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Capítulo 1
Mecánica
1
Velocidad
El vector de posición está especificado por tres componentes:
r = x ıb + y b + z kb
Decimos que x, y y z son las coordenadas de la partícula.
La velocidad es la derivada temporal del vector de posición.
dr
∆r
=
∆t→0 ∆t
dt
v = lim
Componentes de la velocidad:
vx =
dx
dt
vy =
dy
dt
vz =
dz
dt
Las componentes del vector de posición se miden en el Sistema Internacional de Unidades en metros (m), el tiempo en segundos (s), y la velocidad en metros/segundo (m/s).
Aceleración
La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.
a=
dv
dt
Componentes de la aceleración:
ax =
dvx
d2 x
= 2
dt
dt
ay =
dvy
d2 y
= 2
dt
dt
az =
dvz
d2 z
= 2
dt
dt
Dichas componentes se miden en metros/segundo2 (m/s2 ).
La aceleración de una partícula posee una componente tangencial a la
trayectoria
at = dv/dt
y otra normal
v2
an =
R
Problema inverso
La velocidad en función de la aceleración viene dada por:
v = v0 +
Z t
t0
a dt0
en donde t0 es un instante de referencia cualquiera y v 0 es la velocidad
de la partícula en t = t0 .
El vector de posición en función de la velocidad es:
r = r0 +
Z t
t0
v dt0
siendo r 0 el vector de posición de la partícula en el instante t0 .
Si la aceleración es constante tenemos:
v = v 0 + at
y
r = r 0 + v 0 t + 12 at2
Movimiento circular
El arco de trayectoria recorrido es igual al ángulo por el radio de la circunferencia R:
s = θR
Definimos la velocidad angular θ como la derivada temporal del ángulo
recorrido:
dθ
ω=
dt
Se mide en radianes/segundo (rad/s).
La velocidad angular y la lineal están relacionadas por:
ω=
v
R
Leyes de Newton
1a: Todo cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta no altera su
estado de movimiento, permaneciendo en reposo o en movimiento
rectilíneo uniforme, según fuera su estado inicial.
2a: Si sobre un cuerpo actúa una fuerza F , éste cambia su velocidad
con una aceleración dada por
F = ma
en donde m es una magnitud característica del objeto, llamada masa.
Las componentes de la fuerza se miden en newtons (N): N = kg m/s2 .
El peso es la fuerza con que la Tierra atrae a un objeto. En las cercanías
de la superficie terrestre es igual a la masa del objeto por g = 9.8 m/s2 , y
está dirigido verticalmente hacia abajo.
3a: Si un cuerpo produce una determinada fuerza sobre otro, éste
ejerce sobre el primero una fuerza igual, pero de sentido contrario a
la original.
Momento lineal
El momento lineal de un cuerpo es el producto de su masa por su
velocidad.
p = mv
Componentes del momento lineal:
px = mvx
py = mvy
pz = mvz
Las componentes del momento lineal se miden en kg m/s.
Podemos reescribir la segunda ley de Newton en función de p:
F =
dp
dt
El principio de conservación del momento lineal nos dice que en todo
sistema aislado el momento lineal total se conserva.
Momento angular
El momento angular de una partícula, con respecto a un punto O, es
el producto vectorial de su vector de posición con respecto a dicho
punto por su momento lineal:
L=r×p
Componentes del momento angular:
Lx = m(yvz − zvy )
Ly = m(zvx − xvz )
Lz = m(xvy − yvx )
El momento de una fuerza, con respecto a un punto O, es igual al vector
que va desde O hasta el punto de aplicación de la fuerza multiplicado
vectorialmente por la fuerza.
M =r×F
La variación temporal del momento angular es igual a:
dL
=M
dt
en donde el momento angular y el momento de la fuerza han de ser
calculados con respecto al mismo punto.
Problema 1.1
Un relámpago y su correspondiente trueno llegan a un
punto con un intervalo temporal de 3 s. ¿A qué distancia de dicho punto se produjeron? (Velocidad del sonido
340 m/s y de la luz 3 · 108 m/s)
Problema 1.2
El vector de posición de una partícula viene dado por
r = 3 sen(ωt)ıb + 3 cos(ωt)b + 5kb m
siendo ω una constante y t el tiempo. Calcula:
(a) el vector velocidad,
(b) el vector aceleración,
(c) la aceleración tangencial,
(d) la aceleración normal,
(e) el radio de curvatura.
