Download Desafíos matemáticos - Santillana – Primaria Oficial

Desafíos
matemáticos
Descubre que las matemáticas
son más fáciles y divertidas de
lo que pensabas; sorpréndete
con varias estrategias para
resolver problemas de manera
sencilla y eficaz; explora
tus habilidades para hacer
cálculos mentales. Todo esto y
más encontrarás en Desafíos
matemáticos, un libro de trabajo
diferente que te revelará
muchos secretos con los cuales
dominarás los contenidos
programáticos del grado que
cursas, te divertirás al hacerlo y,
lo más importante, aprenderás
a razonar con un sentido
matemático y lógico.
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Desafíos matemáticos
5
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El libro Desafíos matemáticos 5 fue elaborado en Editorial Santillana Santillana
por el siguiente equipo:
Dirección General de Contenidos
Antonio Moreno Paniagua
Dirección de Ediciones
Wilebaldo Nava Reyes
Gerencia de Primaria Oficial
Gabriel Moreno Pineda
Gerencia de Arte y Diseño
Humberto Ayala Santiago
Coordinación de Primaria Oficial
Víctor Hugo Gutiérrez Cruz
Coordinación de Diseño
Carlos A. Vela Turcott
Coordinación de Iconografía
Nadira Nizametdinova Malekovna
Coordinación de Realización
Gabriela Armillas Bojorges
Autor
Leonardo González Vidal y Amado de Anda Bahena
Edición
Juan Daniel Castellanos Caro
y Diana Alicia Navarro Góngora
Asistencia editorial Víctor Iván Cabañas López, Yuritzi Arrieta González, Rita Alicia Muñoz Garduño
y Gloria Denisse Canales Urbina
Corrección de estilo Pablo Mijares Muñoz, Ramona Enciso Centeno
y Mónica Méndez García
Edición de realización Haydée Jaramillo Barona
Edición digital Miguel Ángel Flores Medina
Diseño de portada Stephanie Iraís Landa Cruz
e interiores
Diagramación
Itzel Castañeda Moreno, Acento Visual
Iconografía
Marissa Eva Arroyo Bautista
Fotografía
Shutterstock y glowIMAGES
Digitalización de imágenes Gerardo Hernández Ortiz y José Perales Neria
La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Desafíos
matemáticos 5 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la
reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método
electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.
D. R. © 2014 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V.
Avenida Río Mixcoac 274, colonia Acacias, C. P. 03240,
delegación Benito Juárez, México, D. F.
ISBN: 978-607-01-2045-9
Primera edición: enero de 2014
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.
Reg. Núm. 802
Impreso en México/Printed in Mexico
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Presentación
Para solucionar un problema matemático, muchas veces
hacemos operaciones de acuerdo con unos procedimientos
llamados algoritmos, los cuales debemos ejecutar con
cuidado para no equivocarnos. ¿Hay otra forma de resolver
esos problemas? Por supuesto: existen las estrategias,
que ayudan a calcular con rapidez, pues se basan en las
relaciones existentes entre los números.
Con el fin de que conozcas y utilices varias estrategias
para efectuar operaciones, que a su vez te ayudarán a
solucionar problemas, Editorial Santillana pone en tus manos
Desafíos matemáticos 5, un libro con propuestas de trabajo
interesantes, novedosas y divertidas.
Por medio de una situación conocida, el libro te propone un
desafío y te da pautas para resolverlo; luego, te invita a reflexionar
en el procedimiento sugerido, y a ejercitarlo para que lo hagas
tuyo, lo domines y lo pongas en práctica cuando enfrentes otros
desafíos, como los que encuentras en tu vida cotidiana.
Además de apoyarte en la solución de problemas, Desafíos
matemáticos 5 te impulsa a desarrollar tus habilidades
para el cálculo mental, pues la práctica constante de las
estrategias te permitirá calcular de manera rápida y sencilla,
incluso, en ocasiones, sin emplear lápiz y papel, como podrás
comprobarlo cuando domines los procedimientos sugeridos.
Una vez que adquieras confianza, te darás cuenta de que
las matemáticas son más interesantes y divertidas de lo que
pensabas, y podrás resolver casi cualquier desafío matemático
mediante la elección de la estrategia más adecuada.
