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“Educar para un mundo mejor”
Conjunto de Números Naturales:
•
•
Comienza en el número 1 y no tiene fin. (es infinito).
Es un conjunto discreto, ya que entre dos números naturales consecutivos, no existe otro
número natural. Ej 1 y 2 ; 10 y 11, etc.
Es el único conjunto numérico que tiene principio.
Son los números que nos sirven para contar.
•
•
Repasamos propiedades de los números naturales.
ADICION
1) Ley de cierre. La suma de dos números naturales, es otro número Natural
5+1 =6
8 + 4 = 12
2) Ley asociativa:
( 3 + 4) +2 = 3 + (4 + 2)
7+2 = 3+6
9=9
3) Ley conmutativa:
9 + 10 = 10 + 9
19 = 19
MULTIPLICACIÓN
1) Ley de cierre: La multiplicación de 2 n. Naturales, es otro n. Natural.
2 . 3. = 6
2) Ley asociativa:
5 . (2 . 3) = (5 . 2 ) . 3
5.6
=
10 . 3
30 = 30
3) Ley conmutativa:
3.7=7.3
21 = 21
4) La multiplicación es distributiva respecto de la suma y de la resta:
2 . (3 + 4) = 2 . 3 + 2 . 4
2.7
=
6+ 8
14 = 14
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Representación de los Naturales en la recta numérica
l
l
l
l
l
l
l
l
l
0
1
2
3
4
5
6
7
8 ....
Repasamos la traducción de lenguaje coloquial a lenguaje simbólico
Lenguaje coloquial
Lenguaje simbólico
Tres veces un número disminuido en 5 unidades
5
3a-5
veces un número aumentado en 10
unidades
5x + 10
12 menos dos veces un número
12 – 2x
Un número sumado a su consecutivo
x+x+1
Un número sumado a su anterior
x+x-1
Aclaración: podemos reemplazar el signo del producto (x) por un punto (.), para no
confundirnos con la incógnita que llamamos x.
¿Para que realizamos esto? Para poder resolver problemas.
Repasamos la propiedad uniforme: Si sumamos un mismo número o expresión a
ambos miembros de la igualdad, obtenemos otra igualdad.
Para la suma
Para la resta
5 + 3 = 4 +1 +3
6 +8 – 4 = 7 + 3– 4
8 =8
10 = 10
5+3+6=4+2+2+6
14 = 14
Para la multiplicación
25 –5 + 3 = 15 + 7
23 = 23
Para la división
30 +5 = 20 –5 + 20
35 = 35
2. (25 – 5 + 3) = 2. ( 15 +7)
46 = 46
(30 +5): 5 = (20 –5 + 20) : 5
35 : 5 = 30 : 5
2
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A continuación, vamos a plantear un problema sencillo, para saber si lo podemos
interpretar correctamente y lo sabemos pasar al lenguaje simbólico del que estuvimos
hablando.
Enunciamos:
“Para resolver un problema, es fundamental, primeramente comprender el enunciado de
ese problema, determinar con claridad cuál es la incógnita y comprobar el resultado”.
Problema a): “Por 5 libros de igual precio pagamos $70. ¿Cuánto cuesta cada uno?
5. x = 70
Debemos agrupar las x por un lado y los términos independientes (números solos),
por el otro.
por propiedad uniforme
5.x 70
=
5
5
x = 14
Problema b):
Pienso un número cualquiera x, le sumo 25 y obtengo 40. ¿Qué número pensé?
X + 25 = 40
Prop. Uniforme
x + 25 – 25 = 40 – 25
X = 40 – 25
X = 15
Debemos siempre realizar la comprobación del resultado:
¿Cómo lo hacemos? Reemplazando en la expresión original con la que se planteó el
problema y verificando su suma, si realmente corresponde a 15.
Esta expresión, con la cual pudimos expresar en forma simbólica un problema, recibe el
nombre de ecuación.
Comprobaremos el resultado y luego pasaremos a definir formalmente una ecuación.
Definimos:
“Las ecuaciones son igualdades donde existe, por lo menos, un elemento desconocido al que llamamos
incógnita”
Nosotros vamos a trabajar con ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Definimos:
“El grado de una ecuación está indicado por el mayor exponente de la incógnita”.
Definimos:
“ Ecuaciones de primer grado son aquellas en donde el mayor exponente de la incógnita es 1”
Vimos anteriormente ecuaciones de solución única.
