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POLÍGONOS
POLÍGONOS
1. Polígonos.
1.1. Elementos de un polígono.
1.2. Suma de los ángulos interiores de un polígono.
1.3. Diagonales de un polígono.
1.4. Clasificación de los polígonos.
2. Polígonos regulares. Elementos.
3. Construcción de polígonos regulares utilizando regla y compás.
3.1. Construcción de un triángulo equilátero cualquiera.
3.2. Construcción de un triángulo equilátero conocida la longitud del lado.
3.3. Construcción de un cuadrado cualquiera.
3.4. Construcción de un cuadrado conocida la longitud del lado.
3.5. Construcción de un pentágono regular conocido el lado.
3.6. Construcción de un hexágono regular cualquiera.
3.7. Construcción de un hexágono regular conocido el lado.
3.8. Construcción de un octógono regular cualquiera.
3.9. Construcción de un octógono regular conocido el lado.
4. Cuadriláteros. Clasificación.
Los contenidos que vamos a aprender en este tema se ajustan a los contenidos del
Bloque de Geometría de 1º ESO citados en el Decreto 69/2007, de 29-05-2007, por el
que se ordena el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad
Autónoma de Castilla-La Mancha (DOCM 01-06-2007)
Clasificación de cuadriláteros a partir de diferentes criterios. Estudio de
algunas propiedades y relaciones entre estos polígonos. Medida y cálculo
de ángulos de figuras planas.
Polígonos regulares. Construcción de polígonos regulares con los
instrumento de dibujo habituales.
Uso de herramientas informáticas para construir, simular e investigar
relaciones entre elementos geométricos.
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POLÍGONOS
1. POLÍGONOS.
Una línea poligonal es una secuencia de segmentos unidos por los extremos.
Un polígono es la región delimitada por una línea poligonal cerrada.
El término polígono no hace referencia a los lados, sino a los ángulos. Proviene
del griego “polys” que significa “muchos” y “gonia” que quiere decir “ángulo”. Por
tanto, polígono = muchos ángulos
1.1. Elementos de un polígono.
Lados: son los segmentos que limitan la superficie.
Vértices: son los puntos de unión de los segmentos.
Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
Ángulos:
 Interiores: son las regiones, dentro de la línea poligonal, creadas por dos
lados consecutivos.
 Exteriores: son las regiones, fuera de la línea poligonal, limitadas por dos
lados consecutivos.
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1.2. Suma de los ángulos interiores de un polígono.
Vamos a observar los siguientes polígonos:
Hemos trazado las diagonales desde uno de los vértices de cada uno de estos
polígonos: cuadrilátero, pentágono y hexágono. Podemos observar que quedan
divididos en triángulos.
Como ya sabemos del tema de los triángulos, la suma de los ángulos interiores de
un triángulo es 180º.
Por tanto, la suma de los ángulos de un polígono es: 180º x número de triángulos.
El cuadrilátero queda dividido en dos triángulos, por tanto: 2 x 180º = 360º.
El pentágono queda dividido en tres triángulos, luego: 3 x 180º = 540º.
El hexágono queda dividido en cuatro triángulos, así: 4 x 180º = 720º.
¿Qué observas?
Haz algún dibujo más y comprobarás que en cada polígono, el número de
triángulos en los que queda dividido es 2 unidades menor que el número de lados que
tiene.
La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es:
1.3. Diagonales de un polígono.
La diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos.
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?
Vamos a dibujar distintos polígonos y sus diagonales. Después tendremos que ir
rellenando el siguiente cuadro.
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Polígono
Nº Lados
Nº Diagonales
Triángulo
3
d3= 0
Cuadrilátero
4
d4=2
Pentágono
5
d5= 2+3=5
Hexágono
6
d6= 2+3+4=9
Heptágono
7
d7 = 2+3+4+5=14
n
2 +3 +4 + 5 + …+ (n-2)
…..
Polígono
Ejercicio: Aplicando esta expresión, calcula el número de diagonales de un
decágono. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 20 lados?
1.4. Clasificación de los polígonos.
Podemos clasificar los polígonos de tres formas.
a) Clasificación de los polígonos según la igualdad de sus lados y ángulos.
Polígonos regulares: Tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales.
Polígonos irregulares: Tienen al menos un lado o un ángulo distinto al resto.
b) Clasificación de los polígonos por sus ángulos interiores.
Diremos que un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores
de 180º.
Diremos que un polígono es cóncavo si alguno de sus ángulos interiores es mayor
de 180º.
c) Clasificación de los polígonos por el número de lados.
Triángulos: tienen tres lados.
Cuadriláteros: tienen cuatro lados.
Pentágonos: tienen cinco lados.
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Hexágonos: tienen seis lados.
Heptágonos: tienen siete lados.
Octógonos: tienen ocho lados.
Eneágonos: tienen nueve lados.
Decágonos: tienen diez lados.
Undecágonos: tienen once lados.