También descubrirás que puedes trabajar mejor con
tus libros oficiales y obtener mejores resultados, porque
habrás aprendido a vencer los obstáculos de los desafíos
matemáticos.
Los editores
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3
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Presentación3
Bloque 1
Desafío matemático 1 Estrategia de cálculo mental:
Dividir entre dos de manera continua
Contenido programático:
Problemas que impliquen sumar
fracciones cuyos denominadores
son múltiplos uno del otro
6
7
Desafío matemático 2 11
Estrategia de cálculo mental:
Multiplicar por dos sucesivamente
Contenido programático:
Problemas que impliquen restar
fracciones cuyos denominadores
son múltiplos uno de otro
Desafío matemático 3 15
Estrategia de cálculo mental:
Dividir números naturales con dividendo
múltiplo de diez
Contenido programático:
Anticipación del número de cifras
del cociente de una división
con números naturales
Desafío matemático 4 19
Estrategia de cálculo mental:
Dividir por descomposición
del divisor en factores
Contenido programático:
Relaciones entre los elementos
de la división de números naturales
Basado en retos reales 24
Matemágicas
25
Bloque 2 26
Desafío matemático 5 27
4
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Estrategia de cálculo mental:
Dividir por descomposición del divisor
en factores
Contenido programático:
Problemas que impliquen una división
de números naturales
Desafío matemático 6 31
Estrategia de cálculo mental:
Dividir con sumas repetidas y restando
Contenido programático:
Problemas que impliquen una división
de números naturales con residuo
diferente de cero
Desafío matemático 7 35
Estrategia de cálculo mental:
Dividir números naturales entre 10
Contenido programático:
Problemas que impliquen una división
de números naturales con cociente
con una cifra decimal
Desafío matemático 8 39
Estrategia de cálculo mental:
Dividir entre 10, 100, 1 000…
Contenido programático:
Problemas que impliquen una división
de números naturales con cociente con
no más de dos cifras decimales
Basado en retos reales 42
Matemágicas
43
Bloque 3 44
Desafío matemático 9 45
Estrategia de cálculo mental:
Multiplicar por 2, por 4, por 8… para sumar
números fraccionarios
Contenido programático:
Uso del cálculo mental para resolver
adiciones con números fraccionarios
Desafío matemático 10 49
Estrategia de cálculo mental:
Descomposición y operación de naturales
y decimales
Contenido programático:
Uso del cálculo mental para resolver
adiciones con números decimales
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Desafío matemático 11 53
Estrategia de cálculo mental:
Dividir entre múltiplos de 2
Contenido programático:
Uso del cálculo mental para resolver
sustracciones con números fraccionarios
Desafío matemático 12 57
Estrategia de cálculo mental:
Descomposición para restar
valores posicionales
Contenido programático:
Uso del cálculo mental para resolver
sustracciones con números decimales
Desafío matemático 13 61
Estrategia de cálculo mental:
Dividir entre nueve
Contenido programático:
Análisis de las relaciones entre los términos
de la división, en particular,
la relación r = D – (d 3 c), a través
de la obtención del residuo en una división
hecha en la calculadora
Basado en retos reales 64
Matemágicas
65
Bloque 4 66
Desafío matemático 14 67
Estrategia de cálculo mental:
Multiplicar por dos varias veces
Contenido programático:
Problemas que impliquen sumas
de fracciones comunes con
denominadores diferentes
Desafío matemático 15 71
Estrategia de cálculo mental:
Multiplicar por seis o por múltiplos de tres
Contenido programático:
Problemas que impliquen restas
de fracciones comunes con
denominadores diferentes
Desafío matemático 16 75
Estrategia de cálculo mental:
Transformación de la división
en multiplicación
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Contenido
Contenido programático:
Análisis de las relaciones entre
la multiplicación y la división
como operaciones inversas
Basado en retos reales 80
Matemágicas
81
Bloque 5 82
Desafío matemático 17 83
Estrategia de cálculo mental:
Reducción de una multiplicación a la suma
Contenido programático:
Problemas que impliquen multiplicaciones
de números decimales por números
naturales, con el apoyo de la suma iterada
Desafío matemático 18 87
Estrategia de cálculo mental:
Multiplicar por 0.5 o 0.25
Contenido programático:
Problemas que impliquen multiplicaciones
de números decimales por números
naturales utilizando diversos métodos
Desafío matemático 19 91
Estrategia de cálculo mental:
Multiplicar por 1.25 o 1.5 o 2.5
Contenido programático:
Problemas que impliquen
multiplicaciones de números
decimales por números naturales
Basado en retos reales 94
Matemágicas
95
5
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¿Qué vamos
a trabajar?
