Download Ángulo recto: mide 90º.

Preuniversitario
MOHEGAN
ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS I
GUÍA N° 3
Habilidades de la guía En el desarrollo práctico La PSU de matemática no es sólo dominio
teórico, sino también el dominio de las habilidades.
Aplicación: Es el desarrollo práctico tangible de la información que permite aplicar los
contenidos asimilados.
Análisis: Implica conocer, comprender interpretar e inferir información a partir de datos
que no necesariamente son de conocimiento directo.
Evaluación Es la más compleja de las habilidades, implica conocer, comprender,
discriminar, seleccionar y concluir información para argumentar una respuesta.
GEOMETRÍA: es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de las figuras.
IDEAS FUNDAMENTALES
Punto: elemento fundamental de la geometría, no tiene dimensiones, se le asigna una
letra mayúscula.
Recta: conjunto infinito de puntos alineados, no tiene principio ni fin, tiene una
dimensión.
A
B
AB
Semirrecta o rayo: es un subconjunto de una recta que tiene principio y no-fin.
AB
A
B
Segmento o trazo: subconjunto de una recta que tiene principio y fin.
A
B
AB
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Plano: conjunto infinito de puntos que forman una superficie que no tiene espesor, tiene
dos
dimensiones.
Espacio: es el conjunto de todos los puntos, tiene tres dimensiones.
Postulados importantes:
i)
Dos rectas sé intersectan en un solo punto.
A
ii)
A es el punto de intersección
La intersección entre dos planos es una recta.
Ángulo: es la unión entre dos rayos de origen común.
B
∡AOB= ángulo AOB
O
A
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗
O: vértice OB
OA lados del ángulo
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Medida de un ángulo: es la cuantificación de la mayor o menor abertura que existe entre
los lados del ángulo, la unidad más usada son los grados sexagesimales.
Ej. ∡AOB = 30º
Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida:
Ángulo agudo: tiene su medida entre 0º y 90º.
Ángulo recto: mide 90º.
Ángulo obtuso: tiene su medida entre 90º y 180º.
Ángulo extendido: mide 180º.
Ángulo completo: mide 360º.
Los ángulos cuyas medidas están entre 0º y 180º reciben el nombre de convexos
(obtusos) y los que tienen por medidas superiores a 180º y menores a 360º se llaman
cóncavos.
Posición relativa de rectas:
i) Dos rectas distintas en un plano si no sé intersectan se dicen paralelas.
L1
L1 // L2
L2
ii) Dos rectas que al intersectarse forman ángulos rectos, se dicen perpendiculares.
L2
L1L1  L2
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Bisectriz de un ángulo: es la recta que divide en dos ángulos de igual medida a un ángulo.
B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OT es bisectriz ⟺ ∡AOT = ∡TOB
T
O
A
Relaciones entre ángulos:
i) Si las medidas de dos ángulos suman 90º entonces se dicen complementarios. El
complemento de un ángulo es igual a 90º menos el ángulo.complemento de α = 90 − α
ii) Si las medidas de dos ángulos suman 180º entonces se dicen suplementarios. El
suplemento de un ángulo es igual a 180º menos el ángulo.suplemento de α = 180 − α
iii) Dos ángulos se dicen contiguos o consecutivos, si comparten el vértice y un lado y sus
ángulos interiores no se intersectan.
C
∡COB es consecutivo a ∡BOA
B
O
A
iv) Dos ángulos se dicen adyacentes si son consecutivos y suplementarios.
B
∡BOC y ∡AOB son adyacentes
C
O
A
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Teorema 1: sí dos rectas sé intersectan, entonces:


    180º
i
    180º

    180º
    180º
ii)


