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NÚMEROS REALES
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1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
1.1. Números naturales
El conjunto de los números naturales se representa con el símbolo
.
Los números naturales son los más básicos y los primeros que se introdujeron en la historia de la humanidad. Una de sus funciones principales es la de contar.
En el conjunto de los números naturales hay infinitos elementos.
Los números naturales se pueden ordenar. Basta con colocarlos sucesivamente, de menor
a mayor. Esta propiedad permite utilizarlos para ordenar cualquier tipo de objetos.
Por ejemplo, los días de un mes, los años o los asientos de un cine pueden ordenarse utilizando los números naturales.
1.1.1. Operaciones con números naturales
Las dos operaciones fundamentales entre números naturales son la suma y la multiplicación.
La suma es una operación que tiene:
•
la propiedad conmutativa:
a+b=b+a
•
la propiedad asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
El elemento neutro de la suma es el 0 y su operación inversa es la resta, que no tiene ni
la propiedad conmutativa ni la asociativa.
La multiplicación es una operación que también tiene:
•
la propiedad conmutativa:
a·b=b·a
•
la propiedad asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
Al margen de esto, sabemos que el elemento neutro de la multiplicación es el 1 y que su
operación inversa es la división, que no tiene ninguna de estas propiedades.
Tanto la resta como la división tienen restricciones en el conjunto de los números naturales,
en el sentido de que no cualquier pareja de números naturales pueden restarse o dividirse.
Como encontramos a menudo expresiones que involucran todas estas operaciones juntas, es importante recordar que la multiplicación y la división tienen prioridad respecto
a la suma y la resta.
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1.2. Números enteros
El conjunto de los números enteros se representa con el símbolo .
El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales (enteros
positivos y el 0) y por los números enteros negativos.
Estos últimos tienen una gran cantidad de aplicaciones en nuestra vida cotidiana: nos
permiten, por ejemplo, referirnos a la profunidad de un punto que se encuentra por
debajo del nivel del mar o indicar temperaturas inferiores a 0 ºC.
No existe acuerdo sobre si el 0 es un número natural o no. Aquí se considera que lo es.
1.2.1. Operaciones con números enteros
La suma y la resta con números enteros disfrutan de las mismas propiedades que en el
caso de los números naturales.
Por otro lado, en relación a la resta, en el conjunto de los números enteros no existen las
restricciones que teníamos en el de los números naturales, el sustraendo puede ser más
grande que el minuendo.
Ejemplo: 2.009 − 2.485 = −476
En cuanto al producto y a la división, las propiedades son las mismas, con un añadido:
hay que tener en cuenta que el producto de dos números del mismo signo es positivo y
el de dos números con signo diferente es negativo.
+ · + = +
+·−=−
− · − = +
−·+=−
1.2.2. Números opuestos
El valor de un número entero, sin tener en cuenta el signo, es su módulo o valor absoluto.
Se escribe de la siguiente forma: |7| = 7; |−11| = 11.
Cuando dos números tienen el mismo valor absoluto pero signos diferentes, se dice que
son opuestos.
El opuesto de un número se puede obtener multiplicándolo por −1; ya que, de esta manera, cambiaremos el signo sin variar el módulo.
La diferencia de números enteros puede entenderse como la suma del primero y el
opuesto del segundo.
a − b = a + (−b)
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1.3. Números racionales
Todos los números que se pueden expresar como un cociente de dos números
enteros se llaman números racionales. Su conjunto se indica con el símbolo .
1.3.1. Tipos de números racionales
Según la definición de número racional que hemos dado, existen los siguientes tipos de
números racionales:
•
Números enteros, que se pueden escribir en forma de fracciones con un numerador
que sea múltiplo del denominador.
Un ejemplo es
•
.
Números decimales, que se pueden escribir en forma de fracciones con un numerador que no sea múltiplo del denominador.
Estos últimos se dividen en:
•
Números decimales finitos, cuando los únicos factores primos que contiene el denominador son el 2 y el 5.
Por ejemplo:
•
Números decimales periódicos: cuando el denominador contiene algún factor primo
diferente del 2 y el 5.
