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Dibujo Técnico II
María Amián
Bloque I: Geometría Plana
Tema 2: Polígonos
2.1
Triángulos:
Algunas propiedades que debes recordar acerca de los triángulos:



La suma de los tras ángulos interiores vale 180º
Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos, pero mayor
que la diferencia (resta)
La hipotenusa de un triángulo rectángulo es mayor que cada uno de sus
catetos.
Rectas y puntos notables de los triángulos

Altura: Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. Las alturas
se cortan en un punto llamado Ortocentro. En el caso de un triángulo
rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

Mediana: Recta que une el vértice con el punto medio del lado opuesto. Las
medianas se cortan en un punto llamado Baricentro. El baricentro es el centro
de gravedad del triángulo y se halla a una distancia de los vértices igual a dos
tercios de la longitud total de la mediana.
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
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Mediatriz: Es una perpendicular trazada desde la mitad de los lados. . Las
mediatrices se cortan en el Circuncentro, que es el centro de una
circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, que contiene los vértices. En el
caso de un triángulo rectángulo, el circuncentro coincidirá con el punto medio
de su hipotenusa.

Bisectriz: La recta que divide los ángulos en dos y que se cortan en el Incentro,
que es el centro de la circunferencia inscrita.
¿Para qué sirve?
Es muy importante que conozcas las rectas y puntos notables pues te ayudarán a resolver
problemas de triángulos.
Por ejemplo: Si conocemos dos vértices y el baricentro podemos hallar los lados del
triángulo, sabiendo que desde el baricentro hasta los vértices hay dos tercios de la
longitud total de las medianas.
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2.2
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Cuadriláteros
Tipos de Cuadriláteros
Consideraciones geométricas para la construcción de cuadriláteros.

Construcción de un trapecio conocido los cuatros lados.
En un trapecio, la paralela a un lado trazada desde un extremo de la base menor,
lo descompone en un paralelogramo ADCE y un triángulo CEB que tiene como
lados la diferencia de las bases y los lados no paralelos del trapecio.
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
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Construcción de un trapecio conocidos sus lados paralelos y sus diagonales.
En un trapecio, si se traza una recta CE paralela a una diagonal desde el extremo
de la base menor, se forma un triángulo CAE que tiene como lados la suma de las
bases y las diagonales del trapecio.
¿Para qué sirve?
Para resolver problemas en los que
tenemos como datos las bases y las
diagonales de un trapecio.
En general, para dibujar un cuadrilátero es aconsejable triangular el polígono y, así, su
trazado se limita a dibujar los triángulos.

Cuadriláteros inscribibles
Es el que puede inscribirse en una circunferencia.
Sus ángulos opuestos son suplementarios, suman 180º. Por lo tanto cualquier
cuadrilátero que tenga sus ángulos opuestos suplementarios, será inscribible.
Ángulo A + Ángulo C= 180º
Ángulo B + Ángulo D= 180º
A+B+C+D= 360º
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Ejemplo: El trapecio isósceles como cuadrilátero inscribible en una
circunferencia.
El único tipo de trapecio que es inscribible en una circunferencia es el isósceles.
Lo que nos viene a decir que las mediatrices de los lados de todo trapecio
isósceles, concurren en el centro de su circunferencia circunscrita.

Cuadriláteros circunscribibles
Son los que pueden contener una circunferencia inscrita.
La suma de los lados opuestos vale lo mismo. Por lo tanto, un cuadrilátero cuyos
lados opuestos sumen lo mismo, será circuscribible.
2.3
Polígonos regulares inscritos
¿Recuerdas?
Un polígono regular es el que tiene los lados y los ángulos iguales.
Los polígonos regulares pueden inscribirse en una circunferencia, llamada
circunferencia circunscrita.
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Los elementos de un polígono regular son:



Centro: es el punto que equidista de todos los vértices. Coincide con el
centro de la circunferencia circunscrita.
Radio: es el segmento que une el centro con un vértice. Mide lo mismo
que el radio de la circunferencia circunscrita.
Apotema: es el segmento que une el centro con el punto medio de un
lado.
A continuación vamos a ver cómo dividir la circunferencia en:

3,6, 12… partes iguales
1) Se traza un diámetro MN cualquiera.
2) Con el radio hacemos centro en M y N y trazamos arcos que corten la
circunferencia en los puntos A,B,R y S, que junto con M y N serán los vértices
de un HEXÁGONO
3) Si unimos los vértices de dos en dos, obtendremos un TRIÁNGULO
4) Para hallar un DODECÁGONO, podemos trazar las mediatrices de los lados
del hexágono o las bisectrices de sus ángulos.
5) Si repetimos el paso anterior obtendremos polígonos de 24 lados, 48…

