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DE GEOMETRÍA.
el ángulo B A
e es igual
.~ 4- 3
al ángulo 'D
ser paralelas las lineas A B Y
eD.
eE
( 3 2 9 ), por Fig.
El ángulo A B
e
es
igual al ángulo BCD por razón de las paralelas ( 3 3 o ):
luego los dos árigulos B A
e
y A B
e
valen juntos tanto
como los dos ángulos BCD y De E, esto es tanto como
el ángulo _Be E:
pero Be E es suplemento
el suplemento de Be A:
ángulos valen juntos
3 94
Y
luego los dos ángulos BAe y A B e
"'29 8 ) de Be A:
forman juntos
( 29 5
18
o
luego. estos tres
o •
La proposíclon que acabamos de probar mani-
fiesta al mismo tiempo que el ángulo estertor B e E de un
triángulo AB
BA
e'y
395
'394
e,
es igual á la suma de los dos interiores
A Re que le' están opuestos.
De las proposiciones poco ha probadas ( 3 9 3 Y
) sacarérnos
l.
o
que un ángulo ADB es igual á la suma 64.
de los dos ángulos D BE , DE B del triángulo D B E que for-
ma» sus dos lados prolongados con la perpendicular BE.
2. o
que será el mismo ángulo suplemento de los dos án-
gulos- D FE , DE P- que foi'man
con la orizont al. E F sus dos
lados prolongados.
Lo
1'. l'
salta á la vista,
por ser el ángulo A D B es-
terno al' triángulo D B E ( 3 9 4 ).
Lo
2. o
se prueba tanibíen con facilidad:
dos ángulos E y F del triángulo E FG
gulO' G_ dos ángulos rectos' ( 393
es igual á su opuesto A DE:
porque los
valen con el án-
): pero este ángulo. G
luego
&é.
Con igual facilidad y por los mismos principios pro~2
® Biblioteca Nacional de Colombia
ba-
ELEMENTOS
Hg.
baríamos , que el ángtúo _/1 D F es suplemento
gulos B y -E que forman
dos lados prolongados:
con la perpendicular
de los ánB E sus
y que vale la suma de los dos án-
gulos G F E Y G E F que forman sus mismos lados prolongados con la orízontal
39 6
FE.
Inferamos de lo probado ( 3 9 3 )
l."
que un
triángulo rectilineo no puede tener mas de un ángulo rectos
en cuyo caso se llama triángulo rectúngulo : tal es el trián6 2. gulo ABe, cuyo ángulo A es recto.
gulo rectángulo,
tenusa. B
39 7
e es la
2 ."
El lado de un trián-
opuesto al ángulo recto,
se llama
hypo-
hypotenusa del triángulo rectángulo BAC.
Qlle con mas razon no puede tener mas de
un ángulo obtuso; en cuyo caso se le llama triángulo
'6 3.
tusángulo:
tal es el triángulo A
eB ,
cuyo
ángulo
ob-
e
es
obtuso.
398
'3." Pero puede tener todos sus á1lgulos agudos:
y en este caso se le llama triángulo acutángulo ; tal es el
'6 ).
A B C.
triángulo
39 9
4. o Qge conociendo dos ángulos ó solamente la
suma de dos ángulos de un triángulo , se conoce el tercer ánrestando de 18 o
gulo,
o
la suma de los dos ángulos
co-
nocidos.
4oo
5 . e ~e quando dos ángulos de un triáttgulo
son iguales á das ángulos de otro triángulo, el tercer (íngula del uno es por precision igual al tercer ángulo del otro:
porque
los tres ángulos
de cada triángulo
:.180
0
•.
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valen juntos
DE GEOMETRÍA.
's.
'4 01'
gulo
o
245
QEe los dos ángulos agudos de un trian-
rectá1zgu¡o son
siempre
complemento
el uno del
Ot1"0.
Porque una vez
que vale, 9 o
ángulos de un triangulo,
también 9 o o
4o2
de
(
el uno
o
de los tres
los otros dos juntos han de valer
39 3 ) .
( 3 68
Hemos probado arriba
trazar , siempre que se quisiere ,una
circunferencia
que
círculo por tres puntos' dados, con tal
nea recta ; de donde inferirémos
). que se puede
no estén en li-
que
Se puede trazar siempre que se quisiere una circunferencia de circulo , por los vértices de los tres ángulos de un
triángulo.
Esta operaclon se llama circunscribir un círculo á un
y clrcunsoribir un clrculo á una figura qualquíe-
triángulo;
ra , es en general trazar
círculo,
al rededor
de dicha figura un
de modo que todos los 'ángulos de la figura estén
en, la circunferencia. del círculo.
ra qualquiera á un círculo,
dor de dicho 'círculo
Y circunscribir una figu-
es ,en general,
una figura
l
trazar al rede-
de modo que todos sus
'"
lados' toquen' dicha circunferencia.
4o3
De aquí es facil inferir
l.
lO
que si dos ángu-
los de un. triángulo son iguales,' los lados opuestos á dichos
ííngulos serán también iguales :' y recíprocamente lSi dos lados de
Un
triángulo' son iguales, los ángulos opuestos' á estos
lados serán también iguales.
Porque si trazamos una, circunferencia
por los tres án-
Q_3
gl1-
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~46
. ELEMENTOS
Fig. gulos Á, B, C, y fueren iguales los ángulos A B C , A CB:
A D C , A E B, cuyas mitades les sirven de medida ( 3 7 2 ), serán indispensablemente ignales : luego
las cuerdas A C, A B serán iguales ( 2 7 8 ). y recí-
66. los arcos
procamente
, si los lados A C, A B son iguales, los arcos
A D C, A E B serán iguales:
luego los ángulos A B C,
A C B que tienen por medida la mitad de estos arcos, serán iguales.
4o4
"0
Luego los tres ángulos de un triángulo equiláte-
son iguales, y vale por consiguiente cada uno el tercio de
r80oó60c•
/
4 05
67.
2.
e el
Que en un mismo triánguloAB
o
mayor
lado está opuesto al mayor ángulo, el menor lado .al menor
ángulo, y recíprocamente.
Porque si el ángulo A B C es ma.yor que el ángulo
A CB , el arco A D
279_
).
mayor que el arco _-4 E B,
la cuerda A
por consiguiente
(
e será
e mayor
y,
que la cuerda A B
La recíproca se demuestra del mismo modo.
De la ígualda4 de los Triángulos.
4 o6
Hay muchas proposiciones
estriba en la igualdad
se consideran:
de algunos triángulos
que en ellas
es, pues, del caso declarar aquí las señales
que manifiestan 'esta igualdad.
4o7
cuya demostracíom
1."
i.
Son iguales dos triángulos quando tienen
ángulo igual comprebendido entre dos lados iguales,
uno al suyo. Si el ángulo B del triángulo
BA
e es
Uf"
cada
igual
al
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DE
GEOMETRt.A.
247
al ángulo E del triángulo E D F: el lado AB igual al la- Fig.
do DE, Y el Iado Be igual al lado E F: se probará que 6 8.
estos dos trIángulos son iguales.
Concíbase la figura A B e sobrepuesta
á la figura
DE F, de modo que el lado .A B esté exactamente sobre
su igual DE: ya que el ángulo B es igual al ángulo E,
8 6 ), y el punto e caerá sobre el punto F , pues es , por 10 supuesto, B e igual
á E F. Una vez que está el punto A en D , Y el punto
el lado B
e en
e caerá
sobre E F (
F, es evidente
que A
2
e se
aplica exactamente
so-
bre D F ,y que por lo mismo convienen perfectamente
los
dos triángulos.
