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Apunte para el curso de ingreso
Introducción
Este apunte pretende fijar las bases para las cuales los aspirantes a Marinos Mercantes deben
adquirir y reforzar para poder afrontar los cursos venideros de Física.
Este curso de ingreso está orientado exclusivamente a la resolución de ejercicios, por este motivo
no tendrá un contenido teórico exhaustivo, sin embargo antes de cada tema se hará una
introducción de tipo conceptual para manejar el contenido mínimo teórico con el fin de poder
resolver los ejercicios.
El curso, posee 6 temas que consideramos importantes que el aspirante haya ejercitado, estos
son, Sistema de unidades, Cinemática, Dinámica, Estática, Termometría y Calor. Estos temas se
volverán a ver durante el primer año de la carrera, pero con mucha más profundidad y desde una
óptica más rigurosa.
Es aconsejable por parte del aspirante efectuar una ejercitación sistemática y constante, al
principio, la única forma de aprender y fijar los conceptos en física es ejercitando.
En el diseño de este apunte se consideró que los aspirantes tienen del secundario formaciones disímiles, especialidades otorgadas por sus títulos secundarios que algunas, han hecho hincapié en
esta materia y otra especialidades la han visto en forma superficial, así también, se ha tenido en
cuenta que hay aspirantes que han terminado su secundario no recientemente.
El estudio de esta materia, como de cualquier otra que forme parte de un curso de grado requiere
un entrenamiento que probablemente el aspirante no haya tenido nunca, el secreto desde
nuestro punto de vista, es la constancia. La vocación inspira al sacrificio de limitar los tiempos de
ocio y dedicarle más tiempo a su cumplimiento.
Sugerimos, entonces, en este período que abarque el curso de ingreso, comenzar este
entrenamiento, ejercitando y preguntando cada punto que no se entienda.
Les damos la bienvenida como aspirantes y deseamos que este curso les sea productivo para ingresar y tenerlos el año entrante como alumnos cadetes. El claustro de profesores de esta escuela
tiene como objetivo formarlos en esta fascinante carrera llena de sacrificios, por ello aspiramos a
formarlos como profesionales de mar y para ello contarán siempre con nuestra ayuda y apoyo
para que lleguen a la meta.
Este apunte fue inspirado por profesores decanos de la escuela y que ya no pertenecen a ella, a
ellos nuestro agradecimiento por permitir inspirarnos en sus apuntes, en especial, al Prof. Luis
Sergio Vignau que con su calidad docente a logrado generar en todos sus alumnos el cambio
conceptual que implica dejar de ver la a Física como una materia que nunca se entiende y que no
se sabe bien para qué se cursa. Nuestro objetivo es seguir la misma línea. Esperamos lograrlo.
Nuestro agradecimiento también a los profesores que forman parte de la carrera, por ayudarnos a
hacer hincapié en los puntos que necesitan más refuerzo durante el curso de ingreso.
Lic. Prof. Mariano Ernesto Calviño.
Sistema de unidades
Este tema tiene como objetivo principal que el cadete adquiera destreza en el pasaje de unidades
entre distintos sistemas.
Toda observación física debe ser expresada en forma cuantitativa para ser considerada como tal,
su expresión como valor numérico solamente, carece de validez como magnitud física, para ello
debe estar expresada en unidades físicas fundamentales.
Antiguamente existían múltiples formas de expresar una misma magnitud física, algunas de ellas
aún hoy persisten. Esas formas de expresar una magnitud se la denomina sistema de unidades.
En este curso utilizaremos el Sistema Internacional para realizar nuestra ejercitación, pero en este
capítulo ejercitaremos sobre un sistema anterior, el sistema métrico decimal y el sistema imperial.
El sistema métrico decimal poseía tres grandes grupos, el MKS, el CGS y el Técnico, que son tres
formas distintas de expresar una misma magnitud.
El sistema imperial, que en algunos países aún se utiliza, pero no ya en un ámbito científico, salvo
una excepción, se pondrá en este apunte como tabla de equivalencia entre las anteriores.
Unidades fundamentales:
Para poder determinar una unidad de medida había que ponerse de acuerdo antiguamente y en
especial para el comercio. Un ejemplo actual de este acuerdo consiste en determinar la unidad de
medida para determinar la distancia a una barrera en un tiro libre, si no existe una unidad patrón,
no será la misma distancia si la mide el equipo que defiende o el equipo que ataca, y ejecutar un
tiro libre implicaría mucho tiempo de negociaciones, lo más probable que más tiempo que lo que
dura un partido de futbol, descontando el tiempo que tome una eventual riña
Unidad de longitud: Metro.
Para definir qué es un metro, originariamente se definió como la diezmillonésima parte de la
distancia de un cuarto de meridiano terrestre entre el polo norte y el ecuador a lo largo del
meridiano que pasa por París. Esta distancia fue medida entre los años 1792 y 1799 considerando
a la tierra como una esfera perfecta, lo que implicaría que el metro es válido para cualquier parte
de la tierra, sobre dicha medida se fabricó una barra en una aleación de platino e iridio en forma
de equis para evitar que se deforme. A esta barra se la denomina metro patrón y se encuentra en
la Oficina Internacional de Medidas en Sévres, Francia.
Posteriormente, se descubrió que la tierra no era una esfera perfecta sino que está achatada en
los polos, por lo que se tuvo que revisar esta medida. Para ellos se debía tomar otra referencia y se
utilizó la longitud de onda (camino que recorre una onda en una unidad de tiempo) de la luz rojo—
anaranjada emitida por los átomos de criptón 86 en estado gaseoso a ser excitado por ondas
electromagnéticas de alta frecuencia (Cuando termine su segundo año como cadete esta
expresión tendrá más significado). Esto numéricamente da que un metro es igual a 1.650.763,73
longitudes de onda. Finalmente en 1983 se estableció que el metro es la longitud que recorre la
luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299.792.458 de segundo.
Unidad de masa: Kilogramo.
Como veremos más adelante, la masa es una propiedad intrínseca de los cuerpos y nos dice
cuánto se resiste el mismo a cambiar su estado, ya sea de reposo o de movimiento.
Para establecer qué es un kilogramo, se definió como la masa de un decímetro cúbico (litro) de
agua pura a la temperatura de 4º C, que es la temperatura que el agua alcanza su máxima
densidad. Para construir el kilogramo patrón se sustituyó al gua por un cilindro de platino e iridio
que tiene la misma masa.
Unidad de tiempo: Segundo.
Antiguamente, para establecer la unidad del segundo, se definió como la 3.556.925,9747 parte del
año solar de 1900, pero dado que el año solar depende de la rotación de la tierra y la misma va
disminuyendo con el tiempo, finalmente se definió como la duración de 9.192.631.770 períodos
de radiación correspondientes a la transición entre dos niveles energéticos hiperfinos del estado
fundamental del átomo de cesio 133.
Unidad de fuerza: Kilogramo fuerza.
Más adelante en este apunte definiremos a la fuerza, por ahora, sólo estableceremos cómo se
definió su unidad.
Se define entonces el kilogramo fuerza como el peso de del kilogramo masa a 45º de latitud, a
nivel del mar y en condiciones normales de temperatura y presión, es decir a 0º C y a una
atmósfera.
Unidad de cantidad de materia: mol.
Se define al mol como la cantidad de una sustancia que contiene tantas entidades elementales
(átomos, moléculas, iones, electrones, etc.) como átomos hay en 0.012 Kg. Esa cantidad es
aproximadamente 6,0221 x 1023, este número se lo llama número de Avogadro.
Unidad de corriente eléctrica: Amperio o Ampére.
Se define esta unidad como la intensidad de una corriente constante que, si se mantiene en dos
conductores paralelos rector de longitud infinita, de sección despreciable y se sitúan a un metro
de distancia en el vacío, genera una fuerza de 2 x 107 Newton, por metro de longitud.
Unidad angular superficial: radian.
Se define como la unidad de ángulo igual al ángulo central formado por un arco de longitud igual
al radio del círculo. La medida en radianes (rad) de un ángulo se expresa como el cociente entre el
arco formado por el ángulo, con su vértice en el centro de un círculo y el radio de dicho círculo.
Este cociente es constante para un ángulo fijo cualquiera sea el círculo que se tome.
Unidad de ángulo volumétrica: estereorradián.
Es la unidad de ángulo sólido cuyo vértice se encuentra en el centro de una esfera y es igual a la
superficie de la misma dividida 4π.
Definidas las unidades fundamentales vamos a ampliar el concepto de los tres sistemas de
unidades antes mencionados.
Sistema Técnico: también denominado MKS técnico
Longitud: metro (m)
Fuerza: Kilogramo fuerza (Kgf ó
).
Tiempo: segundo (s)
Sistema MKS (Metro-Kilogramo-Segundo)
Longitud: metro (m)
Masa: Kilogramo (Kg)
Tiempo: segundo (s)
Sistema CGS (centímetro-gramo-segundo)
Longitud: centímetro (cm)
Masa: gramo (g)
Tiempo: segundo
UNIDADES DERIVADAS
En cada uno de los sistemas se definen las unidades para todas las magnitudes, anteriormente,
hemos definido las unidades fundamentales. Definiremos ahora las unidades derivadas, se llaman
así porque utilizaremos a las fundamentales para definirlas.
En el sistema técnico la masa es una unidad derivada, como lo es la fuerza en el MKS y en el CGS.
La unidad de masa en el sistema técnico es la unidad técnica de masa (UTM). Se define como la
masa que al aplicarle una fuerza de un kilogramo adquiere una aceleración de un metro por
segundo al cuadrado. Más adelante, definiremos lo que es aceleración. Entonces:
La unidad de fuerza en el sistema MKS es el Newton (N) y se define como la fuerza que aplicada a
una masa de un kilogramo produce una aceleración de un metro por segundo al cuadrado.
La unidad de fuerza en el sistema CGS es la Dina (dina) y se define como la fuerza que aplicada a
una masa de un gramo produce una aceleración de un centímetro por segundo al cuadrado.
Estableceremos entonces las equivalencias entre los distintos sistemas de unidades.
Equivalencias entre unidades de masa:
Técnico
MKS
CGS
UTM
Kg
g
1
9.8
9800
1
1000
Masa
Técnico
UTM
MKS
Kg
CGS
1
g
Equivalencias entre unidades de fuerza:
Técnico
MKS
CGS
N
dina
9.8
980.000
1
100.000
Fuerza
Técnico
1
MKS
N
CGS
1
dina
Otra de las unidades derivadas es la del trabajo y la energía. Se ampliará el concepto en el capítulo
de dinámica de este apunte, ahora sólo se mostrará las equivalencias entre los tres sistemas de
unidades.
Técnico
MKS
MKS
CGS
Kilográmetro (Kgm)
Joule (N.m)
Kilowatt-hora (kWh)
Ergio (dina.cm)
Trabajo y energía
Técnico
1
9.8
9.8 x 107 =
98.000.000
1
1 x 107 =
10.000.000
3.6 x 106 =
3.600.000
3.6 x 1013
Kilográmetro (Kgm)
MKS
Joule (N.m)
MKS
Kilowatt-hora (kWh)
1
CGS
1
Ergio (dina.cm)
Unidades de temperatura:
En este capítulo no definiremos aún a la temperatura ya que volveremos sobre este tema en el
capítulo que le dedicaremos. Simplemente enunciaremos que existen tres escalas termométricas
que se las consideran relativas y dos escalas que se consideran absolutas.
Las escalas relativas son Celsius, Fahrenheit y Réaumur, esta última ya ha caído en desuso.
En cuanto a las escalas absolutas están la Kelvin y Rankine.
Para convertir medidas en escalas termométricas partimos de un grado Celsius es igual a un grado
Kelvin, por lo tanto para pasar de Kelvin a Celsius sólo hay que restar 273 a la temperatura en
grados Kelvin:
t °C = (T – 273) °C
Donde T es la temperatura en grados Kelvin.
Para pasar de grados Celsius a grados Kelvin basta con sumar 273 a la temperatura en la escala
Celsius para obtener la temperatura en la escala Kelvin.
Para convertir medidas de grados Fahrenheit a grados Celsius y viceversa debemos tener en
cuenta la siguiente expresión:
Unidades de calor:
Al igual que el punto anterior, definiremos al calor más adelante en este apunte. Lo que es
necesario tener presente es que el calor es una forma de energía y por lo tanto, posee las mismas
unidades que, en el MKS, es el Joule.
Aún así, se usa frecuentemente la unidad de caloría para el calor y existe una equivalencia entre la
misma y el Joule:
1 cal = 4.1855 J
Unidades de potencia:
Se define a la potencia como el trabajo realizado en una unidad de tiempo, ampliaremos este
concepto en el capítulo que le dedicaremos al trabajo y la energía.
Por lo dicho anteriormente, la potencia se expresa en unidades de trabajo o energía dividida entre
unidades de tiempo. La unidad de potencia en el sistema Internacional es el Vatio o Watt, que
equivale a la potencia necesaria para efectuar un Joule de trabajo por cada segundo.
En el sistema técnico la unidad de potencia es el kilográmetro por segundo.
El caballo vapor CV, también, es la unidad tradicional para expresar la potencia, equivale a 75
kilográmetros por segundo y es igual a 735 Watt.
El caballo de fuerza (horse power) que se abrevia como HP es otra de las unidades utilizada en
potencia y equivale a 76 kilográmetros por segundo y 746 Watt.
En el sistema CGS la unidad e potencia es el ergio por segundo.
Resumiendo:
Unidades de densidad:
Durante el segundo año de la carrera se profundizará mucho más el concepto de densidad. Para
los objetivos de este curso basta con señalar que se define densidad absoluta o simplemente
densidad (δ) como la masa del cuerpo por unidad de volumen.
La densidad relativa (γ) de un material es la densidad de dicho material con respecto al agua a 4°C.
La misma se toma como unidad para sólidos y líquidos, en cambio, para gases generalmente se
toma con respecto a la densidad del aire a una atmósfera de presión. La densidad relativa no
posee unidades, es decir, es adimensional, ya que es el resultado de un cociente de densidades.
Resumiendo:
Unidades de peso específico:
Se define peso específico de un material (ρ), como el peso de dicho material por unidad de
volumen.
Como el peso del material depende de la atracción gravitatoria, que es el producto de la masa por
la aceleración de la gravedad, la densidad relativa (γ) se determina como el cociente entre su peso
específico y el peso del agua.
Unidades de presión:
Se define presión al cociente entre la fuerza normal ejercida por unidad de superficie. Resaltamos
la palabra normal, que significa la componente perpendicular a la superficie. Por lo tanto la
presión se mide en unidad de fuerza sobre unidad de superficie. En el Sistema Internacional (SI) la
presión se expresa en Pascales (Pa), que es un Newton sobre metro cuadrado.
Entonces:
En el sistema Técnico no posee un nombre y se expresa como:
También se utiliza como unidad de presión, la presión atmosférica que es la presión que ejerce el
aire de la atmósfera sobre la tierra y varía según las condiciones climáticas. En condiciones
normales la presión atmosférica es de 101.325 Pa y equivale a la presión hidrostática que ejercen
760 milímetros de columna de mercurio de un barómetro convencional. Se ampliarán estos
conceptos durante el segundo año de la carrera.
Entonces:
1 atm = 1.013 HPa = 760 mmHg
Hasta aquí hemos desarrollado las equivalencias de las unidades más frecuente y más conocidas.
Ahora daremos unos ejemplos de cómo aplicar estas equivalencias en pasaje de unidades:
Ejemplo 1:
Expresemos 180 km/h en m/s
Ejemplo 2:
Pasar una velocidad angular de 4500 RPM a radianes sobre segundos.
Ejemplo 3:
Pasar una aceleración de 1800 decámetros por minuto al cuadrado a metros por segundo al
cuadrado.
Ejemplo 4:
Si hay que efectuar equivalencias que no son tan directas, como pasar CV a HP hay que buscar cuál
es la unidad que tiene en común, es decir, 1 CV = 735 W y 1 HP = 746 W. Despejando resulta:
Como los primeros miembros son iguales los segundos deben serlo:
Entonces:
A continuación, expresaremos las principales unidades de medida anglosajonas (sistema Imperial)
UNIDADES DE LONGITUD
Nombre en ingles
Símbolo
Nombre en español
Equivalencia
Observaciones
Inch
In (“)
Pulgada
25,4 mm
Foot
Ft (‘)
Pie
0,3048 m
Equivale a 12 in
Yard
yd
Yarda
0,9144 m
Equivale a 3 ft
Fathom
fm
Braza
1,8288 m
Equivale a 2 yd
Statute mile
m ó mile
Milla inglesa
1,609 Km
Equivale a 1.760 yd
Nautical mile
Milla náutica
1,85318 Km
Equivale a 6.080 ft
International
nautical mile
Milla náutica
internacional
1,852 km
UNIDADES DE MASA – AVOIRDUPOIS (COMERCIO)
Nombre en ingles
Símbolo
Nombre en español
Equivalencia
Pounce
Oz
Onza
28,259 g
Pound
Lb
Libra
453,592 g
Observaciones
Equivale a 16 Oz
UNIDADES DE VOLUMEN
Nombre en ingles
Símbolo
Nombre en español
Equivalencia
Observaciones
US liquid pint
Liq pt
Pinta americana
0,473 l
Pint
Uk pt
Pinta británica
0,568 l
US Gallon
US gal
Galón americano
3,785 l
Imperial gallon
UK gal
Galón británico
4,546 l
US bushel
US bu
Celemín americano
35,239 l
Bushel
Bu
Celemín británico
36,369 l
Equivale a 6 UK gal
US barrel
US bbl
Barril americano
158,987 l
Equivale a 42 US gal
Nombre en español
Equivalencia
Observaciones
Equivale a 8 UK pt
UNIDADES DE FUERZA
Nombre en ingles
Símbolo
Poundal
pdl
0,1382 N
UNIDADES DE POTENCIA
Nombre en ingles
Símbolo
Nombre en español
Equivalencia
Horse power
HP
Caballo vapor
británico
745,7 W
Observaciones
UNIDADES DE CALOR, ENEREGIA, TRABAJO
Nombre en ingles
Símbolo
British thermal unit
btu
Nombre en español
Equivalencia
1055,06 J
Observaciones
Sobre números muy grandes y números muy chicos
Como ya lo hemos expuesto, todo lo desarrollado hasta aquí sale a partir de la toma de
mediciones. Pero, las mismas implica medir también fenómenos que implican usan números muy
grandes o muy chicos, estos números exceden el objetivo del curso de ingreso, pero vale la pena
explicarlo en forma introductoria ya que será útil para los años de la carrera. Cada vez que se
mide, no se obtiene una medición exacta sino una aproximación, ésta aproximación puede ser
bien determinada a partir del cálculo de errores, capítulo que se desarrollará durante el primer
año de Física. Las cantidades muy pequeñas aparecen a partir de las teorías sobre la constitución
de la materia, así, la carga elemental (carga de electrón) es de (1,602 ± 0,000007) x 109 C
(Coulomb). Otro ejemplo de una cantidad muy pequeña es la Constante de Planck, que se la
denomina con la letra h y su valor es (6,6256 ± 0005) x 10-34 J.s y el tiempo de Planck: 5.39124 ×
10−44 segundos. En el otro extremo de las cantidades, es decir, las muy grandes, aparecen los
resultados referidos a la Cosmología, rama de la física que se basa sobre la Teoría General de la
Relatividad y la astrofísica. Mostramos a modos de ejemplo algunas de las magnitudes que se
utilizan: Volumen aproximado del universo: 3,83 x 1085 cm3, Radio aproximado del universo: 1.32
x 109 lyr (light- year – años-luz), Tiempo de Hubble: 2 x1010 años.
