2 sobre q1; esto sin importar que la magnitud de q1
sea distinta a la magnitud de q2.
Es oportuno comparar esta ecuación con la ecuación de la ley de la gravitación universal. En esta
ecuación, las cargas ocupan la posición de las masas. Además, como se verá en un ejemplo, la fuerza
electrostática es inmensamente mayor que la fuerza gravitacional generada por la masa. Esto lo podemos
observar al atraer pedacitos de papel con un peine: la fuerza electrostática generada por los electrones
(de masa muy pequeña) vence a la fuerza gravitacional.
18
18
Ejemplo 1. Se tienen en un extremo 10 electrones y 10 protones en el otro extremo. Las cargas
están separadas por 100 metros. Calcular: a. La magnitud de la fuerza electrostática entre las cargas b.
La fuerza gravitacional entre las masas de las cargas y comparar el resultado con la fuerza electrostática
c. La separación necesaria entre las cargas para lograr una fuerza de 9200 000 newtons.
-19
S o l u c i ó n a . La carga de un electrón o un protón es de 1.6 X10
C. Por lo tanto:
-19
18
q1 = 10 (1.6 X10
) C = 0.16 C.
-19
18
q2 = 10 (1.6 X10
) C = 0.16 C. Observemos que obtenemos valores positivos tanto para protones
como para electrones. Esto se debe a que se toman los valores absolutos. Apliquemos la ecuación:
9
2
8
F = K q1 q2 / r 2 = 9 X10 N-m2/C 2 (0.16 C)(0.16 C)/(100m) = 2.3X10 N-m2 /(10000m2)
8
F = 2.3X10 N-m2 /(10 000 m2) = 23 040 N.  Observemos cómo se eliminan las otras unidades.
Obtuvimos más de 23 mil newtons. Es una fuerza increíble. Equivale al peso de un cuerpo de 2351
kilogramos. Es la fuerza que posee un cuerpo de 1150 kilogramos que se mueve con una aceleración de
20 m/s2.
Es increíble la fuerza electrostática generada por una cantidad de electrones y protones que son
invisibles.
- 27
18
S o l u c i ó n b . Como la masa del protón es 1.7X10
Kg; la masa de 10 protones resulta ser:
-27 18
-9
1.7X10 (10 ) Kg = 1.7X10 Kg. Es una masa pequeñísima.
18
- 31
Consideremos ahora la masa de 10 electrones. La masa del electrón es: 9.1X10
Kg. Por lo tanto la
18
18
- 31
- 13
masa de 10 electrones es: 10 (9.1X10
Kg) = 9.1X10
Kg.
La fuerza de atracción gravitacional entre las masas de electrones y protones, de acuerdo con la ley de la
gravitación universal, es:
-11
-9
- 13
2
-35
F = G m1 m2 /r 2 = 6.7X10
(1.7X10 )(9.1X10
)/(100 ) N = 10
N. Es una fuerza casi nula:
infinitamente pequeña.
S o l u c i ó n c . Necesitamos conocer la separación necesaria para lograr una fuerza de 9 200 000
newtons. Debemos calcular r; es decir, despejar r de la ecuación.
9
F = K q1q2 / r 2  r 2 = K q1q2 / F  r = K q1q2 / F = 9 X10 (0.16 )(0.16 )/( 9 200 000) = 5  r = 5 m .
Actividad 1. Calcular la fuerza electrostática entre 2 cargas puntuales separadas por 1000 metros, si
16
16
16
16
tenemos: a. 10 electrones y 10 electrones ________ b. 10 electrones y 10 protones
16
16
________ c. 10 protones y 10 protones ________ (aquí se debe hacer énfasis en el hecho que
16
17
la fuerza es la misma sin importar sin son electrones y/o protones) d. 10 electrones y 10
16
18
16
19
protones ________ e. 10 electrones y 10 protones ________ f. 10 electrones y 10 protones
16
20
16
21
________ g. 10 electrones y 10 protones ________ h. 10 electrones y 10 protones
________(aquí se debe hacer énfasis en el hecho que al aumentar una carga aumenta la fuerza.
Además, sería importante calcular la fuerza gravitatoria en el caso h y hacer las comparaciones
correspondientes)
10
24
Actividad 2. Calcular la separación necesaria entre 10 protones y 10 electrones para conseguir una
fuerza electrostática de: a. 11755 N _________ b. 9000 N _________ c. 7111 N _________ d. 5759.95
N _________ e. 4760.29 N _________ f. 2559.98 N _________ g. 1439.98 N _________ h. 921.59 N
_________ i. 409.59 N _________ j. 230.4 N k. 57.59 N _________ l. 14.4 N _________ m. 2.304 N
_________
15
Discusión 1. Se tienen 10 protones. A una distancia X se tiene cierta cantidad de electrones. Si la
fuerza electrostática es de 57600 N; calcular el número de electrones si: a. X = 2 m _____ b. X = 6.324 m
_____ c. X = 20 m _____ d. X = 200 m _____ e. X = 632.45 m _____
f. X = 6324.55 m _____ g.
X = 200000 m _____ h. = 200 000 000 _____
 Ley de Coulomb en forma vectorial. Sabemos que cargas iguales se repelen y cargas distintas se
atraen. El sentido de la fuerza electrostática viene dada precisamente por esta atracción o repulsión.
Veamos 2 casos particulares.
F+/–
Caso 1 
F2/1 1
F– /+
2 F1/2
 Caso 2
En el primer caso, la fuerza que la carga negativa ejerce sobre la positiva (F– /+) va hacia la izquierda. En
cambio la fuerza ejercida por la positiva sobre la negativa (F+ /–) va hacia la derecha. En el segundo caso
existe repulsión: F2/1 es la fuerza que la carga 2 ejerce sobre la carga 1. El esquema anterior se puede
representar también de la siguiente forma:
F+/–
F– /+
1 F1/2
F2/1 2
–5
–
Ejemplo 2. Se tienen, en una dirección horizontal y separadas por 10 cm, 2 cargas: 2X10 C y -5X10
5
C. Si la carga negativa está a la derecha, calcular la fuerza que experimenta cada carga.
S o l u c i ó n . La magnitud de la fuerza que experimenta cada carga es la misma, pero los sentidos son
opuestos. En este caso tenemos cargas opuestas, por lo que se atraen. El esquema es el siguiente:
F– /+ F+/–
Calculemos la magnitud de la fuerza de atracción. Los 10 cm son 0.1 m
F=Kq1 q2 /r 2 = 9X9 (2X10– 5 )(5X10– 5 )/(0.12) = 900  F=900 N.
Por lo tanto tenemos lo siguiente: la magnitud de la fuerza de atracción
electrostática es 900 N; pero la carga negativa se mueve hacia la izquierda y la
positiva hacia la derecha (sentidos).
Recordemos que en la ecuación sólo se colocan los valores absolutos (positivos) de las cargas.
–5
–5
–5
Ejemplo 3. Se tienen 3 cargas: q1 = 9X10 C, q2 = -8X10 C y q 3 = -4X10 . La separación entre q1 y
q2 es 7 cm, estando q1 a la derecha. La separación entre q 3 y q2 es 5 cm, estando q 3 a 40º a la izquierda
con respecto a la vertical que pasa por q2 . Calcular la fuerza ejercida sobre q2 .
S o l u c i ó n . Entre la carga 3 y la 2 hay repulsión; entre la 2 y la 1 hay atracción. En el esquema
siguiente se muestran la fuerza que 3 ejerce sobre 2 y la fuerza que 1 ejerce sobre 2.
Encontremos la magnitud de la fuerza ejercida por 3
sobre 2. F3/2 = 9X109 (8X10– 5 )(4X10– 5 )/(0.052)
F3/2 = 11520 N
Observemos que el vector F3/2 tiene componentes en
X y en y. Es decir que: F3/2 = F3/2x + F3/2y
q3 =-4X10– 5
40º
q1 =9X10– 5
q2 =-8X10– 5
50º
40º
F3/2
F1/2
Recordemos aquí las funciones seno y coseno. En el
esquema segundo (de abajo) apreciamos las
componentes en X y en y de F3/2. Tomemos el
triángulo rectángulo con el ángulo de 50º (ver más
abajo). Para este ángulo, F3/2X es el adyacente, y F3/2
es la hipotenusa. Como el coseno se calcula
dividiendo el adyacente entre la hipotenusa, al aplicar
el coseno obtenemos:
Cos50º = ady/hip = F3/2X / F3/2  Cos50º = F3/2X / F3/2
Al despejar F3/2X, obtenemos: F3/2X = F3/2 Cos50º
F3/2x
Recordemos que i es el vector unitario para el eje X y j lo es para el eje y.
Por lo tanto: F3/2X = F3/2 Cos50ºi
Recordemos ahora que el seno es opuesto/hipotenusa. Al aplicarlo al
triángulo, obtenemos:
Sen50º = F3/2y / F3/2  F3/2y = F3/2 Sen50º  F3/2y = F3/2 Sen50ºj
Pero de acuerdo al gráfico, F3/2y es negativo: F3/2y = -F3/2 Sen50ºj
Como F3/2 = F3/2x + F3/2y tenemos:
F3/2 = F3/2x + F3/2y = F3/2 Cos50º i – F3/2 Sen50º j
F3/2 = (11520)(0.64) i – (11520)(0.77) j = 7372.8 i – 8870.4 j
F3/2 = 7372.8 i – 8870.4 j
50º
F3/2
F3/2y
50º
Encontremos la fuerza entre 1 y 2.
9
–5
–5
2
F1/2 = 9X10 (8X10 )(9X10 )/(0.07 )  F1/2 = 13224.5 N
Como F1/2 sólo tiene
componentes en X,
entonces F1/2 = 13224.5i
La fuerza resultante sobre
q2 es: FR = F3/2 + F1/2
FR
Es oportuno que el facilitador se tome con sus alumnos
algunos minutos para reflexionar sobre la estructura
F3/2 = 7372.8i – 8870.4 j
maravillosa de la materia. Parece que el constructor del
F1/2 = 13224.5i
Universo hizo la materia tal como está para que el humano
la explore y la conozca para su propio beneficio. Gracias
FR = 20597.3i – 8870.4j
Constructor del Universo.
2
2
La magnitud de la fuerza resultante es: FR = 20597.3 + 8870.4 = 22426.2  FR = 22426.2 N
Para calcular la dirección, podemos aplicar la tangente. La tangente es opuesto/adyacente.
-1
Es decir: Tanθ = opuesto/adyacente. De aquí resulta que: θ = Tan (opuesto/adyacente)
-1
-1
Para nuestro caso la dirección es: Tan (–8870.4/20597.3) = Tan (– 0.3358) = –23.3º
Por
lo tanto θ = –23.3º. Es decir, 23.3º abajo del eje X (ver gráfico anterior)
Actividad 3. Resolver cada caso: 1. Se tienen, en una dirección horizontal y separadas por 12 cm,
–5
–5
2 cargas: 3X10 C y -6X10 C. Si la carga negativa está a la derecha, calcular la fuerza que
experimenta cada carga ________ 2. Se tienen, en una dirección horizontal y separadas por 85 cm, 2
–6
–5
cargas: 2X10 C y -7X10 C. Si la carga positiva está a la derecha, calcular la fuerza que experimenta
–
cada carga ________ 3. Se tienen, en una dirección horizontal y separadas por 44 m, 2 cargas: 2X10
4
–5
C y -25X10 C. Si la carga positiva está a la izquierda, calcular la fuerza que experimenta cada carga
________
–5
–5
–5
Actividad 4. Resolver: a. Se tienen 3 cargas: q1 = 9X10 C, q2 = -8X10 C y q 3 = 4X10 . La
separación entre q1 y q2 es 7 cm, estando q1 a la derecha. La separación entre q 3 y q2 es 5 cm, estando
q 3 a 40º a la izquierda con respecto a la vertical que pasa por q2 . Calcular la fuerza ejercida sobre q2 .
–5
________________ _________ _______ (ver desarrollo en CD) b. Se tienen 3 cargas: q1 = 8X10 C,
–3
–4
q 2 = -7X10 C y q 3 = -5X10 . La separación entre q1 y q2 es 15 cm, estando q1 a la derecha. La
separación entre q 3 y q2 es 30 cm, estando q3 a 42º a la izquierda con respecto a la vertical que pasa por
q2 . Calcular la fuerza ejercida sobre q2 . ________________ _________ _______ (ver desarrollo en


1
3
2
4
–4
–4
–5
CD) c. Se tienen 3 cargas: q1 = -7X10 C, q2 = 2X10 C y q 3 = 8X10 C. La separación entre q1 y q2
es 6 m, estando q2 a la derecha. La separación entre q 3 y q1 es 4 m, estando q 3 a 70º abajo de la
horizontal que pasa por q1. Calcular la fuerza resultante, FR, ejercida sobre q1. ________________
_________ _______ (ver desarrollo en CD) d. En los vértices de un triángulo equilátero, cuyos lados
–5
–5
–5
miden 20 cm, se ubican 3 cargas: q1 = 9X10 C, q2 = -8X10 C y q 3 = 4X10 . Encontrar
vectorialmente la fuerza ejercida sobre la carga negativa, que está en el origen del plano y a la izquierda
de q 3 ; q1 está arriba. ________________ _________ _______ (ver desarrollo en CD) e. En los
–5
–5
vértices de un cuadrado de 50 cm de lado se ubican 4 cargas: q 1 = 9X10 C, q2 = 8X10 C, q 3 =
–5
–5
–5
4X10
y q4 = 7X10 . En el centro, y origen del plano cartesiano, está una carga Q = –5X10 C.
Calcular la fuerza que experimenta Q si las cargas se ubican como lo muestra el esquema.
________________ _________ _______ (ver desarrollo en CD)
f. En los vértices de un rectángulo de 60cm X 40cm se ubican 4 cargas (ver esquema) como se muestra
–4
en el esquema. Calcular la fuerza (vector) resultante sobre la carga Q, de
-7X10 , ubicada en el
–4
–4
–5
centro del rectángulo (centro de masa) si: q1 = 2X10 C,
q2 = 4X10 C, q 3 = 9X10
y q4 =
–4
2.3X10 . ________________ _________ _______ (ver CD)
–4
–4
–4
Discusión 2. Se tienen 3 cargas: q1 = 3X10 C, q2 =4X10 C, q 3 = 5X10 C ubicadas en las
posiciones siguientes (en cm): q1 en el punto (12, 15); q2 en el punto (-12, 18); q3 en el punto (-5, -20) En
–4
el origen está Q = -4X10 C. Determinar el vector fuerza ejercida sobre Q. ________________
_________ _______ (ver desarrollo en CD)
–5
–5
–5
Discusión 3. Se tienen 3 cargas: q1 = 8X10 C, q2 =3X10 C, q 3 = 4X10 C ubicadas en las
posiciones siguientes (en cm): q1 en el punto (14, 10); q2 en el punto (14, -18); q3 en el punto (-10, -20)
–4
En el origen está Q = -4X10 C. Calcular, vectorialmente, la fuerza ejercida sobre Q.
________________ _________ _______ (ver desarrollo en CD)
 Campo gravitatorio y campo eléctrico. Sabemos que la Tierra ejerce una fuerza gravitacional sobre
cualquier cuerpo en su entorno. Por ejemplo, ejerce una fuerza sobre la Luna, pero también lo hará sobre
una piedra que cae desde 100 metros. En vez de considerar que esta fuerza se debe a la acción mutua
entre dos cuerpos (Tierra–Luna o Tierra-piedra), consideraremos que la Tierra posee un campo de
fuerzas que hará aparecer una fuerza sobre la Luna o la piedra (o cualquier objeto en su entorno) Por lo
tanto afirmamos que el campo gravitatorio es el espacio dentro del cual una masa ejerce una fuerza sobre
otra. Si sobre un cuerpo de masa m actúa una fuerza F, entonces el campo gravitacional, Eg, se calcula
así: Eg = F / m. Como la fuerza es un vector (la masa es un escalar), la dirección y sentido del campo son
los mismo que los de F. Pero así como la Tierra posee un campo de fuerzas, también la Luna posee su
propio campo. Por lo tanto, si colocamos una pequeña esfera entre la Tierra y la Luna, será atraído por
ambas masas. ¿Dónde caerá la esfera?... Eso depende de su posición. Incluso podría NO caer, dado que
habrá un punto de equilibrio; es decir, un punto donde la fuerza ejercida por la Tierra es igual a la ejercida
por la Luna.
Abordamos el fenómeno del campo gravitacional por su similitud con el campo eléctrico E. Así como una
masa crea un campo gravitacional, una carga eléctrica crea un campo eléctrico. Una carga eléctrica
crea en su entorno un campo de fuerzas, de manera que si aproximamos a dicho entorno otra carga, ésta
experimentará una fuerza eléctrica. Si sobre una carga q actúa una fuerza F, entonces el campo eléctrico
E se calcula así: E = F / q. Como la fuerza es un vector (la carga es un escalar), la dirección y sentido del
campo son los mismo que los de F.
Así mismo podemos tener campos de temperatura. Por ejemplo, si encendemos una fogata,
experimentaremos determinada temperatura dependiente de la distancia a la que nos encontremos de las
llamas. En forma similar podemos tener un campo de velocidades, de presiones, de energías…
Tal como el campo gravitacional, el campo eléctrico es el espacio donde se hace sentir el efecto de la
electricidad. Toda carga eléctrica (o grupo de cargas) genera un campo eléctrico E, que se define en
función de la fuerza F ejercida sobre una carga positiva de prueba q 0 colocada en determinado punto. Por
lo tanto tenemos que:
qF
E = qo
0
–5
8
Ejemplo 4. Una carga q de –2X10 C colocada cerca de otra carga Q experimenta una fuerza de 2X10
N. Calcular el campo eléctrico de Q en dicho lugar. Además calcular la fuerza que experimentaría una
–5
carga q de 5X10 C ubicada en el mismo lugar.
S o l u c i ó n . Al aplicar la fórmula, resulta que el campo eléctrico de Q, EQ, es:
8
–5
13
13
EQ = F/q = 2X10 N / - 2X10 C = 10 N/C  EQ = -10 N/C  Observemos que el E es negativo.
1
2
3
4
–5
Para calcular la fuerza que experimentaría una carga de 5X10 C ubicada en el mismo lugar,
despejamos F de la ecuación EQ = F/q. Resulta que: EQ = F/q  F = q EQ
–5
13
8
F = q EQ = 5X10 C (-10 N/C) = -5X10 N
–5
Actividad 5. Resuelve cada caso: a. Una carga q de – 3 X10 C colocada cerca de otra carga p
7
experimenta una fuerza de 8X10 N. Calcular el campo eléctrico de p en dicho lugar. ________ Además
–5
calcular la fuerza que experimentaría una carga q de 4X10 C ubicada en el mismo lugar ________ b.
–4
8
Una carga q de 2X10 C colocada cerca de otra carga p experimenta una fuerza de 3X10 N. Calcular
el campo eléctrico de p en dicho lugar. ________ Además calcular la fuerza que experimentaría una
–4
–5
carga q de 9X10 C ubicada en el mismo lugar. ________ c. Una carga q de – 7 X10 C colocada
8
cerca de otra carga p experimenta una fuerza de 0.5X10 N. Calcular el campo eléctrico de p en dicho
–5
lugar. ________ Además calcular la fuerza que experimentaría una carga q de 4X10 C ubicada en el
–5
mismo lugar. ________ d. Una carga q de 5X10 C colocada cerca de otra carga p experimenta una
8
fuerza de 4X10 N. Calcular el campo eléctrico de p en dicho lugar. ________ Además calcular la fuerza
–5
que experimentaría una carga q de 2X10 C ubicada en el mismo lugar. ________ e. Una carga q de –
–6
7
9 X10 C colocada cerca de otra carga p experimenta una fuerza de 8X10 N. Calcular el campo
eléctrico de p en dicho lugar. ________ Además calcular la fuerza que experimentaría una carga q de
–4
7X10 C ubicada en el mismo lugar ________