Dodecágonos: tienen doce lados.
Para nombrar el resto de polígonos, simplemente se indica el número de lados. Por
ejemplo, polígono de treinta lados, polígono de catorce lados…
2. POLÍGONOS REGULARES. ELEMENTOS.
Un polígono que tiene los lados iguales y los ángulos iguales se llama polígono
regular.
Sus elementos son los siguientes:
Centro: Punto que equidista de los vértices.
Radio. Cualquier segmento que une el centro con un vértice.
Apotema: Cualquier segmento que une el centro con el punto medio de un
lado.
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Fíjate que en todos los polígonos regulares se puede dibujar un triángulo
rectángulo con la apotema, el radio y la mitad del lado. Por tanto, por el teorema de
Pitágoras se cumple que:
Veamos un ejemplo práctico. Calcula la apotema de un pentágono regular cuyo
radio de la circunferencia circunscrita mide 8 cm y el lado mide 9,4 cm.
l = 9,4
l/2 = 9,4 : 2 = 4,7
82 = a2 + 4,72
64 = a2 + 22,09
a2 = 64 – 22,09
a2 = 41,91
Por tanto, la apotema mide 6,47 cm.
Ángulo central: cualquier ángulo determinado por dos radios.
La amplitud de un ángulo central de un polígono regular de n lados es:
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Por ejemplo, el ángulo central de un octógono regular es:
º
En todo polígono regular podemos dibujar su circunferencia circunscrita cuyo
centro coincide con el del polígono y que pasa por sus vértices. En este caso el polígono
se llama polígono inscrito.
3. CONSTRUCCIÓN
DE
POLÍGONOS
REGULARES
UTILIZANDO
REGLA Y COMPÁS.
3.1. Construcción de un triángulo equilátero.
Para construir un triángulo equilátero cualquiera, seguimos los siguientes pasos:
1. Construimos una circunferencia de radio r.
2. Desde cualquier punto A de la circunferencia trazamos dos arcos de la longitud
del radio. Estos arcos se cortan en otros puntos B y C.
3. Desde B trazamos un arco que corta la circunferencia en D. Desde D trazamos
otro que corta la circunferencia en E y desde E el arco que la corta en F.
4. Construimos los segmentos AD, DF y FA y obtenemos el triángulo equilátero
inscrito en la circunferencia de radio r.
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3.2. Construcción de un triángulo equilátero dado el lado.
Dado el segmento AB, que será el lado del triangulo. Basta con trazar dos
circunferencias C y C' con centros en A y B, de radio el valor del lado. El tercer
vértice, C, queda determinado por la intersección de las circunferencias.
3.3. Construcción de un cuadrado cualquiera.
Como en el caso del triángulo, lo construimos inscrito en una circunferencia y el dato
que nos interesa es el radio. Veamos los pasos:
1. Construimos una circunferencia de radio r.
2. Desde el punto A de la circunferencia trazamos un diámetro d1 de la misma. A
continuación construimos un segundo diámetro d2 perpendicular a d1, con
escuadra y cartabón.
3. Podemos observar que tenemos cuatro puntos de corte generados por los dos
diámetros. Estos puntos A, B, C y D son los vértices del cuadrado y, por tanto,
solo tenemos que unirlos para obtener el cuadrado inscrito en la circunferencia
de radio r.
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3.4. Construcción de un cuadrado dado el lado.
Sea el segmento AB, que será el lado de nuestro cuadrado. Dibujamos el segmento
AB y dos rectas perpendiculares al segmento por A y B, respectivamente. A
continuación se dibuja una circunferencia de centro A y radio AB y otra de centro B
y radio AB. Estas circunferencias cortan a las rectas anteriores en dos puntos,
respectivamente. Esos puntos serán los dos vértices que faltan del cuadrado.
3.5. Construcción de un pentágono regular conocido el lado.
Se procede del siguiente modo. Sea AB el segmento dado.
1. Dibujamos el segmento AB.
2. Se traza la recta perpendicular a AB en B.
3. Se traza la mediatriz del segmento AB. Llamamos O al punto medio del
segmento AB.
4. Con centro en B se traza la circunferencia C1 de radio AB, y se obtiene el
punto M.
5. Con centro en O se traza la circunferencia C2 de radio OM, y obtienes S.
6. Trazamos la circunferencia de centro A y radio AS, obteniendo C como corte
con C1. Esta circunferencia corta en D a la mediatriz AB.
7. Podemos obtener E como simétrico de C respecto a la mediatriz de A.
8. El pentágono regular queda determinado por A, B, C, D y E.
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3.6. Construcción de un hexágono regular cualquiera.
En este caso da igual que nos den el lado o el radio de la circunferencia
circunscrita, ya que ambos coinciden. Vamos a seguir los siguientes pasos:
1. Construimos una circunferencia de radio r.
2. Desde un punto A de la circunferencia, trazamos un arco de la longitud del
radio. Este arco corta la circunferencia en los puntos B y C.