Problema 1.3
¿Qué altura podrá franquear un atleta que es capaz de
saltar con una velocidad vertical de 4 m/s, cuando su centro de gravedad está a 1.30 m del suelo, y que en el salto
consigue mantener su centro de gravedad justo a la altura
del listón? ¿Qué tiempo durará el salto? (En lo que respecta a este problema, es como si toda la masa del atleta
estuviera concentrada en su centro de gravedad).
Problema 1.4
Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 1000
m/s y una inclinación de 30◦ con respecto a la horizontal.
Determina:
(a) altura a la que llega el proyectil,
(b) tiempo que tarda en hacerlo,
(c) distancia horizontal recorrida al caer de nuevo al suelo,
(d) radio de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.
Problema 1.5
Un saltador de longitud alcanza 8 metros en un salto en
el que el punto más alto de la trayectoria está a 2 metros
del suelo. ¿Cuál es su velocidad de salida? ¿Qué tiempo
permanece en el aire?
Problema 1.6
Demuestra que el máximo alcance en un lanzamiento con
velocidad de salida constante se consigue cuando el ángulo inicial es de 45◦ .
Problema 1.7
¿Cuánto más saltaría verticalmente una persona en la Luna que en la Tierra, sabiendo que la aceleración de la gravedad es 7 veces menor allí que aquí? ¿Qué proporción
existiría entre los tiempos que la persona permanecería en
el aire durante los saltos en la Luna y en la Tierra?
Problema 1.8
¿Cuál es la aceleración de un cuerpo situado sobre la superficie terrestre a 40◦ de latitud? (Radio de la Tierra 6.370
km)
Problema 1.9
Un objeto gira con un movimiento circular uniforme en un
plano vertical, atada de un hilo de 2 m de radio. ¿Cuál es
la frecuencia angular mínima con la que debe de girar para
que no se caiga?
Problema 1.10
Una partícula efectúa un movimiento circular uniforme con
una velocidad angular de 60 revoluciones por minuto. Si el
radio de la circunferencia es de 0.5 m, ¿cuánto valen los
módulos de la velocidad lineal y de la aceleración?
Problema 1.11
¿Con qué velocidad puede tomar una curva de 300 m de
radio un avión de forma que la aceleración normal sea
igual a la de la gravedad?
Problema 1.12
La aceleración de un cuerpo que efectúa un movimiento
unidimensional es A cos(ωt). Encuentra la posición en función del tiempo sabiendo que el cuerpo se encuentra en
reposo en el origen en el instante inicial.
Problema 1.13
La velocidad de una partícula, que en t = 0 se encuentra
en el punto 2ıb − 3kb m, viene dada por 6t2 ıb − 2 cos(8t)b m/s.
Calcula la aceleración y el vector de posición.
Problema 1.14
¿A qué velocidad máxima puede tomar una curva de 25 m
de radio de curvatura un coche cuyo centro de gravedad
está a 50 cm del suelo y cuya distancia transversal entre
ruedas es de 1.6 m? Supóngase que no hay derrape.
Problema 1.15
Una persona de 70 kg de masa se agacha hasta que su
centro de gravedad está 0.5 m por debajo de lo normal.
Desde esa postura, salta consiguiendo elevar su centro
de gravedad 0.45 m por encima de su posición habitual.
Calcular la fuerza que ejercen sus músculos en el salto,
suponiendo que la misma es constante.
Problema 1.16
¿Qué fuerza al actuar sobre una partícula de 3 kg produce
un movimiento unidimensional cuya posición viene dada
por x = 3 + 2 sen(3t) m?
Problema 1.17
Una fuerza igual a 300t2 ıb − 80kb N actúa sobre un cuerpo
de 5 kg que en el instante inicial se encuentra en reposo
en el punto 2ıb + b m. Obtén la posición de la partícula en
función del tiempo.
Problema 1.18
El momento lineal de una partícula es 100ıb + 200b − 300t2 kb
kg m/s. ¿Qué fuerza actúa sobre ella?