Las líneas del campo eléctrico. Si colocamos un imán debajo de un papel que contenga
limaduras de hierro, éstas adoptarán una forma determinada, creando una figura que
corresponde con las líneas del campo magnético del imán. De forma similar, el campo
eléctrico de una carga eléctrica genera líneas, que son, desde luego, las líneas del campo
eléctrico. El esquema de la derecha muestra estas líneas. Se considera que las líneas
parten desde la carga positiva hacia la negativa. Si sólo existe una carga, las líneas se
prolongan hasta el infinito. El número de líneas es proporcional a la magnitud de la carga.
Dentro de un campo, las líneas no se cruzan.
 Ley de Gauss. La ley de Gauss nos brinda una nueva forma de calcular los campos
eléctricos. Esto significa que los cálculos realizados a partir de la ley de Coulomb, pueden
efectuarse mediante la ley de Gauss. Sin embargo, la ley de Gauss es más general, y nos
ofrece una forma más simple de efectuar dichos cálculos en casos con alto grado de simetría. Por
ejemplo, cuando las cargas se distribuyen esféricamente. Decimos que la ley de Gauss es más general
porque es aplicable a cargas que se mueven rápidamente, mientras que la ley de Coulomb sólo se aplica
a cargas estáticas o que se desplazan con lentitud. Se considera que la ley de Coulomb es un caso
especial de la ley de Gauss. Esta ley forma parte de las cuatro ecuaciones básicas del
electromagnetismo: las ecuaciones de Maxwell.
En la ley de Gauss aparece un flujo eléctrico (ΦE) el cual se calcula como la sumatoria de los productos
escalares del vector campo eléctrico y el vector área. Matemáticamente:
La magnitud del vector área es el área de la superficie y su dirección es siempre perpendicular a la
E
misma (90°). Esto último se ilustra a continuación. Además, las 3 superficies están dentro de un
campo eléctrico uniforme:
A2
-A1
A2
A1
A1
A
La ecuación anterior es aplicable si el vector E es constante en magnitud y sentido en cada superficie A.
Además, esta ecuación sólo es aplicable a superficies cerradas (superficies gausianas). El subíndice E se
refiere al flujo eléctrico, para distinguirlo del flujo magnético. El punto entre E y A representa el producto
escalar (producto punto) que da como resultado un escalar. El valor Φ E puede considerarse una medida
del número de líneas del campo eléctrico que cruzan a través de la superficie A (densidad de líneas). Al
E.A
efectuar el análisis dimensional, llegamos a que las unidades del flujo del campo eléctrico son N-m 2/C
(recordemos que las unidades del campo son N/C).
No olvidemos que si A y B son las magnitudes de los vectores A y B, entonces se tiene que: A . B =
A B Cos θ, siendo θ el ángulo entre dichos vectores.
Ejemplo 5. Un cilindro de bases iguales se sumerge en un campo eléctrico de manera que las líneas del
flujo son paralelas al eje del cilindro. Calcular el flujo eléctrico en el cilindro.
Solución.
90°
Ac
A
E
E
180°
0°
A
Las superficies perpendiculares al flujo son
iguales. A la entrada, A y E forman 180°; el
flujo es: EACos180° = -EA. A la salida, A y E
forman 0°; el flujo es: EACos0° = EA. En la
superficie curva, Ac y E forman siempre 90°;
el flujo es: AcECos90° = cero. El flujo total
resulta ser cero, pues tenemos: –AE + 0 + AE.
Ejemplo 6. Por un rectángulo de 40cm x 50cm sale un flujo eléctrico (de izquierda a derecha) de un
12
campo de 10 N/C de magnitud. Calcular el flujo si: a. El rectángulo es perpendicular al flujo b. El
rectángulo se inclina 60° en el sentido de las agujas del reloj.
S o l u c i ó n a . El caso se muestra en el diagrama. Dado que el campo y la superficie forman 90°, el
campo con el vector área (que es normal a la superficie) forman 0°. La magnitud
del área es: 40cm x 50cm = 2000 cm2. Esta área equivale a 0.2 m2. El flujo es:
12
11
ΦE = EACos 0° = (10 N/C)(0.2 m2) = 2X10 N-m2/C.
S o l u c i ó n b . El caso se muestra en el diagrama. El área rayada representa
la proyección del rectángulo; es decir, el área total por la que pasarán las líneas
del campo una vez que la placa rectangular ha sido girada 60°. El vector área
con las líneas de E forma 60°. Por lo tanto el flujo es:
12
11
ΦE = EACos 0° = (10 N/C)(0.2 m2)(0.5) = 10 N-m2/C.
A
Actividad 6. Se tiene un campo eléctrico constante cuya magnitud es de
60°
15
10 N/C. Determinar el flujo que sale por las superficies perpendiculares al
flujo si la superficie es: a. Un cuadrado de 50 cm de lado ________ b. Un
rectángulo de lados 50 cm y 80 cm ________ c. Un triángulo rectángulo de
catetos 50 cm y 80 cm ________ d. Un triángulo equilátero de lados 75 cm ________ e. Un círculo de
radio 20 cm ________
14
Actividad 7. Se tiene un campo eléctrico constante cuya magnitud es de10 N/C. Dentro del campo se
sumerge una placa rectangular de lados 50 cm y 80 cm. Determinar el flujo en los casos siguientes:
180°
90°
125°
a. ________
b. ________
165°
140°
c. ________
d. ________
e. ________
Discusión 4. Un cubo se halla dentro de un campo eléctrico como se muestra en el diagrama de abajo.
Calcular el flujo en el cubo _______
Discusión 5. Calcular el flujo que sale por tres placas cuyas dimensiones son: A: 0.2 m 2; B: 0.4 m2 y C:
0.6 m2. Las placas están dispuestas como se muestra en el diagrama de la izquierda. El campo eléctrico
12
es constante y su magnitud es de 8X10 N/C. __________
A
46°
B
C
53°
1.3 Diferencia de potencial
Supongamos que tenemos una placa con cargas positivas y otra con cargas negativas, de
manera que generan un campo eléctrico o una corriente eléctrica. La aparición de esta
corriente eléctrica (o de cualquier corriente eléctrica) implica la existencia simultánea de dos
elementos: un medio conductor (el cable) y una diferencia de potencial establecida entre
dos puntos. Supongamos que tenemos una carga q+ dentro del campo eléctrico; el trabajo
q+
necesario para mover esa carga q+ desde un punto A a un punto B es lo que se conoce
como diferencia de potencial. En otras palabras: la diferencia de potencial o tensión
eléctrica, llamada también voltaje (V), es el trabajo (W) necesario para desplazar una
carga (q) desde un punto a otro dentro de un campo eléctrico. Por lo tanto, esta
diferencia de potencial es la fuerza eléctrica que hace circular una corriente eléctrica a través
de una resistencia (el cable) Por convención, el campo eléctrico se desplaza desde el polo positivo al
negativo. No olvidemos que hay trabajo cuando una fuerza desplaza un cuerpo determinada distancia.
Matemáticamente, el voltaje se expresa así:
+
+
+
+
+
+
W
Cuando el trabajo se expresa en julios (J), el voltaje viene dado V
en =
julios/culombios; es decir: J/C. Esta
relación se conoce como voltio. Es decir que la unidad de diferencia de potencial es el voltio: V.
Imaginemos 2 cilindros conectados por una manguera con una válvula, estando uno lleno y el otro vacío,
como en el caso A. Si abrimos la válvula,
parte del agua del cilindro lleno pasará al
otro cilindro, de manera que finalmente se
logrará el equilibrio, como se muestra en la
A
parte B. Algo parecido ocurre con la
B
diferencia de potencial entre 2 puntos. Para
h
el caso de los cilindros, si la altura h se
h/2
aumenta, el flujo de agua saldrá con mayor
presión. A medida que disminuya el nivel, la
presión disminuirá hasta llegar a cero en el
equilibrio. Para el caso de la diferencia de
potencial, cuanto mayor sea ésta, con mayor
fuerza circulará una corriente eléctrica a través de una resistencia (un cable)
Un tema ligado a la diferencia de potencial es la capacitancia. En las largas líneas de conducción el paso
de la corriente se topa con resistencia, inductancia y capacitancia (en un circuito eléctrico). En estas
líneas, la inductancia y la capacitancia hacen variar la tensión si varía la corriente. Para regular esta
variación (no deseada) de la tensión se utilizan reguladores de la inducción y motores síncronos de tres
fases, también llamados condensadores síncronos.
q
El condensador o capacitor. En la figura se muestra un campo eléctrico (E) entre conductores cargados
que parten de una batería (fem: fuerza electromotriz). Este sistema es un medio propicio para almacenar
energía eléctrica. Por ejemplo, las placas metálicas paralelas que se indican en la figura constituyen lo
que se denomina un condensador. La batería proporciona la energía necesaria para
Símbolo de un
cargar el condensador. Si desconectamos la batería, las placas quedarán cargadas, de
condensador
manera que esa energía almacenada puede utilizarse posteriormente. Existe un límite
para transferir carga. Cuanta más carga le demos a un conductor, más se incrementa
la diferencia de potencial. Por tanto puede decirse que el incremento en la carga (Q) es
directamente proporcional a la diferencia de potencial (V), siendo la constante de
proporcionalidad la capacitancia (C).
Matemáticamente: Q = C V
Batería
La unidad de medida de la capacitancia se denomina faradio y se le define como la transferencia de una
carga de un culombio que elevará a un conductor su potencial en un voltio. Si despejamos la
capacitancia, obtenemos que C = q/v. Como el voltio, V, equivale a N-m/C, resulta que el faradio equivale
a: C2/(N-m)
Por ser el faradio (F) una unidad muy grande, se utiliza comúnmente el micro faradio. Un microfaradio
(μF) equivale a 10-6F.
La capacitancia para placas paralelas de igual área (A) y separadas por el vacío viene dada por la
expresión:
C = Eo
A
En esta ecuación: Eo es la permisividad,
y su valor es: 8.85X10-12 C2/N-m2
d

A es el área de cualquiera de las placas (m 2).
Al eliminar
unidades, resulta que
la capacitancia tiene
unidades de
C2/ N-m = C2/julios.
Los julios son unidades
de energía.
d es la separación entre las placas (m)
Actividad 8. Encontrar la capacitancia para dos placas paralelas iguales en los casos siguientes: a.
el área es de 2 m2 y están separadas por 1.5 m ______ b. el área es de 2 m2 y están separadas por 2 m
______ c. el área es de 2 m2 y están separadas por 2.5 m ______ d. el área es de 2 m2 y están
separadas por 3 m ______ e. el área es de 3 m2 y están separadas por 50 cm ______ f. el área es de 2
m2 y están separadas por 80 cm ______ g. el área es de 6400 cm 2 y están separadas por 80 cm ______
h. el área es de 6400 cm2 y están separadas por 70 cm ______ h. el área es de 8100 cm2 y están
separadas por 50 cm ______

Actividad 9. Resolver cada caso: a. 2 placas paralelas de 1600 cm 2 de área poseen una
capacitancia de 1.416X10- 11 faradios. Calcular la separación entre las placas ______ b. 2 placas
paralelas de 3200 cm2 de área poseen una capacitancia de 1.416X10 - 11 faradios. Calcular la separación
entre las placas ______ c. 2 placas paralelas de 4800 cm 2 de área poseen una capacitancia de
1.416X10- 11 faradios. Calcular la separación entre las placas ______ d. 2 placas paralelas de 3200 cm 2
de área poseen una capacitancia de 2.832X10- 11 faradios. Calcular la separación entre las placas
______ e. 2 placas paralelas de 6400 cm2 de área poseen una capacitancia de 2.832X10- 11 faradios.
Calcular la separación entre las placas ______ f. 2 placas paralelas de 9600 cm 2 de área poseen una
capacitancia de 2.832X10- 11 faradios. Calcular la separación entre las placas ______
Actividad 10. Resolver cada caso: a. 2 placas paralelas están separadas por 10 cm, y poseen una
capacitancia de 1.416X10- 11 faradios. Calcular el área de cada placa ______ b. 2 placas paralelas están

separadas por 20 cm, y poseen una capacitancia de 1.416X10 - 11 faradios. Calcular el área de cada placa
______ c. 2 placas paralelas están separadas por 30 cm, y poseen una capacitancia de 1.416X10 - 11
faradios. Calcular el área de cada placa ______ d. 2 placas paralelas están separadas por 10 cm, y
poseen una capacitancia de 2.832X10- 11 faradios. Calcular el área de cada placa ______ e. 2 placas
paralelas están separadas por 20 cm, y poseen una capacitancia de 2.832X10 - 11 faradios. Calcular el
área de cada placa ______ f. 2 placas paralelas están separadas por 30 cm, y poseen una capacitancia
de 2.832X10- 11 faradios. Calcular el área de cada placa ______
 Resumen del capítulo. Los electrones poseen carga negativa, mientras que los protones poseen
carga positiva; y se atraen entre sí. En un átomo, el número de electrones es igual al número de protones,
y como la magnitud de la carga es la misma, el átomo resulta eléctricamente neutro. Sólo los electrones
se desplazan, transportando corriente eléctrica. La intensidad de la corriente depende del número de
electrones. Para un amperio pasan 6 250 000 000 000 000 000 electrones por segundo por una sección
determinada del circuito.
En algunos materiales los electrones se liberan con facilidad y fluyen (son conductores: metales); pero en
otros materiales esto no ocurre u ocurre muy poco (son aislantes: plásticos). A temperaturas muy bajas la
mayoría de los materiales pierden su resistencia: superconductividad. Algunos materiales no son
conductores ni aislantes: semiconductores. La corriente puede ser directa: los electrones fluyen por un
conductor siempre en el mismo sentido (las pilas); o alterna: el sentido del flujo de los electrones se
alterna: la corriente en nuestras casas.
En un sólido, la corriente se transporta por los electrones que fluyen; pero en una solución, la corriente se
transporta por medio de los iones: Na+ y Cl - en la solución salina.
En algunos casos las cargas no están en movimiento: cargas eléctricas estáticas o electrostáticas. Un
objeto cargado puede cargar por inducción a un objeto neutro: el peine cargado cuando atrae pedacitos
de papel.
La fuerza de atracción (o repulsión) depende del número cargas eléctricas y de la separación entre estas
cargas: ley de Coulomb. Para Coulomb la fuerza que ejerce q 1 sobre q2, es igual, pero de sentido
contrario, a la fuerza que ejerce q2 sobre q1; esto sin importar que la magnitud de q1 sea distinta a la
magnitud de q2. La ley de Coulomb es semejante a la ley de la gravitación universal, en donde las masas
ocupan la posición de las cargas.
Así como una masa crea un campo gravitacional, una carga eléctrica crea un campo eléctrico. Una
carga eléctrica crea en su entorno un campo de fuerzas, de manera que si aproximamos a dicho entorno
otra carga, ésta experimentará una fuerza eléctrica. El campo eléctrico E se calcula así: E = F / q. El
campo eléctrico de una carga eléctrica genera líneas que parten desde la carga positiva hacia la negativa.
Si sólo existe una carga, las líneas se prolongan hasta el infinito. El número de líneas es proporcional a la
magnitud de la carga.
La ley de Gauss nos brinda una nueva forma de calcular los campos eléctricos y es más general porque
es aplicable a cargas que se mueven rápidamente, mientras que la ley de Coulomb sólo se aplica a
cargas estáticas o que se desplazan con lentitud. En la ley de Gauss aparece un flujo eléctrico (ΦE) el
cual se calcula como la sumatoria de los productos escalares del vector campo eléctrico y el vector área.
El trabajo necesario para mover una carga q desde un punto A a un punto B dentro de un campo eléctrico
es lo que se conoce como diferencia de potencial o voltaje. La inductancia y la capacitancia hacen variar
la tensión si varía la corriente. Dos placas metálicas paralelas alimentadas por corriente pueden
almacenar energía eléctrica, formando así un capacitor.
2. Qué se opone a la corriente eléctrica.
Objetivos conceptuales. Comprender lo que es un elemento que se opone al flujo de la corriente.
Objetivos procedimentales. Efectuar cálculos relacionados con resistencias al flujo.
2.1
Resistividad
y conductividad.
y conductancia
Objetivos
actitudinales
. ReflexionarResistencia
sobre el hecho
que siempre que algo se mueve, algo intenta impedírselo.
Cuando un flujo de electrones se mueve por un conductor, encontrará oposición o facilidad para
desplazarse. En un metal, la oposición es baja; pero en un plástico es muy alta. Desde un punto de vista
microscópico, hablamos de resistividad y conductividad, que son dos conceptos inversos. La resistividad
es la oposición que presenta un conductor al flujo eléctrico; mientras que la conductividad es la facilidad
que ofrece un conductor al flujo eléctrico. Tanto la resistividad como la conductividad dependen de la
estructura fisicoquímica del material conductor. Es decir que la resistividad (o conductividad) es una
característica de los materiales. Así tenemos que el hierro tiene una conductividad distinta a la
conductividad del cobre (esto se aprecia en la tabla) Aunque la resistividad es propia de cada material,
varía con la temperatura. Al aumentar la temperatura de un metal, aumenta su resistividad; en los
semiconductores ocurre lo contrario. Es decir que la resistividad de un material es única para determinada
temperatura. Recordemos que en el capítulo anterior se dijo que a temperaturas muy bajas, cercanas al
cero absoluto, la mayoría de los materiales se vuelven súper conductores (superconductividad); es decir
que pierden su resistividad. Es decir que en un conductor perfecto, la resistividad es igual a cero; o lo que
es lo mismo: la conductividad es infinita.
La resistividad se designa con la letra griega ρ (rho), y sus unidades son ohmios-metro: Ohm-m. A veces
se utiliza la letra griega omega (Ω. Es decir Ω-m. La conductividad se designa con la letra griega sigma: σ.
Lo que ya se dijo para la resistividad es válido para la
ρ=
conductividad. Además, como son inversos, se tiene
Desde un punto de vista macroscópico hablamos de resistencia y conductancia.
que: macroscópico porque el valor (de la resistencia o conductancia) depende de las 1
Decimos
dimensiones del conductor: longitud y área transversal. Comprendamos la diferencia
entre resistividad y resistencia. Si tenemos cualquier segmento de alambre de cobre su
resistividad es 1.68X10-8, según se aprecia en la tabla. Pero el valor de la resistencia
σ
dependerá de la longitud y el área transversal de ese segmento. Por ejemplo, si tenemos 3 muestras de
alambre de cobre de distintos diámetros y longitudes, la resistividad es la misma, pues se trata del mismo
material (cobre); pero la resistencia (R) es distinta, dependiendo del diámetro y longitud de cada muestra.
Así tendríamos 3 resistencias: R1, R2 y R3. Se da por hecho que el área transversal es uniforme en todo el
segmento. Además, la resistencia (como la resistividad) varía con la temperatura.
Si tenemos una muestra de un material conocido (ρ conocido) cuya longitud es L, y su
Material ρ a 23°C Oh-m
área transversal es A, entonces la resistencia (R) de esa muestra es:
Plata
1.59X10-8
.
R=ρ
-8
L
A
A
L: longitud
La ecuación anterior expresa la ley de Pouillet; y es aplicable sólo a conductores
cilíndricos. En esta ecuación, L es la longitud del conductor (m) y A es su área
transversal (m2) De acuerdo con esta ecuación, cuanto más largo es un conductor,
1
Cobre
Oroσ
Aluminio
Hierro
Acero
Plomo
Vidrio
Hule
Cuarzo
1.68X10
2.2X10-8
2.65X10-8
9.71X10-8
7.2X10-7
2.2X10-7
1010 a 1014
1013 aprox.
7.5X1017
mayor es su resistencia; y cuanto más delgado es, también mayor es su resistencia.
En la tabla de la derecha aparece el valor de ρ para algunos materiales comunes a 23°C.
Como se puede observar, los metales presentan resistividad baja; es decir que son
buenos conductores de la corriente. Para el caso, se aprecia que la plata posee la
resistividad más baja. Por el contrario, el cuarzo posee la resistividad más alta; es decir que es un mal
conductor: gran resistencia al flujo eléctrico.
Si la resistividad es inversa a la conductividad, la resistencia
es inversa a la conductancia (G) Por lo tanto tenemos que:
G=
1
R
Como la unidad de R es el ohmio (Ω), la unidad de la conductancia es el inverso del ohmio: Ω -1. Esta
unidad se conoce como siemens. El ohmio también equivale a voltios/amperios: v/A.
Ejemplo 7. Se tiene un alambre de cobre de 2 mm de diámetro (a 23°C) 1 . Calcular su resistencia en los
casos siguientes: a. La longitud es de 10 m b. La longitud es de 20 m c. La longitud es de 30 m 2.
Además, calcular su conductividad.
S o l u c i ó n 1 . Primero debemos calcular el área transversal del alambre. Como es lo común,
supondremos que el alambre tiene una sección transversal circular; por lo tanto su área será: πr 2. Antes
debemos pasar los milímetros a metros, para ello debemos dividir entre 1000 (un metro tiene 1000 mm)
2 mm = 2/1000 m = 0.002 m. Este es el diámetro: el radio es 0.002/2 = 0.001.
-6
-6
El área es: A = πr 2 = 3.14 (0.001)2 = 3.14X10  3.14X10 m2
a. Para L = 10 m, R = ρ L / A La resistividad para el cobre, según la tabla, es: 1.68X10-8.
-6
Por lo tanto: R = ρ L / A = 1.68X10-8 (10)/( 3.14X10 ) = 0.0535
Las unidades son: Ohm-m(m/m2) = Ohm-m2/m2 = Ohm. Es decir que la resistencia viene dada en
ohmios. Por lo tanto, para nuestro caso: R = 0.0535 Ohm. O también: 0.0535 Ω (la resistencia en un
conductor es pequeña; las resistencias mayores se encuentran en equipos como cocinas y calentadores)
b. Para L = 20 m la resistencia se duplicará. R = ρ L / A = 0.107 Ohm.
c. Para L = 30 m la resistencia se triplicará. R = ρ L / A = 0.1605 Ohm.
S o l u c i ó n 2 . Para calcular la conductividad, despejamos σ de ρ = 1/σ  σ = 1/ρ.
7
7
σ = 1/ρ  σ = 1/(1.68X10-8) = 5.95X10  σ = 1/ρ  σ = 5.95X10 Como las unidades de ρ son Ohmm, entonces las unidades de σ son: 1/( Ohm-m)
Ejemplo 8. Se tiene un alambre circular de 120 cm de largo y 0.0101 Ohm de resistencia. Si su
7
conductividad es de 3.773X10 1/(Ohm-m) calcular el diámetro del alambre.
S o l u c i ó n . Se tiene la conductividad, no la resistividad; por lo tanto la ecuación R = ρL/A se convierte
en R = (1/σ)L/A  R = L/Aσ. Al despejar el área, obtenemos: A = L/Rσ.
7
A = L/Rσ = (120/100)/( 0.0101x3.773X10 ) = 3.14X10-6  3.14X10-6 m2
Hemos encontrado el área. Para un círculo, el área es A = πr 2. Despejemos el radio: r 2 = A/π 
r = (A/π ) 0 . 5 =
3.14X10- 6/ 3 . 1 4 = 0.001  0.001 m El diámetro es el doble del radio.