A continuación expondremos una tabla de prefijos para múltiplos y submúltiplos de unidades,
algunas de ellas conocidas.
Múltiplos
Submúltiplos
Denominación
Abreviatura
Valor
Denominación
Abreviatura
Valor
Yotta
Y
1024
Deci
d
10-1
Zeta
Z
1021
Centi
c
10-2
Exa
E
1018
Mili
m
10-3
Peta
P
1015
Micro
μ
10-6
Tera
T
1012
Nano
n
10-9
Giga
G
109
Pico
P
10-12
Mega
M
106
Femto
f
10-15
Kilo
k
103
Ato
a
10-18
Hecto
h
102
Zepto
z
10-21
Deca
da
101
Yocto
y
10-24
Ejercitación de conversión de unidades
A continuación se harán ejercicios de ejemplo de conversión de unidades y luego se darán
ejercicios para resolver.
Ejercicio de ejemplo 1:
Expresar 50 m/s en km/h
Respuesta:
De esta forma hemos multiplicado y dividido por los factores de conversión, simplificando
unidades nos queda:
Y realizando los cálculos:
Ejercicio de ejemplo 2:
Expresar 157 radianes/s en RPM
Respuesta:
Sabiendo que 1 revolución son 2π radianes
Simplificando unidades:
Efectuando cálculos tomando π como 3.14:
Ejercicio de ejemplo 3:
Expresar 5.400.000 dinas en
Respuesta:
Sabiendo que 980.000 dinas son un
entonces:
Simplificando unidades:
Realizando los cálculos:
Ejercitación propuesta
1) Expresar:
a) 108
b) 2
Rta: 30
en
Rta: 720000
en
c) 2 radianes en grados, minutos y segundos
Rta: 114° 35’ 29,6“
d) 54
a
Rta: 540
e) 144
en
Rta: 40
f)
20
Rta: 72
en
g) 720
en
Rta: 0.002
h) 300
en
Rta: 0.05
2) Considerando
exprese:
a) 2,4 x 107 dinas en
Rta: 24,4898
b) 22,5 UTM en Kg
Rta: 219,52 Kg
c) 1200 g en UTM
Rta: 0,1224 UTM
3) Considerando π = 3.14, exprese:
a) 1200 RPM en
Rta: 452160
b) 540 J en Kgm
Rta: 55,102 Kgm
c) 184
Rta: 1803 W
en W
d) 5 erg en J
Rta: 5 x 107 J
e) 1,8 x 105 J a Kwh
Rta: 0.05 Kwh
4) Cuánto vale en el sistema CGS, una aceleración de 4
?
5) Sabiendo que la constante de gravitación universal en el sistema CGS es:
Expréselas en unidades del sistema técnico.
Rta:
6) Exprese en mm la superficie de una chapa rectangular que mide 2,5 dm de largo por 10 cm de
ancho.
Rta: 25000 mm2
7) Exprese en m2 la superficie de un rectángulo que mide 750 mm de ancho por 350 cm de alto.
Rta: 2,625 m2
8) Calcule el volumen de una esfera de 12 cm de radio y exprese el resultado en mm3.
Rta: 7234560 mm3
9) El peso específico de un cuerpo es el peso por unidad de volumen, halle en
el peso de un
cuerpo de acero cuyo peso específico es 7,8 g/cm3 y que tiene un volumen de 4 x 106 mm3.
Rta: 31,2
10) ¿A cuántos grados, minutos y segundos equivale un ángulo de 1,5 radianes?
Rta: 85° 59’ 14,14”
11) La densidad del agua a 4 °C es de 1 g/cm3, expréselo en kg/m3 y en kg/dm3.
Rta: 1000 kg/m3; 1 kg/dm3.
12) Un barómetro de mercurio indica una presión atmosférica de 1008 HPa.
Indique esa presión en
Rta: 1,029
13) Si la presión hidrostática que ejerce una columna de agua es de 1000
por cada metro de
altura, determine cuántos metros de altura de agua ejercen una presión de 1013 HPa. (1 atm).
Rta: 10,336 m
14) El peso específico del mercurio es de 13,6
de mercurio.
. Determine cuántos gramos pesan 0,01 litros
Rta: 136 .
Cinemática
La cinemática, como tal, es un modelo simplificado con el fin de introducir a los conceptos físicos
que permiten explicar los hechos tal como los vemos. Por lo tanto, esta rama, hace un abordaje de
la física partiendo de ideas simples pero que involucran conceptos profundos.
Dado que partimos de conceptos matemáticos esenciales, abordaremos esta rama de la física con
ese andamiaje matemático.
En esta rama, nos ocuparemos de estudiar el movimiento de partículas, esto es, cuerpos que no
poseen radio y por ende, no rotan. Este es el primer “recorte” que hacemos para simplificar la
introducción a conceptos más profundos, El segundo recorte que haremos consiste en no estudiar
lo que provoca el movimiento, esto es, el concepto de fuerza. El mismo, se introducirá cuando
tratemos la dinámica de las partículas.
También, haremos un enunciado de las ecuaciones que utilizaremos para resolver los ejercicios sin
ahondar cómo se deducen, eso lo haremos durante el primer año de la carrera.
También, hablaremos de coordenada X cuando nos vayamos a referir a movimientos horizontales
y a la coordenada Y para movimientos verticales. Aclaramos que esto no es del todo cierto, ya que
toda partícula se mueve en el espacio, (coordenada Z) pero en este curso sólo trataremos
movimientos en el plano, además, elegir tales coordenadas implica elegir un sistema cartesiano y
ortogonal para las coordenadas, que, para nuestro caso es lo más simple, pero en muchos
problemas de la física conviene elegir otro sistema de coordenadas.
También, es este curso, sólo trataremos movimientos de partículas en forma horizontal y vertical
solamente, existe el caso de una combinación de los dos llamado tiro oblicuo, tema que
trataremos en el primer año de la carrera.
Entonces definimos al movimiento uniformemente variado como aquel movimiento que cumple
con las siguientes funciones:
Para la posición de una partícula:
Para un movimiento horizontal:
Para un movimiento vertical:
Para la velocidad de una partícula:
En función del tiempo:
En función de la posición:
De las anteriores, se deducen las ecuaciones para la aceleración, despejando.
Aclaración: Los signos de las ecuaciones se han tomado en forma genérica, pero los mismos están
ligados estrechamente a un sistema de referencia que se adopta al momento de comenzar el
ejercicio y se mantiene hasta el final del mismo.
Para el movimiento rectilíneo y uniforme se utilizan las ecuaciones anteriores con la excepción de
que el término de la aceleración desaparece ya que en este tipo de movimiento la aceleración vale
cero.
Si miramos las ecuaciones de velocidad anteriores veremos que la velocidad es constante para
cualquier valor del tiempo y para cualquier posición de la partícula.
Los pasos sugeridos para resolver los problemas son los siguientes:
•
Analizar cada enunciado
•
Determinar si la velocidad es constante o no.
•
Hacer un esquema del problema.
•
Fijar un sistema de referencia.
•
Determinar los datos que se nos da en el problema.
•
Determinar las incógnitas.
•
Crear el nexo entre ambas mediante las ecuaciones, respetando los signos de acuerdo al
sistema de referencia elegido.
Hasta aquí, una breve introducción teórica para tener los elementos necesarios con el fin de poder
resolver los problemas de cinemática.
A continuación, resolveremos algunos ejercicios de ejemplo para dar una idea de cómo se
resuelven este tipo de problemas.
Ejemplo 1:
Se lanza verticalmente hacia abajo un cuerpo con velocidad inicial de 6 m/s desde una altura de
342 m.
a) Determinar cuánto tiempo demora en recorrer esa altura.
b) Determinar la velocidad con la que llega.
Leyendo el enunciado, tenemos un movimiento variado, ya que se trata de una caída, pero la
misma no es una caída libre, es decir, no se deja caer el cuerpo sino que se lo impulsa con una
velocidad inicial. Si fuese una caída libre entonces la velocidad inicial sería cero.
Solución:
Establezcamos los sistemas de referencia: (Estos, son arbitrarios, es decir, se pueden elegir en
forma distinta)
Punto a)
De acuerdo a este sistema la ecuación del movimiento es:
Los datos, de acuerdo al enunciado, son:
Entonces:
Reacomodando términos:
Vemos que nos quedó una ecuación de segundo grado cuya incógnita es t, igualada a cero.
Apliquemos la resolvente para hallar los dos valores que son solución. En este caso, y sólo en este,
obviaremos a las unidades no poniéndolas en la fórmula resolvente:
Donde:
Entonces:
Por lo tanto:
Dado que tiempos negativos no tienen sentido, ya que el tiempo siempre avanza, al menos en este
modelo, descartamos el mismo, por lo tanto la respuesta al punto a es:
Punto b)
Si observamos los datos dados y lo que nos pide este punto y buscamos una ecuación que los
relacione, usamos para ello la fórmula de velocidad y tomando a la aceleración como g:
También podríamos haber llegado al mismo resultado sin usar al tiempo como dato y usando la
ecuación de velocidad en función de la posición:
Como vemos nos da el mismo resultado, esto, nos confirma que el tiempo que hemos calculado es
correcto, ya que lo hemos usado en el método anterior y verificamos el resultado de la velocidad
sin usar al tiempo calculado.
Ejemplo 2:
Un móvil parte desde el punto A de una recta a razón de 54 km/h. Desde el mismo lugar, 8
segundos después parte en la misma dirección y sentido, otro móvil con una velocidad de 30 m/s.
Determine:
a) Cuánto tarda el segundo móvil en alcanzar al primero.
b) A qué distancia del punto de partida lo hace.
Solución:
Analizando el problema, el mismo se trata de un problema de encuentro, además las velocidades
están dadas en distintas unidades por lo que tendremos que unificarlas, por convención
utilizaremos la unidad de
.
El problema no aclara si existe aceleración de alguno de los móviles, por lo tanto se toma que
ambos se mueven con movimiento rectilíneo y uniforme, tomando el valor de la aceleración como
0. En este problema, si bien no está de más, no hace falta establecer un sistema de referencia ya
que ambos móviles se mueven en la misma dirección, si fuese lo contrario, habría que escoger un
sistema de referencia y ajustar los signos de las ecuaciones al mismo.
Tomemos entonces como sistema de referencia positivo en el sentido del movimiento de ambos
móviles y expresemos las ecuaciones de ambos:
Móvil 1:
Móvil 2:
Establezcamos los datos del problema:
Ahora bien, dijimos que se trata de un problema de encuentro, por lo tanto, para que dos móviles
se encuentren, deben tener la misma posición y el mismo tiempo de encuentro.
En este problema, cuando el móvil 2 pasa por el punto inicial del sistema de referencia,
recordemos que posee velocidad inicial, para el móvil 1 ya han transcurrido 8 segundos.
Entonces podemos usar dos caminos distintos:
a) Establecer cuánto ha recorrido el primer móvil luego de 8 segundos y tomar ese resultado
como posición inicial del mismo para cuando partió el segundo móvil, unificando los
relojes de ambos. Luego, igualamos las dos ecuaciones, ya que deben tener la misma
posición final, se despeja el tiempo, éste será el tiempo de encuentro, luego,
reemplazamos ese tiempo en cualquiera de las ecuaciones de los móviles y hallamos la
posición final.
b) Fijando la posición inicial de ambos como 0, establecer el tiempo del segundo móvil, como
el tiempo del primero menos 8 segundos unificando los relojes de ambos también, luego,
se igualan ambas ecuaciones para despejar el tiempo, reemplazamos ese tiempo en
cualquiera de las ecuaciones del los móviles para determinar la posición final.
Vamos a realizar ambos métodos, para que el aspirante determine cuál les es más efectivo a su
forma de razonar.
Método a:
Hallemos cuánto recorrió el primer móvil en 8 segundos:
Entonces, el nuevo juego de ecuaciones quedará:
Igualamos ambas ecuaciones:
Despejamos el tiempo:
Método b)
Ahora establecemos el par de ecuaciones:
Igualamos ambas ecuaciones:
Despejamos el tiempo:
Establecimos el tiempo que le tomó al móvil 1 desde que partió hasta el instante del encuentro, si
reemplazamos este resultado para el móvil 2, tendremos que le tomó 8 segundos en alcanzarlo,
recordemos que
por lo tanto el tiempo de encuentro es de 8 segundos desde que
partió el móvil 2, dándonos el mismo tiempo que el método anterior.
Cuidado, no confundir este punto, el tiempo de encuentro no es 16 segundos, ya que cuando el
reloj que marcará el tiempo de encuentro arranca cuando el móvil 2 lo hace, ya que antes carece
de sentido el problema ya que el móvil 2 está en reposo entre el tiempo 0 y el tiempo 8 del móvil 1
y por lo tanto no puede definirse como un encuentro.
Punto b:
De acuerdo al método que hayamos utilizado usaremos, por lo tanto, distintos pasos:
Método a:
Hemos hallado el tiempo de encuentro, por lo tanto podemos reemplazarlo en cualquiera de las
dos ecuaciones.
Demostremos que es el mismo con la otra ecuación:
Método b:
Veamos para el segundo móvil:
Hagamos otro ejemplo.
Ejemplo 3:
Un tren lleva una velocidad de 90 km/h, el conductor aplica los frenos y lo detiene en 20 segundos.
Sabiendo que el movimiento de uniformemente desacelerado, calcular la aceleración en m/s2 y la
distancia que recorre hasta detenerse.
Solución:
Establecemos un sistema de referencia positivo en el sentido del movimiento del tren.
Determinemos los datos que nos da el problema:
El problema nos dice que es un movimiento uniformemente variado, por lo tanto la ecuación
horaria a usar es:
Además, es desacelerado, por lo tanto la ecuación para este problema con los datos es:
Observemos que tenemos una ecuación con dos incógnitas, posición final y aceleración. Debemos
hallar otra ecuación que nos permita resolver el sistema.
Si volvemos a mirar los datos y las ecuaciones para el movimiento variado, tenemos que podemos
hallar la aceleración sabiendo la velocidad inicial, la velocidad final y el tiempo:
Aplicándola a nuestro problema:
Despejemos entonces la aceleración:
Con este dato, hallamos la distancia recorrida reemplazando en la ecuación horaria:
Pasemos ahora a la guía de ejercicios propuestos.
Ejercitación de cinemática
1) El valor de la velocidad del sonido en el aire es de 330
. Determine su valor en
.
Rta: 1188
2) Determine el valor de la velocidad de un carguero que navega a 30 nudos en
y en
.
y
cuántas millas náuticas y cuántos kilómetros recorre en un día y medio.
Rta: 55,56
3) La velocidad de la luz en el vacío es de 300000
= 15,43
1080 millas náuticas = 2000,16 Km.
. Las distancias en astronomía se miden en
años luz, es decir, la distancia que recorre la luz en un año. Calcule en kilómetros la distancia que
nos separa de la estrella 61 del Cisne si su luz tarda en llegar hasta nosotros 11 años.
Rta:
.
4) Nos encontramos separados del Sol a una distancia media de 150.000.000 Km. ¿Cuánto tarda en
llegar a la tierra la luz del sol?
Rta: 500 seg. = 8 min 20 seg.
5) ¿Cuánto tiempo emplea en recorrer un desplazamiento de 440 km un móvil a 80
?.
Rta: 5 h 30 min.
6) Un móvil recorre 400 km en 3 h 45 min. 30 seg. Calcule su velocidad media en
.
Rta: 106,43
.
7) Dos móviles parten simultáneamente desde dos puntos A y B ubicados en una recta y separados
300 m. El que parte desde A hacia B lo hace a 30
y el que parte de B hacia A lo hace a 45
.
Determine:
a) Cuánto tiempo demoran en encontrarse.
b) A qué distancia del punto A lo hacen.
Rta: a) 4 seg. ; b) 120 m
8) Desde una ciudad A parte a las 08:00 horas, un camión a 80
hacia otra ciudad B distante
1200 km. A las 09:30 horas parte desde la ciudad B con destino a la ciudad A un automóvil a razón
de 100
. Calcule a qué hora se cruzarán y a qué distancia de la ciudad A lo hacen.
Rta: Se cruzan a las 15:30 horas y a 600 km de A.
9) Un buque zarpa de un puerto el 15 de marzo a las 10:00 horas con una velocidad media de 25
nudos. El 16 de marzo, siguiendo el mismo itinerario que el anterior, zarpa otro buque a las 18:00
horas con una velocidad de 30 nudos. ¿Qué día, a qué hora y a qué distancia en millas náuticas del
puerto de partida el segundo de los buques alcanza al primero?
Rta: el día 23 de marzo a las 10:00 horas a 4800 m.n
10) Un móvil que lleva una velocidad de 10
acelera su marcha a razón de 2
. Calcule:
a) El incremento de su velocidad durante un minuto.
b) La velocidad final del primer minuto.
c) La velocidad media durante el primer minuto.
d) El desplazamiento en un minuto.
Rta: a) 120
; b) 130
; c) 65
; d) 3900 m.
11) Un automóvil que lleva una velocidad de 8
, acelera uniformemente su marcha de forma tal
que recorre 640 m en 40 segundos. Calcule:
a) La velocidad media durante los 40 segundos.
b) La velocidad adquirida a los 40 segundos.
c) El incremento de la velocidad en dicho tiempo.
d) La aceleración.
Rta: a) 16
; b) 24
12) Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 5
; c) 16
; d) 0,4
.
. Calcule la velocidad
que adquiere y la distancia que recorre al cabo de 4 segundos de iniciado el movimiento.
Rta: 20
; 40 m.
13) Un cuerpo se desplaza por un plano inclinado. Sabiendo que al cabo de 3 segundos la
velocidad que adquiere es de 27
calcule la velocidad que lleva y la distancia que recorre a los 6
segundos de haber iniciado el movimiento.
Rta: 54
; 162 m.
14) Un móvil parte del reposo y acelera uniformemente y cuando se ha desplazado 250 m su
velocidad es de 80
. Calcule la aceleración.
Rta: 12,8
15) La velocidad de un proyectil al salir del cañón es de 600
.
. Sabiendo que la longitud del
mismo es de 150 cm determine la aceleración media.
Rta:
16) Un automóvil aumenta uniformemente su velocidad desde 20
hasta 60
.
luego de
recorrer 200 m. Determine:
a) La aceleración.
b) El tiempo que demora en pasar de una velocidad a otra.
Rta: a) 8
; b) 5 segundos.
17) Un avión recorre, antes de despegar, una distancia de 1800 m en 12 segundos con una
aceleración constante. Calcule:
a) La aceleración.
b) La velocidad adquirida en el momento del despegue.
c) La distancia que recorre durante el primer segundo.
d) La distancia que recorre en el segundo 12.
Rta: a) 25
18) Una partícula se mueve con una velocidad de 40
5
; b) 300
; c) 12,5 m; d) 287,5 m.
y la disminuye uniformemente a razón de
en cada segundo. Determine:
a) La velocidad al cabo de 6 segundos.
b) La velocidad media durante 6 segundos.
c) El desplazamiento de la partícula en 6 segundos.
Rta: a) 10
; b) 25
; c) 150m.
19) Un cuerpo cae libremente desde una altura de 490 m. Determine:
a) La aceleración.
b) El desplazamiento en los 3 primeros segundos.
c) La velocidad cuando recorrió 122,5 m.
d) El tiempo que demora en recorrer 245 m.
e) El tiempo que demora en llegar al piso.
Rta: a) 9,81
(g); b) 44,1 m; c) 49
; d) 7,07 s. e) 10 s.
20) Desde un puente se deja caer libremente un objeto que tarda en llegar al agua 5 segundos.
Determine:
a) La altura del puente desde el agua.
b) La velocidad de la piedra en el momento del impacto.