Problema 1.19
Un objeto de 2 kg, que efectúa un movimiento unidimensional, posee un momento lineal igual a 8 cos(4t) kg m/s.
En el instante t = 3 s se encuentra en el origen. Calcula:
(a) su posición.
(b) su aceleración.
(c) la fuerza que sobre él actúa.
Problema 1.20
Dos partículas iguales colisionan y salen unidas con una
velocidad igual a 1/3 de la velocidad de una de ellas antes
del choque. ¿Cuál era la velocidad de la otra partícula?
Problema 1.21
Un coche a 120 km/h choca frontalmente contra un camión
a 60 km/h, permaneciendo unidos después del choque. El
coche pesa 1000 kg y el camión 10.000 kg. El coeficiente
de rozamiento de ambos después del choque es de 0.8.
Calcular:
(a) velocidad del conjunto justo después de la colisión,
(b) distancia que recorren antes de pararse.
(La fuerza de rozamiento es igual al coeficiente de rozamiento por el peso).
Problema 1.22
Un saltamonte de 20 gr salta desde una rama con una
velocidad de 2 m/s. ¿Con qué velocidad retrocede la rama,
que posee 80 gr de masa. Si el impulso para el salto dura
0.1 s, ¿qué fuerza ejerce el saltamontes sobre la rama?
Problema 1.23
Suponiendo que la órbita de la Luna alrededor de la Tierra
es circular, determina los módulos de los momentos lineal
y angular de aquella. Datos: radio de la órbita 3.85 · 108 m,
período 2.3 · 106 s y masa de la Luna 7.36 · 1022 kg.
Problema 1.24
b
La posición de una partícula de 0.1 kg es 10 sen tı−10
cos tb
m. Obtén:
(a) el momento lineal.
(b) el momento angular respecto del origen.
(c) el momento angular respecto del punto 3ıb − 2kb m.
(d) la fuerza que actúa sobre la partícula.
(e) el momento de dicha fuerza respecto del origen.
1.1 Un relámpago y su correspondiente trueno llegan a un punto con un intervalo temporal de 3 s. ¿A qué distancia de dicho punto se produjeron? (Velocidad del sonido 340 m/s y de la luz 3 · 108 m/s)
El intervalo temporal entre el relámpago y el trueno en función de la
distancia es:
s s
s
∆t = 3 = − ≈
v c
v
La velocidad de la luz es tan grande comparada con la del sonido que
podemos despreciar el tiempo de viaje del relámpago. Despejamos s de
la ecuación anterior:
s = v∆t = 340 · 3 = 1020 m.
1.2 El vector de posición de una partícula viene dado por
b m
r = 3 sen(ωt)bı + 3 cos(ωt)b + 5k
siendo ω una constante y t el tiempo. Calcula:
(a) el vector velocidad,
(b) el vector aceleración,
(c) la aceleración tangencial,
(d) la aceleración normal,
(e) el radio de curvatura.
(a) La velocidad es la derivada temporal del vector de posición:
v=
dr
= 3ω cos(ωt)ıb − 3ω sen(ωt)b m/s.
dt
(b) La aceleración es la derivada temporal de la velocidad:
a=
dv
= −3ω 2 sen(ωt)ıb − 3ω 2 cos(ωt)b m/s2 .
dt
(c) La aceleración tangengial es el la derivada temporal del módulo de
la velocidad:
d|v|
d q 2
d3ω
2
2
2
at =
9ω cos (ωt) + 9ω sen (ωt) =
=
= 0.
dt
dt
dt
(d) La aceleración normal viene dada por:
q
q
an = a2 − a2t = 9ω 4 sen2 (ωt) + 9ω 4 cos2 (ωt) = 3ω 2 .
(e) El radio de curvatura lo determinamos a partir de la aceleración normal:
v2
9ω 2
R=
= 2 = 3 m.
an
3ω
1.3 ¿Qué altura podrá franquear un atleta que es capaz de saltar con una velocidad vertical de 4 m/s, cuando su centro de gravedad está a 1.30 m del suelo,
y que en el salto consigue mantener su centro de gravedad justo a la altura
del listón? ¿Qué tiempo durará el salto? (En lo que respecta a este problema, es como si toda la masa del atleta estuviera concentrada en su centro de
gravedad).