Ahora veremos los siguientes casos:
¿Qué ocurre con esta ecuación? ¿Cuál es su solución?
3
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5 x − 3x + 2 = 2 x
2x + 2 = 2x
2x + 2 − 2 = 2x − 2
2x − 2x = 2x − 2x − 2
0 x ≠ −2
Esta ecuación no tiene solución, ya que no existe ningún valor de x, que
multiplicado por cero sea igual a -2.
Otro caso:
X +7 +2 = x + 9
X – x + 7 +2 = x – x + 9
0x + 9 = 0x + 9
Cuando agrupamos las x de un lado y los números del otro lado de la igualdad,
¿QuéSucede con las x?
¿Qué sucede en este caso?
El valor de la x, puede tomar infinitas soluciones y lo comprobaremos:
Para x= 1
0.1+9=0.1+9
Para x = 2
0.2+9=0.2+9
Para x = 10
0 . 10 + 9 = 0 . 10 + 9
Enunciamos:
Soluciones de una ecuación de primer grado:
única solución.
Sin solución
Infinitas soluciones.
2x -[x -(x -50)] = x - (800 -3x)
2x -[x -x +50] = x -800 +3x
Primero quitamos los paréntesis.
2x -[50] = 4x -800
Agrupamos términos semejantes.
2x -50 = 4x -800
Ahora quitamos los corchetes.
2x -4x = -800 +50
-2x = -750
x
Nuevamente agrupamos términos semejantes
=
-750
-2
=
375
Despejamos x
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5(x -3) -(x -1) = (x +3) -10
5x -15 -x +1 = x +3 -10
Resolvemos el producto indicado, eliminamos los paréntesis,
Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los
5x -x -x = 3 -10 +15 -1
términos independientes al otro lado
3x = 7
Agrupamos términos semejantes en ambos lados de la igualdad.
x=7
Despejamos x
3
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Trabajo Práctico nº1
1) Calcular:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
184 + 231 + 250=
1003 – 954=
1123 – 999=
236 x 271
8258 x 2030=
2750 : 25=
1001 : 77=
2) Hallar el valor de la incógnita:
a)
b)
c)
d)
e)
2x + 5 = 17
(7 – 2 ) x + 11 = 16
9 x + 6 x = 10 x + 35
3x + 18 = -3x +36
2(x + 2x) –3 = 21
3) Plantea y resuelve:
a) ¿Cuál es el número que aumentado en 5 es igual al doble de 6?
b) Sumando 9 al triple de un número se obtiene 21. ¿Cuál es el número?
c) El doble de un número disminuido en 6 es igual al número aumentado en 7 .
¿Cuál es el número?
d) ¿Qué número le restas a 9 para obtener 3?
e) ¿A qué número le restas 9 para obtener 3?
4) Problemas:
a) Si Matías nació cuando su madre tenía 29 años. ¿Cuál será la edad de Matías
cuando su madre tenga 58 años?
b) Si tenía 28 monedas, escondí x en cada mano, y quedan 16, ¿Cuántas monedas
tengo en cada mano?
c) Si al doble de un número le resto 9, el resultado es 31. ¿Cuál es el número?
d) Pienso un número, lo multiplico por 2, le sumo 16 y obtengo 26. ¿De qué
número se trata?
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1) Resolvemos cuentas de adición y sustracción:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
253 + 302 + 901= 1.456
1.980 – 920= 1.060
240 + 30 + 75= 345
520 : 2= 260
234 : 3= 78
22 : 11=2
222 : 2= 111
2) Para pensar:
a) Tengo 3 bolsas de caramelos, con 25 caramelos en cada una de ellas. ¿Cuántos
caramelos tengo en total? Rta: 75 caramelos.
b) Mi amigo Miguel tiene 10 paquetes de figuritas. Si cada paquete contiene 3
figuritas. ¿Cuántas figuritas tiene Miguel? Rta: 30 figuritas.
c) En mi dormitorio tengo un mueble con 4 cajones :
Dos cajones contienen 12 remeras cada uno y en los otros dos hay 4 Suéteres en cada
uno.
a)¿Cuántas remeras tengo en total? 24 remeras
b) ¿Cuántos Suéteres tengo en total? 8 suéteres
c)¿Cuántas prendas en total tengo? 32 prendas.