Rta: a) 122,5 m; b) 49
.
21) Desde una altura de 25 m se lanza hacia abajo un objeto con velocidad inicial de 3
.
¿Cuánto demora en llegar al piso? ¿Con qué velocidad lo hace?
Rta: 1,97 s; 22,33
.
22) Calcule la altura con respecto al suelo desde donde se deja caer libremente un cuerpo para
que llegue con una velocidad de 8
.
Rta: 3,27 m.
23) Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 30
. Determine:
a) El tiempo que está ascendiendo.
b) La altura máxima que alcanza.
c) El tiempo total de vuelo.
d) Los instantes en los cuales la velocidad es de 25
.
Rta: a) 3,06 s; b) 45,92 m; c) 6,12 s; d) 0,51 s y 5,61 s.
24) Desde un globo aerostático se deja caer una bolsa de lastre que tarda en llegar al suelo 20
segundos. Calcule a qué altura se encuentra el globo si el globo:
a) Se encuentra en reposo.
b) Si está ascendiendo con una velocidad uniforme de 10
.
Rta: a) 1960 m; b) 1860 m.
25) Un cuerpo cae libremente y recorre durante el último segundo de su caída, las tres cuartas
partes del recorrido total. Calcule:
a) Cuánto tiempo duró la caída.
b) Desde qué altura cayó.
Rta: a) 2 s; b) 19.8 m.
26) Desde la cima de una torre de 80 m de altura se lanza una piedra verticalmente hacia arriba
con una velocidad de 30
. Calcule:
a) La altura máxima alcanzada por la piedra.
b) La velocidad con que la misma llega al suelo.
Rta: a) 125,92 m; b) 49,68
.
27) Un esquiador desciende por una ladera aumentando su velocidad uniformemente de forma
tal que en 10 segundos adquiere una velocidad de 60
. Determine el valor de la aceleración.
Rta: 6
.
28) Un automovilista que marcha por una carretera recta advierte que su velocímetro marca 60
desembraga y observa que la disminución de la velocidad en el tiempo es de 20
por cada
minuto que transcurre. Calcule:
a) El valor de la aceleración en
.
b) El tiempo que demorará en detenerse en minutos.
Rta: a) 0,0925
; b) 3 min.
29) Un trineo, parte del reposo y cae por una pista inclinada, luego de 4 segundos alcanza una
velocidad de 7
. Calcule:
a) La aceleración.
b) La velocidad a los 8 segundos.
c) El desplazamiento a los 8 segundos.
Rta: a) 1,75
; b) 14
; c) 5 m.
30) Una partícula se desplaza por un plano inclinado partiendo del reposo y sin rozamiento.
Transcurridos 5 segundos, recorrió 20 m. Calcule la inclinación del plano.
Rta: 9° 23’ 47,32”
31) la base de un plano inclinado mide 20 m y su altura es de 6 m, determine:
a) La inclinación del plano.
b) El valor de la aceleración de un cuerpo que se deslice por él sin rozamiento.
Rta: a) 16° 41’57,28”; b) 2,81
.
32) Desde la parte superior del plano inclinado del ejercicio anterior, parten simultáneamente dos
cuerpos, uno por el plano inclinado y el otro en caída libre. Calcule:
a) El tiempo que ambos demoran en llegar al piso.
b) La velocidad con que llegan.
En ambos casos comparar los resultados interpretándolos físicamente.
Rta: a) En caída libre, 1,11 s, por el plano, 3,65 s; b) caída libre, 10,84
, por el plano, 10,84
.
33) Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba volvió al punto de partida al cabo de 4
segundos. Determinar:
a) El valor de la velocidad inicial.
b) Altura máxima a la que llegó.
Rta: a) 19,6
; b) 19,6 m.
34) Una piedra lanzada hacia arriba alcanza una altura de 15 m.
Determine:
Cuánto demora en llegar al punto de lanzamiento.
Hasta donde subirá si la velocidad inicial se duplicara.
Rta: a) 3,5 s; b) 60 m.
35) Desde un dirigible que está a 400 metros de altura cae un objeto. Cuánto tiempo tardará en
llegar a la tierra si:
a) El dirigible asciende con una velocidad de 6
.
b) El dirigible se encuentra en reposo.
c) El dirigible desciende con una velocidad de 6
.
d) El dirigible se mueve horizontalmente con una velocidad de 6
.
Rta: a) 9,66 s; b) 9,04 s; c) 8.44 s d) 9,04 s.
36) Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 60
,5
segundos después del lanzamiento, se lanza otro cuerpo en las mismas condiciones. ¿A qué altura
del lugar del lanzamiento se encontrarán los dos cuerpos?
Rta: 183.35 m
37) Dos cuerpos se mueven siguiendo los lados de un ángulo recto. Si partieron simultáneamente
del vértice con velocidades de 25
y 32
respectivamente, ¿a qué distancia se encontrarán
uno del otro cuando hayan transcurrido 10 segundos?
Rta: 406 cm
38) Interpretar cómo ha variado la velocidad. Trazar el diagrama de v=f(t) y decir:
a) Cuál es la distancia total recorrida en base a ese diagrama.
b) Cuál es el desplazamiento efectuado
Rta: a) 90 m; b) 30 m
39) Exprese analíticamente las ecuaciones del movimiento a partir de los datos de cada una de las
siguientes gráficas.
2
4
t(s)
3
12
t(s)
5 t(s)
Rta: a) x(t)=2 m/s . t; b) x(t)= 10 m + 1,67 m/s . t; c) x(t)= 10 m - 2 m/s . t
40) Un móvil recorre una recta con v = cte. En los instantes t1=0,5 s y t2 = 4s sus posiciones son
x1=9,5 cm y x2=27 cm. Determinar:
a) La velocidad del móvil.
b) La posición en t=0.
c) Las ecuaciones del movimiento.
d) La posición del móvil en t=2 seg.
e) Los gráficos de la posición del móvil y su velocidad en función del tiempo.
Rta: a) 5 cm/s; b) 7 cm; c) x=7 cm + 5 cm/s. t; d) x (t=2s) = 17 cm
41) ¿Cuál de los dos movimientos rectilíneos representados tiene mayor velocidad? ¿Por qué?
42) Analizaremos distintos casos para dos automóviles que se desplazan con MRU por la misma
ruta. Supongamos para todos los casos: v1=100
y v2=50
. Para cada caso habrá que hacer
la representación gráfica de las funciones horarias y también resolver el problema analíticamente.
a) El móvil 1 sale de Bs. As., mientras y el móvil 2 de Viedma (tomar km=1.000), a la misma
hora, ambos rumbo al sur del país. ¿Dónde y cuándo se encuentran?
Rta: 20 h. a 2.000 km de Bs. As
b) El móvil 1 sale de Bs. As., mientras que el móvil 2 había salido de Viedma, pero 5 horas
antes, ambos rumbo al sur. Hallar dónde y cuándo se encuentran.
Rta: 25 h. a 2500 km de Bs. As.
c) El móvil 1 sale de Bs. As. 10 hs después del momento en que el móvil 2 salió desde
Viedma, ambos rumbo al sur. ¿En qué lugar y a qué hora (contada a partir del que salió
más temprano) se encuentran?
Rta: 40 h. a 3000 km de Bs. As.
43) Dos móviles pasan simultáneamente con M.R.U. por dos posiciones A y B distantes entre sí 3
km con v=54
y 36
respectivamente paralelas al segmento AB y del mismo sentido. Hallar
analítica y gráficamente la posición y el instante de encuentro.
Rta: 10 min a 9 km de A
44) Dos móviles pasan simultáneamente con M.R.U. por dos posiciones A y B distantes entre si 6
km con velocidades de 36
y 72
respectivamente, paralelos al segmento AB y de sentidos
opuestos. Hallar analítica y gráficamente la posición y el instante de encuentro.
Rta: 200 s a 2 km de A
45) Un motociclista pasa por un semáforo con v=50
constante. En el mismo momento un
camión pasa por el mismo lugar y con igual sentido a una velocidad constante de 80
. ¿Cuánto
tiempo después estarán separados 3 cuadras (300 m)?
Rta: 36 s.
46) En una esquina, una persona ve como un muchacho pasa en su auto a una velocidad de 20
.
Diez segundos después una patrulla de la policía pasa por la misma esquina persiguiéndolo a 30
.
Considerar que ambos mantienen su velocidad constante. Determinar:
a) A qué distancia de la esquina alcanzará el policía al muchacho.
b) En qué instante se produce el encuentro.
Rta: a) 30 s; b) 600 m
47) La casa de Juan se encuentra a 900 m (9 cuadras) de la casa de Diana. Caminando con
velocidad constante, Juan tarda 10 minutos en cubrir esa distancia, mientras que Diana la recorre
en 15 minutos. Cierto día parten ambos a las 15 hs., cada uno desde su casa y dirigiéndose a casa
del otro. Determine a qué hora y a qué distancia de la casa de Diana se encuentran.
Rta: 15 h 6 min; a 360 m
48) Dos trenes que marchan sobre vías paralelas, parten simultáneamente desde dos estaciones
que distan 3 km con igual sentido. El tren que va más adelante, se mueve con v1=80
que el que va detrás lleva una v2=120
mientras
.Determine:
a) Cuánto tiempo tardan en alcanzarse
b) Qué distancia recorre cada tren antes de encontrarse
Rta: a) 4,5 min b) 9 km y 6 km respectivamente
49) Un auto pasa por un punto A con una velocidad de 50
. Dos horas más tarde y en el mismo
sentido pasa un segundo móvil con una velocidad constante de 75
. Calcular en qué instante, a
partir del instante en que pasa el primer móvil, se encuentran y a qué distancia de A. Elija otro
sistema de referencia y resuelva el mismo problema.
Rta: 6 h a 300 km
50) Si en el problema anterior el primer móvil hubiese tenido una velocidad de 80
, ¿qué
resultado obtendría? Interprete el mismo.
Rta: No se encuentran.
51) Las estaciones A y B se encuentran separadas 300 km. A las 4: 40 un tren parte de A viajando
con v1= 60
constante. En otro momento, otro tren parte desde B en igual dirección y sentido
que el primer tren, pero viajando a 20
. Sabiendo que cuando son las 12 horas se encuentran,
determinar analítica y gráficamente a qué hora salió el segundo tren y dónde se encontraron.
Rta: 5:00 a 440 km de A
52) El manual del auto Renault Clío RLD informa que puede pasar de 0 a 100
cambio el del Peugeot 405 GR dice que pasa de 0 a 100
que pueden desarrollar estos dos automóviles en
en 10,1 s. Calcular las aceleraciones
.
Rta: Clío: 1,98
53) Las leyes de velocidades correspondientes a 2 móviles son:
v1 (t) = 2
+1
.t
v2 (t) = 2
-1
.t.
en 14 s; en
; Peugeot: 2,75
.
a) Grafique ambas.
b) Analice los movimientos.
c) Suponiendo en ambos casos que xo=0, escriba y grafique ambas ecuaciones horarias.
54) Un avión parte del reposo con aceleración constante, y carretea 1800 m por la pista antes de
despegar, en 12 segundos. ¿Con qué velocidad abandona la pista?
Rta: 300
.
55) ¿Es posible que un cuerpo esté en reposo y su aceleración sea diferente de cero, aunque sea
un instante? Justificar.
56) Un tren reduce uniformemente su velocidad desde 12
hasta 8
en una distancia de 100
m. Calcular la aceleración de frenado, y la distancia que recorrerá hasta detenerse, si prosigue así
desde el comienzo.
Rta: - 0,4
57) Un cuerpo se desplaza con una aceleración de 1
y vo = 2
; 180 m.
.
¿Cuál es su velocidad para t = 5 seg?
Escriba la ecuación horaria correspondiente.
¿Cuánto se desplazó el móvil entre 5 y 6 seg?
Rta: a) 7
; c) 7,5 m.
58) Dos móviles parten con v0=0, el uno hacia el otro, desde los extremos de un segmento de 5 m
de longitud, los valores absolutos de las aceleraciones son a1 = 0,2
y a2= 0,30
,
respectivamente. Averiguar gráfica y analíticamente en qué instante se produce el encuentro y a
qué distancia de los extremos.
Rta: 4,47 s; 2 m y 3 m respectivamente.
59) El conductor de un tren subterráneo de 40 m de longitud, y que marcha a 15
, debe aplicar
los frenos 50 m antes de entrar a una estación cuyo andén mide 100 m de longitud. Calcular entre
qué valores debe hallarse el de la aceleración de frenado, para que el tren se detenga dentro de
los límites del andén.
Rta: -0,75
60) Se dispara un objeto verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 30
≤ a ≤ -1,25
. Se pide:
.
a) Plantear las ecuaciones del movimiento.
b) Calcular su posición y velocidad al cabo de 2 s, 4 s y 8 s de su lanzamiento. Interpretar.
c) Determinar en qué instante vuelve a pasar por el punto de partida.
d) Determinar el instante para el que la altura es máxima, y el valor de dicha altura.
e) En qué instante se encuentra a 25 m de altura
Rta: a)
;
b) 40m y 10
;
; 40m y -10
; -80m y -50
;
c) 6 s;
d) 3 s; 45 m;
e) 1 s; 5 s.
61) Un globo con gas asciende con velocidad constante de 10
. Cuando se encuentra a 15 m del
piso, un muchacho le dispara una piedra con una gomera, que parte verticalmente a 30
.
Determinar:
a) Cuánto tiempo después de partir la piedra alcanzará al globo
b) A qué altura del piso alcanzará la piedra el globo
c) Cuál será la velocidad de la piedra (respecto de tierra) en ese instante. Interpretar.
Rta: a) 1 s, b) 25 m, c) 20
.
62) Los puntos A y B están en la misma vertical, pero A está 512 m más arriba. Desde A se deja
caer una bola y 4,3 s más tarde, se deja caer otra desde B. Sabiendo que ambas llegan al suelo
simultáneamente, averiguar:
a) A qué altura está B
b) Cuánto duró la caída desde A
Rta: a) 480 m; b) 14,1 s.
63) Un cuerpo cae desde cierta altura. En el punto A de su trayectoria tiene una velocidad de 30
y en el punto B, 79
. ¿Cuánto tardó en recorrer la distancia AB y cuál es ésta distancia?
Rta: 4,9 s; 267 m.
64) Dos cuerpos están situados en una misma vertical. El de arriba se deja caer en el mismo
instante en que el de abajo es lanzado hacia arriba con una velocidad de 80
. ¿Desde qué altura
deberá dejarse caer el de arriba para que ambos se encuentren justamente donde el de abajo
alcanza su altura máxima?
Rta: 640 m
65) Se deja caer una pelota que está en reposo, desde la cornisa de un edificio. Más abajo hay una
ventana de 2m de alto, y la pelota emplea 0,2 s en pasar frente a ella. Con ésta información,
determinar a qué distancia por debajo de la cornisa está el marco superior (dintel) de la ventana.
Rta: 4,05 m
66) Desde un punto A de una recta parten dos móviles con v1 = 50
horas después con v2 = 70
y el segundo, sale tres
.Determinar:
a) A qué distancia de A se encuentran
b) A qué hora respecto a la hora de partida del primero
Rta: a) 525 Km; b) 10,5 h
67) Desde un punto A de una recta parte un móvil con una velocidad de 3
. Desde otro punto de
la misma recta, 3 m a la derecha de A y 2 segundos después, parte un segundo móvil con una
velocidad de 6
. Calcule:
a) A qué distancia de A se encuentran.
b) A qué tiempo respecto del primero lo hacen.
Rta: a) 9m; b) 3 s.
68) Dos móviles parten simultáneamente desde dos puntos A y B situados sobre una misma recta
en sentidos opuestos. El primer móvil tiene una velocidad de 30
y el segundo una de 45
.
Sabiendo que la distancia entre ambos puntos es de 200 Km calcule:
a) A qué distancia con respecto de A se encuentran
b) El intervalo de tiempo entre la partida y el encuentro.
Rta: a) 80 Km; b) 2,7 hs.
69) Desde una localidad A parte hacia B un móvil con una velocidad de 30
. Desde B parte
hacia a otro móvil hacia A con el doble de velocidad y tres horas después, sabiendo que la
distancia entre ambas localidades es de 800 Km. Calcular:
a) Distancia sobre la recta AB medida a partir de A donde ambos móviles se encuentran.
b) Tiempo de encuentro a partir del momento en que el móvil de A parte hacia B.
Rta: a) 326,4 Km; b) 10,88 hs.
70) Una piedra es lanzada hacia arriba hasta una altura de 15 m. Determinar:
a) Cuánto tiempo tarda en caer
b) Hasta que altura subiría si la velocidad inicial aumentara al doble
Rta: a) 1,75 s; b) 60 m
71) Un cuerpo A es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 30
,
simultáneamente se deja caer otro cuerpo B desde una altura de 210 m.
a) Hallar cómo varía la distancia entre ambos cuerpos en función del tiempo.
b) Hallar el tiempo de encuentro.
72) En un pozo de 600 m de profundidad se deja caer una piedra, 2 segundos después se arroja
una segunda piedra, determinar con qué velocidad inicial se debe arrojar la segunda piedra para
que ambas se crucen en la mitad de la altura del pozo.
Rta: 23,03
.
73) Desde una ventana que está a 7 m, un chico lanza verticalmente hacia arriba una pelota con
velocidad inicial de 8
. Simultáneamente otro chico que se encuentra a 4 m arroja verticalmente
hacia arriba otra pelota con velocidad inicial de 10
. Calcular:
a) El instante en el que las pelotas se encuentran a la misma altura.
b) El valor de dicha altura.
c) Determinar, justificando matemáticamente, si cuando se encuentran las pelotas, están
ascendiendo o descendiendo.
Rta: a) 1,5 s; b) 7,75 m c) Descendiendo ambas.
74) Dos móviles se desplazan sobre una trayectoria rectilínea y en el mismo sentido. En el instante
t = 0 tienen la misma velocidad y la distancia que los separa es de 32 m. el que va adelante
desacelera a razón de 1
y el que va detrás continúa con velocidad constante de 10
. Calcular
la posición y el tiempo de encuentro.
Rta: 80 m; 8 s.
75) Dos móviles pasan simultáneamente y con igual velocidad por dos puntos AB separados una
distancia de 750 m sobre una trayectoria rectilínea. Mientras el primer móvil continúa con
velocidad constante de 10
de 2
, el segundo móvil, que marcha en sentido contrario, acelera a razón
. Calcular la posición y el tiempo de encuentro.
Rta: 191,3 m; 39,16s.
76) Desde un puente que está a 50 m sobre el nivel del agua, un chico deja caer una piedra y un
segundo más tarde arroja hacia abajo una segunda piedra con velocidad inicial de 20
. Calcular
cuánto tiempo después del lanzamiento de la primera piedra se encuentran las dos piedras y la
posición respecto del agua.
Rta: 1,5 s; 36,53 m
77) Un vehículo va a una velocidad de 108
el conductor ve un árbol caído en el camino 100 m
al frente de su posición. Para aplicar los frenos, tarda
de 6
s y después continúa frenándose a razón
. Calcule el tiempo total que tarda en detenerse desde que ve al árbol e indique si puede
evitar el choque.
Rta: 5,75 s; evita el choque.
78) Un automóvil con exceso de velocidad viaja a 100
y pasa frente a un patrullero en
motocicleta que se encuentra parado al costado de la ruta. El policía sale inmediatamente a su
persecución, acelerando durante 12 s a razón de 3
y continuando luego a velocidad constante.
Calcule la distancia que ambos vehículos recorren y el tiempo empleado por el policía en alcanzar
al automóvil.
Rta: 729,7 m; 26,27 s.
