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TEMA 10: POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIAS
1. Polígonos.
 POLÍGONO: ES UNA FIGURA PLANA DONDE TODOS LOS LADOS SON
RECTOS.
PARTES DE UN POLÍGONO:
- LADOS: SON LOS SEGMENTOS QUE FORMAN EL
POLÍGONO.
- VÉRTICES: SON LOS PUNTOS DONDE SE UNEN
LOS LADOS.
VÉRTICE
ÁNGULO
INTERIOR
- DIAGONALES: SON SEGMENTOS QUE SE
FORMAN AL UNIR DOS VÉRTICES DE DISTINTOS
LADOS.
DIAGONAL
LADO
- ÁNGULO INTERIOR: ES EL ÁNGULO QUE
FORMAN DOS LADOS HACIA DENTRO DE
POLÍGONO.
CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS SEGÚN SUS ÁNGULOS
- POLÍGONO CONVEXO: ES EL QUE TIENE TODOS SUS ÁNGULOS INTERIORES
MENORES QUE 180º.
- POLÍGONO CÓNCAVO: ES EL QUE TIENE, AL MENOS, UN ÁNGULO INTERIOR
MAYOR DE 180º.
CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS SEGÚN SUS LADOS Y ÁNGULOS
- POLÍGONO REGULAR: ES EL QUE TIENE TODOS SUS LADOS Y ÁNGULOS
IGUALES.
- POLÍGONO CÓNCAVO: ES EL QUE NO TIENE TODOS SUS LADOS Y ÁNGULOS
IGUALES.
EJERCICIO 1: Dibuja en tu cuaderno un polígono 7 lados y señala los lados, vértices
y ángulos del polígono.
EJERCICIO 2: Di de estos polígonos, cuáles son cóncavos y cuáles convexos.
CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS POR SU NÚMERO DE LADOS:
- TRIÁNGULO:
3 LADOS
- CUADRILÁTERO: 4 LADOS
- PENTÁNGONO:
5 LADOS
- HEXÁGONO:
6 LADOS
- HEPTÁGONO:
7 LADOS
- OCTÓGONO:
8 LADOS
- ENEÁGONO:
9 LADOS
- DECÁGONO:
10 LADOS
- ENDECÁGONO:
11 LADOS
- DODECÁGONO: 12 LADOS
A partir de aquí:
 LOS POLÍGONOS DE MÁS DE 12 LADOS SE NOMBRAN COMO:
POLÍGONOS DE 13 LADOS, 14 LADOS, 15 LADOS, Y ASÍ
SUCESIVAMENTE.
SUMA DE ÁNGULOS DE UN POLÍGONO
 LA SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN POLÍGONO DEPENDE DE LOS
LADOS QUE TENGA, Y PARA UN POLÍGONO DE n LADOS SE CALCULA
ASÍ:
180º · (n – 2)
Ejemplo: un triángulo tiene 3 lados. Si utilizamos la fórmula: 180º · (3 – 2) = 180º · 1 =
180º
Por tanto, la suma de los ángulos de un triángulo suman 180º.
EJERCICIO 1: Dibuja los siguientes polígonos: pentágono, octógono, endecágono.
EJERCICIO 2: Calcula la suma de los ángulos de un polígono de 20 lados.
2. Triángulos.
 TRIÁNGULO: ES CUALQUIER POLÍGONO DE 3 LADOS.
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS Y ÁNGULOS
- EQUILÁTEROS: TIENEN LOS 3 LADOS Y ÁNGULOS IGUALES.
- ISÓSCELES: TIENEN LOS 2 LADOS Y 2 ÁNGULOS IGUALES Y UNO
DESIGUAL.
- EQUILÁTEROS: TIENEN LOS 3 LADOS Y ÁNGULOS DIFERENTES.
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS
- RECTÁNGULOS: TIENEN UN ÁNGULO RECTO.
- ACUTÁNGULOS: TODOS SUS ÁNGULOS SON AGUDOS.
- OBTUSÁNGULOS: TIENEN UN ÁNGULO OBTUSO.