Por ejemplo,
1.3.2. Representaciones equivalentes de un número
racional
Cada número racional se puede expresar de diferentes formas: en forma decimal, con
una fracción irreducible o mediante cualquiera de sus fracciones equivalentes. Hay que
recordar, sin embargo, que siempre se trata del mismo número racional.
Recuerda que una fracción irreducible es aquélla en que el numerador y el denominador son
primos entre sí. Si multiplicamos el numerador y el denominador por un mismo número, se
obtienen fracciones equivalentes; pero reducibles.
1.3.3. Operaciones con números racionales
Las reglas que siguen las operaciones con números racionales son las mismas que en el
caso de los números enteros.
Sólo cambian algunas restricciones: en este caso, el denominador de las fracciones nunca puede ser igual a 0.
Por otro lado, para el cálculo con racionales se pueden utilizar todas las técnicas del
cálculo fraccionario.
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1.4. Números irracionales
Los números racionales nos permiten realizar medidas con una precisión mucho mayor que la que nos permitían los números enteros. Sin embargo, algunos números no
forman parte de los racionales; ya que no pueden expresarse como cociente de dos
números enteros.
La raíz de 2 no es un número como los que hemos visto hasta ahora. No se puede expresar ni como decimal finito ni como decimal periódico. No pertenece al conjunto de
números racionales.
Los números que tienen un desarrollo decimal ilimitado y no periódico se llaman
números irracionales.
El conjunto de los números irracionales se designa con el símbolo .
Son números irracionales todos los radicales no exactos:
Además de los radicales no exactos, existen otros números irracionales:
El número π, que es igual al cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, es un número irracional.
Otro número irracional es el número e, que resulta muy útil en algunas áreas de las matemáticas como en el cálculo de logaritmos u otras más avanzadas:
e = 2,71828…
El número π y el número e son ejemplos de números trascendentes; es decir, números irracionales que no se pueden obtener como solución de ninguna ecuación algebraica. Este
hecho los diferencia de los radicales, que son soluciones de este tipo de ecuaciones.
1.5. Números reales
La unión de los números racionales con los irracionales da lugar al conjunto de los
números reales, que se designa con el símbolo .
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1.5.1. Operaciones con números reales
La suma y el producto entre números reales tienen las mismas propiedades que la suma
y el producto entre números racionales. Lo mismo pasa con sus operaciones inversas.
Otras operaciones habituales son las potencias y las raíces.
Las potencias no son más que productos repetidos tantas veces como indique el exponente. Disponen de unas propiedades que son útiles para simplificar los cálculos.
Por otro lado, una vez introducidos los irracionales se puede calcular la raíz de cualquier
número.
Una vez que introducimos en las operaciones un número irracional, con sus infinitos
decimales no periódicos, el resultado también tendrá esta estructura y, por lo tanto, será
irracional; a no ser que todos los números irracionales puedan simplificarse a lo largo de
la operación.
1.5.2. Operaciones prohibidas
Existen algunas operaciones que no están permitidas dentro del conjunto de los números reales:
•
No se puede dividir por 0; ya que es imposible encontrar un número que, multiplicado por 0, dé el dividendo como resultado.
•
No se pueden calcular raíces de índice par de números negativos; ya que es imposible
encontrar ningún número real que, elevado a una potencia par, dé un resultado negativo.
2. APROXIMACIÓN DE NÚMEROS REALES
2.1. Magnitudes y medidas físicas
Para medir una magnitud física se utiliza un patrón que llamamos unidad de medida.
Asumimos que el valor de esta magnitud en un determinado objeto puede ser igual a
cualquier número real. Existe, sin embargo, una limitación en nuestro conocimiento de
esta cantidad: la precisión de nuestros instrumentos de medida.
Si una barra mide 5,24 cm exactamente y sólo tenemos una regla graduada hasta los milímetros, todo lo que podemos saber es que la magnitud longitud, en la barra, tiene un valor
entre 5,2 cm y 5,3 cm.