Luego para construir un triángulo conociendo dos de
sus lados .Y el ángulo que forman,
se tirará una linea DE
68.
igual al uno de los lados conocidos : sobre esta linea se formará un ángulo
( z9o
) DE F igual al ángulo cono-
cido , y haciendo E F igual al segundo lado conocido,
se
tirará DF ,y estará formado el ángulo que se desea.
4o8
2. o
Son iguales dos triángulos,
quando tienen
un lado igual á un lado adyacente á dos ángulos iguales,
cada uno al suyo. Si el lado ABes
igual al lado DE,
el ángulo B igual al ángulo E , Y el ángulo A igual al
ángulo D, los dos triángulos serán iguales.
Imagínese. el lado .A B aplicado exactamente
. lado DE,
B e se confundirá
sobre el
con E F, por ser el ángu-
8 6 ); por ser el ángulo A
igual al ángulo D, e1Iado .A e se confundirá con D F: lue-
lo B igual al ángulo E (
2
Q_4
® Biblioteca Nacional de Colombia
go
68.
ELEMENTOS
Fi3' go A e y B e se .encontrarán
en el puntó F : '.luego los.
dos triángulos serán iguales.
Luego
para construir un triángulo,
sus lados .Y los dos ángulos adyacentes,
D E igual al lado conocido:
conociendo uno de
se tirará una linea
en los estremos de esta llnéa
E;
y D iguales á, las
dos ángulos conocldos : hecho esto, los lados E F , D E
se formarán
( 2 9 0_)
los ángulos
de estos ángulos terminarán
por su concurso
el triángulo
que se deseaba cOl1struir.
4 o9
69.
Podemos también
valernos
de la última pro-
posicion para demostrar que las partes A e, B D de dos
paralelas interceptadas entre otras dos paralelas A B ,
e D,
son iguales.
A E , B F á la linea
Bájense las dos perpendiculares
e D:
los ángulos A E e, B F D son iguales , pues son
y por razon de las paralelas A
rectos:
B F,
el ángulo E A
e es
e
y B D , A E y,
igual al ángulo F B D ( 3 3 5' ).
~uera de esto, A E es igual á B'F ( 324
dos triángulos
A E C, B F D son iguales,
igual un lado adyacente
al suyo:
4
1o
luego A
): luego los
porque tienen
á dos ángulos iguales,
e es igual
cada uno
á B D.
3. o Son iguales dos triángulos,
sus tres lados iguales cada uno al
quando tienen
SUJIO.
Sea el lado A B igual al lado DE, el1ado B e igual
68.
al lado E F, Y el lado A
e igual
nese el lado A B exactamente
plano
B A e echado sobre
al lado D F. Imagf ..
aplicado sobre DE,
el plano
Y el
de la figura DE F:
el
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DE GEOMETRÍd.
el' punto C' se cpnfundirá
Fig.
'con:d pum!:> F.
, Desde los PU¡1t05J!lJy E 'como centros,
y con los ra ..
dios DF y EF, trácense tos dos arcos JK y H G que se
e ha
corran en F: es evidente que el punto
punto' dé
JK
, por ser A
e igual
á D F: el' punto
de ser, también a1gun punto de G H,
E F'; ha de ser por consiguiente
único punto
de ser algun
por ser B e igual á
el punto F,
que es el
que' dichos dos arcos pueden, tener
un mismo lado de DE:
lo .C0n el 'ott;o ,
y
e ha
á
COllll1l1
luego se confunde el un triángu-
.
son por lo mismo, igua}es. '
Luego para construir un ti-iállgulo cuyos tres lados son
conocidos, es menester tirar una recta D 'E igual al.uno
con un radio igual alsegundo
el arco
J K:
lado "conocido, se descríbl-
desde el punto E como centro y con un
radio igual al tercer lado conocido,
arco
g",
desde el púnto 'D corno centro Y,
los tres lados conocidos.;
r1Í
de6
e u, finalmente
por .el punto
se trazará también el
F se
del interseccion
tirarán á los puntos D, y F las rectas F D Y FE.
De los Quadrildteros.
'4
1 1
A' los triángulos
se siguen los quadriláteros,
que son las figuras terminadas por guarro lineas rectas; pero
Ilamarémos
simplemente
quadriiátero una figura,
en la qual
7 o.
no hubiere .lado alguno paralelo á otro, cuya figura suelen
algunos
4
llamar trapezoide.
12
Llarnarémos trapecio, un quadrllárero
, en el
qual no hay sino dos lados como A D , B e paralelos.
7 l.
Lla-
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ELEMENTOS
25Q
Llamamos paralelogramO. un quadrílárero ,
Fig.
72,73, yos lados opuestos son paralelos.
CU~
Por donde sevé qué pue-
74,75· de haber quatro especies de' paralelogramos ~ que liemos de
distinguir
4' 14
7
2..
con nombres particulares.
.
4
QQando los ángulos y lados contiguos del
l. o
paralelogramo
15
J
son desiguales,
se le llama romboide.
Si los lados del paralelogramo
2- • o
les y desiguales los ángulos
contiguos,
fueren igl1a~
se le llamará rom-
7 3· ha ó losange.
4
3 . o Llamase rectángulo el paralelogramo
16
y por consiguiente
do son rectos,
quan-
iguales todos sus ángu-
.74. los, y desiguales los lados contiguos.
4
17
4.
o
y se le llama quadrado al paralelogramo,
7 5. quando son iguales los lados y los ángülos.·
Llamamos diagonal en un quadrllátero
418
7 o. nea como A
4
7lo
7
l.
tirada desde un ángulo á su opuesto.
El lado inferior B e de un quadrílátero
19
llamarsc.éare
420
e
una li-
de dicho quadrilátero,
j.
suele
,.
Llámase altura de un quadrllátero la perpendí-
cular A E tirada á la base desde el lado opuesto.
4
2 1
Ya podemos probar que todos los ángulos [un-
7 o. tos de un quadrilátero
los rectos.
AB e D son iguales á quatro ángu ..
Porque si tiramos la diagonal A
drilátero
en dos triángulos,
que los del quadrilátero:
e , dividirá
el qua-
cuyos ángulos son los mismoS
pero los ángulos de cada trián-
gulo valen dos ángulos rectos ( 393
): luego los ángu-
los
® Biblioteca Nacional de Colombia
DE
GEOAfETRÍA.
los de todo el quadrllátero
2.
5
1
valen juntos dos veces dos án- Fig.
gulos rectos, ó quatro ángulos rectos.
422
También
probaremos que en un paralelogramo
ó B JI D son igua- 7
A B CD los ángulos opuestos A .Y C,
2.
les, como tambien los lados opuestos AD, B C JI AB, De.
Porque ya que los lados A D , B
la naturaleza
y
e
del paralelogramo
valen juntos dos rectos
( 4
e son
1
paralelos por
3 ), los ángulos D
( 3 3 ¡ ). Por la misma ra-
zon A y D valen juntos dos ángulos rectos:
e tienen
luego A y
un mismo suplemento D : luego son iguales (2 9 7)'
Del mismo modo dernosrrarémos que By
D son también
iguales.
_Por ío que, mira- á-Jl segunda p_arte de la proposicion,
queda probada arriba
( 4 o9
) una vez que son parale-
los los dos lados opuestos de un paralelogramo.
f
4
'
De donde- Infetírémos l. o que si en un para- 7 4.
lelogramo un ángtÑo .A es recto', lo seráil todos quatro, 7 5.
