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TEMA 7: PROPORCIONALIDAD
GEOMÉTRICA
Índice
Definiciones
Teoremas y otros
resultados
• Homotecia (transformación del • Criterios de semejanza de
plano que NO es un movimiento)
triángulos
• Semejanza (transformación del
• Relación entre los
plano que NO es un movimiento)
perímetros y áreas de
• Semejanza e igualdad de
polígonos semejantes
polígonos.
 Aplicación en mapas
 Caso particular: Semejanza
• Teorema de Thales.
de triángulos.
 Aplicaciones del
• Planos y mapas
Teorema de Thales.
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Homotecia de centro O y razón k
Una homotecia conserva la forma de la figura y los ángulos, pero
NO las distancias.
Veamos a continuación su definición formal.
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Homotecia de centro O y razón k
Definición: Una homotecia es una transformación geométrica
que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por
un mismo factor, llamado razón. En general, una homotecia de
razón k diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro.
Definición (equivalente): se llama homotecia a la
transformación geométrica que hace corresponder a un punto A
otro A’, alineado con A y con el centro O, de modo que: OA’/OA=
|k|, siendo k≠0.
https://tube.geogebra.org/material/simple/id/265189
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Homotecia de centro O y razón k
Distinguimos dos tipos:
• Cuando k es positiva la homotecia se denomina directa y los
puntos homotéticos estarán a un mismo lado del centro O.
• Cuando k es negativa la homotecia se denomina inversa y los
puntos homotéticos estarán a distinto lado del centro O.
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Homotecia de centro O y razón k
Además, podemos distinguir dos subtipos dentro de cada tipo:
• Cuando k es positiva:
o Si 0<k<1, la figura homotética será más pequeña que la
original
o Si k>1, la figura homotética será mayor que la original
• Cuando k es negativa:
• Si -1<k<0, la figura homotética será más pequeña que la
original
• Si k<-1, la figura homotética será mayor que la original
https://tube.geogebra.org/material/simple/id/265189
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Semejanza
Definición: Una semejanza es la composición de una
homotecia con un movimiento.
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Semejanza
Definición: Una semejanza es la composición de una
homotecia con un movimiento.
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Igualdad y Semejanza de polígonos
Definición: dos polígonos se dicen semejantes si tienen sus
ángulos iguales y sus lados son proporcionales.
(es decir, dos polígonos son semejantes si tienen la misma forma
pero sus tamaños pueden ser diferentes).
Definición: Al cociente constante entre los lados de dos
polígonos semejantes se le llama razón de semejanza.
Definición: dos polígonos se dicen congruentes (o iguales) si sus
lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos
correspondientes tienen la misma medida.
(es decir, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y
tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas)
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Semejanza de polígonos
Proposición: una semejanza transforma polígonos en polígonos
semejantes, siendo la razón de semejanza la razón de la homotecia.
En particular, una homotecia transforma polígonos en polígonos
semejantes, siendo la razón de semejanza la razón de la homotecia.
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Semejanza de triángulos
Observación: en el caso del triángulo, la forma sólo depende de
sus ángulos.
Definición simplificada: dos triángulos son semejantes si sus
ángulos son iguales dos a dos.
¿Cuáles son iguales y cuáles solo semejantes?
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Criterios de igualdad de triángulos
1) Tienen los tres lados iguales.
2) Presentan un lado igual y los
dos ángulos adyacentes iguales.
3) Tienen dos lados iguales y el ángulo
comprendido igual.
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Criterios de semejanza de triángulos
1) Dos triángulos son semejantes si
tienen dos ángulos del primer triángulo
iguales a dos ángulos del segundo
triángulo
2) Dos triángulos son semejantes si
tienen dos lados del primero
respectivamente proporcionales a dos
lados del segundo y los ángulos
comprendidos entre los lados son
iguales
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Criterios de semejanza de triángulos
3) Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados del
primero proporcionales a los tres lados del segundo.
𝑎
Es decir, si
𝑎′
=
𝑏
𝑏′
=
𝑐
𝑐′
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Criterios de semejanza de polígonos
Los criterios de semejanza de triángulos NO son válidos para
otras figuras distintas.
Contraejemplo: Todos los rectángulos tienen los ángulos iguales
(más incluso de lo que se pide en el criterio (1)), pero no todos
son semejantes. Si lo son o no dependerá de la relación entre la
base y la altura.
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Criterios de semejanza de polígonos
Para saber si dos polígonos cualesquiera son semejantes, hay
que triangular las figuras y aplicar los criterios de semejanza de
triángulos a los triángulos resultantes.
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Propiedades de los polígonos
semejantes
Propiedad 1: La razón de los perímetros de dos polígonos
semejantes es igual a la razón de dos lados homólogos.
Demostración:
Dados dos polígonos semejantes de lados 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 y
𝑎1 ′, 𝑎2 ′, … , 𝑎𝑛′ es k, entonces la razón de semejanza es:
𝑎1′ 𝑎2′
𝑎𝑛′
=
=⋯=
=𝑘
𝑎1 𝑎2
𝑎𝑛
Y por tanto la razón entre los perímetros es:
Perímetro′ 𝑎1′ + ⋯ + 𝑎𝑛′
𝑘𝑎1 + ⋯ + 𝑘𝑎𝑛
=
=
=𝑘
Perímetro 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛
𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛
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Propiedades de los polígonos
semejantes
Propiedad 1: La razón de los perímetros de dos polígonos
semejantes es igual a la razón de dos lados homólogos.