NOMBRES EN LOS ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO
 LOS TRIÁNGULOS SE REPRESENTAN CON TRES LETRAS MAYÚSCULAS
CONSECUTIVAS CON UN PEQUEÑO TRIANGULITO ENCIMA:
Los elementos de un triángulo se representan de esta forma:
- VÉRTICES: SE REPRESENTAN CON LETRAS
MAYÚSCULAS: A, B, C
C
- LADOS: SE REPRESENTAN CON LETRAS
MINÚSCULAS, PERO LA MISMA LETRA QUE EL
LADO OPUESTO: a, b, c
- ÁNGULOS: SE REPRESENTAN CON LETRAS
MAYÚSCULAS, LA MISMA QUE EL VÉRTICE Y CON
UN ANGULITO ENCIMA: , ,
b
A
a
c
B
RELACIONES ENTRE LOS LADOS Y LOS ÁNGULOS
1º CUALQUIER LADO ES MENOR QUE LA SUMA DE LOS OTROS DOS
2º CUALQUIER LADO ES MAYOR QUE LA DIFERENCIA DE LOS OTROS DOS
3º LA SUMA DE LOS TRES ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO ES 180º
Construcción de triángulos:
 PARA CONSTRUIR UN TRIÁNGULO HAY QUE TENER EN CUENTA QUE
EL LADO MAYOR TIENE QUE SER MENOR QUE LA SUMA DE LOS OTROS
DOS.
Ejemplo: si construimos un triángulo con lado mayor 12, y los lados menores son 5 y 3
que suman 8; como 12 es mayor que 8, este triángulo no se puede construir. En la figura
se ve:
Ejemplo: en un triángulo de lados 8, 10 y 15 cm vamos a comprobar todas las
relaciones:
b = 10 cm
=112º
=30º
a = 8 cm
=38º
c = 15 cm
1ª Relación: cada lado es menor que la suma de los otros dos.
a<b+c
8 < 10 + 15
b<a+c
10 < 8 + 15
c<a+b
15 < 8 + 10
2ª Relación: cada lado es mayor que la diferencia entre los otros dos.
a>c–b
8 > 15 – 10
b>c–a
10 > 15 – 8
c>b–a
15 > 10 – 8
3ª Relación: la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º:
+
+
= 180º
30º + 38º + 112º =
180º
EJERCICIO 1: Averigua si se puede construir un triángulo con estos lados y aplica las
relaciones:
a) 13, 10 y 2 cm b) 8, 7 y 3 cm
c) 20, 10, 15 cm
EJERCICIO 2: En un triángulo equilátero, ¿cuánto mide cada ángulo?
EJERCICIO 3: En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide 80º, ¿cuánto miden
los otros?
3. Rectas y puntos notables en un triángulo.
EL BARICENTRO Y LAS MEDIANAS
 LAS MEDIANAS SON LAS LÍNEAS QUE UNEN CADA VÉRTICE CON EL
PUNTO MEDIO DEL LADO OPUESTO.
 EL BARICENTRO ES EL PUNTO DONDE SE CORTAN LAS TRES
MEDIANAS DE UN TRIÁNGULO.
Ejemplo:
EL CIRCUNCENTRO Y LAS MEDIATRICES
 LAS MEDIATRICES SON LAS LÍNEAS PERPENDICULARES QUE DIVIDE
CADA LADO EN DOS PARTES IGUALES, ES DECIR, QUE PASA POR EL
PUNTO MEDIO DE CADA LADO.
 EL CIRCUNCENTRO ES EL PUNTO DONDE SE CORTAN LAS TRES
MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO.
- EL CIRCUNCENTRO
CIRCUNSCRITA.
Ejemplo:
ES
EL
CENTRO
DE
LA
CIRCUNFERENCIA
EL ORTOCENTRO Y LAS ALTURAS
 LAS ALTURAS SON LAS LÍNEAS PERPENDICULARES A CADA LADO QUE
PASA POR EL VÉRTICE OPUESTO AL LADO.
 EL ORTOCENTRO ES EL PUNTO DONDE SE CORTAN LAS TRES
ALTURAS DE UN TRIÁNGULO.
Ejemplo:
EL INCENTRO Y LAS BISECTRICES
 LAS BISECTRICES SON LAS LÍNEAS DIVIDEN CADA ÁNGULO EN DOS
PARTES IGUALES.
 EL INCENTRO ES EL PUNTO DONDE SE CORTAN LAS TRES
BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO.
- EL INCENTRO ES EL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA INSCRITA.
Ejemplo:
EJERCICIO 1: Dibuja un triángulo e intenta encontrar su baricentro.
EJERCICIO 2: Dibuja un triángulo e intenta encontrar su ortocentro.
EJERCICIO 3: Dibuja un triángulo e intenta encontrar su circuncentro y dibujar la
circunferencia circunscrita.
EJERCICIO 4: Dibuja un triángulo e intenta encontrar su incentro y dibujar la
circunferencia inscrita.
4. Teorema de Pitágoras.
APLICACIONES.
Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto (90º). Los lados que
forman el ángulo recto se llaman CATETOS, y el lado mayor, HIPOTENUSA.
HIPOTENUSA
CATETO 1
CATETO 2
El teorema nos dice que: en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir:
HIPOTENUSA= CATETO 12 +CATETO 2 2.