2
3
Porque si
D
( 332
),
e es .recro ,
una vez que es suplemento dé
D será también recto:
y como D es tam-
bien suplemento .de A , será tambien recto el ángulo A.
42 4
2.' o Si dos lados AD " A B contiguos á' un án7).
gulo A, son. iguales, los quatro lados serán- iguales.
4
son
2
l.
5
o
3 . o Q!!e las propiedades de los paralelogramos
que tengan los lados. opuestos -paralelos.
tengan estos mismos lados opuestos ig:uale-s.. 3 /
2.
o
que
que tengan,
iguales los ángulos opuestos: y que por consiguiente para saber si una figura de
quarro lados es un paralelogramo,
bas-
® Biblioteca Nacional de Colombia
Tomo
251
_L.
A
'13
38
60
B
1
e
e
A
64
F
13
11
D
G
F
E
6"7
.
68.E
'B
~
~-_·--·_.7C~
A
69
® Biblioteca Nacional de Colombia
~
ELEMENTOS
Fig. basta saber si concurren en ella alguna de estas tres condíciones .
.74.
4:2 6
La diagonal A C divide todo paralelogramo en
dos triángulos iguales. Porque estos dos triángulos tienen todos sus lados iguales ( 4
2 2 ):
luego son iguales ( 4
el
o ).
42 7 . De aquí inferirémos. que si un quadrilátero
~BCD tubiere iguales JI paralelos dos ladas opuestos AB,
CD , tendrá tambien iguales y paralelos los otros' dos lados AD .uc,
Porque titando la diagonal A·C, resultarán
los dos
triángulos iguales 4BC, A DC; luego, el.Jado A D será
igual al lado B C, y el ángulo Be A igual
CAD ( 330
Y Be
),
y por censiguienre- (_ ~ 34
al .ángtl'lo
)', AD
serán paralelos.
De los PO!'yg01lpS.
'4
8
Qgando .son mas' de qu<nro. las, Iíneas <C]l1epter;
minan un espacio, forman -una figura' que se -Ilarna po/ygono. QEando tiene
5 lados se llama ••••..
pentágono.'
2
j
~
••
,
..
:7
.. eptá,gono.
. octógono.
8
9
11
o
I
exagono;
I
;a
.
'
No aumentamos mas esta lista,
enneagono.
. dedacogono,
porque del mismo modo se
dá á conocer una figura con nombrar
el número de sus
la-
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DE GEOMETRiA.
lados,
como usando de estos diferentes nombres, cuya muí- Fig.
titud embarazaría
ínutilmente
la memoria:
si hemos espe-
cificado los espresados, es porque ocurren con mas frecuencia que los demás.
4
2
9
En un polygono
se llama ángulo saliente todo
ángulo cuyo vértice está fuera de la figura:
ángulos A, B, D,
tales son los
e &c.
7 8.
Angulo entrante llamamos aquel cuyo vértice se mete
en la figura:
4.3 o
el ángulo
eD E
es entrante.
77.
Todo polygono puede ser dividido por diagonales
tiradas desde uno de sus ángulos,
en tantos triángulos , me-
nos dos, quantos lados tiene.
Basta mirar las figuras A BCD E Y A BCD E F 7 6.
para hacerse cargo de que es verdadera
generalmente
esta 7 7.
proposicion.
4 3
Luego para hallar la suma de todos los ángu-
1
los interiores
18
de un polygono qualquiera , se ha de tomar
o" tantas veces, menos dos,
como lados tiene.
Porque es evidente que la suma de los ángulos interiores de los polygonos
A BCD E Y A BCD E F es la 7 6.
misma que la suma de los ángulos de los triángulos A B C, 7 7 •
./leD &c.
en que están divididos los polygonos.
Pero la
suma de los tres ángulos de cada uno de estos triángulos
es de
18
oo
:
se ha de tomar , pues,
18
o
e
tantas ve-
ces quantos triángulos hay: esto es ( 4 3 o ) tantas vetes menos dos,
guantos lados tiene el polygono .
.Conviene reparar
que en la figura A BCD E F el 77.
án-
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ELEMENTOS
254
eD E
Hg. ángulo
antecedente,
para ser comprehendldo
se ha de contar,
11
e DE
no por la parte
terior al polygono , sí por la parte A
los ángulos A DE,
en la proposlcion
A De;
eD E
es-
compuesta de
es un ángulo
de
mas
de
8 o o que debe considerarse como ángulo del mismo moque no llegase á
do que otro qualquiera
no es otra
cosa un ángulo
de que una linea
recta
(
2
18
o o.
Porque
8 4 ) que la cantidad
se ha movido
al rededor de un
punto fijo: y sea que se mueva de mas ó menos de
18
o
Q
la vuelta que dá se llama siempre ángulo.
4 3
Si se prolongaren
2
ácia una misma direccíon
todos los lados de un polygono que no tubíese ángulos enla' suma =de todos los ángulos esteriores valdrá
trantes,
7 6. 3 6 o o
,
sea el que fuere el número de los lados. del poly-
gano.
Porque 'cada 'ángulo esteríor es suplemento
10 interior contiguo;
así los ángulos
res,
valen tantas veces
tomados juntos,
lados hay:
suma,
esreríores
18
pero para que todos los interiores
no falta sino dos veces
18
del á,ngu-
oo ó
é
o
ct
ínterloqual1tos
valgan esta.
36oo
;
luego
los ángulos esteriores valen juntos 360.°
43 3
Llámase polygono
regular aquel cuyos
lados
son todos iguales entre sí , >y 10s ángulos también.
Es , pues', facíl hallar siempre que se quiera,
quanto
'Vale cada ángulo interior de un polygono regular.
Porque buscando por' medio de lo dicho antes ( 4 3
quanto valen juntos todos
los ángulos interiores,
1)
bastará
di-
® Biblioteca Nacional de Colombia
DE
G_EOMET
s ! A.
el valor total por el número de los lados. Por egem-
dividir
plo, si se pregunra quánto vale un ángulo interior
pentágono regular,
como
5011
cinco veces menos dos,
de U11
cinco sus Iados , tomo r 8
esto es., .tres veces;
Fig.
0.°
hallo qu~
5 4 o o es el \ alor de los cinco ángulos interiores
: luego
ya que son todos iguales entre sí , cada uno será la quinta parte de 5 4 o
o
Ó
1o
8o
•
Si en unpolygono regular ABCDE
se. tiran 78.
desde les uértices A y B de dos ángulos inmediatos las li434
neas AF , B F que dividan cada uno de dichos ángulos en
dos ángulos iguales, dichas lineas tomadas desde. los vértices de los ángulos A y B hasta
su punto. de concurso F,
serdn iguales, y todas las demas lineas C F , D F , E F tidicbo punto F á los demás ángulos, serán tam-
radasdesde
bien iguales á las primeras.
Porque
l.
o
el ángulo total
en A es igual al- ángulo
_ total en B , pues suponemos que la figura es regular : luego el ángulo H que es la mitad del primero,
ángulo
J
es igual al
que es la mitad del segundo : luego en el trián-
gulo A F B los dos -lados FA Y F B son iguales
.2.
o
e 4 o 3 ).
