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Ángulos y Triángulos Integrantes: Felipe Lara Cristopher Oyarzún Mauricio Vásquez Asignatura: Álgebra Profesor: Orlando Torres mmm... ojalá te sirva este módulo Ángulos Para aprender sobre los ángulos primero tenemos que tener claros estos conceptos, esperemos que este cuadro te ayude Nombre del Conjunto Representación Punto P Recta M N Segmento Rayo M M N Plano N Símbolo P MN MN MN P Se lee Punto P Recta MN Recta NM Segmento MN Segmento NM Rayo MN Plano P Dimensión No tiene Una: Largo (Longitud) Una: Largo (Longitud) Una: Largo (Longitud) Dos: Largo y Ancho Ángulos Ahora si podemos comenzar. Un ángulo es la figura formada por 2 semirrectas que parten de un mismo punto. Las semirectas se llaman lados y el punto común vértice. Así como muestra la figura Ángulos Sistema de Medición de ángulos Este es el que se conoce como Sistema sexagesimal Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un grado sexagesimal. Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto. Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo. “Con esfuerzo y constancia lograras aprender los contenidos” Ángulos Tipos de Ángulos Tipo de ángulo Rango 0º 90º Ángulo Agudo 90º = Ángulo Recto Ángulos Ángulo Extendido 180º = 0º 90º Ángulo Obtuso Ángulo Convexo 180º 360º Ángulos 360º = Ángulo Completo Haber muchachos, después de esto nos vamos a meter en la materia de la clasificación de ángulos así que prepárense Ángulos Clasificación de ángulos Ángulos Adyacentes • Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice. BAC es adyacente con DAC Ángulos Clasificación de ángulos Ángulos Opuestos por el vértice • Dos líneas que se interceptan generan ángulos opuestos por el vértice. - Son ángulos no adyacentes. 1, 2, 3 y 4 • Son ángulos congruentes: 1= 2y 3= 4 Ángulos Clasificación de ángulos Ángulos Complementarios • Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°. +=90º • El BAC es adyacente al DAC y viceversa Ángulos Clasificación de ángulos Ángulos Suplementarios • Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°. +=180º • El BAC es adyacente al DAC y viceversa Ángulos QUIZ 1 Llegó la hora de hacer el primer quiz, esperemos que estés listo después de todo lo aprendido Va a ser un quiz de 3 preguntas simples con alternativas BUENA SUERTE!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1) ¿Qué tipo de ángulo sería este? a) Obtuso b) Convexo c) Agudo d) Extendido Ángulos QUIZ 1 Muy bien acertaste Sigue así!!!!!!!!! Vuelve si quieres Pasa a la siguiente pregunta Ángulos QUIZ 1 Estudia más e inténtalo de nuevo La tarde es larga !!!!! Vuelve a la pregunta anterior Ángulos QUIZ 1 2) ¿Cuál es el complemento de un ángulo de 21º ? a) 159º b) 69º c) 339º d) 29º Ángulos QUIZ 1 Muy bien acertaste Sigue así!!!!!!!!! Vuelve si quieres Pasa a la siguiente pregunta Ángulos QUIZ 1 Estudia más e inténtalo de nuevo La tarde es larga !!!!! Vuelve a la pregunta anterior Ángulos QUIZ 1 3) En los siguientes pares de ángulos cuales son opuestos por el vértice a) 1 y 2 b) 1 y 3 c) 2 y 3 d) 4 y 1 Ángulos QUIZ 1 Muy bien acertaste Sigue así!!!!!!!!! Vuelve si quieres Pasa a ver como te fue Ángulos QUIZ 1 Estudia más e inténtalo de nuevo La tarde es larga !!!!! Vuelve a la pregunta anterior Ángulos QUIZ 1 Calificaciones 3/3=Aprendiste MUY BIEN!!!!!!!! 2/3=Estas bien pero falta repasar 1/3=Necesitas más estudio 0/3= ESTUDIA!!!!!!!!!!!!! Vuelve a la pregunta anterior ¿Qué pasa si se intersectan paralelas con una recta llamada transversal? Si quieres saber mira la siguiente página Ángulos Ángulos entre paralelas • Dos rectas cualesquiera cortadas por una tercera determinan ocho ángulos. Ángulos Ángulos entre paralelas • Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulos: Ángulos interiores y exteriores Ángulos correspondientes Ángulos alternos Ángulos conjugados Ángulos Ángulos interiores • Los ángulos ubicados en la zona comprendida entre las rectas paralelas se llaman ángulos interiores. Ángulos Ángulos exteriores Los ángulos que no son interiores se denominan ángulos exteriores. Ángulos Ángulos correspondientes • Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal Ángulos Ángulos alternos internos • Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Ángulos Ángulos alternos externos • Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Los ángulos correspondientes son iguales entre sí. Los ángulos alternos internos son iguales entre sí. Los ángulos alternos externos son iguales entre sí. Y los ya estudiados opuestos por el vértice, también Ángulos Ángulos conjugados internos • Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos son internos, se los llama ángulos conjugados internos. Ángulos Ángulos conjugados externos • Si dos ángulos están situados en un mismo semiplano con respecto a la transversal y ambos son externos, se los llama ángulos conjugados externos. A ver A ver A ver..., que crees tú que pasa con los conjugados internos y externos. 