Dinámica
Avancemos un poco más en el modelo que trata de explicar a la naturaleza. Hasta ahora hemos
ejercitado el concepto de velocidad y aceleración, junto con el de trayectoria y posición de una
partícula.
Vamos a seguir con el concepto de partícula pero ahora nos centraremos en analizar las causas
que producen el movimiento. Cabe aclarar que esta sección abarca la anterior, por lo que los
ejercicios van a exigir que el tema cinemático esté bien fijado, para centrar la atención en los
nuevos conceptos.
Escalando, entonces, en el nivel de abstracción, comenzaremos definiendo a la fuerza como la
responsable de la variación del movimiento de un cuerpo. Este concepto, es reformulado en la
teoría de la relatividad, pero tomaremos aún así el viejo concepto como una aproximación válida
para seguir estudiando el movimiento.
Antiguamente, existieron muchas explicaciones sobre la “causa” que produce el movimiento, ya
Aristóteles propuso explicaciones interesantes aunque no reales sobre este punto.
Históricamente, fue Sir Isaac Newton en el siglo XVI quien formalizó este concepto introduciendo
en la física el concepto de cálculo y que nos permitió hacer los ejercicios en la sección anterior. La
matemática que utilizamos se debe a Newton. Galileo, que fue el padre de la física por darle el
carácter experimental, no poseía las herramientas que nosotros utilizamos, sus trabajos estaban
basados en geometría pura.
Volviendo a Newton, en su publicación Principios Matemáticos de la Filosofía Natural, así se la
llamaba a la física, introduce tres principios, que algunos autores consideran leyes. Estos tres
principios forman parte del cimiento conceptual y matemático de la física clásica.
Además, introduce el concepto de trabajo y energía de un sistema, dando así las herramientas que
hasta el día de hoy se utilizan en la física moderna para analizar cualquier sistema físico.
Durante el transcurso de la carrera, profundizaremos mucho más los aportes que han surgido en
ese siglo, no solamente lo hecho por Newton sino también por grandes matemáticos.
No ahondaremos mucho más en la parte histórica, no porque no sea importante sino porque nos
desviaremos el objetivo del curso.
Empecemos entonces por enunciar los tres principios de Newton:
Primer principio: Principio de inercia
Durante mucho tiempo se trató de formalizar el concepto de inercia, fue quizás Descartes quien le
dio la forma final y Newton lo incorpora a su trabajo. No daremos la definición exacta de este
principio pero si lo enunciaremos en líneas generales.
Todo cuerpo que está en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme, permanecerá en ese estado
a menos que se ejerza alguna fuerza sobre él.
Este enunciado, que parece obvio, no lo es. Lo que pretende este principio es determinar la causa
del movimiento o de la falta de él, recordemos que con Galileo la física de desprende de la filosofía
pero aún necesita de ella, para explicar a la naturaleza no solamente usa el lenguaje matemático
sino que se nutre de principios filosóficos, este enunciado sienta la base de la definición de
movimiento y reposo a partir del concepto, luego modificado, de fuerza.
Ernest Mach, consideró caprichosa la definición de fuerza y propuso un modelo donde la fuerzas
no existen, mucho tiempo después, Albert Einstein reformula la definición de fuerza, pero no
modifica su tratamiento matemático. Por lo tanto, el primer principio, aunque cuestionado, pone
el primer cimiento formal.
Segundo principio: Principio de masa
Este principio define a una cantidad que permanece constante y es una propiedad de los cuerpos,
más precisamente, la resistencia que posee un cuerpo a cambiar su estado.
Newton demostró esta constancia tomando una masa conocida, ejerciéndole una fuerza externa y
midiendo la variación de su velocidad, o sea, su aceleración. Observó que para distintas
intensidades de fuerza, correspondían aceleraciones proporcionales a ella. Cabe aclarar que
cuando hablamos aquí de fuerza, nos referimos a la fuerza resultante sobre el cuerpo, ya que el
mismo puede estar sometido a varias fuerzas a la vez. De lo anterior se concluye que:
Tercer principio: Principio de interacción
A este principio se lo conoce por el mal llamado principio de acción y reacción. Este principio dice
lo siguiente:
Cuando dos cuerpos interaccionan, lo hacen de tal forma que aparecen un par de fuerzas de igual
intensidad pero de sentido contrario.
Este principio fundamentalmente explica el por qué los cuerpos están en equilibrio cuando
interaccionan entre sí. Cabe aclarar que este principio no contradice el segundo, ya que el mismo
habla de fuerzas exteriores y este, explica cómo una mesa que tiene un cuerpo que posee peso no
cede ante esa fuerza propia del cuerpo, de aquí se deduce que la mesa debe ejercer una fuerza
hacia el cuerpo de tal forma que la suma de las dos sea nula.
Cabe aclarar también que este principio fue y es aún cuestionado, lo notable, es la simple
explicación que dio Newton en su época: no sabemos si esto es o no verdad, lo que sabemos es
que funciona.
Nota: Los tres principios se cumplen a la vez, no existe un orden de tal forma que se cumplan de
acuerdo a lo enunciado. En realidad, la división de tres principios es a los fines conceptuales.
Aclaremos esto con un ejemplo que cita Paul Tipler en su libro:
Sea un caballo atado a un carro, el caballo, sabiendo estos principios se podría negar a tirar de él
porque de acuerdo al tercer principio, no lograría el movimiento, pero el carro, que también
piensa y habla le dice al caballo que la fuerza que él ejerce no es sobre el carro sino sobre el piso
para vencer la fuerza de rozamiento, que termina siendo la misma fuerza que hacemos todos los
seres al caminar. Por lo tanto en este ejemplo el caballo hace fuerza sobre el carro y éste sobre él,
entonces debe repartir la fuerza con sus piernas, venciendo la inercia del carro y la suya propia,
además utilizando la rugosidad del piso (rozamiento) para avanzar. Para determinar el valor de la
fuerza resultante, recurre al segundo principio, midiendo la aceleración, o sea, la variación de la
velocidad en el tiempo o en la trayectoria.
Ahora bien… ¿qué es eso de la fuerza de roce?
Definimos a la fuerza de rozamiento como una fuerza de interacción que aparece entre distintos
materiales y su valor depende de las características del mismo. Matemáticamente se halla de la
siguiente forma:
Donde μ se lo llama coeficiente de rozamiento y depende de los materiales que interactúan, salvo
casos excepcionales, siempre vale menos que 1. Esos casos excepcionales no los vamos a tratar,
pero, a modo de ejemplo, se puede citar el coeficiente de rozamiento entre las cubiertas calientes
de los autos de fórmula 1 y el asfalto.
N, es la fuerza normal al plano donde interactúan los cuerpos.
La fuerza de roce siempre se opone al movimiento, por lo tanto, cuando hayamos resultantes
sobre un cuerpo que tiene rozamiento, el sentido de la fuerza de roce siempre es contrario al
sentido del movimiento.
Dividiremos este capítulo en dos secciones, luego de la ejercitación propuesta, retomaremos el
tema incorporando y explicando trabajo y energía mecánica.
Empezaremos ahora con ejercicios de ejemplo para ver cómo se utiliza todo lo expuesto hasta
aquí y como sugerencias para la resolución de la ejercitación propuesta.
Ejemplo 1:
Un cuerpo de 40 kg se desliza sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad de
20
. En cierto momento se le aplica una fuerza horizontal en sentido contrario a la velocidad. El
cuerpo se detiene luego de recorrer 100 m. Calcule:
a) El tiempo que demora en detenerse.
b) El módulo de la fuerza aplicada.
Solución:
Determinemos los datos del problema:
Masa: m = 40 kg
Velocidad inicial:
Desplazamiento:
Determinemos las incógnitas del problema:
Tiempo: t
Fuerza: F
Habiendo ejercitado con cinemática, nos damos cuenta que con los datos dados podemos hallar la
aceleración y con la misma, el tiempo y la fuerza por el segundo principio.
Punto a)
Empecemos, entonces, estableciendo un sistema de referencia y hallando la aceleración partiendo
de la fórmula de velocidad en función de la posición:
Tomemos como eje positivo el sentido del movimiento, esto es, positiva la velocidad.
Entonces:
Ahora bien, como el problema nos dice que se detiene, sabemos que la velocidad final es cero,
entonces:
Despejando la aceleración:
Calculamos su valor:
Es razonable que nos dé un valor negativo ya que va frenando.
Con este valor, calculamos el tiempo que demoró en detenerse, utilizando la fórmula de la
velocidad en función del tiempo:
De nuevo, sabemos que la velocidad final vale cero, entonces:
Despejamos t de la ecuación:
Reemplazamos con los datos y calculamos:
Punto b)
Para hallar el valor de la fuerza, utilizamos el segundo principio:
Sabemos que la fuerza que tenemos que hallar es la resultante, por lo tanto el símbolo sumatorio
se resume en una sola fuerza.
Nos queda entonces:
Reemplazamos los valores y calculamos:
Como vemos, nos queda la fuerza negativa, lo cual es razonable ya que es contraria al sentido del
movimiento.
El problema nos pide el módulo de la fuerza, es decir, su valor absoluto, por lo tanto la respuesta
es:
Tomemos otro ejemplo.
Ejemplo 2:
Un cuerpo cuelga sostenido de un dinamómetro puesto en el techo de un ascensor que desciende
con aceleración constante de 2
. Si la indicación del dinamómetro es de 3,9
, calcular:
a) La masa del cuerpo
b) Cuanto indica el dinamómetro si el ascensor asciende con aceleración constante de 2
.
c) El peso del cuerpo cuando el ascensor está detenido.
Solución:
Lo que marca el dinamómetro es la magnitud de la fuerza normal ejercida por el dinamómetro
sobre el cuerpo. Como el cuerpo está en reposo respecto del ascensor tanto uno como el otro
poseen la misma aceleración. Sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: la fuerza producida por la
aceleración de la gravedad hacia abajo (m.g) y la fuerza normal del dinamómetro Fn, hacia arriba.
La suma de ambas es la causa de la aceleración observada sobre el cuerpo.
Elegimos como positiva la dirección hacia arriba.
Punto a)
Aplicamos el segundo principio:
Desglosamos el término sumatorio:
Como el ascensor desciende, la aceleración es hacia abajo, por lo tanto:
Despejamos la masa:
Reemplazamos por los datos y calculamos:
Punto b)
En este caso el ascensor asciende por lo tanto la aceleración es positiva:
Despejemos la fuerza normal, recordemos que es lo que marca el dinamómetro.
Reemplazamos por los datos y calculamos:
Punto c)
Para saber el peso del cuerpo utilizamos:
Reemplazamos por los datos y calculamos:
Hagamos otro ejemplo.
Ejemplo 3:
En el dispositivo de la figura, se desprecian los rozamientos, la masa de la cuerda y la influencia de
la polea. Teniendo en cuenta que la tensión de la cuerda es de 6
sistema es de 1,5
y que la aceleración del
calcular la masa de los dos cuerpos.
Solución:
Establezcamos un sistema de referencia positivo hacia el cuerpo 2.
En toda ejercitación es conveniente dibujar el diagrama de cuerpo libre (DCL), que es un diagrama
donde se ponen de manifiesto todas las fuerzas actuantes sobre el cuerpo, punto que hemos
omitido en el ejercicio anterior por considerarlo trivial para ese ejercicio, pero, es altamente
recomendable hacer el DCL siempre.
Para el cuerpo de masa 1:
Donde
es la tensión que hace el cuerpo 2 sobre el 1.
Omitimos el peso y la normal ya que los mismos, al no haber rozamiento, no intervienen.
Para el cuerpo de masa 2:
Donde
es la tensión que hace el cuerpo 2 sobre el 1.
Ahora planteamos las ecuaciones para los dos cuerpos utilizando el segundo principio:
Para el cuerpo 1:
Para el cuerpo 2:
Aclaración: tanto
como
poseen el mismo valor, sino la cuerda se estiraría hasta romperse.
En nuestro problema nos dan ese valor como dato.
Tomando la ecuación del cuerpo 1, despejamos la masa:
Reemplazamos por los datos y calculamos:
Ahora, tomemos la ecuación del cuerpo 2:
Despejamos la masa:
Reemplazamos por los datos y calculamos:
Ejemplo 4:
Un cuerpo de 800 N de peso es arrastrado por un plano inclinado de 25° con la horizontal con
aceleración constante de 1
. La fuerza de rozamiento entre el cuerpo y el plano es de 120 N.
Determinar:
a) La fuerza de arrastre.
b) El coeficiente de rozamiento.
Solución:
Tomemos un sistema de referencia positivo en el sentido del movimiento, es decir, ascendente en
el plano.
Efectuemos el Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) para determinar las fuerzas que actúan sobre el
cuerpo:
Hemos resaltado los ángulos que resultan iguales. ¿Cómo lo determinamos?
Hagamos de nuevo el esquema pero con la fuerza peso solamente:
Ahora planteamos las ecuaciones para cada eje de coordenadas, utilizando el segundo principio:
Para el eje x:
Para el eje y:
ya que no hay aceleración en este eje.
Ahora, pongamos los datos del problema:
;
Con estos datos, hallamos:
Con todo esto ya podemos resolver el problema.
Punto a)
De la ecuación en el eje x, despejamos:
Reemplazamos por los datos y calculamos:
Punto b)
De acuerdo a lo visto:
Entonces:
Reemplazamos por los datos y calculamos:
Ejercitación de Dinámica
1) un cuerpo se desplaza sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad de
módulo 40
. En cierto instante se le aplica una fuerza de igual dirección y sentido contrario al
vector velocidad de 5
y el cuerpo se detiene a los 80 segundos de aplicada la fuerza.
Determinar:
a) La masa del cuerpo
b) La distancia que recorre hasta detenerse.
Rta: a) 10 utm b) 1600 m
2) Un cuerpo cuya masa vale 8 kg se desliza con rozamiento despreciable sobre un plano inclinado
recorriendo, a partir del reposo, 15,6 m en 2 segundos. Calcular:
a) La aceleración del cuerpo
b) La componente del peso paralela al plano
c) La inclinación del plano inclinado con respecto a la horizontal.
d) Si se coloca sobre el plano otro cuerpo del doble de masa del anterior, el tiempo que
demora.
Rta: a) 7,8
; b) 6,4
; c) 52° 42’; d) 2 s.
3) Un cuerpo de 200 gramos se mueve horizontalmente a una velocidad de 20
durante 0,05
segundos. Se le aplica una fuerza de igual dirección y sentido contrario al vector velocidad. El
cuerpo invierte el sentido del movimiento y adquiere una velocidad de 80
inmediatamente
después de la aplicación de la fuerza. Calcule el valor medio de la fuerza aplicada.
Rta: 400 N.
4) Una fuerza aplicada a un cuerpo de masa 2 kg le produce una aceleración de 3
. Calcule la
aceleración que le comunicará dicha fuerza si actuara sobre:
a) Un cuerpo de 1 kg
b) Un cuerpo de 4 kg.
Rta: a) 6
5) Una fuerza de 4
aplicada a un cuerpo le comunica una aceleración de 1
; b) 1,5
.
. Halle la fuerza
que, aplicada a dicho cuerpo, le comunique una aceleración de:
a) 0,5
b) 5
.
.
Rta: a) 2
; b) 20
.
6) Calcule el peso de un cuerpo cuya masa es de:
a) 2 kg
b) 0,5 gr
c) 2 utm
d) 0,5 utm
Rta: a) 19,6 N; b) 0,0049 N; c) 19,6
; d) 4,9
.
7) Un bloque está suspendido del extremo de una cuerda. Calcule la masa de dicho bloque
sabiendo que la tensión de la cuerda es:
a) 4,9 N.
b) 1
.
c) 4,9 x 105 dinas.
Rta: a) 0.5 kg; b) 0,102 utm; c) 0.5 kg.
8) Calcule la aceleración producida por una fuerza de:
a) 5 N aplicada sobre una masa de 2 kg.
b) 5 dinas sobre una masa de 2 gr.
c) 5
sobre una masa de 2 utm.
d) 1
sobre un cuerpo de 9,8
de peso.
Rta: a) 2,5
; b) 2,5
; c) 2,5
; d) 1
.
9) Calcule la fuerza que le comunicará una aceleración de:
a) 2
b) 80
a una masa de 2 kg.
a una masa de 50 g.
Rta: a) 4 N; b) 4000 dinas.
10) Determine la distancia que recorrerá un cuerpo de 5 kg de masa, que partió del reposo y actúa
sobre él una fuerza de 1 N durante 10 segundos.
Rta: 10 m.
11) Calcule la fuerza necesaria para detener en 5 segundos un automóvil de 1500 kg que marcha a
una velocidad de 90
. Expresar el resultado en el sistema técnico. ¿Qué distancia recorrerá
hasta detenerse?
Rta: 762
; 62,5 m
12) Calcule la aceleración y el tiempo que tarda en recorrer 70 m un cuerpo de 12
acción de una fuerza constante de 3
sometido a la
.
Rta: 2,45
13) Un cuerpo de 100
; 7,56 s.
está suspendido del extremo de una cuerda está moviéndose. Determine
la aceleración del mismo cuando la tensión en la cuerda es de:
a) 125
b) 80
c) 100
Rta: a) 2,45
14) El ascensor de una mina que pesa 800
hacia arriba; b) 1,96
hacia abajo; c) 0
arranca hacia arriba con una aceleración de 6
.
.
Calcule la tensión del cable.
Rta: 1290
15) Un cuerpo de 1500
que está suspendido de un cable desciende con una velocidad de 4
.
.
Sabiendo que la distancia que recorre hasta detenerse es de 3 m, calcule la tensión en el cable
suponiendo que la desaceleración es uniforme.
Rta: 1908
16) Determine la fuerza necesaria hacia arriba que se debe aplica a un cuerpo de 50
aceleración de caída sea de 3
.
para que la
.
Rta: 34,7
.
17) Determine la fuerza que debe aplicarse a un cuerpo de 2 kg para que ascienda con una
aceleración de 1,6
.
Rta: 22,8 N.
18) el peso de un ascensor es de 1200
a) Asciende a razón de 1
b) Desciende a razón de 1
. Calcule la tensión en el cable cuando:
.
.
Rta: a) 1322
; b) 1078
.
19) De los extremos de una cuerda de peso despreciable que pasa por una polea fija sin
rozamiento, se suspenden dos cuerpos de 2
y6
. Calcule:
a) La aceleración.
b) La tensión en la cuerda.
Rta: a) 4,9
; b) 3
.
20) Un ascensor arranca hacia arriba con una aceleración constante de forma tal que a los 0,8
segundos ha subido 1 m. Dentro de él va una persona que lleva un paquete que pesa 3
suspendido de un cordel. Calcule la tensión en el hilo.
Rta: 3,94
.
21) Calcule la fuerza media ejercida por los gases de la pólvora sobre un proyectil de 80 g que
adquiere, al salir del cañón de 3 m de longitud, una velocidad de 600
. Exprese el resultado en el
Sistema MKS y Técnico.
Rta: 480000 N = 48979,59
.
22) Calcule la fuerza media necesaria para detener, en una distancia de 30m, a un automóvil de
1200
, animado de una velocidad de 90
. Exprese el resultado en unidades del sistema
técnico y MKS.
Rta: 1275,51
23) un automóvil que pesa 1000
marcha a una velocidad de 90
= 12500 N.
. Calcular la fuerza de los
frenos para detenerlo en 70 m sobre una carretera horizontal.
Rta: 455,10
24) Un cuerpo de 25
.
cuelga del extremo de una cuerda. Hallar la aceleración del cuerpo si la
tensión es de:
a) 25
b) 20
.
c) 40
Rta: a) 0; b) -1,96
; c) 5,88
.
25) Un cuerpo de 2 kg pende del extremo de un cable. Calcular la tensión del mismo si la
aceleración es de:
a) 5
hacia arriba.
b) 5
hacia abajo.