Si la hipotenusa es A y el cateto 1 es B, y el cateto 2 es C, nos sale que:
A2 =B2 +C2
Ejercicio resuelto 1: En tu salón puedes encontrar muchas figuras en las que se ven
representados los triángulos rectángulos, por ejemplo la diagonal de la tele, que se mide
en pulgadas, la diagonal de la pantalla de tu nintendo o tu MP4; vamos a practicar con
la nintendo: sabiendo que, en el triángulo rectángulo que conforman los lados de la
pantalla de la ninteno con su diagonal, los catetos miden 3 y 4 cm respectivamente:
¿Cuánto medirá la Hipotenusa?.
CATETO 1= 3.
CATETO 2= 4
HIPOTENUSA= 3X3+ 4X4=
(3X3)+ (4X4)=
9+16= raíz cuadrada de 25= 5.
EJERCÍCIOS:
2.- Ahora calcúlalo tú: En un la televisión de tu salón, un cateto mide 30 cm y la
hipotenusa 50 cm ¿Cuánto mide el otro cateto?.
3.- Crees que un triángulo con tres lados de 6,9 y 11 cm ¿será un triángulo rectángulo?.
4.- Podemos hacer lo mismo con la pizarra de la clase:
- define un triángulo rectángulo y cada una de sus partes.
- mide los centímetros que miden catetos y la hipotenusa del triángulo definido.
- aplica la fórmula explicada.
- averigua una figura de la clase donde no se cumpla el teorema de Pitágoras.
5. Cuadriláteros.
Los cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados (recuerda: un polígono es
una figura plana y cerrada limitada por segmentos).
Sus tipos son:
 PARALELOGRAMO.
Estos pueden ser a su vez: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.
CUADRADO: tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos.
RECTÁNGULO: tiene los cuatro ángulos rectos.
ROMBO: tiene los cuatro lados iguales.
ROMBOIDE: tiene los lados y los ángulos iguales, dos a dos y no tiene ángulos
rectos.
 TRAPECIO.
Estos pueden ser a su vez: trapecio rectángulo, trapecio isósceles y escaleno.
TRAPECIO RECTÁNGULO: tiene dos ángulos rectos.
TRAPECIO ISOSCELES: tiene dos lados iguales.
TRAPECIO ESCALENO: no tiene ni lados ni ángulos iguales.
La diferencia entre ambos (paralelogramo y trapecio es que el paralelogramo
tiene iguales sus lados opuestos y sus ángulos opuestos).
EJERCÍCIO RESUELTO:
1.- Calcula la medida de C en este trapecio rectángulo, sabiendo que:
B= 45º y que la suma de los ángulos de cualquier cuadrilátero es 360º.
D
A
C
B
Sí A+B+C+D=360º.
Luego, C= 360-(A+B+D), SABEMOS QUE A Y D, MIDEN 90º CADA UNO(ya que
son ángulos rectos, como puedes observar en el dibujo), Y B 45º .
A=90, D=90, B=45; C= 360-(90+45+90) = 135º.
EJERCÍCIOS:
1.- Dibuja los cuatro tipos de paralelogramos. Explica las características de cada uno de
ellos.
Representar en una cuadrícula los siguientes puntos: A(1,1); B(3,1); C(3,3); D(1.3)
Únelos y define la figura formada
2.- De entre todas las figuras planas de cuatro lados, determina cuáles son aquellas
cuyos lados forman 90º dos a dos y señálalas:
-Cuadrado
-Rectángulo
-Trapecio
-Paralelogramo
-Rombo
3.- ¿Cuántos pares de lados paralelos tiene un trapecio?
4.- Determina la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 5 cm y 12 cm.
6. Propiedades de los paralelogramos.
TODOS LOS PARALELOGRAMOS CUMPEN:
1º.- En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales y los ángulos adyacentes a
un mismo lado son suplementarios.
2º.- En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales.
3º.- En todo paralelogramo las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales.
4º.- Las diagonales de un rectángulos son iguales.
5º.- Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y bisectrices de sus
ángulos.
6º.- Las diagonales de un cuadrado son iguales, perpendiculares y bisectrices de sus
ángulos.
7. Circunferencias.
Definición: ES UNA CURVA CERRADA Y PLANA CUYOS PUNTOS ESTÁN
SITUADOS A LA MISMA DISTANCIA DE OTRO PUNTO LLAMADO
CENTRO.
