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Desafíos matemáticos Descubre que las matemáticas son más fáciles y divertidas de lo que pensabas; sorpréndete con varias estrategias para resolver problemas de manera sencilla y eficaz; explora tus habilidades para hacer cálculos mentales. Todo esto y más encontrarás en Desafíos matemáticos, un libro de trabajo diferente que te revelará muchos secretos con los cuales dominarás los contenidos programáticos del grado que cursas, te divertirás al hacerlo y, lo más importante, aprenderás a razonar con un sentido matemático y lógico. Desafios1-6finales negra.indd 5 Desafíos matemáticos 5 1/23/14 7:05 PM PRIDM5LAP01.indd 1 1/23/14 12:19 PM El libro Desafíos matemáticos 5 fue elaborado en Editorial Santillana Santillana por el siguiente equipo: Dirección General de Contenidos Antonio Moreno Paniagua Dirección de Ediciones Wilebaldo Nava Reyes Gerencia de Primaria Oficial Gabriel Moreno Pineda Gerencia de Arte y Diseño Humberto Ayala Santiago Coordinación de Primaria Oficial Víctor Hugo Gutiérrez Cruz Coordinación de Diseño Carlos A. Vela Turcott Coordinación de Iconografía Nadira Nizametdinova Malekovna Coordinación de Realización Gabriela Armillas Bojorges Autor Leonardo González Vidal y Amado de Anda Bahena Edición Juan Daniel Castellanos Caro y Diana Alicia Navarro Góngora Asistencia editorial Víctor Iván Cabañas López, Yuritzi Arrieta González, Rita Alicia Muñoz Garduño y Gloria Denisse Canales Urbina Corrección de estilo Pablo Mijares Muñoz, Ramona Enciso Centeno y Mónica Méndez García Edición de realización Haydée Jaramillo Barona Edición digital Miguel Ángel Flores Medina Diseño de portada Stephanie Iraís Landa Cruz e interiores Diagramación Itzel Castañeda Moreno, Acento Visual Iconografía Marissa Eva Arroyo Bautista Fotografía Shutterstock y glowIMAGES Digitalización de imágenes Gerardo Hernández Ortiz y José Perales Neria La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Desafíos matemáticos 5 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor. D. R. © 2014 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V. Avenida Río Mixcoac 274, colonia Acacias, C. P. 03240, delegación Benito Juárez, México, D. F. ISBN: 978-607-01-2045-9 Primera edición: enero de 2014 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México/Printed in Mexico PRIDM5LAP01.indd 2 1/23/14 7:49 PM Presentación Para solucionar un problema matemático, muchas veces hacemos operaciones de acuerdo con unos procedimientos llamados algoritmos, los cuales debemos ejecutar con cuidado para no equivocarnos. ¿Hay otra forma de resolver esos problemas? Por supuesto: existen las estrategias, que ayudan a calcular con rapidez, pues se basan en las relaciones existentes entre los números. Con el fin de que conozcas y utilices varias estrategias para efectuar operaciones, que a su vez te ayudarán a solucionar problemas, Editorial Santillana pone en tus manos Desafíos matemáticos 5, un libro con propuestas de trabajo interesantes, novedosas y divertidas. Por medio de una situación conocida, el libro te propone un desafío y te da pautas para resolverlo; luego, te invita a reflexionar en el procedimiento sugerido, y a ejercitarlo para que lo hagas tuyo, lo domines y lo pongas en práctica cuando enfrentes otros desafíos, como los que encuentras en tu vida cotidiana. Además de apoyarte en la solución de problemas, Desafíos matemáticos 5 te impulsa a desarrollar tus habilidades para el cálculo mental, pues la práctica constante de las estrategias te permitirá calcular de manera rápida y sencilla, incluso, en ocasiones, sin emplear lápiz y papel, como podrás comprobarlo cuando domines los procedimientos sugeridos. Una vez que adquieras confianza, te darás cuenta de que las matemáticas son más interesantes y divertidas de lo