La altura que franqueará es igual a la posición inicial de su centro de
gravedad más la distancia saltada gracias a su velocidad vertical:
h = h0 + v0 t − 12 gt2 .
Para obtener h, hemos de calcular primero el tiempo de salto mediante la
condición de que la velocidad en el punto más alto es nula:
v = v0 − gt
de donde obtenemos el tiempo de salto:
t=
v0
4
=
= 0.41 s.
g
9.8
Por tanto, la latura alcanzada es:
h = 1.3 + 4 · 0.41 − 21 9.8 · 0.412 = 2.12 m.
1.4 Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 1000 m/s y una inclinación de 30◦ con respecto a la horizontal. Determina:
(a) altura a la que llega el proyectil,
(b) tiempo que tarda en hacerlo,
(c) distancia horizontal recorrida al caer de nuevo al suelo,
(d) radio de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.
(a) El proyectil asciende hasta una altura igual a:
h = v0 sen(α)t − 12 gt2 .
Antes de determinar esta altura hemos de calcular el tiempo.
(b) El tiempo empleado viene dado por la condición de que la velocidad
sea cero en lo más alto:
v = v0 sen(α) − gt = 0
Despejando se tiene:
v0 sen(α) 1000 · sen 30◦
t=
=
= 51 s,
g
9.8
y la altura es:
h = 1000 sen 30◦ 51 − 21 9.8 · 512 = 12755 m.
(c) La distancia horizontal recorrida vale:
√
3
d = v0 cos(α)t = 1000 51 = 44167 m.
2
(d) En el punto más alto la aceleración es normal (no hay aceleración
tangencial) y la velocidad es horizontal. El radio de curvatura es,
por tanto:
v2
10002 cos2 30◦
R=
=
= 76531 m.
g
9.8
1.5 Un saltador de longitud alcanza 8 metros en un salto en el que el punto
más alto de la trayectoria está a 2 metros del suelo. ¿Cuál es su velocidad de
salida? ¿Qué tiempo permanece en el aire?
Escribimos la longitud y la altura alcanzadas en función de la velocidad
y el ángulo de salida:
h = 2 = v0 sen(α)t − 21 gt2 = 12 v0 sen(α)t
d = 8 = 2v0 cos(α)t
en donde t es el tiempo que tarda el saltador en llegar al punto más alto
de la trayectoria, y hemos tenido en cuenta que el tiempo total es el doble
del tiempo anterior. Dividiendo ambas expresiones entre si obtenemos:
1
sen(α)
1
=
= tan(α)
4 4 cos(α) 4
y el ángulo de salida α vale por tanto:
α = arctan 1 = 45◦ .
El tiempo que permanece en el aire corresponde a la solución de la ecuación:
v = v0 sen(α) − gt = 0
Despejando se tiene:
v0 sen(α)
g
y sustituyendo en la expresión de d podemos obtener la velocidad de
salida:
√
v02 cos(α) sen(α)
8=
=⇒
v0 = 8 · 9.8 · 0.71 · 0.71 = 6.3 m/s.
g
El tiempo total vale:
6.3 sen 45◦
t=
= 0.91 s.
9.8
t=
1.6 Demuestra que el máximo alcance en un lanzamiento con velocidad de
salida constante se consigue cuando el ángulo inicial es de 45◦ .
El tiempo de llegada al punto más alto, en el que la velocidad vertical es
cero, viene dado por:
v = v0 sen(α) − gt = 0
El tiempo de un lanzamiento es, por simetría, el doble del tiempo anterior:
tl = 2t =
2v0 sen(α)
.
g
La distancia recorrida vale:
2v02 sen(α) cos(α) v02 sen(2α)
l = v0 cos(α)tl =
=
.
g
g
Derivando con respecto de α obtenemos el valor que maximiza l:
dl
2v02 cos(2α)
=
=0
dα
g
=⇒
cos(2α) = 0
El lanzamiento óptimo corresponde a 2α = 90◦ , o sea, a α = 45◦ .
1.7 ¿Cuánto más saltaría verticalmente una persona en la Luna que en la Tierra, sabiendo que la aceleración de la gravedad es 7 veces menor allí que aquí?