Diámetro = 2(0.001) = 0.002  0.002m  2 mm.
Actividad 11. Encontrar la resistencia de un segmento cilíndrico de plata en los casos siguientes: a.
Su longitud es de 5 cm y su diámetro es de 1 mm ______ b. Su longitud es de 15 cm y su diámetro es
de 3 mm ______ c. Su longitud es de 25 cm y su diámetro es de 5 mm ______ d. Su longitud es de 50
cm y su diámetro es de 2 mm ______ e. Su longitud es de 100 cm y su diámetro es de 2 mm ______ f.
Su longitud es de 100 cm y su diámetro es de 4 mm ______ g. Su longitud es de 100 cm y su diámetro
es de 3 mm ______ h. Su longitud es de 50 cm y su diámetro es de 3 mm ______
Actividad 12. Resuelve cada caso: a. Se tiene un alambre circular de 120 cm de largo y 0.0101
7
Ohm de resistencia. Si su conductividad es de 1.03X10 1/(Ohm-m) calcular el diámetro del alambre
______ b. Se tiene un alambre circular de 120 cm de largo y 0.0202 Ohm de resistencia. Si su
7
conductividad es de 1.03X10 1/(Ohm-m) calcular el diámetro del alambre ______ c. Se tiene un alambre
6
circular de 120 cm de largo y 0.0101 Ohm de resistencia. Si su conductividad es de 1.39X10 (Ohm-m)-1

calcular el diámetro del alambre ______ d. Se tiene un alambre circular de acero de 120 cm de largo y
0.0101 Ohm de resistencia. Calcular el diámetro del alambre ______ e. Se tiene un alambre circular de
acero de 50 cm de largo y 0.0101 Ohm de resistencia. Calcular el diámetro del alambre ______ f. Se
tiene un alambre circular de acero de 10 cm de largo y 0.0101 Ohm de resistencia. Calcular el diámetro
del alambre ______ g. Se tiene un alambre circular de acero de 2 cm de largo y 0.0101 Ohm de
resistencia. Calcular el diámetro del alambre ______ h. Se tiene un alambre de plata de área transversal
de 7.85X10-7 m2 y 0.005 Ohm de resistencia. Calcular la longitud del alambre ______ i. Se tiene un
alambre de plata de área transversal de 2.4X10 -7 m2 y 0.005 Ohm de resistencia. Calcular la longitud del
alambre ______ j. Se tiene un alambre de plata de área transversal de 8.1X10 -8 m2 y 0.005 Ohm de
resistencia. Calcular la longitud del alambre ______ k. Se tiene un alambre cuya conductividad es de de
3.77X107, su área transversal es de 8.1X10-8 m2 y su resistencia es de 0.005 Ohm. Calcular la longitud
del alambre ______ l. Se tiene un alambre cuya conductividad es de de 3.77X10 7, su área transversal es
de 8.1X10-7 m2 y su resistencia es de 0.005 Ohm. Calcular la longitud del alambre ______ m. Se tiene
un alambre cuya conductividad es de de 3.77X107, su área transversal es de 9.7X10-7 m2 y su
resistencia es de 0.005 Ohm. Calcular la longitud del alambre ______
Discusión 6. Resolver cada caso: a. Se tienen 2 segmentos de cobre de igual resistencia. El más
delgado tiene 18 cm de longitud y 3.14X10-6 m2 de sección transversal. El área transversal del segundo
es 2.093X10-6 m2 Calcular su longitud ______ b. Se tienen 2 segmentos de metal de igual resistencia. El
más delgado es de cobre y tiene 18 cm de longitud y 3.14X10 -6 m2 de sección transversal. El otro es de
plata y su área transversal es de 2.093X10-6 m2 Calcular su longitud ______ c. Se tiene un segmento de
platino de 20 cm y 2.093X10-6 m2 de sección transversal. La conductancia del segmento es de 95.13 Ω1. Calcular la resistividad del platino ______ d. Se tiene un segmento de plomo de 20 cm y 2.093X10 -6
m2 de sección transversal. La conductancia del segmento es de 47.56 Ω -1. Calcular la resistividad del
plomo ______ e. Se tiene un segmento de germanio de 20 cm y 2.093X10 -6 m2 de sección transversal.
La conductancia del segmento es de 2.275X10-5 Ω-1. Calcular la resistividad del plomo ______ f. Se
tiene un segmento de piel humana de 20 cm y 2.093X10 -6 m2 de sección transversal. La conductancia
del segmento es de 2.093X10-11 Ω-1. Calcular la resistividad de la piel humana ______
2.2 Ley de Ohm
V
 Ley de Ohm. La resistencia en un circuito eléctrico puede calcularse con la ecuación R =
En esta ecuación V es el voltaje (voltios), que lo da la fuerza electromotriz
I
(una pila de 1.5 voltios, por ejemplo). El denominador I es la intensidad de la
Material no óhmico
corriente eléctrica (A: amperios). Al graficar V contra I para un determinado
material, es posible obtener una línea recta. Aquellos materiales que dan una
Material óhmico
línea recta se conocen como materiales óhmicos; es decir que cumplen con la
ley de Ohm. Por lo tanto, para esos intervalos en los que se obtiene una línea
recta, la ecuación anterior (R = V/I) es la ley de Ohm. Por lo tanto, para un
material óhmico, R es independiente tanto de V como de I. En otras palabras,
al variar V, I variará de tal modo que el cociente V / I no cambiará. No
olvidemos que la ecuación anterior puede escribirse así: V = RI; siendo R la
pendiente, que en una recta es constante.
V
Ejemplo 9. Graficar V contra I para valores de R de 1 y 2 ohmios de un
material que cumple con la ley de Ohm.
S o l u c i ó n . Si cumple con la ley de Ohm, entonces al graficar V contra
I obtendremos una línea recta. No olvidemos que para graficar una recta,
basta con 2 puntos.
Para el caso de R = 1, se tiene que si V = 2, entonces I = 2, de tal manera
que R = V / I = 2/2 = 1. Si V = 4, entonces I = 4, de tal manera que R = V / I
= 4/4 = 1. Así conseguimos 2 puntos: (2, 2) y (4, 4)
Para el caso de R = 2, se tiene que si V = 4, entonces I = 2, de tal manera
que R = V / I = 4/2 = 2. Si V = 8, entonces I = 4, de tal manera que R = V / I
= 8/4 = 2. Así conseguimos 2 puntos: (2, 4) y (4, 8)
En la gráfica se observa que la pendiente de cada recta es la resistencia
R.
Recordemos que R = V / I  V = RI, R es la pendiente.
Actividad 13. En el plano de la derecha trazar la gráfica para
materiales óhmicos cuya resistencia es: a. R = 0.25 Ω b. R = 0.5 Ω c.
R = 1.5 Ω d. R = 3 Ω e. R = 4 Ω
Discusión 7. Cierto material no cumple con la ley de Ohm, de manera
que al graficar V contra I se obtiene la curva que se muestra. Calcular
el valor de R para los valores de V siguientes: 10, 20, 30, 40, 50 y 60.
V
10
6
(2, 4)
R=1
5
4
3
V
1
2
3
4
5
6
7
8
I
2
81
7
6
5
2
3
4
5
6
7
8
I
La resistencia. Si sobre un material circula una corriente
50
20
(4, 8)
R=2
1
60
30
8
7
3
70
40
V
4
80
I
1
2
3
4
5
6
7
8
eléctrica, cualquier
objeto que impida dicha circulación es una
2
resistencia. El conductor mismo resulta ser una resistencia, así
como es una1resistencia un bombillo, un foco o las estructuras
circulares que encontramos en las cocinas eléctricas. En
algunas resistencias aparecen unas bandas de color que
representa el valor de la resistencia. Los primeros dos colores
dan los dos primeros dígitos del valor de la resistencia, el
tercer color es el exponente en potencias de diez a multiplicar
el valor de la resistencia. El último color es la tolerancia del
valor de la resistencia. Por ejemplo, si los colores son naranja,
azul, amarillo y oro, el valor de la resistencia es 36X104 o bien
360K, con una tolerancia de 18K (5%).
 Intensidad de la corriente eléctrica I. Como ya se ha dicho, la corriente eléctrica se debe al
desplazamiento de electrones por un conductor (un metal) La corriente se mide en amperios (A). Un
amperio corresponde al paso de unos 6 250 000 000 000 000 000 (6.25X1018) electrones por segundo por
una sección determinada del circuito (la ruta de la corriente, el cable). Como 6.25X10 18 electrones forman
un culombio, entonces un amperio es 1 C/s; es decir, un culombio por
Las pilas. Una pila es una fuente de
segundo.
Para calcular la corriente en
un circuito se utiliza la ecuación
I = q/t
Ejemplo 10. Por la sección transversal de un conductor pasan
1.875X1015 electrones cada diez milésimas de segundo. Si la resistencia
es de 0.025 Ω, calcular el voltaje.
S o l u c i ó n . La ecuación V = RI no la podemos aplicar de inmediato;
pues antes debemos calcular la corriente I. Calculamos I dividiendo la
carga por el tiempo. Tenemos 1.875X1015 electrones; por regla de tres
fuerza electromotriz (fem) Con su
voltaje, una pila hace que los electrones
se muevan en un conductor. A mayor
voltaje, la pila moverá más electrones en
determinado material; y para un voltaje
determinado, la pila moverá más
electrones si la resistencia del material
es baja.
Las pilas que utilizamos en radios y
linternas, generan una potencia (fem) de
1.5 voltios.
calculamos los culombios equivalentes a 1.875X10 15 electrones.
Calculemos I. I = q/ t = 0.0003 C / t. El
Regla de tres
tiempo es una diez milésima de segundo; es decir: 0.0001 s.
18
Por lo tanto: I = 0.0003 C / 0.0001 s = 3 C/s  I = 3 amperios  I = 3 A
6.25X10 e → 1 C
V = I / R =  V = 3/0.025 = 120  V = 120 voltios
15 -
1.875X10 e →
X = 0.0003 C

X
Actividad 14. Resolver cada caso: a. Por la sección transversal de
un conductor pasan 3.75X1015 electrones cada diezmilésima de segundo.
Si la resistencia es de 0.025 Ω, calcular el voltaje _____ b. Por la sección
transversal de un conductor pasan 5.625X1015 electrones cada diezmilésima de segundo. Si la
resistencia es de 0.025 Ω, calcular el voltaje _____ c. Por la sección transversal de un conductor pasan
7.5X1015 electrones cada diezmilésima de segundo. Si la resistencia es de 0.1 Ω, calcular el voltaje
______ d. Por la sección transversal de un conductor pasan 6.875X1015 electrones cada diezmilésima de
segundo. Si la resistencia es de 0.1 Ω, calcular el voltaje _____ e. Por la sección transversal de un
conductor pasan 1.375X1016 electrones cada diezmilésima de segundo. Si la resistencia es de 0.2 Ω,
calcular el voltaje _____ f. Por la sección transversal de un conductor pasan 2.75X10 16 electrones cada
cienmilésima de segundo. Si la resistencia es de 4 Ω, calcular el voltaje. _____ g. Por la sección
transversal de un conductor pasan 3.75X1015 electrones cada diezmilésima de segundo. Si el voltaje es
de 240 voltios, calcular la resistencia _____ h. Por la sección transversal de un conductor pasan
5.625X1015 electrones cada diezmilésima de segundo. Si el voltaje es de 360 voltios, calcular la
resistencia _____ i. Por la sección transversal de un conductor pasan 7.5X10 15 electrones cada
diezmilésima de segundo. Si el voltaje es de 120 voltios, calcular la resistencia ______ j. Por la sección
transversal de un conductor pasan 6.875X1015 electrones cada diezmilésima de segundo. Si el voltaje es
de 110 voltios, calcular la resistencia ______ k. Por la sección transversal de un conductor pasan
1.375X1016 electrones cada diezmilésima de segundo. Si el voltaje es de 110 voltios, calcular la
resistencia _____
Discusión 8. En un circuito se tiene una resistencia de 10 Ω y un voltaje de 120 voltios. Calcular el
número de electrones que pasan por la sección transversal del conductor en: a. 1 segundo ________ b.
una décima de segundo ________ c. una centésima de segundo ________ d. una milésima de segundo
________ e. una diezmilésima de segundo ________
2.3 Cómo puede distribuirse la corriente
El flujo de electrones (corriente) puede deberse a una pila (fem) Este flujo de electrones encontrará
alguna resistencia a su paso. Aquí haremos énfasis en las resistencias.
 Resistencias en serie y en paralelo en un circuito. En un circuito eléctrico, las
resistencias pueden estar colocadas en serie o en paralelo. También podemos encontrar
ambos ordenamientos en un mismo circuito.
 Las resistencias mostradas están
colocadas en serie porque una misma
intensidad, I, circula por todas ellas.
R2
R1
I
I
I
V1
R3
V2
Así se representa una
resistencia
I
V3
Para resistencias en serie, la resistencia total, RT, es la suma de todas: RT = R1 + R2 + R3. Esta
resistencia total también se conoce como resistencia equivalente, R e; ya que equivale a la suma de todas.
Para el caso, si en el esquema se tiene que R1 = 5 Ω, R2 = 10 Ω y R3 = 15 Ω, el sistema equivale a tener
una sola resistencia de 30 Ω.
El voltaje total es la suma de los voltajes de cada resistencia: VT = V1 + V2 + V3.
Como V = RI, resulta que: V1 = R1I Por lo tanto VT = Re I
R1
I1 I2
 Las resistencias mostradas están colocadas en paralelo. En estos
R2
I I
casos, todas las resistencias están sometidas al mismo voltaje V. Es decir
3
R3
que V = V1 = V2 = V3. La intensidad de la corriente se reparte en las tres
resistencias, de manera que: I = I1 + I2 + I3. Como I = V/R, se tiene que: I1
= V/R1; I2 = V/R2; I3 = V/R3.
Por lo tanto: I = V/R1 + V/R2 + V/R3  I = V (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)  I / V=
(1/R1 + 1/R2 + 1/R3)
Como V/I = R, resulta que: I / V = 1/R = (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)  1/R = 1/R1
+ 1/R2 + 1/R3
Si Re es la resistencia equivalente del sistema, se tiene que: 1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
Por lo tanto, si las resistencias están colocadas en paralelo, el inverso de la resistencia equivalente es
igual a la suma de los inversos de cada una de ellas.
Además, como I = V/R, se tiene que: IT = V/Re
Ejemplo 11. Para el sistema mostrado se tiene que
R1 R2
R3
I
R1 = 10 Ω, R2 = 12 Ω, R3 = 8 Ω y R4 = 5 Ω. Si el amperaje es de 7 amperios,
calcular el voltaje en cada resistencia y el voltaje total.
S o l u c i ó n . Las resistencias están en serie, por lo tanto por todas ellas pasa
la misma intensidad de corriente. Por estar en serie, el voltaje para cada resistencia es el producto de esa
resistencia por la intensidad de la corriente (amperaje) Así tenemos que:
V1 = R1I = 10(7) = 70  V1 = 70 voltios.
Por el mismo procedimiento se llega a que: V2 = 84 voltios. V3 = 56 voltios. V4 = 35 voltios.
El voltaje total es: VT = 70 + 84 + 56 + 35 = 245  VT = 245 voltios.
También: VT = Re I = (10 + 12 + 8 + 5)(7) = 245  VT = 245 voltios.
Es oportuno aclarar que la resistencia del conductor se desprecia (es muy pequeño)
Ejemplo 12. En el sistema mostrado, las resistencias están colocadas en paralelo. Se tiene que:
R1 = 5 Ω, R2 = 6 Ω y R3 = 8 Ω. Si el voltaje es de 120 voltios, calcular la resistencia equivalente, la
intensidad de la corriente que entra en cada resistencia y el amperaje total.
I1
S o l u c i ó n . Calculemos la resistencia equivalente.
1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 = 1/5 + 1/6 + 1/8.
I2
Para sumar fracciones con distinto denominador, colocamos como denominador común el
I3
producto de todos y como numerador el cociente de este denominador por cada denominador.
Denominador común: 5 x6 x8 = 240. Ahora: 240/5 = 48; 240/6 = 40; 240/8 = 30. Y tenemos:
1/Re = 1/5 + 1/6 + 1/8 = 48/240 + 40/240 + 30/240 = (48 + 40 + 30)/240 = 118/240 = 59/120.
Por lo tanto, como 1/Re = 59/120, entonces: Re = 120/59 = 2.03  Re = 2.03 Ω
Calculemos la intensidad para cada resistencia.
I1 = V/R1 = 120/5 = 24  I1 = 24 amperios.
I2 = V/R2 = 120 / 6 = 20  I2 = 20 amperios.
I3 = V/R3 = 120 / 8 = 15  I3 = 15 amperios.
La intensidad total la calculamos sumando todas las intensidades.
IT = I1 + I2 + I3 = 24 + 20 + 15 = 59  IT = 59 amperios.
También se calcula aplicando IT = V/Re. Veámoslo: IT = V/Re = 120/2.03 = 59.1
 IT = 59 amperios.
Actividad 15. Se tienen 5 resistencias: R1= 2 Ω, R2 =4 Ω, R3 = 6 Ω y R4 = 8 Ω y R5 = 10 Ω. Si el
amperaje es de 10 amperios, calcular el voltaje en cada resistencia y el voltaje total V 1 = ____ V2 = ____
V3 = ____ V4 = ____ V5 = ____ VT = ____
Discusión 9. Se tienen 2 resistencias en serie: R1 y R2. Se sabe que el voltaje en R1 es
R1
de 120 voltios y el voltaje en R2 es de 210 voltios. Calcular la intensidad de la corriente
que pasa por las resistencias y el valor de R2 si: a. R1 = 2 Ω. I = _____ R2 = _____ b.
R1 = 3 Ω. I = _____ R2 = _____ c. R1 = 4 Ω. I = _____ R2 = _____ d. R1 = 5 Ω. I = _____ R2 = _____ e.
R1 = 6 Ω. I = _____ R2 = _____ f. R1 = 8 Ω. I = _____ R2 = _____
Actividad 16. En el sistema mostrado el voltaje es de 120 voltios. Calcular la resistencia
equivalente, la intensidad de la corriente que entra en cada resistencia y el amperaje total si: a.
I1
R1= 4 Ω, R2= 5 Ω y R3= 3 Ω
Re = _____ I1 = _____ I2 = _____ I3 = _____ IT = _____ b.
I2
R1= 3 Ω, R2= 4 Ω y R3= 5 Ω Re = _____ I1 = _____ I2 = _____ I3 = _____ IT = _____ c. R1= 4 Ω,
R2= 6 Ω y R3= 8 Ω Re = _____ I1 = _____ I2 = _____ I3 = _____ IT = _____
R4
R1
R3
R2


