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LÍMITE DE FUNCIONES DEFINIDAS EN LOS NÚMEROS REALES.
INTRODUCCIÓN.
Materiales: Regla, escuadras, hojas de papel cuadriculado, calculadora, 3 lápices de diferentes colores.
.. ACTIVIDADES.
1. Grafica cada una de las siguientes funciones definidas en el conjunto de los números Reales:
a. y = f(x) = 2x + 1
b. y = f(x) = x2 – 4
c. y = f(x) = x3 – 2x
2. En la siguiente recta numérica, escoge un par de unidades consecutivas y cada una divídelas en 10
partes iguales. Coloca el número correspondiente a cada división. ¿Cuáles serían los números si cada unidad es dividida en 100 partes iguales?
-2
3.
-1
0
1
2
3
A continuación encontrarás dibujadas dos rectas. Traza perpendiculares según se te pide:
.
.
.
. . .
4.
Levanta desde cada punto,
Traza desde cada punto hasta
una perpendicular a la recta
la recta, una perpendicular.
Consideremos la función definida mediante la expresión y = f (x) = 4 – x2. Observemos los valores
del recorrido (y) cuando los del dominio (x) están cerca de 1. Para ello:
a. Elaboramos una tabla de valores donde se observen los valores de “y” cuando los de “x” se
están acercando a 1:
Por la izquierda de 1
x
0.97
0.98
0.99
Por la dercha de 1
1
1.01
1.02
1.03
y
b.
Construimos su gráfica, conectando mediante segmentos de rectas, los elementos del Dominio próximos a 1, con su correspondiente elemento del recorrido:
c.
¿Hacia que valores se aproximan los de “y”, cuando los de “x” se acercan a 1?
Límites de funciones Reales. Introducción.
d.
Observemos que ocurre gráficamente. Para ello te presentamos cuatro gráficas de la función.
2
Límites de funciones Reales. Introducción.
3
En cada una de ellas:
 Dibuja en el eje “y”, una de las siguientes vecindades del 3: V1 (3), V ½ (3), V ¼ (3) y
V 1 10 (3)
 Escoge varios puntos de la vecindad (pueden ser dos, por encima y por debajo de 3). Levanta en cada uno de ellos una perpendicular que llegue hasta la gráfica. A continuación,
traza desde aquí, otra perpendicular que llegue hasta el eje “x”.
 ¿Dentro de qué vecindad quedan los puntos de los extremos de los segmentos que llegan
hasta el eje “x”?
 ¿Qué pasa cuando la vecindad es más pequeña?
5.
De lo anterior, podemos darnos cuenta que no importa la vecindad de 3 que escojamos, que siempre
tendremos una vecindad (del número 1) en el eje “x” dentro de la cual se encuentran los valores del
dominio próximo a él. Pero que cuanta más pequeña sea la vecindad escogida en el eje “y”, más cercanos al número 1 estarán los valores de x. Ver gráficos:
Límites de funciones Reales. Introducción.
4
La situación anterior es descrita en matemáticas diciendo que el Límite de la función f(x) = 4 – x2,
cuando x esta próxima (o tiende) a 1, es igual a 3. También suele decirse que “f(x) tiende a 3, cuando
x tiende a 1” y se escribe Lím f ( x)  3 En ocasiones se escribe: f ( x)  3, cuando x  1
x 1
6.
A continuación te presentamos varias gráficas de funciones definidas en los números reales para que
determines el valor hacia donde se acercan los de “y = f(x)” cuando “x” se aproxima al valor indicado, escribiendo el resultado con notación de límites:
Límites de funciones Reales. Introducción.
7.
5
Para cada una de las siguientes gráficas, construir en el eje “y”, la vecindad que se indica, escogiendo
un radio apropiado. En seguida, resalta algunos puntos de ella y desde cada uno, traza perpendiculares hasta la gráfica. A continuación traza perpendiculares hacia el eje “x”. ¿En que vecindad del eje
“x”, quedan los extremos de estos segmentos?
Límites de funciones Reales. Introducción.
8.
6