¿Qué proporción existiría entre los tiempos que la persona permanecería en el
aire durante los saltos en la Luna y en la Tierra?
El tiempo de salto se obtiene de la condición de que la velocidad vertical
se anule:
v0
v = v0 − gt
=⇒
t= .
g
La relación entre los tiempos de salto es:
tL
gT
=
= 7.
tT
gL
La altura saltada vale:
h = v0 t − 12 gt2 = 12 v0 t2 =
1
2
v02
.
g
La relación entre las alturas alcanzadas es, por consiguiente:
hL
gT
=
= 7.
hT
gL
1.8 ¿Cuál es la aceleración de un cuerpo situado sobre la superficie terrestre
a 40◦ de latitud? (Radio de la Tierra 6.370 km)
La aceleración de un cuerpo en la superficie terrestre es la aceleración
normal debida al giro de la Tierra:
4π 2
v2
= ω 2 r = 2 R cos 40◦
r
T
2
4π
=
6.37 · 106 cos 40◦ = 0.026 m/s2 .
2
(24 · 3600)
a =
1.9 Un objeto gira con un movimiento circular uniforme en un plano vertical,
atado de un hilo de 2 m de radio. ¿Cuál es la frecuencia angular mínima con la
que debe de girar para que no se caiga?
El objeto no se cae si su masa multiplicada por su aceleración normal en
el punto más alto es mayor que su peso:
v2
m = mω 2 r ≥ mg.
r
El caso límite corresponde a una frecuencia igual a:
ωmin =
s
g
=
r
v
u
u 9.8
t
2
= 2.21 rad/s.
1.10 Una partícula efectúa un movimiento circular uniforme con una velocidad
angular de 60 revoluciones por minuto. Si el radio de la circunferencia es de 0.5
m, ¿cuánto valen los módulos de la velocidad lineal y de la aceleración?
El módulo de la velocidad lineal es:
v = ωr = 2π60 · 0.5 = 188.5 m/s.
El módulo de la aceleración normal vale:
v2
188.52
=
= 7.1 · 104 m/s2 .
an =
r
0.5
1.11 ¿Con qué velocidad puede tomar una curva de 300 m de radio un avión
de forma que la aceleración normal sea igual a la de la gravedad?
Igualamos la aceleración normal a la de la gravedad:
v2
an =
=g
r
y despejamos de aquí la velocidad:
√
√
v = gr = 9.8 · 300 = 54 m/s.
1.12 La aceleración de un cuerpo que efectúa un movimiento unidimensional
es A cos(ωt). Encuentra la posición en función del tiempo sabiendo que el cuerpo se encuentra en reposo en el origen en el instante inicial.
Primero hemos de obtener la velocidad del cuerpo, que viene dada por:
v = v0 +
Z t
0
0
a dt = 0 +
Z t
0
A cos(ωt0 ) dt0 =
A
sen(ωt).
ω
Integrando la velocidad encontramos la posición:
r = r0 +
Z t
0
0
v dt = 0 +
Z t
0
A
A
sen(ωt0 ) dt0 = − 2 [cos(ωt) − 1].
ω
ω
1.13 La velocidad de una partícula, que en t = 0 se encuentra en el punto
b m, viene dada por 6t2 b
2bı − 3k
ı − 2 cos(8t)b m/s. Calcula la aceleración y el
vector de posición.
La aceleración de la partícula es igual a:
a=
dv
= 12tıb + 16 sen(8t)b m/s2 .
dt
Integrando la velocidad obtenemos el vector de posición:
#t
1
r = r 0 + v dt = 2ıb − 3k + 2t ı − sen(8t0 )b
0
4
1
= 2(1 + t3 )ıb − sen(8t)b − 3kb m.
4
Z t
0
b
"
03 b
0
1.14 ¿A qué velocidad máxima puede tomar una curva de 25 m de radio de
curvatura un coche cuyo centro de gravedad está a 50 cm del suelo y cuya distancia transversal entre ruedas es de 1.6 m? Supóngase que no hay derrape.
La velocidad estable máxima es aquella para la que la aceleración total
señala en la dirección que va del centro de gravedad al punto de apoyo de
las ruedas:
h 0.5
g
=
= 2 .
l
0.8 v /r
De aquí despejamos la velocidad:
v=
v
u
u 0.8
t
0.5
gr =
√
1.6 · 9.8 · 25 = 19.8 m/s.