Rta: a) 29,6 N; b) 9,6 N.
26) Calcular la fuerza que un hombre de 90
ejerce sobre el piso de un ascensor cuando:
Está en reposo
a) Asciende con una velocidad constante de 1
b) Desciende con una velocidad constante de 1
.
.
c) Está en reposo.
d) Asciende con una aceleración de 1
.
e) Desciende con una aceleración de 1
.
Rta: a) 0; b) 0; c) 0; d) 99,18
27) Calcular la mínima aceleración con la que un hombre de 90
una cuerda que sólo puede soportar una carga de 75
; e) 80,82
.
puede deslizarse hacia abajo por
.
Rta: 1,63
.
Rta: a) 77,1 N; b) 1,22
.
28) de una cuerda que pasa por una polea penden dos masas de 7 kg y 9 kg. Calcular:
a) La tensión en la cuerda
b) La aceleración del sistema.
29) Un tren suburbano está formado por tres vagones de 15 Tm (15000
ellos actúa de máquina y ejerce una fuerza de tracción de 4800
rozamiento en cada vagón es de 100
) de peso. El primero de
. Sabiendo que la fuerza de
calcular:
a) La aceleración del tren
b) La tensión de acoplamiento entre el primer y segundo vagón.
c) La tensión de acoplamiento entre el segundo y tercer vagón.
Rta: a) 0,98
; b) 3200
; c) 1600
30) Un bloque de 50
está en reposo sobre la horizontal. La fuerza mínima para ponerlo en
movimiento es de 15
y la fuerza mínima para mantenerlo en movimiento con velocidad
constante es de 10
.
. Calcular:
El coeficiente de rozamiento estático y dinámico.
La fuerza de rozamiento cuando al bloque se le aplica una fuerza horizontal de 5
Rta: a)
.
; b) 5
.
31) Sobre un bloque de 50
situado sobre una superficie horizontal se aplica una fuerza de 20
durante 3 segundos. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y el piso
es de 0,25, hallar la velocidad que adquiere.
Rta: 4,4
32) Sobre un bloque de 20
de 10
.
situado sobre una superficie horizontal se le aplica una fuerza neta
formando un ángulo de 30° con la horizontal. Sabiendo que al cabo de 3 segundos
adquiere una velocidad de 9
, calcular el coeficiente de rozamiento dinámico.
Rta: 0,1.
33) Un bloque está apoyado sobre una superficie horizontal. Esta superficie se va inclinando
gradualmente y cuando el movimiento del bloque es inminente el ángulo que forma con la
horizontal es de 15°. Se sabe también que para que el bloque se desplace a velocidad constante el
ángulo que forma la superficie con la horizontal debe ser de 21°. Calcular el coeficiente de
rozamiento estático y dinámico entre el bloque y la superficie.
Rta:
34) un bloque de 50
.
se mantiene en reposo sobre un plano inclinado 30° con la horizontal. El
coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y el plano es de 0,26. Calcular la fuerza
paralela al plano que es necesaria aplicar sobre el bloque para que éste ascienda por el mismo con
velocidad constante.
Rta: 36,25
.
35) calcular la aceleración de un bloque que desciende por un plano inclinado 30° con la
horizontal, sabiendo que el coeficiente de rozamiento dinámico es de 0,20.
Rta: 3,21
36) Los bloques A y B pesan 20 y 30
.
y el coeficiente de rozamiento es de 0,20. Calcular la
aceleración y la tensión en la cuerda.
Rta: 1,14
; 6,22
.
37) Un cuerpo de 40 kg se desliza sobre una pista horizontal sin rozamiento con una velocidad de
módulo 20
. En cierto momento se le aplica una fuerza horizontal de igual dirección y sentido
contrario a la velocidad. El cuerpo se detiene después de recorrer 100 m. Calcular:
a) El tiempo que demoró en detenerse.
b) Módulo de la fuerza aplicada.
Rta: a) 10 s.; b) 80 N.
38) Un cuerpo se desliza sobre una pista horizontal sin rozamiento a una velocidad de 40
. En
cierto instante se le aplica una fuerza horizontal de igual dirección y sentido contrario a la
velocidad y de módulo 5
. El cuerpo se detiene a los 80 segundos. Calcular:
a) La masa de cuerpo.
b) La distancia que recorre antes de detenerse.
Rta: a) 10 utm; b) 1600 m.
39) Se unen tres cuerpos apoyados sobre una mesa horizontal sin rozamiento y se ejerce una
fuerza de 140 N. Si m1 = 10 kg, m2 = 20 kg y m3 = 40 kg calcular:
a) La aceleración del sistema.
b) La tensión en las cuerdas.
Rta: a) 2
; b) T1 = 120 N, T2 = 80 N.
40) Un péndulo cuelga sin oscilar del techo de un vagón que se mueve en un tramo llano
horizontal. Un observador dentro del vagón comprueba que el péndulo permanece en reposo
formando un ángulo de 8° con respecto a la vertical. Determinar:
a) El tipo de movimiento que tiene el vagón.
b) La constante del movimiento.
Rta: a) MRUV b) 1,36
.
41) Un cuerpo de 12 kg está apoyando sobre un plano horizontal. Se aplica una fuerza constante
horizontal al plano que le comunica una aceleración de 0,4
. Si el coeficiente de rozamiento vale
0,2 calcular:
La fuerza ejercida.
La distancia que recorre a los 5 segundos de haberse aplicado la fuerza.
Rta: a) 28,8 N; b) 5 m.
42) En el dispositivo del esquema m1 = 20 kg, m2 = 10 kg. Se desprecian la masa de la cuerda y la
influencia de la polea, sabiendo que el coeficiente de rozamiento es de 0,4 y que al dejarlo en
libertad el sistema adquiere movimiento acelerado. Calcular:
a) La aceleración del sistema.
b) La tensión en la cuerda.
Rta: a) 0,65
43) El sistema del esquema desciende con una aceleración de 2
; b) 91,5 N.
. Sabiendo que el coeficiente de
rozamiento es de 0,4, m1 = 20 kg y m2 = 10 kg:
a) Realice el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos.
b) Calcule el valor de la fuerza y la tensión que soporta la cuerda.
Rta: F = 166,8 N; T = 156 N.
44) Un esquiador cuya masa con equipo es de 80 kg está en reposo esperando para comenzar la
bajada cuya pendiente forma un ángulo de 37° con la horizontal.
a) Mientras se mantiene en reposo, calcular el módulo de la fuerza de rozamiento.
b) Calcular la fuerza de rozamiento y la aceleración cuando desciende.
Rta: a) 480 N; b) 320 N, 2
.
Trabajo mecánico y energía mecánica
Habiendo ejercitado sobre fuerzas, ampliemos el concepto de la dinámica introduciendo los
conceptos de trabajo y energía. Estos conceptos fueron formalizados por Newton en su libro,
aunque no usó las palabras que usamos hoy para expresarlos.
Veamos el siguiente esquema:
Sea una masa a la que se le aplica una fuerza constante durante un cierto desplazamiento Δx,
descomponemos esa fuerza según la dirección del movimiento y su perpendicular, llamándolas FX
y FY respectivamente, formando un ángulo con respecto a la dirección del desplazamiento al que
llamamos α.
Hasta ahora, hemos aprendido a calcular la a aceleración de esa masa, las velocidades, la
magnitud de la fuerza, incluso, el desplazamiento.
Vamos a relacionar ahora a la fuerza aplicada con el desplazamiento. Esta relación nos da la
información sobre el estado del sistema, sin preocuparnos mucho qué ha sucedido entre el estado
inicial y el estado final del mismo. Si miramos el esquema, nada sabemos si realmente la masa se
movió en línea recta o fuer hacia distintas direcciones con diferentes trayectorias, el estado inicial
y final será el mismo. Durante el primer año de la carrera, profundizaremos la diferencia entre
desplazamiento y trayectoria. Por ahora, sólo diremos que son conceptos diferentes.
Entonces, expresaremos la formalidad de este estado definiendo al trabajo mecánico como:
El trabajo mecánico es igual al módulo de la fuerza por el desplazamiento por el coseno del ángulo
entre esa fuerza y el desplazamiento.
Resaltamos la última frase, vamos a ver casos donde debemos calcular el trabajo de fuerzas en
planos inclinados y muchas veces se presta a confusión el ángulo del plano inclinado con el ángulo
entre la fuerza y el desplazamiento siendo los dos conceptos distintos.
Vamos a desglosar la ecuación anterior, sabemos que Δx es la diferencia entre dos posiciones, Xf y
Xi de la forma, también llamado desplazamiento:
Además, en nuestro ejemplo:
Reemplazamos en la ecuación de trabajo:
Quedando:
Lo cual expresa el estado del sistema entre sus puntos final e inicial, sin importar por dónde fue la
masa.
Es de notar que la componente de la fuerza según el desplazamiento es quien realiza el trabajo, a
modos de ejemplo, si llevamos un maletín desde una esquina a otra de una cuadra y queremos
calcular el trabajo realizado, primero debemos realizar el DCL, cuando observamos que el ángulo
entre la fuerza aplicada y el desplazamiento, vemos que el mismo es de 90° y el coseno de ese
ángulo nos da 0, por lo tanto, cuando la fuerza aplicada es perpendicular al desplazamiento, no se
realiza trabajo, aun existiendo una fuerza.
Veamos un ejemplo:
Una persona debe arrastrar un bulto de 40 kg por una pendiente inclinada 30° a un punto situado
a 100 m de donde se halla con velocidad constante, para eso, ata una soga al bulto y se la coloca
en su cintura de tal forma que entre la horizontal al plano y la soga se forma un ángulo de 20° y
entre el plano y el bulto existe un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,1. Calculemos el
trabajo realizado por la persona.
Efectuemos el DCL.
Desarrollemos el segundo principio según cada eje de coordenadas:
Según X:
Pero, el problema nos dice que se mueve a velocidad constante, por lo que la aceleración vale 0,
entonces:
Según Y:
Pero la masa no va a los saltos, por lo que no se mueve en el eje y, queda entonces:
Vamos a poner las ecuaciones en función de los datos que tenemos:
Según X:
Según Y:
Observando, nos queda un juego de dos ecuaciones con dos incógnitas a saber, la fuerza realizada
y la normal. Cuidado, en este caso la normal no es igual a la componente del peso según Y,
recordemos que la fuerza normal es la interacción entre el plano sobre la fuerza neta que se ejerce
sobre él.
Despejemos, entonces, la normal de la ecuación según Y:
Reemplazamos la normal en la ecuación según X:
Hacemos distributiva y despejamos la fuerza:
Reemplazamos y efectuamos los cálculos:
Hemos hallado la fuerza que realiza la persona para llevar al bulto.
Ahora, debemos hallar el trabajo que realiza para llevarlo 100 m.
Reemplazamos y efectuamos los cálculos:
Nota: En este ejercicio, al existir fuerza de roce es importante por donde va, hemos asumido que
lo hacía en línea recta.
Hemos afirmado que el trabajo es una función de estado, o sea, nos informa el estado del sistema.
Existen dos funciones que también expresan el estado de un sistema:
Energía cinética:
Es la energía que posee un sistema cuando está en movimiento y se expresa como:
Energía potencial:
Es la energía que posee un sistema cuando está a una determinada altura con respecto a un plano
horizontal de referencia. Se expresa como:
Donde se denomina a h como la altura.
La suma de ambas, se denomina energía mecánica:
Una vez enunciadas las definiciones de energía, vamos a relacionarlas con el trabajo, dando así la
definición de tres teoremas fundamentales de la mecánica, que no demostraremos aquí por
exceder los objetivos del curso.
Teorema del trabajo total y la Energía cinética:
El trabajo neto sobre un sistema se expresa también como la variación de la energía cinética del
mismo:
El trabajo de la fuerza peso se expresa también como la variación de la energía potencial:
También se lo llama trabajo de las fuerzas conservativas.
¿Qué es una fuerza conservativa?
Daremos una definición muy breve ya que forma parte de la cursada profundizar este tema,
diremos que una fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado desde un punto inicial, yendo
por una trayectoria cerrada (es decir hasta un punto final que coincide con el inicial) es cero.
El trabajo de las fuerzas no conservativas es la variación de la energía mecánica:
Un ejemplo de fuerzas no conservativas es la fuerza de rozamiento. En particular, las fuerzas no
conservativas son aquellas que disipan energía.
Entonces:
Pero
Entonces:
Reacomodando términos:
O sea:
Y según lo dicho anteriormente:
Esto último se lo conoce como teorema de conservación de la energía.
Cuando en el sistema no existen fuerzas de tipo disipativas, es decir, fuerzas no conservativas, la
variación de la energía mecánica del sistema es cero.
Por último, definiremos a la potencia como el trabajo por unidad de tiempo:
Ejercitación de Trabajo mecánico y energía mecánica
45) Un cuerpo apoyado en un plano horizontal se le aplica una fuerza constante de 30
cuya
dirección forma un ángulo de 37° con el plano. Como consecuencia el cuerpo se desplaza con una
aceleración de 0,4
. Teniendo en cuenta que el cuerpo estaba inicialmente en reposo, que el
rozamiento es despreciable y que la fuerza estuvo aplicada durante 10 segundos determinar:
a) El trabajo realizado por la fuerza.
b) La masa del cuerpo.
Rta: a) 479,18 kgm; b) 59,89 utm
46) Un esquiador que pesa 70
es arrastrado por medio de un cable a velocidad constante sobre
una pista inclinada que forma un ángulo de 37° con la horizontal, la fuerza de rozamiento es de
120 N y el esquiador recorre 300 metros por la pista. Determinar:
a) La fuerza que ejerce el cable sobre el esquiador.
b) El trabajo realizado por dicha fuerza.
c) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.
Rta: a) 54
47) Un taco de madera de 8
; b) 16200 kgm; c) -3673,46 kgm.
está suspendido a 4 metros de altura respecto a un determinado
plano de referencia y se lo deja caer libremente. Calcular:
a) La velocidad que adquiere a 1,5 metros del plano de referencia.
b) La energía cinética que posee al alcanzar el plano de referencia.
Rta: a) 7
; b) 32 kgm.
48) Un taco de madera de 8 kg se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10
Determine:
a) A qué altura se encuentra cuando su velocidad es de 4
.
b) La energía potencial que adquiere a 1 metro por encima del plano de referencia.
c) La energía potencial máxima.
Rta: a) 4,28 m; b) 78,4 J; c) 400 J.
49) Un cuerpo de 4 kg cae libremente y cuando se encuentra a 3 metros del plano de referencia,
su velocidad es de 5
. Si inicialmente estaba en reposo, ¿Desde qué altura se dejó caer?
Rta: 4,27 m
50) Expresar en Joules y en ergios el trabajo realizado por una fuerza de 3 N cuyo punto de
aplicación se desplaza 12 m en la dirección de la fuerza.
Rta: 36 J = 3,6 x 108 ergios.
51) Calcule le trabajo realizado para elevar un cuerpo de 4
a una altura de 1,5 m. Exprese el
resultado en unidades del Sistema Técnico, MKS y CGS.
Rta: 6 kgm = 58,8 J = 5,88 x 108 erg.
52) Una bomba descarga 380 litros de agua por minuto en un depósito ubicado a 10 metros por
encima de ella. Determine el trabajo realizado por la bomba durante una hora. El peso específico
del agua es de 1
.
Rta: 228.000 kgm.
53) Un bulto de 400
se eleva hasta una plataforma a una altura de 1,50 metros por medio de un
plano inclinado de 6 metros de longitud. Calcule:
La fuerza paralela al plano que es necesaria aplicar.
El trabajo realizado por la bomba considerando el rozamiento despreciable.
Rta: a) 100
; b) 600 kgm.
54) Una cisterna con forma de cilindro de un metro de diámetro y dos metros de altura está
totalmente llena de agua. Calcule el trabajo necesario para bombear toda el agua de dicha cisterna
hasta un tanque elevado a cuatro metros por encima de la misma.
Rta: 6280 kgm.
55) Determinar la energía potencial que adquiere un cuerpo de 3
al subirlo hasta una altura de
seis metros. Exprese el resultado en unidades de los sistemas Técnico y MKS.
Rta: 18 kgm = 176,4 J.
56) Determine la energía cinética de un cuerpo de 12
que posee una velocidad de 1
. Exprese
el resultado en unidades de los sistemas Técnico y MKS.
Rta: 0,612 kgm = 6 J.
57) Un cuerpo de 2
cae desde una altura de 10 metros. Calcule la energía cinética del cuerpo al
llegar al piso y demuestre que es igual a la disminución que experimenta la energía potencial.
Exprese el resultado en los sistemas Técnico, MKS y CGS.
Rta: 20 kgm = 196 J = 1,96 x 109 erg.
58) Calcule la energía cinética de una bala de 5 g que lleva una velocidad de 600
. Exprese el
resultado en los sistemas Técnico, MKS y CGS.
Rta: 91,837 kgm = 900 J = 9 x 109 erg.
59) una fuerza constante actúa durante un minuto sobre un cuerpo de 3
velocidad de 2
comunicándole una
. Determinar:
a) La energía cinética adquirida por el cuerpo.
b) La intensidad de la fuerza.
Exprese el resultado en unidades del sistema MKS.
Rta: a) 6 J; b) 0,1 N.
60) Una banda móvil sube cajas de manzanas por un plano inclinado. Las cajas pesan 196 N y se
desplazan a razón de 10 cajas por minuto. El plano inclinado tiene 5 metros de longitud y su
extremo superior está a 1.4 metros más alto que el inferior. La banda se mueve con velocidad
constante. ¿Cuál es la potencia del dispositivo?
Rta: 45,7 W.
61) Un avión de caza tiene un solo motor de propulsión a chorro con un empuje de 5000
potencia desarrolla en HP al volar a 1116
¿Qué
?
Rta: 2,04 x 104 HP.
62) calcular el peso de un automóvil de 40 CV que marcha por una carretera horizontal con
velocidad constate de 50
, sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el
vehículo es igual a 0,5.
Rta: 434.78
63) A un cuerpo apoyado en un plano horizontal se le aplica una fuerza constante de 30
.
cuya
recta de acción forma un ángulo de 37° con la normal al plano. Como consecuencia, el cuerpo se
desliza con una aceleración de 0,4
. Teniendo en cuenta que el cuerpo estaba inicialmente en
reposo, que el rozamiento es despreciable y que la fuerza estuvo aplicada durante 10 segundos,
calcular:
a) El trabajo realizado por la fuerza.
b) La masa del cuerpo.
Rta: a) 360 kgm; b) 4,5 utm.
64) Un cuerpo de 20 kg se desliza por una pista horizontal. En el instante en que su velocidad es de
5
se le aplica una fuerza de 12
rozamiento vale 4
paralela a la pista y en el sentido del movimiento. La fuerza de
. Después de un recorrido de 6 metros, calcular:
a) Sumatoria de los trabajos de las fuerzas aplicadas.
b) Velocidad del cuerpo.
Rta: a) 48 kgm; b) 8,5
.
65) Un automóvil con su carga tiene una masa de 1000 kg y sube una pendiente de 37° a una
velocidad constante de 72
. Considerando que la suma de todas las fuerzas de rozamiento es
constante, paralela al desplazamiento y de valor 200 N, calcular la potencia que desarrolla el
motor.
Rta: 124 Kw.
66) Calcular desde qué altura deberá partir el móvil sabiendo que con la velocidad que debe llegar
al punto E también debe ser cero y que solamente existe rozamiento en el tramo DE.
Rta: 1 m.