Completa las siguientes tablas para observar el comportamiento de las funciones dadas, cuando los
valores de “x” se acercan al valor indicado:
x
0.9
0.99
0.999
1
1.001 1.01 1.1
a. Lím(3x  1)
x1
y = f(x)
2
x
2.9
2.99
2.999
3
3.001 3.01 3.1
b. Lím( x  4)
x 3
y = f(x)
2
x
1.9
1.99
1.999
2
2.001 2.01 2.1
x x2
c. Lím
y = f(x)
x 2
x2
d. Lím
x2
x 4
x3  3
e. Lím
x 0
x
x 2
2
x
y
x
y
1.9
1.99
1.999
2
2.001
2.01
2.1
- 0.1
- 0.01
- 0.001
0
0.001
0.01
0.1
= f(x)
= f(x)
Podemos ahora definir el límite de una función de la siguiente manera: Se dice que la función f (x)
tiene por limite el número L, cuando x está próxima al número a, siempre que f(x)  V  (L), sea posible que x  V  (a), donde el número  (radio de la vecindad en y) es cualquier número positivo y 
(radio de la vecindad en x), también positivo, depende de . Es decir que los valores de la función se
encuentran en la vecindad de L, cuando los de x estén en una vecindad de a. Se escribe:
Lím f ( x)  L
xa
9.
Veamos como encontrar los radios de las vecindades. Para ello comprobemos que Lím( x  1)  3 . En
x 2
este caso, L = 3 y a = 2.
a. Graficamos la función f (x) = x + 1
Límites de funciones Reales. Introducción.
b.
c.
d.
7
En el eje “y”, construimos una vecindad de 3 con radio  = ¼ = 0.25. Identificamos con la
letra y1 al extremo inferior de la vecindad y con y2, al extremo superior de ella. Los valores
de estas letras aparecen en la gráfica.
Levantamos perpendiculares desde cada uno de estos valores, hasta cuando toquen a la gráfica de la función. Desde estos últimos puntos, bajamos perpendicularmente hasta el eje “x”,
determinándoos e los puntos x1 y x2, cuyos valores debemos encontrar. La distancia menor
desde estos puntos hasta el 2, será el valor del radio  de la vecindad de 2.
Sabemos que y = f(x) = x + 1, por lo tanto:
 y1 = f (x1) = x1 + 1, pero y1 = 2.75 = x1 + 1 por lo que x1 = 1.75
 y2 = f (x2) = x2 + 1, pero y2 = 3.25 = x2 + 1 por lo que x2 = 2.25
 Ahora: 2 = x2 – 2 = 2.25 – 2 = 0.25, y 1= 2 – x1 = 2 – 1.75 = 0.25
 En este caso el valor del radio  es 0.25
 Por lo tanto f(x)  V 0.25 (3) siempre que x  V 0.25 (2)
e.
Comprobar que Lím(2 x  1)  5 , encontrando las correspondientes vecindades.
f.
Comprobar que Lím x 2  4 , encontrando las correspondientes vecindades.
x3
x2
g.
10. Una función se dice continua, cuando puede trazarse “sin levantar el lápiz”. La figura de la izquierda
corresponde a una función continua en todos sus puntos, mientras que la de la derecha no lo es en
x=1
Puede observarse que en las funciones continuas en cualquier punto, los limites por la derecha y por
la izquierda, coinciden con el valor de la función en dicho punto. Este hecho se expresa así:
Una función f es continúa en un punto x = a si se cumple:
 f(a) existe.
 Existe Lím f (x)
xa

f(a) = Lím f (x)
xa
Límites de funciones Reales. Introducción.
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Observa las siguientes gráficas de funciones reales e indica cuáles son continúas. Las que no lo sean
señala el punto o puntos donde no lo son:
11. Sabemos que el límite de f(x) cuando x  a no depende del valor de f en x = a. Sin embargo si ocurre como en el caso de las funciones continuas, que el valor del límite es f (a), diremos que podemos
encontrar el valor del límite por sustitución directa en la expresión matemática que define a la función. Por ejemplo para hallar Lím(2 x  1) , lo haremos por sustitución directa:
x3
Lím(2 x  1)  2(3)  1  5
x3
Encuentra por sustitución directa, cada uno de los siguientes límites:
a. Lím( x 2  1) 
x 3
b. Lím( x  1) 
x1
c. Lím ( x 3  4) 
x2
d. Lím
x 1
e. Lím
x  1
x 2  2x  1

x 1
x3 1
x 2 1

f. Lím x 
x 0
g. Lím
x2  3

x
h. Lím
x 2 1

x 1
x 3
x 1