1.15 Una persona de 70 kg de masa se agacha hasta que su centro de gravedad está 0.5 m por debajo de lo normal. Desde esa postura, salta consiguiendo
elevar su centro de gravedad 0.45 m por encima de su posición habitual. Calcular la fuerza que ejercen sus músculos en el salto, suponiendo que la misma es
constante.
La altura a la que salta nos determina la velocidad de salida:
h = 0.45 = v0 t − 12 gt2 = 12 v0 t = 12 v0
v0
.
g
De esta ecuación despejamos la velocidad inicial:
q
√
v0 = 2gh = 2 · 9.8 · 0.45 = 2.97 m/s.
Ahora calculamos la aceleración durante el salto para adquirir esta velocidad:
2
2
0
1 v0
1
h = 0.5 = 2 at1 = 2 a 2
a
de aquí deducimos:
v02
a=
= 8.82 m/s2 .
2 · 0.5
La fuerza que ejercen los músculos ha de vencer la gravedad e imprimir
la anterior aceleración:
F = m(g + a) = 70(9.8 + 8.82) = 1303 N.
1.16 ¿Qué fuerza al actuar sobre una partícula de 3 kg produce un movimiento
unidimensional cuya posición viene dada por x = 3 + 2 sen(3t) m?
Primero determinamos la aceleración a partir de la posición:
d2 x
d
a = 2 = (6 cos(3t)) = −18 sen(3t) m/s2 .
dt
dt
La fuerza viene dada por:
F = ma = 3(−18 sen(3t)) = −54 sen(3t) N.
b N actúa sobre un cuerpo de 5 kg que en el
1.17 Una fuerza igual a 300t2 bı − 80k
instante inicial se encuentra en reposo en el punto 2bı + b m. Obtén la posición
de la partícula en función del tiempo.
La aceleración de la partícula viene dada por la segunda ley de Newton:
a=
F
300t2 ıb − 80kb
=
= 60t2 ıb − 16kb m/s2 .
m
5
La velocidad la obtenemos integrando la aceleración:
v = v0 +
Z t
0
0
a dt = 0 +
Z t
0
2
b
(60t0 ıb − 16k)
dt0 = 20t3 ıb − 16tkb m/s.
La posición es igual a:
r = r0 +
= (2 +
Z t
0
0
v dt =
2ıb + b +
5t4 )ıb + b −
2b
8t k m.
Z t
0
3
b
(20t0 ıb − 16t0 k)
dt0
b kg m/s. ¿Qué
1.18 El momento lineal de una partícula es 100bı + 200b − 300t2 k
fuerza actúa sobre ella?
La fuerza es igual a la derivada del momento lineal con respecto al tiempo:
b
dp d(100ıb + 200b − 300t2 k)
F =
=
= −600tkb N.
dt
dt
.
1.19 Un objeto de 2 kg, que efectúa un movimiento unidimensional, posee un
momento lineal igual a 8 cos(4t) kg m/s. En el instante t = 3 s se encuentra en
el origen. Calcula:
(a) su posición.
(b) su aceleración.
(c) la fuerza que sobre él actúa.
(a) El momento lineal nos dice la velocidad del objeto, y a partir de ésta
encontramos la posición:
r = r0 +
Z t
t0
0
v dt = 0 +
Z t
1
3 2
8 cos(4t0 ) dt0 = sen(4t) − sen(12) m.
(b) La aceleración del objeto vale:
a=
dv
d(4 cos(4t))
=
= −16 sen(4t) m/s2 .
dt
dt
(c) La fuerza es igual a la masa por la aceleración:
F = ma = −32 sen(4t) N.
1.20 Dos partículas iguales colisionan y salen unidas con una velocidad igual
a 1/3 de la velocidad de una de ellas antes del choque. ¿Cuál era la velocidad
de la otra partícula?
Aplicamos la conservación del momento lineal en la colisión:
mv1 + mv2 = 2m
v1
3
y despejamos de aquí v2 :
2
v1
v2 = v1 − v 1 = − .
3
3
La segunda partícula se movía antes del choque con un tercio de la velocidad de la primera partícula y en sentido contrario.
