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Polinomios
Maria José Morralla Nicolau
Darío Rozalén Badal
Situación de los polinomios en la enseñanza secundaria
ARITMÉTICA
ALGEBRA
GEOMETRIA
(Iniciación)
Interpretación
geométrica
POLINOMIO
S
Operaciones básicas
Factorización
Ruffini
Fórmulas
Igualdades
notables
Valor numérico
Raíces
Teorema del resto
Teorema del factor
Resolución de
ecuaciones
Teorema fundamental
del álgebra
Funciones
Expresiones racionales
Gráficas
¿Qué es un polinomio?
-Pues una suma de monomios.
¿Y qué es un monomio?
¿Son monomios las siguientes expresiones?
4x5
πr2
3x2 = 27
3xy2
A= πr2
5x
anxn
P(x)=4x
xy
kzrf
f(x)=4x
abcd
Definición e interpretación geométrica
Definición:
Un polinomio es una suma de monomios. Un monomio es una expresión algebraica en
la que solo aparece la multiplicación por un numero y la potenciación natural de números generalizados.
Ejemplos:
monomios
3x 2 ,4 xy3 , ax n
4 x 3  3x 2  x  6, a3 x 3  a2 x 2  a1 x  a0
polinomios
Se llama grado del polinomio al mayor exponente de la x
Se llama termino independiente al sumando sin x
Interpretación geométrica:
x
x
x
1
x
x
x
1
1
1
1
1
2 x  2 x  3x  4
3
2
Notas sobre la interpretación geométrica:
Solo podemos dibujar figuras geométricas de hasta 3 dimensiones, por tanto la interpretación
geométrica se reduce a los polinomios de grado menor que 4.
¿Representamos de la misma manera polinomios de distintos grados?
NO
Un polinomio de grado 3 necesita 3 dimensiones pero uno de 2 no, aunque siempre podamos darle
profundidad 1. Así, el siguiente polinomio lo podemos representar de varias maneras distintas
según nos convenga:
P(x) = 2x2 + x + 2
O
O
x
x
1
x
Y el polinomio 2x + 1:
1
O
1
O
O
x
1
Operaciones básicas con polinomios
Suma y resta:
Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando
los monomios semejantes (del mismo grado).
Para sumar P(x) = 2x3+2x2+3x+4 con Q(x) = x3 + 2x2 + x + 3 se procede así:
P(x) + Q(x) = (2x3+2x2+3x+4) + (x3 + 2x2 + x + 3) = (2+1)x3 + (2+2)x2 + (3+1)x + (4+3)
P(x) + Q(x) = 3x3 + 4x2 + 4x + 7
Interpretación geométrica de la suma:
P(x)
+
Q(x)
P(x) + Q(x)
Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios.
Si a un polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro).
Se llama diferencia de dos polinomios, P(x) – Q(x) , al resultado de sumarle a P(x) el opuesto de Q(x).
Texto:Página web de Silvia Sokolovsky
Producto:
Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno
por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes.
Por ejemplo: P(x)=2x + 3 , Q(x)=x2 + 3x + 2
P(x)Q(x) = (2x + 3)(x2 + 3x + 2) = 2x3 + 6x2 + 4x +3x2 + 9x + 6 = 2x3 + 9x2 + 13x + 6
Interpretación geométrica:
P(x)
Q(x)
P(x)Q(x)
Texto:Página web de Silvia Sokolovsky
División de polinomios:
División entera: Sean dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) tales que el grado del
primero (N) es mayor que el del segundo (M) y P(x) múltiplo de Q(x), buscamos
el polinomio C(x) (cociente) tal que P(x)=Q(x)C(x) , con grado N-M.