1) Suman 90° 2) Son rectos 3) Suman 180° 4) Son agudos NO NO NO NO NO!!! DEBES DEDUCIR MEJOR, ASI ESTARÁS MEJOR PREPARADO PARA LOS QUIZESITOS Vuelve a la pregunta anterior BIEN!!!!! sigue avazando Los ángulos conjugados internos entre paralelas son suplementariosy también los ángulos conjugados internos entre paralelas Vuelve a la pregunta anterior Pasa a ver como te fue Ángulos QUIZ 2 Llegó la hora de hacer el segundo Quiz. Como ya estas familiarizado no hay mucho que decir, solo: BUENA SUERTE!!!!!! 1) En los siguientes pares de ángulos cuales son Interiores: a) 1 y 2 b) 3 y 4 c) 1 y 8 d) 7 y 2 Ángulos QUIZ 2 Estudia más e inténtalo de nuevo La tarde es larga !!!!! Vuelve a la pregunta anterior Ángulos QUIZ 2 Muy bien acertaste Sigue así!!!!!!!!! Vuelve si quieres Pasa a ver como te fue Ángulos QUIZ 2 2) En los siguientes pares de ángulos cuales son Correspondientes: a) 5 y 6 b) 3 y 4 c) 5 y 8 d) 2 y 6 Ángulos QUIZ 2 Estudia más e inténtalo de nuevo La tarde es larga !!!!! Vuelve a la pregunta anterior Ángulos QUIZ 2 Muy bien acertaste Sigue así!!!!!!!!! Vuelve si quieres Pasa a a la siguiente Ángulos QUIZ 2 3) En los siguientes pares de ángulos cuales son Conjugados externos: a) 1 y 7 b) 5 y 6 c) 4 y 8 d) 2 y 5 Ángulos QUIZ 2 Estudia más e inténtalo de nuevo La tarde es larga !!!!! Vuelve a la pregunta anterior Ángulos QUIZ 2 Muy bien acertaste Sigue así!!!!!!!!! Vuelve si quieres Pasa a a la siguiente Ángulos Vamos a hacer varios ejercicio simples en el que tendrás que descubrir los diferentes ángulos de las sig. figuras 1 = 67 º 3 2 1 2= 3= 5 4 4= 5= Ángulos 1 = 80 º 3 1 2 2= 3= 4= 4 Ángulos 1 = 55 º 3 1 4 2 2 = 120º 3= 6 4= 5 5 = 125º 6= Ángulos 1= 2= 3 1 2 3= 4 6 5 4 = 63º 5= 6 = 69º Ángulos 1 = 111º 5 2= 1 2 3= 4= 4 3 5= 6= Ángulos Muy Bien ¡¡¡¡¡¡¡¡Se Acabó!!!!!!!! Espero que te hayan servido esos ejercicios para practicar. Ahora se viene la unidad de TRIÁNGULOS Esperemos que estés listo SUERTE ; ) Triángulos Comenzaremos con el tema de los triángulos. Aquí estudiaremos a como clasificarlos, sus elementos primarios y secundarios, también haremos algunos quizes. Triángulos Lo primero que veremos será que son los triángulos y sus partes, para esto nos ayudará la siguiente imagen. Este triángulo nos dice las siguientes cosas: Triángulo ABC: Lados: BC=a; AC=b; AB=c Ángulos: CAB ; ABC ; BCA Triángulos Clasificación de los triángulos Según sus lados: 1) Equilátero AB BC AC Triángulos Clasificación de los triángulos Según sus lados: 2) Isósceles AB AC Triángulos Clasificación de los triángulos Según sus lados: 3) Escaleno AB ≠ BC ≠ AC Triángulos Clasificación de los triángulos Según sus ángulos: 4) Acutángulo: Todos sus ángulos interiores son agudos (miden menos de 90º) Triángulos Clasificación de los triángulos Según sus ángulos: 5) Rectángulo: 1 ángulo recto y dos agudos suplementarios Triángulos Clasificación de los triángulos Según sus ángulos: 6) Obtusángulo: 1 ángulo obtuso y dos agudos Triángulos Clasificación de los triángulos Propiedades de todo Triángulo II. Los tres ángulos exteriores suman en conjunto 360º. ’ + ’ + ’ = 360º Triángulos Clasificación de los triángulos Propiedades de todo Triángulo I. Los tres ángulos interiores suman en conjunto 180º. + + = 180º En un triángulo es posible construir diversos segmentos de gran importancia para su estudio, los que son llamados comúnmente “elementos secundarios”. Si , si ,si si,si si........ Pero también cabe mencionar que cada uno de estos elementos posee propiedades especiales y generan a su vez nuevos elementos. Elementos secundarios de un triángulo Altura Segmento perpendicular que une un vértice del triángulo con el lado opuesto. En un triángulo existen tres alturas y la intersección entre ellas recibe el nombre de Ortocentro. Según el tipo de triángulo, el ortocentro esta fuera, dentro o sobre un lado del triángulo. ¿Cómo se dibuja una altura?. Házme click Una altura, cuyo símbolo es h, es el trazo perpendicular que une un lado del triángulo con el vértice opuesto. La altura se traza con una escuadra, para lograr una mayor precisión. Ponemos un cateto de ella sobre el lado y el otro cateto debe pasar por el vértice opuesto. El punto donde se intersectan las alturas se llama ortocentro. En un triángulo rectángulo cada cateto es altura del otro, y el ortocentro es el vértice del ángulo recto. Elementos secundarios de un triángulo Mediatrices o Simetrales Rectas perpendiculares a cada lado lado del triángulo en su punto medio. Su intersección, llamado circuncentro, es un punto que equidista de los vértices del triángulo y es el centro de la circunferencia circunscrita. ¿Cómo se dibuja una simetral?. Házme click La simetral es una recta perpendicular que dimidia a un trazo. Se obtiene colocando la punta metálica del compás en ambos extremos del trazo ( P y Q ) y, con la misma medida, formamos un punto arriba y otro abajo de él. La recta que une los puntos formados (R y S) es la simetral. El símbolo de simetral es una s y el nombre del lado. Elementos secundarios de un triángulo Bisectrices Segmentos que dividen al ángulo del vértice en dos partes iguales. Las bisectrices del triángulo se intersectan en un punto del triángulo llamado Incentro, y que es el centro de la circunferencia inscrita. ¿Cómo se dibuja una bizectriz?. Házme click Utilizaremos el compás. Apoyamos la punta de metal en el vértice ( I ) y hacemos un arco con una medida cualquiera. Obtenemos 2 puntos R y T. Aplicamos la medida anterior -u otra mayor que la mitad del arco- desde T y desde R para formar un punto ( S ). Unimos el vértice con ese punto y obtenemos IS = bisectriz. Así: Las 3 bisectrices de un triángulo se intersectan en un punto llamado incentro. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Elementos secundarios de un triángulo Transversales de gravedad y Medianas Las medianas son las rectas que unen los vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos. Se cortan en el Baricentro o Centro de Gravedad, que es el centro geométrico del triángulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vértice y 1/3 del punto medio del lado opuesto. ¿Cómo se dibuja una mediana?. Házme click Tranversal de Gravedad Para dibujar esto no hay mucha dificultad. El punto donde se intersectan las tres transversales se llama Centro de Gravedad del triángulo. Medianas Las medianas quedan paralelas a los lados. Son los segmentos que unen los puntos medios del triángulo. Triángulos QUIZ “Larguito” Llegó la hora de hacer el Primer Quiz Larguito. Como ya estas familiarizado con los Quiz anteriores no hay mucho que decir, solo: BUENA SUERTE!!!!!! 1) ¿Según sus lados qué Triángulo es este si: AB AC? a) Equilátero b) Escaleno c) Isósceles Ángulos QUIZQUIZ “Larguito” 2 Estudia más e inténtalo de nuevo La tarde es larga !!!!! Vuelve a la pregunta anterior Ángulos QUIZQUIZ “Larguito” 2 Muy bien acertaste Sigue así!!!!!!!!! Vuelve si quieres Pasa a la otra pregunta Triángulos QUIZ “Larguito” 2) ¿Según sus ángulos qué Triángulo es este si tiene un ángulo obtuso? a) Acutángulo b) Obtusángulo c) Rectángulo Ángulos QUIZQUIZ “Larguito” 2 Estudia más e inténtalo de nuevo La tarde es larga !!!!! Vuelve a la pregunta anterior Ángulos QUIZQUIZ “Larguito” 2 Muy bien acertaste Sigue así!!!!!!!!! Vuelve si quieres Pasa a la otra pregunta Triángulos QUIZ “Larguito” 3) Encuentra el dato que falta: a) 15º b) 105º c) 120º d) 45º Ángulos QUIZQUIZ “Larguito” 2 Estudia más e inténtalo de nuevo La tarde es larga !!!!! Vuelve a la pregunta anterior Ángulos QUIZQUIZ “Larguito” 2 Muy bien acertaste Sigue así!!!!!!!!! Vuelve si quieres Pasa a la otra pregunta Triángulos QUIZ “Larguito” 4) Encuentra el dato que falta: a) 40º b) 120º c) 60º d) 90º Ángulos QUIZQUIZ “Larguito” 2 Estudia más e inténtalo de nuevo La tarde es larga !!!!! Vuelve a la pregunta anterior Ángulos QUIZQUIZ “Larguito” 2 Muy bien acertaste Sigue así!!!!!!!!! Vuelve si quieres Pasa a la otra pregunta Triángulos QUIZ “Larguito” 5) Descubre el valor de X a) 120º b) 45º c) 50º d) 30º Ángulos QUIZQUIZ “Larguito” 2 Estudia más e inténtalo de nuevo La tarde es larga !!!!! Vuelve a la pregunta anterior Ángulos QUIZQUIZ “Larguito” 2 Muy bien acertaste Sigue así!!!!!!!!! Vuelve si quieres Continuara ...