Elementos de la circunferencia: Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares
en la circunferencia:
 centro, punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
 radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
 diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y,
lógicamente, pasa por el centro;
 cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de
longitud máxima son los diámetros;
TRAZADO DE UNA CIRCUNFERENCIA:
 Tomamos como abertura del compás la media del radio, r, y fijamos un centro,
O, clavando la aguja del mismo.
 Con el radio conocido y centro en O, giramos la manecilla del compás que lleva
la mina de lápiz.
 Continuamos el giro hasta completar el trazado de la circunferencia.
Ejercicios:
- Localiza figuras circulares en el aula.
- Contesta al siguiente cuestionario.
Cuál es mayor el radio o el diámetro?
Radio:
Diámetro:
Son iguales:
Si el radio mide 7 cm entonces el diámetro mide:
3.5 cm:
14 cm:
Si el diámetro mide 20 cm entonces el radio mide:
5 cm:
40 cm:
10 cms:
La porción de circunferencia limitada por los extremos de dos radios es la
definición de:
Arco:
Flecha:
Punto equidistante de todos los puntos de la circunferencia es la definición de:
Centro:
Radio:
Diámetro:
La cuerda mayor que pasa por el centro es la definición de:
Tangente:
Diámetro:
Un punto dista 2 cm del centro de una circunferencia de 6 cm de diámetro. Hallar
la menor distancia del punto a la circunferencia.
3 cm:
2 cm:
1 cm:
Ejercicio 2:
- Fíjate en la rueda de un coche e indica qué elementos de la circunferencia observas.
8. Posiciones relativas.
DE UN PUNTO Y UNA RECTA: Dada una circunferencia, un punto P, puede situarse
en diferentes posiciones respecto de la misma:
 Punto interior: dentro de la circunferencia.
 Punto de la circunferencia: sobre la circunferencia.
 Punto exterior: fuera de la circunferencia.
DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA: una recta puede situarse en
diferentes posiciones respecto de una circunferencia.
 exterior, si no tienen ningún punto en común con ella;
 tangente, la toca en un punto (el punto de tangencia);
 secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta.
Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de
tangencia con el centro.
DE DOS CIRCUNFERENCIAS:
Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:
 exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros
es mayor que la suma de sus radios;





tangentes exteriores, si tienen un punto común y la distancia que hay entre sus
centros es igual a la suma de sus radios;
o d=r+r´
tangentes interiores, si tienen un punto común y la distancia que hay entre sus
centros es igual a la diferencia de sus radios;
o d=r-r´
secantes, si tienen dos puntos comunes, es decir, si se cortan;
o
d<r+r´ d>r-r´
interior respecto a otra dada, si no tienen ningún punto común y la distancia
entre sus centros es menor que la diferencia de sus radios y mayor que 0;
o d<r-r´
concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0).
o d=0.
Secantes, cuerdas y tangentes.
DE ÁNGULOS RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA.
EJERCICIO RESUELTO: Completa en los huecos
.La recta……….es tangente a la
Circunferencia……
.La recta roja es ……a la circunferencia…..
Y …….a la circunferencia………..
.Las circunferencias ………….y ……….son
…………….
La recta negra es tangente a la circunferencia azul.
La recta roja es secante a la circunferencia verde y exterior a la azul.
Las circunferencias azul y verde son tangentes.
EJERCÍCIOS.
1.- Dibuja un reloj e indica la posición relativa de la circunferencia.
2.- Intenta determinar todas las posiciones posibles de rectas y c con un número máximo
de puntos comunes de 2.
9. Polígonos regulares e inscritos.
UN POLÍGONO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA ES UN POLÍGONO
QUE TIENE TODOS SUS VÉRTICES SITUADOS EN LA CIRCUNFERENCIA.
Ángulos en la circunferencia.
Ángulo central de un polígono regular es el ángulo formado por dos radios
consecutivos de un polígono regular.
En un polígono regular de n lados:
 la medida del ángulo central es 360º/n.
 la medida de cada uno de los ángulos interiores es (180ºx(n-2))/n.
EJERCICIO RESUELTO:
1.- Cuál es el ángulo central de un hexágono regular.
A= 360/n
n= número de lados, en este caso 6, luego.
A= 360/ 6= 60º, es el ángulo central de un hexágono regular.
La medida de sus ángulos interiores será:
B= 180ºx(n-2) =180x(6-2) = (180x4) = 120º.
n
6
6
EJERCICIO.
1.- Sabemos que la suma de los ángulos de un polígono de n lados es 180·(n-2)
Como un polígono regular tiene n ángulos iguales cada uno de ellos mide :
A
(n  2)·180
360
A  180 
n
n ,
o bien
Utilizando una de estas expresiones calcula el valor del ángulo interior de un
pentágono regular y de un octógono regular.