La linea Fe es igual-á la linea FB. Lo demos-.
trarémos
si probamos que el triángulo
triángulo
A F B: de donde inferirémos
F Be. es· igual .. al
que es isósceles
del mismo modo que el triáng~lo A F B. Los lados B A
Y B F del primero
son iguales á los lados B
e
y BF
del segundo: fuera de esto, por la suposicion , el ángulo
comprehcndido
J
entre los dos lados del primero es igual al
án-
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ELEMENTOS
Hg. ángulo K cornprehendido entre los lados del segundo:
go son iguales en todo los dos triángulos
el lado F
e es
Fe,
probando
igual en todo al triángulo
4 35
luego
igual al lado F B.
Del mismo modo se demostraría
igual al lado
(4 o 7 ):
lue-
que el lado F D es
que el triángulo
eF D
es
B Fe &c.
El punto F se llama el centro,
y las Ilneas
7 8. tiradas desde dicho punto á los vértices de los ángulos del
polygono,
se llaman radios obliquos , que son todos igua-
les enrre sí, como lo acabamos de probar.
radas desde el punto F perpendicularmente
Las lineas tiá los lados del
polygono como FG, FP se llaman radios rectos ó apotemas.
4 36
Se le puede circunscribir, siempre que se quisie-
re , un círculo á un polygono regular dado.
Porque estando el centro del polygono igualmente distante de cada. uno de los ángulos,
COIl
un intervalo
igual al
'describe una circunferencia,
si desde dicho centro y
radio obllquo , como FA, se
pasará por todos los vértices
de los ángulos: será por consiguiente el círculo círcunscrípto
al polygono.
7 8.
43 7
Los radios rectos como F O , F P &c. de un poIygono regular AB eDE , son iguales entre si.
Porque si imaginamos un círculo circunscripto
lygono propuesto,
cada uno de sus lados será una cuerda
y estará dividido en dos partes igua) por las lineas tiradas desde el centro F perá dichos lados,
Luc-
de dicho círculo,
les ( 3 49
pendiculares
al po-
® Biblioteca Nacional de Colombia
DE
GEOMETRÍÁ~
i251J
Luego en los triángulos OF A , P F.A , el lado _AP Fíg.
será igual al lado A O, el ángulo FAO igual al ángulo 7 8.
FAP
( 434
), y los ángulos PP A, FOA serán tam-
b.ien iguales, pues ambos son rectos:
luego los triángulos
FA P , FA O tienen un lado igual á un lado,
é
iguales
luego son iguales ( 4 08 ) :
los ángulos adyacentes:
..lue-
go el lado P P es igual al lado F O.
Del mismo modo se podrá probar la igualdad
de los:
"demás radios rectos.
43°8
Luego se puede inscribir,
siempre que se qui....
siere , un cfrculo en un polygono regular dado.
Porque ya que son· iguales todos los radios .rectos , si
desde el centro del polygono y con el intervalo
dio recto como F G , se traza
todos los lados del polygono,
de un ra-
una circunferencia,
tocará
sin pasar mas allá; por con ..
siguiente será inscripto el círculo en el polygono.
4 '3 9
En virtud de esto podemos suponer , siempre
que queramos , que un polygono
circunscrípto
'44 o
regular
está Inscripto
ó:
á un circulo.
De donde inferirémos
1•o
que el radio recta.
de un polygono regular corta el lado del poiygono en dos
partes iguales.
Porque este polygono puede estar. inscripto en un círcu-
10 , conforme acabamos de decir. : por consiguiente
cada lado ser considerado
demostrado
( 3 49
"puede.
como una cuerda .. Pero hemos
), que quando una linea pasa por el
centro y es perpendicular
á l~ cuerda '. parte esta cuerda
R
en
o
® Biblioteca Nacional de Colombia
ELEMENTOS
Fig. en dos partes iguales.
Concurriendo,
recto las dos circunstancias
pues,
en el radio
y ser
de pasar por el centro
al lado del polygono , que es la cuerda dél
perpendicular
CÍrculo en que está inscripto , ha de cortar el lado del polygono en dos partes iguales.
44
1
2.
~~e el radio obliquo de un polygono regu-
o
lar divide en dos partes iguales el ángulo de la circunfe-
.7 8. rencia : por egemplo el radio F B divide el ángulo A B C en
otros dos ángulos iguales, que S071 F B A JI F B C.
Porque los triángulos
A F B,
B F e tienen
el lado
F B cornun , el lado A B igual al lado Be, por ser regular el poIygono , y el lado A F igual al lado Fe ( 4 3 4 ):
luego serán tamblen iguales los ángulos del un triángulo á
los ángulos del otro ( 4 o 9 ), y serán iguales entre sí
los ángulos F B A , F B C.
44
2
Si se inscriben en un mismo circulo dos polygo-
nos regulares,
el que subiere doblados lados del otro , ten-
7 9. drá mayor pertmetro : pues los dos lados A B Y B
octógono
juntos son mayores
que el lado A
e
e
del
del qua-
drado,
En general,
lados,
el perlmetro
del polygono que tiene mas
es mayor que el perímetro del potygcn» que menos la ....
dos tiene, suponiéndolos regulares € inscriptos en el mismo
circulo Ó en circules iguales.
Por egemplo , el perímetro
que el del quadrado : porque
del pentágono
es mayor
siendo la circunferencia
del
círculo mayor que el perímetro de qualquíer polygono inscrip-
® Biblioteca Nacional de Colombia
DE GEOMETRiA.
'159
cripto , es evidente , que quamo mas se acerca ~ la clr- Fig.
cunferencla
el perímetro
mayor será su perímetro.
de un polygono inscripto,
Pero el. perímetro
se arrima mas á la circunferencia
tanto
del pentágono
que el del quadrado,
pues
los lados del pentágono son cuerdas menores que los lados
del quadrado,
y quanto menores son las cuerdas,
menos
se distinguen del arco á que pertenecen : luego el perímetro del pentagóno
44 3
es mayor que el del quadrado,
Entre todos los polygonos regulares circunscrip-
tos al mismo ctrculo ó á circulas iguales,
el que mas lados
tiene , tiene el menor perimetro.
Esto es evidente quando el uno de .los polygonos tie-,
ne doblados lados del otro,
porque en el octógono
do A D es menor que la parte correspondiente
perímetro
el la-
A B D del 8 o.
del quadrado,
Pero se puede demostrar generalmente
la proposiclon
es
del modo siguiente : la circunferencia
de un círculo
menor que el perímetro
de qualquíera
polygono
cripto : por consiguiente
, quanto mas se acerca á la cir-
cunferencia el polygono circunscripto
perímetro.
cunferencia
, tanto menor será su
Pero el polygono se acerca tanto mas á la cir,
quantos
estos lados tangentes,
cunferencia
círcuns-
mas lados tiene
siendo
se apartan tanto menos de la cir-
, quanto son menores:
dos tiene un polygono
, porque
luego quantos
mas la-
tanto menor es su
circunscripto,
penmctro •
.444
Sígnese de esto, que si un polygono , sea Ins-
R z
® Biblioteca Nacional de Colombia
crip-
E-LEMENTOS
Fig. cripto,
sea clrcunscrlpro
su perímetro
, tubíese
una infinidad
de lados,
se acercaría infinitamente á la circunferencia,
y se confundiría con ella; podria , pues , tomarse por la
circunferencla misma: por lo que se puede. considerar el
circulo como un polygono regular de UI1fl. infinidad de
lados.
445
Es evidente, que si desde el centro de Ul1 po~
Iygono regular se tiran lineas á todos los ángulos, estas li0
neas formarán
ángulos iguales.