R2
R1
R2
I3
R1
R2
R3
● Resistencias combinadas. Con frecuencia los resistores (resistencias) se
encuentran combinadas: unas en serie y otras en paralelo. En el circuito mostrado,
se tiene que R1 y R2 están en paralelo; mientras que R3, R4 y R5 están en serie. Para
R3
R4
R5
un caso como el mostrado, la resistencia equivalente se calcula sumando primero las que están en serie y
luego este resultado se toma como una resistencia más en paralelo.
Ejemplo 13. En el circuito anterior se tiene que R1 = 12 Ω, R2 = 15Ω, R3 = 2 0 Ω, R4 = 30 Ω y R1 = 25 Ω.
Calcular la resistencia equivalente.
S o l u c i ó n . R3, R4 y R5 están en serie, por lo tanto: R3 + R4 + R5 = 20 + 30 + 25 = 75
 RT = 75 Ω. Nos queda un circuito como el mostrado.
R1
R2
RT
Se tiene que: 1/Re = 1/R1 + 1/R2 + 1/RT = 1/12 + 1/15 + 1/75
= (1125 + 900 + 180)/13500 = 2205/13500
Por lo tanto: Re = 13500/2205 = 6.12  Re = 6.12 Ω
Actividad 17. Para el circuito mostrado (a) calcular la resistencia equivalente
R1
R2
R3
R1
si: a. R1 = 100 Ω, R2 = 8 0 Ω, R3 = 60 Ω ________(ver CD) b. R1 = 7 5 Ω, R2 = 6 0 Ω,
R3 = 80 Ω ________ (ver CD) c. R1 = 70 Ω, R2 = 5 0 Ω, R3 = 75 Ω ________ d. R1 = 60
Ω, R2 = 4 5 Ω, R3 = 50 Ω ________ e. R1 = 5 0 Ω, R2 = 4 5 Ω, R3 = 4 0 Ω ________ f.
R3
R1 = 40 Ω, R2 = 4 5 Ω, R3 = 3 0 Ω ________ g. R1 = 20 Ω, R2 = 25 Ω, R3 = 15 Ω ________
Para el circuito mostrado (b) calcular la resistencia equivalente si: h. R 1 = 80 Ω,
(a)
R3
R2 = 70 Ω, R3 = 50 Ω, R4 = 60 Ω, R5 = 90 Ω ________ i. R1 = 20Ω, R2 = 2R1 , R3 = R2 ,
R4 = 3R1 y R5 = R4 / 2 ________ (CD) j. R1 = 10 Ω, R2 = 2R1 , R3 = R2 , R4 = 3R1 y R5 =
R4 / 2 ________
Discusión 10. Para el sistema mostrado, calcular R2 si: a. R1 = 15 Ω, R3 = 25 Ω y Re =
R1
R2
R3
6.38 Ω ______ b. R1 = 15 Ω, R3 = 30 Ω y Re = 6.7 Ω ______ c. R1 = 25 Ω, R3 = 30
R1
R2 R3
Ω y Re = 8.11 Ω ______ d. R1 = 30 Ω, R3 = 40 Ω y Re = 9.23 Ω ______ e. R1 = 35 Ω,
R3 = 45 Ω y Re = 10 Ω ______ f. R1 = 50 Ω, R3 = 60 Ω y Re = 11.54 Ω ______ g. R1
R4
= 100 Ω, R3 = 150 Ω y Re = 15 Ω ______

 Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos resultan muy complicados y no
– +
B
C
pueden resolverse por asociaciones en serie o en paralelo. Para estos
(b)
R5
circuitos son necesarias unas reglas que propuso Gustav Robert Kirchhoff.
Pila (fem): transporta la corriente.
Antes de conocerlas, es necesario definir tres conceptos muy utilizados: nudo,
Este circuito tiene 3 pilas, lo que lo
malla y rama.
vuelve complejo.
 Nudo. Es un punto en el circuito donde se unen 3 (o más) conductores. En
el circuito mostrado, A y D son nudos.
A
D
En un circuito, la corriente
 Malla. Es cualquier trayectoria cerrada. En el circuito mostrado son mallas
las trayectorias ABCDA, ADEFA y ABCDEFA.
fluye del polo + al –.
 Rama. Es toda trayectoria entre nudos. En el circuito son mallas ADEF, AD
F
E
y ABCD.
La primera ley de Kirchhoff establece que en todo nudo la suma algebraica
de las intensidades eléctricas (I) es cero (la I que entra es + y la que sale es negativa)
La segunda ley de Kirchhoff establece que en toda malla la suma algebraica de las caídas de tensión es
igual a la suma algebraica de las fuerzas electromotrices (pilas) intercaladas en ellas.
Es oportuno mencionar que en un circuito eléctrico podemos encontrar (además de las fuentes
electromotrices y resistencias) ohmímetros, amperímetros y voltímetros.
 Ohmímetro. Este aparato sirve para medir la resistencia eléctrica en ohmios. Los ohmímetros más
comunes son multímetros. Mediante un dial pueden utilizarse para medir la diferencia de potencial, la
intensidad de corriente o la resistencia. Los ohmímetros se utilizan mucho para detección de fallos en
circuitos eléctricos.
 Amperímetro. Este aparato sirve para medir la intensidad de la corriente que está circulando por un
circuito eléctrico. Está constituido por un galvanómetro cuya escala ha sido graduada en amperios. A la
derecha aparece el símbolo.
 Voltímetro. Este aparato sirve para medir la potencia consumida por cualquiera de las partes de un
circuito. A la derecha aparece el símbolo.
También encontramos capacitores (condensadores) en un circuito; pero de éstos ya se habló en páginas
anteriores. La fuente es la fuerza electromotriz, que puede ser una pila.
2.4 La corriente eléctrica puede producir trabajo y potencia
 El efecto Joule. Recordemos qué es un ión. Un ión es un átomo que ha perdido o ganado uno o más
electrones (no olvidemos que los protones siguen firmes en el núcleo: no se desprenden); por lo tanto un
ión posee carga eléctrica (positiva o negativa) Cuando por un conductor circula una corriente eléctrica, es
un flujo de electrones el que está circulando. Estos electrones se han desprendido de los átomos del
metal, de manera que tenemos iones metálicos (de cobre, plata, acero…) Estos electrones, en su
movimiento, están chocando con los iones metálicos, lo que genera calor. Generalmente los cables
eléctricos están diseñados para soportar este choque de electrones con iones metálicos sin fundirse, pero
si se aumenta la intensidad de la corriente (el flujo de electrones por segundo), el cable se calentará hasta
fundirse. Esto puede ocurrir si conectamos una estufa o un calentador de agua (equipos de alta
resistencia) con un cable que no está diseñado para soportar tal intensidad. Este calor producido se
A
V
conoce como efecto Joule. Es decir que la energía eléctrica se transforma en energía térmica debido a los
continuos choques de los electrones móviles contra los iones metálicos del conductor.
La cantidad de energía en forma de calor, Q, generada por el paso de una corriente eléctrica por un
conductor es proporcional a la resistencia, R, al cuadrado de la intensidad, I, y al tiempo, t.
2
Matemáticamente: Q = RtI
Recordemos ahora que la potencia (P) es la cantidad de trabajo (energía) realizado por unidad de tiempo:
P = W/t. Por ejemplo, si un equipo realiza un trabajo de 1000 julios en 5 segundos y otro realiza ese
mismo trabajo (1000 J) en 4 segundos, significa que este último equipo tiene una potencia mayor.
Cuando un cuerpo es desplazado por una fuerza durante algún tiempo, existe potencia
(fuerza xdistancia / tiempo) Pero también existe potencia en fenómenos en los que no se desplaza un
cuerpo; por ejemplo en el caso del calor (Q) generado por el flujo eléctrico en una resistencia. En este
P = RI2
2
2
2
caso la potencia es P = Q/t. Como Q = RtI ; al sustituir obtenemos: P = Q/t = RtI /t = RI ; es decir que:
Esta expresión es la que corresponde al efecto Joule.
Cuando trabajamos en voltios, amperios y ohmios, la potencia viene dada en watt (w) o vatios (v). Por lo
común se utiliza el kilovatio: Kv.
Ejemplo 14. En un calentador la diferencia de potencial es de 110 voltios. Si la resistencia en el alambre
es de 8 ohmios, calcular la potencia del calentador.
S o l u c i ó n . No podemos aplicar inmediatamente la ecuación P = RI 2. Antes debemos calcular I. Pero I
= V/R  I = V/R = 110/8 = 13.75  I = 13.75 amperios.
Por lo tanto P = RI 2 = 8(13.75) 2 = 1512.5  P = 1512.5 vatios. También: P = 1.51 kilovatios.
Se llega al mismo resultado si en P = RI 2 sustituimos I = V/R.
2
2
Hagámoslo: P = RI 2 = R(V/R)2 = R(V /R2) = V /R = (110)2/8 = 1512.5  P = 1512.5 vatios
 P = 1.51 kilowatt. O también 1.51 Kw
Por lo tanto, la potencia también se puede calcular aplicando:
2
P = V /R
2
Como R = V/I, sustituyamos R en P = V /R .
2
= IV / V = IV

2
2
Obtenemos: P = V /R = V /(V/I)
P = IV
Por lo tanto podemos calcular P aplicando
Actividad 18. Calcular la potencia de un equipo en los casos siguientes: a. el voltaje es de 110
voltios y la resistencia es de 7 ohmios ________ b. el voltaje es de 110 voltios y la resistencia es de 10
ohmios ________ c. el voltaje es de 220 voltios y la resistencia es de 10 ohmios ________ d. el voltaje es
de 220 voltios y la resistencia es de 20 ohmios ________ e. la intensidad de la corriente es de 15
amperios y la resistencia es de 8 Ω ________ f. el amperaje es de 16 amperios y la resistencia es de 8Ω
________ g. el amperaje es de 20 amperios y la resistencia es de 10 Ω ________ h. el amperaje es de 22
amperios y la resistencia es de 10 Ω ________
Discusión 11. Resolver cada caso: a. La potencia de un equipo es de 1728.57 vatios y el amperaje es de
15.7 amperios. Calcular la resistencia ________ b. La potencia de un equipo es de 1210 vatios y el
amperaje es de 11 amperios. Calcular la resistencia ________ c. La potencia de un equipo es de 4840
vatios y el amperaje es de 22 amperios. Calcular la resistencia ________ d. La potencia de un equipo es
de 2050 vatios y el voltaje es de 128 voltios. Calcular la resistencia ________ e. La potencia de un equipo
es de 864.28 vatios y el voltaje es de 110 voltios. Calcular la resistencia ________ f. La potencia de un
equipo es de 2200 vatios y el voltaje es de 220 voltios. Calcular la resistencia ________
Discusión 12. a. La potencia de un equipo es de 1728.57 vatios y la resistencia es de 7 Ω. Calcular el
amperaje ________ b. La potencia de un equipo es de 1210 vatios y la resistencia es de 10 Ω. Calcular el
amperaje ________ c. La potencia de un equipo es de 4840 vatios y la resistencia es de 10 Ω. Calcular el
amperaje ________ d. La potencia de un equipo es de 2050 vatios y la resistencia es de 8 Ω. Calcular el
voltaje ________ e. La potencia de un equipo es de 864. 28 vatios y la resistencia es de 14 Ω. Calcular el
voltaje ________ f. La potencia de un equipo es de 2200 vatios y la resistencia es de 22 Ω. Calcular el
voltaje ________
3. La corriente eléctrica y el magnetismo.
Objetivos conceptuales. Describir la relación entre electricidad y magnetismo; así como relacionar campo y fuerza
eléctrica con campo y fuerza magnética.
Objetivos procedimentales. Aplicar la ley de Coulomb y Ampere al magnetismo, formar campos magnéticos con electricidad y
calcular
fuerzas magnéticas.
3.1
Producción
de campo magnético
Objetivos actitudinales. Reflexionar sobre la gran utilidad que nos brinda el magnetismo, pues es la base para equipos que hacen
nuestra vida más cómoda.
¿Qué es magnetismo? Con seguridad el lector ha tenido en sus manos, en alguna ocasión, un imán o
magnetita (Fe3O4), y habrá comprobado que un imán atrae a los metales. Así mismo puede atraer o
repeler a otro imán, dependiendo de la orientación. El magnetismo es precisamente la propiedad que
poseen algunos materiales de atraer a otros cuerpos.
¿Qué es un campo magnético? Recordemos que un campo gravitatorio es el espacio dentro del cual
una masa ejerce una fuerza de atracción sobre otra. Así mismo, un campo eléctrico es el espacio dentro
del cual una carga eléctrica ejerce atracción o repulsión sobre otra. En forma similar, un campo magnético
es el espacio dentro del cual un cuerpo magnético ejerce una fuerza de atracción (o repulsión) sobre otro.
 Magnetismo y electricidad. Si bien la electricidad y el magnetismo son fenómenos diferentes, es cierto
que alrededor de una corriente eléctrica se produce un campo magnético. Esto lo demostró el físico y
químico danés Hans Christian Oersted. En 1819 Oersted descubrió que una aguja imantada (brújula) se
desvía colocándose en dirección perpendicular a un conductor por el que circula una corriente eléctrica.
Este fenómeno es comparable a la orientación de la brújula con el campo magnético terrestre. Tenemos,
entonces, que:
– la Tierra se comporta como un gran imán que produce campo magnético
– un alambre con corriente produce un campo magnético a su alrededor
– una brújula (que es un imán) se comporta como un dipolo magnético orientable.
● Elaboración de imanes. Algunos metales como el hierro, el níquel y el
IMAN
cobalto pueden convertirse en imanes permanentes. Por esto se les llama
materiales ferromagnéticos. Puede conseguirse un imán permanente al frotar
un pedazo de estos materiales contra un imán. Un imán permanente es aquel
La barra con la línea blanca adquiere
que mantiene el magnetismo por mucho tiempo. Sin embargo, un pedazo de
magnetismo por estar unido al imán. Por
metal ferromagnético adquiere magnetismo mientras está unido a un imán; al
tal razón atrae al triángulo. Al separarse
separarse, deja de ser un imán.
dejará de serlo.
Se consigue formar un imán enrollando alambre electrizado en torno de un
trozo de hierro. Este sería un electroimán. El electroimán es la base del motor eléctrico y del
transformador.
● La brújula magnética. Una brújula magnética puede ser un trozo de magnetita en forma de
aguja o cubo. Si suspendemos esta aguja en la superficie de la Tierra, veremos que un
S
N
extremo apunta siempre hacia el polo norte geográfico, mientras que el otro extremo apunta
hacia el polo sur. Por lo tanto se establece en la aguja de magnetita un polo norte, N, y un
polo sur, S. Sin embargo estos polos geográficos no coinciden exactamente con los polos magnéticos,
aunque están cercanos, a unos 11.5° de separación. Además, los polos magnéticos se mueven con el
tiempo (unos 5 km por año). Actualmente el polo norte magnético se encuentra cerca de la costa oeste de
la isla Bathurst, en los Territorios del Noroeste, en Canadá, casi a 1 290 km al noroeste de la bahía de
Hudson. El polo sur magnético se sitúa hoy en el extremo del continente antártico, en Tierra Adelia, a
unos 1 930 km al noreste de Little America (Pequeña América).
¿Qué ocurre entre 2 imanes? Ocurre que pueden atraerse o repelerse. Si acercamos el polo norte de un
imán al polo sur de otro, habrá atracción; pero si acercamos el polo norte de un imán al polo norte de otro,
habrá repulsión. Es decir que: polos opuestos se atraen y polos iguales se repelen. Esto nos recuerda
lo que ocurre con las cargas eléctricas: cargas opuestas se atraen y cargas iguales se repelen.
S
N
S
Polos opuestos se atraen
N
S
N
N
Polos iguales se repelen
Es importante aclarar que en los polos es donde se concentra la mayor fuerza
magnética (en el centro es mínima). Además, si un imán se rompe, se forman
nuevamente los dos polos. Las líneas del campo magnético forman espiras
cerradas saliendo del imán por su polo norte y entrando por su polo sur. Estas
líneas se hacen visibles atrayendo con un imán limadura de hierro, lo que se
N
muestra en la imagen.
3.2 Origen atómico del campo magnético
Un campo eléctrico es creado por una carga eléctrica: un electrón (o un protón).
Se genera así una atracción o repulsión entre cargas. Ocurre que un electrón
tiene 2 movimientos: gira en órbitas en torno del núcleo (traslación) y también gira
sobre su eje (rotación) Este movimiento de rotación se conoce como espín.
Ambos movimientos generan las propiedades magnéticas (magnetismo)
S
Microscópicamente se observa que los átomos en un material magnetizado se
ordenan en pequeñas regiones (de aproximadamente 1 mm) llamadas dominios.
Cada dominio se comporta como un imán independiente con sus respectivos
polos. En un material no magnetizado, estos dominios se encuentran sin ningún
orden, al azar, de manera que sus efectos magnéticos se anulan mutuamente. Sin embargo, cuando los
dominios se ordenan, el material adquiere magnetismo.
S
S
Aquí los dominios están ordenados, por
lo que el material está magnetizado.
3.3 Leyes de Coulomb y Gauss para el magnetismo
Aquí los dominios no están ordenados, por
lo que el material NO está magnetizado
 Ley de Coulomb. Ya establecimos que entre los polos magnéticos se establecen
fuerzas de atracción o repulsión, tal como ocurre con las cargas eléctricas. La fuerza de
atracción o repulsión magnética es posible calcularla mediante la ley de Coulomb.
Charles de Coulomb (imagen) estableció una ecuación para determinar la fuerza de
atracción (o repulsión) entre cargas eléctricas. En este caso, la fuerza es directamente
proporcional a la magnitud de las cargas e inversamente proporcional a la separación
entre ellas. Para el caso del magnetismo, Coulomb estableció una relación semejante, y
es la siguiente: la fuerza ejercida entre dos polos magnéticos es directamente
proporcional al producto de sus masas magnéticas e inversamente proporcional
al cuadrado de la separación entre ellas.
Matemáticamente se expresa así: F = μm1m2 /d2
Observemos la similitud con la ley
de Coulomb para cargas eléctricas o
con la ley de la gravitación universal
En la ecuación anterior, μ es la constante de proporcionalidad llamada permeabilidad magnética y su
valor, en el sistema internacional, es de 10 7 Kg-m3 /(s2-weber 2) o 10 7 newton-m2 /(weber 2)
El weber (W) es la masa magnética (cantidad de magnetismo) El weber t i e n e u n i d a d e s d e newtometro/amperio: N-m/A. Como en el caso de cargas eléctricas, aquí F es la magnitud de la fuerza, por lo
que no interesa el sentido. Es decir que no interesa si es de atracción o repulsión.
Ejemplo 15. Encontrar la fuerza magnética entre 2 imanes cuyas masas magnéticas son de 10 webers y
20 webers y están separadas por 1 000 cm. Comparar la fuerza magnética con la fuerza gravitacional, en
función de las masas.
S o l u c i ó n . Debemos convertir los cm a m: 1000 cm = 10 m. Al aplicar la ecuación, obtenemos:
F = μ m1m2 /d2 = 10 7 (10)(20)/(10)2 = 2216  F = 20 000 000 newtons
Comparemos con la gravedad. Para conseguir 20 000000 newtons de atracción entre masas (gravedad)
separadas por 200 m se necesitan grandes masas. De hecho, la Tierra tiene una gigantesca masa.
24
Supongamos que la Tierra (cuya masa es 6X10 kg) atrae, con dicha fuerza, a un cuerpo de masa C
que se halla a 10 m de altura. Entonces tal cuerpo debe tener una masa de:
-11
24
2
20 000 000 = G m1 m2 /r 2 = 6.7X10
(6X10 ) (C)/(10 ) = 402 000 000000(C) 
-5
C = 20 000 000/402 000 000 000 = 0.0023  C = 5X10 Kg  C = 0.05 gramos.
Por lo tanto, la fuerza magnética entre dos pequeños imanes, es igual a la fuerza con la que se atraen el
planeta Tierra y un cuerpo de 0.05 gramos que está a 10 metros de altura. ¡Increíble!ñ
Es oportuno reflexionar sobre la naturaleza de la fuerza magnética y la materia. Sin duda el Creador
llenó la materia de espectaculares maravillas. Es maravilloso pensar en que partículas infinitamente
pequeñas le proporcionan a la materia características maravillosas. Es interesante observar cómo un
material atrae a otro mediante una fuerza que no es posible explicarse tan fácilmente.