Teorema 2: dos paralelas que son cortadas por una transversal o secante forman 8
ángulos que cumplen con:
3
2 1
4
L1
L1 // L2
6
7 8
5
L2
Nombres de los ángulos:
Ángulos alternos internos Ángulos alternos internos Ángulos correspondientes
∡1 con ∡7
∡3 con ∡5
∡1 con ∡5
∡2 con ∡8
∡4 con ∡6
∡2 con ∡6
∡3 con ∡7
∡4 con ∡8
5
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Los ángulos que tienen igual medida son:
Ángulos alternos internos Ángulos alternos internos Ángulos correspondientes
∡1 = 7
∡3 = ∡5
∡1 = 5
∡2 = 8
∡4 = ∡6 ∡2 = 6
∡3 = ∡7
∡4 = ∡8
Polígono: es una figura plana cerrada formada por la unión de tres o más segmentos.
Polígono convexo
Polígono cóncavo
Triángulo: es un polígono de tres lados.
C

b
A, B y C son vértices
a
 ,  y  son
ángulos interiores
AB  c, BC  a y CA  b son
triángulo
A
c
lados
del
B
 
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Relaciones entre lados y ángulos interiores:
i) La suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercero; a + b > c.
ii) La diferencia positiva de dos lados de un triángulo es menor que el tercero;
iii) A ángulo interior mayor se opone el lado mayor.
iv) A ángulo interior menor se opone el lado menor.
v) A ángulos interiores iguales se oponen lados iguales.
b  c  a.
Clasificación de los triángulos:
i) Según sus lados:
i-1) Equilátero: sus tres lados iguales y sus ángulos interiores iguales (60º)
i-2) Isósceles: a lo menos dos lados iguales y si tiene uno distinto este se llama ∡base.
i.3) Escaleno: sus tres lados distintos.
ii) Según sus ángulos interiores:
ii-1) Acutángulo: sus tres ángulos interiores agudos.
ii.2) Rectángulo: tiene un ángulo interior recto.
ii-3) Obtusángulo: tiene un ángulo interior obtuso.
Teorema 3: Las medidas de los ángulos interiores suman 180º.
C

𝛂 + 𝛃 + 𝛄 = 𝟏𝟖𝟎°
A
 
B
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Ángulo exterior: es aquel que está formado por un lado y la prolongación del lado
consecutivo a él.
C
'

B
A
 ',  ' y  ' son ángulos exteriores
'  
'
Teorema 4: la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los interiores no
adyacentes a él.
'    
'    
'   
Teorema 5: la suma de las medidas de los ángulos exteriores es 360º
 '  '  '  360º
Puntos y rectas notables de un triángulo.
Altura: es la recta que pasando por un vértice intersecta al lado opuesto o a su
prolongación de manera perpendicular, la intersección de las alturas se llama ortocentro.
Bisectriz: es la recta que dimidia a un ángulo interior, la intersección de las bisectrices se
llama incentro.
Simetral: es la perpendicular que divide a un lado en dos partes iguales, la intersección de
las simetrales se llama circuncentro.
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Transversal de gravedad: es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado
opuesto, la intersección de las simetrales se llama centro de gravedad o baricentro.
Mediana: es el segmento que une los puntos medios de un par de lados del triángulo.
Observaciones:
i) En un triángulo equilátero todas las rectas notables y los puntos notables coinciden.
ii) En un triángulo isósceles, las rectas notables coinciden solo cuando intersectan el lado
distinto.
iii) En un triángulo escaleno nada coincide.
iv) Las medianas son paralelas al lado opuesto y miden la mitad del lado al cual es
paralela.
Congruencia de triángulos
Dos triángulos se dicen congruentes cuando son iguales en medidas y forma.
C
 '
   ' '
a
b
A
C’
c
a’
b’
B
A’
c’
B’
   '

   '
   '

ABC  A 'B ' C '  
a  a'

b  b '