67) Una fuerza de 120 N se aplica a un cuerpo que se desplaza una distancia de 5 metros. El ángulo
formado por la recta de acción de la fuerza y la dirección del desplazamiento es de 30°.
a) Calcular el trabajo que realiza la fuerza.
b) Calcular el trabajo que realiza la fuerza para un ángulo de 0°.
c) Calcular el trabajo que realiza la fuerza para un ángulo de 45°.
d) Calcular el trabajo que realiza la fuerza para un ángulo de 60°.
e) Calcular el trabajo que realiza la fuerza para un ángulo de 90°.
Rta: a) 519,62 J; b) 600 J; c) 424,26 J; d) 300 J; e) 0 J.
Estática
La estática es un caso particular de la dinámica en el cual se tratan las fuerzas cuando están
equilibradas, o sea, cuando la sumatoria de las fuerzas sobre un cuerpo da 0.
La dinámica posee como una de sus principios el segundo principio de Newton, tanto para la
traslación de cuerpos como para la rotación. Durante el primer año de la carrera se profundizarán
más estos conceptos, en lo que respecta al curso de ingreso, aclararemos que existe equilibrio de
traslación y equilibro de rotación. Para estudiar la traslación de un cuerpo, se hace a partir del
movimiento del centro de masas, es decir, el punto del cuerpo que no rota.
Enunciaremos ahora la formalidad matemática del equilibrio:
1) Para la traslación, la sumatoria de todas la fuerzas, o sea su resultante, debe ser cero:
2) Para la rotación, la sumatoria de los momentos, o sea el momento resultante, debe ser
cero.
Aclaración 1:
Suponiendo que tenemos tres fuerzas sobre un cuerpo entonces la letra n de la sumatoria de
fuerzas es 3 y la letra i es el contador de la sumatoria, entonces nuestra ecuación se transforma
para nuestro ejemplo en:
Las fuerzas son vectores.
Aclaración 2:
Se define el momento de una fuerza como el producto del módulo de dicha fuerza por la distancia
a un punto (pivote) por el seno del ángulo entre la fuerza y la distancia a dicho pivote. Como se
fundamentará en el primer año de la carrera, tomaremos la componente de la fuerza que forma
90° con la distancia, por lo tanto, el seno de 90° vale 1. Se aclara esto, ya que, también durante el
primer año se verá el trabajo de una fuerza, que también es el producto de una fuerza por un
desplazamiento, pero esta vez, por el coseno del ángulo. Por lo tanto no es correcto definir al
momento como simplemente el producto de una fuerza por una distancia ya que ello, no
solamente es erróneo conceptualmente sino que induce a la confusión con el trabajo de una
fuerza. Si la cupla gira en sentido horario, se dice que el momento es negativo, si es anti horario,
positivo.
La forma de sumar momento es la misma que sumar fuerzas, como se aclaró en el punto anterior.
El momento es un pseudovector.
Lo expuesto anteriormente es para sumar fuerzas y momentos analíticamente.
En lo que sigue, nos dedicaremos a resolver problemas en los cuales debemos hallar una fuerza
resultante, la misma, es el resultado de reemplazar cualquier número de fuerzas, por uno solo,
luego, para cumplir las ecuaciones antes mencionadas, sólo debemos sumarle algebraicamente
otra fuerza de igual módulo y sentido contrario, llamada equilibrante.
Para sumar fuerzas gráficamente utilizaremos dos métodos. El método de la poligonal y el método
del paralelogramo.
Método de la poligonal:
Este método es muy útil para sumar más de dos fuerzas y además cuando ellas no son
concurrentes (no tienen el mismo origen).
Como ejemplo, vamos a sumar gráficamente cuatro fuerzas que no son concurrentes:
El método consiste en lo siguiente:
En el extremo de F1, respetando su orientación, ponemos a F2, luego, en el extremo de F2, a F3 y así
sucesivamente, la resultante es aquella que sale de unir el origen de la primera con el extremo de
la última:
Método del paralelogramo:
Este método se utiliza con frecuencia para fuerzas concurrentes (fuerzas que poseen el mismo
origen), la suma se efectúa de a pares, utilizaremos como ejemplo las fuerzas anteriores pero
haciéndolas coincidir en el origen:
Vamos a efectuar la suma gráfica de a pares, es decir, sumaremos F1 con F2, su resultante con F3, y
la nueva resultante con F4 hallando la resultante final.
Para hallar la resultante trazamos, primero, una paralela a F2 que pase por el extremo de F1:
La resultante sale de unir el origen común con la intersección de las paralelas, a esta resultante
llamaremos R12:
Ahora, tomamos esa resultante y la sumamos a F3, llamaremos al resultado R123:
Ahora, con F4, a su resultante llamaremos, simplemente R
Como podemos observar nos dio la misma resultante que en el método de la poligonal.
Con esto se desea dejar en claro que el uso de uno ó el otro es a conveniencia del problema que se
plantee.
Veamos ahora el caso de fuerzas que son paralelas. Este tipo de fuerzas no efectuarán
desplazamiento al cuerpo sino que lo harán rotar. Ya hemos visto la formalidad matemática para
resolver analíticamente, esto es, la sumatoria de los momentos debe ser igual a cero.
Veamos ahora cómo se resuelve gráficamente.
Pueden existir dos casos de fuerzas paralelas:
Caso 1:
Fuerzas de igual sentido:
Para hallar la resultando primero trasladamos F2 sobre F1 respetando el sentido:
Luego, hacemos lo mismo con F1 sobre F2, pero cambiándole el sentido:
Ahora, unimos los extremos de ambas proyecciones con una recta:
La resultante se traza en la intersección de la recta que trazamos con la recta que une ambas
fuerzas. El módulo de la misma es la suma algebraica de F1 y F2.
Nota:
Hemos trasladado primero a F2, pero es indistinto empezar con F1, la resultante será la misma
(Pruébelo).
Caso 2:
Fuerzas de distinto sentido:
La metodología para resolverla es exactamente igual que la anterior, tomamos una fuerza, en este
caso F2, la trasladamos en la dirección de F1
Ahora, tomamos a F1 y la trasladamos en la dirección de F2, pero con sentido contrario:
Ahora, unimos los extremos de las fuerzas proyectadas con una recta:
En la intersección de esta recta con la prolongación horizontal del origen de ambas fuerzas se
encuentra la resultante que tendrá el sentido de la fuerza mayor (en nuestro caso F2) y su módulo
será la resta de ambas fuerzas.
Nota:
En el caso de que existan más de dos fuerzas, se debe trabajar de a pares, es decir, hallar una
primera resultante y con ella operar con la siguiente fuerza.
Ejemplo:
Se tienen dos fuerzas, F1 = 20 N y F2 = 30 N, ambas, paralelas y en el mismo sentido, separadas a 2
metros de distancia. Hallar la resultante analíticamente y gráficamente.
Primero, expresamos gráficamente el problema:
2m
Hallemos analíticamente la resultante:
Partimos de que la sumatoria de los momentos es igual a cero, entonces:
Donde d1 y d2 son las distancias al punto de pivote, en ese punto es donde estará la resultante, que
conceptualmente significa la fuerza que reemplazaría a las dos.
No tenemos como dato ni a d1 ni a d2, pero sabemos que la suma de ambas es de 2 m, ya que la
resultante estará entre las dos fuerzas por tener las dos el mismo sentido. Entonces:
Tenemos entonces dos ecuaciones con dos incógnitas, elegimos una de las ecuaciones,
despejamos una de las variables y la reemplazamos en la otra, en nuestro caso, despejaremos d1.
Reemplazamos en la ecuación de momentos, poniendo el signo de los mismos, F1, genera un
momento anti horario, por lo que es positivo, en cambio, F2 genera un momento horario, por lo
que es negativo:
Despejamos ahora la incógnita:
Con este dato hallamos d1:
Reemplazamos por los datos:
Entonces:
Ahora debemos hallar el valor de la fuerza resultante, ambas fuerzas tienen el mismo sentido, por
lo que las sumamos, su resultante, entonces nos da 50 N.
Ya hemos resuelto analíticamente el problema, vamos a resolverlo gráficamente, efectuaremos
todos los pasos juntos en un solo gráfico:
Ya con el gráfico hecho basta comprobar que la distancia de F1 a la resultante nos da lo calculado,
al igual que la distancia de F2 a la resultante.
Si se nos pide hallar la equilibrante, conceptualmente es el valor de la resultante cambiándole el
sentido.
Ejercitación de Estática
1) Represente las fuerzas en una escala apropiada, determine en forma gráfica y analítica la
resultante de los siguientes sistemas de fuerzas:
a)
b)
c)
d)
2) Dadas las fuerzas F1 = 50 N y F2 = 100 N, calcule en forma gráfica la resultante si el ángulo que
forman es de: a) 0°; b) 30°; c) 90°; d) 120°; e) 180°; f) 300°
3) Obtenga en forma gráfica y analítica, la resultante de dos fuerzas concurrentes de módulo F1 =
50 N y F2 = 100 N, si las mismas forman un ángulo de: a) 0°; b) 30°; c) 90°; d) 120°; e) 180°; f) 300°,
determinando el ángulo que la misma forma con F1.
Rta: a) 150N, β = 0°; b) 145,4 N, β = 20° 05’ 56.2”; c) 115,5 N, β = 63° 26’18” d) 86.6 N, β = 90°
e) 50 N, β = 180° f) 132,3 N, β = 40° 53’19”
4) Determine en forma analítica la resultante de un sistema de dos fuerzas concurrentes de F1 =
200 N y F2 = 300 N que forman entre sí un ángulo de 60°.
Rta: FR = 436 N, β = 36° 35’08”
5) Un cuerpo de 500 N de peso se encuentra sobre un plano inclinado de 37° con la horizontal.
Determine el valor de la fuerza paralela al plano y la fuerza normal en que se descompone el peso
del mismo.
Rta: FP = 300 N, FN = 400 N.
6) Calcule gráficamente y analíticamente la resultante del siguiente sistema de fuerzas
concurrentes utilizando la descomposición en sus componentes ortogonales.
7) Un cuerpo de 500
de peso, se encuentra sobre un plano inclinado que forma un ángulo de
60° con la horizontal. Calcule la reacción del plano R0 y la fuerza F necesaria para que el cuerpo no
se deslice por el plano.
Rta: R0 = 433.01
, F = 250
8) Determine la fuerza paralela al plano que se necesita para que un cuerpo de 800 N de peso no
se desplace por un plano inclinado de 45° con la horizontal.
Rta: 565,68 N
9) Dos cuerdas de peso despreciable, sostienen un cuerpo de 200
figura. Determine las tensiones en cada una de las cuerdas.
de peso, según lo indica la
Rta: TAB = 190,84
; TAC = 101.54
10) Una chata es remolcada mediante dos remolcadores. La fuerza ejercida por ambos, actuando
simultáneamente se traduce en una resultante de 60000 N, dirigida según el eje de la chata.
Determine la tensión de cada uno de los cables de remolque.
Rta: T1 = 43930 N; T2 = 53795 N
11) Si el módulo de un vector resultante de otra dos fuerzas perpendiculares entre si tiene un
valor de 100 N, y uno de ellos forma un ángulo de 30° con dicha resultante, hallar el valor de las
fuerzas.
Rta: F1 = 50 N, F2 = 86.6 N
12) Hallar gráficamente y analíticamente la resultante del siguiente sistema de fuerzas:
13) Para sacar un auto de una zanja se ata el extremo de una cuerda a un árbol y el otro extremo
al auto. En el punto medio se ejerce una fuerza de 100 N en la dirección perpendicular a la línea
que une el árbol con el auto. Calcular la tensión de la cuerda sabiendo que el ángulo que forma la
cuerda es de 170°. (Ver esquema)
Rta: T = 574,71 N
14) Hallar la resultante de cada sistema de fuerzas concurrentes y coplanares.
a)
b)
Rta: R = 59 N a 236°
Rta: R = 165.97 N a 3°
15) Hallar la resultante y la equilibrante de los siguientes sistemas de fuerzas:
a)
b)
Rta: R = 5 N a 53°, E = 5 N a 233°
Rta: R = 151 N a 25°; E = 151 N a 205°
16) Un peso de 100 N se mantiene en equilibrio suspendido de dos cuerdas. Una de las cuerdas
tira en la dirección horizontal y la otra forma un ángulo de 30° con la vertical. Calcular la tensión
en las cuerdas.
Rta: T1 = 58.13 N; T2 = 116,27 N
17) Un bloque de 600 N está suspendido de un poste por medio de una barra
de 4 m de
longitud articulada en A, y de la cuerda
unida al poste en el punto B situado a 3 m por encima
de A (Ver esquema). Calcular la tensión en la cuerda
y el empuje de la barra
. Se supone
que la barra tiene un peso despreciable.
Rta: T = 1000 N; EOA = 800 N
18) En el siguiente esquema se representa una grúa soportando un peso de 900 N. El mástil
tiene una longitud de 3 m y la barra
tiene 5 m de longitud con una articulación en A, y es
mantenida por el cable
. Suponiendo que el peso de
es despreciable, calcular la tensión en
el cable y la fuerza de compresión en
.
Rta:
= 1194 N;
= 993 N.
19) Los extremos de una cuerda de 11 m de largo se unen a dos ganchos, colocados en un techo
horizontal, separados entre sí 9 m. A los 4 m de uno de los extremos de la cuerda se coloca un
peso de 100 N. Calcular la tensión en los dos segmentos de la cuerda.
Rta: T1 = 95 N; T2 = 70.1 N
20) En el punto de unión de dos barras de una armadura metálica de igual longitud y formando un
ángulo de 70° entre sí, se encuentra aplicada una carga de 120 N. Los pies de las barras están en
un plano horizontal y se hallan unidos por un tirante. Calcular el esfuerzo a que se encuentra
sometido el tirante y las fuerzas de compresión en las barras.
Rta: Esfuerzo = 42 N; Fuerzas de compresión = -73 N y 73 N.
21) Los extremos de una cuerda de 10 m de longitud están unidos a dos ganchos colocados en un
techo horizontal a una distancia entre sí de 6 m. En el punto medio de la cuerda se cuelga un peso
de 64 N. Hallar la tensión en cada uno de los segmentos de la cuerda.
Rta: 40 N en cada segmento.
22) Los extremos de una cuerda están unidos a dos ganchos colocados en un techo horizontal. Se
cuelga un peso de 100 N de forma tal que cada segmento de cuerda forma un ángulo de 35° y 55°
respectivamente con la horizontal. Calcular la tensión de cada uno de los segmentos de cuerda.
Rta: 57.4 N y 81.9 N.
23) El extremo superior de una barra uniforme de 2 m de longitud y 80 N de peso está articulado a
un soporte. El extremo inferior está unido a una cuerda que tensionándola horizontalmente forma
un ángulo de 40° con la vertical. Calcular la tensión aplicada.
Rta: 33,68 N
24) El extremo B de una barra AB está articulado a un mástil mientras que en el otro extremo A,
pende un peso de 80 N. La barra se mantiene en posición horizontal por medio de una cuerda
unida al extremo A y al mástil formando con la barra un ángulo de 50°. Hallar la tensión en la
cuerda AC y el empuje de la barra contra el mástil.
Rta: E = 67.65 N; T = 105.26 N
Termometría
Calor y temperatura, están íntimamente ligadas pero son dos conceptos distintos.
Dos cuerpos pueden tener la misma temperatura y distinta cantidad de calor, por ejemplo, dos
recipientes que tienen distinta cantidad de agua y la misma temperatura pero diferente cantidad
de calor, porque uno tiene más cantidad de agua que el otro. Una llama de fósforo no alcanza a
fundir completamente el trocito de hielo, a pesar de que la temperatura de la llama es de 700 °C;
en cambio en un recipiente con agua a unos 50 °C, el trocito se funde rápidamente. La llama del
fósforo tiene alta temperatura, pero poca cantidad de calor. El agua contenida en el recipiente
tiene baja temperatura pero más cantidad de calor.
Efectos del calor:
Cuando se entrega calor a un cuerpo, su temperatura aumenta, pero experimenta además otra
modificación importante: aumenta de volumen, se dilata.
Todos los cuerpos, sólidos, líquidos o gaseosos, se dilatan cuando se les entrega calor.
La piel es nuestro primer termómetro, pero no se pueden diferenciar temperaturas pequeñas.
Termómetro de mercurio:
Se llena un tubo de sección muy fina y se introduce el mercurio, luego se eligen dos temperaturas,
la de fusión del hielo y la de ebullición del agua. A la primera se le asigna el número O, y a la se
segunda el número 100. Luego se divide el intervalo entre los 2 puntos fijos en 100 partes iguales,
y ya se tiene un termómetro graduado en le escala, centígrada o Celsius.
La Escala Fahrenheit se obtiene dividiendo el intervalo entre los puntos fijos en 180
partes iguales. Al nivel inferior se le asigna el número 32 y al superior, el 212. El cero de esta escala
está 32 grados Fahrenheit por debajo de la temperatura de fusión del hielo.
La escala absoluta o de Lord Kelvin es usada en los estudios científicos y fue inventada por este
físico ingles. En la escala absoluta, al 0 °C se le hace corresponder 273 °K, a los 100 °C
corresponden 373 °K, 1 °K es igual que 1 °C, y el 0 °K está a una temperatura que un termómetro
centígrado señalará como –273°C. El pasaje de una escala a la otra es muy sencillo, basta restar o
sumar 273. En la escala centígrada se llama cero a la temperatura correspondiente a la fusión del
hielo, por comodidad u ocurrencia del que la inventó, pero no indica que sea la
menor temperatura posible. En cambio, la escala absoluta ha sido inventada y
construida de modo que el cero absoluto es la menor temperatura posible, en esta
escala no existen las temperaturas negativas o bajo cero.
Termómetro clínico (de máxima):
Es el que el médico utiliza para tomar la temperatura de un enfermo. Cerca del
bulbo tiene una estrangulación, que impide que el mercurio pase por ella cuando la
temperatura baja, el mercurio no puede pasar al bulbo, que dando registrada la
máxima temperatura, alcanzada. Sacudiendo el termómetro se consigue que el mercurio
vuelva al bulbo.
Otras sustancias termométricas:
Cuando se construye un termómetro se debe tener en cuenta qué temperaturas se
van a medir. Un termómetro de mercurio no pueda usarse para temperaturas
inferiores a -39 °C, porque a esa temperatura el mercurio pasa a ser sólido. Tampoco
a temperaturas superiores a 357 °C porque a ella el mercurio hierve. De manera que
esas temperaturas constituyen los límites dentro de los cuales se puede usar un
termómetro de mercurio. Para medir temperaturas inferiores a -39 °C, es común usar
termómetros de alcohol, pues éste se solidifica a -110 °C. Pero hierve a 762 °C. También, se usa
toluol, cuyos límites son -100 °C y 110 °C.
Galileo invento un termómetro con un aparato que funcionaba aprovechandola
dilatación del aire, al aumentar la temperatura. La idea es la misma que la del
termómetro de mercurio: Comparando variaciones de volumen se pueden comparar
temperaturas.
Pero el volumen es solo una de las características de los cuerpos que cambian con la temperatura.
Hay termómetros eléctricos que aprovechan la propiedad que tienen los cuerpos conductores de
la electricidad de variar su resistencia con la temperatura, también hay termómetros ópticos o
pirómetros, que se basan en los cambios de color con las variaciones de temperatura. Sirven para
medir la temperatura de un cuerpo alrededor de los 1500 °C o 2000°C. Cuando un
cuerpo llega a unos 600 °C comienza a emitir luz, primero de un color rojo oscuro,
luego se va aclarando, se hace rojo brillante, amarillo y por último, cuando la
temperatura es muy elevada blanco. Midiendo esos cambios de color, para lo cual el
pirómetro lleva vidrios de color para poder comparar, se conoce la temperatura. Se
usan en general para medir las temperaturas de los hornos.