Actividad 19. 1. En cada caso encontrar la fuerza entre 2 cuerpos magnetizados si las masas
magnéticas y la separación son: a. 10 W, 2 W, 200 cm _________ b. 5 W, 9 W, 300 cm _________ c.
10 W, 8 W, 400 cm _________ d. 5 W, 25 W, 500 cm _________ e. 10 W, 18 W, 600 cm _________
f. 5 W, 49 W, 700 cm _________ g. 10 W, 32 W, 800 cm _________ 2. La fuerza magnética entre 2
cuerpos es de 200 000 N. Calcular la separación entre ellos si sus masas magnéticas son: a. 40 W, 20 W
_________ b. 80 W, 10 W _________ c. 160 W, 5 W _________ d. 64 W, 12.5 W _________ e. 34 W,
23.5 W _________ f. 32 W, 25 W _________ g. 34 W, 24 W _________
10
Discusión 13. Se tienen 2 cuerpos de 10 Kg cada uno (cercana a la masa de la Tierra) están
separadas por 100 Km. Cuál es la separación que debe existir entre 2 masas magnéticas para que
experimenten la misma fuerza si las masas magnéticas son: a. 40 W y 30 W _______ b. 40 W y 25 W
_______ c. 30 W y 30 W _______ d. 30 20 W y 30 W _______ e. 20 W y 20 W _______ f. 20 W y 10
W _______ g. 10 W y 10 W _______
 Ley de Gauss. En la figura aparecen un dipolo eléctrico (con sus cargas distribuidas en
los extremos) y un dipolo magnético. Si partimos por la mitad el dipolo eléctrico, tendremos
lo siguiente: un segmento con carga positiva y un segmento con carga negativa, como se
muestra. Sin embargo, al partir por la mitad el dipolo magnético (imán) aparece un nuevo
dipolo; es decir, un nuevo imán con sus respectivos polos norte y sur. Si estos segmentos
los partimos de nuevo, aparecerán nuevos dipolos magnéticos; y así sucesivamente. Por
+
–
N
S
–
+
N
S
N
S
lo tanto no cabe duda que existe una diferencia entre un campo eléctrico y un campo magnético. Esta
diferencia se expresa matemáticamente en la ley de Gauss. Para un dipolo eléctrico, si existe una carga
eléctrica neta igual a cero a través de una superficie A (superficie gausiana), el flujo del campo eléctrico
(ΦE) es cero; pero si existe una carga eléctrica neta distinta de cero, el flujo del campo eléctrico (ΦE) se
expresa de la siguiente manera: ΦE = Σ E.A  ley de Gauss.
Para el flujo magnético existe una ecuación similar ΦB = Σ B.A
Como en el caso de la carga eléctrica neta, podría decirse que, para la ecuación anterior, sólo si la carga
magnética neta es cero, el flujo magnético es cero. Sin embargo el flujo magnético siempre es cero. Es
decir que: ΦB = ΣB.A = 0
Ocurre que siempre es cero debido a que no existe superficie que encierre una carga magnética, pues en
cada segmento o corte aparece con un polo norte y un polo sur:
aparece como un nuevo imán.
La ley de Gauss para el magnetismo queda expresada así: el
flujo neto del campo magnético que pasa a través de
cualquier superficie cerrada es cero.
3.4
Fuerza magnética
 Fuerza magnética sobre una carga en movimiento.
Si una partícula cargada q se desplaza a una velocidad v cerca
de un campo magnético B (un imán) experimentará una fuerza
S
N
v
magnética FB. Esta fuerza se calcula mediante el producto
q θ
vectorial B(producto cruz) de los vectores v y B. Es decir que:
FB = qv XB Por lo tanto la magnitud de la fuerza magnética
FB
es: FB = IqIv B senθ Aquí v y B son las magnitudes de v y B; y
θ es el menor ángulo entre dichos vectores. También de la
carga se toma el valor absoluto. El vector FB es siempre
perpendicular al plano formado por v y B. Es decir que forma
90° con estos vectores.
En el sistema internacional, la unidad de B es la tesla, cuya abreviatura es T. La
tesla es igual a N/A-m; es decir, un newton/amperio-metro. También
weber/metro2
Es oportuno aquí conocer o recordar el producto vectorial o producto cruz. Si tenemos los vectores:
A = ai + bj + ck y B = di + ej + fk, entonces se tiene que:
AXB = bfi + cdj + aek – (cei + afj + dbk) Aquí i, j y k son los vectores unitarios.
¡Cuidado!... v XB = – (B Xv)
Todo vector con componentes i, j y k está en el espacio. La magnitud de un vector en el plano (ai + bj) se
calcula, como recordarán, así: a2 + b2 . En forma semejante, para un vector en el espacio, la magnitud
es: a2 + b2 + c2
Lo anterior es el resultado de lo que se conoce como determinante, cuyo arreglo se muestra a
continuación:
i
j
k
a
b
c
d
e
f
Los primeros 3 productos los dan las líneas continuas: bfi + cdj + aek
Los 3 productos que se restan los dan las líneas discontinuas: cei + afj + dbk
Aclarando: los 3 primeros productos se calculan siguiendo las líneas continuas.
Los que se restan se calculan siguiendo las líneas discontinuas.
Ejemplo 16. Resolver cada caso: a. encontrar la magnitud de la fuerza magnética generada por una
carga de 1010 electrones que se mueve a una velocidad de v = 2i - 5j + 4k m/s y cerca del campo
magnético B = 4i + 3j - k teslas b. Calcular la magnitud de la fuerza magnética generada por una carga
de 1010 protones que se mueve a una velocidad de v = 4i + 3j m/s y cerca del campo magnético B = 4i 3j teslas
Solución a.
v XB = -5i + 16j + 6k – (12i + 2j - 20k) = -5i + 16j + 6k – 12i - 2j +
20k
= -17i + 14j + 26k La magnitud de este vector es:
Iv XBI = (-17)2 + 142 + 262 = (1161)0.5 = 34
i
j
k
2
-5
4
4
3
1
Ahora calculemos la carga q. Tenemos 1010 electrones. Como cada electrón posee una carga absoluta
-19
-19
-9
-9
de 1.6 X10
C, tenemos que q = 1010 (1.6 X10
) = 1.6 X10  q = 1.6 X10 C
Por lo tanto la magnitud de la fuerza es:
-9
FB = qv XB = 1.6 X10 (34) newtons
3
S o l u c i ó n b . Podemos observar que v = 4i + 3j y B = 4i - 3j están en el plano x-y. Para calcular
el ángulo θ, que se forma entre v y B. Calculemos, de acuerdo con el gráfico, los ángulos β y ω, ya
2
2 0.5
que: θ = β + ω. Además: β = ω. La magnitud, tanto de v como de B, es (4 + 3 )
=5
Tenemos que: Cosβ = 4/5. Por lo tanto β = 36.86° y ω = 36.86°  θ = 36.86° + 36.86° = 73.2°
Desde luego que aplicando la tangente resultaba más fácil:
-1
-3
Tan β = -3/4  β = Tan (-3/4) = -36.86°. El signo – indica que se ha medido hacia abajo (de
acuerdo a las agujas del reloj)
-9
10
Ya calculamos que la carga de 10 protones es q = 1.6 X10 C. Por lo tanto la magnitud de la
-9
fuerza magnética, FB, es: FB = qv B senθ = 1.6 X10 (5)(5)Sen(36.86+36.86)
-8
-8
= 3.84X10  3.84X10 N
La otra forma (complicada) de calcular la magnitud de la fuerza es desarrollando el determinante.
Calculemos ahora el producto vectorial v XB.
i
j
k
4
3
0
4
-3
0
ω
β
4
B
Observemos que tanto v como B no tienen componente en el eje z. Por lo
tanto: v = 4i + 3j = 4i + 3j + 0k y B = 4i - 3j + 0k.
v XB = -12k – (12k) = -24k Por lo tanto la magnitud de v XB es 24.
Es decir que: I v XBI = 24
-9
10
Ya calculamos que la carga de 10 protones es q = 1.6 X10 C. Por lo tanto la magnitud de la fuerza
-9
-8
-8
magnética, FB, es FB = 1.6 X10 (24) = 3.84X10  FB = 3.84X10 N
Actividad 20. Encontrar la magnitud de la fuerza magnética generada por una carga de 10 -8 C que

se mueve a una velocidad v y cerca de un campo magnético B, cuyos vectores son a. v = 40000i 50000j + 70000k m/s y B = 0.004i + 0.003j – 0.001k teslas ________ b. v = 40000i - 60000j + 50000k m/s
y B = 0.007i + 0.004j – 0.002k teslas ________ c. v = 50000i - 80000j + 40000k m/s y B = 0.009i + 0.005j
– 0.004k teslas ________ d. v = 70000i - 80000j + 90000k m/s y B = 0.008i + 0.007j – 0.005k teslas
________ e. v = 80000i - 70000j + 60000k m/s y B = 0.009i + 0.008j – 0.007k teslas ________ f. v =
80000i - 70000j + 40000k m/s y B = 0.009i + 0.008j – 0.005k teslas ________ g. v = 70000i - 70000j +
40000k m/s y B = 0.009i + 0.008j – 0.009k teslas ________ h. v = 70000i - 80000j + 40000k m/s y B =
0.007i + 0.008j – 0.009k teslas ________ i. v = 70000i - 80000j + 90000k m/s y B = 0.007i + 0.008j –
0.009k teslas ________ j. v = 90000i - 80000j + 70000k m/s y B = 0.009i + 0.008j – 0.007k teslas
________ k. v = 70000i - 80000j + 70000k m/s y B = 0.009i + 0.009j – 0.007k teslas ________ l. v =
70000i - 80000j + 20000k m/s y B = 0.009i + 0.009j – 0.003k teslas
Actividad 21. Encontrar la magnitud de la fuerza magnética generada por una carga de 10 -8 C que

v
se mueve a una velocidad v y cerca de un campo magnético B, cuyos vectores y menor ángulo entre ellos
son a. v = 40000i - 50000j + 70000k m/s, B = 0.004i + 0.003j – 0.001k teslas y θ = 82.78° ________ b. v
= 40000i - 60000j + 50000k m/s, B = 0.007i + 0.004j – 0.002k teslas y θ = 41.18° ________ c. v = 50000i
- 80000j + 40000k m/s, B = 0.009i + 0.005j – 0.004k teslas y θ = 25.1° ________ d. v = 70000i - 80000j +
90000k m/s, B = 0.008i + 0.007j – 0.005k teslas y θ = 17.1° ________ e. v = 80000i - 70000j + 60000k
m/s, B = 0.009i + 0.008j – 0.007k teslas y θ = 16.4° ________ f. v = 80000i - 70000j + 40000k m/s, B =
0.009i + 0.008j – 0.005k teslas y θ = 18.9° ________ g. v = 70000i - 70000j + 40000k m/s, B = 0.009i +
0.008j – 0.009k teslas y θ = 17.4° ________ h. v = 70000i - 80000j + 40000k m/s, B = 0.007i + 0.008j –
0.009k teslas y θ = 17.7° ________ i. v = 70000i - 80000j + 90000k m/s, B = 0.007i + 0.008j – 0.009k
teslas y θ = 14.3° ________ j. v = 90000i - 80000j + 70000k m/s, B = 0.009i + 0.008j – 0.007k teslas y
θ = 14.3° ________ k. v = 70000i - 80000j + 70000k m/s, B = 0.009i + 0.009j – 0.007k teslas y θ = 15°
________ l. v = 70000i - 80000j + 20000k m/s, B = 0.009i + 0.009j – 0.003k teslas y θ = 19.8° ________
Discusión 14. Calcular la magnitud de la fuerza magnética generada por una carga de 10-8 C que se
mueve a una velocidad v y cerca de un campo magnético B si: a. v = 40000i + 30000j m/s y B = 0.004i –
0.002j teslas ________ b. v = 50000i + 30000j m/s y B = 0.004i – 0.003j teslas ________ c. v = 50000i +
50000j m/s y B = -0.004i + 0.003j teslas ________ d. v = 30000i + 50000j m/s y B = -0.004i - 0.003j
teslas ________ e. v = 50000i - 50000j m/s y
B = -0.005i - 0.002j teslas ________ f. v = 20000i 100000j m/s y B = -0.005i - 0.005j teslas ________
 La ley de Ampere.
El físico y químico danés, Oersted, trabajando con alambres conductores de electricidad, observó que uno
de los alambres, colocado sobre una brújula, provocaba que la aguja se moviera
al paso de la corriente. Posteriormente este científico demostró que cualquier
alambre con corriente se encuentra rodeado por un campo magnético. Luego de
posteriores experimentos, Oersted concluyó lo siguiente: el campo magnético
producido por la corriente eléctrica en un conductor recto, se manifiesta
por líneas de fuerza o de campo en forma de círculos alrededor del centro del conductor. En todos
los puntos del círculo, el campo magnético es el mismo. Evidentemente, cuanto más cerca se está del
conductor, más intenso es dicho campo.
Luego de estos descubrimientos el científico francés, Ampere, relacionó de una manera más general la
corriente que pasa por un conductor y el campo magnético alrededor de él. Para conseguirlo estableció
una trayectoria no circular alrededor del conductor y dividió esta trayectoria en pequeños
segmentos de longitud: Δ . Al sumar el producto de cada uno de estos segmentos por el
campo magnético (B) en cada punto, obtenemos el producto de μo por la intensidad de la
corriente I que pasa a través de cualquier superficie limitada por la superficie cerrada. El valor
μo se conoce como constante magnética o constante de permeabilidad. En el vacío o en el
-7
aire se tiene que, en el Sistema Internacional (SI), μo = 4πX10 teslas-metro/amperio =
-7
-7
2
-7
2
4πX10 T-m/A. O también: μo = 4πX10 newton-metro / weber 2 = 4πX10 N-m /W 2.
Como el valor de π es 3.14, se tiene que μo = 4(3.14)X10
Matemáticamente la ley de Ampere se expresa así:
-7
= 12.56X10
-7
-6
= 1.25 X10 .
Σ BΔℓ = μoI
En esta ecuación, la sumatoria de todos los Δℓ nos da el total de la trayectoria, que se conoce
como espira amperiana. La ley de Ampere es otra de las 4 ecuaciones de Maxwell.
Algunos valores típicos (en teslas) de campos magnéticos:
8
Cerca de la superficie de una estrella de neutrones
10
En la superficie terrestre
Cerca de un imán superconductor
En el espacio interestelar
Cerca de un electroimán grande
Cerca de un pequeño imán de barra
5
-4
10
- 10
10
- 14
10
1
En un cuarto con protección magnética
-2
10
 Ley de Ampere en un punto fuera de un alambre. Podemos aplicar Ampere para calcular el campo
magnético existente a una distancia d respecto de un alambre por el que circula una corriente I.
Ejemplo 17. A través de un alambre (cilíndrico) se desplaza una corriente de 2 amperios. Calcular el
campo magnético a 20 cm del alambre.
S o l u c i ó n . Se tiene un punto a 20 cm. Es decir que la espira es de 20 cm de radio (0.2 m). Al
Alambre
aplicar Ampere, el factor Δℓ es el perímetro de la espira, es decir 2 π r, ya que se trata de un
círculo. Por lo tanto tenemos:
BΔℓ = μoI  B(2 π r) = μoI  B = μoI/(2 π r) = 1.25X10
6
-6
(2)/(6.28x0.2)
 B = 2X10 T.
 Ley de Ampere dentro de un alambre. Cuando se desea calcular el campo magnético
dentro del mismo alambre conductor, se considera el radio, R, de la sección transversal del
alambre y su área; así como el área a la distancia r a la que se desea calcular el campo
magnético. Evidentemente R ≥ r. En estos casos, la ley de Ampere se expresa así: B(2 πr) =
2
2
2
2
μo I ( π r /π R ) Aquí I ( π r /π R ) es la fracción de la corriente que pasa por la sección de
2 2
interés. Pero como π se elimina en el cociente, obtenemos: B(2 π r) = μo I ( r /R ) Observemos
también que se elimina un r, pues aparece en ambos miembros. Es decir que obtenemos B(2 π )
2
2
2
r
= μo I ( r/R ) = B(6.28) = μo I ( r/R ) Al despejar B, obtenemos: B = μo I ( r/R )/6.28. Como 1/6.28
2
= 0.16, obtenemos: B = 0.16 μo I ( r/R )
Ejemplo 18. Por un alambre de sección transversal de 4 mm de diámetro fluye una corriente de
30 amperios. Calcular el campo magnético a 1.5 mm del centro del alambre.
S o l u c i ó n . Comencemos por convertir los mm a metros. 1m = 1 000 mm  1mm= 0 .001mm.
r
R
Por lo tanto: 1.5 mm = 0.0015 m. Este es el radio menor: r = 0.0015 m. El radio mayor, R, lo sacamos del
diámetro. Diámetro = 4 mm  R = 2 mm  R = 0.002 m
Apliquemos la ecuación:
2
-6
2
B = 0.16 μo I ( r/R ) = 0.16 ( 1.25X10 )(30)(0.0015/0.002 ) = 0.00225  B = 0.00225 T
 Ley de Ampere en un solenoide ideal.
Un solenoide es un imán
formado por un hilo metálico, enrollado en forma de espiral, por el cual circula
una corriente eléctrica. Si el solenoide es ideal, su longitud es mucho mayor que
su radio, de manera que la ley de Ampere se reduce a lo siguiente: B = μo n I . En esta ecuación, n es el
número de espiras o vueltas.
Actividad 22. Calcular el campo magnético generado por una corriente de 10 amperios que circula por un
El electroimán es un dispositivo que consiste en un solenoide alambre. Las distancias son: a. ℓ = 5 cm
_______ b. ℓ = 6 cm _______ c. ℓ
en cuyo interior se coloca un núcleo de hierro. Si una
= 7 cm _______ d. ℓ =
corriente eléctrica recorre la bobina, se crea un fuerte
8 cm _______ e. ℓ = 9 Electroimán
campo magnético en su interior, paralelo a su eje. Los
cm
electroimanes se aplican a frenos y embragues
electromagnéticos. En los ciclotrones se utilizan enormes
electroimanes con núcleos de varios metros de diámetro. Un
ciclotrón es un acelerador de partículas. También se utilizan
Chatarra
potentes electroimanes para levantar hierro y chatarra.
_______ f. ℓ = 10 cm _______ g. ℓ = 11 cm _______ h. ℓ = 12
cm _______ i. ℓ = 13 cm _______ j. ℓ = 14 cm _______ k. ℓ =
15 cm _______ l. ℓ = 16 cm _______ m. ℓ = 17 cm _______ n.
ℓ = 18 cm _______ (Qué conclusiones sacas)
Actividad 23. Por un alambre de sección transversal de 6 mm de diámetro fluye una corriente
de 50 amperios. Calcular, a partir del centro del alambre, el campo magnético a las distancias de: a. 0 mm
_________ b. 0.3 mm _________ c. 0.6 mm _________ d. 0.9 mm _________ e. 1.2 mm _________ f.
1.5 mm _________ g. 1.8 mm _________ h. 2.1 mm _________ i. 2.4 mm _________ j. 2.7 mm
_________ k. 3 mm _________ (Qué conclusiones sacas)
Discusión 15. Una corriente de 10 amperios genera determinado campo magnético. Calcular la distancia
a la que está dicho campo si el campo es:
-7
-5
-5
-5
a. 3.98X10 T ________ b. 3.32X10 ________ c. 2.84X10 ________ d. 2.48X10 ________ e.
-5
-5
-5
-5
2.21X10 ________ f. 2X10 ________
g. 1.8X10 ________ h. 1.65X10 ________ i.
-5
-5
-5
-5
1.53X10 ________ j. 1.42X10 ________ k. 1.32X10 ________ l. 1.24X10 ________ m.
-5
-5
1.17X10 ________ n. 1.11X10 ________
3.5 Inducción magnética de corriente eléctrica
La inducción electromagnética permite la generación de una corriente eléctrica (fem) en un conductor en
movimiento en el interior de un campo magnético. Dicho efecto fue descubierto por el físico británico
Michael Faraday y condujo directamente al desarrollo del generador eléctrico rotatorio, que convierte el
movimiento mecánico en energía eléctrica.
 Ley de Faraday. El físico inglés, Michael Faraday, quiso saber qué pasaría si se coloca un conductor
dentro de un campo magnético, sabiendo que una corriente genera un
N
campo magnético (Oersted). Para averiguarlo, Faraday colocó un imán en S
Al
acercar
el
imán
a
la
el centro de un solenoide. Ocurrió que, al moverse el imán hacia la
bobina, la aguja del
bobina, el solenoide generaba corriente. Si se cortaba el movimiento del
amperímetro se mueve,
imán, la corriente dejaba de circular. Es así como Faraday demostró que
indicando la presencia de
es posible obtener una corriente eléctrica a partir de campos magnéticos. una corriente
Este fenómeno se conoce como inducción electromagnética, mientras
que el flujo de electrones generados por este fenómeno se conoce como
corriente inducida.
Faraday enunció así su ley: siempre que se produzca una variación del
flujo magnético (ΔΦ) en un circuito al alejar y acercar el imán a una
espira, aparecerá en el circuito una fem (ε) inducida.
La aguja se detiene a detener el imán y se vuelve a mover al
Matemáticamente:
ε = I ΔΦ/Δt I
Podemos obtener un valor positivo
o pero
negativo,
dependiendo
si el imán se
alejarlo,
en sentido
contrario.
acerca o aleja. Se toma el valor absoluto.
En el Sistema Internacional, la unidad de la fem es el voltio. No olvidemos que el flujo magnético es el
weber (W)
Ejemplo 19. Un imán se aleja y se acerca a una espira de un solenoide. Se produce un flujo magnético
de 2 W al acercarlo, y un flujo de 4 W al alejarlo. Este cambio ocurre en 1.25 segundos. Calcular la fem (ε)
inducida en la espira.
S o l u c i ó n . Apliquemos directamente la ecuación.
ε = ΔΦ/Δt = (4-2)/1.25 = 2/1.25 = 1.6  ε = 1.6 voltios.
 Ley de Lenz. Vimos que el amperímetro giraba en un sentido y en otro al
I
N
acercar o alejar el imán. Fue el ruso Henry Lenz quien determinó el sentido de la
S
S
fuerza electromotriz inducida basado en la corriente inducida. La ley de Lenz se
expresa así: el flujo del campo magnético debido a la corriente inducida se
opone al cambio de flujo que produce a dicha corriente inducida. El sentido
Al acercar el imán a la espira, la corriente I
de la corriente inducida se muestra en la figura.
sigue el sentido mostrado y produce un campo
 Inductores. Los inductores son dispositivos formados por una bobina
magnético que se opone al movimiento del imán.
(solenoide) por donde circula una corriente alterna, generando en su interior un
Observemos que el campo magnético va hacia la
campo magnético variable que induce una fem. Podemos calcular la inductancia
izquierda y el imán hacia la derecha. Ocurre lo
de una bobina si conocemos el flujo magnético que pasa por las espiras y la
contrario al alejar el imán.
corriente que pasa por la bobina (I) Si L es la inductancia, entonces tenemos
que: L = nΦ/I. Siendo n el número de espiras.
La unidad de inductancia en el SI es el henry (en honor a Lenz) Un inductor tiene una inductancia de 1
henry (1 H) si induce una fuerza electromotriz (fem) de un voltio.
 El transformador. Un transformador (como los que vemos en los tendidos
eléctricos) transforma el voltaje de la corriente que llega a nuestras casas. Esta
transformación puede ser un aumento o una disminución del voltaje. Un
transformador contiene un núcleo de hierro alrededor del cual se enrollan 2
bobinas de alambre: primaria y secundaria. La primaria se conecta a una fuente
V1
d corriente alterna y su voltaje es V1, el cual se transformará a V2, que lo
V2
adquiere la bobina secundaria. Es decir que hay transformación de V 1 a V2. Al
aplicar corriente alterna a la bobina primaria, se crean líneas de flujo magnético
o de inducción a través del núcleo, lo que induce una corriente en la bobina
secundaria.
Flujo magnético
 El generador y el motor eléctrico. Un generador eléctrico es un equipo para producir, a
escala industrial, energía eléctrica. Dicha producción se efectúa mediante la transformación de la energía
mecánica en energía eléctrica. Esto se hace variando el flujo magnético, lo que se consigue moviendo
con gran rapidez un conductor en un campo magnético de manera que corte un número de líneas de
fuerza variable con el campo. El motor eléctrico, por el contrario, produce movimiento a partir de la
energía eléctrica. Es decir que es un generador invertido.
Actividad 24. Un imán se aleja y se acerca a una espira de un solenoide. Se produce un flujo
magnético de 2 W al acercarlo, y un flujo de 7 W al alejarlo. Calcular la fem (ε) inducida en la espira si el
cambio ocurre en un tiempo de: a . 1 s ________ b . 0.9 s ________ c . 0.8 s ________ d . 0.7 s
________ e . 0.6 s ________ f . 0.5 s ________ g . 0.4 s ________ h . 0.3 s ________ i . 0.2 s
________ j . 0.1 s ________ (Qué concluyes de los resultados)
Actividad 25. Calcular la inductancia en una bobina por la que circula una corriente de 1 amperio si
el flujo magnético es de 2 webers y el número de espiras es: a . 100 ________ b . 125 ________ c . 150
________ d . 175 ________ e . 200 ________ f . 225 ________ g . 250 ________ h . 300 ________ i .
400 ________ j . 500 ________ (Qué concluyes de los resultados)
4. Control y aprovechamiento de la corriente eléctrica.