2.1.1. Tipos de aproximaciones
Para hacer una aproximación, lo primero que hay que decidir es cuál será la primera cifra
que se descartará y, por lo tanto, el número de cifras decimales de la aproximación. De
esta manera podremos saber cuáles son los dos números decimales más próximos a
aquél que queremos aproximar que cumplan las características que necesitamos.
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El siguiente paso es escoger uno de estos dos números para hacer la aproximación:
•
Si nos quedamos con el menor, hacemos una aproximación por defecto.
•
Si nos quedamos con el mayor, hacemos una aproximación por exceso.
Ejemplo:
Queremos aproximar
posibilidades:
con un número que tenga dos cifras decimales. Hay dos
Si llevamos a cabo la aproximación por defecto tenemos:
.
Si practicamos la aproximación por exceso tenemos, en cambio:
.
La aproximación por defecto también se denomina truncamiento.
2.1.2. Redondeo
Para realizar en cada caso la aproximación más precisa nos tendremos que fijar en el
valor de la primera cifra descartada:
•
Si es menor que 5, se aproximará por defecto.
•
Si es mayor o igual que 5, se aproximará por exceso.
Este tipo de aproximación se denomina redondeo.
Algunos ejemplos de redondeo son los siguientes:
2.2. Errores
El error de aproximación nos proporciona información sobre si las medidas que hacemos son precisas o no.
2.2.1. Error absoluto
El error absoluto es el módulo de la diferencia entre el valor exacto y el valor
aproximado de una determinada cantidad.
Ejemplo:
Valor exacto
Valor aproximado
Error absoluto
1,149
1,15
0,001
0,019
0,02
0,001
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2.2.2. Error relativo
Para poder valorar la auténtica magnitud del error que se está cometiendo se debe calcular el error relativo.
El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto.
El error relativo también permite comparar la precisión de más de una aproximación.
Además, si se multiplica por 100, se expresa en forma de porcentaje.
Ejemplo:
Valor aproximado
Valor exacto
Error absoluto
Error relativo
Porcentaje
1,15
1,149
0,001
0,0009
0,09%
0,02
0,019
0,001
0,05
5%
3. RECTA REAL
Sabemos que en una recta hay infinitos puntos y que entre dos puntos de una recta
siempre hay otro punto.
Los números reales, como los demás conjuntos que conocemos, son infinitos. Además,
a diferencia de los demás conjuntos, es posible hacer que cada punto de una recta se
corresponda con un número real.
3.1. Representación de números enteros
El método para representar los números enteros sobre la recta real es el siguiente:
•
Se escoge un punto cualquiera y se lo hace corresponder con el 0.
•
Se decide a qué distancia sobre la recta, hacia la derecha del 0, se encontrará el 1,
y se marca. Esta distancia indica la separación que hay entre dos números enteros
consecutivos cualesquiera.
•
Se hacen marcas separadas por esta misma distancia las unas de las otras, hacia la
derecha, para situar los números positivos.
•
Se hacen marcas separadas por esta misma distancia las unas de las otras, hacia la
izquierda, para situar los números negativos.
3.2. Representación de números racionales
Una vez que hemos situado los números enteros, podemos hacer lo mismo con cualquier número racional.
Para representar un número racional no entero es imprescindible tener en cuenta el
hecho de que siempre lo podemos representar como una fracción.
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El método es el siguiente:
•
Se determina la fracción irreducible equivalente al número racional.
•
Se determina entre qué dos números enteros se encuentra.
•
Se divide el segmento que hay entre estos dos números enteros en el número de
partes necesarias, tantas como indique el denominador de la fracción. Lo más adecuado es emplear el teorema de Tales para hacer esta división.
•
Finalmente, se escoge la marca correspondiente: la que indica el numerador de la
fracción.
3.3. Representación de números irracionales
En el caso de los números irracionales, el problema se complica mucho. El método tiene
que ser necesariamente diferente, puesto que no es posible expresarlos como fracciones.
