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LOS NUMEROS ENTEROS
I.
Introducción a los Números Enteros
Hasta ahora hemos visto los números naturales, que comienzan en 0 e incluyen
los números mayores que 0, sumando siempre 1 al número anterior.
Cuando tienes 10 € y debes 15 €, ¿cuántos € tienes? Esta misma pregunta se la
hicieron los hombres hace mucho tiempo, y vieron la necesidad de utilizar números
negativos. Si debes 5 €, tienes -5 €.
Los números negativos también se utilizan para representar cosas como:
-
Las plantas sótano de un edificio (-1, -2, -3…).
-
La temperatura: -5º.
Ampliamos el conjunto de los números naturales a un nuevo conjunto numérico
llamado números enteros, que se denota por Z. Está formado por 3 partes:
-
Los números enteros positivos, o naturales, que son un subconjunto de los enteros.
-
Los números enteros negativos.
-
El 0.
Cuanto más a la izquierdaesté un número, menor es. (- 5) < (- 4) porque
está más a la izquierda.
La idea de números enteros sirve también para contar los siglos, antes y
después de Cristo. O para contar los metros de profundidad bajo el nivel del mar.
1
Curiosidades… ¿Es el 0 un número natural? Para unos sí, para otros no… Así
que por ahora no debes preocuparte de eso.
1. Valor Absoluto
El valor absoluto de un número es sudistancia al 0.
La distancia de 2 a 0 es 2, y la distancia de -2 a 0 también es 2.
|+ 2 | = | - 2 | = 2
Por eso decimos que el valor absoluto de un número es ese número sin el
signo.
2. La Regla de los Signos
Para hacer operaciones (multiplicación y división, pero también suma y resta)
con números enteros, nos será muy útil esta regla. Utilizaremos esta tabla cuando
encontremos:

2 signos seguidos en una suma o resta.

2 números enteros cualesquiera en una multiplicación o división.
+· += +
- · -=+
+· - = - ·+=-


2 nos del mismo signo = +
2 nos de distinto signo = -
Ejemplos:

Suma: (-2) + (-3) = - 2 - 3 = - 5. (Para + (-3) hemos aplicado + · - = - ).

Multiplicación:(-4) · (-4) = 16. (multiplicamos 4 · 4, y le ponemos el signo - · - = +).

División:(-10) : 5 = 2. (Dividimos 10 : 5, y le ponemos el signo - : + = -).
Vamos a verlo en detalle para cada operación.
2
II.
Operaciones con Números Enteros
1. Suma y Resta de Números Enteros
Todas las operaciones con números enteros conservan todas las características
y propiedades de las operaciones con números naturales. Se les añaden algunas más.
A. SUMA
Practicamos con algunos ejemplos.

(-1) + (-2) = - 1 – 2 = - 3.

12 + (-7) = 12 – 7 = 5.
La suma de enteros tiene todas las propiedades de la suma de naturales
(operación interna, conmutativa, asociativa y elemento neutro). Pero además tiene 1
propiedad más:
Elemento opuesto. a + (-a) = 0.
3 + (-3) = 0. 3 es el opuesto de -3, y -3 el opuesto de 3. Son elementos
simétricos respecto a 0. Para obtener el opuesto de un número, lo multiplicamos por (1).
B. RESTA
Ejemplos:

15 – (-3) = 15 + 3 = 18.

15 + (-3) = 15 – 3 = 12.

7 + (-2) – 4 + 5
¡Una resta puede ser en realidad una suma!
= 7 – 2 – 4 + 5 = 6.
3
2. Multiplicación y División de Números Enteros
A. MULTIPLICACION
Ejemplos:

(-2) · (-2)
= 4.

(-5) · 5
= -25.

3 · (-4)
= -12.

(-3) · (-3) · (-3)
= -27. Porque ( - · - · - = + · - = - ).

(-3) · (-3) · (-3) · (-3) = 81. Porque ( - · - · - · - = + · + = + ).
B. DIVISION
Ejemplos:

(-28) : 4

(-28) : (-4) = 7.

28 : (-4)
= -7.
= -7.

3. Potencias de Base Entera y Exponente Natural.
Conocemos las potencias como 23, donde la base 2 es un natural, o entero
positivo. Vamos a estudiar las potencias cuya base es un entero negativo, como (-2) 3.

(-2)2 = (-2) · (-2) = 4.

(-2)3 = (-2) · (-2) · (-2) = (-8).
En general decimos que:

(-a) par = a par.

(-a) impar = (-a) impar.
Ejemplos:

(-3) 3 = (-27).
4

(-5)4 = 625.
4. Raíz Cuadrada de Números Enteros.
Un número entero tiene 2 raíces cuadradas posibles:

√49 = 7 porque 72 = 49.

√49 = (-7) porque (-7)2 = 49.
En general √a2 = |a|.

Si a ≥ 0, √a2 = a.

Si a < 0, √a2 = (-a).
Curiosidad… ¿Cuánto vale √(-49)? ¡Tiene solución, pero no necesitamos saberlo
todavía!...
5. Operaciones Combinadas.
Ejemplos:

- 6 - (-7) · (- 6 - 2) = - 6 + 7 · (-8) = - 6 – 56 = - 62.

-2 – (-15) : ( 8+7) = -2 + 15 : 15 = - 2 + 1 = - 1.

|5|·|-3|=5 · 3 = 15.

|-10|·|-2|= 10 · 2 = 20.

-|-10|·|-2|= (-10) · 2 = (-20).
5
TEST
1. ¿Cuál es la relación entre los números naturales y los enteros?
a. Los números naturales no son números enteros.
b. Todo número entero es también natural.
c. Los números naturales son los enteros positivos.
d. Los números negativos no son números enteros.
2. Ordena los números de menor a mayor:
a. -10 < -36 < -37 < 0 < 5 < 22.
b. – 37 < - 36 < - 10 < 0 < 5 < 22.
c. 0 < 5 < -10 < 22 < -36 < -37.
d. 5 < -10 < 22 < -36 < -37 < 0.
3. ¿Cuál es el resultado de esta operación: +4 +[(+2)+(+8) · (-6) – (-7+6)]
a. -41.
b. 65.
c. 9.
d. -23.
4. ¿Cuál es el resultado de esta operación: +7 + (-5) : ( -7+2) - (+1-6)?
a. 2.
b. 13.
c. -10.
d. -21.
5. Luis está en la planta -6 y sube hasta la 18. ¿Cuántas plantas sube?
a. 12.
b. 24.
c. -12.
d. 20.
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6. El Teide está a una altitud de 3.718 metros . La fosa marina de Las Marianas está a
11.034 metros de profundidad. ¿Cuál es el desnivel entre ambos puntos?.
a. 14.034 metros.
b. 7.316 metros.
c. 7.318 metros.
d. 14.752 metros.
7. ¿Cuál es el resultado de: - |-25| · |-5| ?
a. 105.
b. -225.
c. -125.
d. 125.
8. Lucía tenía ayer en el banco – 653 €. Hoy tiene 215 €. ¿Ha gastado o ha ingresado
dinero? ¿Cuánto?.
a. Ha gastado 864 €.
b. Ha gastado 438 €.
c. Ha ingresado 868 €.
d. Ha ingresado 438 €.
9. Calcula (-2) 5
a. 16.
b. -32.
c. -16.
d. 32.
10. Una persona nació en el año 17 antes de Cristo y se casó en el año 15 después de
Cristo. ¿Con cuántos años se casó?
a. 26.
b. 32.
c. 22.
d. 42.
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