Desafío matemático 1
Desafío matemático 3
Desafío matemático 2
Desafío matemático 4
Estrategia de cálculo mental:
Dividir entre dos de manera
continua
Contenido programático:
Problemas que impliquen sumar
fracciones cuyos denominadores
son múltiplos uno del otro
Estrategia de cálculo mental:
Multiplicar por dos sucesivamente
Contenido programático:
Problemas que impliquen restar
fracciones cuyos denominadores
son múltiplos uno de otro
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Estrategia de cálculo mental:
Dividir números naturales con
dividendo múltiplo de diez
Contenido programático:
Anticipación del número de cifras
del cociente de una división
con números naturales
Estrategia de cálculo mental:
Dividir por descomposición
del divisor en factores
Contenido programático:
Relaciones entre los elementos de
la división de números naturales
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Desafío matemático 1
Dos y dos son cuatro
o dividir entre dos de manera continua
En un negocio de venta de flores se elaboró un enorme
arreglo con ciento veintiocho rosas, la mitad son rojas y la
otra mitad blancas. Como no se vendió, se propuso repartirlas
en dieciséis ramos que tuvieran el mismo número de rosas.
Desafortunadamente, nadie consiguió una calculadora para
saber cuántas flores deberá tener cada ramo.
¡Hola! Este
problema
es para que
pienses cómo
resolverlo a
partir de los
datos que
contiene.
¿Cómo podrían saber cuántas rosas habrá en cada ramo?
¿Qué tan difícil será realizar esta división sin ayuda
de una calculadora? ¿Cuántas rosas habrá en cada ramo?
Una estrategia para resolverlo
Para resolver el problema se propone una estrategia de cálculo que permitirá convertir la
división compleja, con la cual se puede resolver el problema, en otras sencillas a partir de las
relaciones entre los datos y que no requiere del uso de la calculadora. Completa la respuesta.
Primero, identifica que dieciséis se puede descomponer en una multiplicación de factores
iguales (2) para hacer operaciones más sencillas.
16 5 8 3 2 5 4 3 2 3 2 5 2 3 2 3 2 3 2
En esta sección
te explicamos
una estrategia
de cálculo con
la que podrás
resolverlo. Para
ello, lee los
pasos, expón
tus dudas y
realiza lo que
se indica.
Por tanto, divide entre el primer 2:128 4 2 5 64
Luego, obtén la mitad de 64 (dividir entre el segundo 2), es decir, la mitad de la mitad:
64 4 2 5 32
Otra vez, calcula la mitad de 32 (dividir entre el tercer 2), que es la mitad de la mitad
de la mitad:
32 4 2 5 16
Por último, divide entre dos (dividir entre el cuarto 2) para obtener la mitad de la mitad
de la mitad de la mitad:
7
16 4 2 5 8
Respuesta: Cada uno de los dieciséis ramos tendrá
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rosas.
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Ahora, explica...
Comprueba en
esta sección si
comprendiste
la estrategia.
Explica sus
pasos y las
operaciones
que realizas.
Esta estrategia es útil cuando nos enfrentamos con sumas de fracciones cuyos denominadores
son diferentes. Para realizar este tipo de sumas, es necesario convertir en fracciones
equivalentes que tengan el mismo denominador.
Observa la siguiente suma de fracciones y anota lo que falta.
Para el denominador:
Para el numerador:
Divide 16 4 4, y como
45
3
3
1
3
4
7
1 4 5 16 1 16 5 16
16
se puede calcular la de 16,
Para dominar
la estrategia,
revisaremos
algunos
conceptos y
practicaremos
operaciones.
Las actividades
van de lo
sencillo a lo
complejo.
queda por este valor.