Pues estos ángulos tendrán
por medida arcos subten ...
hallar el ángulo del
centro de un polygono regular, se han de partir 3 6 o o por
el número de los lados.
sos por cuerdas
iguales : luego para
Porque estos ángulos juntos tienen por medida toda la
'Circunferencia.
del
8
l.
Por egemplo , en el exágono,
centro será la sexta parte de 3 6 o
o
ó
cada ángulo
será de 6 o.
G
446
Luego el lado del exágono regular es igual al
radio del círculo circunscripto,
Porque tirando los radios A O Y B O , el triángulo
AO B será isósceles,
y por consiguiente
los dos ángulos
B A O Y ABO serán iguales ( 4 o 3 ): pero como el ángulo A O B es de 6 o
ler
"6
o
o
1 2
oo
;
son,
(
o
3 9 3 ):
,
los otros dos juntos han de valuego cada
uno de ellos es de
pues, iguales los tres ángulos,
guiente el triángulo
es equilátero
y por consi-
( 4 o 4 ): luego d B .
es igual al radio A O.
447J
0
Síguese de esta última proposicion que el pe1°/-
® Biblioteca Nacional de Colombia
DE
GEOMETRÍA.
2611
rlmetro del exágono regular inscripto en el circulo , es seis Eg.
'Veces mayor que el radio del circuk: : y por
lo mismo di....
cbo perímetro es tres veces mayor que el diámetro.
y como la circunferencia
del
círculo es mayor que
el perímetro, del exágono inscripto,
la circunferencia
del
círculo es mas de tres veces mayor que su diámetro: quiero
decir,
que la razon entre la circunferencia
es mayor que' la raza n de 3 á
1,
Ó de
y el diámetro.
2 1
á 7:
De las Lineas proporcionales.
'44 ~r Si sobre el un lado A.Z de un ángulo qualquie- 8 2.
ra ZAX se señalan las partes iguales AB, Be, eD, DE
&c. del tamaño y número que se quisiere: JI si después de
tirar á arbitrio por el uno F de los puntos de diuision , la
linea F L que encuentra en L erlado
A X, se tiran por.
los otros puntos de diuision las lineas B G, CH, D J, E K
&c. paralelas á F L: digo que las partes AG , G H, HJ
&c. del lado AX, serán también iguales entre sí.
Tírense por los puntos G, H , J &c. las lineas G M,
H N , J O &c. paralelas á A Z: los triángulos A B G,
GMH, HNJ, JOK &c. serán todos iguales entre sí: pJrque I. o las lineas GM, HN, JO&c. S011 cada una iguales
á A B, pues ( 4 09 ) son iguales respectivamente á
Be, co , DE
2.° los ángulos GMH,
HNJ,
J O K &c. SOI1 todos iguales entre sí , pues son todos
iguales al ángulo ABG ( 3 3 5 ). 3.° Los ángulos MGH,
N H J, O J K &c. SOI1 todos iguales entre sí , pues son
e..
R l
® Biblioteca Nacional de Colombia
to-
ELEMENTOS
262
Fíg.
todos iguales al ángulo B A G (
Tienen,
pues,
3 29
todos los triángulos
).
B A G,
MG H,
NHJ &c. un lado igual adyacente á dos ángulos iguales,
cada uno al suyo : son, pues, todos iguales entre sí: luego los lados A G, G H, H J &c. de dichos triángulos
son todos iguales entre sí : luego está con efecto dividida.
la linea A X en partes iguales por las paralelas.
449
De donde resulta
l. o
que en un triángulo FAL,
las lineas BG, CH , DJ &c. paralelas á la base FL , están en progresion arismética.
Porque
ya que,
segun acabamos de demostrar,
son
iguales entre sí los triángulos GMH, HNJ, JOK, KPL,
iguales entre sí las lineas MH , NJ,
serán tambien
OK,
P L : luego CHes B G mas M H: D J que es e H mas
'N J, será BG mas 2 M H, por ser NJ igual á MH.
,Y como prosiguiendo demostraríamos que EK es BG mas
3MH
e..
queda probada la proposicion.
Como esta demostraclon
no pende del número de las
lineas que se tiren paralelas á la base F L , es evidente,
que aun quando fuese infinito el número
las,
quedará verdadera
450
2.
o
de estas parale-
la proposicion.
Q!!e si es A B la parte que se quisiere de
A G , B C será semejante parte de GH; CD será semejante parte de HJ:
será los
T
si, por egemplo, AB es los
de G H ,y
Lo mismo
A F comparadas
T
de AG) Be
así prosiguiendo.
3 , 4 &c. partes juntas de
será de
2 ,
con
3 , 4 &c. partes juntas de AL:
2,
lue-
® Biblioteca Nacional de Colombia
DE GEOMETRÍA.
A D ó D F de la línea AF
luego una porclon qualquíera
AJ
es la misma parte de la porcion correspondiente
de la linea AL,
Y
ó
Fig.
JL
que AB de AG ; quiero decir que
A D:
AJ
: : A B :AG
DF:
JL
::
AB:AG
También se puede decir que AF: AL ":: AB : AG : lue-
go por ser la razon A B: AG cornun á estas tres proporciones podemos decir que
AD:AJ::DF:JL
AD:AJ::AF:AL
y
45
ft110
1
Luego si por un punto D tomado á arbitrio et% 8 3.
A F L , se tira una u:
paralela al lado F L , los lados A F , A L estarán
de los lados A F de tmtriángulo
'Jea D
J
cortados proporcionalmente:
quiero decir que tendrémos:
AD:AJ::DF:JL
AD : A
JI
J ::
A F : AL:
y mudando los dos medios de1lugar
(
AD:DF::AJ
•
y
18
6 )~
JL
A D : A F :: A
J
A L,
sea el que fuere el ángulo F AL.
4 52
bitrio fuera
Luego
1. o
Si desde un punto
A,
tornado á ar- 84'
de la linea GL , se tiran tÍ diferentes puntos de
dicha linea, muchas lineas AG, AH, A J , AK , AL , toda
linea B F paralela á la linea G L,
cortará todas estas li-
neas en partes proporcionales : quiero decir,
AB : BG : : AC : CH : : AD:
DJ
::
que tendremos
AE: EK : : A F : F L
JI AB : AG : : AC : AH : : AD : AJ: : AE : AK :: AF: AL.
R 4
® Biblioteca Nacional de Colombia
Por-
ELEMENTOS
Fig.
84·
Porque considerando succesívamcnre los ángulos GAH,
GAJ, GAK, GAL , del mismo medo que hemos consí-
.8 3. derado el ángulo FAL, dernostrarémos
tarnblen
que todas
estas razones son iguales.
453
85.
2.°,
La linea A D , que divide en dos partes
iguales un ángulo B A e de un triángulo,
corta el lado opues-
to Be en dos partes BD, De proporcionales á los lados
correspondientes A B , A
oc. AB:
e ; esto
es de modo que tenemos BD:
AC.
Porque si por el punto B tiramos BE paralela á _4D,
que encuentra
CA prolongado en E , considerando el trián-
gulo e E B , las lineas e E, e B estarán cortadas proporcionalmente
por la linea
A D ( 45
1
),
y tendremos
B D : De: : EA : A e. Pero es facil probar que A E es
igual áAB : porque por causa de las paralelas AD y BE,
el ángulo E es igual al ángulo DAC ( 3
gulo EBA es igual á su alterno BAD
ya que D A
ey
mitad de B A
1,
9 ),
y el án-
( 3 3 o ): luego
B A D son iguales por ser cada uno la.
e , los
ángulos E y E B A
serán
iguales:
luego los lados AE y AB son también iguales ( 4 03
luego la proporcion
BD: De:
):
: E A : AC , ~e transforma
en esta BD: DC: : AB: AC.
