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Coincidencias
Plan de clase (1/2)
Escuela: ___________________________________________ Fecha: _____________
Profr. (a): ______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 1 secundaria
Eje temático: SN y PA
Contenido: 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común
divisor y el mínimo común múltiplo.
Intenciones didácticas. Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el cálculo
del mínimo común múltiplo, empleando el producto de los factores primos.
Consigna. Reúnete con otro compañero y juntos resuelvan los siguientes problemas:
1. Se desea envasar el contenido de un tanque de líquido para limpieza en garrafones de
la misma capacidad. ¿Cuál es la cantidad mínima de líquido que debe tener el tanque,
de tal manera que se puedan utilizar garrafones de 4, 10 o 12 litros y que no sobre
líquido y los garrafones se llenen completamente?
2. En una línea de transporte de pasajeros un autobús A sale de la terminal cada 1 ½
hora; un autobús B sale cada 2 horas y un autobús C, cada 2 ½ horas. Si salieron al
mismo tiempo los tres autobuses a las 7 de la mañana del día lunes, ¿a qué hora y en
qué día vuelven a coincidir sus salidas?
3. Una sirena toca cada 450 segundos, otra cada 250 segundos y una tercera cada 600
segundos. Si a las 4 de la mañana coincidieron las tres, ¿a qué hora volverán a tocar
otra vez juntas?
Consideraciones previas:
Con respecto al primer problema es muy probable que los alumnos lo resuelvan listando
los múltiplos de cada uno de los números involucrados e identifiquen visualmente el
número buscado que en este caso es 60. Por lo que la cantidad mínima del tanque debe
ser de 60 litros.
En el segundo problema es probable que los estudiantes hagan una lista con los tiempos
que pasan cada vez que sale un autobús, hasta lograr que los tiempos coincidan:
Autobús A: 1 ½, 3, 4½, 6, 7 ½, …
Autobús B: 2, 4, 6, 8, 10, ...
Autobús C: 2 ½, 5, 7½, 10, 12½, …
Si es así, encontrar la respuesta al problema resulta muy laborioso. Otros, probablemente
renuncien a trabajar con números fraccionarios y decidan expresar los tiempos de salida
de los autobuses en minutos, es decir, 90, 120 y 150 minutos, respectivamente; luego
encuentren el mínimo común múltiplo haciendo un listado de los múltiplos de cada uno, lo
1
cual ya no es tan funcional; sin embargo, es muy probable que la mayoría intente
resolverlo por esta vía, incluso habrá quienes sí puedan resolverlo.
Éste sería el momento en que se les puede dar a conocer un procedimiento abreviado
para calcular el mínimo común múltiplo a partir de la factorización de números primos.
Se inicia por descomponer los números involucrados en factores primos, como se muestra
enseguida:
Descomposición en factores primos
90 2
120 2
150 2
45 3
60 2
75 3
15 3
30 2
25 5
5 5
15 3
5 5
1
5 5
1
1
Luego se escriben las descomposiciones en forma de potencia:
90 = 2 x 32 x 5
120 = 23 x 3 x 5
150 = 2x 3 x 52
Finalmente se toman los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente.
En este caso resulta:
mcm (90, 120, 150) = 23 x 32 x 52= 1800
Esto quiere decir que en un tiempo de 1 800 minutos volverán a coincidir los tres
autobuses, tiempo equivalente a 30 horas. Si coincidieron sus salidas a las 7:00 horas del
día lunes, volverán a coincidir el martes a las 13:00 horas.
Una forma simplificada de obtener el mcm de los números 90, 120 y 150 es la siguiente:
Descomposición en factores
primos
90, 120, 150 2
45, 60, 75
2
45, 30, 75
2
45, 15, 75
3
15, 5, 25
3
5, 5, 25
5
1, 1, 5
5
1, 1, 1
Por lo tanto, el mcm (90, 120, 150) = 23 x 32 x 52 = 1800
2
Algunos problemas complementarios relacionados con este contenido son los siguientes:

Encuentren el mcm de los siguientes números:
225, 300
380, 420
18, 24, 36
mcm = ______________ mcm = ____________
25, 75, 125
60, 75, 90
mcm = ___________
140, 325, 490
mcm = ______________ mcm = ____________
mcm = ___________
Respondan lo que se pide enseguida.

¿El mcm de dos números primos es el producto de ellos mismos? Justifiquen su
respuesta.

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada
minuto. A las 7:15 de la tarde los tres coinciden. ¿Cuántas veces volverán a coincidir
en los próximos cinco minutos y a qué hora?

Un autobús A hace su recorrido cada 8 días y otro autobús B lo hace cada 10 días. Si
coinciden en su salida en la central de autobuses el día 20 de noviembre, ¿cuándo
volverán a coincidir?