Interpretación geométrica:
Si tenemos el siguiente polinomio
y lo queremos dividir por este otro,
notemos que estamos buscando la “altura”
que hay que darle al segundo para obtener
el primero,
así, obtendremos éste
División no entera:
Dados dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que
el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y Q(x) 0 siempre hallaremos dos polinomios
C(x) (cociente) y R(x) (resto) tal que:
P(x) = Q(x) . C(x) + R(x)
El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P y Q, mientras que el
grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q.
Para obtener los polinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y divisor se
procede como en el ejemplo siguiente, con P(x) = 5x3 + 7x2 - 3 y Q(x) = x2 + 2x - 1:
5x3 + 7x2
- 3 | x2 + 2x - 1
-5x3-10x2+5x
5x – 3
2
/ -3x + 5x – 3
3x2 + 6x – 3
/ 11x – 6
El cociente es C(x) = 5x – 3, y el resto, R(x) = 11x – 6.
La descripción del proceso es la siguiente:
El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador
por el del denominador: 5x3: x2 = 5x. Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta
del dividendo. Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo.
El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor.
Texto:Página web de Silvia Sokolovsky
Valor numérico:
Es el número que se obtiene al sustituir la x por un valor dado y efectuar,
luego, las operaciones indicadas.
Ejemplo: sea P(x) = x2 + 3x – 4 hallar P(2)  P(2) = 22 + 3.2 – 4  P(2) = 4 + 6 – 4  P(2) = 6
Texto:Página web de Silvia Sokolovsky
Raíces:
Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) para x=a
es cero.
Ejemplo: a=1 es raiz de P(x)= x2 + 3x – 4, porque P(1)=1 + 3 - 4 = 0
Factorizar:
Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios, no constantes,
de manera que su producto sea el polinomio dado.
Nos interesa factorizar los polinomios en binomios del tipo x – a.
Para ello resulta muy útil la regla de Ruffini, que veremos a continuación.
Ejemplos: (x-1),(x+1) son factores del polinomio x2-1. Es decir podemos factorizar x2-1 en el
producto de los otros dos:
x2-1 = (x-1)(x+1)
O también:
2x3 +4x2-2x-4 = (x2-1)(2x+4)
Paolo RUFFINI (1765 - 1822) :
Matemático y médico italiano, nacido en Roma,
desarrollando toda su actividad en Módena, donde murió. Dedicó
muchos años al estudio del problema de demostrar la imposibilidad
de encontrar una expresión con radicales que resuelva una ecuación
de quinto grado (problema que ocupó a generaciones de matemáticos),
consiguiendo resolverlo, al igual que el matemático Niels H. Abel.
Lo demostró, aunque deficientemente. El teorema sobre la imposibilidad
de encontrar una fórmula para resolver las ecuaciones de quinto grado
fue enunciado por primera vez por Ruffini en el libro Teoria generale
delle equazioni, publicado en Bolonia en 1798.
La demostración de Ruffini fue, sin embargo, incompleta.
Esta formulación, denominada teorema Abel-Ruffini, fue demostrada
definitivamente por el matemático noruego Niels Henrik Abel.
Es muy conocida su regla para la división de un polinomio
en x por el binomio x - a.
Regla de Ruffini VS Algoritmo de la división:
Sea el polinomio generalizado P(x)=anxn + ... + a1x + a0 , vamos a dividirlo por el binomio
x – α , con α real.
Regla de Ruffini:
Se suma
Se
debenelcolocar
"baja"
multiplica
continúa
elsegundo
el
primer
αproceso
por
todos
coeficiente
elcoeficiente
coeficiente
hasta
los coeficientes
terminar
del
bajado
dividendo.
y se
con
el del
dividendo
coloca
con
loselcoeficientes.
resultado
ordenados
debajo
de mayor
del segundo
a menorcoeficiente
grado y si
resultado
anterior.
faltasigno
(el
el dedealgún
α será
grado
positivo
intermedio
si el divisor
colocar
es un
del0.tipo
(x- α) y negativo si el divisor es del tipo (x+ α).