que pensabas, y podrás resolver casi cualquier desafío matemático mediante la elección de la estrategia más adecuada. También descubrirás que puedes trabajar mejor con tus libros oficiales y obtener mejores resultados, porque habrás aprendido a vencer los obstáculos de los desafíos matemáticos. Los editores PRIDM5LAP01.indd 3 3 1/23/14 12:19 PM Presentación3 Bloque 1 Desafío matemático 1 Estrategia de cálculo mental: Dividir entre dos de manera continua Contenido programático: Problemas que impliquen sumar fracciones cuyos denominadores son múltiplos uno del otro 6 7 Desafío matemático 2 11 Estrategia de cálculo mental: Multiplicar por dos sucesivamente Contenido programático: Problemas que impliquen restar fracciones cuyos denominadores son múltiplos uno de otro Desafío matemático 3 15 Estrategia de cálculo mental: Dividir números naturales con dividendo múltiplo de diez Contenido programático: Anticipación del número de cifras del cociente de una división con números naturales Desafío matemático 4 19 Estrategia de cálculo mental: Dividir por descomposición del divisor en factores Contenido programático: Relaciones entre los elementos de la división de números naturales Basado en retos reales 24 Matemágicas 25 Bloque 2 26 Desafío matemático 5 27 4 PRIDM5LAP01 MAESTRO.indd 4 Estrategia de cálculo mental: Dividir por descomposición del divisor en factores Contenido programático: Problemas que impliquen una división de números naturales Desafío matemático 6 31 Estrategia de cálculo mental: Dividir con sumas repetidas y restando Contenido programático: Problemas que impliquen una división de números naturales con residuo diferente de cero Desafío matemático 7 35 Estrategia de cálculo mental: Dividir números naturales entre 10 Contenido programático: Problemas que impliquen una división de números naturales con cociente con una cifra decimal Desafío matemático 8 39 Estrategia de cálculo mental: Dividir entre 10, 100, 1 000… Contenido programático: Problemas que impliquen una división de números naturales con cociente con no más de dos cifras decimales Basado en retos reales 42 Matemágicas 43 Bloque 3 44 Desafío matemático 9 45 Estrategia de cálculo mental: Multiplicar por 2, por 4, por 8… para sumar números fraccionarios Contenido programático: Uso del cálculo mental para resolver adiciones con números fraccionarios Desafío matemático 10 49 Estrategia de cálculo mental: Descomposición y operación de naturales y decimales Contenido programático: Uso del cálculo mental para resolver adiciones con números decimales 1/23/14 11:42 AM Desafío matemático 11 53 Estrategia de cálculo mental: Dividir entre múltiplos de 2 Contenido programático: Uso del cálculo mental para resolver sustracciones con números fraccionarios Desafío matemático 12 57 Estrategia de cálculo mental: Descomposición para restar valores posicionales Contenido programático: Uso del cálculo mental para resolver sustracciones con números decimales Desafío matemático 13 61 Estrategia de cálculo mental: Dividir entre nueve Contenido programático: Análisis de las relaciones entre los términos de la división, en particular, la relación r = D – (d 3 c), a través de la obtención del residuo en una división hecha en la calculadora Basado en retos reales 64 Matemágicas 65 Bloque 4 66 Desafío matemático 14 67 Estrategia de cálculo mental: Multiplicar por dos varias veces Contenido programático: Problemas que impliquen sumas de fracciones comunes con denominadores diferentes Desafío matemático 15 71 Estrategia de cálculo mental: Multiplicar por seis o por múltiplos de tres Contenido programático: Problemas que impliquen restas de fracciones comunes con denominadores diferentes Desafío matemático 16 75 Estrategia de cálculo mental: Transformación de la división en multiplicación PRIDM5LAP01 MAESTRO.indd 