4,8,16… partes iguales
1) Se trazan dos diámetros, AE y CG, que sean perpendiculares y dividen la
circunferencia en cuatro partes iguales, si unimos los vértices obtendremos
un CUADRADO.
2) Si hallamos las mediatrices de los lados del cuadrado o las bisectrices de sus
ángulos, tendremos los vértices de un OCTÓGONO y si repetimos la acción,
un polígono de 16 lados
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
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5,10,… partes iguales
1) Dibujamos dos diámetros MN y AF perpendiculares.
2) Trazamos la mediatriz del segmento centro-N, para hallar el punto S.
3) Con centro en S y radio SF, trazamos un arco que corte al diámetro MN en
un punto T.
4) El segmento FT será el lado de un PENTÁGONO.
5) El segmento centro-T, será el lado de un DECÁGONO.

7,14,… partes iguales
1) Trazamos un diámetro cualquiera HA.
2) La mediatriz del radio centro-H corta la circunferencia en dos puntos, R y S,
y un punto T, que divide en dos el radio. La distancia RT es el lado del
HEPTÁGONO.
3) Si hallamos las mediatrices de los lados del heptágono tendremos un
polígono de 14 lados.

9, 18,… partes iguales
1) Trazamos dos diámetros perpendiculares, AF y RS.
2) Desde S, y con el radio de la circunferencia, un arco que la corte en N.
3) Con centro en R y radio RN, trazamos un arco que corte a la prolongación
del diámetro AF en T.
4) Con centro en T y radio TR, un arco que corte al radio AF en el punto Q.
5) El segmento FQ es el lado de un ENEÁGONO.
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6) Si dividimos en 2 los lados o ángulos del eneágono, obtendremos un
polígono de 18 partes.
Método general, te servirá para hallar polígonos de cualquier número
de lados.
1) Dibujamos una circunferencia de centro P
2) Trazamos dos diámetros perpendiculares MN y RS.
3) Dividimos RS en tantas partes iguales como deseamos que tenga el
polígono (podemos usar el teorema de Thales)
4) Con centro en R y en S,, y radio RS y SR trazamos dos arcos que se cortarán
en el punto T.
5) Unimos el punto T con la 2ª división del diámetro RS.
6) Prolongamos la recta T2 hasta que corte a la circunferencia en el punto A
7) El segmento RA es el lado del polígono regular.
¿Para qué sirve?
Puedes encontrar ejercicios en los que debas hallar un polígono para luego transformarlo, o
construir una figura usándolo como base.
Es muy común construir polígonos en ejercicios de homología y proyecciones diédricas.
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2.4
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Polígonos regulares conocido un lado.
En ocasiones, el dato proporcionado para que construyas un polígono regular,
será un lado.

Pentágono dado el segmento AB
1) Prolongamos el lado AB y hallamos la mediatriz m y el punto medio M.
2) Dibujamos la perpendicular S por el extremo A.
3) Trazamos un arco con centro en A y radio AB, que cortará a la
perpendicular S en el punto P.
4) Trazamos otro arco, con centro en M y radio MP, hasta que corte en N a la
prolongación del lado AB.
5) Otro arco, con centro en B y radio BN hasta cortar al primer arco en E y a la
mediatriz m en D. Ambos puntos serán vértices del pentágono.
6) Con centro en B y en D, y radio AB, trazamos dos arcos que se cortarán en
C.

Heptágono dado el segmento AB
1) Trazamos la mediatriz m del segmento AB.
2) Subimos una perpendicular por A
3) Con vértice en B, construimos un ángulo de 30º que corte a la
perpendicular en un punto R
4) Con centro en B y radio BR, trazamos un arco que corte a la mediatriz en P,
será el centro de una circunferencia que tiene como radio PA e inscribe al
polígono.
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
Octógono dado el segmento AB
1) Hallamos la mediatriz y su punto medio M
2) Dibujamos una circunferencia con dentro en M y diámetro AB, que corte a
m en el punto I
3) Con centro en I y radio IA o IB, trazamos un arco que corte a m en el punto
P.
4) P es el centro de una circunferencia de radio PA o PB, que inscribe al
polígono.