Objetivos conceptuales. Comprender el uso de protectores eléctricos y la forma del manejo de la electricidad; también
sobre el funcionamiento de la radio y la TV y la constitución de un ordenador.
Objetivos procedimentales. Efectuar cálculos sobre consumo de energía eléctrica;
Objetivos actitudinales. Tomar conciencia sobre la importancia de protegernos de daños por la corriente y sobre el consumo
4.1
Protectores
eléctricos
seguridad:
fusibles,
cajas térmicas
moderado
de energía
eléctrica.yReflexionar
sobre
la gran relevadores,
utilidad de los ordenadores.
 El fusible. Si tomamos corriente de un cable para conectar un radio, se
establece en dicho cable un flujo de electrones; es decir, una corriente I. Si
Fusible
conectamos luego un televisor, aumenta el flujo de electrones. Si después
conectamos una cocina, seguirá aumentando el flujo. Llegará un momento en
el que el cable no soportará la intensidad de la corriente (la sobrecarga), se
calentará y quemará; y podría producir un incendio. Es en estas circunstancias
cocina
I
en las que entra en acción el fusible para evitar que se queme el cable. Un
fusible es un dispositivo de seguridad utilizado para proteger un circuito
eléctrico de una sobrecarga de corriente. Generalmente está formado por una
plancha
banda de metal que se derrite o funde a una determinada temperatura. Esta
temperatura es, naturalmente, inferior a la temperatura que se funde el cable.
Si sobrecargamos los cables, se calentarán y
Al fundirse el fusible se corta el paso de la corriente, evitando así un posible
fundirán. El fusible puede evitar un incendio en
incendio o que se dañen los equipos eléctricos conectados.
estos casos. Nunca conectes muchos equipos,
Los últimos desarrollos en el campo de los fusibles incluyen modelos que
especialmente cocinas y planchas, al mismo toma.
permiten una sobrecarga momentánea sin que se rompa el circuito. Se
utilizan para alimentar los aparatos de aire acondicionado, ya que en estos
dispositivos es posible que la alimentación inicial sea mayor.

 El relevador. Este dispositivo se conoce también como relay. El relevador eleva el voltaje de entrada
en ciertos dispositivos eléctricos. Por ejemplo, en los autos de gasolina el relay eleva momentáneamente
el voltaje durante el inicio de la combustión.
 La caja térmica. En nuestros hogares ya casi no se usan los fusibles. En su lugar está la caja térmica.
Esta caja se halla empotrada en la pared y cubierta con una tapa de metal gris, generalmente. Dentro de
la caja térmica están los interruptores térmicos (conocidos como dados) los cuales se desconectan
automáticamente cuando eleva la corriente. Por eso es que a veces oímos la expresión se dispararon los
térmicos. Es cuando, por un exceso de corriente, se activa el térmico e interrumpe el paso de la corriente.
Naturalmente, al ocurrir esto, se apagan los focos. Entonces debemos buscar la causa que disparó los
térmicos y luego subir de nuevo los dados. Si no se soluciona el problema (por ejemplo si no se
desconecta una cocina o una plancha), al subir los dados volverán a dispararse.
4.2 Generación, transmisión y consumo de energía eléctrica
 Generación. ¿Dónde se genera la corriente que llega a nuestras casas?... Fuentes comunes de
producir energía eléctrica son la térmica, la geotérmica y la hidroeléctrica.
La energía térmica se genera mediante la combustión de materiales derivados del petróleo, por ejemplo el
carbón. Los lugares donde se produce esta energía se conocen como centrales térmicas.
La energía geotérmica se produce utilizando el calor de la tierra. Por ejemplo haciendo aflorar las aguas
subterráneas que están a altas temperaturas. Esta agua caliente puede mover una turbina y producir
energía eléctrica. En nuestro país se genera este tipo de energía en los Ausoles de Ahuachapán.
La energía geotérmica se produce porque la Tierra está más caliente cuanto más profundamente se
perfora.
La energía hidroeléctrica, la más común en nuestro país, se produce aprovechando el agua acumulada
previamente en las presas. Esta agua, a gran presión, se hace pasar por unos canales donde mueve las
hélices de grandes turbinas. Estas turbinas, a su vez, impulsan los generadores eléctricos. Dos presas
muy famosas en nuestro país son la Cinco de Noviembre y la del Cerrón Grande.
Todas estas formas de energía, en menor o mayor grado, producen contaminación del medio ambiente;
sin embargo hay formas menos contaminantes.
 La energía solar: una buena alternativa. Se puede producir energía eléctrica aprovechando el calor
del sol. Para convertir la energía solar en eléctrica, debe antes colectarse la energía solar para luego
transformarla. Esta forma de producir energía tiene la ventaja que contamina muy poco; además, resulta
más barata.
 Transmisión. La energía eléctrica con la que activamos nuestros electrodomésticos, nos llega por
medio de cables desde muy lejos: desde kilómetros y kilómetros. Surge, entonces, la pregunta, cómo se
consigue vencer tanta resistencia. No olvidemos que un conductor ofrece resistencia al paso de la
corriente en función de su diámetro y su longitud: a mayor longitud, mayor resistencia. Además, cuanto
mayor es la resistencia, mayor es la pérdida de energía. Para conseguir minimizar esta pérdida durante la
transmisión, se usa corriente de alto voltaje y baja intensidad. Por ejemplo, en las líneas primarias es
común una corriente de 700 mil voltios. Sin embargo para nuestras casas sólo necesitamos corriente de
110 ó 220 voltios. Aquí es donde entran en juego los transformadores. Estos dispositivos reducen el
voltaje en los centros de consumo, y luego, en las ciudades, la reducen a 110 voltios; y así nos llega a
nuestras casas. Estos últimos transformadores son los que observamos en los postes, cerca de nuestras
casas.
Desde luego que hay limitantes. Por ejemplo, voltajes muy elevados pueden ionizar el aire y provocar
descargas eléctricas, tal como ocurre con el rayo. Por otro lado, los ecologistas son de la opinión que
voltajes muy altos generan campos magnéticos tales que pueden producir cáncer.
2
 Consumo de energía eléctrica. Cuando estudiamos el efecto Joule, establecimos que P = RI . En esta
ecuación, P es la potencia (energía/tiempo). Cuando trabajamos en voltios, amperios y ohmios, la
potencia viene dada en watt (w) o vatios (v). Precisamente los watts que consumimos en el tiempo es lo
que nos cobran las compañías de alumbrado eléctrico; es decir, los watts-tiempo. El watt es una cantidad
muy pequeña, por lo que se usa el kilowatt (Kw); y como tiempo se usa la hora (h). En resumen pagamos
a la compañía eléctrica los Kw-h consumidos.
Por otra parte, en nuestro país, por el consumo de 100 Kw-h, se pueden pagar distintas cantidades
(dólares). Eso dependerá del tipo de tarifa que se tenga. Para el caso, la tarifa residencial paga 0.1036
dólares por Kw-h (septiembre 2007, CAEES). Además, el estado subsidia el consumo menor de 100 Kwh.
Es oportuno recordar el caso del calentador del ejemplo 14 de esta unidad. Su potencia era de 1512.5
vatios o watts; es decir, 1.51 Kw. Supongamos que se mantiene encendido por 10 horas. En tal caso
consumirá 15.1 Kw-h.
Ejemplo 20. Resolver cada caso. 1. En una casa con tarifa residencial (de CAEES), se tiene un
calentador como el del caso del ejemplo 14, de esta unidad. Cuánto deberá pagar su propietario si
permanece encendido 20 horas al mes. 2. En un día una persona mantiene encendido 6 focos de 60 w
cada uno durante un promedio de 5 horas; un televisor de 120 w durante 12 horas; un microonda de 800
w durante 15 minutos; una olla arrocera de 700 w durante 30 minutos; una plancha de 850 w durante 42
minutos. Calcular lo que ha consumido (dólares) en ese día.
S o l u c i ó n . 1. El calentador del ejemplo 14 tiene una potencia de 1512.5 vatios o watts; es decir, 1.51
Kw. Multipliquemos esta cantidad por veinte y obtenemos los Kw-h:
1.51x20 = 30.2  Consumo = 30.2 Kw-h. Total a pagar: 30.2x0.1036 = 3.128
Pagará 3.128 dólares  3 dólares con 12 ó 13 centavos.
S o l u c i ó n . 2. Consumo en Kw-h:
6 focos: 6x60x5 = 1800  1800 w-h  1800/1000 = 1.8  1.8 Kw-h
TV:
120x12 = 1440  1440 w-h  1.44 Kw-h
Microonda: 800x15/60 = 200 w-h  0.2 Kw-h
Olla.
700x30/60 = 350 w-h  0.35 Kw-h
Plancha:
850x42/60 = 595 w-h  0.595 Kw-h
Total de Kw-h = 1.8 + 1.44 + 0.2 + 0.35 + 0.595 = 4.385  4.385 Kw-h.
Costo = 4.385x0.1036 = 0.4542  0.4542 dólares  45 ó 46 centavos. Por lo tanto, en el mes
consumirá aproximadamente 13 ó 14 dólares.
Actividad 26. Nota: para cada caso, la tarifa y potencia de cada equipo es el dado en el ejemplo
20. Calcular el consumo (dólares) por día de 10 personas si consumen: a. calentador 2 h; 5 focos 4 horas
c/u; TV 4 horas; microonda 30 min; olla 20 min; plancha 15 min ________ b. 7 focos 4 horas c/u; TV 6
horas; microonda 10 min; olla 30 min; plancha 24 min ________ c. calentador 90 min; 7 focos 5 horas c/u;
TV 5 horas; microonda 24 min; olla 12 min; plancha 15 min ________ d. calentador 90 min; 6 focos 4
horas c/u; TV 6 horas; microonda 12 min; olla 24 min; plancha 30 min ________ e. calentador 120 min; 5
focos 4 horas c/u; TV 7 horas; microonda 15 min; olla 24 min; plancha 39 min ________ f. calentador 15
min; 4 focos 4 horas c/u; TV 5 horas; microonda 15 min; olla 12 min; plancha 24 min ________ g.
calentador 0 min; 4 focos 4 horas c/u; TV 3 horas; microonda 0 min; olla 12 min; plancha 24 min
________ h. calentador 0 min; 3 focos 4 horas c/u; TV 2 horas; microonda 0 min; olla 12 min; plancha 39
min ________ i. calentador 2 h; 12 focos 6 horas c/u; TV 7 horas; microonda 48 min; olla 45 min; plancha
60 min ________ j. calentador 5 h; 14 focos 6 horas c/u; TV 10 horas; microonda 60 min; olla 45 min;
plancha 60 min ________
Actividad 27. Cinco propietarios de fábricas poseen la tarifa llamada gran demanda de baja
tensión, cuyo costo por Kw-h es 0.1058. Cada fábrica posee 4 máquinas: A, B, C y D. Calcular el costo
diario si las máquinas trabajan 8 horas al día, y la potencia de cada máquina en cada fábrica es: a. A: 12
Kw, B: 18 Kw, C: 20 Kw y D: 8 Kw _______ b. A: 15 Kw, B: 20 Kw, C: 12 Kw y D: 10 Kw _______ c. A: 18
Kw, B: 22 Kw, C: 17 Kw y D: 15 Kw _______ d. A: 20 Kw, B: 25 Kw, C: 22 Kw y D: 24 Kw _______ e. A:
25 Kw, B: 35 Kw, C: 30 Kw y D: 40 Kw _______
Discusión 16. El propietario de un edificio (tarifa residencial), con el fin de economizar energía eléctrica,
cambia todos focos de 60 w por focos ahorradores de energía de sólo 12 w. Si en promedio los focos
pasan 5 horas encendidos, calcular el ahorro diario ($) en los casos siguientes: a. cambió 45 focos
_________ b. cambió 47 focos _________ c. cambió 50 focos _________ d. cambió 55 focos
_________ e. cambió 60 focos _________ f. cambió 65 focos _________ g. cambió 68 focos
_________ h. cambió 70 focos _________ i. cambió 75 focos _________