3) Ecuaciones:
Para cada expresión de la columna izquierda, encontrar la expresión equivalente en la
columna derecha y unir con flechas.
2a + 5(a + 3)
9a+2
5a + 3 + 4a + 1
7a+7b
2(5 + a)
7 a 15
(a + b) (3 + 4)
11 a
13 a – 4 a + 2
a + 10
13 a – 4 a + 2 a
10 + 2 a
2. 5 + a
9a+4
a + b ( 3 + 4)
a + 7b
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Potenciación:
“Un grupo de amigos decidieron ir de camping, y llevaron 2 carpas. Cada carpa tiene
dos divisiones y en cada una de esas divisiones durmieron 2 personas”:
Queremos saber cuántas personas fueron:
2 x 2 x 2
Carpas
Divisiones por carpa
Personas por división
En una multiplicación, a cada número lo llamamos factores.
Como siempre se repite el mismo factor, podemos escribir la multiplicación en forma
abreviada como potencia de Base 2 y exponente 3, en éste caso.
2 x 2 x 2 = 23
Exponente
Base
23 = 8
Potencia
La base nos indica el factor que se repite.
El exponente indica la cantidad de veces que se repite el factor.
La operación se denomina Potenciación y el resultado se denomina potencia.
Cualquier base elevada a la 1, dá como resultado la misma base.
Ej: 2 1 = 2
31 = 3
b1 = b
Cualquier base elevada a la 0, es 1.
10 = 1
50 = 1
25.000 0 = 1
x0 = 1
Cómo debemos leer una potencia:
Ej:
5 2 Cinco a la dos o al cuadrado.
5 3 Cinco a la tres o al cubo.
5 4 Cinco a la cuatro o a la cuarta potencia. , etc.
Escribir y nombrar las siguientes potencias:
a) 3 x 3 x 3 =
b) 5 x 5 x 5 x 5 x 5 =
c) 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 =
d) 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4=
Propiedades de las potencias:
1) La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación.
Vamos a averiguar de dos maneras diferentes:
a) (4x3)2 = 12 2 = 144
b) (4x3)2 = 4 2 x32 = 16 x 9 = 144
2) La potenciación es distributiva con respecto a la división:
8
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a) (25 : 5)2 = 25 2 : 5 2 = 625 : 25 = 25
b) (25 : 5) = 5 2 = 25
2
3)Producto de potencias de la misma base, se suman los exponentes.
3 2 .3 3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3 5 = 3 2 + 3
2 3.2 5 = 2.2.2.2.2.2.2.2 = 28 = 2 3+5
4) Cociente de potencias de la misma base, se restan los exponentes.
28 : 2 5 =
2.2.2.2.2.2.2.2
= 2 3 = 2 8 −5
2 .2 .2 .2 .2
5) Potencia de potencia, se multiplican los exponentes
(3 )
3 2
= 33.33 = 3.3.3.3.3.3 = 36
Ahora veremos la potencia de la suma.
2
¿Es lo mismo (5 + 2 ) que 5 2 + 2 2 ?
7 2 = 49
y 25 + 4 = 29
Por lo tanto (5 + 2 ) ≠ 5 2 + 2 2
Ahora veremos la potencia de la resta.
2
¿Es lo mismo (8 − 5) que 83 − 53 ?
33 = 27
512 – 125 = 387
3
3
Por lo tanto (8 − 5) ≠ 8 − 53
3
Aclaración Importante:
La potenciación NO es distributiva con respecto a las operaciones de
Adición y sustracción.
3
5
¿ 5 es igual a 3 ?
5.5.5 = 125 y 3.3.3.3.3 = 243
Por lo tanto la potenciación no es conmutativa
Veremos las potencias de 10:
10 0 = 1
101 = 10
10 2 = 10.10 = 100
10 3 = 10.10.10 = 1.000
10 4 = 10.10.10.10 = 10.000
10 5 = 10.10.10.10.10 = 100.000
10 6 = 10.10.10.10.10.10 = 1.000.000
¿Qué podemos sacar como conclusión de lo que acabamos de hacer?
Potencias de base 10: Tendrán la unidad seguida de tantos ceros como nos indique el
exponente.