c  c '
Para determinar si dos triángulos son congruentes, no es necesario probar que todos los
elementos correspondientes son iguales, si no basta con probar un grupo de elementos,
estos grupos de elementos se llaman postulados de congruencia.
i) (l, l, l) lado, lado, lado; si los tres lados correspondientes en dos triángulos son iguales,
entonces los triángulos son congruentes.
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ii) (l, a, l) lado, ángulo, lado: si dos de lados son iguales y el ángulo comprendido por ellos
son iguales, entonces los triángulos son congruentes.
iii) (a, l, a) ángulo, lado ángulo: si dos ángulos son iguales y el lado que forma parte de los
dos ángulos también lo es, entonces los triángulos son congruentes.
ZONA DE EJERCICIOS
1.
Si el suplemento del complemento de un ángulo es igual al triple del complemento,
entonces el ángulo mide
A)
B)
C)
D)
E)
2.
si la
15º
30º
45º
60º
90º
En la figura 1, OT es bisectriz de los ángulos AOD y BOC y el ángulo AOD mide 70º,
diferencia entre los ángulos AOB y TOC es 25º, entonces el ángulo BOC mide
D
C
A)
B)
C)
D)
E)
10º
25º
30º
60º
ninguna de las anteriores
T
B
O
A
fig. 1
3.
Cuatro rayos de origen común forman 4 ángulo que están en razón 2 : 3 : 5 : 8,
¿cuánto
mide el mayor de los ángulo?
A)
B)
C)
D)
E)
40º
60º
100º
120º
160º
10
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4.
Dos ángulos son tales que; ambos son suplementarios y el complemento de uno de
ellos es igual al suplemento del otro, luego el menor de ellos mide
A)
B)
C)
D)
E)
135º
120º
90º
60º
45º
5.
Si la razón entre dos ángulos complementarios es 2 : 7, entonces el menor de ellos
mide
A)
B)
C)
D)
E)
6.
la
20º
25º
30º
40º
45º
En la figura 2, AO // O’B’ y BO // O’A’, si la medida del ángulo BOA es 34º, entonces
medida del ángulo B’O’A’ es
O’
B
A)
B)
C)
D)
E)
7.
146º
134º
56º
43º
34º
B’
A’
O
A
fig. 2
¿Cuánto mide el ángulo x de la figura 3, si OD es bisectriz del ángulo COA?
A)
B)
C)
D)
E)
40º
60º
65º
70º
140º
D
A
x
C
40º
O
B
fig. 3
11
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8.
Si BO  MN y AO  O’P, entonces el ángulo NO’P mide (figura 4)
N
B
O’
A)
B)
C)
D)
E)
135º
105º
95º
75º
45º
75º
O
A
fig. 4
M
9.
P
¿Cuánto mide el ángulo CAB, en la figura 5?
D
A)
54º
B)
108º
C)
120º
D)
144º
5x
G
4x
E
C
6x
3x
2x
B
F
E)
A
162º
fig. 5
10.
En la figura 6, el triángulo ABC es rectángulo en C y el triángulo CDE es equilátero,
si CB es
perpendicular a DE, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I)
CE // AB
C
E
CAB  60º
II)
III)
DE = DB
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo II
Sólo III
Sólo II y III
I, II y III
Ninguna
A
B
D
fig. 6
12
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11.
En la figura Nº 7, AB // CD // EF y BC // DE, entonces el ángulo x mide
A
B
40º
A)
B)
C)
D)
E)
30º
40º
50º
20º
no se puede determinar
C
D
x
fig. 7
E
F
12.
En un triángulo isósceles el ángulo interior menor es la cuarta parte del mayor, el
mayor de los ángulos interiores puede medir
A)
B)
C)
D)
E)
145º
135º
100º
30º
20º
13.
Un rayo de luz nace del punto S (figura 8), se refleja en un espejo en el punto P, y
llega al
punto T, para que PT sea perpendicular a RS, x debe medir
T
A)
B)
C)
D)
E)
32º
37º
45º
26º
38º
x
P
x
fig. 8
R
26º
S
13
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14.
Si en un triángulo los ángulos exteriores están en razón de 2 : 3 : 4, luego el ángulo
interior menor de dicho triángulo mide:
A)
B)
C)
D)
E)
15.
100º
80º