Dilatación de los cuerpos:
Dilatación de los sólidos.
Dilatación lineal.
Tenemos una varilla de hierro y la calentarnos. A un aumento de temperatura le
corresponde un aumento de longitud, y a un aumento doble de temperatura le
corresponde un aumento de longitud doble, etc.
- Las variaciones de longitud son directamente proporcionales a las variaciones de la
temperatura.
- Las variaciones de longitud son directamente proporcionales a la longitud inicial.
- Las variaciones de longitud dependen del material.
Coeficiente de dilatación lineal:
Es el valor de las razones entre la variación de longitud de una varilla y el producto
de su longitud inicial por la variación de temperatura.
El coeficiente de dilatación, representa el aumento de longitud cuando le
temperatura sube 1°C, por ejemplo el coeficiente de dilatación del hierro es de
0,000012
lo que significa que una varilla de hierro de 1 m de longitud aumenta su
largo 0,000012 m cuando la temperatura aumenta 1 °C.
La fórmula de dilatación lineal es:
Para determinar la dilatación superficial, basta multiplicar a λ por 2, y para la dilatación
volumétrica por 3.
Y de ella se puede calcular la longitud que tendrá una varilla de longitud inicial L0 cuando se eleva
su temperatura en T °C.
Variación del peso específico con la temperatura:
El peso específico de un cuerpo, es el cociente entre su peso y su volumen. Al dilatarse el cuerpo
su peso específico debe disminuir y si ocurre lo contrario debe aumentar.
Dilatación de los líquidos:
Hemos visto en el termómetro de mercurio, cómo se aprovecha la propiedad de dilatarse de los
líquidos. El agua no sigue esta regla porque a medida que la temperatura sube de 0 °C hasta los 4
°C el agua no se dilata, disminuye su volumen. Cuando la temperatura llega a los 4 °C, a partir de
esa temperatura, el comportamiento del agua es el mismo que el de los demás cuerpos (a mayor
temperatura, mayor volumen.). A este fenómeno se lo conoce como estado anómalo del agua, la
masa del agua no cambia, pero sí su volumen, el cociente entre ambos (densidad) también
cambia, de modo que cuando el volumen sea el menor de todos (a 4°C) la densidad será la mayor
de todas, por eso el agua tiene distintas densidades cuando tiene distintas temperaturas. Esto
explica el por qué el hielo eso flota en el agua cuando tiene mayor temperatura qué él. También
explica el por qué los lagos, cuando se congelan, tienen el hielo por encima del agua.
Dilatación de los gases:
Un gas puede dilatarse de dos maneras aumentando su temperatura o disminuyendo su presión.
Dilatación a presión constante:
Se tiene gas en un recipiente, al calentarlo, la presión del gas que contiene tiende a aumentar.
La forma en que lo hace es muy semejante a la de los sólidos y los líquidos, por lo que se tiene un
coeficiente de dilatación del gas, que llamaremos coeficiente de dilatación a presión constante.
Como antes se cumple que:
- El aumento de volumen es directamente proporcional al aumento de temperatura, cuando la
presión, permanece constante.
- El aumento de volumen es directamente proporcional al volumen inicial, cuando la presión,
permanece constante.
- El coeficiente de dilatación constante tiene el mismo valor para todos los gases.
Si la temperatura inicial es de 0 °C, el valor de α’ es 0,0036
Dilatación a volumen constante:
- Las variaciones de presión son directamente proporcionales a las
variaciones de temperatura, cuando el volumen permanece
constante.
- las variaciones de presión son directamente proporcionales a la presión
inicial, cuando el volumen permanece constante.
Estas 2 definiciones nos permiten definir el coeficiente de dilatación
a volumen constante.
Experimentando con gases distintos se encuentra que el coeficiente
de dilatación a volumen constante es el mismo para todos los gases
y además el coeficiente de dilatación a volumen constante es igual
al coeficiente de dilatación a presión constante.
El cero absoluto:
Si a partir de 0 °C disminuimos la temperatura de una masa de gas, manteniéndola a volumen
constante, la presión disminuye. Cuanto más frío está el gas, menos presión tiene.
Entonces, ¿a qué temperatura habría que
llegar para que su presión se redujera
a cero?
Apliquemos las fórmulas que hemos obtenido.
Para que le presión llegue a cero, debe haber disminuido en P o de
modo que ΔP = - P 0 , donde el signo menos indica que he habido
disminución. Reemplazando en la fórmula:
Como partimos de 0 °C, resulta, que a una temperatura de –273 °C la
presión de una masa de gas se anularía, cesando todo movimiento
de las moléculas. Si bien esto no ocurre en la realidad, porque todos
los gases se licuan antes de alcanzar esa temperatura, ésta ha sido
una de las razones que lleva ron a considerarla como la más baja
temperatura existente, designándola con el nombre de CERO
ABSOLUTO.
Leyes de Gay– Lussac:
1) Dilatación a presión constante:
2) Dilatación a volumen constate:
Ley de Boyle- Mariotte:
Unificando las tres leyes nos queda:
Llamada ecuación de los gases.
Variación de la densidad con la temperatura y la presión:
Cuando se varía la temperatura y la presión de un gas su densidad varía. Supongamos una masa m
de gas, a presión P, volumen V y temperatura absoluta T, su densidad es δ. Si a esa mese de gas se
lleva a presión P’, volumen V’ y temperatura absoluta T’, su densidad es δ’, entonces:
Por lo tanto:
La ecuación de los gases, establece que:
Despejando
Reemplazando por la relación hallada con las densidades:
La densidad a 0 °C = 273 °K y presión de 1 atmósfera se la llama densidad normal.
Ecuación general de los gases:
Cuando se conoce la temperatura, la presión y el volumen que ocupa una determinada masa de
gas, se puede calcular qué valor tendrá una de esas tres magnitudes cuándo se varían las otras dos
mediante:
Pero si se desea saber qué volumen ocupa 96 g de oxígeno, a 30 °C y a la presión de 1 atmósfera
aquella ecuación no nos da los medios para resolverlo.
Si se toma una determinada masa de un cierto gas se la puede llevar a distintos estados que están
vinculados entre sí por una constante k.
Pero esta constante tiene el valor para esa masa de ese gas.
Sin embrago, se toma una masa de 1 mol de gas, sea cual fuere el gas, la constante que se obtiene
es siempre la misma, es una constante universal y se la llama R.
Para una masa de un mol de un gas cualquiera.
Esta resulta de la ley de Avogadro-Ampere: Un mol de cualquier gas, en condiciones normales
ocupa un volumen de 22,4 litros
Entonces, en condiciones normales, 2,016 g de H (1 mol de H) ocupan 22,4 litros, 32 g de O, o sea,
1 mol de O, ocupan 22,4 litros.
Para resolver. Entonces lo planteado tomamos a:
Expresamos en función de los números de moles n.
Calorimetría
La caloría:
Anteriormente tratamos la medición de temperaturas y los efectos que provocan sobre los
cuerpos el aumento o la disminución de temperatura.
Ahora, estudiaremos los intercambios de calor entre los cuerpos de modo que deberemos medir
cantidades de calor. El primer paso es definir una unidad de calor: La caloría.
Definición:
Una caloría es la cantidad de calor que, entregada a un gramo de agua, eleva su temperatura en
un grado Celsius.
Su símbolo es Cal. También, se usa un múltiplo: la KILOCALORIA, su símbolo es Kcal.
1 Kcal = 1000 cal
Ejemplo: ¿Cuántas calorías se necesitan para calentar 500g de agua, desde 20 °C hasta 100 °C?
Procediendo con la regla de tres simple, para elevar 1 °C la temperatura de de 1 g, de agua se
necesita 1cal. luego para elevar 80 °C temperatura de 500 g. se necesitarán:
Q = 80.500cal. = 40000 cal
Si, a la inversa, 500g de agua se enfrían desde 100 °C hasta 20 °C se han perdido 40000 cal.
En general, cuando un cuerpo gana calor, a la cantidad de calor le asignaremos signo positivo y si
pierde, signo negativo.
Calor especifico:
Si se tienen 2 masas iguales de agua, y a una se le entregan Q calorías y a le otra 2 Q, la segunda
experimentará un aumento de temperatura doble del primero. No sucede sólo con el agua, sino
también con masa iguales de una misma sustancia cualquiera.
Si al entregarse calor a 2 masas iguales de una misma sustancia se observa que la primera
experimenta un aumento ΔT de temperatura, y la segunda un aumento doble (2ΔT), ello significa
que a la segunda se le entregó doble cantidad de calor que a la primera.
Las cantidades de calor entregadas o quitadas a masas iguales de sustancias iguales, son
directamente proporcionales a las variaciones de temperatura.
Consideremos 2 recipientes que contienen masas distintas de agua. Se les entrega la cantidad de
calor suficiente como para que ambas experimenten el mismo aumento de temperatura. Se
observará que las cantidades de calor que se necesitaron están en proporción con las respectivas
masas de agua. Pero esta sucede no solo con el agua, si se tienen dos masas de uno misma
sustancia, por ejemplo 1 kg de hierro y 2kg de hierro, para producir la misma variación de
temperatura es necesario darle al segundo la doble cantidad de calor que al primero.
Las cantidades de calor entregadas o quitadas a masas distintas de una misma sustancia para
producir iguales variaciones de temperatura, son directamente proporcionales a las masas.
Si se tiene varios cuerpos de una misma sustancia, de masas distintas y se les entrega cantidades
de calores cualesquiera se producen aumentos de temperaturas tales que las cantidades de calor
están en proporción con los productos de cada masa por su aumento de temperatura.
Este cociente representa la cantidad de calor que es necesaria entregar a un gramo de una
sustancia para que su temperatura se eleve en 1 °0 y este cociente es el calor específico de la
sustancia.
El calor específico de una sustancia es el cociente entre la cantidad de calor que se le entregue y
el producto de su masa por el aumento de temperatura provocado por dicha cantidad de calor.
De acuerdo con esto el calor específico del agua es
Cantidad de calor:
De la definición de calor específico resulta:
O sea, la cantidad de calor que un .cuerpo recibe o cede, se calcula multiplicando el calor
específico de la sustancia por la masa y por la variación de temperatura.
Ejemplos:
- ¿Qué cantidad de calor es necesario suministrar a un trozo de hierro de 36000 gramos para que
su temperatura suba 300 °C?
El calor específico del hierro es de
- ¿Qué cantidad de calor cede un trozo de aluminio de 2 kg que está a 400°C y se enfría a 50°C?
El calor específico del aluminio es
Temperatura final de una mezcla:
Un recipiente térmicamente bien aislado (de él no sale ni entra calor), contiene 200g de agua a 27
°C, se introduce un trozo de latón de 89 g, que esa a 100 °C. Al cabo de un cierto tiempo, el agua y
el latón estarán a una misma temperatura, intermedia entre 27 °C y 100 °C. ¿Cuál es esa
temperatura?
Dentro del recipiente ocurre lo siguiente:
- El latón se enfría, cediendo Q1 calorías.
- El agua se calienta, recibiendo Q2 calorías.
Cuando las temperaturas del agua y del latón se igualan, cesa el inter cambio de calor.
Como el recipiente está aislado
Llamemos:
m1, masa del latón = 89g
c1, calor específico del latón = 0,067
T1, temperatura inicial del latón = 100 °C
m2, masa del agua = 200g
c2, calor específico del agua = 1
T2, temperatura inicial del agua = 27 °C
T, temperatura final de la mezcla.
Reemplazamos por los datos y calculamos:
Medición del calor especifico:
Si en los problemas anteriores se conociera la temperatura de equilibrio, se podría calcular el calor
específico de una de las sustancias si se conoce el de las otras, habría que despejar c en lugar de T.
Ejemplo:
400 gramos de mercurio a 60 °C son sumergidos en 600 g de agua a 25 °C. La temperatura de
equilibrio es 25,8 °C. Calcular el calor específico del mercurio.
Reemplazamos por los datos y calculamos:
El calorímetro de mezclas:
Es un recipiente que se aísla todo lo posible para evitar la pérdida de calor. Contiene agua cuya
masa se ha medido previamente y un termómetro sumergido en ella que mide su temperatura.
Este aparato mide las temperaturas específicas de ciertas sustancias.
Ejemplo:
Un calorímetro contiene 900g de agua a 20 °C, se introducen en é1 1200 g de limadura de hierro,
cuya temperatura es de 100 °C. El termómetro indica una temperatura de equilibrio de 30 °C
¿Cuánto vale el calor específico del hierro?
De lo hecho anteriormente:
Reemplazamos por los datos y calculamos:
Calores específicos de los gases:
Un gas puede calentare de distintas maneras, una de ellas es entregándole calor, pero
manteniendo constante el volumen, por lo cual la presión aumenta, otra forma, es entregarle
calor manteniendo constante la presión con lo que aumenta el volumen.
Con el primer procedimiento se obtiene calor especifico a volumen constante, con el segundo
procedimiento se obtiene calor específico a presión constante.
Ambos calores específicos son distintos y siempre es mayor el calor específico a presión constante.
Calor específico a volumen constante:
Es el cociente entre la cantidad de calor entregado a un gas a volumen constante y el producto de
su masa por su variación de temperatura
Representa la cantidad de calor que es necesario darle a 1 g del gas para que, manteniendo su
volumen constante, su temperatura aumente 1 °C.
Calor específico a presión constante:
Es el cociente entre la cantidad de calor entregado a un gas, manteniendo constante su presión y
el producto de su masa por la variación de temperatura.
Representa la cantidad de calor que es necesario entregar a 1 g del gas para que, manteniendo
constante su presión, su temperatura aumente en 1 °C.
La diferencia ambos calores específicos se debe a que el calor es una forma de energía, de manera
que calentar un gas es darle capacidad para trabajar. Si el calentamiento se hace a volumen
constante el gas no trabaja, en cambio, si se hace a presión constante una parte del calor
entregado se emplea en trabajar, aumentando su volumen, por ejemplo empujando la tapa del
recipiente que lo contiene de manera que para elevar su temperatura en 1 °C hay que dar más
calor que a volumen constante.
Ejemplo:
Se tienen 200g de hidrógeno a 20 °C. Calcular la cantidad de calor necesaria para que su
temperatura se eleve a 180 °C.
a) A volumen constante.
b) A presión constante.
Solución:
Punto a)
Punto b)
Las 31680 cal de diferencia se han necesitado para realizar el trabajo de aumentar el volumen.
Transmisión del calor:
El calor se transmite bajo tres formas distintas, cabe destacar que nunca ocurre una a la vez sino
que las tres están siempre, predominando una sobre las otras.
Por convección:
Una fuente de calor colocada a nivel del piso calienta el aire que está en contacto con ella que se
eleva y es reemplazado por el aire fío de la parte superior.
Por conducción:
Si se sostienen una barra por un extremo y el otro se acerca a una llama, a los pocos segundos se
advierte que el calor se transmitió a través de la barra pero sin que haya ningún desplazamiento
de materia.
No todos los metales o sólidos conducen igualmente el calor, dependen de:
a) De las superficies de las bases (S), a mayor superficie mayor cantidad de calor pasa a
través de ellas, si la superficie se hace doble la cantidad de calor que pasa es doble
también. O sea que Q es proporcional directamente a S. Un ejemplo de esto son los
disipadores que se hallan en los circuitos electrónicos.
b) Del gradiente de la temperatura, la diferencia de temperaturas entre ambas caras es t –
t’, si la dividimos por la distancia que los separa, el cociente se llama gradiente (G).
c) Del material
d) Del tiempo, pues mayor tiempo esté pasando calor, mayor cantidad de calor pasará. Q es
directamente proporcional al tiempo t.
Coeficiente de conductibilidad:
Resulta de realizar el siguiente cociente:
Como dijimos anteriormente es distinto para distintos materiales y representa la cantidad de calor
que en cada segundo pasarla a través de cada unidad de superficie, si el gradiente de temperatura
valiera la unidad, por lo tanto, la cantidad de calor conducida será:
Ejemplo:
¿Qué cantidad de calor atravesará en 5 minutos una lámina de aluminio de 20 cm2 de superficie y
4 cm de espesor si la diferencia de temperaturas entre sus caras es de 40 °C?
Por radiación:
Se transmite por medio de ondas electromagnéticas iguales a las de la radiotelefonía, aunque de
longitud de onda menor y se propagan a través del vacío.
Todos los cuerpos sea cual fuere su temperatura, transmiten calor por radiación. Cuanto mayor es
su temperatura, mayor cantidad de calor irradian.
Calor y trabajo mecánico.
Al realizar un trabajo mecánico se produce calor, cuando se dobla repetidamente un alambre,
cuando un auto frena bruscamente o cuando se tiene hirviendo una pava de agua, el vapor mueve
la tapa.
El calor puede producir un trabajo mecánico.
El trabajo puede transformarse en calor y el calor puede transformarse en trabajo.
La energía de un cuerpo es su capacidad de producir un trabajo, entonces, el calor es una forma
de energía.
Equivalente mecánico del calor:
1 cal = 0,427 kgm = 4,1855 J
Ejemplo:
¿Cuántas calorías se necesitarán para producir un trabajo de 1 joule?
Sabiendo que 1 cal = 4,1855 J, entonces:
Ejemplo:
Un automóvil de 5000 kg marcha a 100
y frena. Calcular la cantidad de calor en que se
transforma su energía cinética.
Sabiendo que 1 J = 0,24 cal
Teoría molecular del calor
La teoría molecular de la materia se basa en ciertas hipótesis que permiten explicar todos los
hechos observados.
- Todos los cuerpos están formados por partículas pequeñísimas llamadas moléculas.
- Las moléculas no ocupan todo el volumen del cuerpo que forman, entre ellas, hay espacios vacíos
llamados espacios intermoleculares, cuyas dimensiones varían con el estado del cuerpo (sólido,
líquido o gaseoso).
- Entre molécula y molécula se ejercen ciertas fuerzas, llamadas de cohesión
- Las moléculas están en movimiento.
Se realizan las siguientes hipótesis aprovechando esta teoría molecular.
- El calor (forma de energía) que posee un cuerpo es la suma de las energías de sus moléculas.
- La mayor o menor temperatura de un cuerpo se debe a la mayor o menor velocidad de
movimiento de sus moléculas.
De esta manera se interpreta que dar calor a un cuerpo es aumentar la energía mecánica de sus
moléculas, quitarle calor es disminuir la energía mecánica. Un aumento o disminución de la
energía de las moléculas provocará, por lo general, un aumento o disminución de su velocidad, y
por lo tanto un aumento o disminución de la temperatura del cuerpo. En otros casos la variación
de la energía de las moléculas provocará un cambio de estado del cuerpo, sin que haya variación
de sus velocidades, es decir sin que se produzca una variación de temperatura. Esto está de
acuerdo con lo que sucede en los cambios de estado.
Cambios de estado
Fusión:
Cada sustancia tiene su punto de fusión, y es la temperatura que una sustancie está toda líquida
después de haber estado sólida.
Le temperatura de fusión depende de la presión.
El calor de presión:
Si se observa el termómetro durante la fusión o la solidificación se ve que la temperatura
permanece constante. Lo que sucede es que el calor es una forma de energía y cuando a un
cuerpo se le entrega calor, emplea esa energía por lo general en aumentar su temperatura. Pero
cuando el cuerpo está a la temperatura de fusión empleará toda la energía que se le entregue en
transformarse en líquido, sin gastar nada en elevar su temperatura. A la inversa cuando un líquido
está a la temperatura de fusión, si se le extrae calor, el líquido lo cederá entregando la energía
(calor) que le permitía mantenerse como líquido y se transformará en sólido pero no entregará la
energía que le permite mantener su temperatura.