Escribir como potencias:
9
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a) 7 . 7 . 7 . 8 . 7 . 8 = 7 4 .8 2 = 153.664
b) 3 . 2 . 3 . 2 . 3= 33.2 2 = 108
c) 10 . 10 . 5 . 10 . 5 = 10 3.5 2 = 25.000
Escribe el exponente que falta:
a) 32.35.3 4= 311
b) 55 : 5 4= 5
c) 5 − 5 = 4
Escribir en lenguaje simbólico:
a) Tres a la quinta más ocho al cubo.
b) Cinco al cuadrado menos dos a la cuarta.
c) Dos veces el cuadrado de siete más tres veces el cuadrado de dos.
2) Calcular de las maneras que aprendimos:
Aplicando propiedades, cuando sea posible y
resolviendo primero paréntesis y luego aplicando potenciación.
a) (3.4 )3 = 33.4 3 = 27.64 = 1.728
b) (10 : 5)2 = 10 2 : 5 2 = 100 : 25 = 4
c) (2 + 5)2 = (7 )2 = 49
d) (5.2 )3 = 5 3.2 3 = 125.8 = 1.000
3
e) (10 − 7 ) = 33 = 27
3) Resolver realizando las operaciones sobre la hoja de carpeta.
( )
( )
4
3
a) 32 = 3 2.4 = 38 = 6.561
( )
c) 12
( )
4
b) 2 4 = 2 4.3 = 212 = 4.096
= 12.4 = 18 = 1
4
d) 50 = 5 0.4 = 5 0 = 1
(
e) 34.32.3−1 = 3 4 + 2 −1 = 35 = 243
)
0
f) 35.32 = 3 7.0 = 3 0 = 1
4) Completar la tabla de cuadrados y cubos, realizando las operaciones sobre la hoja de
trabajos prácticos.
1
2
3
4
5
6
7
x
x2
12 = 1
22 = 4
32 = 9
4 2 = 16
5 2 = 25
6 2 = 36
7 2 = 49
x3
13 = 1
23 = 8
33 = 27
4 3 = 64
5 3 = 125 6 3 = 216 7 3 = 343
Trabajo Práctico Nº 2
1) Si resuelves correctamente los cálculos, te enterarás el peso de las pelotas que se
10
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utilizan en los diferentes deportes:
(CON RESPUESTAS)
a) Voleibol: ...........260...............gramos.
18 + (15 : 3) 2 − (4 : 2)1 + 63 + 2.10 =
b) b) Hándbol: .........424...............gramos.
32.30 + 151 + 82 (4 + 3) − 20.3 + 12 =
c) Tenis:................57.................gramos.
54 : 52 − 2 2 + (8 : 4 + 5) 2 − 13 =
d) Golf:... .............46.................gramos.
(33 + 2 0 )1 − 23 : 2 2 − 780 + (3.7)1 =
e) Fútbol:............353..................gramos.
10 2 − 861 + 430 + 7 3 − 34 0 − 2 2 =
f) Bowling.........7.260...............gramos.
(10 3 − 10 2 ) + 5 3 + 3 4.2 3 − 57).10 =
2) Usa tu ingenio:
Utilizando todas las cifras, del 1 al 9, ubica en cada círculo una cifra de manera que la
suma de cada una de las filas señaladas sea la misma. (IGUAL A 15)
7
5
11
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RADICACIÓN
Se llama raíz n (o enésima) de un número a, al número b tal que b elevado a la n da
como resultado a.
En símbolos:
n
a =b
Ejemplo
4
16 = 2
bn = a
porque 2 = 2.2.2.2 = 16
4
INDICE
RADICAL
16 = 2
4
RAIZ
RADICANDO
Por convención, el índice 2 no es necesario colocarlo, sabemos que es raíz cuadrada.
Número Raíz cuadrada Número Raíz cúbica
4
2
8
2
9
3
27
3
16
4
64
4
25
5
125
5
36
6
216
6
49
7
343
7
64
8
512
8
81
9
729
9
100
10
1000
10
121
11
1331
11
12
Prof. Analía A. Berretta
144
12
169
13
196
14
225
15
1) La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación.
Vamos a averiguar de dos maneras diferentes:
a)
36.49 = 1.764 = 42
b) 36 . 49 = 6.7 = 42
2) La radicación es distributiva con respecto a la división:
36 : 4 = 9 = 3
b) 36 : 4 = 6 : 2 = 3
a)
3) Raíz de raíz, se multiplican los índices:
3
64 =
6
64
Primero resolvemos la raíz de adentro.