S 3.
4 5' 4
Si la linea D J corta proporcionalmente las lineas AF JI AL en los puntos D JI J , de modo, que AF: AD: :
AL : A J , ,la linea D J será paralela á FL.
Porque segun hemos demostrado
( 45
1
),
la pa-
ralela al lado FL , tirada desde el punto D, ha de cortar
en
® Biblioteca Nacional de Colombia
DE 'GEOMETRÍA.
en AL una parte que tenga la mi~ma razon con AL ,que
AD con AF: pero segun suponemos,
4 5' 5'
puntos B,
Luego
e,
si
AJ tiene con AL
AF: luegoDJ
la misma razon queADcon
Fig.
es paralela á FL.
se cortan proporcionalmente
en los
D,E,
F 14s lineas AG ,AH_, AJ, AK, AL, 84.
tiradas desde. el punto A á distintos puntos de la linea G L,
la linea BCD E F que pasare por todos estos puntos , será
una linea recta paralela á G L.
4 5' 6
son también
Las proposiciones
ciertas,
quando
(4 5'
demostradas
I
Y sigo )
la linea BF, en lugar de es~
rar en tre el pUllto A y la linea G L,
C01110
en la figura 8 4,
cae mas allá del punto A , ca mo en la figura 8 6. Porque
todo lo que hemos dicho
( 449
Y 45' o ) en que estri-
( 4 5' I, Y sigo ), se verificaría
ban las proposiciones
8 4.
8 6.
res-
pecto de las paralelas que cortasen Z A y_ X A , prolonga-
8
2.
das mas allá del punto A.·
De la Semejanza de los Triángulos.
r4 5 7
otro,
~ando
se comparan
dos triángulos uno
Ó en general dos figuras qualesquiera
COI1
, se dice que
son semejantes quando los ángulos de la una son iguales á
los ángulos de la otra,
y los lados de la primera propor-
cionales á los lados correspondientes
dos triángulos A D
J,
de la segunda.
Los
A P L serán semejantes si el ángu- 8 7.
lo A es igual al á~1g111o
A , el ángulo D al ángulo F , Y el
áng:_üo J al ángulo
L, Y además de esto A D:
AF ::
,dJ:AL::DJ:FL.
Es-
® Biblioteca Nacional de Colombia
z
Hg.
ELEMENTOS
66
45' 8
Estos lados correspondientes
se llaman lados ho-
mólogos , y son homólogos dos lados quando están puestos
de un mismo modo en ambas figuras
J
respecto de los án-
gulos y demas lados. Así para que se puedan
mólogos dos lados, es menester
que los ángulos adyacen-
tes al primero sean respectivamente
adyacentes
llamar ho-
igll~les á los ángulos
al segundo. D J y F L no pueden ser homó-
8 7. lagos, á 110 ser que los ángulos D y. J sean respectí va...
mente iguales á los ángulos F y L.
4 59
Dos triángulos que tienen los ángulos iguales,
cada uno al suyo, tienen proporcionales sus lados homólogos,
.Y son por consiguiente semejantes.
Si los dos triángulos DA J, F A L son tales que el
8 7.
ángulo A del primero sea igual al ángulo A del segundo,
Y el ángulo J alángl1lo
el ángulo D al ángulo F,
digo que tendremos A D : A F : : A J
: AL:
Porque ya que el ángulo A del primero
~ng1110A del segundo,
: DJ
L:
: F L.
es igual al
se puede aplicar el uno de estos
dos triángulos sobre el otro , conforme representa
la figu-
8 3. ra 8 3 ; en cuyo supuesto ya que el ángulo D es igu:ü al
ángulo F, las lineas D J y FL serán paralelas
luego en virtud de 10 dicho
AF::AJ:
( 45 1 )
(3 3 4 ):
rendrémos A D:
AL.
Tírérnos ahora por el punto J la recta J H paralela
á A F: segun hemos probado
AL:
( 4 5
1 )
tendrémos
A J:
: F H : FL, ó ( por ser F H igual á DJ ( 4 o 9 ) )
. : DJ: FL; luego AD:
AF: : AJ: AL::
DJ: FL.
Co-
® Biblioteca Nacional de Colombia
-
DE 'GEOMETRÍA.
Como podemos mudar los medios de lugar,
tarnblen Hg.
D J:
podemos decir que AD: AJ: : AF: AL y AJ:
:
AL: FL.
460
Ya que ( 4 o o ) quando dos ángulos de un
triángulo son iguales á dos ángulos de otro
tercer ángulo
del primero
triángulo,
es indispensablemente
el
igual al
tercer ángulo del segundo: inferamos que dos triángulos son
semejantes quando tienen dos ángulos iguales
cada
al
UIlO
S10'0.
46
1
Hemos probado
C 3 3 5" ) que dos ángulos que
están vueltos ácia un mismo lado,
y tienen sus lados pa-
ralelos son iguales. Luego dos triúngulos que tienen todos sus
lados paralelos , cada tino al suyo, tienen t ambien todos sus
ángulos iguales, cada uno al suyo, y tienen por consiguiente proporcionales ( 4
5"
9 ) sus lados.
Esto se verifica en los dos triángulos
que tienen paralelos los lados A B Y
eD
A BE,
eD F
88.
, los lados B E Y
D F, Y los lados A E Y e F.
46 2
Luego también dos triángulos que tienen sus lados perpendiculares
cada uno al suyo,
tienen tambien estos
mismos lados proporcionales.
Porque si se le hace dar un quarro de conversion
uno de dichos triángulos,
al
sus lados llegarán á ser parale-
los á los del segundo.
46 3
téngulo
to Be:
Si desde el ángulo recto A de un triángulo rec- 8 9.
BAC se baja una perpendicular A D al lado opuesl. o
los dos triángulos A D B,
A D e serán semejan-
® Biblioteca Nacional de Colombia
E LE
268
m u NTOS
Fig. jantes el uno al otro JI al triángulo BAe.
l.
o
La perpen-
dicular AD será media proporcional entre las dos porciones
ó segmentos B D .Y D e de la bypotenusa. 3. o Cada lado
ABó
A e del áng'ulo recto será medio proporcional entre
la bypotenusa y el segmento correspondiente B D ó De.
Porque los dos triángulos
A DB, A De tienen cada
uno un ángulo recto en D , del mismo modo que el tr iángulo BAC tiene un ángulo recto en A ; tienen fuera de
esto cada uno un ángulo
B _~C,
COl11Ull
con el mismo triángulo
B pertenece
pues el ángulo
á
1l"L1
mismo tiempo
al triángulo A D B , Y al triángulo B A C, del mismo modo
el ángulo C pertenece al triángulo
B AC : luego ( 460
A De,
y al triángulo
) estos tres triángulos
S:Jl1
semejan-
tes: luego ( 4 5 9 ) comparando los lados homólogos de los
dos triángulos ADB y ADC, tendrérnos
BD: AD::
comparando
los lados
AD: DC:
homólogos
de los dos triángulos
.A D B Y B A C , tendremos
BD:AB::AB:BC.