En otras palabras 16 4 4:
5 8, 8 4
4 en 16, por lo que solo
el numerador original
que es igual que
16 4
Sabes cuántas veces cabe
En este caso sería 1 3 .
5
El truco detrás del truco
1. Escribe en la tabla los datos que corresponden.
Número
La mitad del
número
La mitad de la
mitad del número
La mitad de la
mitad de la mitad
del número
24
40
56
72
88
104
120
2. Completa los enunciados con las expresiones la mitad de la mitad o la mitad de la
mitad de la mitad.
8
6 es la de 24.
16 puede escribirse como la de 64.
25 es la 10 puede escribirse como la de 100.
de 80.
Contenido programático: Problemas que impliquen sumar fracciones cuyos denominadores
son múltiplos uno del otro
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Un poco de práctica
3. Convierte las fracciones en equivalentes. Observa el ejemplo.
Fracción
original
8
16
Fracción
equivalente
Procedimiento
842 5 4
8
16 4 2
442
2
5
842
4
1
242
5
2
442
1
2
120
144
15
18
10
16
5
8
20
50
10
25
32
40
4
5
12
16
3
4
Aquí pondrás
en practica
la estrategia.
Paso a paso
hasta hacerla
solo. ¿Dudas?,
consulta las
secciones
anteriores.
4. Escribe detalladamente los pasos para resolver las sumas de fracciones. Observa
el ejemplo.
84254
1 1 5
2
8
134
4
5
234
8
1
5
4
5
9
1
5
1
5
2
8
8
8
8
3 1 1
4
16
1 1 25
8
32
5 1 3
16
8
9
3 1 3
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Nuevos desafíos
¡Aplica la
estrategia
y resuelve
problemas!
Observa qué se
te pide en cada
uno y escucha
las indicaciones
de tu maestro.
5. Resuelve los problemas según la estrategia.
wMaría tenía que resolver la guía de matemáticas para su examen final. El primer día
resolvió la mitad de los ejercicios; el segundo, la cuarta parte, y el tercero, el resto,
que solo eran dos ejercicios. ¿Cuántos ejercicios tenía que hacer en total?
La guía de matemáticas tenía
ejercicios.
wJuan y María tienen una cafetería, son famosos por que tienen su propia mezcla de
1
granos de café. Cada costal de 1 kg lo llenan de la siguiente manera: 2 del costal
1
1
es mezcla de Brasil; 4 , es mezcla de Guinea; 8 es de Venezuela; y el resto,
de Colombia. ¿Cuál es la fracción de café de Colombia que utilizan?
10
Juan y María ponen
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de café de Colombia en cada costal.
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Desafío matemático 2
Los bordados
o cómo multiplicar por dos sucesivamente
Unaun
En
importante
negocio empresa
de ventade
deútiles
floresescolares
se elaboró
donará
un los
enorme
uniformes
arreglo
para
contorneo
un
128 rosas,
interestatal
la mitad
de son
futbol
rojas
al que
y laasistirán
otra mitad
ocho blancas.
equipos de
Como
veintidós
no
se vendió se
jugadores.
Karina
propuso
y Sofíarepartirlas
son las encargadas
en dieciséis
de ramos
enviar los
queuniformes
tuvieran para
el
mismo
que
les número
borden eldelogotipo
rosas. Desafortunadamente,
de la institución. Además
nadie
del logotipo
consiguió
deuna
cada
calculadora
uniforme,
las para
calcetas
saber
lo llevarán
cuántasbordado
deberáen
tener
cada
cada
una,ramo.
pero de menor
tamaño.
¿Cómo
Al estar
podrían
armando
saber
el cuántas
pedido serosas
dieron
habrá
cuenta
ende
cada
que ramo?
la calculadora
¿Qué tan
estaba
descompuesta
difícil será realizar
y Karina,esta
de mayor
divisiónexperiencia,
sin ayuda de
retócalculadora?
a Sofía
¿Cuántas
a
obtener rosas
mentalmente
habrá en
el cada
total de
ramo?
bordados.
¿Cuántos bordados tendrán que mandar hacer para los uniformes?
¿Qué cantidad sería para las calcetas?