Calor de fusión:
Representa al cociente entre la cantidad de calor necesaria para pasar del estado sólido al líquido,
o viceversa, y la masa m de dicha sustancia cuando está a la temperatura de fusión.
El calor de fusión representa la cantidad de calor que se debe entregar a 1 g gramo de esa
sustancia que ya ha alcanzado su punto de fusión, para transformarla en líquido. Es la misma
cantidad de calor que se le debe extraer si estando íntegramente líquido a la temperatura de
fusión se lo quiere transformar en sólido.
Cada sustancia tiene su calor de fusión.
Ejemplo:
¿Cuántas calorías se necesitan para fundir 500g de cobre que ya están a su temperatura de fusión?
Ejemplo:
¿Logrará fundirse totalmente un bloque de hielo de 1250 g si se le entregan 80000 cal? Si no es así
¿cuántos gramos se fundirán?
Entonces no alcanza a fundirse totalmente y sólo funde una parte:
Si se enfría agua pura se puede pasar por debajo de la temperatura 0 °C sin que se produzca la
solidificación. Este fenómeno se llama sobrefusión.
Vaporización (Evaporación y ebullición) y CONDENSACION
Evaporación:
Para que un sólido se transforme en líquido una vez alcanzado el punto de fusión, necesita una
cierta cantidad de calor para que sus moléculas pasen de la estructura sólida a la líquida.
La evaporación es el pasaje de un líquido al de vapor efectuado exclusivamente en la superficie
libre del líquido.
La rapidez con que se produce depende de la naturaleza del líquido. Los llamados volátiles se
evaporan rápidamente mientras que otros como aceite o mercurio lo hacen muy lentamente.
Ebullición:
Si se eleva la temperatura de un líquido se llega a una temperatura en que las moléculas alcanzan
una velocidad promedio que las capacita para escapar en forma de vapor. La ebullición es el pasaje
de un líquido al de vapor, efectuado en cualquier parte del líquido y no solamente en la superficie.
Presión de los vapores:
Se dice que un ambiente está saturado de vapor o que contiene vapor saturado, cuando no puede
contener más vapor del que ya contiene a esa temperatura.
- A temperatura constante y mientras el vapor esté saturado, su presión es constante cualquiera
sea el volumen.
- La presión de saturación es la máxima que puede tener el vapor a esa temperatura
- Cuando desaparece el líquido, el vapor deja de ser saturado y se comporta aproximadamente
como un gas. En este estado, el vapor se llama no saturado o sobrecalentado.
Presión de saturación de un vapor:
Es la máxima presión de un vapor a una determinada temperatura.
A cada temperatura corresponde Una presión de saturación determinada que es distinta para los
diferentes líquidos.
Temperatura de ebullición:
Cada sustancia tiene su temperatura de ebullición a presión atmosférica, mientras que la
ebullición se produce a una determinada temperatura, la evaporación ocurre a cualquier
temperatura.
La temperatura de ebullición depende de presión pues se puede tener agua hirviendo a 60 °C, 30
°C, etc. pero cuando le presión valga 149,6 mmHg y a 0 °C, 4,58 mmHg.
Si la presión exterior en cambio es mayor a una atmósfera, la temperatura de ebullición del agua
es superior e los 100 °C.
El agua hierve cuando la presión exterior es igual a la presión de su vapor saturado.
Calor de vaporización:
Es el cociente entre la cantidad de calor que hay que entregar a una masa de líquido para
vaporizarla cuando esa temperatura es la de ebullición y la masa de dicho líquido
Cada sustancia tiene su calor de vaporización.
Por lo tanto Q es la cantidad de calor que hay que entregar a un gramo de la sustancia para
vaporizarla cuando está en ebullición y también, la cantidad de calor que se desprende de la
sustancia cuando se condensa a la temperatura de ebullición.
Ejemplo:
Se tienen 500 gramos de agua líquida a 100 °C y 760 mmHg. ¿Qué cantidad de calor es necesaria
para vaporizarla?
Velocidad de evaporación:
Depende de la circulación del aire, naturaleza del líquido, etc.
Donde:
S = superficie libre del líquido.
H = presión atmosférica existente.
P = presión de saturación del vapor a esa temperatura.
p = presión del vapor del agua contenida en la atmósfera.
La evaporación es nula cuando la diferencia P – p se hace igual a cero, es decir, cuando la presión p
del vapor de agua que contiene el aire es igual a la de saturación a esa temperatura. Ello explica
por qué tarda tanto en secarse la ropa en los días húmedos. Y cuanta mayor temperatura
mayor presión, la velocidad de evaporación aumenta.
Humedad relativa:
Es el cociente entre la presión del vapor de agua que hay un ambiente y la presión de
saturación a esa misma temperatura.
Ejemplo:
Supongamos que la temperatura de un cierto día es de 35 °C y que la presión del
vapor de agua que contiene el aire es de 33,6 mmHg. Como la presión de saturación
del vapor de agua es según la tabla 42,0 mmHg, la humedad relativa vale:
Sublimación:
Es el pasaje del estado de vapor al sólido y la volatilización lo inverso.
La volatilización se puede observar en los recipientes de helados en los que emplea
el hielo seco, también, en la naftalina.
La sublimación se puede observar en un tubito en el que se ha colocado yodo metálico y en el que
se ha hecho el vacio. Calentándolo se observa que se desprenden vapores y luego enfriándolo se
ve en las paredes del tubo cristales de yodo recubriéndolo.
En la siguiente tabla, se proporcionan los datos referentes a los cambios de estado de algunas
sustancias.
Sustancia
T fusión ºC
Lf ·103 (J/kg)
T ebullición ºC
Lv ·103 (J/kg)
Hielo (agua)
0
334
100
2250
Alcohol etílico
-114
105
78.3
846
Acetona
-94.3
96
56.2
524
Zinc
420
111
907
1748
Aluminio
658.7
322-394
2300
9220
Estaño
231.9
59
2270
3020
Hierro
1530
293
3050
6300
Cobre
1083
214
2360
5410
Mercurio
-38.9
11.73
356.7
285
Plomo
327.3
22.5
1750
880
Potasio
64
60.8
760
2080
Sodio
98
113
883
4220
Calores específicos de algunas sustancias a 25 ºC y a presión atmosférica.
Sustancia
Calor específico (cal/g ºC)
Sustancia
Calor específico (cal/g ºC)
Aluminio
0,215
Plata
0,056
Berilio
0,436
Cadmio
0,055
Latón
0,067
Cobre
0,0924
Madera
0,41
Germanio
0,077
Vidrio
0,200
Oro
0,0308
Hielo (- 5 º C)
0,50
Hierro
0,107
Mármol
0,21
Plomo
0,0305
Silicio
0,168
Alcohol etílico
0,58
Agua (15 º C)
1
Mercurio
0,033
Otros sólidos
Líquidos
Ejercitación
1) ¿Qué cantidad de calor se necesita para fundir 2000 g de cobre que están a temperatura de
fusión?
Rta: 82000 cal
2) ¿Dónde hay mayor cantidad de calor, en 1 gramo de hielo o en 1 gramo de agua
ambos a 0 °C?
3) Se quiere fundir 25 g de Zinc que están a 20°C ¿Qué cantidad de calor es
necesaria?
Rta: 1503 cal.
4) ¿Qué cantidad de calor es necesaria para transformar en vapor a 100 °C, 21 litros
de agua que están a 20 °C?
Rta: 12400000 cal.
5) En 500g de agua o 10 °C se hace condensar la cantidad suficiente de vapor agua a
100 °C, como para que la temperatura del agua se eleve hasta 40 °C ¿Cuánto vapor
condensó?
6) En una heladera se colocan 100 g de agua a 20 °C y se obtienen cubitos de hielo a -
5 °C ¿qué cantidad de calor se le extrajo al agua?
Rta: 10265 cal.
7) ¿qué cantidad de calor será necesaria para t r a n s f o r m a r 1 0 0 g d e h i e l o a -5 °C en
100 g de vapor de agua a 100 °C?
Rta: 72265 cal.
8 ) E n u n a h a b i t a c i ó n q u e e s t á a 2 0 °C la presión de vapor de agua es de 12
mmHg. ¿Cuál es la humedad relativa?
9) E n 1 l i t r o d e q u e e s t á a 2 5 °C s e e c h a n 4 c u b i t o s d e h i e l o d e 5 0 g
c a d a u n o q u e e s t á n a -5 °C ¿ Q u é t e m p e r a t u r a d e e q u i l i b r i o s e o b t i e n e ?
Rta: 7 °C
1 0 ) ¿ Q u é m a s a d e h i e l o a 0 °C hay q u e e c h a r e n 1 5 0 0 g d e a g u a a 1 8 °C
p a r a q u e l a mezcla quede a 6 °C?
Rta: 216 g.
11) ¿Qué cantidad de calor pierden 350g de agua, al enfriarse desde 85 °C hasta 35 °C?
Rta: 17500 cal.
12) ¿Cuál es el calor específico de un agua salada, si para elevar en 1°C la temperatura de 1g se
necesitan 0,95 cal?
Rta: 0,95 cal/g °C
13) 50g de platino se enfrían hasta 50°C, desprendiendo 500 cal ¿A qué temperatura estaba el
platino? C = 0.0322 cal / g °C.
Rta: 360,5 °C.
14) La temperatura de 2 cubos de igual volumen, uno de hierro y el otro de platino, aumenta 10°C.
¿Cuál de los 2 absorbió más calor, y cuántas veces más?
Rta: el de hierro absorbió 1,31 veces más.
15) A una varilla de hierro de 1 m de longitud y 1 cm2 de sección se le entregan 10 Kcal. ¿Cuánto
aumentó su longitud?
Rta: 1,3 cm.
16) Se mezclan 200 g de agua a 195 °F, con 120 g de agua a 284 °K. ¿Qué tempera tura en °C tiene
la mezcla?
Rta: 60,7 °C.
17) Un calorímetro de latón, de 200 g contiene 501,2 g de agua a 20 °C, se introducen 250 g de
plomo a 100 °C, y la temperatura final de equilibrio es 21,32 °C. ¿Cuál es el calor específico del
plomo?
Rta: 0,0035 cal/g °C
18) Un calorímetro de latón, de 300g, contiene 500 g de agua a 20°C, se introduce un trozo de
plomo de 200g a 25 °C y otro de hierro de 400 g a 100 °C ¿Cuál será la temperatura de equilibrio?
Rta: 26,3 °C.
19) Un disco de hierro de una cocina eléctrica tiene un radio de 10 cm y espesor de 5 mm. La
temperatura de la superficie interior es de 120 °C y la de exterior de 110 °C. ¿Qué cantidad de
calor es conducida a través de él?
Rta: 41450 cal.
20) ¿Cuánto tardará el disco anterior en suministrar la cantidad de calor necesario para hacer
hervir 1 litro de agua que estaba a 10 °C?
Rta: 115 seg.
21) Una casa tiene paredes de 25 cm de espesor, con una superficie de 300 m2, construidas con un
material cuyo coeficiente de conducción mide 0,01
¿Qué cantidad de calor por minuto
debe producir una estufa para mantener constantemente una diferencia de 10°C con la
temperatura del exterior?
Rta: 720000 cal.
22) ¿Cuánto medirá, a 4 °C, un alambre de cobre que a 0°C mide
3000m?
Rta: 3002,04 m.
23) Un tubo tiene una longitud de 998 mm a 18°C. Se hace pasar por él vapor de agua a 98,5°C y se
alarga en 1, 34 mm. ¿Cuánto vale el coeficiente de dilatación de ese material?
Rta: 0,0000167 1/°C.
24) ¿Cuáles deben ser las longitudes a 0 °C de 2 varillas cuyos
coeficientes de dilatación son 0,9 y 1,7x10 5 1/°C respectivamente
para que a cualquier temperatura la diferencia entre ellas sea de 50
cm?
Rta: 56,25 y 106, 25 cm.
25) Un reloj de péndulo de cobre marcha exactamente cuando se lo mantiene a 0°C. ¿Cuánto
atrasa por día si se lo mantiene a 20°C?
Rta: 14segundos.
26) El volumen de un trozo de mármol es, a 5°C, de 3,8 m3. ¿Cuál será su volumen a 35°C?
Rta: 3,803 m3
27) El peso específico del mármol a 5°C es de 2,6 g/cm 3 . ¿Cuánto
vale a 35°C?
Rta: 2,598 g/cm 3 .
28) Un recipiente de Zinc de 50 cm 3 está lleno de mercurio a la
temperatura de 20°C. ¿Cuánto mercurio se derramará si la temperatura asciende hasta 80
°C?
Rta: 0,546 cm3
29) El coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio es
¿Cuál es su valor 1/°F?
Rta: 0,000101 1/°F
30) Una masa de cloro ocupa un volumen de 600 cm3 a 0°C. ¿Qué volumen ocupará si se
calienta isobáricamente (a presión constante) hasta 106°C?
Rta: 833cm 3 .
31) Una masa de nitrógeno, a 20°C y a 2 atmósferas de presión ocupa un
volumen de 800 cm3.
Determinar:
a) Qué variación de volumen se producirá al calentar isobáricamente has 156,6 °C.
b) Qué variación presión se produciría si el gas se calentara hasta
esa misma temperatura pero a volumen constante.
Rta: a) 372,9 cm3; b) 0,932 atmósferas.
32) Una masa de hidrógeno ocupa un volumen de 500 cm3 en condiciones normales ¿Qué
variación de volumen se produce si se la comprime isotérmicamente (temperatura constante)
hasta 4,5 atmósferas?
Rta: 388,9 cm3
33) Un gas ocupa 6 dm 3 a 0°C y 4 atmósferas. ¿Cuál será su presión a
546°K, si ocupa un volumen de 8 dm 3 ?
Rta: 6 atm.
34) ¿Cuál es el peso del aire contenido en una sala de 8m por 6m por
4m, a 25°C y a 756mmHg de presión?
Rta: 226,2 kgf.
35) Un recipiente lleno de aire a 0°C y 760 mmHg tiene una válvula de seguridad de
5 cm de
sección, cargada con una pesa de 10 kgf. ¿A qué temperatura se
abre la válvula?
Rta: 546°C
36) A 770 mmHg y 27°C se tapó un recipiente de 950 dm 3 de aire
atmosférico. ¿ Cuántos gramos de aire se desprenderán del frasco si se lo abre en la cumbre
de una montaña, a 680 mmHg y 0°C?
Rta: 33,4 gramos.
37) Se condensan 300 gramos de vapor a 100 °C y a 760 mmHg. Determinar:
Cuánto calor se desprende si al final se tienen 300 gramos de agua líquida a 100 °C.
Qué es más efectivo para calentar agua, entregarle vapor o agua en ebullición.
Rta:a) 16200 cal; b) entregar vapor.
38) Se tienen 200 gramos de hielo a -10 °C. Calcular la cantidad de calor necesaria para
transformarlos en 200 g de vapor no saturado a 120 °C. La presión exterior es de 760 mmHg, el c
del hielo es 0,5 cal/g °C y el c del vapor es 0,45 cal/g °C.
Rta: 146800 cal.
39) Se mezclan 100 gramos de agua a 60 °C con 100 g de agua a 50 °C. Calcular la temperatura de
la mezcla.
Rta: 55 °C.
40) Se mezclan 200 gramos de limaduras de hierro a 200 °C con 400 gramos de viruta de plomo a
50 °C y con agua a 104 °F. ¿Qué temperatura de equilibrio tendrá el sistema? C de las limaduras
0,113 cal/g °C, c viruta de plomo 0,0310 cal/g °C
Rta: 47,17 °C.
41) ¿Qué cantidad de calor es necesaria para transformar en vapor a 100 °C, 2 kg de agua a 20°C?
Rta: 72000 cal.
42) Un termómetro centígrado marca 25 °C como temperatura de una habitación. ¿Cuánto
marcará en Fahrenheit?
Rta: 77 °F
43) Expresar en °C una temperatura de 100 °F.
Rta: 37,77 °C
44) Calcular la densidad del oxígeno a 3 atm y 546 °K, sabiendo que su densidad normal es de 1,81
g/dm3.
Rta: 2,715 g/dm3.
45) Un frasco de 10 litros se llena de aire a 755 mmHg y a 27 °C. Se lo lleva a Córdoba y se lo
destapa a 720 mmHg y 7°C. Determinar si entra o sale aire y cuánto.
Rta: entran 0,213 litros.
46) ¿Cuál es la temperatura en escalas Celsius y Fahrenheit, en la que la indicación de dos
termómetros es la misma?
Rta: -40 °C = - 40 °F.
47) Determine el aumento de longitud de una barra de cobre de 5 m de largo cuando se calienta
de 21 °C a 35 °C.
Rta: 0,17 cm.
48) Una varilla de 3 m de longitud se alarga 3 mm al elevar su temperatura 100 °C. Hallar el
coeficiente de dilatación lineal correspondiente.
Rta: 10-5 °C-1
49) Calcule el aumento de volumen que experimentan 100 cm3 de mercurio cuando su
temperatura se eleva de 10 °C a 35° teniendo en cuenta que el coeficiente de dilatación lineal del
mercurio es de 6 x 10-5 °C-1.
Rta: 0,45 cm3.
50) El coeficiente de dilatación del vidrio es de 9 x 10-6 °C-1. ¿Qué capacidad tendrá un frasco de
vidrio a 25 °C, si su valor a 15 °C es de 50 cm3?
Rta: 50,0135 cm3.
51) Determine la variación de volumen experimentada por un bloque de fundición en forma de
paralelepípedo rectangular de 5 cm de ancho por 10 cm de largo por 6 cm de alto, al calentarlo de
15 °C a 47 °C.
Rta: 0,288 cm3.
51) Los puntos de ebullición y solidificación del mercurio, en condiciones normales son 675 °F y 38 °F, exprese dichas temperaturas en la escala de Celsius.
Rta: 357 °C y -38,9 °C
52) La densidad del mercurio a 0 °C es de 13,6 g/cm3 y su coeficiente de dilatación cúbica es de
1,82 x 10-4 °C-1 ¿Cuál será su densidad a 50 °C?
Rta: 13,48 g/cm3.
53) ¿Qué cantidad de calor hay que entregar a 20 gramos de hielo a -20 °C para que pasen a vapor
a 120 °C?
Rta: 14760 cal.
54) ¿Cuánto calor sale de 25 gramos de aluminio cuando se enfría de 100 °C a 20 °C?
Rta: -420 cal.
55) Un termo contiene 150 gramos de café a 90 °C, se le añade 20 gramos de leche a 5 °C. Después
de establecido el equilibrio, ¿Cuál es la temperatura del líquido?, considere que el calor específico
de las sustancias son iguales a la del agua.
Rta: 83,7 °C.
56) Un termo contiene 150 gramos de agua a 4 °C. Dentro de él se colocan 90 gramos de metal a
100 °C. Después de establecido el equilibrio, la temperatura del agua y del metal es de 21 °C. ¿Cuál
es el calor específico del metal?
Rta: 0,36 cal/g °C.
57) Determine la temperatura final cuando se mezclan 150 gramos de hielo a 0°C con 300 gramos
de agua a 50 °C.
Rta: 6,7 °C.
58) ¿Cuánto calor se entrega cuando 20 gramos de vapor de agua a 100 °C se enfrían a 20 °C?
Rta: -12400 cal.
59) ¿Cuántas calorías son necesarias para calentar de 15 °C a 65 °C a cada una de las siguientes
sustancias?
a) 3 gramos de aluminio. (0,21 cal/g °C).
b) 5 gramos de vidrio pírex. (0,20 cal/g °C).
c) 20 gramos de platino. (0,032 cal/g °C).
Rta: a) 31,5 cal; b) 50 cal; c) 32 cal.