5 Contenido Contenido programático: Análisis de las relaciones entre la multiplicación y la división como operaciones inversas Basado en retos reales 80 Matemágicas 81 Bloque 5 82 Desafío matemático 17 83 Estrategia de cálculo mental: Reducción de una multiplicación a la suma Contenido programático: Problemas que impliquen multiplicaciones de números decimales por números naturales, con el apoyo de la suma iterada Desafío matemático 18 87 Estrategia de cálculo mental: Multiplicar por 0.5 o 0.25 Contenido programático: Problemas que impliquen multiplicaciones de números decimales por números naturales utilizando diversos métodos Desafío matemático 19 91 Estrategia de cálculo mental: Multiplicar por 1.25 o 1.5 o 2.5 Contenido programático: Problemas que impliquen multiplicaciones de números decimales por números naturales Basado en retos reales 94 Matemágicas 95 5 1/23/14 11:42 AM ¿Qué vamos a trabajar? Desafío matemático 1 Desafío matemático 3 Desafío matemático 2 Desafío matemático 4 Estrategia de cálculo mental: Dividir entre dos de manera continua Contenido programático: Problemas que impliquen sumar fracciones cuyos denominadores son múltiplos uno del otro Estrategia de cálculo mental: Multiplicar por dos sucesivamente Contenido programático: Problemas que impliquen restar fracciones cuyos denominadores son múltiplos uno de otro PRIDM5LAP01 MAESTRO.indd 6 Estrategia de cálculo mental: Dividir números naturales con dividendo múltiplo de diez Contenido programático: Anticipación del número de cifras del cociente de una división con números naturales Estrategia de cálculo mental: Dividir por descomposición del divisor en factores Contenido programático: Relaciones entre los elementos de la división de números naturales 1/23/14 11:42 AM Desafío matemático 1 Dos y dos son cuatro o dividir entre dos de manera continua En un negocio de venta de flores se elaboró un enorme arreglo con ciento veintiocho rosas, la mitad son rojas y la otra mitad blancas. Como no se vendió, se propuso repartirlas en dieciséis ramos que tuvieran el mismo número de rosas. Desafortunadamente, nadie consiguió una calculadora para saber cuántas flores deberá tener cada ramo. ¡Hola! Este problema es para que pienses cómo resolverlo a partir de los datos que contiene. ¿Cómo podrían saber cuántas rosas habrá en cada ramo? ¿Qué tan difícil será realizar esta división sin ayuda de una calculadora? ¿Cuántas rosas habrá en cada ramo? Una estrategia para resolverlo Para resolver el problema se propone una estrategia de cálculo que permitirá convertir la división compleja, con la cual se puede resolver el problema, en otras sencillas a partir de las relaciones entre los datos y que no requiere del uso de la calculadora. Completa la respuesta. Primero, identifica que dieciséis se puede descomponer en una multiplicación de factores iguales (2) para hacer operaciones más sencillas. 16 5 8 3 2 5 4 3 2 3 2 5 2 3 2 3 2 3 2 En esta sección te explicamos una estrategia de cálculo con la que podrás resolverlo. Para ello, lee los pasos, expón tus dudas y realiza lo que se indica. Por tanto, divide entre el primer 2:128 4 2 5 64 Luego, obtén la mitad de 64 (dividir entre el segundo 2), es decir, la mitad de la mitad: 64 4 2 5 32 Otra vez, calcula la mitad de 32 (dividir entre el tercer 2), que es la mitad de la mitad de la mitad: 32 4 2 5 16 Por último, divide entre dos (dividir entre el cuarto 2) para obtener la mitad de la mitad de la mitad de la mitad: 7 16 4 2 5 8 Respuesta: Cada uno de los dieciséis ramos tendrá PRIDM5LAP01 MAESTRO.indd 7 rosas. 