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Dto. Matemáticas del I.E.S. “Salvador Serrano”. - 2 015 / 2 016
B
SEGUNDO DE ESO -.GRUPO
Prueba de Calificación de la 1ª Evaluación
Tema 1: DIVISIBILIDAD.
CUESTIONES: (Cada respuesta correcta sumará 1 punto y cada respuesta incorrecta restará 0.5 puntos)
Contesta si son ciertas las siguientes afirmaciones:
1. Hay números que tienen infinitos divisores.
2. Si a es un divisor de b, entonces b es un múltiplo de a.
3. Todo número es múltiplo y divisor de sí mismo.
4. El producto de dos números es igual al producto de su mcd por su mcm.
5. El producto de dos múltiplos de un número también es múltiplo de ese número.
6. Si a es múltiplo de b entonces mcm(a, b) = a
7. Dos números se dicen primos relativos si su único divisor común es el 1.
8. Los números primos no tienen divisores salvo el propio número.
9. Existen números primos tan grandes como se quiera.
10. Los múltiplos de un número son finitos (limitados).
V/F
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
EJERCICIO 1: Dados los números 90 y 105.
a)
(2 ptos)
Escribe los 10 primeros múltiplos de cada uno.
b)
(2 ptos)
Selecciona lo comunes del apartado anterior y determina el menor de entre ellos. ¿Cómo se llama?
c)
( 2 ptos)
Determina los conjuntos de los divisores de cada uno.
d)
(2 ptos)
Selecciona lo comunes del apartado anterior y determina el mayor de entre ellos.
¿Cómo se llama?
e)
( 2 ptos)
Razona si 90 y 105 son primos entre sí (primos relativos).
SOLUCIONES:
a)
·
90 : 90, 180, 270, 360, 450, 540, 630, 720, 810, 900, ...
·
105 : 105, 210, 315, 420, 525, 630, 735, 840, 945, 1050,...
b)
El menor de los comunes : 630. SE llama MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.
c)
Divisores de 90 : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 20, 30, 90
Divisores de 105 : 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105
d)
Comunes : 1, 3, 5, 15
El mayor de los comunes : 15. Se llama MÁXIMO COMÚN DIVISOR.
e)
90 Y 105 no son primos entre sí, porque tienen divisores comunes, distintos de 1.
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EJERCICIO 2:
a)
(2 ptos)
Escribe los 10 primeros números primos
b)
(4 ptos)
Determina las descomposiciones factoriales de 90 y 105.
c)
(2 ptos)
¿Cómo se puede determinar el nº de divisores que tiene cada uno sin calcularlos? ¿Cuántos tienen
90 y 105?
d)
(4 ptos)
Aplica las reglas estudiadas, a partir de las factorizaciones, para calcular el mcm y el mcd de 90 y
105
SOLUCIONES:
a)
Números Primos : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
b)
90 2
105 3
45 3
15 3
5
90 = 2 · 32 · 5
35
5
7
7
105 = 3 · 5 · 7
5
1
1
c)
El nº de divisores de un número se obtiene, multiplicando los exponentes de sus factores primos, después de sumarles 1.
Nº de divisores de 90 : (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 2 · 3 · 2 = 12
Nº de divisores de 105 : (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 · 2 · 2 = 8
d)
mcm (90, 105 ) = 2 · 32 · 5 · 7 = 630
mcd (90, 105 ) =· 3 · 5 = 15
PROBLEMA 1: (10 ptos) ¿De cuántas formas se pueden guardar 105 libros, con el mismo número de libros en
cada caja? ¿Cuántos libros sobran si se utilizan 11 cajas?
SOLUCIÓN:
Divisores de 105 : 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105
" Por tanto, los libros se podrán guardar :
En 1 caja con 105 libros, en 3 con 35, en 5 con 21, en 7 con 15, en 15 con 7, en 21 con 5, en 35 con 3 y en 105 con 1"
Si utilizamos 11 cajas, sobran 6 libros. Si dividimos 105 entre 11, el resto de la división es 6. 105 = 9 · 11 + 6.
PROBLEMA 2: (10 ptos) En la panadería de la esquina hay napolitanas recién hechas cada 10 minutos,
ensaimadas cada 14 minutos y rosquillas cada 21 minutos. Si a las 11 y cuarto de la mañana pude comprar un
producto de cada, recién hechos. ¿A qué hora podré volver a repetir una compra igual?
SOLUCIÓN:
Las napolitanas salen cada múltiplo de 10

Las ensaimadas cada múltiplo de 14
 Coincidirán la primera vez en el mcm(10, 14,21)

Las rosquillas cada múltiplo de 21

10 = 2 · 5 14 = 2 · 7 21 = 3 · 7. ⇒ mcm = 2 · 3 · 5 · 7 = 210
Habrá que esperar 210 minutos (3 horas y 30 minutos), es decir a las 14 : 45 h
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PROBLEMA 3: (10 ptos) Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 105 cm de largo y 90 cm de ancho,
en cuadrados lo más grandes posible. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? ¿Cuántos cuadrados
se obtienen de la plancha de madera?
SOLUCIÓN:
Para que los cuadrados se ajusten a los lados de la plancha, es necesario que su lado se un divisor común de 105 y 90.
El mayor de todos los posibles será el máximo común divisor.
En el ejercicio 3, calculamos el mcd = 15
Por tanto, la longitud del lado del cuadrado debe ser 15 cm.
En el largo encajarán 105 : 15 = 7 cudrados, en el ancho, 90 : 15 = 6 cuadrados. En total en la plancha : 7 · 6 = 42 cuadrados.
PARA SUBIR NOTA: (5 ptos) Un hombre estaba mirando un retrato y alguien le preguntó: “¿de quién es esa
fotografía?”, a lo que él contestó, “Ni hermanos ni hermanas tengo, pero el padre de este hombre es el hijo de mi
padre”. (“El padre de este hombre” quiere decir, el padre del que está en la fotografía) ¿De quién era la fotografía
que estaba mirando el hombre?
SOLUCIÓN:
Lo más interesante del problema no es encontrar la solución, sino la estrategia que se utiliza para lograrlo.
Se trata de simplificar el enunciado, ya que la dificultad del problema radica en que la información que nos da está
expresada de un modo muy confuso. En Álgebra es bastante frecuente sustituir expresiones, por otras más sencillas
que nos ayuden a abordar los problemas. Pues bien, en nuestro caso, actuaremos del mismo modo.
Como el hombre que miraba el retrato no tiene hermanos, quiere decir que es hijo único; esto nos permite
sustituir en la frase clave “el hijo de mi padre” por “yo”. Con lo cual la frase quedaría redactada como sigue: “Ni
hermanos ni hermanas tengo, pero el padre de este hombre soy yo”, Como se puede ver, la información ahora queda
más clara, y la solución resulta evidente: Si el padre de este hombre soy yo, el hombre de la fotografía es mi HIJO.
Alcaudete, 19 de octubre de 2015
3/2