4.3 Dispositivos: radio, TV, etc.
 Radio. La radio es un sistema de comunicación en el que se convierten en
Ondas electromagnéticas
sonido las señales electromagnéticas. Consta de un transmisor y un receptor.
Las ondas son emitidas en el transmisor. Lo que comúnmente conocemos
como radio (el equipo) es el receptor de las ondas electromagnéticas y en su
interior se convierten en sonido, el cual aflora por los parlantes.
Receptor
El transmisor consta fundamentalmente de un oscilador, amplificadores y un
micrófono (transductor). El oscilador convierte la corriente eléctrica común en
oscilaciones de una determinada frecuencia de radio; los amplificadores
aumentan la intensidad de dichas oscilaciones conservando la frecuencia establecida.
Otra parte muy importante del transmisor es la antena. Esta no necesita estar unida al propio transmisor.
La radiodifusión comercial exige normalmente una antena muy grande, cuya ubicación óptima es de
forma aislada, lejos de cualquier población, mientras que el estudio de radio suele hallarse en medio de la
ciudad. Para el caso, en nuestro país los estudios de radio están en la ciudad, mientras que la antena
está en un volcán o en otro punto de altura. Por otra parte, a mayor altura de la antena, mayor es su
alcance.
En el receptor encontramos: una antena para recibir las ondas electromagnéticas y convertirlas en
oscilaciones eléctricas; amplificadores para aumentar la intensidad de dichas oscilaciones; equipos para
la demodulación; un altavoz para convertir los impulsos en ondas sonoras perceptibles por el oído
humano, y, en la mayoría de los receptores, unos osciladores para generar ondas de radiofrecuencia
que puedan mezclarse con las ondas recibidas.
 TV. La televisión también es un medio de comunicación. El receptor de la televisión posee un tubo de
imágenes, o cinescopio. El cinescopio se encarga de transformar la señal en las imágenes que vemos en
la pantalla.
4.4 Almacenamiento y transmisión de información
Hoy en día, la información se almacena y transmite principalmente por medio de computadoras.
Actualmente el adelanto en esta área es sorprendente. Sin duda nos sorprende cómo es posible que en
sonido
unos cuantos gramos de metal (el CD) sea posible almacenar una película o una enciclopedia; es decir
que en unos pocos gramos de metal podemos almacenar, sin exageración, cientos de libros. ¡Increíble!
La computadora, también llamada ordenador, realiza operaciones complejas y a alta velocidad. Puede
efectuar miles y miles de operaciones matemáticas en fracciones de segundo. Pese a su complejidad, un
ordenador maneja la información como un conglomerado de ceros y unos: ordenador digital. Un
ordenador digital tiene la capacidad de determinar si un conmutador (puerta) está abierto o cerrado: si es
1 ó 2; desde luego que lo hace a una grandísima velocidad. Esto lo hace una maravilla de la tecnología
moderna. Las velocidades del ordenador se miden en megahercios (millones de ciclos por segundo),
aunque en la actualidad se alcanzan velocidades del orden de los gigahercios (miles de millones de ciclos
por segundo). Un ordenador con una velocidad de reloj de 1 gigahercio (GHz), velocidad bastante
representativa de un microordenador o microcomputadora, es capaz de ejecutar 1.000 millones de
operaciones discretas por segundo, mientras que las supercomputadoras utilizadas en aplicaciones de
investigación y de defensa alcanzan velocidades de billones de ciclos por segundo.
Un ordenador es un sistema compuesto de cinco elementos diferenciados: una CPU (unidad central de
proceso); dispositivos de entrada; dispositivos de almacenamiento de memoria; dispositivos de salida y
una red de comunicaciones, denominada bus, que enlaza todos los elementos del sistema y conecta a
éste con el mundo exterior.
La CPU puede ser un único microprocesador o una serie de microprocesador que realizan cálculos
aritméticos y lógicos y que temporizan y controlan las operaciones de los demás elementos del sistema.
Los dispositivos de entrada le permiten al usuario del ordenador introducir datos, comandos y programas
en la CPU. El dispositivo de entrada más utilizado es el teclado, muy parecido al de las máquinas de
escribir. Otro dispositivo muy útil para introducir información es el ratón o mouse, que convierte el
movimiento físico en movimiento dentro de una pantalla de ordenador. Tenemos también los escáneres
luminosos, que leen palabras o símbolos de una página impresa y los traducen a configuraciones
electrónicas que el ordenador puede manipular y almacenar. Tenemos también los módulos de
reconocimiento de voz, que convierten la palabra hablada en señales digitales comprensibles para el
ordenador; es decir, le hablamos a la computadora y ella escribe lo que nosotros hablamos. Otros
dispositivos de entrada son los lápices ópticos, que transmiten información gráfica desde tabletas
electrónicas hasta el ordenador. Además podemos introducir información utilizando los dispositivos de
almacenamiento; por ejemplo, es posible introducir información por medio de CDs y memorias (USB).
Los dispositivos de almacenamiento pueden ser internos (la memoria del ordenador) o externos (CDs).
Internamente, los datos pueden almacenarse por un tiempo en los chips de silicio de la RAM, que son
como pedazos de papel en los que se puede escribir, borrar y volver a utilizar. También se pueden
guardar en chips ROM (memoria de sólo lectura), que son como un libro, con las palabras ya escritas en
cada página. Están aquí los comandos, los datos o los programas que el ordenador necesita para
funcionar correctamente.
Los dispositivos de almacenamiento externo más frecuentes son los disquetes y los discos duros (que
pueden residir dentro del ordenador). Pero los discos duros no pueden extraerse de los receptáculos de la
unidad de disco, que contienen los dispositivos electrónicos para leer y escribir datos sobre la superficie
magnética de los discos y pueden almacenar miles de millones de bytes.
Los dispositivos de salida le permiten al usuario ver los resultados de los cálculos o de las manipulaciones
de datos de la computadora. El dispositivo de salida más común es la unidad de visualización, que
consiste en un monitor que presenta los caracteres y gráficos en una pantalla similar a la del televisor.
Otros dispositivos de salida son la impresora y el módem.
5. La luz, un producto electromagnético.
Objetivos conceptuales. Conocer la naturaleza, tipos, usos y la energía de las ondas electromagnéticas.
Objetivos procedimentales. Efectuar cálculos sobre la energía de los fotones;
Objetivos actitudinales. Reflexionar sobre la gran utilidad de las ondas electromagnéticas. También reflexionar sobre
5.1
Radiación
electromagnética:
producción,
recepciónque son los fotones.
la velocidad
a la
que se desplazan las
ondas y lotransmisión
infinitamenteypequeños
 Ondas. Una onda es un fenómeno periódico; es decir que se repite indefinidamente. Para el caso de la
λ
λ
onda de la figura, la sección punteada es la que se repite
indefinidamente. Toda onda posee longitud (λ) y frecuencia (f).
La longitud de onda es la distancia entre dos puntos consecutivos
de una onda que tienen el mismo estado de vibración. Por ejemplo,
la longitud de onda de las olas marinas es la distancia entre dos
crestas consecutivas (o entre dos valles). La frecuencia es el número de veces que se repite en un
segundo el fenómeno periódico. Por ejemplo, si 3 veces se repite el fenómeno en un segundo, su
frecuencia es 3 ciclos/s; o 3 oscilaciones/s. Las frecuencias de los objetos oscilantes abarcan una
amplísima gama de valores. Los temblores de los terremotos pueden tener una frecuencia inferior a 1,
mientras que las veloces oscilaciones electromagnéticas de los rayos gamma pueden tener frecuencias
20
de 10 o más. En casi todas las formas de vibración mecánica existe una relación entre la frecuencia y
λ
las dimensiones físicas del objeto que vibra. Por ejemplo, el tiempo que necesita un péndulo para realizar
una oscilación completa depende en parte de la longitud del péndulo; la frecuencia de vibración de la
cuerda de un instrumento musical está determinada en parte por la longitud de la cuerda. En general,
cuanto más corto es el objeto, mayor es la frecuencia de vibración.
 Tipos de ondas y su transmisión. Las ondas son de 2 tipos: longitudinales o transversales. En las
ondas longitudinales, el medio se desplaza en la dirección de la
propagación. Por ejemplo, el aire (el medio) se comprime y expande en la
misma dirección en la que avanza el sonido (esto se muestra en la figura).
compresión
expansión
En las ondas transversales, el medio se desplaza en ángulo recto a la
Las ondas sonoras son longitudinales
dirección de propagación. Por ejemplo, las ondas en el agua de un
estanque avanzan horizontalmente, pero el agua se desplaza
verticalmente. Los terremotos generan ondas de los dos tipos, que
avanzan a distintas velocidades y con distintas trayectorias. Estas
Las ondas en el agua son transversales
diferencias permiten determinar el epicentro del sismo. Toda onda
longitudinal es siempre mecánica. Una onda mecánica es aquella que
necesita un medio físico para trasmitirse o transportarse (aire, agua, una cuerda…). El sonido, por
ejemplo, necesita de medios como los metales, los líquidos o el aire. Esto significa que no podríamos oír
el sonido donde no hay aire; esto implica que no escucharíamos algún sonido en la Luna, pues ahí no hay
aire ni otro tipo de atmósfera. Otras ondas mecánicas son las olas marinas y las que se forman con una
cuerda. Se forman ondas mecánicas también durante un terremoto (ondas sísmicas). Las ondas
mecánicas no viajan grandes distancias y su velocidad es relativamente pequeña. Esto se debe a que
trasmiten energía al medio por el que se propagan (tierra, agua, aire…) La onda transversal, en cambio,
puede ser mecánica o electromagnética. La onda electromagnética NO necesita un medio físico para
transportarse. La luz, por ejemplo, viaja en el vacío. Los rayos X y las ondas de radio son también
electromagnéticas. A diferencia de las mecánicas, las ondas electromagnéticas viajan grandes distancias
y su velocidad es grandísima.
 Velocidad de una onda. La velocidad, frecuencia y longitud de una onda están relacionadas entre sí.
La longitud de onda (la distancia entre dos crestas consecutivas) es inversamente proporcional a la
frecuencia y directamente proporcional a la velocidad. En términos matemáticos, esta relación se expresa
con la ecuación v = λf, donde v es la velocidad, f es la frecuencia y λ (la letra griega lambda) es la
longitud de onda. A partir de esta ecuación puede calcularse una variable si se conocen las otras dos.
 Producción de una onda electromagnética. Una onda electromagnética es una oscilación alternada
de campos magnéticos y eléctricos. Podemos producir una onda magnética utilizando un campo
magnético que varíe con el tiempo. También la podemos producir haciendo oscilar una corriente eléctrica.
Esta corriente generará campos magnéticos oscilantes que generarán la onda. En resumen se tiene que
una onda electromagnética se produce por la aceleración u oscilación de una carga eléctrica.
 Recepción de ondas. Al hablar de recepción de ondas nos referimos al sitio en donde son recibidas
(estación receptora). Hablaremos aquí de las antenas. Una antena es indispensable para recibir (y
también emitir) ondas de radio, de televisión, de radar, de teléfono y microondas. Los radios que tenemos
en nuestros hogares, por ejemplo, reciben ondas electromagnéticas de radio.
Cuando se utiliza una antena para emitir ondas de radio, el equipo emisor hace oscilar la corriente
eléctrica a lo largo de los cables o de las varillas de la antena. La energía de esta carga oscilante se emite
al espacio en forma de ondas electromagnéticas (radio). En el caso de la recepción, estas ondas inducen
una pequeña corriente eléctrica en la parte metálica de la antena, que se amplifica con el receptor de
radio.
5.2 El espectro electromagnético
Ya establecimos que una onda posee longitud de onda (λ) y frecuencia (f). De acuerdo con la longitud de
onda y la frecuencia las radiaciones ocupan un lugar en el espectro electromagnético.
λ (m)
7
4
-4
-4
-6
-7
-9
-9
-11 10
10
10 10
10
10 10
10
10
10
10 10
10
4
-7
10
6
11
16
10
10
Radiación Energía
Ondas
Radiación
Luz
Rayos
Rayos
Microondas
Rayos X
eléctrica de radio
infrarroja
visible
ultravioleta
gamma
4
8
12
14
15
17
17
3
3X10
3X10
a
3X10
3X10
3X10
a 3X10
3X10
f (Hz)
a
12
17
a
a
a
a
a
3X10
3X10
4
3X10
8
14
15
19
25
3X10
3X10
3X10
3X10
3X10
La frecuencia en la tabla aparece en hercios (Hz). Los hercios son los ciclos / s. Es decir que 1 Hz
significa 1 ciclo /s: un ciclo u oscilación por segundo. La unidad se llama así en honor del físico alemán
Heinrich Rudolf Hertz, el primero en demostrar la naturaleza de la propagación de las ondas
electromagnéticas. Generalmente, para altas frecuencias, se utilizan múltiplos: kilohercios (kHz: miles de
ciclos por segundo) megahercios (MHz: millones de ciclos por segundo), gigahercios (GHz: miles de
millones de ciclos por segundo) Podemos observar en la tabla que cuanto más alta es su frecuencia, más
baja es su longitud de onda. Valores muy pequeños de longitud de onda se expresan en submúltiplos muy
pequeños del metro. Frecuentemente la longitud de onda se expresa en nanómetros (nm) Un nanómetro
-9
es una milmillonésima de metro, es decir 10 m. Además, según la tabla, para una longitud de onda
determinada existe una frecuencia determinada. Esto porque, sin importar el tipo de radiación, la
8
velocidad de una onda electromagnética es de 300 000 Km / s; ó 300 000 000 m / s = 3X10 m / s. (Más
exactamente: 299 792 Km / s.)
16
Actividad 28. Dado f o λ determinar el tipo de radiación en los casos siguientes:
a. f = 4X10
18
20
__________ b. f = 7X10 __________ c. f = 7X10 __________ d. λ = 8000 e. λ = 0.00004
-2
-14
__________ f. f = 50000000000000 __________ g. λ = 0.0000007 h. λ = 10 __________ i. λ = 10
-10
__________ j. f = 20 000 __________ k. λ = 10
__________ l. λ = 0.003 __________ m. λ = 1000000
-5
-7
__________ n. λ = 4X10 __________ o. λ = 5X10 _____
Rayos ultravioleta. La radiación ultravioleta puede producirse artificialmente mediante lámparas de arco;
pero la de origen natural proviene principalmente del Sol. La radiación ultravioleta puede ser dañina para
los seres vivos, sobre todo cuando su longitud de onda es baja. La radiación ultravioleta con longitudes de
onda inferiores a 300 nm se emplea para esterilizar superficies porque mata las bacterias y los virus. En
los seres humanos, la exposición a radiación ultravioleta de longitudes de onda inferiores a los 310 nm
puede producir quemaduras; una exposición prolongada durante varios años puede provocar cáncer de
piel. Pero la radiación ultravioleta no sólo tiene efectos perniciosos; gran parte de la vitamina D que las
personas y los animales necesitan para mantenerse sanos se produce cuando la piel es irradiada por
rayos ultravioleta.
La capa de ozono. Si la radiación ultravioleta procedente del Sol llegara directamente a la tierra, la vida
terminaría. Por fortuna la capa de ozono absorbe la mayor cantidad de esta radiación. Pero… ¡qué
desgracia!... Estamos terminando con nuestra capa de ozono. Justamente la contaminación de la
atmósfera daña dicha capa. El humo despedido por los automóviles es particularmente dañino para esa
capa protectora. Los clorofluorocarbonos (CFC: compuestos del flúor), usados durante largo tiempo como
refrigerantes y como propelentes en los aerosoles, representan una amenaza para la capa de ozono. Al
ser liberados en la atmósfera, estos productos químicos, que contienen cloro, ascienden y se
descomponen por acción de la luz solar, liberando átomos de cloro que reaccionan fuertemente con las
moléculas de ozono, produciendo una sustancia que la daña.
Las telecomunicaciones. En telecomunicaciones se clasifican las ondas mediante un convenio
internacional de frecuencias en función del empleo al que están destinadas. Esto se muestra en la tabla
siguiente.
SIGLA
RANGO
DENOMINACION
EMPLEO
VLF
10 KHz a 30 KHz
Muy baja frecuencia
Radio gran alcance
Lf
10 KHz a 300 KHz
Baja frecuencia
Radio, navegación
MF
300 KHz a 3 MHz
Frecuencia media
Radio de onda media
HF
3 MHz a 30 MHz
Alta frecuencia
Radio de onda corta
VHF
30 MHz a 300 MHz
Muy alta frecuencia
TV, radio
UHF
300 MHz a 3 GHz
Ultra alta frecuencia
TV, radar
SHF
3 GHz a 30 GHz
Super alta frecuecia
Radar
EHF
30 GHz a 300 GHz
Extra alta frecuencia
Radar
Penetración de la radiación electromagnética. La radiación electromagnética reacciona de manera
desigual en función de su frecuencia y del material con el que entra en contacto. El nivel de
penetración de la radiación electromagnética es inversamente proporcional a su frecuencia.
Cuando la radiación electromagnética es de baja frecuencia, atraviesa limpiamente las barreras a
su paso. Cuando la radiación electromagnética es de alta frecuencia reacciona más con los
materiales que tiene a su paso. En función de la frecuencia, las ondas electromagnéticas pueden
no atravesar medios conductores. Esta es la razón por la cual las transmisiones de radio no
funcionan bajo el mar y los teléfonos móviles se queden sin cobertura dentro de una caja de metal.
Sin embargo, como la energía ni se crea ni se destruye, sino que se transforma, cuando una onda
electromagnética choca con un conductor pueden suceder dos cosas. La primera es que se
transformen en calor: este efecto tiene aplicación en los hornos de microondas. La segunda es
que se reflejen en la superficie del conductor (como en un espejo).
Uso de los rayos X. La fluoroscopía es una técnica médica basada en el uso de los rayos X. El
fluoroscopio es un aparato para examinar órganos internos, por lo que se
Rayos X
Pierna
Pantalla
usa sobre todo para el diagnóstico. Las partes fundamentales de un fluoroscopio son un tubo de rayos X y
una pantalla fluorescente. La persona que va a ser diagnosticado se coloca entre el tubo de rayos X y la
pantalla (al centro). En todos aquellos lugares de la pantalla en los que inciden los rayos X, la pantalla se
ilumina vivamente; en los lugares donde los rayos X se reflejan o son absorbidos, se proyectan sombras
en la pantalla. Los huesos se proyectan como sombras oscuras. Esta es la razón por la que se utilizan en
casos de fracturas. Organos como el corazón, proyectan sombras más claras. En los análisis abdominales
se administran sales de bario por vía oral o rectal antes del examen. Debido a que estas sales son opacas
a los rayos X, puede seguirse su progresión a través del tubo digestivo. La fluoroscopia puede revelar
cáncer en los órganos o en el aparato digestivo, úlceras del aparato digestivo y osteoporosis, enfermedad
que produce pérdidas en la masa ósea.
5.3 La luz visible, su naturaleza electromagnética y su dualidad
 La luz visible. La luz visible está formada por ondas electromagnéticas que nuestro ojo puede percibir
gracias a unas células especializadas en nuestros ojos llamadas bastones y conos. Los bastones nos
permiten percibir el brillo de la luz, mientras que los conos nos permiten percibir los colores. Existen 3
tipos de conos: uno para cada color básico (rojo, verde y azul). Nos es posible ver todos los colores
gracias a que se estimulan todos los conos. Cuando se estimulan por pares, vemos el amarillo, el cian y el
magenta.
B
E
 Naturaleza electromagnética de la luz visible. La luz es un caso particular de onda electromagnética.
Fue Maxwell quien estableció, según su teoría electromagnética, que la
luz es una onda transversal electromagnética que puede propagarse en
el vacío. Como onda electromagnética, posee una energía que está
distribuida igualmente entre 2 campos: uno magnético (B) y uno
eléctrico (E). Estos campos oscilan perpendicularmente a lo largo de la
propagación de la onda.
 Dualidad de la luz. Al hablar de la dualidad de la luz, hacemos
referencia al hecho que es onda y partícula a la vez. Es decir que,
además de su comportamiento ondulatorio, la luz se comporta como
partícula: naturaleza dual. Sin embargo, no siempre fue considerada
así. La teoría corpuscular de la luz es la que sostenía que era una
partícula y se basaba en que la luz viaja en línea recta, por lo que se consideraba como una fila de
partículas de sustancia lumínica. El gran genio inglés, Isaac Newton, también la consideró como un flujo
de partículas. Quizás por tratarse de una autoridad, 150 años después aún se consideraba a la luz como
formada por partículas. Esto a pesar de que no respondía preguntas elementales como las siguientes: 1.
¿por qué no chocaban dichas partículas al chocar 2 rayos de luz?, 2. si eran partículas, la velocidad de la
luz debería aumentar al entrar a un medio más denso como el agua, por ejemplo. Sin embargo, ocurre lo
contrario. Ya para el siglo XX, y gracias a los estudios de Maxwell, la luz era considerada de naturaleza
ondulatoria. Sin embargo, la teoría corpuscular volvió a tomar fuerza gracias a un fenómeno conocido
desde hacía mucho tiempo y llamado efecto fotoeléctrico. De acuerdo con este efecto, un haz de luz
ultravioleta arranca electrones de una placa de zinc, por lo que la carga positivamente. Este efecto no se
podía explicar con base en la teoría ondulatoria.
La aparente contradicción fue solucionada por el genio de todos los tiempos: Albert Einstein. Este físico
alemán consideró la posibilidad que la luz podría ser partícula y onda a la vez: naturaleza dual. Einstein
consideró que la luz estaba formada por partículas luminosas (fotones) cuya energía sólo dependía de la
frecuencia de la luz, y no de su intensidad. En 1900, Max Palnck les había llamado cuantos a estas
partículas. Para Einstein, cuando un electrón libre de un metal era golpeado por un fotón absorbía la
energía de éste. Si el fotón tenía la energía suficiente, el electrón era expulsado del metal.
De acuerdo con la teoría corpuscular, una fuente de luz es una fuente de fotones. Surge, entonces, la
pregunta: ¿qué pasa con los fotones cuando una luz se apaga?... Sencillamente se transforman en otro
tipo de energía. Es decir que los fotones sólo tienen existencia cuando están en movimiento.
Los estudios de Planck dieron nacimiento a un nuevo campo en la física denominado física cuántica.
Tanto Planck como Einstein recibieron el premio nóbel de física por sus estudios sobre la naturaleza dual
de la luz. Einstein lo recibió en 1905 por sus estudios sobre el efecto fotoeléctrico. En 1918 lo recibiría
Planck.
Energía de un fotón. En 1900 Max Planck formuló que la energía se radia en unidades pequeñas
separadas denominadas cuantos. Al profundizar en esta teoría, descubrió una constante de naturaleza
universal que se conoce como la constante de Planck (h). La ley de Planck establece que la energía de
cada cuanto es igual a la frecuencia de la radiación multiplicada por esa constante universal.
- 34
Matemáticamente: E = hf  h = 6.62X10
julios / s.
8
Como la frecuencia sólo depende de la longitud de onda, ya que la velocidad es constante (3X10 m/s),
se tiene que la energía de un fotón no depende de la velocidad, sino de la frecuencia (o de λ)
15
-7
Ejemplo 21. Calcular la energía de 10 fotones si la longitud de onda es 2X10 m.
S o l u c i ó n . Con la longitud de onda (λ) calcularemos la frecuencia (f) utilizando v = λf, y sabiendo que
la velocidad de una onda electromagnética es 300 000000 m/s. Luego aplicamos E = hf.
8
-7
15
v = λf  f = v/λ = 3X10 /2X10 = 1.5X10 Hz.
-34
15
- 19
-19
E = hf = 6.62X10
(1.5X10 ) = 9.9X10
 E = 9.9X10
J. ¡Cuidado! Esta es la energía de un
15
15
-19
fotón. Por lo tanto la energía de 10 fotones es 10 (9.9X10 ) = 0.001  E = 0.001 J.
17
-7
Actividad 29. Calcular la energía de 10 fotones si su longitud de onda es: a. 3X10 m
-7
-7
-7
__________ b. 3.5X10 m __________ c. 4X10 m __________ d. 4.5X10 m __________ e. 5X10
7
-7
-7
-7
m __________ f. 5.5X10 m __________ g. 6X10 m __________ h. 6.5X10 m __________ i.
-7
-7
-7
-7
7X10 m __________ j. 8X10 m __________ k. 9X10 m __________ l. 9.5X10 m __________
10
- 13
Actividad 30. Determinar el tipo de onda si la energía de 10 fotones es: a. 10
J _________ b.
-9
-3
- 20
-7
4.5X10 J _________ c. 3.5X J _________ d. 2.6X
J _________ e. 5X10 J _________ f. 5X10
5
- 17
- 10
-13
J _________ g. 3X10
J _________h. 10
J _________ i. 0.004 _________ j. 4X10
J
-9
-17
-7
-13
_________ k. 7X10 J _________ l. 5X10
J _________ m. 7X10 J _________ n. 5X10
J
-5
-17
-10
_________ o. 4X10 J _________ p. 5X10
J _________
q. 2X10
J _________
La masa de un fotón. Con relación a si un fotón posee masa o no, se ha discutido mucho y existen
distintas posiciones. Para algunos, no posee masa porque no puede variar su velocidad: viaja siempre a
la velocidad de la luz. Otros, por existir sólo mientras viaja, la consideran nula. Yo comparto la idea que sí
posee masa, pero no en reposo. Es decir que su masa existe mientras existe la onda. Además, conforme
a la ecuación E = hf, dado que h es una constante, la masa (que implica energía) varía con la frecuencia.
Pues bien, calcularemos la energía de un fotón a una frecuencia determinada y luego calcularemos su
2
masa utilizando la famosísima ecuación de Einstein: E = mc . Intentaremos corroborar esta masa
2
utilizando la clásica ecuación E = ½ m v .
14
Para una onda de frecuencia 3X10 , la energía de un fotón es:
-34
14
-19
-19
E = hf = 6.62X10
(3X10 ) = 2X10
 E = 2X10
J.
Apliquemos la ecuación de Einstein:
2
2
-19
82
- 36
- 36
-33
E = mc  m = E/(c ) = 2X10
/(3X10 ) = 2.2X10
 m = 2.2X10
Kg  2.2X10
g.
Apliquemos ahora la ecuación clásica:
2
2
-19
82
-36
- 36
- 33
E = ½ mv  m = 2E/(v ) = 2(2X10 )/(3X10 ) = 4.4X10
 m = 4.4X10
Kg  m = 4.4X10
g.
Podemos apreciar que la masa se duplica al aplicar la ecuación clásica; por lo tanto hay inconsistencia.
20
Efectuemos los cálculos para una frecuencia mayor: 3X10 .
-34
20
-13
-13
E = hf = 6.62X10
(3X10 ) = 2X10
 E = 2X10
J.
Apliquemos la ecuación de Einstein:
2
2
-13
82
-30
-30
-27
E = mc  m = E/(c ) = 2X10 /(3X10 ) = 2.2X10
 m = 2.2X10
Kg  2.2X10
g.
Apliquemos ahora la ecuación clásica:
2
2
-13
82
-30
-30
-27
E = ½ mv  m = 2E/(v ) = 2(2X10 )/(3X10 ) = 4.4X10
 m = 4.4X10
Kg  m = 4.4X10
g.
De nuevo se duplica la masa: hay inconsistencia. La ecuación clásica no es aplicable.
(Algún día quizás tenga la oportunidad de conversar con Einstein. Quizás él me pueda explicar mejor esta
inconsistencia)