Finalmente,
comparando
gulos A D C y B A
los lados homólogos
de los trián--
e , tendrémos
CD:AC::AC:BC.
Donde se vé que A D es m~dia proporcional
tre BD y De: A B media proporcional
(1 7 8 ) en-
'entre B D Y Be:
y finalmente AC media proporcional entre CD y BE.
4 64
Dos triángulos 'lue tienen un ángúlo igual com...
prebendido entre dos lados proporcionales , tienen tambien
$US
® Biblioteca Nacional de Colombia
DE
GEOMETRIA.
J
sus otros dos ángulos iguales, JI son por consiguiente se me- Fíg,
jantes.
Si los dos triángulos
A D
J,
A F L son tales que el 8 7.
~ngl1lo A del primero sea igual' al ángulo A del segundo)
y
si al mismo tiempo los lados que forman estos ángulos son
tales,
que tengamos
serán semejantes;
A D: A F : : AJ:
esto es que tendrán
AL:
digo que
los demás ángulos
iguales cada uno al suyo, y sus terceros lados DJ y FL
en la misma razon que AD y A F ó que A
el ángulo A del
Porqll~ podemos aplicar
ADJ
J
y A L.
triángulo
sobre el ángulo A del triángulo A F L, conforme
representa la figura 8 3. Pero ya que,
AD :AF ; :AJ
; AL,
cortadas proporcionalmente
segun suponem~s,
8 3.
las dos rectas A F Y A L están
en los puntos D y
J:
luego
D J es paralela á F L ( 4 5 4 ) : luego ( 3 2 9 ) el
ángulo A F L es .igual al ángulo AD J , y el ángulo ALF
igual al ángulo A J D.
De aquí y de 10 dicho
que D J
46 )'
: FL
antes ( 4 5' 9
: : AD :A F : : A
) se infiere
J : AL.
Dos triángulos que tienen proporcionales sus tres
lados homólogos, tienen los ángulos iguales cada uno al su.yo ,JI son por la mismo semejantes. '
Si se supone que DE: AB : : EF: BC: : DF: ACj 9 o.
digo que el ángulo D será igual al ángulo A,
el ángulo
E igual al ángulo B , Y el ángulo F igual al ángulo C.
Imaginemos que sobre D E se haya construido un
triángulo D G E , cuyo ángulo DE G sea igual al ángulo
B,
® Biblioteca Nacional de Colombia
ELEMENTOS
Hg. B, Y el ángulo
G D E igual al ángulo A;
el triángulo
D EG será semejante al triángulo A B C ( 460 ): luego ( 4 5 9 ) DE :AB : : GE : BC: : D G : A C ; pero, segnn el supuesto, tenemos DE: AB : : EF: Be: : D F.
AC: luego por causa de la razón comun DE : AH , tendrémos GE: BC:: DG: AC: : EF: BC: : DF: AC ,.de
donde podemos sacar estas dos proporciones
GE:BC::EF:BC
DG:AC::DF:AC.
y
Luego yá que en cada una de estas dos pro?~rciones
iguales entre sí los consecuentes,
t~e si los antecedentes:
igual á D F.
Tiene,
serán también
SOI1
iguales en-
luego G E es igual á E F Y DG
pues, el triángulo DEG sus tres la-
dos iguales á los del triángulo DEF : es pues igu:ü (4
á este triángulo DE F; pero acabamos de probar
1 o)
que el
DE G es semejante á A B C : luego es rambicn
DE F semejante á A B C.
triángulo
8 3.
466
Hemos probado
do se cortan
cantidad
84.
1 ),
que qU;111-
dos lados de un triángulo por una linea pa-
ralela al tercer
semejantes;
antes ( 46
lado resultan. triángulos
A DJ y A FL
como esto es cierto, sea la que se quisiere la
del ángulo A , se debe,
pues,
inferir
que los
triángulos AG H , A HJ,
A J K , A K L son semejantes á
los triángulos ABC ,ACD ,.ADE, AEF,
cada uno al
suy.o , y que por ultimo ( 459 ) KL.: EF: ;.AK: AE;.:
KJ: ED:: AJ: AD:: JH: DC:: AH: AC:: GH:
eB : luego no sacando de esta séríe _de razones, sino las
que
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DE
GEOJ1!IET RÍ A.
271
GL y BF, tendrémos Fig.
C D : : GH: BC; esto es,
que contienen partes de las lineas
KL: EF : : KJ: DE : : JH:
que si desde un punto A se tiran á diferentes puntos de una.
linea recta GL, otras muchas lineas rectas,
estas lineas
cortarán toda paralela á G L, del mismo modo que cortarán G L ; 'esto es, en partes que tendrán unas con otra!
las mismas razones que las partes correspondientes de G L.
467
La proposicion
arriba
( 44 8 ) sentada nos
enseña un modo muy sencillo para dividir una linea dada
en partes iguales
ó en partes que tengan entre si razones
dadas.
Supongamos que nos convenga dividir
la linea A R 8
en dos partes, que tengan' entre sí una razon dada,
pongo
por caso , la de 7 á 3 ; por el punto A se tirará de modo que forme con ARel
ángulo
que se quisiere , la li-
nea índefinlra A Z, y tomando una abertura
arbitraria
de compás
A B , se llevará diez veces á lo largo de A Z:
supongo que sea Q el estrerno de la última parte,
se jun-
tarán los estremos Q y R de la linea A Q y de la linea.
A R : hecho esto , si por el punto D, estremo de la tercera divísiorr;: se tira DJ paralela á Q R, la linea A R
estará dividida
en dos partes RJ y 'A J que serán en-
tre sí : : 7 :3 ; porque ( 4 5 o ) son ent~e sí :': DQ: AD
que hemos hecho de 7 y de 3 partes.'
Esto manifiesta que si quisiésemos' dividir la linea AR
en un número mayor de partes, pongo por caso en 'cinco'
partes que fuesen entre sí como los números 7 , 5 , 4,
3,
2;
® Biblioteca Nacional de Colombia
2..
ELE1JlIENTOS
272.
Hg.
2; se sumarian unos con otros rodas estos números,
la suma
2 1 :
se llevarían
2 1
la linea. A Z , y se tírarlan
aberturas
saldría
de compás sobre
paralelas á la linea Q R, por
los es.remos de la 7 a, 5 a, 4 a, 3 a, Y
2a
dívísíon.
Si las razones estubiesen determinadas
pondrían todas estas lineas á ccnrínuaclon
en Iíneas ,
se
las unas de las
otras sobre la linea A Z.
Esto manifiesta lo que se debería practicar para divídír la linea ARen
partes iguales.
Pero quando las par ....
tes de la linea que se intenta dividir
han de ser pequeñas
ó quando es muy pequeña la linea que se ha de dividir,
la mas mínima discrepancia
entre las paralelas
contribuye
muchísimo para alterar la igualdad de las partes:
declarar el método siguiente.
que no será' inútil
46 8
9
l.
Sea
fg
la linea que se ha de dividir
Be ,
en la qual se señalará
una misma abertura
seis veces de seguida
de compás arbitraria,
seis partes iguales : se trazará
látero B A C , describiendo
centros,
en par-
por egcmplo : se tirará una linea in-
tes igu:tles , en seis,
dcfiníta
por lo
y resultarán
sobre B C un triángulo equidesde los puntos B y C como
y con un radio igual á BC dos arcos que se cor-
ten en A.
Sobre los lados A B , AC se tomarán las par ..
tes AF, AG..cada una iguales á f g: y tirando FO, esta
linea será igual á
f g.
