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I.E.S. “Salvador Serrano”
Departamento de Matemáticas – 2015 / 16 – SEGUNDO DE ESO
Tema 1: DIVISIBILIDAD.
Actividades para preparar el examen:
Teoría: Contesta si son ciertas las siguientes afirmaciones:
1. Un número es primo si su único divisor es el propio número.
2. Un número cualquiera tiene infinitos múltiplos.
3. Un número cualquiera tiene infinitos divisores
4. Entre los divisores de cualquier número siempre encontraremos al 1.
5. La suma de dos múltiplos de un número siempre es múltiplo de tal número.
6. La suma de dos divisores de un número siempre es divisor de tal número.
7. Un número es primo si sólo tiene 3 divisores.
8. Los divisores de un número son menores o iguales que el número.
9. Los múltiplos de un número son menores o iguales que el número.
10. Si a es múltiplo de b, entonces b es un divisor de a.
11. Un número es múltiplo de 2 si la suma de sus cifras es par.
12. Un número es múltiplo de 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
13. Los múltiplos de 8 también lo son de 2.
14. Los divisores de un número se puede obtener extrayendo factores de su descomposición factorial.
15. El mcm de dos o varios números es el menor de los múltiplos comunes.
16. El mcm de dos números se puede obtener dividiendo el producto de los números, entre su mcd.
17. Dos números siempre tienen un número finito (limitado) de múltiplos comunes.
18. Dos números siempre tienen un número finito (limitado) de divisores comunes.
19. Si multiplicas el mcm y el mcd de dos números el resultado coincide con el producto de tales números.
20. Dos números son primos relativos si el único divisor común es el 1.
21. Para que dos números sean primos relativos es necesario que los dos sean primos.
22. El mcd de dos o varios números se calcula multiplicando los factores comunes y no comunes elevados al
menor exponente.
23. El mcm de dos o varios números se calcula multiplicando los factores comunes y no comunes elevados al
mayor exponente.
24. Hay infinitos números primos.
1
2
3
4
5
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7
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21
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V/F
1.- Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas:
a) 49 es múltiplo de 9.
c) 4 es múltiplo de 16.
b) 24 es múltiplo de 3 y 4.
d) 3 es un divisor de 41.
2.- Descompón en factores primos los siguientes números: 90, 54, 200, 360, 210, 600, 72 y 800.
3.- Busca un número que tenga 18 divisores. Encuentra todos los números menores que 100 con exactamente
tres divisores, ¿qué tienen de especial?.
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4.- ¿Cuál es el número que al dividirlo separadamente entre 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da de resto 9?
5.- Completa la tabla, marcando con una cruz cuando el nº de la 1ª fila sea un divisor del nº de la 1ª columna.
Números
1
Divisores
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
12
15
18
6.- Escribe las lista de todos los números primos menores que 100.
7.- Dados los números: 90, 54, 81, 53, 36, 97 y 72.
a) A partir de las descomposiciones factoriales, calcula el número de divisores que tiene cada uno.
b) Determina el conjunto de los divisores de cada uno.
8.- El producto de dos números es 216 y su máximo común divisor es 6, ¿cuál es el mcm?
9.- En la tabla siguiente, rodea de azul los números divisibles por 2, de rojo los divisibles por 3, de verde los
divisibles por 5, de negro los divisibles por 7, de amarillo los divisibles por 11 y de morado los divisibles por 13.
¿Cómo son los números que no has marcado?
1
2
3
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6
7
8
9
10
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13
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23
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28
29
30
10.- Calcula el número que corresponde a cada factorización:
a ) 2 · 32 · 5
b ) 210
11.- Dados los números: a = 2 · 3 · 5
c ) 34
d ) 2 2 · 5 2 ·7
b = 23 · 5 2
c = 23 · 3
e ) 3 · 5 · 11
d = 2 · 3 · 5 2 . A partir de las factorizaciones:
a) ¿Cuáles se pueden dividir entre 8? ¿Por qué?
b) ¿Cuáles se pueden dividir entre 12? ¿Por qué?
c) ¿Cuáles se pueden dividir entre 15? ¿Por qué?
d) ¿Cuáles se pueden dividir entre 25? ¿Por qué?
e) ¿Cuáles se pueden dividir entre 9? ¿Por qué?
12.- Calcula el mcm y el mcd de los números siguientes:
a ) 72 y 90
b ) 100 y 120
c ) 45, 60 y 75
d ) 80, 180 y 200
e ) 30 y 40
f ) 660 y 825
g ) 25, 50 y 75
h ) 100, 125 y 150
En los apartados a ), b), e) y f ); comprueba los resultados, con la regla del producto: a · b = mcm · mcd
13.- ¿Qué cifra hay que añadir a la derecha de 23 para obtener un número divisible por 2 y por 3?
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PROBLEMAS.
1.- Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de
a tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.
2.- Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona.
¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?
3.- ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da de resto 9?
4.- En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere
envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que
en ellas se puedan envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se
necesitan.
5.- El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho.
Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que
no sea necesario cortar ninguna de ellas.
6.- Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja
contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número
de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.
7.- La cosecha de patatas de este año ha sido de 1000 kg. Para venderlas se desean envasar en sacos de
forma que en cada uno haya un número entero de kg. Busca todas las formas posibles en que se pueden
envasar.
8.- Tengo una colección con más de 400 cromos pero menos de 500. No recuerdo el número exacto, pero sé
que no puedo hacer grupos exactos colocándolos de 3 en 3 ó de 11 en 11, aunque si puedo de 20 en 20.
¿Cuál es la cantidad de cromos que tengo?
9.- El suelo de una habitación de 360 cm de largo y 300 cm de ancho se quiere cubrir con baldosas cuadradas
lo más grandes posible y sin tener que romper ninguna. ¿Cuál será la longitud de cada baldosa? ¿Cuantas
baldosas necesitaré?
10.- María, Rocío y Gloria, atletas estupendas de E.S.O. María, Rocío y Gloria, tardan en dar la vuelta al
campo de fútbol de Alcaudete 150, 180 y 200 segundos respectivamente. ¿Cuántas veces se habrán
encontrado al cabo de 1 hora en la meta, si salen al mismo tiempo a dar vueltas y llevan siempre el mismo
ritmo? ¿Cuántas vueltas habrá dado cada una?
11.- Tres autobuses, A, B y C, de una gran ciudad se encuentran en una parada a las 9:45 de la mañana. El “A”
hace un recorrido en 20 minutos, el “B” de 28 minutos y el “C” de 35 minutos. ¿A qué hora volverán a
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coincidir?
12.- Un carpintero dispone de tres listones de madera de 30, 45 y 60 cm de longitud, respectivamente. Desea
dividirlos en trozos iguales y de la mayor longitud posible sin desperdiciar nada. ¿Qué longitud debe tener
cada trozo?
13.- Silvia visita a su abuela cada 8 días y su hermano Alberto, cada 14 días. Hoy han coincidido en la visita.
¿Cuándo volverán a coincidir? ¿Cuántas visitas habrá hecho cada uno a su abuela?
14.- ¿De cuántas formas diferentes se pueden repartir en equipos iguales los 24 alumnos de una clase?
15.- Un viajante va a Sevilla cada 12 días, otro va a Sevilla cada 15 días y un tercero va a Sevilla cada 8 días. Hoy
día 10 de enero han coincidido en Sevilla los tres viajantes. ¿Dentro de cuántos días como mínimo volverán a
coincidir en Sevilla?
Alcaudete, 29 de septiembre de 2015
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