1/23/14 11:42 AM Ahora, explica... Comprueba en esta sección si comprendiste la estrategia. Explica sus pasos y las operaciones que realizas. Esta estrategia es útil cuando nos enfrentamos con sumas de fracciones cuyos denominadores son diferentes. Para realizar este tipo de sumas, es necesario convertir en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. Observa la siguiente suma de fracciones y anota lo que falta. Para el denominador: Para el numerador: Divide 16 4 4, y como 45 3 3 1 3 4 7 1 4 5 16 1 16 5 16 16 se puede calcular la de 16, Para dominar la estrategia, revisaremos algunos conceptos y practicaremos operaciones. Las actividades van de lo sencillo a lo complejo. queda por este valor. En otras palabras 16 4 4: 5 8, 8 4 4 en 16, por lo que solo el numerador original que es igual que 16 4 Sabes cuántas veces cabe En este caso sería 1 3 . 5 El truco detrás del truco 1. Escribe en la tabla los datos que corresponden. Número La mitad del número La mitad de la mitad del número La mitad de la mitad de la mitad del número 24 40 56 72 88 104 120 2. Completa los enunciados con las expresiones la mitad de la mitad o la mitad de la mitad de la mitad. 8 6 es la de 24. 16 puede escribirse como la de 64. 25 es la 10 puede escribirse como la de 100. de 80. Contenido programático: Problemas que impliquen sumar fracciones cuyos denominadores son múltiplos uno del otro PRIDM5LAP01 MAESTRO.indd 8 1/23/14 11:42 AM Un poco de práctica 3. Convierte las fracciones en equivalentes. Observa el ejemplo. Fracción original 8 16 Fracción equivalente Procedimiento 842 5 4 8 16 4 2 442 2 5 842 4 1 242 5 2 442 1 2 120 144 15 18 10 16 5 8 20 50 10 25 32 40 4 5 12 16 3 4 Aquí pondrás en practica la estrategia. Paso a paso hasta hacerla solo. ¿Dudas?, consulta las secciones anteriores. 4. Escribe detalladamente los pasos para resolver las sumas de fracciones. Observa el ejemplo. 84254 1 1 5 2 8 134 4 5 234 8 1 5 4 5 9 1 5 1 5 2 8 8 8 8 3 1 1 4 16 1 1 25 8 32 5 1 3 16 8 9 3 1 3 32 8 PRIDM5LAP01 MAESTRO.indd 9 1/23/14 11:42 AM Nuevos desafíos ¡Aplica la estrategia y resuelve problemas! Observa qué se te pide en cada uno y escucha las indicaciones de tu maestro. 5. Resuelve los problemas según la estrategia. wMaría tenía que resolver la guía de matemáticas para su examen final. El primer día resolvió la mitad de los ejercicios; el segundo, la cuarta parte, y el tercero, el resto, que solo eran dos ejercicios. ¿Cuántos ejercicios tenía que hacer en total? La guía de matemáticas tenía ejercicios. wJuan y María tienen una cafetería, son famosos por que tienen su propia mezcla de 1 granos de café. Cada costal de 1 kg lo llenan de la siguiente manera: 2 del costal 1 1 es mezcla de Brasil; 4 , es mezcla de Guinea; 8 es de Venezuela; y el resto, de Colombia. ¿Cuál es la fracción de café de Colombia que utilizan? 10 Juan y María ponen PRIDM5LAP01 MAESTRO.indd 10 de café de Colombia en cada costal. 1/23/14 11:42 AM Desafío matemático 2 Los bordados o cómo multiplicar por dos sucesivamente Unaun En importante negocio empresa de ventade deútiles floresescolares se elaboró donará un los enorme uniformes arreglo para contorneo un 128 rosas, interestatal la mitad de son futbol rojas al que y laasistirán otra mitad ocho blancas. equipos de Como veintidós no se vendió se jugadores. Karina propuso y Sofíarepartirlas son las encargadas en dieciséis de ramos enviar los queuniformes tuvieran para el mismo que les número borden eldelogotipo rosas. Desafortunadamente, de la institución. Además nadie del logotipo consiguió deuna cada calculadora uniforme, las para calcetas saber lo llevarán cuántasbordado deberáen tener cada cada una,ramo. pero de menor tamaño. ¿Cómo Al estar podrían armando saber el cuántas pedido serosas dieron habrá cuenta ende cada que ramo? la calculadora ¿Qué tan estaba descompuesta difícil será realizar y Karina,esta de mayor divisiónexperiencia, sin ayuda de retócalculadora? a Sofía ¿Cuántas a obtener rosas mentalmente habrá en el cada total de ramo? bordados. ¿Cuántos bordados tendrán que mandar hacer para los uniformes? ¿Qué cantidad sería para las calcetas? Una estrategia para resolverlo Para resolver el problema se requiere del planteamiento de varias multiplicaciones, como la descomposición de ocho (que es el número de equipos) en una multiplicación de factores iguales (2). Completa la respuesta. 