Una estrategia para resolverlo
Para resolver el problema se requiere del planteamiento de varias multiplicaciones, como
la descomposición de ocho (que es el número de equipos) en una multiplicación de factores
iguales (2). Completa la respuesta.
22 3 8
Primer paso
8523232
Segundo paso
22 3 2 5 22 1 22
22 3 2 5 44
Tercer paso
22 3 2 3 2 5 44 3 2
44 3 2 5 88
Cuarto paso
22 3 8 5 176
44 5 22 3 2
22 3 2 3 8 5 176 3 2
44 3 8 5 352
Respuesta: Tendrán que mandar a hacer
para las calcetas.
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Obtén el doble de la cantidad de jugadores.
Multiplica veintidós por dos, que es lo mismo
que obtener el doble. 22 3 2 5 44
Si 22 3 2 es obtener el doble
22 3 2 3 2 5 44 3 2 es el doble del doble
22 3 2 3 2 3 2 5 88 3 2 es el doble del
doble del doble
22 3 2 3 2 3 2 5 88 3 2
88 3 2 5176
44 3 8
Descompón el número ocho como:
8523232
Y así en lugar de 22 3 8, tienes lo siguiente
22 3 2 3 2 3 2
Como cada par de calcetas lleva
dos bordados por equipo son
22 3 2 5 44 bordados
Y por los ocho equipos son 44 3 8 bordados
Como 44 es el doble de 22 basta con que
obtengas el doble del resultado anterior.
44 3 8 5 352
11
bordados para los uniformes y
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Ahora, explica...
Relaciona cada operación con su explicación.
2 3 2 3 2 3 2 5 16
Para resolver la multiplicación, basta con obtener
el doble o multiplicar por dos cuatro veces.
5 3 16 5 5 3 (2 3 2 3 2 3 2) Al multiplicar el dos por sí mismo cuatro veces
se obtiene como resultado 16.
5 3 16 5 80
5 3 2 5 10, 10 3 2 5 20 20 3 2 5 40, 40 3 2 5 80
Para hacer más fácil la multiplicación, el dieciséis
se considera como 2 3 2 3 2 3 2 y en lugar de
una multiplicación larga se hacen cuatro sencillas.
Completa el procedimiento para encontrar fracciones equivalentes y relaciónalo
con su explicación.
3 5 6 5
5
10
1
2
5
8
16
2
4
5
16 32
5
5
1
4
5
8
32
4 5 8 5
7
14
5
5
Si se multiplican numerador y denominador
2
por dos se obtiene una fracción equivalente a 16
cuyo denominador es el doble de 16.
1
La fracción obtenida también es equivalente a
pues
8
se obtiene sacando el doble del doble de dicha fracción.
Si se multiplica numerador y denominador por dos
se obtiene una fracción equivalente a 1 cuyo
8
denominador es el doble de 8.
El truco detrás del truco
1. Colorea los cuadros de los números que pueden obtenerse multiplicando
el dos por él mismo y escríbelos como productos de dos en la derecha.
40
12
8
18
32
128
12
64
24
Contenido programático: Problemas que impliquen restar fracciones cuyos denominadores
son múltiplos uno de otro
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2. Ordena las palabras para formar la oración correcta.
numerador
una
y
equivalente
por
el
el
obtener
fracción
se
la
cantidad
misma
Para
multiplica
denominador
Un poco de práctica
3. Utiliza la estrategia propuesta para obtener fracciones equivalentes y completa
el procedimiento de la resta de fracciones.
Operación
Planteamiento
1
4 2 13
8
32
32 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2
3232
5
4
5
8
5
2
32 es múltiplo de
. Entonces, 32
será el común denominador.
Además 32 es el doble del doble de 8.
3 2 3 2 5 32
2
Se multiplican numerador y
4
por 2
denominador de
8
veces para obtener la fracción
equivalente de denominador 32.
3
Se restan los denominadores.
5
Resultado:
4. Resuelve la resta de fracciones.
6 2 16
16
64
1
2
64 = 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
6 = 12 = 24
=
16 3 2 3 2
32
16
64
El común denominador es
64 y para obtener la fracción
equivalente se multiplican
numerador y denominador de Obtención de la fracción
equivalente.
6 por el doble del doble.