3. Desde B volvemos a trazar un arco que corte a la circunferencia en el punto D.
Desde D trazamos otro arco que corte en E y desde E otro que corta en F.
4. Construimos los segmentos AB, BD, DE, EF, FC y CA. Ya tenemos el
hexágono de lado r.
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3.7. Construcción de un hexágono regular, conocido el lado.
Dado el lado AB, basta con construir el triángulo equilátero ABO mediante las
circunferencias C1 y C2. Llamamos O al centro del hexágono. Se construye la
circunferencia C, de centro O y radio OA, determinando C y D. Por simetría, o llevando
la medida AB sobre la circunferencia se calculan E y F.
3.8. Construcción de un octógono regular cualquiera.
Lo construimos inscrito en una circunferencia de radio r. Vamos a seguir los
siguientes pasos:
1. Construimos una circunferencia de radio r.
2. Desde un punto A de la circunferencia, trazamos un diámetro d1 de la misma.
A continuación construimos un segundo diámetro d2 perpendicular a d1 con
escuadra y cartabón.
3. Podemos observar que tenemos cuatro puntos de corte generados por los
diámetros d1 y d2. Estos puntos A, B, C y D son los vértices del cuadrado
inscrito en la circunferencia de radio r.
4. Por los puntos medios de los lados AB y BC construimos los diámetros d3 y
d4.
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5. Tenemos ocho puntos de corte, A, A1, B, B1, C, C1, D y D1. Estos son los
puntos que delimitan el octógono.
3.9. Construcción de un octógono regular, conocido el lado.
Sea AB el lado del octógono. Se construye el cuadrado de lado AB y su
circunferencia circunscrita. La intersección de esta circunferencia con la mediatriz
de AB determina el centro del octógono. Basta con construir la circunferencia
circunscrita al octógono y llevar AB sobre ella.
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4. CUADRILÁTEROS. CLASIFICACIÓN.
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.
Los cuadriláteros se clasifican en:
a) Paralelogramos: Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos.
Dentro de los paralelogramos se encuentran:
Cuadrado: Paralelogramo con los cuatro ángulos interiores iguales (rectos) y
los cuatro lados iguales. Es un cuadrilátero regular. Tiene la propiedad de
que sus diagonales son iguales y perpendiculares.
Rectángulo: Paralelogramo con los cuatro ángulos interiores iguales (rectos)
y los lados iguales dos a dos. Tiene la propiedad de que sus diagonales son
iguales.
Rombo: Paralelogramo con los cuatro lados iguales y los ángulos interiores
iguales dos a dos. Tiene la propiedad de que sus diagonales son
perpendiculares y son bisectrices de los ángulos.
Romboide: Paralelogramo con los lados y los ángulos iguales dos a dos. El
romboide es un paralelogramo que no es ni cuadrado, ni rectángulo, ni
rombo.
OBSERVACIÓN: El cuadrado es un rectángulo y un rombo a la vez, porque
verifica las condiciones que los definen.
b) No paralelogramos: Cuadriláteros que no tienen los lados paralelos dos a dos.
Trapecio: Cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y dos no paralelos. A
los lados paralelos les llamamos bases y la distancia entre las bases es la
altura del trapecio. Podemos distinguir entre:
 Trapecios rectángulos: Son los que tienen dos ángulos rectos.
 Trapecios isósceles: Son los que tienen iguales los lados no paralelos.
 Trapecios escalenos: Los lados no paralelos son distintos.
Trapezoide: Son cuadriláteros que no tienen lados paralelos.
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Veamos el siguiente cuadro-resumen, que ayudará a aprender los conceptos básicos.
PARALELOGRAMO: Lados paralelos dos a dos.
Paralelogramo que tiene los cuatro
lados iguales los cuatro y ángulos
C
CUADRADO
iguales. Cuadrilátero regular.
Paralelogramo que tiene los cuatro
U
RECTÁNGULO
ángulos rectos.
Paralelogramo que tiene los cuatro
A
ROMBO
lados iguales.
D
Paralelogramo
ROMBOIDE
I
L
E
R
O
lados
dos a dos.
NO PARALELOGRAMOS: Los lados no son paralelos dos a dos
TRAPECIO
T
tiene
iguales dos a dos y ángulos iguales
R
Á
que
Dos de sus lados (llamados bases) son paralelos.
TRAPECIO
Un lado perpendicular
RECTÁNGULO
a las bases. O bien,
T
tiene
dos
R
rectos.
ángulos
A
TRAPECIO
Los lados no paralelos
P
ISÓSCELES
son de igual longitud.
C
TRAPECIO
Podemos
I
ESCALENO
esta nomenclatura para
E
encontrar
O
referirse a los no son
S
ni
rectángulos
ni
isósceles.
S
TRAPEZOIDE
Cuadriláteros que no
tienen lados paralelos.
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