1.21 Un coche a 120 km/h choca frontalmente contra un camión a 60 km/h,
permaneciendo unidos después del choque. El coche pesa 1000 kg y el camión
10.000 kg. El coeficiente de rozamiento de ambos después del choque es de
0.8. Calcular:
(a) velocidad del conjunto justo después de la colisión,
(b) distancia que recorren antes de pararse.
(La fuerza de rozamiento es igual al coeficiente de rozamiento por el peso).
(a) En la colisión se conserva el momento lineal:
m1 v1 − m2 v2 = (m1 + m2 )v0 .
De aquí despejamos la velocidad de salida:
v0 =
m1 v1 − m2 v2
10000 · 60 − 1000 · 120
=
= 43.6 km/h.
m1 + m2
11000
(b) La aceleración debida al rozamiento vale:
a=−
|Fr |
mgµ
=−
= −9.8 · 0.8 = −7.84 m/s2 .
m
m
(c) El tiempo hasta que se detiene es:
v = v0 + at = 0
=⇒
t=−
43.6 · 1000
v0
=
= 1.54 s.
a
3600 · 7.84
La distancia recorrida antes de pararse es igual a:
s = v0 t + 21 at2 = 12 v0 t =
43.6
1.54 = 9.35 m.
2 · 3.6
1.22 Un saltamonte de 20 gr salta desde una rama con una velocidad de 2 m/s.
¿Con qué velocidad retrocede la rama, que posee 80 gr de masa. Si el impulso
para el salto dura 0.1 s, ¿qué fuerza ejerce el saltamontes sobre la rama?
La conservación del momento lineal nos da la velocidad de retroceso de
la rama:
0 = m 1 v 1 − m 2 v2
=⇒
m1 v1
0.02 · 2
=
= 0.5 m/s.
m2
0.08
La fuerza es el cambio en el momento lineal dividido por el tiempo:
F =
∆p m1 v1
0.02 · 2
=
=
= 0.4 N.
∆t
∆t
0.1
1.23 Suponiendo que la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es circular,
determina los módulos de los momentos lineal y angular de aquella. Datos:
radio de la órbita 3.85 · 108 m, período 2.3 · 106 s y masa de la Luna 7.36 · 1022 kg.
El período de giro de la Luna nos permite obtener su velocidad:
2πR = vT
=⇒
2πR 2π3.85 · 108
=
= 956 m/s.
v=
T
2.3 · 106
El momento lineal de la Luna vale:
p = mv = 7.36 · 1022 · 956 = 7.04 · 1025 kg m/s.
El módulo de su momento angular respecto del centro de su órbita es:
L = Rp = 3.85 · 108 · 7.36 · 1022 = 2.71 · 1034 kg m2 /s.
1.24 La posición de una partícula de 0.1 kg es 10 sen tbı −10 cos tb m. Obtén:
(a) el momento lineal.
(b) el momento angular respecto del origen.
b m.
(c) el momento angular respecto del punto 3bı − 2k
(d) la fuerza que actúa sobre la partícula.
(e) el momento de dicha fuerza respecto del origen.
(a) El momento lineal es igual a:
p = mv = 0.1
b
d(10 sen tıb − 10 cos t)
= cos tıb + sen tb kg m/s.
dt
(b) El momento angular respecto del origen viene dado por:
ıb
b
kb
L = r × p = 10 sen t −10 cos t 0
cos t
sen t
0
= (10 sen2 t + 10 cos2 t)kb = 10kb kg m2 /s.
(c) El vector que va desde el punto de referencia del momento angular
b
a la posición de la partícula es (10 sen t − 3)ıb − 10 cos tb + 2k,
y el
momento angular vale entonces:
L =
ıb
b
kb
10 sen t − 3 −10 cos t 2
cos t
sen t
0
= −2 sen tıb + 2 cos tb + (10 − 3 sen t)kb kg m2 /s.
(d) La fuerza la obtenemos a partir del momento lineal:
F =
b
dp d(cos tıb + sen t)
=
= − sen tıb + cos tb N.
dt
dt
(e) El momento de la fuerza respecto del origen es:
ıb
b
kb M = r × F = 10 sen t −10 cos t 0 = 0.
− sen t
cos t
0