6. Optica geométrica y óptica ondulatoria.
Objetivos conceptuales. Conocer los efectos de la reflexión de la luz, su interferencia, tipos de espejos y lentes.
Objetivos procedimentales. Calcular cualitativamente las imágenes en espejos y lentes.
Objetivos actitudinales. Valorar la utilidad de los lentes y espejos.
Introducción. La óptica es la rama de la física que se ocupa de la propagación y el comportamiento de la
luz. Su estudio se divide en dos ramas: la óptica geométrica y la óptica física. La óptica geométrica se
ocupa de la aplicación de las leyes de reflexión y refracción de la luz al diseño de lentes y otros
componentes de instrumentos ópticos. La óptica física se ocupa de aspectos del comportamiento de la luz
tales como su emisión, composición o absorción, así como de la polarización, la
interferencia y la difracción.
6.1 Conceptos de: frente de onda, rayo, principio de Huygens
 Frente de onda y rayos. A partir de una fuente de luz se emiten esferas concéntricas
formadas por fotones emitidos en un mismo tiempo. La región del espacio en el que
λ
avanzan los fotones emitidos en un mismo tiempo, se conoce como frente de onda. Esto también se da
en las ondas mecánicas. Por ejemplo al arrojar una esfera metálica en un estanque de agua en calma,
se forman círculos concéntricos que son frentes de onda. Los rayos muestran la dirección de
propagación de las ondas y son perpendiculares a los frentes de onda. La separación entre un círculo (o
esfera) y el siguiente (o anterior) es la longitud de onda.
 Principio de Huygens. El holandés Christiaan Huygens estableció que todo punto de un frente de onda
que avanza es una fuente de nuevas ondas. Esto es lo que estudia la óptica. A partir de este principio
(que posteriormente fue llamado principio de Huygens) este físico desarrolló la teoría ondulatoria de la luz.
N Rayo reflejado
Rayo incidente
6.2 Reflexión de la luz y espejos
 Reflexión. En física, la reflexión es el acto de reflejar o reflejarse. En el caso de
una onda, la energía que lleva puede reflejarse. Si un rayo de luz incide sobre
determinada superficie, una parte de su energía es reflejada, mientras que la otra
penetra y puede ser absorbida. Al reflejarse el rayo se tiene un ángulo de
β β
incidencia y uno de reflexión. Las leyes de la reflexión afirman que el ángulo de
incidencia es igual al ángulo de reflexión (β), y que el rayo incidente, el rayo
reflejado y la normal (N) en el punto de incidencia se encuentran en un mismo
plano.
 Espejo plano. Un espejo es toda superficie lisa que refleja perfectamente. El fenómeno de la reflexión
de los rayos de la luz nos permite ver imágenes en los espejos. La reflexión es distinta en un espejo plano
que en un espejo esférico.
En esta figura tenemos un espejo plano. La fuente de luz es el objeto A; un
D
punto de A emite rayos en todas las direcciones. Los dos rayos que inciden
sobre el espejo en B y C, por ejemplo, se reflejan como rayos BD y CE. Para
un observador situado delante del espejo, esos rayos parecen venir del punto
B
F que está detrás del espejo. De las leyes de reflexión se deduce que CF y
E
BF forman el mismo ángulo con la superficie del espejo que AC y AB. En este
C
caso, en el que el espejo es plano, la imagen del objeto parece situada detrás
del espejo y separada de él por la misma distancia que hay entre éste y el
objeto que está delante.
A
F
 Espejo esférico. Supongamos que tenemos una esfera hueca de radio r
que es espejo por dentro y por fuera. Si obtenemos una fracción de esa
Fuente de luz
Espejo
Imagen
Cóncavo
esfera (un casquete), obtenemos un espejo cóncavo y uno convexo,
Convexo
dependiendo de dónde nos ubiquemos.
Supongamos que tenemos un espejo cóncavo (el de arriba a la derecha). El centro de la
esfera correspondiente (C), es el centro de curvatura; y el punto V es el vértice del espejo.
La línea CV es el eje principal. Cualquier línea que pase por el centro formará un eje
secundario. Si un rayo de luz es emitido desde C hacia v, será reflejado en la misma
dirección (en sentido contrario) Si embargo, todo rayo emitido en forma paralela a CV, será
F
reflejado de manera que el reflejo siempre pasará por un punto común llamado foco (F) Este foco
o
está siempre en el punto medio de CV, por lo que se le llama foco principal. FV es la distancia focal.
V
C
c
Para este caso, el foco se denomina foco real; para el caso de un espejo convexo (el de abajo), el
o
foco se denominas foco virtual.
vi
Imágenes en los espejos. Para un espejo plano se obtiene una imagen del mismo tamaño al objeto,
rt
y estando ambos a la misma distancia del espejo: no sufre variación.
u
El tipo, posición, tamaño y orientación de la imagen que producen los espejos cóncavos depende de
al F. virtual
la ubicación del objeto. Aclaramos en este punto que una imagen virtual no se puede proyectar en
V
una pantalla. Los resultados se resumen en la tabla siguiente. La última fila corresponde a un espejo
C
convexo.
Casos
Ubicación
Tipo
Posición
Tamaño
Orientación
1
Más allá de C
Real
Entre C y F
Menor
Invertida
2
En C
Real
En C
Igual
Invertida
3
Entre C y F
Real
Más allá de C
Mayor
Invertida
4
Entre F y V
Virtual
Detrás del espejo
Mayor
Derecha
5
Delante de V (convexo)
Virtual
Detrás del espejo
Menor
Derecha
C
F
C
F
C
F
2
1
C
F
4
5
3
F
C
6.3 Refracción de la luz y lentes
 Refracción. Dijimos que si un rayo de luz incide sobre determinada superficie, una parte de su energía
es reflejada, mientras que la otra penetra. Esta que penetra puede ser refractada. La refracción de la luz
es el cambio de dirección que sufre al pasar de un medio a otro. Justamente esta es la causa por la cual
observamos que una cuchara parece quebrarse al penetrar la superficie del agua. Esto se debe a que la
luz ha pasado de un medio (el aire) a otro medio (el agua).
El índice de refracción (iR) es una medida de la desviación que sufre la luz al pasar de un medio a otro. Si
el rayo de luz está en el vacío (o aire), el iR se calcula dividiendo la velocidad de la luz en el vacío (c) entre
la velocidad de la luz en la nueva sustancia (v). Dado que la luz alcanza su máxima velocidad en el vacío,
se concluye que el índice de refracción es un número mayor que la unidad. Además, por ser el cociente
de 2 velocidades, no posee unidades.
Matemáticamente: iR = c/v
También puede calcularse iR relacionando el ángulo β que forma el rayo de luz con la normal al plano
β
del nuevo medio y el ángulo θ que forma dentro del medio (ver figura).
Lo anterior se consigue mediante la ecuación: iR = Senβ / Senθ
Se concluye que el índice de refracción es propio de cada sustancia. Por otra parte, el índice de refracción
varía con los cambios de temperatura de la sustancia.
Sustancia
Velocidad m/s Sustancia
Velocidad m/s
En esta tabla se presentanθlas
8
8
Vacío
Benceno
3X10
2X10
velocidades de la luz en distintas
8
Cloruro de
8
Aire
Aprox. 3X10
1.95X10
sustancias.
sodio
8
8
Agua
Poliestireno
2.26X10
1.93X10
Sln. Azúcar
8
8
Vidrio crown
2.11X10
1.97X10
(50%)
8
8
Acetona
Vidrio flint
2.2X10
1.81X10
8
8
Etanol
Diamante
2.2X10
1.24X10
Ejemplo 22. Calcular el índice de refracción de la luz en el agua. Además, calcular el ángulo que formará
en el agua un rayo de luz que incida con un ángulo de 75°.
8
S o l u c i ó n . Calculamos iR aplicando iR = c/v. La velocidad de la luz en el agua es 2.26X10 m/s.
8
8
Por lo tanto: iR = c/v = 3X10 /2.26X10 = 3/2.26 = 1.327  iR = 1.327
Para calcular el ángulo que formará el rayo en el agua, aplicamos iR = Senβ / Senθ. Tenemos el ángulo β.
Calcularemos θ.
-1
iR = Senβ / Senθ  1.327 = Sen75°/Senθ  Senθ = Sen75°/1.327  θ = Sen (Sen75°/1.327)
-1
-1
θ = Sen (0.966/1.327) = Sen (0.728) = 46.72°  θ = 46.72°
Actividad 31. Calcular el índice de refracción de la luz en una sustancia y el ángulo que formará en
dicha sustancia si incide con un ángulo de 82° y la sustancia es: a. Vidrio crown ____ _____ b. Etanol
____ _____ c. Poliestireno ____ _____ d. Benceno ____ _____ e. Vidrio flint ____ _____ f.
Diamante ____ _____ g. Acetona ____ _____ h. Cloruro de sodio ____ _____ i. Azúcar (50%) ____
_____ (Recomendación: trabajar por lo menos con 3 decimales)
Discusión 17. Un rayo de luz incide sobre una sustancia con un ángulo de 85°. Determinar la sustancia
(de la tabla) si el ángulo de desviación en el medio es de: a. 40.37° _____________ b. 73.09°
_____________ c. 44.47° _____________ d. 36.95° _____________ e. 39.87° _____________ f.
24.32° _____________ g. 40.85° _____________ h. 41.61° _____________ i. 46.96° _____________
(Recomendación: trabajar por lo menos con 3 decimales)

14
Discusión 18. Una onda de luz dentro de un medio (no el vacío) tiene una longitud de onda de 8X10 .
-7
-7
Qué sustancia (de la tabla) es si su frecuencia es de: a. 2.412X10 Hz _____________ b. 2.637X10
-7
-7
Hz _____________ c. 2.462X10 Hz _____________ d. 2.825X10 Hz _____________ e. 2.262X10
7
-7
-7
-7
Hz _____________ f. 1.55X10 Hz _____________ g. 2.5X10 Hz _____________ h. 2.437X10
Hz _____________
 Lentes. En sistemas ópticos, un lente es disco de vidrio u otra sustancia transparente cuya forma hace
que refracte la luz procedente de un objeto y forme una imagen real o virtual de éste. Su utilidad es
amplia. Los lentes de contacto o las lentes de las gafas o anteojos corrigen defectos visuales. También se
utilizan lentes en las cámaras fotográficas, en microscopios, en telescopios y otros instrumentos ópticos.
La lupa es otra aplicación.
Los lentes son de 2 tipos: convergentes y divergentes. Los
convergentes son más gruesos en sus centros que en los bordes,
los divergentes son más delgados en el centro y aumentan de
espesor en los bordes. Los lentes convergentes concentran
(convergen) los rayos de luz que inciden en ellos paralelos al eje.
Esta concentración se da en el foco real. En cambio los divergentes
esparcen (divergen) los rayos de luz que inciden en ellos paralelos
Convergente
Divergente
al eje. Sólo las prolongaciones pasan por el foco virtual.
Una superficie de lente cóncava desvía los rayos incidentes paralelos al eje de forma divergente; los
rayos divergen al salir de la lente, y parecen provenir de un punto situado en el mismo lado del lente.
Estos lentes sólo forman imágenes virtuales, reducidas y no invertidas
La lupa. Una aplicación práctica de los lentes convergentes es la lupa. Este instrumento permite ver los
objetos más grandes que su tamaño normal, de manera que muchas personas de edad avanzada la
utilizan para leer letras muy pequeñas. En otras palabras, es un microscopio simple. Una lupa es un lente
convexo (convergente) que desvía la luz incidente de modo que se forma una imagen virtual ampliada del
objeto por detrás del mismo. La imagen se llama virtual porque los rayos que parecen venir de ella no
pasan realmente por ella. Una imagen virtual no se puede proyectar en una pantalla.
Imagen en un lente. En el caso del lente convergente siguiente, el objeto está a una distancia mayor de
2F. Para localizar la imagen se dibujan 2 rayos: uno paralelo al eje principal (A) que se refracta y pasa por
F al otro lado del lente; y un rayo B
que pasa por F y después de
Rayo A
refractarse sigue una trayectoria
Rayo B
paralela al eje principal. La imagen se
localiza en el punto donde convergen
los rayos después de refractarse. Esta
F
2F
imagen es real invertida y menor que
el objeto.
Para un lente divergente, las
imágenes son virtuales y derechas. En la figura de la derecha
vemos que el rayo A al llegar paralelamente al lente se refracta y
Rayo A
parece que crea un foco. El rayo B pasa por la parte central del
lente sin cambiar de dirección, formando así una imagen virtual.
6.4 Interferencia de la luz
Objeto F
imagen
El médico y físico inglés Thomas Young comprobó la
Rayo B
interferencia de la luz mediante el siguiente experimento. Colocó
una pantalla con 2 orificios e hizo pasar ondas luminosas
idénticas por ambos orificios; ocurre, entonces, que las ondas
procedentes de una rendija interfieren con las ondas que vienen
de la otra. Este fenómeno se conoce como interferencia. Esta interferencia da una onda
combinada cuya amplitud (intensidad) puede ser mayor o menor que la de una de las ondas. De
aquí que la interferencia puede ser constructiva o destructiva. Es constructiva cuando la amplitud
(intensidad) resultante es más grande que la de una onda individual. Es destructiva cuando la
intensidad resultante es menor que la de una onda individual. La máxima amplitud se consigue
cuando las crestas (o los valles) de una onda se superponen o coinciden exactamente con las
crestas (o los valles) de la otra onda (se dice que las ondas llegan en fase: a 0°). En estos casos, la
amplitud de la onda resultante es la suma de las amplitudes de las individuales (2A) La mínima amplitud
(cero) se produce cuando las ondas llegan en oposición de fase (180°), es decir, cuando la cresta de una
onda coincide exactamente con el valle de la otra onda, de manera que se cancelan mutuamente. Desde
luego que pocas veces se consigue una amplitud máxima o mínima; los resultados son intermedios. Los
silenciadores en los vehículos intentan conseguir una amplitud cero, pero nunca lo consiguen.
2F
F
R
6.5 Difracción y polarización.
 Difracción. La difracción de la luz (u otra onda) es la
desviación o expansión que sufre después de pasar
junto al borde de un objeto sólido o atravesar una
rendija estrecha, en lugar de seguir avanzando en
línea recta. La difracción se produce por superposición Las 2 ondas están en fase por lo que
de ondas alternativamente, de manera que hay
la amplitud de la resultante (R) es 2
difracción constructiva (zonas luminosas) y difracción
veces la de una de ellas
destructiva (zonas oscuras)
Dado que la difracción le permite a una onda rodear
un obstáculo (o expandirse después de pasar por una rendija), es
posible ver la luz o escuchar el sonido producido del otro lado de un
muro. Evidentemente, cuanto más alto, sólido y grueso sea el muro,
más dificultad tendremos en escuchar las ondas sonoras (o ver los
rayos luminosos)
 Polarización. La polarización consiste en la orientación de las
ondas de la luz en una sola dirección. Ocurre que la luz está formada
por numerosas ondas emitidas por los átomos o moléculas de la
fuente emisora. Estas ondas se propagan desordenadamente, pero
existen ciertos materiales capaces de polarizar esas ondas; es decir,
capaz de orientarlas en una sola dirección. Estos materiales se
denominan polarizantes.
Luz no polarizada
luz polarizada
R
Las 2 ondas están en oposición de
fase por lo que la amplitud de la
(R) es cero
Paso de la resultante
luz por 2 rendijas