Eneágono dado el segmento AB
1) Trazamos la mediatriz.
2) Con centro en B y radio AB, un arco que corte a la mediatriz en el punto L.
3) Con centro en L y radio LA, un arco que corte a la mediatriz en M.
4) Con centro en M y radio ML, un arco que corte a la mediatriz en el punto F.
5) La mediatriz de BF corta a la mediatriz m en P, centro de la circunferencia
que inscribe al polígono.
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2.5
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Polígonos estrellados.
Los polígonos estrellados regulares, se obtienen dividiendo la circunferencia en
tantas partes como se indique y uniendo los vértices de dos en dos, tres en tres,
cuatro en cuatro…
A continuación tienes una tabla en la que se indica el número de polígonos
estrellados que existen de un número de vértices y la forma de unirlos.
Vértices
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Polígonos
1
0
2
1
2
2
4
1
5
4
Unirlos de…
2 en 2
0
2-3
3
2-4
3
2,3,4,5
5
2,3,4,5,6
3-5
Ejemplo: Construcción de un pentágono regular estrellado.
1) Dividimos la circunferencia en 5 partes iguales.
2) Unimos los vértices de 2 en 2.
Los polígonos estrellados más utilizamos son los de ocho vértices y los de cinco, aunque
debes saber cómo trazarlos todos.
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Ejercicios: Para poner en práctica lo que hemos aprendido y así reforzar
nuestros conocimientos.
1 Construye un triángulo rectángulo de perímetro 8 cm, sabiendo que uno de sus
ángulos agudos mide 60º.
2 La longitud de los lados iguales de un triángulo isósceles es de 120 mm y la altura
sobre uno de esos lados iguales es de 75 mm, se pide:
a) Representar el triángulo isósceles.
b) Representar la circunferencia inscrita en el triángulo, indicando los puntos de
tangencia.
3 Construir un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 6 cm y la
proyección de uno de sus catetos sobre la hipotenusa 4 cm. Una vez dibujado el
triángulo, determinar su baricentro, circuncentro, incentro y ortocentro, indicando cuál
es cada uno.
4 Construir el triángulo ABC del que se conoce el lado AB= 5,5 cm, la altura sobre este
lado hc=4,4 cm, y la altura ha= 4 cm, sobre el lado BC.
5 Dibuja un pentágono conociendo el radio 3,5 cm, establece una homotecia y halla
el pentágono homotético sabiendo que la razón es k= 1/4
6 Representa el triángulo ABC, del que conocemos el lado AB y el incentro.
+i
A
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B
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7 Representa el triángulo ABC del que conocemos el lado AB y el baricentro.
+G
A
B
8 Dada la diagonal AC de un pentágono regular, halla dicho pentágono. AC= 45 mm
9 Traza un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa valga 8 cm y la suma de los
catetos sea 10cm.
10 Dibuja un octógono regular de apotema 30mm y traza una de las posibles estrellas,
hallando el valor de uno de sus ángulos inscritos.
11 Dibuja un cuadrilátero inscribible con los siguientes datos AC= 100mm (diagonal),
AB= 40mm, BD= 80mm (diagonal), ángulo en D= 75º
12 Divide una circunferencia de radio 25 mm en dieciocho partes iguales.
13 Conociendo un lado AB= 20 mm, construye los siguientes polígonos regulares:
a)pentágono, b) heptágono, c)octógono, d) eneágono.
14 Construye un pentágono regular estrellado conocido el radio r=2 cm
15 Construir el triángulo ABC definido por los lados a= 55mm, c= 64 mm y el ángulo en
el vértice C=60º
16 Construye el triángulo escaleno ABC conociendo el lado a= 70 mm, la altura ha= 50
mm, y la mediana ma= 55mm, sabiendo que ambas parten del mismo vértice.
17 Construye un triángulo rectángulo de hipotenusa a= 70mm, y diferencia de catetos
b-c= 18mm.
18 Construye el triángulo escaleno ABC conocido el lado a=70 mm y las medianas
mb=75 mm y mc=50mm.
19 Dibuja el triángulo rectángulo de hipotenusa a=70 mm y ángulo en C= 60 º
20 Halla el cuadrilátero rectángulo del que tenemos un lado a=40 mm y la diagonal d=
65 mm.
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21 Halla el cuadrilátero rectángulo del que tenemos como datos el lado a= 50mm y la
suma de la diagonal y el otro lado paralelo b+d= 88mm.
22 Construye un rombo dada la distancia entre los lados opuestos, h=35 mm y la
diagonal mayor d=70mm.
23 Construye un rombo dados el lado l= 40mm y el ángulo menor comprendido entre
dos lados α=60˚.
24 Construye un Trapecio isósceles conociendo la diagonal d=70 mm, la diferencia
entre sus bases a-b= 24 mm, y el ángulo en A= 75˚
25 Construye el paralelogramo romboide de base 44 mm y diagonales d1= 60 mm y
d2=70mm.
26 Construye un trapecio conocidos sus lados a=55 mm, b= 35 mm (bases) y los otros
lados c=40mm y d=50mm
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