Sólo puede hacerse lo siguiente, una vez que ya se dispone de la situación de los números enteros:
•
•
Si se quiere situar un radical no exacto de índice 2 sobre la recta real, la mejor herramienta es el teorema de Pitágoras:
•
Se determina la longitud que han de tener los dos catetos de un triángulo rectángulo que tenga una hipotenusa de longitud igual al número que quiere situarse sobre la recta.
•
Se dibuja el triángulo rectángulo de forma que el vértice del angúlo recto se
encuentre sobre el 0 de la recta.
•
Finalmente, se traslada la hipotenusa sobre la recta con un compás y se marca la
intersección, que coincide con la posición del número irracional.
En el resto de los casos (otros radicales no exactos y números trascendentes) lo mejor es limitarse a considerar dos números racionales entre los que se encuentre el
número que se quiere representar. De esta manera se obtienen representaciones
con un grado de precision tan alto como se desee.
4. Semirrectas, intervalos y entornos
4.1. Semirrectas
Además de considerar los números reales de forma individual, también podemos coger
de forma simultánea un conjunto de números reales.
En lenguaje matemático, cosas como ésta se escriben de la siguiente manera:
x > −3
En general, los conjuntos de números que verifican condiciones de este tipo corresponden a semirrectas sobre la recta real.
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−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
−1
-2
1
1
-2
0
1
2
3
-2
5
-2
3
Cuando el extremo de la semirrecta no forma parte del conjunto que se está considerando, se indica con una pequeña circunferencia centrada en el punto; cuando sí forma
parte, se indica con un pequeño círculo centrado en el punto.
4.2. Intervalos
Un segmento sobre la recta real se denomina intervalo.
Estaremos ante un intervalo siempre que tengamos dos condiciones que se cumplan
simultáneamente. Por ejemplo:
y
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
Para referirnos a un intervalo que tenga por extremos los números a y b podemos emplear las desigualdades anteriores o bien una notación como la siguiente:
Los diferentes casos que pueden darse son los siguientes:
•
Cuando ninguno de los dos extremos forma parte del intervalo, tenemos un intervalo abierto, que se indica con sendos paréntesis.
•
Cuando los dos extremos forman parte del intervalo, tenemos un intervalo cerrado
que se indica con sendos corchetes.
•
Cuando un extremo forma parte del intervalo y el otro no, el intervalo no es ni abierto ni cerrado y el carácter de cada uno de los extremos se indica con el símbolo
correspondiente.
La misma notación que se utiliza para referirse a los intervalos puede aplicarse también
a las semirrectas si se añade un nuevo par de símbolos al sistema:
es una cantidad mayor que cualquier número real.
es una cantidad menor que cualquier número real.
Estos símbolos no son números y, por esta razón, no pueden incluirse en un conjunto
de números. Así pues, siempre tendrán que ser excluidos del conjunto correspondiente
utilizando un paréntesis:
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4.3. Distancia
La recta real también permite ver de forma muy clara si dos números están muy separados entre sí o poco separados.
La distancia entre dos números es la longitud del segmento que los tiene como
extremos y tiene que ser un número positivo.
Por lo tanto, en general, la distancia entre dos números a y b se calcula de la siguiente manera:
Puesto que utilizamos el módulo, no tenemos que preocuparnos del orden en que restamos
los dos valores, ya que siempre obtendremos un resultado positivo.
Como bien podemos comprobar, la distancia entre 28 y 25 es la misma que entre 25 y 28.
No podía ser de otra forma.
4.4. Entorno
Un entorno con el centro en c y de radio r es un conjunto formado por todos los
números que se encuentran a un distancia menor de r respecto de c.
Un entorno centrado en c y de radio r se designa de la siguiente forma: E(c,r).
Así pues, el entorno E(c,r) y el intervalo (c − r, c + r) son el mismo conjunto.
5. RESUMEN
•
Los números reales tienen diferentes subconjuntos, cada uno con propiedades y
utilidades específicas.
•
Cualquier número real se puede aproximar mediante un número decimal finito.
•
Los números reales se pueden representar en una recta de forma ordenada.
•
Se pueden definir diferentes tipos de subconjuntos sobre la recta real que corresponden a diferentes tipos de condiciones sobre los números reales.
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