22 3 8 Primer paso 8523232 Segundo paso 22 3 2 5 22 1 22 22 3 2 5 44 Tercer paso 22 3 2 3 2 5 44 3 2 44 3 2 5 88 Cuarto paso 22 3 8 5 176 44 5 22 3 2 22 3 2 3 8 5 176 3 2 44 3 8 5 352 Respuesta: Tendrán que mandar a hacer para las calcetas. PRIDM5LAP01 MAESTRO.indd 11 Obtén el doble de la cantidad de jugadores. Multiplica veintidós por dos, que es lo mismo que obtener el doble. 22 3 2 5 44 Si 22 3 2 es obtener el doble 22 3 2 3 2 5 44 3 2 es el doble del doble 22 3 2 3 2 3 2 5 88 3 2 es el doble del doble del doble 22 3 2 3 2 3 2 5 88 3 2 88 3 2 5176 44 3 8 Descompón el número ocho como: 8523232 Y así en lugar de 22 3 8, tienes lo siguiente 22 3 2 3 2 3 2 Como cada par de calcetas lleva dos bordados por equipo son 22 3 2 5 44 bordados Y por los ocho equipos son 44 3 8 bordados Como 44 es el doble de 22 basta con que obtengas el doble del resultado anterior. 44 3 8 5 352 11 bordados para los uniformes y 1/23/14 11:42 AM Ahora, explica... Relaciona cada operación con su explicación. 2 3 2 3 2 3 2 5 16 Para resolver la multiplicación, basta con obtener el doble o multiplicar por dos cuatro veces. 5 3 16 5 5 3 (2 3 2 3 2 3 2) Al multiplicar el dos por sí mismo cuatro veces se obtiene como resultado 16. 5 3 16 5 80 5 3 2 5 10, 10 3 2 5 20 20 3 2 5 40, 40 3 2 5 80 Para hacer más fácil la multiplicación, el dieciséis se considera como 2 3 2 3 2 3 2 y en lugar de una multiplicación larga se hacen cuatro sencillas. Completa el procedimiento para encontrar fracciones equivalentes y relaciónalo con su explicación. 3 5 6 5 5 10 1 2 5 8 16 2 4 5 16 32 5 5 1 4 5 8 32 4 5 8 5 7 14 5 5 Si se multiplican numerador y denominador 2 por dos se obtiene una fracción equivalente a 16 cuyo denominador es el doble de 16. 1 La fracción obtenida también es equivalente a pues 8 se obtiene sacando el doble del doble de dicha fracción. Si se multiplica numerador y denominador por dos se obtiene una fracción equivalente a 1 cuyo 8 denominador es el doble de 8. El truco detrás del truco 1. Colorea los cuadros de los números que pueden obtenerse multiplicando el dos por él mismo y escríbelos como productos de dos en la derecha. 40 12 8 18 32 128 12 64 24 Contenido programático: Problemas que impliquen restar fracciones cuyos denominadores son múltiplos uno de otro PRIDM5LAP01 MAESTRO.indd 12 1/23/14 11:42 AM 2. Ordena las palabras para formar la oración correcta. numerador una y equivalente por el el obtener fracción se la cantidad misma Para multiplica denominador Un poco de práctica 3. Utiliza la estrategia propuesta para obtener fracciones equivalentes y completa el procedimiento de la resta de fracciones. Operación Planteamiento 1 4 2 13 8 32 32 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3232 5 4 5 8 5 2 32 es múltiplo de . Entonces, 32 será el común denominador. Además 32 es el doble del doble de 8. 3 2 3 2 5 32 2 Se multiplican numerador y 4 por 2 denominador de 8 veces para obtener la fracción equivalente de denominador 32. 3 Se restan los denominadores. 5 Resultado: 4. Resuelve la resta de fracciones. 6 2 16 16 64 1 2 64 = 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 6 = 12 = 24 = 16 3 2 3 2 32 16 64 El común denominador es 64 y para obtener la fracción equivalente se multiplican numerador y denominador de Obtención de la fracción equivalente. 6 por el doble del doble. 