4=2
Ahora vemos si es igual a la 6 64 = 2
Buscamos un número que multiplicado seis veces, obtenga como resultado 64. Ese
número es dos.
Ahora veremos la raíz de la suma y la resta.
¿Es lo mismo
36 + 4 = 40
que
36 + 4 = 6 + 2 = 8 ?
Por lo tanto
36 + 4 = 40 ≠
36 + 4 = 6 + 2 = 8
Ahora veremos la potencia de la resta.
¿Es lo mismo 36 − 4 = 32 que 36 − 4 = 6 − 2 = 4 ?
Por lo tanto 36 − 4 = 32 ≠
36 − 4 = 6 − 2 = 4 ?
Aclaración Importante:
La radicación NO es distributiva con respecto a la suma y a la resta.
EJERCICIOS PARA REALIZAR EN CLASE: (con respuestas)
Completen las casillas para que se cumplan las igualdades.
3
...64.... = 4
3
...0.... = 0
3
..125..... = 5
13
Prof. Analía A. Berretta
...36.... = 6
..1..... = 1
..81..... = 9
Resolvemos ejercicios combinados.
Repasamos:
El orden de las operaciones:
1) Primero resolvemos potencias y raíces.
2) Luego resolvemos multiplicaciones y divisiones.
3) En tercer lugar, sumas y restas
Y como ya sabíamos, cuando se presentan Paréntesis, corchetes y llaves, se resuelven en ese orden:
paréntesis, corchetes y llaves.
Calcular:
a)
100 − 36 + 100 − 36 − (5 − 1) 2 + 5 2 − 127 = 20
b) 12 - 4.3 + (12 – 4).3 -
c)
3
512 : 8 = 20
2 + 2 + 6.4.(9 − 4) − 130 + 39 = 597
3
d) 64 : ( 3
2
3
− 11) + 27 : 3 2 = 7
( )
3
e)
53 − 10.000 + (9 − 2) 2 + 32 : 32 = 155
f)
(2 ) − (
2 3
3
) (
)
1.000 − 20 + 2. 32 − 2 = 69
14
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Trabajo Práctico Nº 3
1) Resolver los ejercicios combinados en la hoja de trabajo:
a) (125 : 5 + 34 ) +
b) 15 −
2
400 + 5.6 = 109
( 100.8 + 38) + 1
5
(
− 10 = 98
)
c) 5 − 8 + 2 : 2 + 4 + 121 = 80
3
2
3
2) Completa las frases con los resultados obtenidos:
a)
El cuerpo humano está compuesto por........48..........billones de células.
25 + 4 + 21 + 36 : (3 − 2 ) + 5 − 2 2 =
9
b) El corazón bombea .....90000..............litros de sangre por día.
(9
c)
2
)
: 5 0 + 127 + 100 − 2 .10 3 =
Existen más de ....100..................articulaciones en el cuerpo.
[(3.4) + 3 .2 − ( 121 −
2
3
3
)]
343 + 400 =
3) Plantear y resolver las ecuaciones:
a)
Pienso un número, lo elevo a cuadrado, lo divido por 3 y sumo 2. Obtengo 50. ¿Qué número
pensé? x : 3 + 2 = 50
Rta:12
b) Calculo la raíz cuadrada de un número, lo multiplico por 2 y resto 5. Obtengo 11. ¿Cuál es el
2
c)
número? x .2 − 5 = 11 Rta: 64
Calculo la raíz cúbica de un número, lo multiplico por 2 y sumo 6. Su resultado es 14. ¿De qué
número se trata?
Para pensar:
3
x .2 + 6 = 14
Rta: 64
15
Prof. Analía A. Berretta
El resultado de 2 + 7 . 3 + 5, es igual a 28. Intercalar paréntesis de distintas formas, para obtener
los resultados: 32, 58 y 72.
RTAS:
A) (2+7).3 + 5= 32
b) (2 + 7) (3 + 5) = 72
c) 2 + 7 (3+5) = 58
¿Hay alguna otra forma de colocar los términos para obtener
otro resultado? Si. Conmuto términos. (5 + 2 + 7). 3=42
Algunos problemas:
1) Para terminar de pagar un auto que cuesta $ 25.000, sólo faltan 3 cuotas. Ya se pagaron $
23.200. ¿Cuánto falta pagar? Rta: Faltan pagar $1.800 y cuotas de $600 cada una.