60º
40º
20º
En el diagrama de la figura 9, ¿cuánto mide a?
A)
B)
C)
D)
E)
50º
65º
70º
105º
110º
40º
110º
2aº
aº
fig. 9
16.
En el triángulo ABC de la figura 10, H es ortocentro y D es punto medio de AB,
luego el
ángulo CAE mide
C
E
H
A)
B)
C)
D)
E)
17.
del
50º
40º
30º
20º
10º
50º
A
D
B
fig. 10
El triángulo ABC de la figura 11 es rectángulo en B, AX = AD y CY = CD, la medida
ángulo XDY es
A)
35º
B)
40
A
fig. 11
D
X
14
B
Y
C
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C)
45º
D)
50º
E)
60º
18.
Los triángulos ABC y AED son equiláteros (figura 12), si el ángulo DAC mide 15º,
C
entonces
el ángulo DFB mide
A)
B)
C)
D)
E)
D
120º
105º
95º
85º
45º
F
A
B
fig. 12
E
19.
En el triángulo de la figura 13, xº =
F
A)
15º
70º
B)
20º
C)
30º
E
D)
35º
B
E)
50º
20º
xº
A
G
xº
20º
C
fig. 13
15
Preuniversitario
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20.
¿Cuánto miden la suma de las medidas de los ángulos; aº, bº, cº y dº?
A)
360º
B)
440º
C)
540º
D)
720º
E)
900º
aº
bº
dº
cº
fig. 14
21.
En un triángulo, uno de los ángulos interiores es tres veces otro y el tercero mide
20º más
que la suma de los dos anteriores, ¿cuáles son las medidas de los ángulos?
A)
B)
C)
D)
E)
5º, 15º, 160º
10º, 30º, 140º
20º, 60º, 100º
25º, 75º, 80º
30º, 60º, 90º
22.
El triángulo de la figura 15 es equilátero, SI es altura, VA es simetral, luego el
V
ángulo SEA mide
I
A)
B)
C)
D)
E)
30º
45º
60º
90º
120º
E
S
A
N
fig. 15
16
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23.
Al trazar la bisectriz del ángulo exterior distinto de un triángulo isósceles y la altura
desde el vértice del ángulo interior distinto, ocurre que
I)
La bisectriz dibujada es paralela a la base del triángulo.
II)
La altura es perpendicular a la bisectriz trazada.
III)
Uno de los lados iguales es bisectriz del ángulo formado por la altura y la
bisectriz trazada.
¿Cuál(es) de las afirmaciones es (son) verdadera(s)?
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo I y II
Sólo III
I, II y III
ninguna
24.
En la figura 16, el triángulo ABC es rectángulo en C y el triángulo ABD es isósceles
de base AD, luego cuál de las afirmaciones es falsa.
C
D
A)
B)
C)
D)
E)
25.
∡ADB = ∡DAB
BD > AC
BD > BC
DA  BA
AC + CB < AB + BD
A
fig. 16
B
Las medidas de los ángulos x e y en la figura 17 miden respectivamente
A)
40º y 20º
xº
B)
20º y 40º
C)
30º y 60º
D)
30º y 40º
E)
los dos miden 30º
130º
40º yo
100º
150º
fig. 17
17
Preuniversitario
MOHEGAN
26.
El triángulo de la figura 18 es rectángulo en C, CD es altura y CE es bisectriz, si el
ángulo
ECD mide 10º, entonces el ángulo CAB mide
C
27.
A)
35º
B)
45º
C)
55º
D)
65º
E)
no se puede determinar
A
E
116º
B)
122º
C)
138º
PQR
P
28.
144º
E)
168º
es
T
2xº
xº
128º
Q
D)
B
fig. 18
En la figura 19, PT es paralela a QR, la medida del
A)
D
R
fig. 19
En la figura 20, el triángulo ESI es equilátero, SI // NA, si el ángulo IVN mide 55º y
IE = EV, entonces
la clasificación más precisa del triángulo VAN es
I
N
A)
B)
C)
D)
E)
obtusángulo
isósceles
rectángulo
escaleno
escaleno rectángulo
S
V
E
A
fig. 20
18
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29.
El triángulo ABC de la figura 19 es isósceles de base CB, si BC = CD = DE = EF = FA,
entonces la medida del ángulo BAC
A
A)
10º
B)
20º
C)
25º
F
E
D
D)
36º
C
E)
30.
B
18º
fig. 19
La medida del ángulo x en la figura 20 se puede conocer si:
(1)
(2)
se conoce el ángulo en A
se conoce el ángulo en B
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
3m
x
2m
m
B
fig. 20
19