Ejemplo 1:
Razón de semejanza:
6 6,4
5
=
=
=2
3 3,2 2,5
Razón entre perímetros:
Perímetro′
6 + 6,4 + 5
17,4
=
=
=2
Perímetro 3 + 3,2 + 2,5
8,7
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Propiedades de los polígonos
semejantes
Propiedad 1: La razón de los perímetros de dos polígonos
semejantes es igual a la razón de dos lados homólogos.
Ejemplo 2:
Razón de semejanza:
2,5
=2
1,25
Razón entre perímetros:
Perímetro′ 17,5
=
=2
Perímetro 8,75
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Propiedades de los polígonos
semejantes
Propiedad 2: La razón de las áreas de dos polígonos semejantes
es igual al cuadrado de la razón de dos lados homólogos.
Dados dos polígonos semejantes de lados 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 y
𝑎1 ′, 𝑎2 ′, … , 𝑎𝑛′ es k, entonces la razón de semejanza es:
𝑎1′ 𝑎2′
𝑎𝑛′
=
=⋯=
=𝑘
𝑎1 𝑎2
𝑎𝑛
Y la razón entre las áreas es:
′ 2
Área′
𝑎1
𝑎2′
=
=
𝑎1
𝑎2
Área
2
=⋯=
2
′
𝑎𝑛
𝑎𝑛
= 𝑘2
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Propiedades de los polígonos
semejantes
Propiedad 2: La razón de las áreas de dos polígonos semejantes
es igual al cuadrado de la razón de dos lados homólogos.
Ejemplo:
La razón de semejanza es:
3𝑎 3𝑏
=
=3
𝑎
𝑏
Y la razón entre las áreas es:
Área′ 9𝑎𝑏
=
= 9 = 32
𝑎𝑏
Área
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¿POR QUÉ ES ÚTIL ESTUDIAR LA
SEMEJANZA DE FIGURAS?
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Mapas
Definición: un plano o mapa es una representación gráfica de
una figura real de forma que sea semejante a ella.
Definición: Se llama escala del mapa a la razón constante entre
la medida de cualquier línea del mapa y su correspondiente
original (es decir, la razón de semejanza entre las líneas).
La escala puede escribirse como:
1
• Escala numérica:
o 1:100
100
• Escala gráfica
Un poco de historia
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Teorema de Thales
Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por
dos transversales, los segmentos de las
transversales determinados por las paralelas son
proporcionales.
T
S
L1
a
a= c
b d
b
c
L2
d
L3
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Ejemplo: En la figura, las rectas L1, L2 y L3 son paralelas y S y T
transversales a ellas. Calcula la medida del segmento x
L1
Ordenamos los datos de
acuerdo al teorema de Thales
T
x
15
S
Es decir:
𝐱
8
=
24
15
Y despejamos la 𝑥:
L2
L3
8
24
𝟐𝟒 𝒙 = 𝟖 × 𝟏𝟓
𝒙=
𝟖 × 𝟏𝟓
𝟐𝟒
𝒙=𝟓
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Recíproco del Teorema de Thales
Teorema de Thales: Si tres o más rectas paralelas son
intersecadas por dos transversales, los segmentos de las
transversales determinados por las paralelas son
proporcionales.
Teorema recíproco: Si un sistema de rectas determina sobre
otras 2 rectas concurrentes segmentos proporcionales, el
sistema está formado por rectas paralelas.
http://www.geogebratube.org/student/m6052
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Aplicaciones del T. de Thales
𝒂
1) Como
𝒃
=
𝒄
𝒅
𝒂
𝒄

=
T
𝒃
𝒅
S
L1
a
b
c
L2
d
L3
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Aplicaciones del T. de Thales
2) División de un segmento:
El teorema de Tales nos permite dividir con gran sencillez un
segmento AB en partes proporcionales a otros varios de
longitudes m, n, p.
𝑨𝑩
𝒙
=
𝒎+𝒏+𝒑 𝒎
𝑨𝑩
𝒚
=
𝒎+𝒏+𝒑 𝒏
Cuando dos de los términos conocidos
tienen el mismo valor, cualquiera de𝑨𝑩
los otros recibirá
el
𝒛
=
𝒂
𝒃
𝒎
+
𝒏
+
𝒑
𝒑
nombre de
=
𝒃
𝒙
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Aplicaciones del T. de Thales
Proposición: Toda paralela a un lado de un triángulo
determina con los otros 2 un nuevo triángulo cuyos
lados son proporcionales a los del primero.
Definición: dos triángulos se dicen de Thales o que
están en posición de Thales cuando tienen un
ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo
son paralelos.
31
Aplicaciones del T. de Thales
Propiedad: Los triángulos en posición de
Thales tienen sus ángulos iguales, ya
que están formados por la misma recta
que incide sobre paralelas, y sus lados
son proporcionales.
Por tanto, son semejantes y sus lados
tienen la misma razón de semejanza.
Recíprocamente, los triángulos semejantes siempre se pueden
poner en posición de Thales mediante un movimiento del plano
aplicado a uno de ellos.
= k  razón de
semejanza32
Aplicaciones del T. de Thales
Ejemplo 1:
A
En la figura, los triángulo ADE y ABC
están en posición Thales, luego:
AE
AD
= DE
=
AB AC
BC
D
E
O también
AD = AB
DE
BC
B
C
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Aplicaciones del T. de Thales
Cálculo de alturas que no podemos medir directamente:
Ejemplo 1: Altura de la pirámide de Keops
Datos:
• La pirámide tiene una base de lado 230 m
• h=1,46 metros
• s=2 metros
• S=85 metros
H(altura pirámide)
h (altura del bastón)
s (sombra)
C (cateto)
S
(sombra)
Lado de la base
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Aplicaciones del T. de Thales
Cálculo de alturas que no podemos medir directamente:
Ejemplo 2: La altura del siguiente edificio:
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