2) El mes pasado, Mirta le debía a su mamá $ 120. Este mes compró 4 libros y le pidió dinero
nuevamente. Ahora le debe $200. ¿Cuánto gastó Mirta en libros?
Problemas con números naturales.
Jorge es 3 años menor que Álvaro, pero 7 años mayor que Alicia. Si la suma de las
edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno? Decimos que las edades de los tres
son:
j =
edad de Jorge
a =
edad de Álvaro
m =
edad de Alicia
RESOLUCIÓN:
Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Jorge más 3 años (Jorge es tres
años menor que Álvaro):
A=J+3
También sabemos que la edad d Alicia e es igual a la edad de Jorge menos 7 años (Jorge
es 7 años mayor que Alicia):
A = J -7
Ahora tenemos que:
edad de Jorge:
j
edad de Álvaro: j +3
edad de: Alicia j -7
La suma de las tres edades es 38:
j + j +3 + j -7 = 38
Resolviendo está última ecuación tendremos:
j = 14 (esta es la edad de Jorge)
Finalmente:
edad de Jorge:
j
= 14 años
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edad de Álvaro: j + 3 = 17 años
edad de Alicia j - 7 = 7 años
Comprobación:
14 + 17 + 7 = 38
38 = 38
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Practicamos más ecuaciones con todas las operaciones que vimos hasta el momento:
1) Ecuaciones con multiplicaciones, división, sumas y restas:
a)
b)
c)
d)
M . 5 = 250 . 3
Y: 3 = 4. 2
X – 1053 = 867
X + 124 = 165 + 159
2) Agregamos potenciación a las ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
a . 5 = 225 .5
3
m 2 = 110
5 2 + r = (3.25)1
[154 + (21 : 7) : 9)] + h = 175
2
3) Ahora resolvemos ecuaciones agregando radicación:
49 + 240
2
b) (4+ 3 +6 ). Z = 100 + 2
34
c) [150 − (25.3 + 6 ) + 4] + 1 = x
a)
-134 + W =
2
d)
0
33 + 2 3 − 13 + (5.3 − 6 ) − 40 = y
2
RESPUESTAS:
1)
a)
b)
c)
d)
m = 150
y = 24
x = 1.920
x = 200
2)
a)
b)
c)
d)
a=9
m=1
r = 50
h = 20
3)
a)
b)
c)
d)
w = 151
z=1
x = 66
34+81-40 = y
y = 75
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DIVISORES Y MÚLTIPLOS:
Si tengo 33 chocolates y quiero repartirlos entre 4 amigas en forma equitativa. ¿Puedo hacerlo sin que
sobren chocolates?
Ej:
33
4
1
33 = 4 . 8 + 1
8
ESTA DIVISIÓN NO ES EXACTA
Por definición de división, sabemos que:
Dividendo = divisor x cociente + resto.
Donde el resto siempre es menor que el divisor.
Por lo tanto Juan no puede repartir en forma equitativa.
Ahora, si Juan en lugar de 33, tiene 40 figuritas, ¿Puede en este caso repartir la misma cantidad para cada
uno de sus amigos?
Realizamos otra división:
40
0
.
O sea 40 = 5 . 8 + 0
8
5
ESTA DIVISIÓN ES EXACTA
Por lo tanto con 40 figuritas puede realizar una repartición equitativa.
En este último caso podemos decir que
8 está contenido una cantidad exacta de veces en 40.
8 es divisor de 40.
40 es múltiplo de 8
Definición de Divisibilidad
- Un número a es divisible por otro número b, con b ≠ 0, si el resto de dividir a por b es
cero. a = b . m + 0 ó a = b . m
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- Por lo tanto, si el resto de la división es cero decimos:
a es múltiplo de b
b es divisor de a.
- 1 es divisor de todos los números
- 0 es múltiplo de todos los números, excepto del 0.
Criterios de Divisibilidad
Divisible por 2
Cuando el número es par, o sea cuando termina en 0, 2, 4, 6 u 8
Divisible por 3
La suma de las cifras es múltiplo de 3
Divisible por 4
Cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4
Divisible por 5
Cuando termina en 0 ó en 5
Divisible por 6
Cuando es divisible por 2 y por 3
Divisible por 9
Cuando la suma de sus cifras, es múltiplo de 9
Divisible por 10
Cuando termina en 0
Divisible por 100 Cuando termina con dos ceros
Divisible por 1000 Cuando termina con tres ceros...