16
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3
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Nuevos desafíos
5. Resuelve los problemas según la estrategia.
wSantiago, Guillermo y Julio juegan en el equipo de basquetbol de su escuela en la
misma posición. En el último partido Santiago jugó un cuarto, salió y entró Guillermo
que jugó dos octavos, salió y Julio jugó el resto del partido. ¿Cuánto tiempo jugó Julio?
Julio jugó
del partido.
wEn las votaciones para elegir representante de grupo, se presentaron como candidatos
Ana, Felipe y Beto.
7
Ana logró el triunfo con 16 de los votos, Felipe obtuvo la cuarta parte y Beto el resto
de los votos. ¿Qué parte de los votos obtuvo Beto?
14
Beto obtuvo
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de los votos.
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Desafío matemático 3
El rompecabezas
o cómo dividir números naturales con dividendo múltiplo de diez
María, la mamá de Beto, invitó a once compañeros de su hijo a su fiesta de
cumpleaños. Santiago, su amigo, le regaló un rompecabezas muy bonito
de cuatrocientas ochenta piezas.
Para amenizar la fiesta, Gustavo, padre del festejado, retó a los niños
a armar el rompecabezas en el menor tiempo posible entre todos; pero les
dijo que repartieran las piezas en partes iguales, sin que sobrara alguna.
Julián y Mariana son muy inquietos y dijeron que si les tocaba poner más
de diez piezas a cada uno no querían participar. Entusiasmados, los niños,
procedieron a la repartición…
¿Será posible repartir las piezas en cantidades iguales? ¿Le tocarán
de más de diez piezas a cada niño? ¿Cuántas piezas le tocarán
a cada niño participante?
Una estrategia para resolverlo
Los niños que participarán en el armado del rompecabezas son doce, incluyendo a Beto. Si
se pretende que no sobren piezas, entonces, el residuo debe ser cero. Una opción para facilitar
la solución de la división es emplear una estrategia de cálculo mental en la que se simplifica
el dividendo y se multiplica por algún múltiplo de diez. Completa la respuesta.
El número 480 se
puede escribir como
48 3 10
480 ÷ 12
Primer paso
480 = 48 3 10
Divide entre doce solamente el
número formado con los dígitos
diferentes de cero.
48 ÷ 12 = 4
El cociente obtenido en el
paso anterior, multiplícalo
por diez y el resultado es el
cociente de la división inicial.
Segundo paso
48 ÷ 12 = 4
Como a cada niño le tocarán
Tercer paso
4 3 10 = 40
piezas, Julián y Mariana
en el armado. Las ochenta piezas de ambos se reparten entre los
participarán
niños restantes.
80 ÷ 10 = 8
El número de piezas por cada niño es 40 + 8 = 48
Respuesta:
es posible repartir las piezas en partes iguales y los niños que participarán
en el armado del rompecabezas tendrán
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15
piezas cada uno.
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Ahora, explica...
Completa el siguiente texto.
Un número es múltiplo de diez si presenta
en las cifras de la derecha
(no intermedios). Para descomponerlo, se considera el número de
,
pues indica si se multiplica por diez, cien, mil... Por ejemplo, si el número tiene un cero se
multiplica por
, número que también tiene un cero, y si tiene dos ceros
se multiplica por
4 200
, pues también tiene dos ceros.
=
42
3
100
El truco detrás del truco
1. Colorea el recuadro de los números que son múltiplos de diez.
720
4 250
875
32
200
15
60
7 300
2. Descompón los números expresándolos como productos de 10, 100, 1 000.
320
63 000
5 780
4 500
3. Escribe, con ayuda de la estrategia, los elementos faltantes en la división y estima
las cifras del cociente.
Una herramienta útil en la vida cotidiana es determinar el número de cifras del cociente
de una división.
28 000 ÷ 7
28 000 = 28 3 1 000
28 ÷ 7
16
28 ÷ 7 = 4
4 3 1 000 = 4 000
De la división 28 ÷ 7 el cociente tiene
cifra.
Luego, al multiplicar el resultado por 1 000 se le agregan
Por tanto, el cociente de la división 28 000 ÷ 7 tiene
Al hacer las operaciones se confirma que el cociente tiene
Contenido programático: Anticipación del número de cifras del cociente de una división
con números naturales
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