Carmen tiene un reloj despertador que suena cada 60 minutos, otro reloj despertador
que suena cada 150 minutos y un tercero que suena cada 360 minutos. A las 6 de la
mañana los tres relojes suenan al mismo tiempo. ¿A qué hora volverán a sonar otra
vez juntos?
3

Cierto planeta A tarda 150 días en completar una órbita completa alrededor de su sol.
Otro planeta B del mismo sistema solar lo hace en 225 días. Si cierto día ambos
planetas están alineados con el sol, ¿cuánto tardarán en volver a estarlo?
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para
usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
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Pobre
Todos iguales
Plan de clase (2/2)
Escuela: ___________________________________________ Fecha: _____________
Profr. (a): ______________________________________________________________
Curso: Matemáticas 1 secundaria
Eje temático: SN y PA
Contenido: 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común
divisor y el mínimo común múltiplo.
Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el cálculo
del máximo común divisor, empleando el producto de los factores primos.
Consigna: Organizados en parejas resuelvan los siguientes problemas:
1. Se quiere cortar dos tablones de madera, uno de 48 cm y el otro de 60 cm, en tablas
de la mayor longitud posible y que midan lo mismo, sin que sobre madera de ninguno
de los tablones.
a) ¿Cuánto medirá cada una de las partes?__________________________
b) ¿Cuántas tablas se pueden sacar? ______________________________
2. Se desea cubrir con azulejos cuadrados una pared de una cocina que mide 210 cm de
ancho por 300 cm de alto.
Si se quiere que los azulejos sean lo más grande posible y que no haya que romper
ninguno, ¿cuál debe ser la medida por lado de los azulejos?_____________________
3. En una bodega hay 3 barriles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su
contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales.
Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueda
envasar todo el vino contenido en cada uno de los barriles y el número de garrafas que
se necesitan.
4. Un comerciante desea poner en cajas 11 640 manzanas y 12 120 peras, de modo que
cada caja contenga el mismo número de manzanas o de peras y, además, el mayor
número posible. Hallar el número de manzanas o de peras en cada caja y el número de
cajas necesarias.
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Consideraciones previas:
El primer problema es muy sencillo, seguramente los alumnos lo resolverán listando los
divisores de cada uno de los números involucrados e identifiquen visualmente el número
buscado que en este caso es 12:
Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48,
Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Luego podrán determinar que en un tablón de 48 cm se pueden cortar 4 tablas de 12 cm y
que en el tablón de 60 cm se pueden cortar 5 tablas de 12 cm, lo que da un total de 9
tablas.
Con respecto a los problemas 2 y 3 ya no es sencillo resolverlos listando los divisores, sin
embargo, es probable que los alumnos intenten resolverlos así, pero encontrarán muchas
dificultades si optan por ese camino.
En este momento es preciso darles a conocer cómo se determina el MCD de varios
números.
Recuerde que el MCD de dos números naturales es el mayor divisor posible de todos
ellos.
Para hallar el MCD de varios números:
•
•
•
se descomponen los números en factores primos,
se pasa la descomposición a forma de potencia y
se toman los factores comunes con su menor exponente.
Al igual que en el caso del mcm, se puede descomponer cada uno los números en
factores primos. En este caso, resulta:
Descomposición en factores
primos
210 2
300 2
105 3
150 2
35 5
75 3
7 7
25 5
1
5 5
1
Luego se escribe la descomposición en forma de potencia.
210 = 2 x 3 x 5 x 7
300 = 22 x 3 x 52
Finalmente se toman los factores primos comunes con menor exponente y se multiplican.
En este caso resulta:
MCD (210, 300) = 2 x 3 x 5 = 30
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Esto quiere decir que los azulejos más grandes que se pueden poner sin que haya
desperdicio deben tener 30 cm por lado para que quepan 7 azulejos de ancho por 10
azulejos de altura.
Una manera de determinar el MCD de los números de una forma más simplificada es
como se muestra enseguida:
Descomposición en factores
primos
210, 300 2
105, 150 3
35, 50 5
7, 10
En este caso, sólo se descomponen los números en factores primos comunes. Por lo que
el MCD (210, 300) = 2 x 3 x 5 = 30, de donde la medida de los azulejos requeridos es de
30 cm de lado.
Esta forma directa puede aplicarse para obtener las respuestas de los problemas 3 y 4.
En el problema 3, el MCD (250, 360, 540) = 10. Por tanto, la capacidad máxima de las
garrafas es 10 litros y el número de garrafas que se necesitan es: 25 + 36 + 54 = 115.
La solución del problema 4, se obtiene de la siguiente forma:
MCD (11 640, 12 120) = 23 x 31 x 5 = 120. En cada caja habrá 124 manzanas o 124
peras.
Se requieren 97 cajas para las manzanas y para las peras 101 cajas, en total 198 cajas.
Una vez que los alumnos se les han mostrado cómo determinar el MCD y que han
realizado algunos ejercicios, se les puede plantear la siguiente pregunta para que
reflexionen en las nociones estudiadas:
¿Si un número es divisor de otro, entonces, este divisor es el MCD de ambos? Justifiquen
su respuesta.
Algunos problemas complementarios relacionados con este contenido son los siguientes:

Encuentren el MCD de los siguientes números:
225, 300
380, 420
18, 24, 36
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MCD = ______________ MCD = ____________
25, 75, 125
60, 75, 90
MCD = ___________
140, 325, 490
MCD = ______________ MCD = ____________
MCD = ___________

Se requiere embaldosar un patio de 1620 cm de largo por 980 cm de ancho con
baldosas cuadradas lo más grandes posibles y enteras. ¿Cuál será la longitud del lado
de cada baldosa?

Una fracción de cartulina mide 1 m por 45 cm y se quiere dibujar en ella una cuadrícula
del mayor tamaño posible cada cuadrado. ¿Cuál debe ser la medida de cada cuadrado
de la cuadrícula?

De un pliego rectangular de fomi que mide 96 cm de largo por 72 cm de ancho se
quiere cortar cuadrados de la mayor superficie posible. ¿Cuál debe ser la longitud del
lado de los cuadrados? ¿Cuántos cuadrados se pueden obtener?
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?
___________________________________________________________________
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3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso
para usted.
Muy útil
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