Practicando los criterios de divisibilidad:
16 _ es múltiplo de 3 y de 5.
165
98 _ es divisible por 5 pero no por 10.
985
4 _ _ es divisible por 10 y por 6 y es menor que 440.
420
23 _ es múltiplo de 6.
234
28 _ _ _ es múltiplo de 1000
28000
34 _
es múltiplo de 4 pero no de 5 y es menor que 346. 344
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Trabajo Práctico Nº 4
1)Dada la siguiente tabla, indicar con una cruz, Cuáles de los números que se encuentra en
la primer columna son múltiplos de: 2, 3, 4, 5, 6 , 9 o 10.
La forma en que lo averiguaste, debes volcarlo en tu hoja de trabajo.
Múltiplos Múltiplos Múltiplos Múltiplos Múltiplos Múltiplos Múltiplos
de 2
de 3
de 4
de 5
de 6
de 9
de 10
3.393
8.096
1.386
555
56
1.000
2.431
502
2) Colocar la cifra que falta para que el siguiente número:
5.47 _
a) Sea, a la vez, múltiplo de 3 y de 5
b) Sea, a la vez, múltiplo de 2 y de 5
3)
Completar la siguiente tabla:
Número
Divisores
Cantidad de
divisores
Primo o
compuesto
13
18
28
31
120
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Números primos y números compuestos
♦ Los números primos son aquellos que tienen únicamente dos divisores naturales:
son divisibles por sí mismos y por la unidad.
♦ Los números compuestos tienen más de dos divisores naturales.
♦ El 1 y el 0 no son primos ni compuestos.
Vamos a averiguar cuáles son números primos, de los 100 primeros números naturales.
Para ello realizaremos lo que hizo Eratóstenes, un matemático griego, que vivió alrededor
del año 200 AC y que, entre otras cosas, fue director de la famosa Biblioteca de
Alejandría.
El método que ideó este matemático se conoce como la “criba de Eratóstenes” y se trata de
“sacudir” la criba para desprenderse de los múltiplos de 2, de 3, y así sucesivamente, hasta
quedarse únicamente con los números primos.
El procedimiento es el siguiente:
1) Tachar el 1. (sabemos que no es primo).
2) El 2 es primo, por lo tanto, lo marcamos con un círculo, y tachamos todos
los múltiplos de 2.
3) El 3 es primo, por consiguiente lo marcamos con un círculo, y tachamos
todos los múltiplos de 3.
4) Cuando terminemos de hacer lo mismo con cada uno de los números
presentados en la tabla, habrán quedado sin tachar todos los números primos
menores que 100.
CRIBA DE ERATÓSTENES
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Preguntas sobre la criba:
1) ¿Cuántos primos pares hay?
2) ¿Todos los números impares son primos?
3) Buscar números consecutivos que sean primos.
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Todo número se puede escribir como el producto de factores primos y estos factores son
únicos.
Ejemplo: 12 = 2 2 .3
8= 2 3
A esta manera de escribir un número la llamamos factorización.
¿Cómo realizamos la factorización de un número?
Ej: Elegimos el nº 140
Colocamos el número y a continuación trazamos una barra vertical a la derecha del número.
Comenzamos la factorización, realizando las sucesivas divisiones del número por sus divisores primos.
El primer divisor lo colocamos a la derecha de la línea que trazamos.
El primer cociente lo colocamos debajo del 140.
Luego dividimos el 70 por su factor primo, que vuelve a ser el 2.
El resultado de esa división es 35. Ahora buscamos el factor primo de 35 que es 5.
El cociente de dicha división es 7, Ahora el factor primo del 7 es el mismo 7, cuyo cociente es uno.
140
70
2
2
35
5
7
7
1
Por lo tanto, la factorización del número 140 = 2 . 2 . 5. 7 =
22 . 5 . 7
Escribimos la factorización del número 315.
315
105
3
3
35
5
7 7
1
2
Por lo tanto la factorización del número 315 = 3 . 3 . 5. 7 = 3 ..5.7
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1) Escribir la factorización de los siguientes números:
a) 430
b) 1.000
c) 422
d) 555
2) Factorizar los siguientes productos, sin resolver.
a) 12 . 3
4
b) 78 . 52
c) 35 . 32
3)Escribir todos los divisores de 189, que sean múltiplos de 6.
4) Escribir todos los divisores de 144 e indicar los factores primos.
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