Algoritmo de la división:
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 | x – α
n-1
Una
Planteamos
Se
El
primer
resultado
multiplica
vez obtenida
monomio
la
seadivisión
resta
x
la
por
del
diferencia
del
el
cociente
dividendo
divisor
se
se
inicia
obtiene
el
n
-anxn + α anxn-1
anxn-1+(an-1+α an)xn-2 +... = C
dividiendo
proceso
como
el monomio
si ésta fuera
de mayor
el dividendo.
grado del
numerador
El
proceso concluye
por el delcuando
denominador:
la diferencia
anxn : xes= anxn-1 / (an-1+α an)xn-1 + ... + a1x + a0
de grado inferior al divisor.
R(x) = an α n + an-1 α n-1 + ... + a1 α + a0
C = anxn-1 +(an-1+α an)xn-2 + ... + (an α n-1 + an-1 α n-2 + ... + a2 α + a1)
C = bn-1xn-1 + bn-2 xn-2 + ... + b0
Teorema del resto:
El resto de dividir un polinomio P(x) por x – α es igual al valor numérico del polinomio en x = α
Demostración
Otra demostración
de los algoritmos de la pagina anterior, tenemos:
R(x) = an α n + an-1 α n-1 + ... + a1 α + a0
que es exactamente el polinomio evaluado en α.
como el cociente es x – α (grado 1), sabemos que el resto será de grado 0,
es decir, un número. Sabemos también que P(x) = Q(x) . (x - α) + R.
Entonces si en esa ecuación hacemos x = α, nos queda:
P(α) = Q(α) . (α - α) + R  P(α) = Q(α) . 0 + R  P(α) = R
El resto es igual al valor del polinomio en α.
Teorema del factor:
Un polinomio P(x) tiene como factor x – α si el valor numérico del polinomio en x = α es cero.
Demostración
P(α)= 0  Por el teorema del resto la división es exacta  x – α es factor.
Propiedad:
Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros
son divisores del término independiente.
Si α es raiz de P(x) , el resto R(x) = an α n + an-1 α n-1 + ... + a1 α + a0 = 0 
 a0= - (an α n + an-1 α n-1 + ... + a1 α) = - α (an α n-1 + an-1 α n-2 + ... + a1) 
Demostración

a0


- (an α n-1 + an-1 α n-2 + ... + a1) donde ai y α son enteros 
 α divide de forma entera a a0
Ejemplo: Para factorizar x3 – 7x +6 utilizando la regla de Ruffini probaremos con todos los divisores
del termino independiente.
6 es divisible por: 1,-1,2,-2,3,-3,6 y –6
Veamos que no todos son raíces, pero que todas las raíces enteras son de ese grupo.
1
1
1
0
-7
6
1
1
-6
1
-6
0
1
-1
1
0
-7
6
-1
1
6
-1
-6
12
1
0
-7
6
2
4
-6
1
2
-3
0
1
0
-7
6
3
9
6
3
2
12
2
3
1
1
6
1
1
0
-7
6
-2
4
6
1
-2
-3
12
1
0
-7
6
-3
9
-6
-3
2
0
-2
-3
1
0
-7
6
6
36
174
6
29
180
1
-6
1
0
-7
6
-6
36
-174
-6
29
-168
Teorema fundamental del álgebra:
El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente:
Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos, tiene exactamente n raíces, no forzosamente
distintas, es decir contadas con su orden de multiplicidad.
Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también complejo) X3 - 2X2 - 4X + 8 = (X-2)2(X+2)
tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres raíces.
En otras palabras, todo P(X) = anXn +an-1 Xn-1 + ... + a1 X + a0 se puede factorizar completamente, así :
an(X – z0) (X – z1) ... (X – zn) , con los zi complejos, y an ≠ 0.
Para los reales el teorema se queda en:
Todo polinomio de grado n, con coeficientes reales, se podrá factorizar en
a lo sumo n factores.