16 PRIDM5LAP01 MAESTRO.indd 13 3 13 1/23/14 11:42 AM Nuevos desafíos 5. Resuelve los problemas según la estrategia. wSantiago, Guillermo y Julio juegan en el equipo de basquetbol de su escuela en la misma posición. En el último partido Santiago jugó un cuarto, salió y entró Guillermo que jugó dos octavos, salió y Julio jugó el resto del partido. ¿Cuánto tiempo jugó Julio? Julio jugó del partido. wEn las votaciones para elegir representante de grupo, se presentaron como candidatos Ana, Felipe y Beto. 7 Ana logró el triunfo con 16 de los votos, Felipe obtuvo la cuarta parte y Beto el resto de los votos. ¿Qué parte de los votos obtuvo Beto? 14 Beto obtuvo PRIDM5LAP01 MAESTRO.indd 14 de los votos. 1/23/14 11:42 AM Desafío matemático 3 El rompecabezas o cómo dividir números naturales con dividendo múltiplo de diez María, la mamá de Beto, invitó a once compañeros de su hijo a su fiesta de cumpleaños. Santiago, su amigo, le regaló un rompecabezas muy bonito de cuatrocientas ochenta piezas. Para amenizar la fiesta, Gustavo, padre del festejado, retó a los niños a armar el rompecabezas en el menor tiempo posible entre todos; pero les dijo que repartieran las piezas en partes iguales, sin que sobrara alguna. Julián y Mariana son muy inquietos y dijeron que si les tocaba poner más de diez piezas a cada uno no querían participar. Entusiasmados, los niños, procedieron a la repartición… ¿Será posible repartir las piezas en cantidades iguales? ¿Le tocarán de más de diez piezas a cada niño? ¿Cuántas piezas le tocarán a cada niño participante? Una estrategia para resolverlo Los niños que participarán en el armado del rompecabezas son doce, incluyendo a Beto. Si se pretende que no sobren piezas, entonces, el residuo debe ser cero. Una opción para facilitar la solución de la división es emplear una estrategia de cálculo mental en la que se simplifica el dividendo y se multiplica por algún múltiplo de diez. Completa la respuesta. El número 480 se puede escribir como 48 3 10 480 ÷ 12 Primer paso 480 = 48 3 10 Divide entre doce solamente el número formado con los dígitos diferentes de cero. 48 ÷ 12 = 4 El cociente obtenido en el paso anterior, multiplícalo por diez y el resultado es el cociente de la división inicial. Segundo paso 48 ÷ 12 = 4 Como a cada niño le tocarán Tercer paso 4 3 10 = 40 piezas, Julián y Mariana en el armado. Las ochenta piezas de ambos se reparten entre los participarán niños restantes. 80 ÷ 10 = 8 El número de piezas por cada niño es 40 + 8 = 48 Respuesta: es posible repartir las piezas en partes iguales y los niños que participarán en el armado del rompecabezas tendrán PRIDM5LAP01 MAESTRO.indd 15 15 piezas cada uno. 1/23/14 11:42 AM Ahora, explica... Completa el siguiente texto. Un número es múltiplo de diez si presenta en las cifras de la derecha (no intermedios). Para descomponerlo, se considera el número de , pues indica si se multiplica por diez, cien, mil... Por ejemplo, si el número tiene un cero se multiplica por , número que también tiene un cero, y si tiene dos ceros se multiplica por 4 200 , pues también tiene dos ceros. = 42 3 100 El truco detrás del truco 1. Colorea el recuadro de los números que son múltiplos de diez. 720 4 250 875 32 200 15 60 7 300 2. Descompón los números expresándolos como productos de 10, 100, 1 000. 320 63 000 5 780 4 500 3. Escribe, con ayuda de la estrategia, los elementos faltantes en la división y estima las cifras del cociente. Una herramienta útil en la vida cotidiana es determinar el número de cifras del cociente de una división. 28 000 ÷ 7 28 000 = 28 3 1 000 28 ÷ 7 16 28 ÷ 7 = 4 4 3 1 000 = 4 000 De la división 28 ÷ 7 el cociente tiene cifra. Luego, al multiplicar el resultado por 1 000 se le agregan Por tanto, el cociente de la división 28 000 ÷ 7 tiene Al hacer las operaciones se confirma que el cociente tiene Contenido programático: Anticipación del número de cifras del cociente de una división con números naturales PRIDM5LAP01 MAESTRO.indd 16 1/23/14 11:42 AM