Por el punto A se tirarán
á todos
los puntos de divlsion de B C lineas rectas que cortarán
FG del mismo modo que está cortada Be.
Porque como las lineas A F. y. AG son iguales entre
Sl,!
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Tonto 1.
73
75
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® Biblioteca Nacional de Colombia
DE
G E OM E T R
t A.
12
sí , y san tarnblen iguales entre sí las lineas AB
tenemos /lB: /lF : : Ae : AG:
cortadas proporcionalmente
ralela á Be,
y por consiguiente
F AG es semejante
y A C, Fig.
luego A B Y /le
en F y G:
( 46
luego FG
1 )
73
están
9_
1•
es pa-
el triángulo
á A B C: luego F A G es equilátero:
luego FG es igual á·.d F, Y por lo mismo á f g. A mas
de esto, como FG es paralela á Be 1 estas dos lineas estarán cortadas ( 4 6 6 ) proporcionalmente por las lineas
tiradas desde el punto A á la recta BC.
4 69
Si desde los puntos P , Q. de una misma recta
9 2.
P Q.. se tiran dos paralelas PM, QN desiguales, JI otras 9 3.
dos paralelas PO, Q_R proporcionales á las dos primeras:
esto es, que sean P M: ~::
PO: Q_R, las dos rectas
O R, M N titadas por los estremos de dichas paralelas,
concurrirán, prolongadas si fuere menester, en un mismo punto
S con la recta P ~ tambien prolongada si fuese del caso.
Supongamos que la recta OR concurra en S con la
PQ , y que la recta M N concurra en T con la misma
P Q. : el punto T coincidirá con el punto S. Porque 10$
triángulos MP T , N Q T son semejantes ( 45 9 ), y.
tendremos PT: QT ; : PM: QN: por la construccion tehemos también PM : QN ; ; PO ; QR, Y por la semejanza
'de los triángulos, OPS, RQS tenemos PO: QR;:
P S:
r¿S: luego PT ; .QT: : PS : QS: luego ( 1 8 8 ) P T QT: Q,T : : PS - QS; QS ó PQ: QT; ; PQ : QS, y por
consiguiente Q T es igual á Q,S; coincide, pues, el punto T con el' PUIlto S.
Si
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274
. ELEMENTOS
Si estubíesen las lineas MN , OR en la" situacion que
Fig.
P T: QT:: PS':
QS, sacaríamos PT + QT: QT :: PS + QS : QS; esto es
P Q : ,Q T :: P Q: Q S, de la que tambien inferiríamos
,que QT es igual á QS.
47 o
De la última proposíclon sacamos lo que hay
que practicar para tirar por un punto dado P cerca de dos
94· lineas AB , CD convergentes, esto es , que ván á juntarse en
9 5'. un punto, una linea que vaya á parar prolongada al mismo punto
donde concurririan , tambien prolongadas, las dos lineas dadas.
representa
la figura 9 3 de la proporcion
Tíraráse
que encuentra
por el punto dado P la recta lIffPO ó MOE
en O y M las dos rectas dadas AB ,
por otro punto qualquíera
en , y
se tirará á la P O M una paralela
NQR ó QRN, que encontrará las rectas dadas en los
puntos N y R. Sobre la recta MO se construirá un trlángulo equilátero MSO,
y sobre los lados prolongados sí
fuere menester SM,
SO de este triángulo se tomarán las
Sn, S r iguales á la linea N R, Y se tirará nr,
El triángulo S n r será equilátero ( 4 5' 4 Y 4 8 1 ), y por
consIguiente n r y Sn serán iguales entre sí y á la linea NR.
porciones
Tírese finalmente
tero,
desde el vértice
S del triángulo equilá-
y por el punto P la recta. SP , que prolongada,
si
fuere meneste~, cortará en q la recta n r , también prolongada si conviniere. Hecho esto se pasará la porción q r á QR
sobre la recta QRN , Y por el punto Q, determinado
de
este modo , y el punto dado P se tirará la recta P ,Q, que
se dirigirá al punto de concurso de las dos lin~asAB,
Cl):
Por-
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o
o
92
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R
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M
R.
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D EG E OMET u¡d.
Porque
en virtud
tendrérnos P M: Fig.~
de la construcclon
Po : : q n : q r ( 466 ), y por la misma construccion 94·
ta~1bien es QR igual á q r : luego si restamos estas dos partes 9) "
iguales de las lineas iguales N R, n r , las rectas QN y q n
serán iguales. Y así substituyendo Q N , Q R en lugar de
las q n , q r de la primera proporcion , tendré mas P M:
PO: ; Q N: QR: luego concurrirán en un mismo punto
( 469 ) las tres rectas AB, en , PQ.
47 1 De la proposición sentada ( 45 1 ) podemos
sacar un método para hallar una quarta proporcional á tres
lineas dadas a b , e d , e f; esto es, una linea que sea el quar- 9_6.
to término de una proporcion , cuyos tres primeros
lineas a b , e d , e f.
serian las
I .
Para egecurarlo,
despues de tiradas dos rectas índefi-
hitas AF, AL que formen una con otra el ángulo que se'
quisiere,
se llevará ab desde A á D', y e d desde A á F:
se llevará igualmente e f desde A á
puntos D y
J
con la recta D
la recta FL paralela
y juntando
J , se tirará
á D J,
será la quarta proporcional
J:
por el punto F
y determinará
,de la proposicion sentada ( 4 5
en una linea índefinlta
A F iguales á ab,
igual á ef,
AL,
que
que se busca.
Se podrá también egecutar esta operación
marán
los dos
1
).
en virtud.
Para cuyo fin se ro-
A F las dos partes
y tirando
cd respectivamente:
A D,
D
J 96.
de modo ~ que forme con AF el ángulo que
se quisiere, se tirará por el punto A y el punto J , la
recta A J L ; Y cortándola por una linea FL paralela á DJ,
S
2,
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es-
ELEMENTOS
127_6.
Hg. esta paralela será el quarto término que se busca. De las Lineas proporcionales consideradas en el circu
'4 7
Decimos de dos lineas que están cortada
2
razon inversa ó recíproca,
quando se forma tina pre
don con las partes de dichas lineas,
de manera
'dos partes de la una sean los estremos ,
y.
qU(
las dos P
'de la otra los medios de la proporciono
y se dlce de dos lineas que son reciprocamente
parcionales á sus partes,
quando la una de dichas
J'
y su parte forman los estremos de una proporcion ,
do los medíos otra linea y su parte.
Dos cuerdas AC,
473
BD que se cortan en el
i
ld en un punto qualquiera E , .formando un ángulo quai
ra , se cortan siempre en razon recíproca:
quiero decir
'AE : BE : : ED : CE.
Porque sí se tiran las cuerdas AB ,
cn, se forma
BEA , CED que demostraremos
triángulos
facílrnenn
semejantes:
porque fuera del ángulo BEA igual á
( 3o
el ángulo A BE ó A B D es ·igual al áJ
2
),
j
DC E ó D.CA, pues .estos .dos ángulos tienen su ve
en la círcunferencla
.A D ( 3 7 5' ):
semejantes
sobre. el mismo
luego los triángulos BEA y CEL
( 460
proporcionales;
y descansan
); luego tienen
sus lados hornó
esto es , que .AE: BE : : DE : EC ,
de se ve que las partes de la cuerda A C son los estre
y.
las partes de la cuerda B D son los medios.
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